Состав числа таблица до 20: Состав чисел до 20 таблица распечатать для 1 класса
Педагогическая технология изучения чисел второго десятка. Автор к.п.н. Петкевич Н.В.
Согласно требованием программы к концу второго класса должны быть сформированы вычислительные навыки табличных случаев сложения и вычитания однозначных чисел.
Комплексное использование демонстрационных и индивидуальных наглядных пособий обеспечит достижение положительного результата с наименьшими затратами сил и времени как учителя, так и ученика, что является необходимым условием здоровьесберегающих педтехнологий.
Использование пособий в определенной последовательности обеспечивает этапы усвоения информации по формированию понятия о сложении однозначных чисел с переходом через десяток и вычислительных навыков, путем построения предметных (рисунки овощей), графических (кружочки) и знаковых (цифры) моделей.
Благодаря демонстрационным пособиям с подвижными деталями учащиеся имеют возможность увидеть в динамике формируемые понятия и действия сложение и вычитание, а при наличии у детей комплектов индивидуальных наглядных пособий “Математика от 1 до 20.
Суперпапка” выполнить эти же действия самим.
Большинство из представленных ранее пособий используется и для изучения чисел второго десятка. Это обеспечивает преемственность в предъявлении содержания учебного материала от простого к сложному и преемственность в последовательности выполнения учебных действий. Ориентиром в этой работе выступит последовательность использования наглядности.
I. Образование чисел от 11 до 20
1. Предъявление образа чисел. Работа с таблицами из демонстрационных наглядных пособий«Сказочный счет».
2. Образование чисел из одного десятка и нескольких единиц. Работа со второй частью демонстрационного и индивидуального наглядного пособия «Линейка «Счет от 1 до 20».
3. Построение предметной модели чисел при помощи «Абака».
4. Построение графической, цветовой и знаковой модели чисел с использованием «Компьютера».
II. Сложение однозначных чисел с переходом через десяток
1. Построение предметной модели задачи при помощи «Абака».
2. Построение ее графической, цветовой и знаковой модели с использованием «Компьютера» и ее преобразование, создание проблемной ситуации.
3. Построение знаковой модели при помощи «Линейки «Счет от 1 до 20». Запись на доске.
III. Состав чисел II десятка
1. Построение графической, цветовой и числовой модели состава чисел. Работа с демонстрационным и индивидуальным пособием «Компьютер».
2. Закрепление знаний. Самостоятельная работа в тетради.
3. Применение полученных знаний на новых информационных полях и в новых ситуациях. Работа с демонстрационными пособиями «Радужная горка» и «Числовая горка».
4. Взаимопроверка знаний. Работа «в паре» с индивидуальными пособиями «Радужная горка», «Числовая горка», «Столбик таблицы сложения однозначных чисел».
5. Проверка знаний учителем. Работа с «Цветовыми сигнальными карточками» и «Цветовой сигнальной лентой».
ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЕЛ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА
I. Образование числа 11
1 .
Предъявление образа числа 11. Работа с таблицами из «Сказочного счета».
а) б) Рис. 1
Иллюстрации к сказкам «Про Козленка, который умел считать до десяти» и «Красная шапочка». Образование числа 11.
Рис. 1 а подсказывает название числа – одиннадцать (дцать – это сокращенное десять), а рис. 1 б, как его образовать. Дети находят число 11 на корпусе парусника и его модель в «Радужной горке» (нижний ряд 1 десяток и 1 белый с точкой шарик вверху).
Аналогично происходит знакомство с числами 12, 13…19.
2. Образование числа 11.
Работа со второй частью «Линейки «Счет от 1 до 20». Сначала учитель, а затем учащиеся устанавливают окошко на своих линейках, как показано на рис. 2, и видят, что если к 10 прибавить 1, получается 11.
Рис. 2.
Линейка «Счет от 1 до 20» II ч. Модель числа 11.
3. Построение предметной модели числа 11 при помощи «Абака» (рис. 3).
По картинкам составляется задача: «В вазе лежало 10 яблок.
