Разное

Состав чисел таблица: Состав числа до 20 – Развитие и обучение для детей Мама7я %

Содержание

Состав числа до 20 - Развитие и обучение для детей Мама7я %

Состав числа до 20 распечатать

Как только ребенок освоил состав числа до 10 и закрепил полученные знания за несколько уроков, тогда можно смело переходить на новый этап — это изучение состава числа до 20.

Состав чисел до 20 таблица

Начнем изучение состава чисел до 20 с таблицы.

Таблица состава чисел до 20 представлена ниже.

Состав чисел до 20 таблица

Состав числа до 20 домики

Домики с составом числа до 20 отличные помощник в изучении этого вопроса.

Состав чисел до 20 таблица распечатать

Поиграйте в игру с ребенком: в каждом домике состава чисдо до 20 живут дружные соседи. Помоги каждому числу занять свое место.

Состав чисел до 20 1 класс

В 1 классе ученики разбирают состав числа до 20. Для успешной учебы и легкого дальнейшего изучения тем, можно освоить состав чисел до 20 еще до 1 класса.

Состав числа до 20 домики распечатать

Состав числа до 20 с домиками помогает легко освоить ребенку математический счет.

Состав числа до 20 распечатать 1 класс

Число 11 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 2, 8 и 3, 7 и 4, 6 и 5.

Число 12 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 3, 8 и 4, 7 и 5, 6 и 6.

Число 13 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 4, 8 и 5, 7 и 6.

Число 14 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 5, 8 и 6, 7 и 7.

Число 15 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 6, 8 и 7.

Число 16 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 7, 8 и 8.

Число 17 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 8.

Число 18 состоит из суммы следующих чисел: 9 и 9.

Состав чисел до 20 1 класс таблица

Задание на состав чисел до 20: распределите числа правильно, чтобы получить сумму.

Составляем число 11 из чисел в таблице ниже.

□ + 3 = 11

□ + 9 = 11

□ + 8 = 11

4 + □ = 11

□ + 7 = 11

□ + 2 = 11

□ + 0 = 11

□ + 6 = 11

10 + □ = 11

□ + 1 = 11

□ + 5 = 11

Состав чисел до 20 тренажер

Составим число 12

и запишем верный ответ в пустые ячейки.

□ + 11 = 12

4 + □ = 12

□ + 6 = 12

10 + □ = 12

5 + □ = 12

□ + 3 = 12

□ + 7 = 12

1 + □ = 12

□ + 2 = 12

□ + 8 = 12

□ + 9 = 12

0 + □ = 12

Состав чисел до 20 таблица домики

Составляем число 13 и вписываем правильный ответ в домик.

□ + 8 = 13

□ + 4 = 13

3 + □ = 13

0 + □ = 13

□ + 2 = 13

10 + □ = 13

1 + □ = 13

7 + □ = 13

9 + □ = 13

□ + 11 = 13

5 + □ = 13

□ + 12 = 13

6 + □ = 13

Состав чисел до 20 таблица распечатать домики

Составляем число 14 из чисел и вписываем верный ответ в домик ниже.

□ + 8 = 14

1 + □ = 14

□ + 3 = 14

□ + 12 = 14

9 + □ = 14

□ + 2 = 14

5 + □ = 14

□ + 4 = 14

6 + □ = 14

□ + 13 = 14

□ + 10 = 14

11 + □ = 14

□ + 0 = 14

7 + □ = 14

Состав чисел от 11 до 20

Составим число 15 из подходящих чисел, верный ответ впишем в нужное место.

□ + 3 = 15

11 + □ = 15

□ + 10 = 15

4 + □ = 15

□ + 5 = 15

1 + □ = 15

□ + 2 = 15

8 + □ = 15

12 + □ = 15

14 + □ = 15

□ + 6 = 15

0 + □ = 15

13 + □ = 15

9 + □ = 15

7 + □ = 15

Состав чисел от 10 до 20

Состав числа 16 впишем в пустые клеточки.

□ + 0 = 16

□ + 7 = 16

□ + 2 = 16

□ + 3 = 16

15 + □ = 16

□ + 14 = 16

11 + □ = 16

1 + □ = 16

□ + 12 = 16

5 + □ = 16

13 + □ = 16

10 + □ = 16

□ + 8 = 16

4 + □ = 16

6 + □ = 16

□ + 9 = 16

Состав числа до 20 тренажер распечатать

Произведем расчет состава числа 17 в тенажер таблицу ниже.

□ + 1 = 17

8 + □ = 17

□ + 4 = 17

11 + □ = 17

3 + □ = 17

□ + 15 = 17

□ + 13 = 17

7 + □ = 17

16 + □ = 17

9 + □ = 17

□ + 12 = 17

2 + □ = 17

□ + 10 = 17

0 + □ = 17

6 + □ = 17

□ + 14 = 17

□ + 5 = 17

Состав числа до 20 домики тренажер

Состав числа до 18 сделаем через тренажер домик и заполним пустые ячейки.

□ + 13 = 18

□ + 16 = 18

5 + □ = 18

17 + □ = 18

□ + 14 = 18

□ + 8 = 18

□ + 3 = 18

10 + □ = 18

□ + 12 = 18

9 + □ = 18

1 + □ = 18

□ + 6 = 18

□ + 15 = 18

□ + 11 = 18

7 + □ = 18

0 + □ = 18

□ + 4 = 18

□ + 2 = 18

Состав чисел до 20 2 класс

Заполним таблицу состава числа 19 ниже.

14 + □ = 19

13 + □ = 19

□ + 10 = 19

0 + □ = 19

□ + 3 = 19

9 + □ = 19

7 + □ = 19

□ + 6 = 19

2 + □ = 19

5 + □ = 19

□ + 4 = 19

□ + 12 = 19

□ + 17 = 19

11 + □ = 19

□ + 16 = 19

8 + □ = 19

1 + □ = 19

□ + 18 = 19

□ + 15 = 19

Состав числа до 20 домики тренажер распечатать

Вставим в пустые ячейки правильное число, чтобы получить из этой суммы чисел состав числа 20.

□ + 2 = 20

□ + 6 = 20

□ + 9 = 20

0 + □ = 20

10 + □ = 20

□ + 11 = 20

□ + 12 = 20

□ + 3 = 20

□ + 7 = 20

13 + □ = 20

19 + □ = 20

□ + 14 = 20

5 + □ = 20

□ + 17 = 20

□ + 16 = 20

□ + 1 = 20

8 + □ = 20

□ + 15 = 20

□ + 18 = 20

□ + 4 = 20

Состав чисел от 1 до 20

Задания для изучения состава чисел до 20. Эти упражнения необходимо самим нарисовать и проделать задания вместе с ребенком. Создавая задания с нуля, вы заинтересуете ребенка изучением состава числа до 20 в игровой форме.

  • Разложи перед собой на столе 10 карандашей и добавь еще 1 карандаш. Сколько карандашей ты видишь перед собой?
  • Нарисуй 6 квадратов зеленого цвета и 6 квадратов синего цвета. Сколько квадратов получилось?
  • Убери в коробку 8 игрушек, а потом еще 5. Сколько всего игрушек убрали в коробку?

Математика состав чисел до 20

  • Построй башню из кубиков. Сначало поставь друг на друга 7 кубиков, а затем еще 7. Из скольки кубиков получилась башня.
  • Нарисуй облако, а затем 9 капелек дождя. Дождик стал идти сильнее и нужно нарисовать еще 6 капель. Сколько капель дождя ты нарисовал?
  • Сложи в тарелку 10 конфет, а потом добавь еще 6 конфет. Сосчитай, сколько теперь конфет лежит в тарелке?

Онлайн состав числа до 20

  • Нарисуй на листе бумаги 8 кругов сверху и 9 снизу. Сколько всего кругов ты нарисовал на бумаге?
  • Положи на стол слевой стороны 4 фломастера, а справой стороны 14 фломастеров. Сколько теперь фломастеров лежит на столе?
  • Возьми в руки 6 листов бумаги, а затем возьми еще 13 листов. Посчитай, сколько теперь листов бумаги ты держишь в руках?
  • Убери на книжную полку 10 книг и добавь к ним еще столько же. Сколько книг ты добавил на книжную полку?

Выучить состав числа до 20

Такие таблицы домики помогут выучить состав чисел до 20 через регулярную тренировку по таким тренажерам. Как только ребенок освоит и закрепит опрелеленный состав числа, только тогда можно приступать уже к изучению последующего состава чисел. Закрепление состава числа это важный этап формирования полученных знаний.

Картинка состав чисел до 20

Состав чисел до 20 домики

Состав числа от 11 до 20 распечатать

Для закрепления изученного материала по составу числа до 20 требуется ежедневная тренировка. В этом помогут материалы, которые можно всегда распечатать и приступить к повторению в удобное время.

Примеры состав числа до 20

Ниже представлены примеры состава числа до 20, которые помогут повторить полученные знания.

  • 6 + 12 =
  • 14 — 3 =
  • 4 + 15 =
  • 17 — 1 =
  • 16 + 1 =
  • 1 + 17 =
  • 3 + 11 =
  • 6 + 11 =
  • 0 + 12 =
  • 17 — 3 =
  • 14 + 5 =
  • 19 + 0 =
  • 14 + 1 =
  • 1 + 13 =
  • 16 — 5 =
  • 3 + 16 =

Состав чисел от 2 до 20

  • 12 +2 =
  • 15 — 4 =
  • 17 — 7 =
  • 20 — 0 =
  • 11 + 4 =
  • 4 + 13 =
  • 13 + 1 =
  • 16 — 6 =
  • 20 — 9 =
  • 14 — 4 =
  • 5 + 13 =
  • 0 + 15 =
  • 17 + 1 =
  • 13 — 2 =
  • 4 + 12 =
  • 0 + 14 =
  • 14 + 3 =
  • 13 + 3 =
  • 20 — 5 =
  • 16 — 4 =
  • 12 — 0 =
  • 4 + 11 =
  • 16 + 3 =
  • 13 + 6 =

Состав чисел до 20 домики в картинках

Таблицы "Состав числа". | Тренажёр (1 класс) на тему:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие по математике "Число 7. Цифра 7. Дополнение числа до любого заданного числа "

Занятие по математике в "Школе успеха" с будущими первоклассниками. В разделе "Презентации" мной представлена презентация к этому занятию....