В нее положили 1 грушу. Сколько фруктов стало в вазе?». Дети хором: 10 + 1 = 11(фр.).
Рис. 3. «Абак». Модель задачи.
4. Построение графической, цветовой и знаковой модели числа 11 с использованием «Компьютера».
Учащиеся, проговаривая, строят модель этой задачи при помощи «Компьютера» (рис. 4).
Рис. 4. «Компьютер». Модель задачи.
Таким образом, в процессе работы с наглядными пособиями ученики знакомятся с десятичным составом чисел от 11 до 19.
II. Сложение однозначных чисел с
переходом через десяток
1. Построение предметной модели задачи при помощи «Абака».
Чтобы не допустить “отлета математики от действительности” и обеспечить мотивацию путем распознавания в повседневной жизни проблем, требующих практического применения математических знаний, начнем работу с решения задачи. Например. Задача: «Хозяйка купила 7 помидоров и 5 огурцов. Сколько всего овощей купила хозяйка?» Условие задачи моделируется при помощи “Абака» (рис.
5).
Рис. 5. «Абак». Предметная модель задачи.
2. Построение ее графической, цветовой и знаковой модели с использованием «Компьютера» и ее преобразование, создание проблемной ситуации.
Учитель предлагает учащимся построить модель условия задачи при помощи полосок из персонального “Компьютера” (рис. 6, а). “Сколько овощей купила хозяйка?” – спрашивает он. Учащиеся затрудняются дать ответ сразу. Кто-то пересчитывает все овощи, кто-то присчитывает к 7 кружочкам 5 по одному.
а) б) в)
Рис. 6 (а, б, в,) «Компьютер». Построение и преобразование модели задачи.
Учитель создает условие для выполнения вычислений более рациональным способом. Он хочет поставить полоску с 5 кружочками в верхний карман «Компьютера» Она не входит, поэтому она накладывается на него. Учитель спрашивает: “Что можно сделать с числом 5, чтобы разместить в “Компьютере”?
И дети предлагают заменить его двумя полосками с 3 и 2 кружочками.
Учитель ставит в верхний карман полоску с 3 кружочками, а в нижний – с 2 (рис. 6, в).
– Сколько овощей купила хозяйка? (12)
– Что мы сделали со II слагаемым?
– Заменили числами 3 и 2. Учитель обобщает: “Мы заменили II слагаемое – 5 суммой удобных слагаемых 3 и 2, чтобы 7 дополнить до 10, и прибавили 2.
Учащиеся моделируют эту же задачу на своих «Компьютерах» с проговариванием.
3. Построение знаковой модели при помощи «Линейки «Счет от 1 до 20».
Учитель на демонстрационном пособии “Линейка “Счет от 1 до 20” строит знаковую модель задачи (рис. 7).
Рис. 7. «Линейка «Счет от 1 до 20».
Знаковая модель задачи. Учащиеся строят эту же модель при помощи индивидуальных “Линеек “Счет от 1 до 20”, сопровождая свои действия рассуждениями (хором): “Чтобы к 7 прибавить 5, надо к 7 прибавить 3, получится 10, (на линейке дана подсказка – удобное слагаемое 3), и к 10 прибавить 2, получится 12.
Действия и рассуждения детей письменно оформляются на доске и в тетрадях в виде развернутой записи:
7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 12
Таким образом, при последовательном использовании комплекса наглядных пособий формируется понятие о сложении однозначных чисел с переходом через десяток.
При формировании вычислительного навыка мы должны стремиться к свертыванию информации, т.е. избавиться от промежуточного результата 10, ибо он тормозит процесс вычислений. Поэтому фундаментом вычислительных навыков при сложении и вычитании однозначных чисел с переходом через десяток является знание состава чисел 11,12,…,18.
Алгоритм изучение состава чисел рассмотрим на примере числа 11.
III. Состав числа 11
1. Построение графической, цветовой и числовой модели состава числа 11.
Работа с демонстрационным и индивидуальным пособием «Компьютер». Для ограничения 10 кружков на доске нужно провести вертикальную линию, а на парту положить лист бумаги, ограничивающий десяток.