Открытый урок по русскому языку 2 класс по теме: «Изменение имён прилагательных по числам. Зависимость формы числа имени прилагательного от формы числа имени существительного»

Тема: Изменение имён прилагательных по числам. Зависимость формы числа имени прилагательного от формы числа имени существительного.Педагогические цели: способствовать ознакомлению с единственным и мно...

Конспект урока математики "Умножение величины на число и числа на величину. Деление величины на число", 4 класс, ПНШ

Конспект урока по математике...

Конспект урока по математике "Деление на число 1.Деление числа на само себя. Деление числа 0 на натуральное число" 3 класс

Конспект урока по математике "Деление  на число 1.Деление числа на само себя. Деление числа 0  на натуральное число" 3 класс ПНШ...

Технологическая карта урока математики по теме: "Число 9. Получение числа 9 прибавлением 1 к предыдущему числу".

Цель урока: познакомить  с приёмом получения числа 9 путём прибавления 1 к предыдущему числу.Задачи урока:Образовательная: в ходе практической работы и наблюдений познакомить с образованием числа...

Урок математики в 3а классе на тему "Деление на число 1. Деление числа на само себя. Деление числа 0 на натуральное число."

Урок математики в 3а классе проведен по ОС "ГАРМОНИЯ". ЭТО УРОК ОТКРЫТИЯ НОВЫХ ЗНАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ УРОКА :1. Учить делить число на число 1. Делить число на само себя. Делить число 0 на нат...

Карточки для деления многозначных чисел на однозначное число (двузначное число и трехзначное число)

Карточки для автоматического подбора примеров на деление многозначных чисел на однозначное число (двузначное число и трехзначное число).Для того, чтобы примеры поменялись необходимо в любой ячейке (же...

Состав Числа Примеры Тренировки Хитрости в Мышлении

Для чего нужно знать состав числа?

Как упражнения по составу чисел могут помочь  вашему ребенку , Какая польза от знания состава числа.

Ответы на эти вопросы Вы можете  получить у нас на сайте.

С составом числом знакомиться уже начинают в детском саду, в старших группах есть занятия по подготовке детей к школе. Малышей учат считать и решать простенькие примеры и задачи.
А для этого детям дают задание запомнить состав числа.

В возрасте 6-7 лет ребенка знакомят с составом чисел от 0 до 10 . Изучение состава числа поможет будущему школьнику легко освоить сложение и вычитание.

К этому возрасту ребенок знает наизусть прямой счет до 10, обратный счет в пределах 10,  умеет пересчитывать и отсчитывать предметы, знает состав числа из единиц: понимает, что 3  – это 1 и 1 и 1. Все это говорит о том, что ваш ребенок готов к изучению состава чисел до 10 из двух меньших чисел.

Состав числа начинают изучать с опорой на наглядный материал.  С помощью карандашей, орехов, конфет покажите ребенку все варианты состава чисел в пределах десяти. Например,  число 6 –  это 0 и 6, 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 4 и 2, 5 и 1, 6 и 0. Одно занятие  посвящайте одному числу. Пусть ребенок вначале отсчитает нужное число предметов, а затем распределит их по группам, применяя различные комбинации. Результаты своих вычислений ребенок может записывать в виде примеров.  Не забывайте, что самый лучший тренажер и помощник, который всегда с собой – это пальцы ребенка. В первое время с помощью пальцев можно и нужно находить правильный ответ. Но результатом изучения состава числа должен стать счет в уме. Ребенок предстоит научиться отвечать на вопросы: 8  – это 3 и ? 5 это 2 и ?

Когда мы просто складываем разные числа, результат может получиться любой. Но когда мы выясняем состав какого-то числа, то как бы идём в обратном направлении — от результата, который известен заранее. Мы учим определённые пары слагаемых — у каждого числа они свои, — чтобы получался именно этот результат.

Помните

Знание состава числа — залог быстрого счета, устного и письменного. Если во время подготовки к школе состав числа до 10 не уложился у ребенка в голове, надо обязательно уделить этому время в первом классе, а потом не забывать о закреплении состава числа до 20 и далее — это сильно сократит время на вычисления.

Я предлагаю действовать в таком порядке.

  1. Объяснить наглядно, как при одной и той же сумме одно слагаемое может увеличиваться, а второе — уменьшаться. Очень удобно это делать на предметах, которых всегда фиксированное и привычное глазу количество: отлично подходят коробки из-под яиц (10), прозрачные упаковки печенья или конфет (обычно 6, 8, 12), строчки календаря (7), упаковки акварели, пластилина и т.п.
  2. Ребёнок обязательно должен записать в тетрадь (или на листочек) все возможные варианты состава числа, проговорить их вслух, найти и соединить примеры с одинаковыми слагаемыми (7+1 и 1+7, например) если он конечно может писать.
  3. Очень советую сделать для закрепления состава числа карточки вида
    7 + 1 = 8
    6 + 2 = 8
    5 + 3 = 8
    4 + 4 = 8

Отдельную карточку на каждый пример. Зачем? Карточки составом числа дают нам много возможностей для заучивания комбинаций.

Обзаведитесь карточками на состав числа. Их можно купить или сделать. Они бывают нескольких типов, и лучше, чтобы они были двух видов. Разрезная карточка состоит из двух половинок. На одной изображён 1 предмет, на другой — 1, 2, 3 и больше точно таких же предметов. Половинки могут быть соединены знаком «+», но «плюс» можно сделать и отдельно. Второй комплект представляет собой набор картинок, на которых изображены эти же предметы одним множеством, без всякого разделения. Когда ребёнок хорошо научится сопоставлять число и цифру, можно сделать такие же карточки с цифрами. Их может быть несколько комплектов, чтобы представлять каждое число в разных вариантах.

Проводите занятия регулярно. Покажите ребёнку карточку, на которой изображено, скажем, 5 предметов. Предложите подобрать картинки так, чтобы на всех вместе тоже было столько же яблок или кружочков. Периодически меняйтесь ролями. Пусть ребёнок тоже даёт вам задания, а вы его старательно выполняйте. Иногда делайте ошибки, ваш ученик должен научиться контролировать ваши действия.

Аналогичные задания поводите и с цифрами. Покажите, например, число 9 и точно так же, как в предыдущем случае, предложите найти несколько вариантов его состава. Объясните ребёнку, что чем больше число — тем больше возможностей его составить.

Например:

  • Раскладываем карточки по порядку.
  • Просим ребёнка все их назвать.
  • Переворачиваем, кладём карточки лицевой стороной вниз.
  • Просим ребёнка их припомнить.
  • Открываем, проверяем, хвалим!

Сделать столько раз, сколько понадобится, чтобы ребёнок назвал их все. Заниматься можно буквально по нескольку минут, между делом.

Поговорим о хитростях запоминания

Расскажите, что любое число всегда состоит из единицы и предыдущего числа. Таким образом, если нужно определить состав числа 8, у ребенка уже готов один ответ: 8 – это 1 и 7. Соответственно, чтобы определить, сколько будет 8 минус 1, нужно от 8 отчитать 1 в обратном порядке, то есть назвать предыдущее число.

Познакомьте ребенка также с отсчетом 2. Чтобы ответить на вопрос: 8 – это 2 и сколько?, нужно сначала отсчитать 1 в обратном порядке, а потом еще 1.

  Больше практикиЧтобы довести определение состава числа до автоматизма, решайте как можно больше примеров. Можно играть в игру: вы называете число, состав которого нужно определить, ребенок как можно быстрее показывает любое уместное количество пальцев, вы показываете оставшееся количество. Потом меняетесь ролями. Эта игра также тренирует навык сравнения, ведь если вы назовете 4, ребенку нельзя показать 5 и более пальцев.

Тренировка

А теперь будем тренировать запоминание. Точнее, припоминание. Теперь наши задания направлены на то, чтобы ребёнок припоминал нужные примеры.

Задание 1. Я делаю так — даю листок с примерами, где есть и те примеры, которые мы сейчас учим, и другие. Инструкция для ребёнка: «Найди все примеры, которые мы сейчас учили, и запиши правильный ответ. На другие примеры сейчас не обращай внимания».

(Некоторые прилежные дети начинают всё равно решать все примеры. Поэтому я стараюсь подбирать такие «ненужные» примеры, которые они должны были уже освоить.)

Самое главное — наблюдать за ребёнком в процесс работы: он припоминает примеры (те, которые мы сейчас заучиваем) или заново считает? Если считает — ничего не получилось! Либо ребёнок их ещё не запомнил (тогда надо вернуться к пункту 3), либо не понимает, чего мы сейчас от него хотим. Нам нужно именно это: найти знакомые примеры!

Задание надо выполнить хотя бы 3- раза (не сразу, с интервалами, в один день не более двух раз через промежуток времени).

Задание 2. Снова даём ребёнку листок с примерами, где есть и те, которые мы «учили», и на состав других чисел. И просто просим решать примеры. Не подсказываем, что некоторые примеры он уже «помнит».

Наблюдаем. Делаем выводы: если вспоминает «наши» примеры и сразу пишет в них ответы — ура, получилось! Если нет — возвращаемся к пункту 3.

Примеры с вычитанием

Теперь нас ждёт непростой момент — мы должны научить ребёнка решать примеры на вычитание, используя знание состава числа.

Если мы помогаем первокласснику, необходимо использовать математические термины: «Когда мы складываем два слагаемых, у нас получается сумма. Это примеры на сложение. А что такое пример на вычитание? Это когда мы знаем сумму и знаем одно слагаемое, а второе слагаемое не знаем. Как его найти? Для этого из суммы мы вычитаем известное слагаемое.

Но если ты помнишь состав числа, то неизвестное слагаемое ты можешь просто припомнить. Мы с тобой выучили состав числа 8. Ты помнишь все комбинации? Перечисли!»

Ребёнок отвечает:

7 + 1 = 8
6 + 2 = 8
5 + 3 = 8
4 + 4 = 8

«Молодец! А теперь давай будем менять числа местами! Наши примеры будут на вычитание, поэтому сумму 8 мы всегда будем ставить на первое место. Вычитать можно только из самого большого числа! Вычитать будем одно из слагаемых, а второе будет получаться в ответе. Давай попробуем: называй любой пример на сложение с ответом 8!»

5 + 3 = 8

«Сейчас мы с тобой будем „прятать“ одно слагаемое, делать его неизвестным. Что у нас получится:

8 — 5 = ?