В процессе совместной учебной деятельности строится модель числа 11. Учитель прикрепляет полоски при помощи магнитов и рядом записывает равенства, учащиеся размещают полоски на парте (рис. 8).
Рис. 8. Развернутые модели состава числа 11.
Построение данных моделей позволяет за счет цвета и графики ярко и четко предъявить информацию и обеспечить переход от конкретного – к абстрактному.
2. Закрепление знаний. Самостоятельная работа в тетради.
Учащиеся в тетрадях по клеточкам вычерчивают карандашом модели числа 11 (рис. 9).
Рис. 9. Запись в тетради.
Эта работа дает возможность акцентировать внимание на том, что I слагаемые уменьшаются на 1, а II – увеличиваются на 1, а сумма остается без изменения, и многократно повторить систематизированную информацию, что является необходимым условием запоминания таблицы сложения.
Полностью таблица представлена как справочный материал на правом клапане «Суперпапки».
Для закрепления состава числа 11 можно составить целую серию задач с использованием таблиц «Сказочный счет».
Например. «В гости к героям сказки «Волк и семеро козлят» пришли герои сказки «Сестрица Аленушка и братец Иванушка». Сколько стало героев сказок?» (9 + 2 = 11) и т. д.
3. Применение полученных знаний на новых информационных полях и в новых ситуациях. Работа с демонстрационными пособиями «Радужная горка» и «Числовая горка».
На иллюстрации к сказке «Про Козленка, который умел считать до десяти” из комплекта “Сказочный счет” изображен парусник, на парусе которого шариками представлены числа от 1 до 10, а на корпусе – числа от 11 до 20.
Данную информацию можно использовать для закрепления знания состава числа. Работая в паре у доски, учащиеся устанавливают соответствие между а) парами шариков на парусе и числом 11 на корпусе парусника; б) парами шариков на парусе и парами чисел, составляющими число 11 в вертикальном столбике “Числовой горки”.
Обращается внимание на то, что из всех чисел, расположенных между 1 и 10, объединив их в пары, можно получить число 11. Эту зависимость дети видели при изучении состава чисел первого десятка.
Рис. 10.
На данном этапе было бы очень полезно составить задачи по моделям. Во-первых, мы замедлим темп урока, чтобы никто не отстал на самом важном этапе, а во-вторых, подключим воображение, фантазию, усилим ассоциативные связи.
Например.
1) В одной коробке лежало 9 простых карандашей, а в другой – 2 красных. Сколько карандашей в двух коробках?
2) Для приготовления баклажанной икры повар взял 8 баклажанов и 3 помидора. Сколько всего овощей пошло на баклажанную икру?
3) Для приготовления компота мама взяла 7 синих слив и 4 желтых. Сколько всего слив пошло на компот?
4. Взаимопроверка знаний. Работа в парах.
Учащиеся раскрывают “Суперпапку” и кладут ее на парту так, чтобы сверху были обе горки и клапан с таблицей сложения (рис. 11).
Рис.11
1) Один ученик показывает кружочки: 9 серых и 2 красных кружочков, а другой – числа: 9 в сером квадрате и 2 в красном; 8 и 3 и т.
д. Модели показываются сначала по порядку, а затем вперемешку. Проверяются по столбику выражений на клапане. Таким образом, они знакомятся с местом расположения данного столбика в системе знаний (рис. 10). Далее закрепление состава числа 11, обеспечивается переходом от абстрактного к конкретному, то есть от знаковой модели к предметной.
2) Один ученик показывает – 9 + 2, а другой – 9 серых шариков и 2 красных и т.д.
3) Один показывает на корпусе лодки число 11, а другой – на парусе 8 фиолетовых кружочков и 3 желтых и т.д.
5. Проверка знаний учителем. Игра “Сигнальщики”.
На доске вывешивается “Цветовая сигнальная лента”, в которой цвета радуги расположены по порядку, и рядом записываются соответствующие им числа, из которых можно составить число 11 – это 2, 3….9.