Правильно, 3! Второе слагаемое!

Давай попробуем ещё раз:

6 + 2 = 8

А сколько будет:

8 — 6 = ?

Правильно, 2 — второе слагаемое!».

На этом этапе я даю детям вот такие примеры:

6 + 2 =
2 + 6 =
8 — 2 =
8 — 6 =

5 + 3 =
3 + 5 =
8 — 3 =
8 — 5 =

Такая последовательность примеров помогает ребёнку осознать связь сложения и вычитания. И опять же — всё направлено на запоминание. Когда мы решаем примеры на вычитание, можно посчитать, а можно припомнить. Припоминать — быстрее!

Момент связи сложения и вычитания очень важен для решения уравнений. Если ребёнок не улавливает эту связь, ему будет трудно решать уравнения.

Заполни пустые места или запоминанием состав числа

Скажем, 5 это 1 плюс 4, или 2 плюс 3, или 3 плюс 2, или 4 плюс 1.
Малыши заучивают это как стишок или скороговорку, зачастую просто не вникая или не понимая смысла.
Для того, чтобы состав чисел от 1 до 10 действительно отложился в детских головках, Ментальная Арифметика предлагает скачать карточки-задания на состав числа.
Для того, чтобы заполнить пустые места надо подумать. Раздумья ускоряют память детей и соответственно мысль.

Желаем Вам успехов в познании математических  цифр.

Авторская статья от Аллы Ромашкиной

Ваш сайт Ментальная Арифметика.

Состав числа

Состав числа

Состав числа 12 | Официальный сайт МОУ СОШ №14

Орг. момент

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

 

- Начнём урок с повторения. Сейчас мы с вами поиграем в игру “Хлопки”. Поставьте руки на стол и хлопните в ладоши один раз. Это будет однозначное число, а два раза – когда называется двузначное число.

 

 

- Итак, когда вы хлопаете один раз, а когда два?

Дети отвечают:

1 раз – однозначное число, 2 раза – двузначное число.

 

- Чем отличаются двузначные числа от однозначных? - Начнём игру. Числа: 2, 17, 18, 7, 11, 1, 20, 5, 19, 4, … Молодцы, все справились. - Посмотрите, на доске записаны выражения:

9 + 8       8 + 4

7 + 6        6 + 5

 

 

- Прочитайте выражение, найдите его значение. Итак, чему равно первое выражение? Как решали?

Аналогично решаются остальные выражения.

(9 + 1 + 7 = 17).

 

- Какие ответы у нас получились? - Назовите эти числа в порядке возрастания.

(17, 13, 12, 11 – записываются на доске)

 

- Чем они похожи?

(Все двузначные)

 

- Догадайтесь, по какому признаку число 17 может быть лишним среди остальных чисел?

(Оно больше остальных не на один)

 

- Каким числом можно заменить 17, чтобы не нарушить построения?

(14 или 10)

Игра

- Следующее задание - игра “Рассели жильцов”. Ребята, жильцами математического дома являются цифры и математические знаки. Какие математические знаки вы знаете? Нам нужно вставить в окошки недостающие знак или цифру.

  4 

 

  7 

  8

 

  8

  1 

  < 

 

 

  >

  5

 

  9

 

  8 

 

  = 

 

 

  > 

 

  4 

  > 

 

Дети выполняют задания, выходя к доске по одному.

 

- Следующее задание будет такое. У меня в руках две карточки с числами. На них написаны два числа, если их сложить, то получится число 11. Угадайте, какие числа записаны на карточках? Объясните. - Теперь проверим, я открываю карточки.

9 и 2, 8 и 3, 7 и 4 и т.д.

Постановка цели

- Сегодня на уроке мы познакомимся с составом числа 12.

 

Объяснение нового материала

Оформление тетрадей, страница учебника 123, № 128.

Работа в тетради, с учебником.

 

- Посмотрите внимательно на иллюстрацию и скажите, чем они все похожи? - Чем отличаются? На сколько кругов?

(Увеличиваются круги вне треугольника и в треугольнике)

 

- А теперь посмотрим на ряд выражений. Догадайтесь, какому рисунку соответствует каждое выражение?

Дети сопоставляют рисунки и выражения.

 

- Найдите первое выражение. Прочтите его (10+2).

Какой рисунок соответствует выражению? Почему?

10+2 (Первый)

 

- Чему равно значение выражения? На каком именно числовом луче отмечено это выражение? Объясните, что показано стрелкой.

(12)

 

- Рассмотри второе выражение (8+4). Какой рисунок ему соответствует? Докажите?

Чему равно выражение? Найдите луч, на котором отмечено этот выражение.

(8+4) (12)

 

Аналогично решаются остальные выражения 6+6, 7+5, 9+3. Выражения записываются на доске, а учащиеся записывают их в тетрадь.

 

 

- Чем похожи равенства?

(Одинаковый ответ)

 

- Что мы можем сказать обо всех равенствах?

(Они образуют числа 12)

 

- Все ли варианты состава числа 12 мы написали? (не все)

 

 

- Каких не хватает? (5+7, 4+8, 3+9, 2+10, 1+11) Давайте их тоже запишем в тетрадь.

(5+7, 4+8, 3+9, 2+10, 1+11)

 

- Вывод: Итак, ребята, 12 – это сумма чисел …

Дети заканчивают предложение.

Физминутка

- Вы хорошо поработали, а теперь давайте отдохнём. Слушайте меня внимательно и повторяйте за мной. Буратино потянулся,
Раз нагнулся, два нагнулся,
Руки в стороны развёл,
Видно, ключик не нашёл.
Чтобы ключик нам достать,
Надо на носочки встать. (повторяется 2 раза) - Продолжаем работу.

     

 

- Следующее задание – сравни числа:

10 и 13, 9 и 12

Вставьте в квадратики числа, чтобы получились верные неравенства:

1 > 9       2 > 1      

1 < 13    1 = 1

- Молодцы, вы хорошо справились.

 

Игра

- А сейчас я прочитаю загадку. Для того, чтобы её разгадать, необходимо выполнить определённое математическое действие. Итак, загадка-игра: Сам пустой, голос густой.
Дробь отбивает,
Ребят собирает. - Ответ зашифрован в этой табличке. Чтобы прочитать зашифрованное слово, надо записать числа по порядку (начиная с меньшего) и заменить каждое число буквой из списка. (Ученики пишут на доске) Числа: 15, 19, 16, 18, 13, 17, 14 Таблица: 13-б, 17-б, 15-р, 19-н, 14-а, 16-а, 18-а. (Получится слово “барабан”) - Молодцы, вы угадали всё верно.

Дети собирают карточки в группах. (Получится слово “барабан”)

Подведение итогов урока

- Какая сегодня была тема урока? Соревнование: Кто назовёт больше вариантов состава числа 12? - Урок окончен.

 

Таблица состава чисел до 10

Состав чисел от 1 до 10 начинаем изучать еще в курсе предшкольной подготовки. Без знания понятия  число невозможно дальнейшее обучение математике. Таблица состава чисел до 10 помогает детям быстро и успешно запомнить компоненты чисел.

На таблице помещен ряд чисел от 1 до 10 с конкретным образом каждого числа. Используя эту таблицу, детям можно наглядно объяснить, что такое число. Глядя на таблицу, дети легко запоминают состав чисел.

Сначала нужно проработать первую пятерку чисел.  Числа 1, 2, 3, 4, 5 изображены кружками красного цвета.  Задаем вопрос: сколько надо добавить к трем, чтобы получилось пять? 3+?=5   Ребенок смотрит на вертикальную полоску с тремя красными кружками и видит, что до пяти нужно добавить два белых кружка. Таким образом ему легко запомнить состав чисел от 2 до 5.

Дальше переходим к верхней части таблицы и узнаем, какие числа больше пяти. Верхние  кружки уже другого цвета. Работая с опорой на эту таблицу, дети запоминают, что 6=5+1,   7=5+2,  8=5+3  и так далее. По этой таблице даются все сведения о цифрах, числах и натуральном ряде чисел.

Первое время дети при ответах всегда опираются на эту таблицу. Бояться этого не следует. Постепенно по мере запоминания состава чисел,  ребенок будет заглядывать в нее все реже и реже. Но некоторым детям необходим конкретный образ числа и натуральной последовательности чисел. Им можно пользоваться этой таблицей так долго, как это будет необходимо.

Самое главное, чтобы ребенок выполнял задания самостоятельно. Правильно выполненное  без посторонней помощи задание всегда приносит ему чувство удовлетворения и радости, которое мы должны всемерно поддерживать.

Для закрепления состава чисел можно использовать веселую таблицу, в которой компоненты представлены ежиками, котиками, собачками и другими зверьками. Это забавно, но не менее полезно, чем простая таблица.

Кроме этой таблицы, есть много игровых упражнений, которые помогут вашему ребенку запомнить состав чисел до 10 и освоить эту важнейшую  математическую тему.

Таблица сложения числа 3. Состав числа.

Математика урок №2 (3 четверть) дата: 10.01.15

Тема: Таблица сложения числа 3. Состав числа.

Цель: Составить таблицу прибавления и вычитания числа 3; продолжить работу по формированию умения решать задачи.

Задачи: Учить таблицу сложения и вычитания числа 3; развивать внимание, логическое мышление, смекалку; воспитывать умение слушать, усидчивость

Оборудование: Линейки – трафареты с геометрическими фигурами (у каждого ученика).

Листы бумаги (на каждую парту)

Ход урока:

1.Орг момент

- Тут затеи и задачи

Игры, шутки – всё для вас.

- Я желаю вам удачи

За работу, в добрый час.

2. Устный счёт.

1) Начнём урок с разминки: - Назовите третий день недели.

- Сколько хвостов у трёх котов?

- Что лишнее: треугольник, квадрат, число?

2) Повторим состав чисел 7,8,5,4.(ученики работают у доски).

Взаимопроверка.

Ответ ученика: Я написала состав числа 7. 7 это 4 да 3, …

3) Найдите закономерность и продолжите ряд чисел.

10,7,4,…

- Какое число надо записать?

- Как изменяются числа?

- В каком порядке записаны числа?

(в обратном порядке; в порядке уменьшения; в порядке убывания)

3. Сообщение темы и цели урока.

На доске висят таблицы сложения и вычитания чисел 1,2.

- Что это за столбики примеров?