Учитель, например, показывает число 8 или фиолетовый цвет на ленте, а учащиеся – оранжевую карточку (3).
Итак, вся предыдущая работа была направлена на понимание и запоминание столбика таблицы сложения однозначных чисел с ответом 11, который является подсистемой в системе знаний.
Работа над составом чисел 12, 13….18 проводится аналогично.
Для проверки всей таблицы вывешивается “Цветовая сигнальная лента”, в которой цвета радуги перемешаны, и рядом записываются по порядку числа 11, 12….18.
Учитель, например, называет выражение 5 + 9 (или показывает зеленую и серую карточку из веера).
Учащиеся видят, что число 14 написано рядом, например, с красным цветом и показывают красную карточку. (Цвет значения не имеет, он служит для обратной связи).
Можно придумать много других игр и заданий.
С огромным удовольствием дети работают с «Телефоном – справочником». Он же является самоучителем.
При помощи «Квадрата с уголком», благодаря подвижной детали, можно построить всю таблицу сложения и вычитания. Многочисленные варианты работы с каждым пособием, входящим в комплект, описаны в методических рекомендациях.
Эти учебно-наглядные пособия могут использоваться на всех этапах урока, в разных сочетаниях с другими средствами обучения, в том числе, и с учебником.
Причем, детям предоставляется право выбирать наглядное пособие, при помощи которого можно выполнить то или иное задание из него.
В начало статьи
Наглядные пособия
Главная
ПФК Крылья Советов – официальный сайт
5 мар. вс в 00:00
Москва, ВТБ Арена
МИР РПЛ, 18 тур
Динамо Крылья Cоветов
О матче
Карта болельщика на матч не требуется. Допуск на стадион осуществляется при наличии штрих-кода билета или пластиковой карты абонемента.
О матче
Новости и медиа
3 декабря 2022
Абонементы на весеннюю часть сезона – в продаже!
Добрые Крылья
23 декабря 2022
Деды Морозы сыграют с «Крыльями Мечты» на «Металлурге»
21 декабря 2022
Сергей Пиняев получил премию «Первая Пятерка»
20 декабря 2022
Новинки в магазинах «Крыльев Советов»
19 декабря 2022
«Крылья» отправятся в Турцию 9 января
17 декабря 2022
Выбери самые яркие события “Крыльев” в 2022!
Матчи
Предыдущий матч
27 ноя, вс, 17:00
Самара, Солидарность Самара Арена
FONBET КР, Группа B.
6 тур
1 : 0
Крылья Cоветов Факел
Матч-центр
Следующий матч
Москва, ВТБ Арена
МИР РПЛ, 18 тур
5 мар., вс, 00:00
Динамо Крылья Cоветов
О матче
Таблицы
МИР РПЛ М-ЛИГА Женская лига
Потяните
Потяните
Группа 2
Потяните
Потяните
Матчи 17 тура
Пари НН
Матч завершен3:2
Ахмат
Урал
Матч завершен2:0
Факел
Крылья Советов
Матч завершен1:3
Ростов
Торпедо
Матч завершен0:2
Зенит
Локомотив
Матч завершен1:2
Спартак
Оренбург
Матч завершен5:1
Краснодар
Химки
Матч завершен0:2
Сочи
Динамо
Матч завершен2:1
ЦСКА
Магазин
перейти в магазин перейти в магазинИгроки
Простые числа до 20 – Математика с мамой
Что такое составные числа?
Составное число — это число, полученное путем умножения двух других целых чисел.
Например, 4 — составное число, потому что его можно получить, перемножив две двойки вместе.
Составные числа можно разбить на два меньших целых числа. 4 разбивается на две двойки. 2 отличается от 4 и меньше 4.
Чтобы проверить, является ли число составным, попробуйте разделить на него меньшие целые числа. Если на него можно точно разделить целое число, то это составное число.
Числа, которые точно делятся на составное число, называются множителями.
Что такое простые числа?