- Как вы думаете, какой будет следующий столбик?

- Какая тема будет сегодня на уроке?

- Какую задачу поставим перед собой? Выберите нужное слово и продолжите фразу:

Составить… Познакомиться…

(Составить таблицу сложения и вычитания числа 3)

3.Работа над новым материалом. Составление таблицы.

- Как же составить эту таблицу? Какую закономерность использовать? Внимательно посмотрите на таблицы. С какого числа начнём? (ученики выходят к доске и по очереди записывают примеры на сложение и вычитание)

1+3=4 значит 4-3=1

2+3=5 5-3=2

… …

7+3=10 10-3=7

- Что мы составили?

- Давайте посмотрим: как в учебнике. С.112 №2 Правильно мы составили или нет?

4. Физкультминутка. – А теперь, ребята встали,

быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад.

Повернулись вправо, влево.

Тихо сели, вновь за дело.

Порешаем мы задачу, я желаю вам удачи!

5. Закрепление изученного.

1)Решение задач. С.114 № 2

- Прочитайте задачу № 2.

- Что известно в задаче?

- Что надо узнать?

- Каким способом вы хотите решить задачу? (рисунок, чертёж, краткая запись, предметные картинки). 4 ученика выходят к доске и выполняют задание каждый своим способом, объясняют решение. За правильное решение получают рыбку из бумаги.

2) физминутка.« Самолёт»

Руки ставим все взразлет –

Появился самолёт.

Мах крылом туда – сюда,

Делай «раз» и делай «два».

Раз и два, раз и два!

Руки в стороны держите,

Друг на друга посмотрите,

Раз и два, раз и два!

Опустили руки вниз,

И на место все садись!

3) Работа в парах.

-Сделать рисунки с помощью геометрических фигур.

Работу выполняют на большом листе бумаги. У каждой пары свои фигуры: 1 пара - ○, 2 пара - □, 3 пара - , и т.д.

Каждая пара рассказывает: - Какое было задание? Что нарисовали?

Остальные пары оценивают их работу.

4)решение примеров по вариантам. с. 114 №4

У доски 2 ученика:

10 – 3= 2 + 7 =

9 – 3= 3 + 7 =

7 – 7 = 8 – 2=

1 + 7 = 0 + 3=

5) математические гонки: с.115 №6 устно.

6. Подведение итогов урока.

- Мы поставили перед собой задачу: составить таблицы сложения и вычитания числа 3.

Справились ли с этой задачей?

- Трудно или легко вам было на уроке?

- Какое задание вам больше всего понравилось?

- Вы хорошо потрудились. Радовали своими ответами. Очень приятно учить таких умных детей.

7. Д.з.- с.114 №3

Состав чисел второго десятка (по системе Занкова с учетом требований новых ФГОС НОО)

Цели:

  • закрепить знания о единицах и десятков;
  • закрепить знания об образовании чисел второго десятка.

Основное содержание темы, термины понятия

Содержание темы предполагает:

  • формирование умений образовывать числа второго десятка;
  • формирования умения решать задачу;
  • использование знаний состава чисел второго десятка для выполнения вычитания.

Планируемые результаты

Личностные

  • Понимание взаимосвязи человеческой деятельности и природного мира.
  • Проявление творческого отношения к процессу обучения.
  • Проявление эмоционального-ценностного отношения к учебной проблеме.
  • Формировать познавательных навыков.
  • Формирование опыта работы с учебником (умение ориентироваться в расположении учебного материала по уроку).
  • Выделение отдельных элементов многоугольника: углов и сторон.

Метапредметные:

Познавательные умения

  • Перерабатывать полученную информацию, преобразовывать информацию из одной формы в другую;
  • Обобщать полученную информацию;
  • Давать оценку своим действиям, оценивать результат;
  • Находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;
  • Понимать информацию в знаково- символической форме в простейших случаях, под руководством учителя кодировать информацию.

Коммуникативные умения

  • Понимать задаваемые вопросы;
  • Принимать участие в работе парами и группами;
  • Оформлять свою мысль в устной речи, высказывать свою точку зрения, формулировать высказывание;
  • Сотрудничать, договариваться о последовательности и результате, учиться доносить до других свой результат и процесс работы, слушать мнения других;
  • Активно использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции.

Регулятивные умения

  • Работать по предложенному учителем плану, проговаривать последовательность действий на уроке;
  • Формулировать вопрос (проблему, затруднение) с которым столкнулись учащиеся. Оценивать сложившуюся ситуацию;
  • Адекватно воспринимать оценку своей работы учителями.

Возможные виды деятельности учащихся:

  • Анализировать и представлять данные в виде таблицы. Дополнять таблицу числовыми данными (выявлять состав числа). Выполнять вычитание на основе взаимосвязи сложения и вычитания.
  • Составлять задачи по схеме.
  • Устанавливать соотношения между отрезками на чертеже как части и целого.
  • Проводить анализ учебной ситуации (выделять признаки у данных в задании фигур).
  • Осуществлять построение цепочки суждений. Формулировать логический вывод.
  • Проводить неявное сравнение выражений

Организация образовательного пространства

Оборудование:

  • Рабочая тетрадь.
  • И.И. Аргинская Математика. 1 класс Учебник.- М.; Издательство «Фёдоров», 2012.

Метапредметные связи.

  • Математика
  • Информатика
  • Литературное чтение.

Ресурсы

  • Персональный компьютер для каждого ученика
  • Мультимедийный проектор
  • Программа «Перволого»

Ход урока

I. Орг. Момент. Тема урока.

Учитель:

Сегодня на уроке мы с вами будем:

  • Считать
  • Решать задачу
  • Работать с геометрическим материалом
  • Решать логическую задачу
  • Работать с отрезками.

II. Устный счет.

Учитель: Посмотрите на числа. Назовите лишнее. Почему?

12, 14, 17, 6, 13, 16, 15

Дети: Лишнее число 6 т.к. – это однозначное число. Все числа двухзначные.

Учитель: Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке?

Дети: Наверно двузначные числа.

Учитель: Давайте проверим. Чтобы узнать с чего мы начнем, нужно выполнить задание на компьютере.

Задание. Выберите геометрическую фигуру, не треугольник, не геометрическую фигуру желтого цвета

Учитель: Что вы выбрали?

Дети: Зеленый квадрат

Учитель. Нажмите по строке в нижнем правом углу.

Появляется строчка на компьютере. Устный счет

Учитель: Ответ запишите в тетрадь в строчку.

  • Назовите число, в котором 1 д. 3 ед., 1 д. 4 ед.
  • Какие числа следуют при счете за числом 11?
  • Какие числа предшествуют 20, 17?
  • Какое число расположено между числами 10 и 12, 17 и 19?
  • Сколько см в 1 дм, 5 см?
  • Первое слагаемое 8, второе слагаемое на 9 больше. Найди второе слагаемое.
  • Расположи числа в порядке убывания.

Рефлексия. Какие задания вам показались трудными.

Ответы детей.

III. Новая тема.

Учитель: Следующее задание, узнаем пройдя по стрелке. Что видите?

Дети: Здесь записано выражение.

6-1+2+3=

9 11 10

Дети: Мы можем посчитать.

Учитель: Решите данное выражение, выбрав правильный ответ. Что вы можете сказать об этом числе? Пройдите по стрелке.

Учитель: Нажмите на стрелочку расположенную в правом нижнем углу. Составьте суммы по данным таблицы и найдите их значение.

Используя полученные равенства, найди значения выражений.

  • 12-10;
  • 14-4;
  • 17-10;
  • 19-9;
  • 11-1-5;
  • 15-10+4.

Дети: Значение первого выражения равно 2 т.к. 12 это сумма 10 и 2

Учитель: Решите выражение (с/р) Выбрав ответ

Учитель: Составьте всевозможные равенства с числами 14, 4, 10

Дети: Сумма 4 и 10 равна 14.

Используем переместительный закон умножения. 10+4 =14

Уменьшаемое 14 вычитаемое 4 разность равна 10.

Уменьшаемое 14 вычитаемое 10 Разность равна4.

Учитель: С/р. Составьте всевозможные равенства с числами 16, 10,

Рефлексия. Какие задания вам показались трудными.

IV. Работа с геометрическим материалом.

Дан треугольник, четырехугольник, шестиугольник.

Учитель: Как называется эти фигуры? Как еще можно назвать первую фигуру?

Что можете сказать о многоугольнике?

Учитель: У него углы, вершины.

Учитель: Сколько сторон у треугольника? Сколько вершин?

Учитель: Сколько сторон и вершин у четырехугольника.

Учитель: Как можно назвать остальные фигуры?

Учитель: Расположите фигуры так, чтобы

V. Задача.

Учитель:

Учитель: Составьте задачу.

Дети: На тарелке лежали 9 овощей. Несколько помидоров и 4 огурца. Сколько было помидоров?

Учитель: Почему данный математический рассказ является задачей.

Дети: Этот рассказ состоит из условия. т.е данных. И Вопроса т.е. искомых данных.

Учитель: Прочитайте условие задачи.

На тарелке лежало 9 овощей. Несколько помидоров и 4 огурца.

Учитель: Какие данные нам известны?

Всего 9 овощей. Из них 4 помидора.

Учитель: Назовите искомые данные? Сколько было помидоров.

Дети: Это задача простая. Чтобы найти сколько помидоров нужно и9 вычесть 4 получилось 5 помидоров. Чтобы записать ответ нужно прочитать вопрос. Сколько было помидоров на тарелке? Вместо слова, сколько, ставлю число 9. Ответ. 9 помидоров было на тарелке.

VI. Решение логической задачи.

Учитель: Чтобы решить эту задачу. Нужно нажать на микрофон. (Ира, Коля и Саша написали по одному неравенству. Ира и Коля написали неравенство с одинаковым знаком сравнения. Ира написала верное неравенство, Коля неверное неравенство.)

Какое неравенство решил Коля? Саша? Ира? (Передвигая выражения к фигуркам учеников)

Дети: Ира записала неравенство 14>13, Саша записал 12<15, Коля 17>19.

VII. Итоги урока.

Учитель: Что нового узнали на уроке?

Что больше всего понравилось?

Что вызвало трудности?

Если вам было трудно на уроке поднимите красный круг, если все было понятно – зеленый круг, если возникли трудности – желтый.

Оцените набор функций

Результаты обучения

  • Оцените композицию функций с помощью таблицы.
  • Оцените композицию функций с помощью уравнения.

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене. Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул.В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.

Оценка составных функций с помощью таблиц

При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу. Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции как вход для внешней функции.

Пример: использование таблицы для вычисления составной функции

Используя приведенную ниже таблицу, оцените [латекс] f \ left (g \ left (3 \ right) \ right) [/ latex] и [latex] g \ left (f \ left (3 \ right) \ right) [/ латекс].

[латекс] x [/ латекс] [латекс] f \ влево (x \ вправо) [/ латекс] [латекс] г \ левый (х \ правый) [/ латекс]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7
Показать решение

Чтобы оценить [латекс] f \ left (g \ left (3 \ right) \ right) [/ latex], мы начинаем изнутри с входным значением 3.Затем мы оцениваем внутреннее выражение [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex], используя таблицу, которая определяет функцию [latex] g: [/ latex] [latex] g \ left (3 \ right) = 2 [/латекс]. Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции [latex] f [/ latex], поэтому [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] заменяется на 2, и мы получаем [latex] f \ left (2 \ справа) [/ латекс]. Затем, используя таблицу, определяющую функцию [latex] f [/ latex], мы находим, что [latex] f \ left (2 \ right) = 8 [/ latex].

[латекс] \ begin {align} & g \ left (3 \ right) = 2 \\ [1.5 мм] & f \ left (g \ left (3 \ right) \ right) = f \ left (2 \ right) = 8 \ end {align} [/ latex]

Чтобы оценить [latex] g \ left (f \ left (3 \ right) \ right) [/ latex], мы сначала оцениваем внутреннее выражение [latex] f \ left (3 \ right) [/ latex], используя первое таблица: [латекс] f \ left (3 \ right) = 3 [/ latex]. Затем, используя таблицу [латекс] г [/ латекс], мы можем оценить

[латекс] г \ влево (е \ влево (3 \ вправо) \ вправо) = г \ влево (3 \ вправо) = 2 [/ латекс]

В таблице ниже представлены составные функции [latex] f \ circ g [/ latex] и [latex] g \ circ f [/ latex] в виде таблиц.

[латекс] x [/ латекс] [латекс] г \ левый (х \ правый) [/ латекс] [латекс] f \ left (g \ left (x \ right) \ right) [/ латекс] [латекс] f \ влево (x \ вправо) [/ латекс] [латекс] g \ left (f \ left (x \ right) \ right) [/ латекс]
3 2 8 3 2

Попробуйте

Используя приведенную ниже таблицу, оцените [латекс] f \ left (g \ left (1 \ right) \ right) [/ latex] и [latex] g \ left (f \ left (4 \ right) \ right) [/ латекс].

[латекс] x [/ латекс] [латекс] f \ влево (x \ вправо) [/ латекс] [латекс] г \ левый (х \ правый) [/ латекс]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7
Показать решение

[латекс] f \ left (g \ left (1 \ right) \ right) = f \ left (3 \ right) = 3 [/ латекс] и [латекс] g \ left (f \ left (4 \ right) \ right) = g \ left (1 \ right) = 3 [/ латекс]

Оценка составных функций с помощью графиков

Когда нам даются отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц.Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз с осей [latex] x \ text {-} [/ latex] и [latex] y \ text {-} [/ latex] графиков.

Практическое руководство. Имея составную функцию и графики отдельных функций, оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.


  1. Найдите данный вход внутренней функции на оси [latex] x \ text {-} [/ latex] ее графика.
  2. Считайте вывод внутренней функции с оси [latex] y \ text {-} [/ latex] ее графика.
  3. Найдите выход внутренней функции на оси [latex] x \ text {-} [/ latex] графика внешней функции.
  4. Считайте вывод внешней функции по оси [latex] y \ text {-} [/ latex] на ее графике. Это результат составной функции.

Пример: использование графика для вычисления составной функции

Используя графики ниже, оцените [латекс] f \ left (g \ left (1 \ right) \ right) [/ latex].

Показать решение

Чтобы оценить [латекс] f \ left (g \ left (1 \ right) \ right) [/ latex], мы начинаем с внутренней оценки.

Мы оцениваем [latex] g \ left (1 \ right) [/ latex], используя график [latex] g \ left (x \ right) [/ latex], находя вход 1 на [latex] x \ ось текста {-} [/ latex] и нахождение выходного значения графика на этом входе. Здесь [латекс] g \ left (1 \ right) = 3 [/ latex]. Мы используем это значение в качестве входных данных для функции [latex] f [/ latex].

[латекс] е \ влево (г \ влево (1 \ вправо) \ вправо) = е \ влево (3 \ вправо) [/ латекс]

Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график [latex] f \ left (x \ right) [/ latex], найдя вход 3 на [latex] x \ text {-} [/ latex] ось и считывание выходного значения графика на этом входе.Здесь [латекс] f \ left (3 \ right) = 6 [/ latex], поэтому [latex] f \ left (g \ left (1 \ right) \ right) = 6 [/ latex].

Анализ решения

На рисунке показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.

Попробуйте

Используя графики ниже, оцените [латекс] g \ left (f \ left (2 \ right) \ right) [/ latex]. {2} -t [/ latex], мы подставляем значение внутри круглых скобок в формулу везде, где видим ввод Переменная.{2} - {t} [/ latex] и [latex] h \ left (x \ right) = 3x + 2 [/ latex], оценить [latex] f \ left (h \ left (1 \ right) \ right) )[/латекс].

Показать решение

Поскольку внутреннее выражение - [latex] h \ left (1 \ right) [/ latex], мы начинаем с вычисления [latex] h \ left (x \ right) [/ latex] на 1.

[латекс] \ begin {align} h \ left (1 \ right) & = 3 \ left (1 \ right) +2 \\ [2 мм] h \ left (1 \ right) & = 5 \ end {align} [/ латекс]

Тогда [латекс] f \ left (h \ left (1 \ right) \ right) = f \ left (5 \ right) [/ latex], поэтому мы оцениваем [латекс] f \ left (t \ right) [/ латекс] на входе 5.{2} -t [/ latex] и [latex] h \ left (x \ right) = 3x + 2 [/ latex], оценка

A) [латекс] h \ left (f \ left (2 \ right) \ right) [/ латекс]

B) [латекс] h \ left (f \ left (-2 \ right) \ right) [/ латекс]

Показать решение

А.8; Б. 20

Вы можете проверить свою работу с помощью онлайн-графического инструмента. Введите указанные выше функции в Desmos, как они определены. В следующей строке введите [латекс] h \ left (f \ left (2 \ right) \ right) [/ latex]. Вы должны увидеть [latex] = 8 [/ latex] в правом нижнем углу.

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

3.5: Состав функций - математика LibreTexts

Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.

Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции. Функция \ (C (T) \) дает стоимость \ (C \) отопления дома для данной средней дневной температуры в \ (T \) градусах Цельсия. Функция \ (T (d) \) дает среднюю дневную температуру в день d года. Для любого дня \ (Cost = C (T (d)) \) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня в году. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре \ (T (d) \). Например, мы могли бы вычислить \ (T (5) \), чтобы определить среднесуточную температуру на 5-й день года.Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали \ (C (T (5)) \).

Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой и посвящен этот раздел.

Объединение функций с помощью алгебраических операций

Композиция функций - это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ - выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как выход нашей новой функции.

Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, которые представляют отдельные годовые доходы мужа и жены за период лет, в результате чего получится их общий семейный доход. Мы хотим делать это для каждого года, добавляя только доходы за этот год, а затем собирая все данные в новом столбце. Если \ (w (y) \) - доход жены, а \ (h (y) \) - доход мужа в году \ (y \), и мы хотим, чтобы \ (T \) представлял общий доход, тогда мы может определить новую функцию.

\ [T (y) = h (y) + w (y) \ nonumber \]

Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать

\ [T = h + w \ nonumber \]

Так же, как и для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одинаковые типы входов (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходов (которые должны быть числа, так что обычные операции алгебры могут применяться к ним, и которые также должны иметь те же единицы или не иметь единиц, когда мы складываем и вычитаем). 2 \)

Нет, функции не те.

Создание функции путем композиции функций

Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции, составляя функции. Когда мы хотели вычислить стоимость отопления для одного дня в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных. Процесс комбинирования функций таким образом, что вывод одной функции становится вводом другой, известен как композиция функций .Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:

\ [f {\ circ} g (x) = f (g (x)) \]

Мы читаем левую часть как «\ (f \), составленную из \ (g \) в \ (x \)», а правую часть как «\ (f \) из \ (g \) из \ (x \) ». Две стороны уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны. Символ открытого круга \ (\ circ \) называется оператором композиции. Мы используем этот оператор в основном, когда хотим подчеркнуть взаимосвязь между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению.Композиция - это бинарная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы узнали выше, в большинстве случаев \ (f (g (x)) {\ neq} f (x) g (x) \).

Также важно понимать порядок операций при оценке составной функции. Мы следуем обычному соглашению с круглыми скобками, начиная сначала с самых внутренних скобок, а затем перейдя к внешним.В приведенном выше уравнении функция \ (g \) сначала принимает вход \ (x \) и дает выход \ (g (x) \). Тогда функция \ (f \) принимает \ (g (x) \) в качестве входных данных и дает выход \ (f (g (x)) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Объяснение составной функции.

В общем, \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) - разные функции. 2 + 2 \ end {align *} \]

Эти выражения не равны для всех значений x, поэтому две функции не равны.Неважно, что выражения совпадают для единственного входного значения \ (x = - \ frac {1} {2} \).

Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первой оцениваемой функции) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

Состав функций

Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любого ввода \ (x \) и функций \ (f \) и \ (g \) это действие определяет составную функцию , которую мы записываем как \ (f {\ circ} g \), такую, что

\ [(f {\ circ} g) (x) = f (g (x)) \]

Область определения составной функции \ (f {\ circ} g \) - это все \ (x \) такие, что \ (x \) находится в области значений \ (g \) и \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

Важно понимать, что произведение функций \ (fg \) не то же самое, что композиция функций \ (f (g (x)) \), потому что, как правило, \ (f (x) g (x ) {\ neq} f (g (x)) \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, является ли композиция функций коммутативной

Используя предоставленные функции, найдите \ (f (g (x)) \) и \ (g (f (x)) \). Определите, является ли состав функций коммутативным .