Простое число имеет ровно 2 различных делителя: число 1 и само число. Это означает, что простое число не может быть получено путем умножения двух других целых чисел.
Кроме числа 1 и самого числа никакие другие целые числа не делятся точно на простое число.
2 – первое простое число. Это также единственное четное простое число.
Это можно сделать только путем умножения 1 × 2.
Других чисел, которые точно делятся на 2, не существует.
Единственный способ сделать 2 путем умножения — это 1 × 2.
Когда мы делаем это, мы по-прежнему получаем 2, которые умножаются на 1. Это то же число, с которого мы начали, и оно не стало меньше.
Поскольку только число 1 и само число 2 могут делиться на 2, мы называем его простым числом. Мы видим, что у него есть только два множителя, число 1 и число 2.
Число не является простым, если оно находится в таблице умножения другого числа.
Простые числа трудно найти, потому что нет шаблона или правила для их нахождения. Мы должны попытаться разделить все меньшие целые числа на число, чтобы проверить, является ли число простым.
Является ли 1 простым числом?
1 не является простым числом. 1 тоже не составное число. Оно не является ни простым, ни составным.
Это потому, что определение простого числа – это число, которое имеет ровно два делителя. Это целые числа, которые делятся точно на число.
В принципе, 1 нельзя разбить на меньшие целые числа.
Число 1 можно записать только как 1 × 1.
Следовательно, у него есть только один делитель — число 1. Неважно, что их два, это все равно одно и то же число. Чтобы число было простым, необходимо ровно 2 различных делителя. 1 не имеет достаточного количества факторов.
Чтобы быть составным числом, число должно быть получено путем умножения двух других меньших целых чисел.
1 не является ни простым, ни составным.
Стоит отметить, что считать 1 простым числом — распространенная ошибка. Это потому, что люди думают о простых числах как о числах, которые нельзя разбить, тогда как правильное определение состоит в том, чтобы проверить, есть ли у него два делителя, которых нет у числа 1.
Все целые числа, кроме 1, либо простые, либо составные. Если они не простые, то они составные, а если не составные, то простые.
Нахождение простых чисел от 1 до 12
Мы рассмотрим список чисел до 12 и определим простые числа.
1 не является ни простым, ни составным, потому что его нельзя составить путем умножения двух меньших целых чисел.
Все остальные числа больше 1 либо простые, либо составные.
2 — простое число. Это можно сделать, только умножив целые числа 1 × 2.
2 особенное, потому что это первое простое число. Это также единственное четное простое число.
Это потому, что любое другое четное число также можно разделить на 2. Простое число нельзя разделить ни на одно число, кроме 1 и самого числа.
Распространенной ошибкой является мнение, что 2 не простое число, потому что оно четное, и стоит выделить это число при обучении простым числам.
Число 3 тоже простое.
Его можно записать только как 1 × 3. Таким образом, он имеет 2 множителя, 1 и 3.
Единственное меньшее число, чем 3, — это 2. Мы можем попробовать разделить 2 на 3, чтобы проверить, но 2 не в точности соответствует 3, потому что 3 — нечетное число.
4 — составное число, составленное из 2 × 2.
Несмотря на то, что его все еще можно записать как 1 × 4, у нас есть дополнительная опция 2 × 2.
4 можно разбить на меньшие целые числа.
Число 4 четное, а все четные числа, кроме числа 2, простые.
Поскольку число 4 составное, оно не является простым.
5 — простое число. У него всего 2 фактора, 1 и он сам. Это означает, что его можно записать только как 1 × 5.
Чтобы проверить, является ли число 5 простым, мы можем попробовать разделить на него другие меньшие числа.
2 не входит в 5, потому что 5 нечетно.
5 нет ни в таблице умножения на 3, ни в таблице умножения на 4.
6 – составное число.
Это четно, и поэтому оно находится в таблице умножения на 2.
6 можно составить из 2 × 3, поэтому это не простое число.
7 — простое число.
Его можно составить только из 1 × 7. Других множителей у него нет.
8 — составное число, потому что оно четное.
Его можно записать как 2 × 4.
Поскольку 8 составное, оно не простое.
9 — составное число, а не простое.
9 можно записать как 3 × 3.
Распространенной ошибкой является включение числа 9 в число простых, потому что оно нечетное. Это наше первое нечетное число, не являющееся простым. 9 — это 3 раза по 3, поэтому его можно разбить на меньшие целые числа.
10 — составное число, потому что оно четное.
10 в таблице умножения на 2 и таблице умножения на 5.
10 не простое число.
11 — простое число. 11 можно записать только как 1 × 11.
12 – составное число.
12 можно записать как 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4.
12 не простое число.
Нахождение простых чисел с помощью решета Эратосфена
Найти простые числа очень сложно, потому что для них нет реальной закономерности.
Не существует быстрого способа найти простые числа. Мы должны проверить, не делятся ли какие-либо меньшие числа на наше число.
Одним из способов нахождения простых чисел является использование решета Эратосфена.
Решето Эратосфена названо в честь греческого математика Эратосфена, которому оно приписывается.
Он использует тот факт, что простое число не будет в таблице умножения любого меньшего числа.
«Prime» — это еще одно слово для «first», и простое число будет первым числом в таблице умножения, если оно не появляется ни в какой другой таблице умножения.
Мы начинаем с числовой сетки и вычеркиваем числа в каждой таблице умножения.
Мы знаем, что 1 не является ни простым, ни составным, поэтому мы отметим это зеленым цветом, чтобы показать это.
Затем мы начинаем с таблицы умножения на два.
Мы помечаем первое число в этой таблице умножения как простое и вычеркиваем числа в таблице умножения, которые следуют за ним.
Любое число в таблице умножения на два, большее 2, не будет простым. Это потому, что их можно разделить ровно на 2.
Как только мы отметили таблицу умножения на два, мы смотрим на следующую таблицу умножения.
Мы помечаем первое число в таблице умножения на три, 3, как простое, а затем вычеркиваем оставшиеся числа в таблице умножения на три.
Некоторые числа в таблице умножения на 3 уже вычеркнуты, потому что они были в таблице умножения на 2, но мы вычеркиваем остальные.
Далее идет таблица умножения на 4, однако все числа в таблице умножения на 4 также находятся в таблице умножения на два.
Затем мы помечаем 5 как простое, а затем все остальные числа в этой таблице умножения помечаем как составные.
Все числа в таблице умножения на 6 уже отмечены.
Это потому, что 6 находится в таблице умножения на 2 и в таблице умножения на 3.
Теперь отметим таблицу умножения на 7. 7 — простое число, а следующие числа мы скрещиваем как составные.
Числа, зачеркнутые синим цветом на этой сетке, являются составными числами.
Все остальные числа, которые не вычеркнуты в этой сетке, являются простыми числами. Мы заштрихуем их красным цветом.
Ниже приведены простые числа до 20.
Простые и составные числа
Простое число — это целое число, большее единицы, единственными делителями которого являются само себя и единица.
Примеры простых чисел (из математической игры Bubbly Primes)
Это может показаться сложнее, чем есть на самом деле. Дело в том, что математики любят быть очень точными в своем языке; им нравится говорить то, что абсолютно правильно. Иногда это приводит к тому, что простые вещи кажутся более запутанными, чем это необходимо.
Мы только что почтили математическую традицию точным определением, поэтому теперь дадим простое объяснение. К концу этой страницы у вас будет четкое представление о том, что такое простые числа и почему. Не волнуйтесь — скоро все станет ясно.
Прежде чем мы продолжим, мы хотим убедиться, что всем понятно, что такое множитель: множителя — это числа, которые умножаются друг на друга, чтобы получить произведение .
Возможно, самый простой способ понять, что такое простое число, — это понять, чем оно не является.
Что такое составные числа?
Составное число — это произведение двух целых чисел, больших единицы.
Примеры составных чисел (как показано в математической игре Bubbly Primes)
Это стоит прочитать дважды, потому что это точное определение (снова). В обычной жизни, если вы говорите что-то довольно ясное, а затем умный парень указывает, что вы ошибаетесь из-за формальности, вы просто игнорируете умного парня. Но в математике люди стараются убедиться, что они никогда не ошибаются, даже из-за технических деталей. Если бы нас не беспокоили такие детали, как ноль, единица, дроби и т. д., мы могли бы просто сказать: «Когда вы умножаете два числа, вы получаете составное число». Но, поскольку это математика, мы осторожны с надоедливыми деталями, даже за счет того, что их немного сложнее понять.
(Основная идея будет заключаться в том, что составные числа имеют делители, а простые – нет. Но, чтобы быть по-настоящему правдой, мы должны углубиться в детали и обязательно расставить точки над каждым 90 243 i. и перекрестите каждые t .)
Кстати, мы создали математическую игру, чтобы помочь учащимся научиться разбивать составные числа на простые множители, потому что это очень важный навык. Если вы хотите использовать игру для обучения и практики, вы можете найти ее в App Store.
Таблицы умножения Показать составные числа.
Вот таблица умножения. Мы сделали это, используя только целые числа больше единицы. Факторами являются числа с белым фоном сверху и слева. В таблице их продукты показаны друг с другом в середине таблицы фиолетовым цветом. Все эти числа являются составными числами, потому что каждое из них является произведением двух целых чисел, больших единицы.
Таблица умножения множителей больше единицы
В таблице показана целая куча составных чисел до 100, но есть проблема.
Отображает ли таблица
Все Составные числа до 100?Нет — к сожалению, нет. Например, 22 — составное число (это 2 x 11), но его нет в таблице, потому что мы умножали только числа до 10. Однако мы знаем, что у нас есть все составные числа до 10, потому что при умножении числа больше 1, вы всегда получаете числа больше, чем вы начали. На самом деле мы знаем, что у нас есть все составные числа до 20, потому что мы пробовали каждое число до 10, и наименьшее число, на которое их можно было умножить, было 2. Используя эту логику, если бы мы хотели найти все составные числа до 100, мы могли бы составить таблицу умножения 50 на 50. Однако это было бы слишком много работы. Слишком много работы!! Вместо этого мы можем использовать чрезвычайно хитрую технику, называемую решетом Эратосфена.
Решето Эратосфена
Мы настоятельно рекомендуем вам сделать Решето Эратосфена самостоятельно. Это не займет много времени, и вы многому научитесь. Пожалуйста? Выполняя это упражнение, вы получите более глубокое представление о том, что на самом деле представляют собой простые числа и как они работают. Вы, вероятно, даже начнете задавать некоторые из тех же вопросов, которые занимали воображение математиков на протяжении тысячелетий.
…
Когда вы делали решето Эратосфена, вы заметили, что, находя составные числа, вы также находили и простые числа?
Давайте ответим на некоторые распространенные вопросы.
Является ли 0 простым числом? Является ли 1 простым числом?
Нет, ни ноль, ни единица не являются простыми числами. Простая, но, вероятно, бесполезная причина заключается в том, что определение простых чисел тщательно сформулировано, чтобы специально исключить ноль и единицу. Но с чего бы математикам вообще беспокоиться о такой формулировке? Они хотят, чтобы простые числа работали как мультипликативные строительные блоки. Ноль и единица не работают как строительные блоки. Такой образ мышления может стать более осмысленным после рассмотрения следующего вопроса:
Является ли два простым числом?
Да. Хотя оно четно, его единственными факторами являются оно само и одно. Если вы думаете о простых числах как о строительных блоках, то двойка — это стандартный блок, используемый для того, чтобы сделать все остальные четные числа четными. Размышляя об этом таким образом, вы можете понять, почему математики не хотели бы, чтобы «1» считалось простым числом, даже если его единственными делителями являются она сама и единица. «1» не работает как строительный блок, потому что вы можете умножить его на число миллион раз и все равно получить то же число. Строительные блоки должны работать не так. Например, если вы составите составное число с другим количеством двоек, вы получите другое число. Две двойки и тройка дают 2 x 2 x 3 = 12, а три двойки и тройка дают 2 x 2 x 2 x 3 = 24. Ноль на самом деле не работает как строительный блок. Он действует скорее как динамитная шашка, которая сносит все остальные строительные блоки всякий раз, когда вы пытаетесь умножить на них.
Мы почти готовы повторить причудливое определение простых чисел в верхней части страницы. Но, во-первых, есть еще одна вещь, которая постоянно всплывает — такие слова, как «целые числа».
Есть разные числа?
Мы продолжаем настаивать на том, чтобы простые и составные числа были целыми числами. Существуют разные виды чисел, которые полезны для разных целей. Если это звучит странно (странно), тогда почитайте о разных видах чисел.
Представьте, что рациональные числа (те, которые содержат дроби) могут быть простыми. Говорить о них было бы очень скучно. Причина в том, что каждое рациональное число, кроме нуля, является множителем любого другого рационального числа. Это означало бы, что все числа были бы составными, и не было бы такого понятия, как простое число! Чтобы избежать этого, в некоторых определениях простых чисел говорится, что они являются счетными числами (те, которые вы используете для подсчета овец), а в других — что они являются целыми числами (теми, которые могут быть как положительными, так и отрицательными).
На самом деле, не имеет значения, говорится ли в определениях, что они являются счетными числами, натуральными числами, целыми числами или целыми числами. Причина в том, что они также должны указывать «должно быть больше единицы», что исключает отрицательные числа, ноль и единицу. Отрицательные числа и ноль — это разница между счетными числами, натуральными числами и целыми числами. Вот почему до сих пор мы намеренно говорили «целые числа», потому что все более или менее знают, что это значит, и до сих пор мы не хотели теряться в длинном обсуждении различных видов чисел.
ОК! Теперь, когда мы подробно рассмотрели важные побочные темы, давайте снова зададим исходный вопрос.
Что такое простое число?
Ну, мы хотели бы сказать: «Простые числа — это числа, которые не являются составными». Но, Упси Дудлз! Это игнорировало бы эти раздражающие мелкие детали, и наши друзья-умники доставили бы нам массу нытья: «Полтора не является составным, так разве это не простое число?». Давайте исправим это, дав хорошее простое определение:
- Простые числа — это целые числа больше единицы, которые не являются составными.
- Составные числа — это произведения целых чисел больше единицы.
Почему важны простые числа?
На этот вопрос есть множество ответов, в зависимости от того, хотите ли вы узнать практические причины, по которым стоит обращать внимание на простые числа, или более глубокие причины.
Простые числа и практическая математика:
Некоторые практические вещи, для которых хороши простые числа, включают:
- Упрощение дробей
- Взаимное сокращение
- поиск LCD (наименьшие общие знаменатели)
- поиск GCF (наибольшие общие множители)
Криптология
Важно просто найти гигантские простые числа. Требуется огромный объем работы, чтобы выяснить, являются ли действительно большие числа простыми. По этой причине простые числа важны в криптологии, изучающей способы создания секретных кодов. Они используются для таких практических целей, как обеспечение безопасности банковских счетов. Простые числа – большие деньги!!!
Гипотеза Римана
Простые числа также связаны с некоторыми из самых интересных математических задач, которые еще не решены. Математики называют нерешенные проблемы «открытыми проблемами». Самая известная на сегодняшний день — это, вероятно, гипотеза Римана. Требуется много объяснений, чтобы понять, и на самом деле никто еще не докопался до сути. Это связано с угадыванием вероятности того, что число будет простым, исходя из того, насколько оно велико. Здесь мы не можем рассказать об этом подробнее, хотя можем порекомендовать книгу об этом людям, не являющимся математиками. Кстати, большие призы ждут всех, кто сможет решить важные открытые задачи, включая гипотезу Римана.
Почему простые числа определяются именно так?
Хороший вопрос! Часто люди просто принимают определения такими, какие они есть, не задаваясь вопросом, почему они были определены такими, какие они есть.