\ [f (x) = 2x + 1 \; \; \; \; g (x) = 3 − x \ nonumber \]

Решение

Начнем с замены \ (g (x) \) на \ (f (x) \).

\ [\ begin {align *} f (g (x)) & = 2 (3 − x) +1 \\ [4pt] & = 6−2x + 1 \\ [4pt] & = 7−2x \ end {align *} \]

Теперь мы можем заменить \ (f (x) \) на \ (g (x) \).

\ [\ begin {align *} g (f (x)) & = 3− (2x + 1) \\ [4pt] & = 3−2x − 1 \\ [4pt] & = 2-2x \ end { выровнять *} \]

Мы находим, что \ (g (f (x)) {\ neq} f (g (x)) \), поэтому операция композиции функций не коммутативна.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): интерпретация составных функций

Функция \ (c (s) \) дает количество сожженных калорий при выполнении \ (s \) приседаний, а \ (s (t) \) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за \ ( t \) минут. Интерпретируйте \ (c (s (3)) \).

Решение

Внутреннее выражение в композиции - \ (s (3) \). Поскольку входными данными для функции \ (s \) является время, \ (t = 3 \) представляет 3 минуты, а \ (s (3) \) - количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

Использование \ (s (3) \) в качестве входных данных для функции \ (c (s) \) дает нам количество калорий, сожженных за количество приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто число калорий, сожженных за 3 минуты (делая приседания).

Пример \ (\ PageIndex {4} \): Исследование порядка функциональной композиции

Предположим, что \ (f (x) \) дает мили, которые можно проехать за \ (x \) часов, а \ (g (y) \) дает галлоны бензина, использованные для движения \ (y \) миль.Какое из этих выражений имеет смысл: \ (f (g (y)) \) или \ (g (f (x)) \)?

Решение

Функция \ (y = f (x) \) - это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству пройденных часов.

\ [\ text {количество миль} = f (\ text {количество часов}) \ nonumber \]

Функция \ (g (y) \) - это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:

\ [\ text {количество галлонов} = g (\ text {количество миль}) \ nonumber \]

Выражение \ (g (y) \) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных.Функция \ (f (x) \) требует ввода количества часов. Пытаться ввести количество галлонов не имеет смысла. Выражение \ (f (g (y)) \) бессмысленно.

Выражение \ (f (x) \) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция \ (g (y) \) требует ввода количества миль. Использование \ (f (x) \) (пройденные мили) в качестве входного значения для \ (g (y) \), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение \ (g (f (x)) \) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, \ (g \), проехав определенное количество миль, \ (f (x) \), в \ (x \) часов.

Вопрос / ответ

Существуют ли ситуации, когда \ (f (g (y)) \) и \ (g (f (x)) \) были бы значимыми или полезными выражениями?

Да. Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они создают разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы измерения, также могут давать композиции, которые имеют смысл в любом порядке

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Гравитационная сила на планете на расстоянии \ (r \) от Солнца задается функцией \ (G (r) \).Ускорение планеты, подверженной действию любой силы \ (F \), задается функцией \ (a (F) \). Составьте осмысленную композицию из этих двух функций и объясните, что это означает.

Ответ

Гравитационная сила по-прежнему является силой, поэтому \ (a (G (r)) \) имеет смысл как ускорение планеты на расстоянии \ (r \) от Солнца (из-за силы тяжести), но \ (G (a (F)) \) не имеет смысла.

Оценка составных функций

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене.Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, выраженных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.

Оценка составных функций с помощью таблиц

При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу.Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции как вход для внешней функции.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Использование таблицы для вычисления составной функции

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (3)) \) и \ (g (f (3)) \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \)
\ (х \) \ (е (х) \) \ (г (х) \)
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

Решение

Чтобы оценить \ (f (g (3)) \), мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы вычисляем внутреннее выражение \ (g (3) \), используя таблицу, которая определяет функцию \ (g: g (3) = 2 \). Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции \ (f \), поэтому \ (g (3) \) заменяется на 2, и мы получаем \ (f (2) \). Затем, используя таблицу, определяющую функцию \ (f \), находим, что \ (f (2) = 8 \).

\ [г (3) = 2 \ nonumber \]

\ [f (g (3)) = f (2) = 8 \ nonumber \]

Чтобы оценить \ (g (f (3)) \), мы сначала вычисляем внутреннее выражение \ (f (3) \), используя первую таблицу: \ (f (3) = 3 \).Затем, используя таблицу для \ (g \), мы можем оценить

\ [g (f (3)) = g (3) = 2 \ nonumber \]

Таблица \ (\ PageIndex {2} \) показывает составные функции \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) в виде таблиц.

Таблица \ (\ PageIndex {2} \)
\ (х \) \ (г (х) \) \ (е (г (х)) \) \ (е (х) \) \ (г (ф (х)) \)
3 2 8 3 2

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (1)) \) и \ (g (f (4)) \).

Ответ

\ (f (g (1)) = f (3) = 3 \) и \ (g (f (4)) = g (1) = 3 \)

Оценка составных функций с помощью графиков

Когда нам даются отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц. Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз по осям x и y графиков.

Как ...

Для составной функции и графиков ее отдельных функций оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.

  1. Найдите входные данные внутренней функции на оси x ее графика.
  2. Считайте выходные данные внутренней функции по оси ординат ее графика.
  3. Найдите выход внутренней функции на оси x графика внешней функции.
  4. Считайте результат внешней функции по оси ординат ее графика. Это результат составной функции.

    Пример \ (\ PageIndex {6} \): Использование графика для вычисления составной функции

    Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), оцените \ (f (g (1)) \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): два графика положительной и отрицательной параболы.

    Решение

    Чтобы оценить \ (f (g (1)) \), мы начнем с внутренней оценки. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): два графика положительной параболы \ (g (x) \) и отрицательной параболы \ (f (x) \). Построены следующие точки: \ (g (1) = 3 \) и \ (f (3) = 6 \).

    Мы оцениваем \ (g (1) \), используя график \ (g (x) \), находя вход 1 на оси x и находя выходное значение графика на этом входе.Здесь \ (g (1) = 3 \). Мы используем это значение в качестве входных данных для функции \ (f \).

    \ [f (g (1)) = f (3) \ nonumber \]

    Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график \ (f (x) \), найдя вход 3 на оси x и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь \ (f (3) = 6 \), поэтому \ (f (g (1)) = 6 \).

    Анализ

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \) показывает, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): два графика положительной и отрицательной параболы.

    Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

    Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), вычислите \ (g (f (2)) \).

    Ответ

    \ (g (f (2)) = g (5) = 3 \)

    Вычисление составных функций с помощью формул

    При оценке составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным.2 − t \), мы подставляем значение внутри круглых скобок в формулу везде, где видим входную переменную.

    Как ...

    Определите формулу для составной функции.

    1. Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
    2. Используйте полученный результат как вход для внешней функции.

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): оценка композиции функций, выраженных в виде формул, с числовым вводом

      Учитывая \ (f (t) = t ^ 2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оцените \ (f (h (1)) \).2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оценить

      а. \ (h (f (2)) \)
      б. \ (h (f (−2)) \)

      Ответьте на

      8

      Ответ б

      20

      Нахождение области составной функции

      Как мы обсуждали ранее, область сложной функции , такой как \ (f {\ circ} g \), зависит от области определения \ (g \) и области определения \ (f \). Важно знать, когда мы можем применить составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения функции, такой как \ (f {\ circ} g \).Предположим, мы знаем области определения функций \ (f \) и \ (g \) по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа \ (x \) как \ (f (g (x)) \), мы сразу увидим, что \ (x \) должен быть членом области g, чтобы выражение должно иметь смысл, потому что в противном случае мы не сможем завершить оценку внутренней функции. Однако мы также видим, что \ (g (x) \) должен быть членом области \ (f \), иначе вторая оценка функции в \ (f (g (x)) \) не может быть завершена, и выражение все еще не определено.Таким образом, область \ (f {\ circ} g \) состоит только из тех входов в области \ (g \), которые производят выходы из \ (g \), принадлежащих области \ (f \). Обратите внимание, что область \ (f \), составленная из \ (g \), - это множество всех \ (x \) таких, что \ (x \) находится в области \ (g \) и g (x) \ ) находится в области \ (f \).

      Определение: область составной функции

      Область сложной функции \ (f (g (x)) \) - это набор тех входов \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

      Как ...

      Определите композицию функции \ (f (g (x)) \), в которой она находится.

      1. Найдите домен \ (g \).
      2. Найдите домен \ (f \).
      3. Найдите те входы \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \). То есть исключить те входы \ (x \) из области \ (g \), для которых \ (g (x) \) не находится в области \ (f \). Результирующий набор является областью \ (f {\ circ} g \).

        Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск домена составной функции

        Найдите домен

        \ [(f∘g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {5} {x − 1} \ text {и} g (x) = \ dfrac {4} {3x − 2 } \ nonumber \]

        Решение

        Область \ (g (x) \) состоит из всех действительных чисел, кроме \ (x = \ frac {2} {3} \), поскольку это входное значение заставит нас разделить на 0.Аналогично, область значений \ (f \) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Таким образом, нам нужно исключить из области определения \ (g (x) \) то значение \ (x \), для которого \ (g (x ) = 1 \).

        \ [\ begin {align *} \ dfrac {4} {3x-2} & = 1 \\ [4pt] 4 & = 3x-2 \\ [4pt] 6 & = 3x \\ [4pt] x & = 2 \ конец {выравнивание *} \]

        Итак, область определения \ (f {\ circ} g \) - это набор всех действительных чисел, кроме \ (\ frac {2} {3} \) и \ (2 \). Это означает, что

        \ [x {\ neq} \ dfrac {2} {3} \ text {или} x \ neq2 \ nonumber \]

        Мы можем записать это в обозначении интервалов как

        \ [\ left (- \ infty, \ dfrac {2} {3} \ right) \ cup \ left (\ dfrac {2} {3}, 2 \ right) \ cup \ left (2, \ infty \ right ) \ nonumber \]

        Пример \ (\ PageIndex {8B} \): поиск области составной функции, включающей радикалы

        Найдите домен

        \ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ sqrt {x + 2} \ text {и} g (x) = \ sqrt {3 − x} \ nonumber \]

        Решение

        Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область определения \ (g \) равна \ (\ left (- \ infty, 3 \ right] \).Теперь проверим область определения составной функции

        \ [(f {\ circ} g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2} \ nonumber \]

        Для \ ((f∘g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2}, \ sqrt {3 − x} + 2≥0, \), поскольку подкоренное выражение квадратного корня должно быть положительный. Поскольку квадратные корни положительны, \ (\ sqrt {3 − x} ≥0 \) или \ (3 − x≥0, \), что дает область значений \ ((- ∞, 3] \).

        Анализ

        Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезно при поиске области определения составной функции.Это также показывает, что область значений \ (f {\ circ} g \) может содержать значения, которые не находятся в области \ (f \), хотя они должны быть в области \ (g \).

        Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

        Найдите домен

        \ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {1} {x − 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {x + 4 } \ nonumber \]

        Ответ

        \ ([- 4,0) ∪ (0, ∞) \)

        Разложение составной функции на ее компоненты Функции

        В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию.2} \)

        \ (h (x) = \ dfrac {4} {3 − x} \)

        \ (f = h {\ circ} g \)

        Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в составных функциях.

        Решение задач алгебраических структур с помощью таблицы композиции

        Задача-1:
        Установите G = {1, ω, ω 2 }, т. Е. Три корня из единицы и образуют конечную абелеву группу относительно умножения, также докажите это. выписка по составной таблице.

        Объяснение:
        Дано, Set = G = {1, ω, ω 2 } , operation = ‘*’ т.е. умножение.

        Чтобы доказать, что три корня из единицы образуют конечную абелеву группу, мы должны удовлетворять следующим пяти свойствам, а именно: свойство замыкания, ассоциативное свойство, свойство идентичности, обратное свойство и коммутативное свойство.

        Примечание-: ω 3 = 1

        1) Свойство закрытия -


         ∀ a, b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
        a = 1, b = ω ∈ G
        ⇒ 1 * (ω) = ω = ω ∈ G 

        Следовательно, свойство замыкания выполняется.

        2) Ассоциативное свойство -

         (a * b) * c = a * (b * c) ∀ a, b, c ∈ G
        Пусть a = 1, b = ω и c = ω2
        Так,
        LHS = (a * b) * c
             = (1 * ω) * ω  2  = ω  3  = 1
           
        RHS = a * (b * c)
             = 1 * (ω * ω  2 ) = ω  3  = 1
        
        Следовательно, RHS = LHS 

        Ассоциативное свойство также удовлетворяется

        3) Свойство идентичности -

         a * e = a ∀ a ∈ G
        e = identity = 1 (в случае умножения)
        1 ∈ G
        Пусть a = 1
        1 * 1 = 1
        1 ∈ G
        Свойство идентичности тоже устраивает.

        4) Обратное свойство -

        Номер

        Обратное

        1



        1/1 = 1

        ω

        1 / ω = ω 2 / ω .ω 2 = ω 2

        ω 2

        1 / ω 2 = ω / ω 2 .ω = ω

        Здесь мы видим, что обратное значение 1 равно 1, обратное ω - ω2 и обратное ω2 - ω.Эти инверсии принадлежат множеству G.

        Итак, свойство Inverse также выполняется.

        5) Коммутативное свойство -

         a * b = b * a ∀ a, b ∈ G
        Пусть a = 1, b = ω
        LHS = а * б
             = 1 * ω = ω
        RHS = b * a
             = ω * 1 = ω
        LSH = RHS 

        Коммутативное свойство также удовлетворяется.

        Мы видим, что все пять объектов недвижимости устраивают. Следовательно, три корня из единицы образуют конечную абелеву группу с операционным умножением.


        Формирование таблицы композиции:

        Шаг 1:
        Запишите все элементы набора в строке и столбце и заданную операцию (*) в углу и умножьте элементы столбца на элемент строки по одному на один и напишите его в строке, как показано на рисунке ниже.

        Шаг 2:
        После умножения каждого элемента столбца на элементы строки наша составная таблица будет выглядеть, как показано на рисунке ниже:

        Шаг 3:
        Мы знаем, что

         ω  3  = 1 Итак, ω  4  = ω  3  .ω = 1.ω = ω 

        , поэтому наша таблица композиции становится

        Шаг 4:
        Нахождение инверсии элементов.


        Нарисуйте горизонтальную и вертикальную линии от элементов идентичности в каждой строке, вертикальная линия представляет собой инверсию элементов строки, мы можем ясно видеть, что обратное значение 1 равно 1, обратное значение ω - ω2 и обратное значение ω2 - ω.

        Шаг 5:
        Удовлетворяющие свойства абелевой группы из таблицы составов

        1. Мы видим, что в таблице составов все числа находятся в наборе G, следовательно, свойство замыкания выполнено.
        2. Мы видим, что все числа в таблице композиции принадлежат множеству G, следовательно, ассоциативное свойство выполняется.
        3. В таблице составов в каждой строке есть элемент идентичности 1, свойство идентичности выполнено.
        4. Мы видим, что 1, обратная 1, равна 1, обратная ω - ω 2 , а обратная ω - 2 - ω.Все принадлежит множеству G, следовательно, также выполняется обратное свойство.
        5. Все числа в таблице составов принадлежат набору G, свойство коммутативности также выполняется.

        Следовательно, G = {1, ω, ω 2 } является абелевой группой относительно умножения.

        Задача-2:
        Задайте G = {1, -1, i, -i}, т.е. четыре корня из единицы, и сформируйте конечную абелеву группу относительно умножения.

        Пояснение:
        Четыре корня из единицы: 1, -1, i, -i.Таким образом, наш набор будет G = {1, -1, i, -i}

        Operation = ‘*’ т.е. умножение.

        Чтобы доказать, что четыре корня из единицы образуют конечную абелеву группу, мы должны удовлетворить следующие пять свойств: свойство замыкания, ассоциативное свойство, свойство идентичности, обратное свойство и коммутативное свойство.

        1) Свойство замыкания -

         ∀ a, b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
        a = i, b = -i ∈ G
        ⇒ i * (-i) = -i  2  = - (-1)
           = 1 ∈ G 

        Следовательно, свойство замыкания выполняется.


        2) Ассоциативное свойство -

         (a * b) * c = a * (b * c) ∀ a, b, c ∈ G
        Пусть a = 1, b = -1 и c = i
        Итак, LHS = (a * b) * c
                   = (1 * (-1)) * я = -i
            RHS = a * (b * c)
                   = 1 * (-1 * я) = -i
        Следовательно, RHS = LHS 

        Ассоциативное свойство также удовлетворяется

        3) Свойство идентичности -

         a * e = a ∀ a ∈ G
        e = identity = 1 (в случае умножения)
        1 ∈ G
        1 * 1 = 1
        1 ∈ G 

        Свойство идентичности также выполняется.

        4) Обратное свойство -

         a * (1 / a) = 1 ∀ a ∈ G, 1 / a ∈ G 

        Номер

        Обратное

        1

        1/1 = 1

        -1

        1 / -1 = -1

        i

        1 / i = i / ii = i / i 2 = -i

        -i

        1 / -i = i / -i.i = i / -i 2 = i

        Здесь мы видим, что обратное значение 1 равно 1, обратное -1 равно 1, обратное значение i равно -i и обратное значение -i равно i. Эти инверсии принадлежат множеству G.

        Итак, свойство Inverse также выполняется.

        5) Коммутативное свойство -

         a * b = b * a ∀ a, b ∈ G
        Пусть a = 1, b = -1
        LHS = а * б
              = 1 * (-1) = -1
        RHS = b * a
              = 1 * (-1) = -1
        LSH = RHS 

        Коммутативное свойство также удовлетворяется.

        Мы видим, что все пять объектов недвижимости устраивают.Следовательно, четыре корня из единицы образуют конечную абелеву группу с операционным умножением.

        Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Практикуйте экзамен GATE задолго до самого экзамена с помощью предметных и общих викторин, доступных в курсе GATE Test Series Course .

        Изучите все концепции GATE CS с бесплатными живыми классами на нашем канале YouTube.


        Государственный партизанский состав

        Вы часто слышите фразы «разделенный контроль» или «разделенное правительство».Эти условия относятся к партийному контролю законодательных собраний штата или правительства штата, который может меняться с каждыми выборами.

        Текущий и исторический партийный контроль над законодательными собраниями и правительством штата можно найти ниже.

        Для согласованности исторические диаграммы показывают партийный контроль по состоянию на января года каждого года. (Если вы ищете текущий состав партии, смотрите здесь).

        Текущий состав

        По состоянию на 1 мая 2021 г. верна следующая информация:

        Законодатели: Всего в штатах 7 383 места в законодательных органах.

        Контроль над палатами : Хотя всего в штатах 99 палат, потому что Небраска однопалатная, мы не включаем законодательный орган Небраски в эту таблицу, потому что члены избираются на беспартийной основе. Таким образом, это партизанский контроль в 98 камерах.

        Законодательный контроль : Когда одна и та же партия владеет обеими палатами, эта партия имеет законодательный контроль. Когда камеры занимают разные партии, они делятся. Небраска не входит.

        Государственный контроль: Когда одна и та же партия занимает и законодательные палаты, и губернаторство, эта партия имеет государственный контроль. Когда любой из этих трех пунктов власти принадлежит другой стороне, государственный контроль разделяется. Это основано на количестве членов каждой партии и не учитывает коалиции, которые могут изменить эффективный контроль. Небраска не входит.

        Текущий состав
        республиканцев Демократы Другое

        Законодатели (всего 7 383)

        3 977/54% 3 305/45% 101 (Независимый, Другой или Свободный)
        Камеры (всего 98) 61/62% 37/37%
        Законодательные органы (всего 49) 30/61% 18/38% 1 разделенный законодательный орган
        Государственный контроль (всего 49) 23/46% 15/31% 11 разделенных состояний

        Закон о составе - обзор

        Краткий обзор групп

        Определение : Группа G представляет собой набор из N элементов g i с законом состава («умножение» gi∘gj ) любых двух элементов g i и gj∈По следующим четырем групповым аксиомам:

        1.

        «Произведение» любых двух элементов группы g i и gj∈G снова является элементом группы: (gi∘gj) = gk∈G (аксиома замыкания).

        2.

        Всегда существует нейтральный элемент (идентичность) e , такой, что (e∘gi) = (gi∘e) = для любого gi∈G.

        3.

        Для каждого gi∈G существует обратный элемент gi − 1∈G такой, что (gi∘gi − 1) = (gi − 1∘gi) = e.

        4.

        Для любых трех элементов g i , g j , gk∈G, выполняется ассоциативный закон: (gi∘gj) ∘gk = gi∘ ( gj∘gk).

        Конечное число N (различных) элементов группы - это порядок группы (конечных групп). Если в группе бесконечно много (разных) элементов, говорят, что группа имеет бесконечный порядок (бесконечная группа).

        Конечная группа G называется циклической, если она может быть порождена одним элементом g : g1 = g, g2, g3,…, g N = e и имеет порядок N .

        Если соотношение (gi∘gk) = (gk∘gi) выполняется для всех пар g i , gk∈G, группа называется коммутативной или абелевой.Все группы, содержащие только двоичные элементы g i (т.е. gi∘gi = gi2 = e, или, что эквивалентно, gi = gi − 1), и все циклические группы коммутативны.

        Подмножество H группы G, H⊂G, называется подгруппой G, если Хоби придерживается групповых аксиом. В этом случае G является супергруппой H. Для конечных групп отношение порядков группы и подгруппы, NG и NH, является индексом [ i ] Hin G: i = NG / NH = G / H. Согласно теореме Лагранжа, для конечных групп индекс [ i ] всегда целое число.

        Иллюстративным представлением конечной группы G порядка N является таблица умножения или таблица групп G = {e, g2, g3, g4,…, gN}. Это квадратный массив ( N × N ) всех продуктов в соответствии с абстрактной схемой таблицы 1. Обратите внимание, что в каждой из N строк и N столбцов таблицы каждый элемент группы отображается точно. однажды.

        Таблица 1. Таблица умножения группы G = {e, g2, g3, g4,…, gN} порядка N

        Группы одного порядка и с одинаковой структурой таблицы групп, т. Е. при строгом соответствии их упорядоченных элементов и их произведений (независимо от названий и обозначений элементов группы) изоморфны.Если групповая таблица симметрична относительно главной диагонали, группа коммутативна.

        В кристаллографических группах элементы группы представляют собой операции симметрии (движения, изометрии). «Умножение» - это последовательное применение двух операций. В качестве примера приведены групповые таблицы двух кристаллографических точечных групп 4 (четырехкратные вращения на 90 °, тетрагональные) порядка 4 (таблица 2) и 2x / mx2y / my2z / mz (короткие mmm , орторомбические) порядка 8 (таблица 3) обсуждаются. Таблица 3 иллюстрирует различные отношения группа-подгруппа внутри этой группы: существует семь подгрупп порядка N = 4 и индекса [ i ] = 2.Одна из этих подгрупп, 2y / my, отображается в верхнем левом (4 × 4) массиве в таблице 3. Полная (8 × 8) групповая таблица из 2 x / м x 2 y / m y 2 z / m z получается из этого 2 y путем добавления любой из операций 2 x , m x , 2 z или m z .Из таблицы 3 легко вывести, что семь подгрупп порядка 4: 2 x / м x , 2 y / м y , 2 z / м z , 2 x 2 y 2 z , 2 x z , m x 2 y m z , и m x , которые все изоморфны.Есть еще семь изоморфных подгрупп порядка 2 и индекса 4.

        Таблица 2. Таблица групп (4 × 4) тетрагональной кристаллографической точечной группы 4: последовательные повороты на 90 °, образующие циклическую группу порядка 4, т. Е. 4 4 = 1 (эта группа коммутативна)

        Есть одна подгруппа порядка N = 2 и индекса [ i ] = 2 с элементами {1,2} (поворот на 180 °).

        Таблица 3. Групповая таблица (8 × 8) орторомбической кристаллографической точечной группы 2 x / м x 2 y / m y 2 z / м z (короткое мм ) порядка N = 8

        Верхний левый (4 × 4) массив (разделенный пунктирными линиями) представляет собой групповую таблицу подгруппы 2 y / м y порядка N = 4 и индекс [ i ] = 2.Группа mmm может быть получена из подгруппы 2 y / m y путем «расширения» ее (4 × 4) групповой таблицы с помощью любой из дополнительных операций 2 x , m x , 2 z или m z (здесь 2 x как пятый элемент), каждая из которых ведет к одной и той же супергруппе mmm индекса [ i ] = 2. И группа, и супергруппа коммутативны, потому что все элементы группы g i являются двоичными.

        Состав функций: составление функций с функциями

        Состав функций:
        Составление функций с Функции
        (стр. 3 из 6)

        Разделы: Составление функции, которые являются наборами точек, Составление функции в точках, Составление функций с другими функциями, Word задачи с использованием композиции, обратные функции и состав


        Вы также можете оценить композиции символически.Проще оценить композицию в точке, потому что вы можете упростить по ходу дела, так как вы всегда будете просто вставлять числа и упрощение. Оценивая символическую композицию, вы в первую очередь заглушка x в какую-то функцию, а затем подключить эту функцию к другой функции, может быть намного сложнее. Но процесс работает так же, как и композиция по номеру. делает, и использование круглых скобок, чтобы быть точным на каждом этапе, приведет к быть еще более полезным.

        • Дано f ( x ) = 2 x + 3 и г ( x ) = x 2 + 5, найти ( f о г ) ( x ).
        • В данном случае я не пытаясь найти определенное числовое значение. Вместо этого я пытаюсь найти формула, полученная в результате подстановки формулы для г ( x ) в формулу для f ( x ).Я буду писать формулы на каждом этапе, используя круглые скобки для обозначения куда должны идти входы:

            ( ф о г ) ( x ) = f ( г ( x ))
            = f ( x 2 + 5)
            = 2 ( ) + 3 ... настройка для вставки входной формулы
            = 2 ( х 2 + 5) + 3
            = 2 х 2 + 10 + 3
            = 2 x 2 + 13

        Если подключить "1" для x в приведенном выше примере вы получите ( f o г ) (1) = 2 (1) 2 + 13 = 2 + 13 = 11, это тот же ответ, который мы получили раньше.Раньше мы вставляли номер в г ( x ), нашел новое значение, вставил это значение в f ( x ), и упростил результат. На этот раз мы подставили формулу в f ( x ), упростил формулу, включил то же число, что и раньше, и упростил результат. Окончательные числовые ответы были такими же. Если ты сделал символическая композиция (композиция с формулами) правильно, вы получите одинаковые значения в любом случае, независимо от того, какое значение вы выберете для x .Это может быть удобный способ проверить свою работу.

        Вот еще символический пример: Авторское право Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены


        Есть кое-что, что вы Следует отметить из этих двух символических примеров. Посмотрите, что у меня получилось:

        То есть ( f o г ) ( x ) есть не то же самое, что ( г о f ) ( x ).Этот верно в целом; следует предположить, что композиции ( f o г ) ( x ) и ( г о f ) ( x ) собираются быть разными. В частности, композиция - это не то же самое, что и умножение. Открытая точка "о" не то же самое, что точка умножения "", и не означает тоже самое. Хотя верно следующее:

        ...вы не можете так сказать:

        То есть реверсировать нельзя порядок в композиции и ожидайте в конечном итоге правильного результата. Композиция не такая гибкая, как умножение, и представляет собой совершенно другое процесс. Не пытайтесь умножать функции, когда вы должны вставляя их друг в друга.


        Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы практиковать функциональную композицию. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное.Затем нажмите кнопку «бумажный самолетик», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и продолжите с уроком.)

        (Нажав на «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета приведет вас на сайт Mathway для платного обновления .)

        << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Возвращаться к указателю Вперед >>

        Цитируйте эту статью как:

        Стапель, Элизабет.«Составление функций с функциями». Purplemath . Доступно по номеру
        https://www.purplemath.com/modules/fcncomp3.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

        Регистрация FATCA и список FFI: информация о составе GIIN

        GIIN - это аббревиатура глобального идентификационного номера посредника. Система регистрации FATCA одобряет иностранные финансовые учреждения (FFI), филиалы финансовых учреждений (FI), нефинансовые иностранные организации с прямой отчетностью (NFFE), спонсирующие организации, спонсируемые организации и спонсируемые дочерние филиалы.Учреждения и организации, которым присвоен GIIN, могут использовать его для идентификации себя налоговыми агентами и налоговыми администраторами для целей отчетности FATCA.

        GIIN в формате XXXXXX.XXXXX.XX.XXX - это 19-значный идентификационный номер, состоящий из нескольких идентификаторов. Эти символы никогда не будут содержать буквы «О».

        Позиция Представление символов Длина Описание / Правила
        1-6 XXXXXX
        FATCA ID
        6

        Только цифры и прописные буквы

        Ведущий ФИ, отдельный ФИ или спонсирующая организация - то же, что и идентификатор FATCA.

        Член FI - первые 6 символов FATCA ID.

        FI Branch - первые 6 символов FATCA ID соответствующего FI филиала.

        Спонсируемая организация или спонсируемая дочерняя компания - идентификатор FATCA спонсирующей организации.

        7 Сепаратор 1 1 Период -.
        8-12 XXXXX
        Тип
        5

        Только цифры и прописные буквы

        Свинец FI- 00000

        Одиночный FI- 99999

        Спонсор - 00000

        FI участника - такие же, как последние 5 символов FATCA ID участника

        FI филиал - то же, что и связанный с филиалом FI

        Sponsored entity - такие же, как последние 5 символов идентификатора спонсируемого объекта

        Спонсируемый дочерний филиал - то же самое, что и ассоциированная спонсируемая организация филиала.

        13 Разделитель 2 1 Период -.
        14-15 XX
        Код категории
        2

        Только прописные буквы

        Аббревиатура для типа ФИ, классификации спонсируемой организации или типа филиала:

        LE - свинец FI

        SL - одиночный FI

        ME - член FI

        БР - филиал ФИ

        SP - спонсирующая организация

        SF - спонсируемая организация, которая является спонсируемым фондом

        SD - спонсируемая организация, которая является спонсируемой NFFE с прямой отчетностью

        SS - спонсируемая организация, которая является спонсируемой дочерней компанией

        SB - филиал подшефного дочернего общества

        16 Сепаратор 3 1 Период -.
        17-19 XXX
        Идентификатор страны / юрисдикции
        3

        Только номера

        ISO 3166-1 числовой стандартный код страны держателя GIIN.

        Добавить комментарий

        Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *