Разное

Разделительный ъ и ь знак упражнения: Тренировочные задания по русскому языку на тему “Разделительный ъ и ь знак” (3 класс)

Содержание

Тренировочные задания по русскому языку на тему “Разделительный ъ и ь знак” (3 класс)

Задания по русскому языку на тему “Разделительный ъ и ь знак”

Правило

Разделительный ь пишется внутри слова (в корне или суффиксе, но только не после приставки) перед буквами Е, Ё, Ю, Я, И (ВЬЮГА, БУРЬЯН, ЛИСЬИ СЛЕДЫ), а также в некоторых заимствованных (иностранных) словах перед буквой О (БУЛЬОН, СИНЬОР).

Мягкий знак обычно смягчает предшествующий ему согласный звук и, кроме этого, заставляет нас произносить раздельно, нет слияние звуков, появляется дополнительный звук [Й].

Разделительный ъ (твердый знак) нужно писать на стыке приставки и корня, если приставка оканчивается на согласную, а корень слова начинается буквами Е, Ё, Ю, Я. Например: ПОДЪЕЗД, ИЗЪЯВИТЬ, ИНЪЕКЦИЯ, ТРАНСЪЕВРОПЕЙСКИЙ, ПРЕДЪЮБИЛЕЙНЫЙ. Кроме этого, разделительный Ъ знак пишется в сложных словах с числительными: ДВУХЪЯРУСНЫЙ, ТРЕХЪЯЗЫЧНЫЙ.

  1. Спиши, вставь пропущенные буквы.

Рано утром в воскресен..е мы с друз..ями под..ехали к оз…ру. На бер…г с..ехалис.. рыболовы. Они натянули палатки, вскипятили ч…йники и приготовили с..естное. Завтракают и ждут рассвета. Все вокруг об..ято тиш…ной. Мой отец об..ясняет мне, как готовить снасти. Будет замечател..ный улов.

2. Прочитай текст. Выпиши слова с разделительным ь знаком в первый столбик; слова, в которых ь знак показывает мягкость согласного, во второй столбик.

Соф…я с Ил…ёй идут в школу. На дорожку падают лист…я. У крыл…ца школы Соф…я остановилас… . К ней подбежала собака Жул…ка. Они с ней друз…я. В классе детей встретили с радост…ю. Прозвенел звонок. Началас… контрол…ная работа.

3. Распредели слова в три столбика:

1 – с разделительным мягким знаком;

2 – с мягким знаком – показателем мягкости согласного;

3 – с разделительным ъ.

Хлоп.я, с.езд, счаст.е, в.юга, учител.ница, мал.чик, с.ёмка, пал..то, бел..ё, мурав..и, гост..я, дерев..я, в..юга, под..ём, огоньки, л..ётчик, л..иса, об..ём, с..ёмка, пис..мо, мал..чик, под..езд, с..ел, обез..янка, дождь.

4. Укажи количество звуков и букв в словах.

Жильё -________________________________________________

Осень-_________________________________________________

Платье-________________________________________________

Подъехал-_______________________________________________

Кольцо – ________________________________________________

5. Исправь ошибки и запиши текст правильно.

Лйот силный дожд. Дружок лежыт подкрылцом. Сабака радосно встричяет илйу. Илья и дружок – друзя.

6.Вставь пропушенные буквы.

Вороб…ишка над руч…ём
Своей сем…е построит новый дом.
Крыл…ями помашет,
Вот кол…я воб…ёт.
И в…юга в их дом никогда не войдёт!

Волк ужасно раз…ярён,
С…есть ежа не может он.
Ёж, хотя он и с…едобен,
Для с…еденья неудобен:
С…ёжась, выставил иголки –
Об…егорил злого волка.

« Упражнения в правописании слов с разделительными Ъ и Ь знаками» | План-конспект урока по русскому языку (3 класс) по теме:

           Ι. Актуализация знаний            1.Орг. момент ( мобилизующий этап)

     Мы сегодня будем писать,        

     Делать выводы и рассуждать.

     А чтобы урок пошёл каждому впрок,        

    Активно в работу включайся, дружок

 У нас необычный сегодня урок,                

Выяснить надо, кто в классе знаток.

Ученики соседней школы, которые учатся тоже в 3-м классе, предложили провести урок, который у них прошел, и      ради эксперимента узнать, кто лучше усвоил тему. А вот какую тему? Надо, братцы, разобраться и скорей за дело   взяться. Вот девиз, который они предложили для урока. Прочитайте                    Друзья, ученье нас объединяет!

    II. Формулирование проблемы темы и   цели  

 У. Кто же тему отгадает?

   -Чтобы определить тему урока – решите грамматические задачи:

     ПЕНЬ            СЕМЬЯ         ПОДЪЁМ

   У первого и второго  слова одинаковые четвёртые буквы, но они имеют различие, в чём?

   У второго и третьего слова четвёртые буквы сходны  , в чём их сходство?

   Докажите, что они разделительные.

   По последней грамматической задаче определите тему урока.

 

Здесь есть орфограммы – разделительный мягкий и твердый знаки, мы изучали эту тему, значит, и они тоже.   Слайд1

-Какие цели поставим? Прочитайте и дополните.                  Слайд 2

1) Научиться  различать , где в словах пишется…,а где….

2)Научиться выделять графически орфограмму в словах с….и с….

3) Беречь своё……(здоровье)

Посмотрите на план урока             Слайд 3

План урока

  • Чистописание
  • Упражнения в правописании слов и предложений с разделительными Ъ и Ь
  • Итог урока
  • Домашнее задание

-. А что вы знаете про разделительные  ь?          Слайд 4

Д. Разделительный ь пишется в корне слова.

  • Он разделяет буквы согласного звука и гласного.
  • Он пишется после буквы согласного перед буквами гласных звуков е, ё, ю, и, я.

  Дети приводят свои примеры: семья, печенье, жилье, муравьи, вьюга…

 Учитель обращает внимание на опорную схему     Слайд 5,6

  У. Исчерпывающий ответ.  

  Кто может рассказать про ъ?           Слайд 7 

Д. Разделительный ъ пишется после приставки, но перед корнем.

  • Он разделяет буквы согласного и гласного звуков.
  • Твердый знак пишется после приставок, которые оканчиваются на согласную букву, перед буквами е, ё, ю, я.

 При ответе детей учитель обращает внимание детей на опорную схему.  Слайд 8,9  

 У. Приведите свои примеры.

Д. Подъехать – приставка оканчивается на согласный, корень начинается с е.

– Объём – приставка об – оканчивается на согласный, корень -ем, так как ёмкий, ёмкость, объёмный, корень     начинается на ё.

           III. Минутка чистописания-

    У. Хорошо.  А сейчас откройте тетради . Положите их наклонно.  Проверим правильную посадку.   Слайд 10

    -Руки на месте ? (хором: «На месте!»)

   -Локти у края?  («У края!»).

   -А спина прямая? («Прямая!»)

-Запишите число. Дальше что напишем   Давайте мы сделаем у себя в тетрадях опорный конспект того, что   говорили.

     Учитель пишет на доске, дети в тетрадях.

     На доске. Здоровье,  жильё,  вьюга , семья,  ульи

Д. Лисьи – окончание и, корень -лись-, разделительный ь знак находится в корне слова между буквами согласного   и гласного звука и.

Далее дети комментируют предложенные ими слова. Они могут записать свои примеры слов или те, которые    предложили товарищи.

        

    У. А теперь новую строчку мы отведем твердому разделительному знаку.

     На доске.    Объезд, подъём, съюлить,  объявление

      Дети приводят примеры слов и записывают их.

  • Молодцы. Действительно, ученье нас объединяет, вы так дружно работаете. Давайте на следующей строчке   запишем этот девиз. Выделите орфограммы.

Дети записывают, выделяя орфограммы  ручкой.

  • Обратите внимание: после слова друзья стоит запятая. Это обращение, к вам обращаются, как бы делают паузу, чтобы вы задумались, внимательно послушали или вчитались, поэтому на письме обращение выделяют запятой.
  •  Давайте найдём главные члены этого предложения.              
  •  Определите части речи

Д. Друзья – существительное, ученье – существительное, объединяет – глагол, нас – местоимение – вместо имени.

У. Хорошо. Мы с вами много повторили, посмотрели, как все вы это изучили.

.               

      ΙV. Развитие умений А теперь откройте учебники на стр 139. Выполните упражнение 173    Слайд 11

     Физкультминутка.     Слайд 12

Учитель: Вы хорошо поработали, а сейчас немного отдохнем. Я буду произносить различные слова. Если в слове    нужно писать разделительный ъ, то встают мальчики и шагают на месте. Если в слове нужно писать разделительный ь, то встают девочки  и машут руками.

Объявление (мальчики)

Воробьи (девочки)

подъезд (мальчики)

съемка (мальчики)

семья (девочки)

колья (девочк

съехал (мальчики)

А теперь  внимательно посмотрите, что-то случилось со словами. Прочтите их.   Дети читают.   Слайд 13

судя        отехать

сёмка

        обяснить

                        волчи        плате

        

Д. Здесь пропущены разделительные ъ и ь.

У. Мальчики выписывают себе слова с разделительным ъ, девочки — с разделительным ь.

Дети выполняют задание.

  • Проверка будет наоборот – девочки называют слова с ъ и объясняют, почему именно ъ, а мальчики разбирают  слова с ь.

Дети выходят к доске, по «цепочке» исправлют ошибки.

  • У. Молодцы. А сейчас у нас фонетическая разминка.      Слайд 14    предлагаю поработать по группам: первому ряду –предложение слева,  а второму ряду –  предложение справа. Прочитайте.

Дети читают.

                              . Я сел и огурец съел.                          Я солю щи солью

  • Как вы думаете, на какие слова надо обратить внимание?

    Д. В первом предложении сел и съел, а во втором – солю и солью.    

    Сели, съели.

    Догадаться вы сумели

   Почему случилось так? 
  Кто виновник? (Твердый знак      солю и солью .)

У. По идее, в словах разное количество букв, но звуков должно быть одинаковое количество. Правильно? Д. Нет.

У. Стоп. Тогда вы сначала выполните  транскрипцию этих слов, а потом мы с вами выясним, кто был прав.   Двое у доски

Дети выполняют работу в тетрадях.

Д. В слове сел – 3 буквы и 3 звука. У. Хорошо, а сколько звуков и букв в слове съел,.

Д. 4 буквы и 4 звука.

У. Как же так? Ведь ъ не обозначает звука.

Д. Да, но здесь буква е обозначает два звука – [й] и [э].

У. Понятно. Но это у первого ряда  такой случай, а вот у второго ряда  в слове солью 4 звука. Второй ряд , вы согласны? Д. Нет, ю тоже обозначает два звука – [й] и [у].

У. Ну что же, вас не проведешь. Молодцы.

      Теперь внимание, новое задание. Слайд 15 –Составьте словосочетания , соединив слова первого и второго    столбиков  словосочетания.

     Какая орфограмма пропущена? Какое правило нам поможет правильно написать слова?

     Запомните словосочетания. Через минуту стираю первые слова. Ориентируясь на второе слово, напишите    словосочетания.

   С…едобный                           гриб

    Об…яснил                              задачу

    Под…ёмный                           кран

    Слайд 16.

    …………….гриб

    …………….задачу

    ……………..кран

Самопроверка.

Слайд17

    Съедобный       гриб

   Объяснил          задачу

   Подъёмный       кран

    Съёмка              фильма

  • Физкультминутка    Слайд18
  • Чтоб все выполнить заданья,

. Чуть-чуть нам надо отдохнуть.

 Ну, ребята, дружно встанем.

Надо косточки встряхнуть..

Все готовы?

Физкульминута под музыку

.

 Тихо все на место сядем

 И закроем глазки.

Вспомните все, что повторяли,

Без моей подсказки.

 Вспомнили?

. Ребята из соседнего класса предлагают вам ещё  выборочный диктант. Я диктую стихотворения, а вы    выписываете только слова с разделительными ъ и ь.

Лягушачья песенка

Льется из пруда,

 Ласковая, светлая…

 как вода.

Лягушонка слушают

Листья и трава.

Лягушонок квакает: – Ква-ква-ква!

 Мы с товарищем вдвоем

Шли на лыжах на подъем,

А потом с горы спускались,

Разъезжались и съезжались.

                                           

 Передайте тетради друг другу и проверьте..    Слайд 19

         Задания по выбору ( разноуровневые). Выберите любое задание, выполните его, исправив ошибки.   Слайд 20

   1 уровень: Девочька съела напинёк и села пирожок.

    2 уровень:Собирай только седобные гребы.

    3 уровень:Большой обьём,сьел, запъю лекарство.

                          Слайд 21

        Игра «Замени одним словом».   Слайд 22

        1.  Животное, от которого произошёл человек.

        2.  Товарищи, приятели

        3.  Спуск с горы.

        4.  Снежная метель, пурга.

 Самостоятельная работа    Слайд 23

У. Последнее задание. Вам надо в  эти предложения  вставить пропущенные буквы. Я вам отксерокопировала эти предложения.  Возьмите листочки и вставляйте разборчиво и красиво пропущенные буквы. Будьте внимательны.

От_едается м_дведь летом, чтобы к з_ме набрать п_боль- ше жиру под шкурой и кре_ко уснуть в теплой берлоге. Засунет в муравейник лапу – сл_знет мурав_я. Попадется гн_здо тетерки – с_ест пт_нцов. Заз_вается л_сная мышка, и мышку с_ест. Или с_дит в р_ке и ловит рыбу.

.      

            ΙV. Итог урока

У. Вы выполнили все задания, предложенные классом из соседней школы. И эта самостоятельная работа станет нашим отчетом. Мне кажется, что каждый достоин звания «Знаток темы». Напомните, какой?

Д. Разделительный ъ и ь.

У. А что они разделяют?

Д. Буквы согласных звуков с гласными в определенных случаях.

буквами е, ё, ю, я.

  • А ь знак еще перед и.

У. Замечательно. Всем ребятам надо знать, где ъ, а где ь знак писать.

    А сейчас закончите предложения    Слайд 24

1. Сегодня на уроке …

2. Я научился …

          3 . Мне больше всего        понравилось

      Слайд 25

Оценки: Не устанем повторять,   

Любим мы отметку «пять» 

Кто ж сегодня отличился? 

Кто на славу потрудился? 

Ну, кому поставим «пять»?

Попрошу Вас предлагать. 

        И «четвёрочку» поставим 

       От души ребят поздравим

      Слайд 26

Домашнее задание  стр 142 Упр 7

. Напишите по пять  слов с ъ и ь.      

      2. Самооценка.     Слайд 28

– Если вы очень хорошо поработали – поднимите зеленый круг.

– Если поработали хорошо, но могли бы лучше – поднимите жёлтый  круг.

– Если вы не работали, но на следующем уроке обязательно поработаете – поднимите красный круг.

Слайды  29, 30

Упражнения в правописании слов с разделительными ъ и ь знаками

Цель: Закрепить полученные учащимися знания о разделительных Ъ и Ь знаках. Закрепить умение пользоваться правилом написания Ъ и Ь знаков. Повторить ранее изученные орфограммы.

Развивать умение группировать, выделять подгруппы по определенным свойствам. Развивать орфографическую зоркость, внимание, память. Развивать логическое мышление. Воспитывать интерес к изучаемому предмету.

1. Организационный момент.

Учитель: У нас необычный сегодня урок,

Выяснить надо, кто в классе знаток.

Гостем урока будет наш друг – инопланетянин Янт. Он не только пришел посмотреть как знания полученные на уроках информатики вы применяете и используете на уроках русского языка, но и приготовил задания для вас. Надо, братцы, разобраться и Скорей за дело взяться.

Вот девиз, который предлагает нам друг Янт для урока. Рассмотрим его с точки зрения информатики, используя изученную тему “Общие свойства объектов группы. Особенные свойства объектов подгруппы”. (Что у любого есть? Что любой умеет? Что еще есть? Что еще умеет?).

На доске: Друзья, ученье нас объединяет!

2. Постановка учебной задачи.

Учитель: Какова тема урока с точки зрения русского языка?

Дети: Разделительные Ъ и Ь.

Учитель: А с точки зрения информатики?

Дети: Объект группы.

Учитель: Что общего у объекта?

Дети: Название – разделительные знаки.

Учитель: Какие общие действия?

Дети: Разделяют согласную от гласной е, ё, ю, я.

Учитель: Каковы составные части?

Дети: Ь стоит в корне, Ъ перед приставкой.

Учитель: Вы так дружно работаете, что действительно, ученье нас объединяет. Продолжим работу над разделительными Ъ и Ь знаками.

3. Тренировочные упражнения.

Учитель: Запишите девиз в тетрадь. Обратите внимание: после слова друзья стоит запятая. Это обращение, к вам обращаются, делают паузу, чтобы вы задумались, внимательно послушали и вчитались.

Учитель: Что вы записали?

Дети: Предложение.

Учитель: Из чего оно состоит?

Дети: Предложение состоит из слов.

Учитель: Из каких слов? Одной части речи? Что выражает предложение?

Дети: Предложение выражает законченную мысль.

Учитель: На какие группы я могу разделить слова этого предложения, учитывая тему урока: “Разделительный Ъ и Ь знаки”?

Дети: Друзья, ученье – Ь; объединяет – Ъ.

Учитель: По какому признаку вы их объединили?

Дети: Разделительные Ь и Ъ знаки пишутся после согласных перед гласными е, ё, ю, я.

Учитель: Посмотрим, как вы свои знания проверяете на практике. Что случилось со словами? Янт, это ты тут поработал?

На доске:

а) стуля

б) подёмник

семка

сёжился

лиси

вюнок

обездил

обяснил

ружё

ателе

Учитель: На какие группы можно разделить данные слова?

Дети: Слова с разделительными Ъ и Ь знаками.

Учитель: Мальчики выписывают слова с разделительным Ъ, а девочки – с Ь.

Взаимопроверка.
Раз, два, три, четыре,
Начинается игра.
Мы теперь не просто дети,
Мы теперь – учителя.

Учителя – девочки называют слова с Ъ знаком и объясняют. Учителя – мальчики – с Ь и объясняют.

Учитель: На какие подгруппы можно разделить слова каждой группы?

 

Учитель: Молодцы, справились с заданием.

б) Выборочный диктант.

Учитель: Я и не думала, что Янт увлекается чтением стихов и предлагает вам выписать слова в группы на изучаемую орфограмму. Он прочитает стихотворение, а вы запишете слова в тетради:

Воробьишка над ручьем
Своей семье построит новый дом.
Крыльями помашет,
Вот колья вобьет.
И вьюга в их дом никогда не войдет!

Волк ужасно разъярен,
Съесть ежа не может он.
Еж, хотя он и съедобен,
Для съеденья неудобен:
Съежась, выставил иголки –
Объегорил злого волка.

Учитель: Прочитайте, какие группы слов вы выписали.

Физминутка.

“Прогулка”.

По дорожке, по дорожке
Скачем мы на правой ножке.
И по этой же дорожке
Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,
До лужайки добежим.
На лужайке, на лужайке,
Мы попрыгаем, как зайки.
Стоп. Немного отдохнем.
И домой пешком пойдем.

в) Самостоятельная работа.

Учитель: А вот эта работа станет отчетом, который Янт отвезет на свою планету. Прочитайте предложения и вставьте нужные буквы.

Текст на карточках.

З_ма об_явила в_йну в_сне. Пр_л_тел вет_р, с_брал грозные тучи. Они не пускали на землю солнечный луч. В_сна п_сыпала м_л_дой тра_ке теплые капли д_ждя. 3_ма их замораживала. На д_рев_ях с_ёжились почки. 3_ма щипала их м_ро_цем. Смешались дождь со снегом, в_сенний гром с в_югой. Раз_яренная з_ма старалась нанести удар в самое сердце в_сне, но не см_гла.

Учитель: О чем говорится в предложениях? Можно их назвать текстом? Почему? Докажите.

Дети: В предложениях говорится о борьбе зимы с весной. Эти предложения связаны между собой по смыслу, объединены одной темой, поэтому их можно назвать текстом. На какие группы можно разделить орфограммы?

Орфограммы

Приставки

Безударные гласные

Ъ знак

Ь знак

Парны согласные

4.

Итог.

Учитель: Мне кажется, что каждый из вас достоин звания “Знаток темы”. Напомните, какая у нас тема?

Дети: Правописание слов с разделительными Ъ и Ь знаками.

Учитель: Что разделяют Ъ и Ь знаки?

Дети: Разделительный Ь знак разделяет согласную от гласной в корне слова.

Разделительный Ъ знак отделяет приставку от корня.

Учитель: Что в них общего?

Дети: Они ставятся перед буквами е, ё, ю, я.

Учитель: Чем отличается каждая группа?

Дети: Перед приставкой пишется Ъ знак; в корне слова – Ь знак.

Учитель: Всем ребятам надо знать,

Где Ъ, а где Ь знак писать.

Спасибо за урок.

Приложение

Разделительные Ь и Ъ – Школа XXI век

ПРЕДУПРЕДИТЕЛЬНЫЕ ДИКТАНТЫ

Записать и прочитать слова.

Езда, подъезд, въезд, съезд, разъезд, ели, съели, съедобный, подъём, ясный, объяснить, съёмка, объявление, объектив, необъятный, объятия. (16 слов.)

 

 

Выборочные диктанты.

Записать предложения, в которых есть слова с буквой ъ.
1. Кусты шиповника объяты пламенем. 2. От мороза листья на деревьях съёжились. 3. Дружба объединяет людей в одну крепкую семью. 4. Много деревьев, кустарников и цветов посадили пионеры в своём посёлке.

 

Записать слова в два столбика: в один — слова с ь, в другой — с ъ.
Шьёт, въехать, бьёт, пьёт, съели, подъём, стулья, платье, съёмка, объезд, объяснить, друзья, жильё, птичьи, съедобный, деревья, воробьи, объятия, перья.

 

Записать в один столбик слова с ь, в другой — с ъ.
Вьёт гнездо, наш подъезд, бьёт волна, крутой подъём, съёмка кинофильма, высокие деревья, птичьи перья, уютное, жильё, съедобный гриб, смешная обезьяна, объяснить задачу.

 

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ДИКТАНТЫ

Платье, польёт, объезд, вьюга, ночью, объяснить, объявление, перья, жильё, подъезд, обезьяна, съедобный, осенью, оленьи, съезд, Илья, съел, друзья. (18 слов.)

 

Выборочный диктант. Записать слова с ь к ъ.

1. Лад и согласье — первое в работе счастье. 2. Трактор в поле — жизнь в раздолье. 3. Кто храбро врага бьёт, о том слава не умрёт. (Пословицы.) 4. Мы ходим ночью, ходим днём, но никуда мы не уйдём. (Часы.) 5. Мы бьём исправно каждый час, а вы, друзья, не бейте нас. (Часы.) (Загадки.) 6.Умей отличать съедобные грибы от ядовитых. 7. Мы готовились к отъезду. 8. За рекой была необъятная равнина.

УСЛОЖНЕННЫЕ ДИКТАНТЫ:

1. Изъявить желание, крепкий бульон, предъюбилейные дни, добьемся успеха, памятный медальон, въедливый старичок, неотъемлемая часть, оленьи рога, свободный вольер, серьезный разговор, взять интервью. (22 слова)

 

2. Разъяренная тигрица, объятые страхом, с вьючными лошадьми, взъерошенная ворона, объездить всю страну, сверхъестественным образом, собачья упряжка, поваленные деревья, отутюженный костюм, отдых на взморье, съежившись от холода. (26 слов)

вернуться к оглавлению»

 

Упражнения в правописании слов с разделительным ь и ъ знаками.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ МЭРИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №86

г. о. Тольятти

Упражнения в правописании слов с разделительным ь и ъ знаками.

Урок русского языка с использованием информационных технологий и технологии оценивания.

(3 класс)

Провела:

учитель начальных классов

Зайнетдинова Р. Р.

г.о.Тольятти, 2015 г.

Тема: Упражнения в правописании слов с разделительным ь и ъ знаками.

Цели:

1. Предметные:

повторить позиции написания разделительного мягкого и ъ знаков, расширить знания учащихся по данной теме; закрепить умения детей в правописании слов с разделительным ь и ъ; развивать умение слышать звучащее слова; повышать уровень самостоятельности и творческой активности учащихся; формировать интерес к русскому языку, привлекая внимание детей к «живому» слову.

2. Формировать УУД

Личностные:мотивационная основа учебной деятельности, включающая социальные, учебно-познавательные и внешние мотивы;

учебно-познавательный интерес к учебному материалу; – ориентация на понимание причин успеха в учебной деятельности, в том числе на самоанализ и самоконтроль результата, на анализ соответствия результатов требованиям конкретной задачи, на понимание предложений и оценок учителей, товарищей;

– способность к самооценке на основе критериев успешности учебной деятельности.

Регулятивные: – планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и условиями ее реализации;

– самостоятельно адекватно оценивать правильность выполнения действия и вносить необходимые коррективы в исполнение как по ходу его реализации, так и в конце действия.

Познавательные: – строить высказывания в устной и письменной форме;

– осуществлять анализ объектов с выделением существенных признаков, осуществлять синтез как составление целого из частей; проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям;

– устанавливать аналогии.

Коммуникативные: – формулировать собственное мнение и позицию;

– договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов;

– адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных задач, строить монологическое высказывание, владеть диалогической формой речи;

-осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь.

Оборудование: тетрадь, доска, компьютер, медиапроектор

Орг. момент. Психологический настрой. 1 минута

– Добрый день, уважаемые гости! Мы приветствуем Вас на нашем уроке!

-Ребята, давайте подарим друг другу хорошее настроение: ( слайд)

(заставка песни «От улыбки»)

На части не делится солнце лучистое
И вечную землю нельзя поделить,
Но искорку счастья луча золотистого
Ты можешь, ты в силах друзьям подарить.

– Ребята, подарите улыбку мне, друг другу, нашим гостям. Улыбка может согреть других своим теплом и улучшить всем настроение, а хорошее настроение всегда помогает справиться с любой задачей и добиться хороших результатов.

Спасибо, всем. Сразу стало уютнее в классе от ваших улыбок. (слайд)

– Прошу тихонько занять свои места.

2. Сообщение темы урока. Целеполагание. 2, 5 минуты

Учитель:

-Сегодня у нас необычный урок

На нём мы, ребята, подводим итог,

О многом интересном поговорим

И гостей во всё посвятим.

Учитель:

– А необычен он тем, что сегодня мы отправимся в гости к жителям страны Грамматика. (слайд)

– Страна эта огромная, состоит из отдельных княжеств, которые населяют необычные жители.

– А кто может жить в этой стране?

Ученик: Слова, предложения…

Учитель:

А ещё там живут орфограммы.

– С какими орфограммами мы уже знакомы?

– Ребята, послушайте загадки от ёжика и определите, с какими орфограммами мы сегодня встретимся.

1. Уроки Кирилла и Мефодия (2 класс, 7 урок)

2.

Перед Е, Ё, И, Ю, Я
В корне я стою друзья.
Воробьи, семья, жильё –
Перед Я, Ю, И, Е, Ё

-Итак, какие орфограммы мы сегодня вспомним, кто сможет назвать тему урока?(Правописание слов с разделительными ь и ъ знаками)

-Совершенно верно, сегодня нас ждет встреча с разделительными ь и ъ знаками, которые приготовили для нас задания –испытания. Нам предстоит не только выполнить эти задания, но и будем оценивать их. А поможет нам в этом алгоритм. (слайд 6)

3.Постановка учебной задачи 2-3 мин.

-Отправляясь в путешествие, ответьте мне:

– Что бы вы хотели повторить на уроке? чему хотели бы научиться?

  1. Повторить написание слов, предложений с ь и ъ

  2. Научиться  различать , где в словах пишется…, а где… .

  3. Научиться выделять графически орфограмму в словах с… и с… .

Молодцы! Какие вы любознательные.

– Чтобы решить эти учебные задачи, давайте обсудим план решения, проложим маршрут нашего путешествия?

– Итак, как будем работать? С чего начнем? (1. Мин. чистописание

2. Выполним упражнения в правописании слов и предложений с разделительными Ъ и Ь 3. Проверим знания, выполняя тест. 4.

Подведём итог урока. 4.Домашнее задание.)

– Цели поставлены , маршрут проложен, добро пожаловать в страну Грамматика.

4.Мин. чистописания 5-7 мин

– Проведем минутку чистописания.

– Чтобы красиво и правильно

Всё записали вы в тетрадь

Нам пальчики необходимо

Как следует размять

(пальчиковая гимнастика)

Рассмотрите 1 строчку. Какие буквы встречается в узорах? Вспомним написание этих букв (программа «Буква»)

А теперь пришла пора
Буквы вспомнить нам, друзья.
Их писать неторопливо,
Аккуратно и красиво.

-Запишите по одному разу каждый из узоров.

– Прочитайте предложение на второй строчке.

Друз_я, учен_е нас об_единяет.

-Как вы понимаете это высказывание? (Получать знания вместе интересней, во время учения мы становимся дружнее…).

– Вставьте пропущенные буквы, объясните выбор написания.

( 1.Разделительный ь пишется в корне слова, он разделяет буквы согласного звука и гласного, пишется после буквы согласного перед буквами гласных звуков е, ё, ю, и, я (опорная схема)

2. Разделительный ъ разделяет буквы согласного и гласного звуков.

Твердый знак пишется после приставок, которые окан­чиваются на согласную букву, перед буквами е, ё, ю, я(опорная схема))

-Запишите предложение к себе в тетрадь, обращая внимания на постановку запятой. Это обращение, к вам обращаются, делают паузу, чтобы вы задумались, внимательно послушали и вчитались.

Запись предложения

– Молодцы, ребята. Теперь я попрошу вас оценить себя по заданному алгоритму. (слайд 13) (я писал соединения с буквой д и предложение, я написал красиво и аккуратно свою работу я оцениванию на…)

Выставьте свою отметку в маршрутном листе.

5. Тренировочные упражнения

А)- Продолжаем наше путешествие. А тропинка нас привела к тренировочному заданию. Проведём работу на тренажёрах. Ребята, работающие на нетбуках , открыли программу « Академия младшего школьника», Орфографический экзамен задание _81_.

Остальные работают со мной .Помогите гномам найти свой домик.

Тренажёр «Где чей домик?»

-Я благодарю вас за работу и прошу вас оценить себя по заданному алгоритму

Выставьте свою отметку в маршрутном листе.

б)Разноуровневое задание.

-Продолжаем наше путешествие. А тропинка нас привела к следующему заданию.

-Прочитайте слова.

На доска. Об_едение, ател_е, братья, с_ёжился, руж_ё, бар_ер( препятствие), об_явление, под_езд. 

-Ребята, я предлагаю вам выполнить задание на выбор. Подумайте, взвесьте свои силы и выберите для себя задание по силам.

1.Списать слова и выделить орфограммы.

2.Распределить слова на группы и выделить орфограммы.

3.Распредели слова на группы ,придумай свои и выдели орфограмму.

Проверка

– Поднимите руки, кто выбрал 1 задание.

– 2? На какие группы распределили все слова? Проверьте свои работы по образцу.

– Какие свои слова записали?

Физминутка.

Учитель:

– Продолжаем наше путешествие. Но мне кажется вы немного устали. Чтобы наш организм мог продолжить работу, отдохнём немного и выполним энергетическую гимнастику и гимнастику для глаз.

Отдохнули?

в) – Продолжаем наше путешествие. А тропинка нас привела к следующему заданию.

Самостоятельная работа в паре.

– Мы сейчас с вами поработаем в парах. Перед вами текст

Прочитайте тего. О чём текст? Какой заголовок можно к нему подобрать? Какое чувство вызвало у вас этот текст? К чему призывает нас этот текст?(Покормите птиц зимой)

Работая в паре, вставьте пропущенные буквы. Графически выдели орфограмму.

Хлопья снега покрыли землю белой скатертью. Ночью бушевала разъяренная вьюга. На снегу видны птичьи следы. Что осталось съедобного для воробьиных стай? Взъерошенные пташки прилетели к жилью людей.

Проверка.

-Ребята, а теперь проверьте себя, сверяя с образцом .

Запишите к себе 2 любых предложения .

Я благодарю вас за работу и прошу вас оценить себя по заданному алгоритму.

Выставьте свою отметку в маршрутном листе.

г)Тест «Разделительные знаки»

– На этом мы завершаем наше путешествие, я вам предлагаю выполнить тестовую работу в группах, которая проверит ваши знания по теме сегодняшнего урока.

Проверка

Я благодарю вас за работу и прошу вас оценить себя по заданному алгоритму.

Выставьте свою отметку в маршрутном листе.

– На этом наше путешествие заканчивается. Вернемся к началу урока и вспомним наши поставленные цели. (слайд 33)

– Удалось ли вам достичь цели урока?

– Что вызвало затруднение? Что нужно сделать чтобы в следующий раз вам все удалось?

Целый урок мы работали дружно
И повторили то, что нам нужно.
Да и компьютер нам очень помог,
Навыки все пригодятся нам впрок.
Вот наступает урока конец,
Каждый из вас был большой молодец

-Я благодарю Вас за ваши ответы, за активность. Желают вам удачи и по-больше заслуженных пятерок на уроках (слайд 34)

Спасибо за урок. (слайд 35-36)

Разделительные Ь и Ъ

ФОНЕТИКА

Примеры правописания разделительного Ь мягкого знака и Ъ твёрдого знака

Упражнения к правилу

 

Упражнение 1.
  1. Хотел объехать целый свет и не объехал сотой доли. (Гр.)
  2. Сверхъестественный ужас исказил его черты. (Купр.)
  3. Дядя обещал при первом случае объясниться с племянником. (Гот.)
  4. Адъютант вышел к князю Андрею на крыльцо и пригласил его завтракать; через полчаса князя Андрея позвали опять к Кутузову. (Л. Т.)
  5. В арьергарде Дохтуров и другие, собирая батальоны, отстреливались от французской кавалерии. (Л. Т.)
  6. Он [Онегин] по-французски совершенно мог изъясняться и писал. (П.)
  7. В ворота входили новые толпы и въезжали запоздавшие телеги. (Ч.)
  8. Шапка съехала ему на ухо, открыв чёрные стриженые волосы. (А. Н. Т.)
  9. Долго обдумывал он эту штуку, которую сыграла с ним его невеста. (Гонч.)
  10. Ты слушай, как он немца объегорил. (С. Щ.)
  11. Муравьи в труху изъели старый пень. (Д. Б.)
  12. Руслан подъемлет смутный взор и видит прямо над главою с подъятой, страшной булавою летает карла Черномор. (П.)
  13. Объемлет ужас печенегов. (П.)
  14. Опять бегут мимо глаз бурьян, холмы, грачи. (Ч.)
  15. Каштанка сразу поняла, что ворчать и лаять на таких субъектов бесполезно. (Ч.)
Упражнение 2.

Весь день и вечером волчиха вспоминала, как прошлою ночью в хлеву блеял ягнёнок и как пахло овечьим молоком, и от аппетита она всё щёлкала зубами и не переставала грызть с жадностью старую кость, воображая себе, что это ягнёнок. Волчата сосали, а щенок, который хотел есть, бегал кругом и обнюхивал снег,
– Съем-ка его… – решила волчиха.
Она подошла к нему, а он лизнул её в морду и заскулил, думая, что она хочет играть с ним.
В былое время она едала собак, но от щенка сильно пахло псиной, и, по слабости здоровья, она уже не терпела этого запаха; ей стало противно, и она отошла прочь.

(А. П. Чехов, Белолобый.)

Упражнение 3.

Вдруг в то ущелье, где Уж свернулся, пал с неба Сокол с разбитой грудью, в крови на перьях. […]
Сквозь серый камень вода сочилась, и было душно в ущелье тёмном, и пахло гнилью.
И крикнул Сокол с тоской и болью, собрав все силы:
«О если б в небо хоть раз подняться!.. Врага прижал бы я… к ранам груди и… захлебнулся б моей он кровью!.. О, счастье битвы!..»
А Уж подумал: «Должно быть, в небе и в самом деле пожить приятно, коль он так стонет!..»
И предложил он свободной птице: «А ты подвинься на край ущелья и вниз бросайся». […]
И подошёл он, расправил крылья, вздохнул всей грудью, сверкнул очами и – вниз скатился.
И сам, как камень, скользя по скалам, он быстро падал, ломая крылья, теряя перья…

(М. Горький, Песня о Соколе.)

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Презентация «Разделительные Ъ и Ь знаки»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Разделительные Ъ и Ь знаки

Слайд 2

Цель урока
Знать: условия выбора разделительного Ъ и Ь знаков Уметь: распознавать на письме разделительные Ъ и Ь знаки; применять правило на практике

Слайд 3

Словарь корней
лить вылить разливать ливень проливной заливной С любыми двумя словами составить и записать предложение

Слайд 4

– Не чересчур ли ты добряк? –  Так знаку мягкому промолвил твёрдый знак.  – Слова и звуки ты всегда смягчить стремишься.  Нет, в алфавит ты не годишься!  -Кто б говорил, но ты б уж помолчал! –  Знак Ь твёрдому на это отвечал.  – Ты твёрд и груб, как суковатый дуб.  Давным-давно пора, как букву ять, тебя из азбуки изъять!..  – Друзья! Ваш разговор – никчёмные слова, –  Услышав этот спор, сказала буква А.  – Вы оба хороши, достойны чести,  Когда стоите в нужном месте. 

Слайд 5

СОГЛ
Е
Я
Ю
Ё

Слайд 6

перед Е, Ё, Ю, Я, И в корне слова или после него
Разделительный Ь

Слайд 7

Объяснительный диктант
Небе…ный свод, чу…ствовать усталость, поз…но вечером, прекра…ный вид, ярос…ный ветер, блес…нуть на со…нце, гиган…ская сосна, окрес…ные места, влас…ный голос, воскрес…ная прогулка, ч…нить ч…сы, вя…кая тр…сина, ше…ствовать по улице.

Слайд 8

Объясни графически
Разлить – разъяснить, съехать – сузить, Сёмка – съёмка, предъюбилейный – предложить Вспомнить правило правописания разделительного Ъ и Ь знака. Обозначают ли звуки Ъ и Ь? Какую роль выполняет разделительный Ъ и Ь знак? В каких случаях пишутся разделительные Ъ и Ь знаки?

Слайд 9

Словарь трудных слов
вьюга серьезный барьер адъютант

Слайд 10

Словарный диктант
Новый под…езд, солов…иные трели, с…ехать с горы, об…единить усилия, нап…юсь воды, желтые лист…я, с…ежиться от холода, заяч…я капуста, под…емный кран, об…явить выступление, необ…ятные дали, пост ад…ютанта, в…ехать во двор.

Слайд 11

Закрепление
Упр. 55, с. 22 (у доски) Упр. 56, с. 22 (самостоятельно)

Слайд 12

Домашнее задание
Орфограмма № 6, с. 21 Упражнение 57 (подготовиться к контрольной работе через урок)

3.4E: Упражнения – Деление многочленов

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  1. A: Концепции
  2. B: Выполнить полиномиальное деление в длину
  3. C: Использовать длинное деление для перезаписи полинома
  4. D: Выполнить синтетическое деление
  5. E: Использовать синтетическое деление для перезаписи полинома
  6. F: Синтетическое деление с Комплексные числа
  7. G: построить многочлен из графика и заданного фактора

A_ Книжные полки / Precalculus / Book: _Precalculus_ (OpenStax) / 03: _Polynomial_and_Rational_Functions / 306: _Dividing_Polynomials_3.5 разделительных полиномов
B_ Книжные полки / Алгебра / Книга: _College_Algebra_and_Trigonometry_ (Beveridge) / 02: _Polynomial_and_Rational_Functions / 206: _Polynomial_Long_Division
Culises_Division: Polynomial_Long_Divisionus и Precalager_Steiz Stitz-Zeager) / 3 – Полиномиальные функции CC.BY.NC.SA

A: Концепции

Упражнение \ (\ PageIndex {A} \): концепции

1) Если в результате деления многочлена на бином остаток равен нулю, какой можно сделать вывод?

2) Если полином степени \ (n \) делится на бином степени \ (1 \), какова степень частного?

Ответ 1:

1.{2} -3 х + 5} \)

Ответы 3-13:

3. \ (\ mathrm {x + 6 + \ dfrac {5} {x − 1},
частное: x + 6, остаток: 5} \)

5. 3 + 1} {x − i} \)

Найдите остаток.2 − ix − 1 + \ dfrac {1 − i} {x − i} \)

91. \ (- 106 \), \ (f (2) = -106 \)

93. \ (0 \), \ (f (4) = 0 \)

95. \ (255 \), \ (f (4) = 255 \)

97. \ (- 1 \), \ (f (-2) = -1 \)

\ (\ bigstar \)

G: построить многочлен из графика и заданного множителя

Упражнение \ (\ PageIndex {G} \): построить многочлен из графика и заданного множителя

Используйте график полинома третьей степени и один множитель, чтобы записать факторизованную форму многочлена, предложенную графом.2 + 2х + 2) \)

\ (\ bigstar \)

Конъюгаты и деление на радикалы

Purplemath

Иногда вам нужно умножать многочленные выражения, содержащие только радикалы. Это ситуация, в которой вертикальное умножение является прекрасным подспорьем.

  • Упростить

Это упражнение выглядит некрасиво, но оно вполне выполнимо, если я аккуратен и точен в своей работе.

Сначала я делаю умножение, используя вертикальный метод, чтобы все было прямо:

MathHelp.com

Затем я устанавливаю исходное выражение, равное последней строке из приведенного выше умножения, и завершаю вычисления, упрощая каждый член:


  • Упростить:

Сначала делаю умножение:

А потом упрощаю:


Обратите внимание, в последнем примере выше, как я получил все целые числа.(Хорошо, технически это целые числа, но дело в том, что члены , а не включают какие-либо радикалы.) Я перемножил два радикальных бинома и получил ответ, в котором не было радикалов. Вы также могли заметить, что два «бинома» были одинаковыми, за исключением знака посередине: у одного был «плюс», а у другого – «минус».

Эта пара факторов, где второй фактор отличается только одним знаком посередине, очень важна; по сути, этот «тот же самый, за исключением знака посередине» второй фактор имеет собственное название:

Учитывая радикальное выражение

, «конъюгат» является выражением.

Конъюгат (KAHN-juh-ghitt) имеет те же числа, но с противоположным знаком посередине. Таким образом,

не только является конъюгатом, но и является конъюгатом.

Кроме того, конъюгаты не обязательно должны быть двухчленными выражениями с радикалами в каждом из терминов. Фактически, любое двухчленное выражение может иметь конъюгат:

1 + sqrt [2] является конъюгатом 1 – sqrt [2] sqrt [7] – 5 sqrt [6] является конъюгатом sqrt [7] + 5 sqrt [6] x + sqrt [y] является конъюгатом x – sqrt [y]

Чтобы создать конъюгат, все, что вам нужно сделать, это перевернуть знак посередине.Все остальное остается прежним.


  • Что такое спряжение 3 + sqrt [5]?

В этом случае я нахожу сопряжение для выражения, в котором только один из терминов имеет радикал. Это хорошо. Несмотря на это, процесс тот же; а именно я переворачиваю знак посередине. Поскольку они дали мне выражение со знаком «плюс» в середине, спряжение – это те же два термина, но с «минусом» посередине:


  • Найдите конъюгат –7 sqrt [3] – 2

На этот раз радикал находится в первом из двух членов, и перед первым термином стоит «минус».Это хорошо. Я оставлю первый «минус» в покое, потому что ничего не меняю, кроме среднего знака; Переверну второй «минус» посередине на «плюс»:


Когда мы умножаем конъюгаты, мы делаем нечто похожее на то, что происходит, когда мы умножаем на разность квадратов; а именно:

a 2 b 2 = ( a + b ) ( a b )

Когда мы умножаем множители a + b и a b , средние члены « ab » сокращаются:

То же самое происходит, когда мы умножаем конъюгаты:

Мы вскоре увидим, почему это важно.Чтобы понять это, давайте сначала взглянем на дроби, в знаменателях которых есть радикалы.


Деление на квадратные корни

Подобно тому, как мы можем переключаться между умножением радикалов и радикалом, содержащим умножение, мы можем переключаться между делением корней и одним корнем, содержащим деление.

  • Упростить:

Я могу упростить это, работая внутри, а затем извлекая квадратный корень:

…. или, в противном случае, разделив разделение на два радикала, упрощение и исключение:

В любом случае, мой окончательный ответ такой же.


  • Упростить:

Я вижу, что в знаменателе есть полный квадрат, а в числителе – простое число.Так что упрощение будет легче, если я разделю радикал, содержащий фракцию, на фракцию, содержащую радикалы:


URL: https://www.purplemath.com/modules/radicals4.htm

Long Полиномиальное деление | Purplemath

Purplemath

Если вы делите многочлен на что-то более сложное, чем просто одночлен (то есть на что-то более сложное, чем одночленный многочлен), тогда вам нужно будет использовать другой метод для упрощения.Этот метод называется «долгим полиномиальным делением», и он работает так же, как долгое (числовое) деление, которое вы делали в начальной школе, за исключением того, что теперь вы делите с помощью переменных.

  • Разделить
    x 2 – 9 x – 10 на x + 1

Вспомните, когда вы делали длинное деление с простыми старыми числами.Вам будет дано одно число (называемое делителем), которое вы должны разделить на другое число (называемое делимым). Вы установили символ длинного деления, вставили два числа, которым они принадлежали, а затем начали гадать, что должно быть поверх символа.

MathHelp.com

И вы не сразу угадали весь ответ; вместо этого вы начали работать с «лицевой» частью (то есть с большей размеченной частью) числа, которое вы делили.Например, если вы делили 1137 на 82, вы бы посмотрели на «8» и «10» и угадали бы, что, вероятно, «1» должна стоять сверху, над «11», потому что 8 входит один раз в 11.

Деление в столбик многочленов работает примерно так же:

Сначала я настрою деление, поместив делимое (вещь, на которую делится) внутри, а делитель (вещь, делающую) снаружи и влево:

На данный момент я проигнорирую все, кроме ведущих терминов.Как и в случае с числовым делением в столбик, я буду рассматривать только ведущие x делителя и ведущие x 2 делимого.

Если я разделю ведущие x 2 внутри на ведущие x спереди, что я получу? Я бы взял x . Поэтому я помещаю x поверх символа деления, прямо над x 2 внутри:

Теперь возьму x сверху и умножу на делитель x + 1.Сначала я умножу x (сверху) на x (на «стороне») и перенесу получившееся x 2 под ним, поместив его непосредственно под x 2 от дивиденда:

Затем я умножу x (вверху) на 1 (на «стороне») и перенесу 1 x внизу, поместив его прямо под –9 x в делимом:

Затем я нарисую горизонтальную полосу «равно» под тем, что я только что поместил под дивидендом, чтобы сделать вычитание.

Чтобы вычесть многочлены, я сначала меняю все знаки во второй строке …

… а потом добавляю. Первый член ( x 2 ) будет сокращен (по дизайну), а –9 x – 1 x станет –10 x :

Мне нужно не забыть перенести последний член (то есть член «вычесть десять») из дивиденда:

На этом этапе я начинаю игнорировать дивиденды и вместо этого работаю над нижней строкой моего длинного деления.

Я смотрю на x от делителя и новый ведущий член, –10 x , в нижней строке деления. Если я разделю –10 x на x , я получу –10, поэтому я поставлю это сверху, прямо над –9 x :

Теперь я умножу –10 (сверху) на ведущие x (на «стороне») и перенесу –10 x вниз, прямо под –10 x в предыдущей строке:

…и я умножу –10 (сверху) на 1 (на «стороне») и перенесу –10 вниз, прямо под –10:

в предыдущей строке.

Я нарисую еще одну горизонтальную полосу «равно» и поменяю знаки на всех терминах в нижнем ряду:

Затем складываю:

Дизайн 10 x отменен.Случайно и десятки тоже отменили. Тогда мой ответ сверху символа деления:


Поскольку остаток от деления выше был равен нулю (то есть, поскольку ничего не осталось), деление «получилось четным». Когда вы делаете обычное деление с числами, и деление «получается четным», это означает, что число, на которое вы делите, является множителем числа, которое вы делите.

Например, если вы разделите 50 на 10, ответом будет аккуратная цифра «5» с нулевым остатком, потому что 10 – это коэффициент 50.

В случае вышеупомянутого полиномиального деления нулевой остаток говорит нам, что x + 1 является множителем x 2 -9 x -10, что вы можете подтвердить факторизацией исходного квадратичного делимого, x 2 – 9 x – 10. Каждый раз, когда вы получаете нулевой остаток, делитель является множителем делимого.


Между прочим, обратите внимание на то, как я выяснил, что поставить поверх символа длинного деления в приведенном выше упражнении: я разделил главный член того, на что я делил, на главный член того, на что я делил.Независимо от того, будет ли у конкретного деления ненулевой остаток, этот метод всегда будет давать правильное значение для того, что вам нужно наверху. Таким образом, полиномиальное деление в столбик проще, чем числовое деление в столбик, когда вам приходилось угадывать-н-проверять, чтобы выяснить, что было наверху.


Давайте сделаем еще один пример с делением, которое выходит «четным», чтобы мы могли проверить наш результат, выполнив факторизацию и отмену.

  • Упростить

Это дробное сокращение может быть выполнено любым из двух способов: я могу разложить квадратичный множитель, а затем отменить общий множитель, например:

Но что, если я не знаю, как разложить на множители (или если мне нужно «показать свою работу» для длинного полиномиального деления на тесте)? Как и раньше, я начну длинное деление с работы с ведущими членами делителя и дивиденда.

Главный член дивиденда – x 2 , а старший член делителя – x . Разделив x 2 на x , я получу x , так что это то, что я поставил поверх x 2 в дивиденде:

Затем я умножаю x сверху на делитель x + 7 и помещаю полученное x 2 + 7 под делимое:

Затем я рисую горизонтальную полосу «равно», меняю знаки, складываю вниз и перемещаю +14 вниз, получая 2 x + 14 под полосой «равно»:

Деление первых 2 x на ведущие x делителя дает мне 2, так что это то, что я помещаю поверх символа деления, прямо над 9 x в делимом:

Затем я умножаю это 2 сверху на x + 7 и помещаю результат 2 x + 14 под:

Затем я меняю знаки и складываю, получая нулевой остаток:

Ответом на деление является частное, являющееся полиномом в верхней части символа деления в столбик:


URL: https: // www.purplemath.com/modules/polydiv2.htm

Делимость (и алгоритм деления)

Понятие делимости мотивировано и определено. Мы проработаем множество примеров и докажем несколько простых лемм о делимости – важных для последующих теорем. Мы также обсуждаем линейные комбинации, и алгоритм деления представлен и доказан. Важность алгоритма деления демонстрируется на примерах.

В процессе деления часто используется метод длинного деления. Алгоритм деления, таким образом, является более или менее подходом, который гарантирует, что процесс длинного деления действительно надежен. Его удобство проистекает из того факта, что он не только упрощает процесс деления, но и его использование при поиске доказательства фундаментальной теории арифметики.

Мы начинаем с определения делимости, основной темы обсуждения. Затем мы приводим несколько примеров, а затем несколько основных лемм о делимости.Затем формулируется аксиома правильного порядка, которая используется в доказательстве алгоритма деления. Затем приведены примеры, демонстрирующие, как использовать алгоритм деления в качестве метода доказательства.

Определение делимости

Конечно, сумма, разность и произведение любых двух целых чисел является целым числом. Чего нельзя сказать о соотношении двух целых чисел. Например, хотя 2 и 3 являются целыми числами, отношение $ 2/3 $ не является целым числом. Таким образом, если мы хотим рассматривать только целые числа, мы просто не можем взять любые два целых числа и разделить их.Изучение целых чисел – это в значительной степени изучение делимости.

Определение . Если $ a $ и $ b $ – целые числа с $ a \ neq 0, $, мы говорим, что $ a $ делит $ b, $ записывается как $ a | b, $, если существует целое число $ c $ такое, что $ b = a c. $

Вот несколько примеров делимости

$ 3 | 6 $, поскольку $ 6 = 2 (3) $ и $ 2 \ in \ mathbb {Z} $

$ 6 | 24 $, поскольку $ 24 = 4 (6) $ и $ 4 \ in \ mathbb {Z} $

$ 8 | 0 $, поскольку $ 0 = 0 (8) $ и $ 0 \ in \ mathbb {Z} $

$ -5 | -55 $, поскольку $ -55 = 11 (-5) $ и $ 11 \ in \ mathbb {Z} $

$ -9 | 909 $, поскольку $ 909 = -101 (-9) $ и $ -101 \ in \ mathbb {Z} $

Другие распространенные способы

Есть и другие распространенные способы сказать, что $ a $ делит $ b.$ А именно, $ a | b $ эквивалентно всему следующему: $ a $ является делителем $ b, $ $ a $ делит $ b, $ $ b $ делится на $ a, $ $ b $ является кратное $ a, $ $ a $ является множителем $ b $.

Деление целых чисел – это прямой процесс. Для целых чисел со знаком самый простой и предпочтительный подход – оперировать их абсолютными значениями, а затем применять правила деления знаков для определения применимого знака. Правила знакового деления гласят, что частное двух положительных или двух отрицательных целых чисел является положительным целым числом, а частное отрицательного целого числа и положительного целого числа является отрицательным целым числом.Добавьте сюда текст.

Любое целое число $ n, $, кроме $ 0, $, имеет лишь конечное число делителей. Ведь если $ a | n $, где $ a $ и $ n $ – натуральные числа, то $ n = ak $ для некоторого целого числа $ k. $ Поскольку $ k $ – целое положительное число, мы видим, что $ n = ak \ geq a. $ Следовательно, любое ненулевое целое число $ n $ может иметь не более $ 2 | n | $ делителей.

Леммы о делимости

Из предыдущего утверждения ясно, что каждое целое число должно иметь как минимум два делителя, а именно 1 и само число. Ноль делится на любое число, кроме самого себя.Кроме того, если можно разделить число $ m $, то можно в равной степени разделить и его минус. Отсюда также следует, что если можно разделить два числа $ m $ и $ n $ по отдельности, то можно также разделить их сумму. Добавьте сюда текст.

Теперь мы сформулируем и докажем транзитивные и линейные комбинированные свойства делимости.

Лемма . ( Транзитивное свойство делимости ) Пусть $ a, $ $ b, $ и $ c $ – целые числа.Если $ a | b $ и $ b | c, $, затем $ a | ок. $

Проба . Предположим, что $ a | b $ и $ b | c, $, тогда существуют целые числа $ m $ и $ n $ такие, что $ b = ma $ и $ c = n b. $ Таким образом, $$ c = nb = n (ma) = (nm) a. $$ Так как $ nm \ in \ mathbb {Z} $, мы видим, что $ a | c $, как и нужно.

Мы говорим, что целое число $ n $ представляет собой линейную комбинацию из $ a $ и $ b $, если существуют целые числа $ x $ и $ y $ такие, что $ n = ax + by. $ Например, $ 7 $ является линейной комбинацией $ 3 $ и $ 2 $, поскольку $ 7 = 2 (2) +1 (3).$

Следующая лемма говорит, что если целое число делит два других целых числа, то оно делит любую линейную комбинацию этих двух целых чисел.

Лемма . ( Линейные комбинации ) Пусть $ a, $ $ b, $ и $ c $ – целые числа. Если $ c | a $ и $ c | b, $, то $ c | (x a + y b) $ для любых натуральных чисел $ x $ и $ y. $

Проба . Предположим, что $ c | a $ и $ c | b. $ Тогда существуют целые числа $ m $ и $ n $ такие, что $ a = mc $ и $ b = n c. $ Предположим, что $ x $ и $ y $ – произвольные целые числа .Имеем $$ x a + yb = x (mc) + y (nc) = c (x m + yn) $$ Так как $ x m + yn \ in \ mathbb {Z} $, мы видим, что $ c | (x a + yb) $ по желанию.

Свойства делимости

Помимо демонстрации отношения делимости между любыми двумя ненулевыми целыми числами, стоит отметить, что такие отношения характеризуются определенными свойствами. Свойства делимости, как они известны в теории чисел, гласят, что: 1. Если число $ N $ делится на $ m $, то оно также делится на множители $ m $; 2.Если число $ N $ делится как на $ p $, так и на $ q $, где $ p $ и $ q $ – взаимно простые числа, то $ N $ также делится на произведение $ p $ и $ q $. ; 3. Если число $ N $ делится на два числа $ s $ и $ t $, то оно также является множителем суммы и разницы между $ s $ и $ t $; и 4. Когда число $ N $ является множителем другого числа $ M $, тогда $ N $ также является множителем любого другого числа, кратного $ M $.

Леммы о делимости

Теперь сформулируем и докажем антисимметричные и мультипликативные свойства делимости.

Лемма . ( Антисимметричное свойство делимости ) Пусть $ a $ и $ b $ ненулевые положительные целые числа. Если $ a | b $ и $ b | a, $, тогда $ a = b. $

Проба . Предположим, что $ a | b $ и $ b | a, $, тогда существуют целые числа $ m $ и $ n $ такие, что $ b = ma $ и $ a = n b. $ Обратите внимание, что и $ m $, и $ n $ равны положительный, так как и $ a $, и $ b $. Тогда имеем $$ a = n b = n (m a) = (n m) a. $$ Таким образом, $ n m = 1 $ и, в частности, $ n = 1. $ Следовательно, $ a = b $ по желанию.

Лемма . ( Мультипликативное свойство делимости ) Пусть $ a, $ $ b, $ и $ c $ – целые числа. Если $ c \ neq 0 $ и $ a | b $, то $ a c | b c. $

Проба . Предположим, $ a | b. $ Тогда существует целое число $ n $ такое, что $ b = n a. $ Подстановкой находим $$ b c = (n c) a = (a c) n. $$ Так как $ c \ neq 0, $ следует, что $ ac \ neq 0, $ и, значит, $ a c | b c $ по мере необходимости.

Лемма . Пусть $ a $ и $ b $ – целые числа. Если $ a | b, $, то $ a ^ n | b ^ n $ для любого натурального числа $ n.{k + 1} $ по желанию.

Аксиома правильного порядка

Прежде чем мы сформулируем и докажем алгоритм деления, давайте вспомним аксиому правильного порядка , а именно:

Каждый непустой набор натуральных чисел содержит наименьший элемент.

Это невероятно важное и мощное заявление. Мы будем использовать аксиому упорядочения, чтобы доказать алгоритм деления.

Алгоритм деления

Доказательство алгоритма деления иллюстрирует технику доказательства существования и уникальности и опирается на аксиому упорядочения.

Теорема . ( Алгоритм деления ) Если $ a $ и $ b $ – ненулевые положительные целые числа, тогда существуют уникальные положительные целые числа $ q $ и $ r $ такие, что $ a = bq + r $, где $ 0 \ leq r долларов США

Проба . Сначала докажем существование. Пусть $ b $ – произвольное натуральное число, большее, чем $ 0 $, и пусть $ S $ – множество кратных $ b $, которые больше, чем $ a, $, а именно $$ S = \ {bi \ mid i \ in \ mathbb {N} \ text {и} bi> a \}. $$ Заметьте, что $ S $ непусто, поскольку $ ab> a.$ Согласно аксиоме правильного порядка $ S $ должен содержать наименьший элемент, скажем $ bk. $ Поскольку $ k \ not = 0, $ существует натуральное число $ q $ такое, что $ k = q + 1. $ Замечание $ bq \ leq a $, поскольку $ bk $ является наименьшим кратным $ b $ большим, чем $ a. $ Таким образом, существует натуральное число $ r $ такое, что $ a = bq + r. $ Обратите внимание на $ 0 \ leq r. $ Предположим, $ r \ geq b. $ Тогда существует натуральное число $ m \ geq 0 $ такое, что $ b + m = r. $ По подстановке $ a = b (q + 1) + m $ и, значит, $ bk = b (q + 1) \ leq a. $ Это противоречие показывает, что $ r

Теперь докажем уникальность.Предположим, что $$ a = bq_1 + r_1, \ quad a = b q_2 + r_2, \ quad 0 \ leq r_1 0. $ Отсюда
$$ r_1 = ab q_1 = bq_2 + r_2-b q_1 = bn + r_2 \ geq bn \ geq b $$, что противоречит $ r_1

Примеры использования алгоритма деления

Мы говорим, что целое число $ a $ имеет форму $ bq + r $, если существуют такие целые числа $ b, $ $ q, $ и $ r $, что $ a = bq + r.2 + 2)) $ для любого натурального положительного числа $ a. $

Другой пример использования алгоритма деления

Преимущество алгоритма деления состоит в том, что он позволяет нам доказывать утверждения о положительных целых числах (целых числах), рассматривая только конечное число случаев. Следующие три примера иллюстрируют это.

Пример . Show $ 6 $ делит произведение любых трех последовательных положительных целых чисел.

Решение . Пусть $ m $ – натуральное число.{k + 1} $ делится на 5. Следовательно, $ k + 1 \ in P $ и, следовательно, $ P = \ mathbb {N} $ по математической индукции.

Упражнения по делимости, часть A

Упражнение . Покажите, что сумма двух четных или двух нечетных целых чисел четна, а также покажите, что сумма нечетных и четных чисел нечетна.

Упражнение . Покажите, что произведение двух нечетных целых чисел нечетно, а также покажите, что произведение двух целых чисел будет четным, если одно или одно из них четное.

Упражнение .3-а.

долларов США

Упражнение . Докажите, что квадрат каждого нечетного целого числа имеет вид 8 тыс. Долларов + 1.

долларов.

Упражнение . Докажите, что произведение каждых двух целых чисел вида $ 6k + 5 $ имеет вид $ 6k + 1. $

Упражнение . Найдите количество натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 3, но не на 4.

Упражнение . Покажите, что любое целое число вида $ 6k + 5 $ также имеет вид $ 3 j + 2, $, но не наоборот.

Упражнение . Докажите, что если $ a $ ad $ b $ – целые числа, причем $ b> 0, $, то существуют уникальные целые числа $ q $ и $ r $, удовлетворяющие $ a = bq + r, $, где $ 2b \ leq r <3b. $

Упражнения по делимости, часть B

Упражнение . Расширьте алгоритм деления, разрешив отрицательные делители. В частности, докажите, что всякий раз, когда $ a $ и $ b \ neq 0 $ являются целыми числами, существуют уникальные целые числа $ q $ и $ r $ такие, что $ a = bq + r, $, где $ 0 \ leq r <| b |. $

Упражнение .Докажите, что квадрат любого целого числа имеет вид 3k $ или 3k + 1. $

Упражнение . Докажите, что куб любого целого числа имеет одну из форм: 9 тыс. Долларов, 9 тыс. Долларов + 1, 9 тыс. + 8 тыс. Долларов.

Упражнение . Докажите, что куб любого целого числа имеет одну из форм: 7k $, $ 7k + 1, $ 7k-1. $

Упражнение . Докажите, что четвертая степень любого целого числа имеет вид 5 тыс. Долларов или 5 тыс. + 1.

Упражнение . Пусть $ a $ и $ b $ – натуральные числа.5-n $ делится на 5 для любого натурального числа $ n. $

Упражнение . Докажите, что если $ a, $ $ b, $ и $ c $ – целые числа, у которых $ a $ и $ c $ ненулевые, такие, что $ a | b $ и $ c | d, $, то $ ac | bd. $

Упражнение . Докажите или опровергните контрпримером. Существуют целые числа $ a, $ $ b, $ и $ c $ такие, что $ a | bc, $, но $ a \ nmid b $ и $ a \ nmid c. $

Упражнение . Докажите или опровергните контрпримером. Если $ a, $ $ b $ и $ c \ neq 0 $ – целые числа, то $ a | b $ тогда и только тогда, когда $ ac | bc.n $ делится на $ 3 $ при $ n \ geq 1. $

Упражнение . Покажите, что $ f_n \ mid f_m $, когда $ n $ и $ m $ – натуральные числа с $ n \ mid m. $

Упражнение . Докажите, что произведение каждых двух целых чисел вида $ 6k + 1 $ также имеет форму $ 6k + 1. $

Упражнение . Покажите, что любое целое число вида $ 6k + 5 $ также имеет вид $ 3 k + 2, $, но не наоборот.

Упражнение . Для заданных ненулевых целых чисел $ a, b, $ и $ c $ показывают, что из $ a | b $ и $ a | c $ следует $ a | (b x + c y) $ для любых целых чисел $ x $ и $ y.2) / 2`

После того, как вы немного попрактикуетесь с ними, вы сможете делать это, не разделяя их сначала на 2 части.

Деление на дробь

Помните следующее при делении алгебраические выражения.

, обратное числа x , равно `1 / x`.

Например, величина, обратная 5 – это «1/5», а обратная величина для «1 2/3» – «3/5».

Чтобы разделить на дробь, вы умножите на – это величина, обратная дроби.

Например, `3/4 -: 7 / x = 3 / 4xxx / 7 = (3x) / 28`

Пример 4

Упростить

`(3 + 1 / x) / (5 / x + 4)`

Ответ

Я покажу вам, как это сделать двумя разными способами. Стоит увидеть оба, потому что они оба полезны. Вы сами решаете, что проще 😉

Решение 1. Умножение на обратное

Я беру верхнее выражение (числитель) и превращаю его в единую дробь со знаминателем x .

`3 + 1 / x = (3x + 1) / x`

Аналогично поступаем с нижним выражением (знаменателем):

`5 / x + 4 = (5 + 4x) / x`

Итак вопрос стал:

`(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) = ((3x + 1) / x) / ((5 + 4x) / x)`

Мы думаем о правой стороне как о делении верхней части на нижнюю:

`(3x + 1) / x – 🙁 5 + 4x) / x`

Чтобы разделить на дробь, умножьте на обратную:

`(3x + 1) / (x) xxx / (5 + 4x) = (3x + 1) / (5 + 4x)`

x отменены, и у нас есть окончательный ответ, который больше не может быть упрощен.

Решение 2. Умножение верха и низа

Я понимаю, что у меня есть “/ x ” и в числителе, и в знаменателе. Итак, если я просто умножу верхнюю и нижнюю части на x , это упростит все, удалив дробные части сверху и снизу.

`(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) xxx / x`

Я просто умножаю на «1» и не меняю исходное значение дроби – просто меняю ее форму.

Итак, я умножаю каждый элемент верха на x и каждый элемент низа на x , и я получаю:

`(3 + 1 / x) / (5 / x + 4) xxx / x = (3x + 1) / (5 + 4x)`

Я не могу дальше упрощать.

Длинное деление в алгебре

Прежде чем мы рассмотрим пример с использованием алгебры, давайте сначала вспомним, как выполнять деление в столбик с числами .

Пример 5

Давайте сделаем 23 576 разделить на 13.

Мы можем записать это в виде дроби:

`23576/13`

Теперь, чтобы разделить это (при условии, что у нас нет калькулятора), мы могли бы поступить следующим образом.

23 разделить на 13 = 1 с остатком 10.

Опускаем 5 (следующее число после 3) вниз.2-11x-4) – 🙁 x-4) `

Ответ

Мы делим многочлен степени 2 на многочлен степени 1. Это алгебраическое деление в столбик.

Шаг 1: Мы смотрим на первый член (3 x 2 – 11 x – 4) и первый член ( x – 4).

Разделите следующим образом: 3 x 2 ÷ x = 3 x

Мы пишем 3 x в верхней части нашего длинного деления и умножаем (3 x ) ( x – 4) = 3 x 2 -12 x , чтобы получить вторую строку нашего решения.

Шаг 2: Вычитание второй строки из первой дает:

Будьте осторожны с

-11 x – (-12 x ) = -11 x + 12 x = x

Шаг 3: Опустите -4 из первого ряда:

Шаг 4: Разделите x (в 3-м ряду) на x из ( x – 4) в вопросе.Наш ответ – 1, и мы пишем «+1» в верхней части нашего длинного деления.

Затем умножьте (1) на ( x – 4), чтобы получить 4-ю строку.

Шаг 5: Вычтем 4-ю строку из 3-ей:

Итак (3 x 2 -11 x -4) ÷ ( x -4) = 3 x + 1

Вы можете проверить свой ответ, умножив (3 x + 1) на ( x – 4), и вы получите (3 x 2 – 11 x – 4).2 + 6 + 7x) / (2x + 1) `как (6 x 2 + 7 x + 6) ÷ (2 x + 1)

Мы снова делим многочлен степени 2 на многочлен более низкой степени (1). Это алгебраическое деление в столбик.

Шаг 1: 6 x 2 ÷ 2 x = 3 x

Итак, мы напишем следующее, используя (3 x ) (2 x + 1) = 6 x 2 + 3 x для второй строки:

Шаг 2: Из первой строки вычитаем 6 x 2 + 3 x :

Шаг 3: Опустите 6:

Шаг 4: Разделите 4 x на 2 x .2 + 6 + 7x) / (2x + 1) = 3x + 2 + 4 / (2x + 1) `

ПРИМЕЧАНИЕ: Некоторые люди предпочитают записывать задачу со всеми x 2 , x и единицами в строке следующим образом:

Вы можете увидеть, как алгебраическое деление в столбик используется в следующем разделе, теоремы об остатке и множитель.

разделительных букв в алгебре (ключевой этап 3)

Урок

Буквы можно делить, умножать на числа, другие буквы и ту же букву.
  • Букву можно разделить числом.

    Напишите букву в числителе дроби и цифру в знаменателе.

  • Букву можно разделить на другую букву.

    Напишите букву, которую вы делите на (b), под буквой, которую вы разделяете (a).

Разделение букв для получения терминов

Термин – это набор букв и цифр, перемноженных и / или разделенных вместе.В приведенных выше примерах буква a была разделена на число, а буква b для создания терминов. Эти подразделения можно объединить в более сложный термин:

Подробнее о разделении терминов

Разделение буквы на одну и ту же букву

Разделив букву на себя, получится 1:

Буквы иногда имеют показатель степени, который говорит вам, сколько раз буква умножается сама на себя. Например, a 1 = a , a 2 = a × a и a 3 = a × a × a .Когда буква с показателем степени делится на эту же букву, мы должны вычесть экспоненты.

  • Например, представьте, что мы хотим разделить на 2 ÷ на . ( Не забудьте: , если у буквы нет показателя степени, она имеет неявный показатель степени 1):

    Мы можем понять, почему это работает, если мы выпишем термин полностью, вместо того, чтобы использовать нотацию экспоненты, помня, что a 2 = a × a .Каждые a в знаменателе отменяют a в числителе, оставляя только один a :

  • Представьте, что мы хотели разделить на 4 ÷ на 2 :

    Мы можем понять, почему это работает, если мы выпишем термин полностью, вспомнив, что
    a 4 = a × a × a × a и что a 2 = × .Каждые a в знаменателе отменяют a в числителе, оставляя два a :

Подробнее о разделении букв степенями

Будьте осторожны со знаками

Буквы могут иметь разные знаки: знак + , если они положительные, и знак , если они отрицательные. Запомните правила разделения разных знаков: Те же знаки дают плюс:

Разные знаки дают минус:

Помогите нам улучшить математику Monster
  • Вы не согласны с чем-то на этой странице?
  • Вы заметили опечатку?
Сообщите нам, используя эту форму

См. Также

Что такое алгебра? Что такое дробь? Что такое числитель? Что такое знаменатель? Что такое термин? Как делить члены в алгебре Что такое показатель степени? Законы экспонент Как разделить буквы показателями

Как использовать оператор% – Real Python

Python поддерживает широкий спектр арифметических операторов, которые вы можете использовать при работе с числами в вашем коде.Одним из таких операторов является оператор по модулю (% ), который возвращает остаток от деления двух чисел.

Оператор по модулю Python иногда может быть упущен из виду. Но хорошее понимание этого оператора даст вам бесценный инструмент в вашем арсенале инструментов Python.

Математический модуль по модулю

Термин по модулю происходит от раздела математики, называемого модульной арифметикой. Модульная арифметика имеет дело с арифметикой целых чисел на круговой числовой строке с фиксированным набором чисел.Все арифметические операции, выполняемые на этой числовой строке, будут повторяться, когда они достигнут определенного числа, называемого модулем .

Классический пример модульной арифметики – двенадцать часов. Двенадцатичасовые часы имеют фиксированный набор значений от 1 до 12. При подсчете двенадцатичасовых часов вы считаете до модуля 12, а затем возвращаетесь к 1. Двенадцатичасовые часы можно классифицировать как « по модулю 12 », иногда сокращается до« по модулю 12 ».

Оператор по модулю используется, когда вы хотите сравнить число с модулем и получить эквивалентное число, ограниченное диапазоном модуля.

Например, скажем, вы хотите определить, сколько времени будет через девять часов после 8:00. В двенадцатичасовых часах вы не можете просто прибавить 9 к 8, потому что вы получите 17. Вам нужно взять результат, 17, и используйте мод , чтобы получить эквивалентное значение в двенадцатичасовом контексте:

  8 часов + 9 = 17 часов
17 мод 12 = 5
  

17 mod 12 возвращает 5 . Это означает, что девять часов после 8:00 – это 17:00. Вы определили это, взяв число 17 и применив его к контексту mod 12 .

Теперь, если задуматься, 17 и 5 эквивалентны в контексте mod 12 . Если бы вы посмотрели на часовую стрелку в 5:00 и 17:00, она была бы в том же положении. В модульной арифметике есть уравнение, описывающее эту взаимосвязь:

Это уравнение гласит: « a и b равны по модулю n ». Это означает, что a и b эквивалентны в mod n , поскольку они имеют одинаковый остаток при делении на n .В приведенном выше уравнении n – это модуль как для a , так и для b . Используя предыдущие значения 17 и 5 , уравнение будет выглядеть так:

Это гласит: « 17 и 5 равны по модулю 12 ». 17 и 5 имеют одинаковый остаток, 5 , при делении на 12 . Таким образом, в mod 12 числа 17 и 5 эквивалентны.

Вы можете подтвердить это с помощью деления:

  17/12 = 1 R 5
5/12 = 0 R 5
  

Обе операции имеют одинаковый остаток, 5 , поэтому они эквивалентны по модулю 12 .

Теперь это может показаться сложным математическим делом для оператора Python, но эти знания подготовят вас к использованию оператора по модулю в примерах далее в этом руководстве. В следующем разделе вы познакомитесь с основами использования оператора Python по модулю с числовыми типами int и float .

Основы операторов Python по модулю

Оператор по модулю, как и другие арифметические операторы, может использоваться с числовыми типами int и float . Как вы увидите позже, его также можно использовать с другими типами, такими как math.fmod () , decimal.Decimal и вашими собственными классами.

Оператор по модулю с

int

В большинстве случаев вы будете использовать оператор по модулю с целыми числами. Оператор по модулю при использовании с двумя положительными целыми числами вернет остаток от стандартного евклидова деления:

>>>
  >>> 15% 4
3

>>> 17% 12
5

>>> 240% 13
6

>>> 10% 16
10
  

Будьте осторожны! Как и в случае с оператором деления (/), Python вернет ZeroDivisionError , если вы попытаетесь использовать оператор по модулю с делителем 0 :

>>>
  >>> 22% 0
ZeroDivisionError: целочисленное деление или по модулю нуля
  

Далее вы познакомитесь с использованием оператора по модулю с числом с плавающей запятой .

Оператор по модулю с плавающей точкой

Подобно int , оператор по модулю, используемый с числом с плавающей запятой , вернет остаток от деления, но как значение с плавающей запятой :

>>>
  >>> 12,5% 5,5
1.5

>>> 17,0% 12,0
5.0
  

Альтернативой использованию с плавающей запятой с оператором по модулю является использование math.fmod () для выполнения операций по модулю над с плавающей запятой значений:

>>>
  >>> импорт математики
>>> математика.fmod (12.5, 5.5)
1.5

>>> math.fmod (8.5, 2.5)
1.0
  

В официальных документах Python предлагается использовать math.fmod () вместо оператора Python по модулю при работе со значениями float , поскольку math.fmod () вычисляет результат операции по модулю. Если вы используете отрицательный операнд, вы можете увидеть разные результаты между math.fmod (x, y) и x% y . В следующем разделе вы более подробно исследуете использование оператора по модулю с отрицательными операндами.

Как и другие арифметические операторы, оператор по модулю и math.fmod () могут столкнуться с проблемами округления и точности при работе с арифметикой с плавающей запятой:

>>>
  >>> 13,3% 1,1
0,09999999999999964

>>> импорт математики
>>> math.fmod (13.3, 1.1)
0,09999999999999964
  

Если для вашего приложения важно поддерживать точность с плавающей запятой, вы можете использовать оператор по модулю с десятичным числом .Десятичный . Вы рассмотрите это позже в этом руководстве.

Оператор по модулю с отрицательным операндом

Все операции по модулю, которые вы видели до этого момента, использовали два положительных операнда и возвращали предсказуемые результаты. Когда вводится отрицательный операнд, все становится сложнее.

Как оказалось, способ, которым компьютеры определяют результат операции по модулю с отрицательным операндом, оставляет неоднозначность относительно того, должен ли остаток принимать знак делимого (делимое число) или знак делителя (число, на которое делится дивиденд).Разные языки программирования обрабатывают это по-разному.

Например, в JavaScript остаток примет знак делимого:

Остаток в этом примере, 2 , положителен, поскольку принимает знак дивиденда 8 . В Python и других языках остаток примет знак делителя:

Здесь вы можете видеть, что остаток -1 принимает знак делителя -3 .

Вы можете спросить, почему остаток в JavaScript равен 2 , а остаток в Python равен -1 .Это связано с тем, как разные языки определяют результат операции по модулю. Языки, в которых остаток принимает знак делимого, используют следующее уравнение для определения остатка:

Это уравнение состоит из трех переменных:

  1. r – остаток.
  2. a – дивиденды.
  3. n – делитель.

trunc () в этом уравнении означает, что используется усеченное деление , которое всегда округляет отрицательное число до нуля.Для получения дополнительных пояснений см. Шаги операции по модулю ниже, используя 8 в качестве делимого и -3 в качестве делителя:

  r = 8 - (-3 * усечение (8 / -3))
r = 8 - (-3 * усечение (-2,666666666667))
r = 8 - (-3 * -2) # Округление в сторону 0
г = 8 - 6
г = 2
  

Здесь вы можете увидеть, как такой язык, как JavaScript, получает остаток 2 . Python и другие языки, в которых остаток принимает знак делителя, используют следующее уравнение:

этаж () в этом уравнении означает, что используется разделение этажа .При положительных числах деление этажа вернет тот же результат, что и усеченное деление. Но при отрицательном числе деление по этажам округляет результат в меньшую сторону, в сторону от нуля:

  r = 8 - (-3 * этаж (8 / -3))
r = 8 - (-3 * этаж (-2.666666666667))
r = 8 - (-3 * -3) # Округление от 0
г = 8 - 9
г = -1
  

Здесь видно, что результат -1 .

Теперь, когда вы понимаете, откуда взялось различие в остатке, вам может быть интересно, почему это важно, если вы используете только Python.Как оказалось, не все операции по модулю в Python одинаковы. В то время как модуль, используемый с типами int и float , принимает знак делителя, другие типы – нет.

Вы можете увидеть пример этого, сравнив результаты 8.0% -3.0 и math.fmod (8.0, -3.0) :

>>>
  >>> 8.0% -3
-1,0

>>> импорт математики
>>> math.fmod (8.0, -3.0)
2.0
  

математ.fmod () принимает знак делимого с использованием усеченного деления, тогда как float использует знак делителя. Позже в этом руководстве вы увидите другой тип Python, в котором используется знак делимого – десятичное число . Десятичное число .

Оператор по модулю и

divmod ()

Python имеет встроенную функцию divmod () , которая внутренне использует оператор по модулю. divmod () принимает два параметра и возвращает кортеж, содержащий результаты деления по этажам и по модулю с использованием предоставленных параметров.

Ниже приведен пример использования divmod () с 37 и 5 :

>>>
  >>> divmod (37, 5)
(7, 2)

>>> 37 // 5
7

>>> 37% 5
2
  

Вы можете видеть, что divmod (37, 5) возвращает кортеж (7, 2) . 7 является результатом разделения этажей на 37 и 5 . 2 является результатом 37 по модулю 5 .

Ниже приведен пример, в котором второй параметр представляет собой отрицательное число. Как обсуждалось в предыдущем разделе, когда оператор по модулю используется с int , остаток примет знак делителя:

>>>
  >>> divmod (37, -5)
(-8, -3)

>>> 37 // -5
-8

>>> 37% -5
-3 # Результат имеет знак делителя
  

Теперь, когда у вас была возможность увидеть оператор по модулю, используемый в нескольких сценариях, важно взглянуть на то, как Python определяет приоритет оператора по модулю при использовании с другими арифметическими операторами.

Приоритет оператора по модулю

Как и другие операторы Python, для оператора по модулю существуют особые правила, определяющие его приоритет при оценке выражений. Оператор по модулю (% ) имеет тот же уровень приоритета, что и операторы умножения ( * ), деления (/) и деления по полу ( // ).

Взгляните на пример приоритета оператора по модулю ниже:

>>>
  >>> 4 * 10% 12 - 9
-5
  

Операторы умножения и по модулю имеют одинаковый уровень приоритета, поэтому Python будет оценивать их слева направо.Вот шаги для вышеуказанной операции:

  1. 4 * 10 оценивается, в результате получается 40% 12 - 9 .
  2. 40% 12 оценивается, в результате получается 4 - 9 .
  3. 4 - 9 вычисляется, в результате получается -5 .

Если вы хотите переопределить приоритет других операторов, вы можете заключить в круглые скобки операцию, которую вы хотите оценить первой:

>>>
  >>> 4 * 10% (12-9)
1
  

В этом примере сначала оценивается (12–9) , затем 4 * 10 и, наконец, 40% 3 , что равно 1 .

Оператор модуля Python на практике

Теперь, когда вы познакомились с основами оператора Python по модулю, вы рассмотрите несколько примеров его использования для решения реальных задач программирования. Иногда бывает сложно определить, когда использовать в коде оператор по модулю. Приведенные ниже примеры дадут вам представление о многих способах его использования.

Как проверить, четное или нечетное число

В этом разделе вы увидите, как можно использовать оператор по модулю, чтобы определить, является ли число четным или нечетным.Используя оператор по модулю с модулем 2 , вы можете проверить любое число, чтобы увидеть, делится ли оно без остатка на 2 . Если оно делится без остатка, то это четное число.

Взгляните на is_even () , который проверяет, является ли параметр num четным:

  def is_even (число):
    вернуть число% 2 == 0
  

Здесь число% 2 будет равно 0 , если число четное, и 1 , если число нечетное.Проверка против 0 вернет логическое значение Истина или Ложь в зависимости от того, является ли число четным или нет.

Проверка на нечетные числа очень похожа. Чтобы проверить нечетное число, вы инвертируете проверку равенства:

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2! = 0
  

Эта функция вернет True , если num% 2 не равно 0 , что означает, что остаток доказывает, что num является нечетным числом.Теперь вам может быть интересно, можно ли использовать следующую функцию, чтобы определить, является ли num нечетным числом:

  def is_odd (число):
    вернуть число% 2 == 1
  

Ответ на этот вопрос – да и нет. Технически эта функция будет работать так же, как Python вычисляет по модулю с целыми числами. Тем не менее, вам следует избегать сравнения результата операции по модулю с 1 , поскольку не все операции по модулю в Python возвращают тот же остаток.

Вы можете понять, почему, на следующих примерах:

>>>
  >>> -3% 2
1

>>> 3% -2
-1
  

Во втором примере остаток принимает знак отрицательного делителя и возвращает -1 . В этом случае логическая проверка 3% -2 == 1 вернет False .

Однако, если вы сравните операцию по модулю с 0 , то не имеет значения, какой операнд отрицательный. Результатом всегда будет Истинно , если это четное число:

. >>>
  >>> -2% 2
0

>>> 2% -2
0
  

Если вы будете сравнивать операцию Python по модулю с 0 , то у вас не должно возникнуть проблем с проверкой четных и нечетных чисел или любых других кратных чисел в вашем коде.

В следующем разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю с циклами для управления потоком вашей программы.

Как запускать код с определенными интервалами в цикле

С помощью оператора Python по модулю вы можете запускать код через определенные промежутки времени внутри цикла. Это делается путем выполнения операции по модулю с текущим индексом цикла и модулем. Номер модуля определяет, как часто код, зависящий от интервала, будет выполняться в цикле. 15}”, end = “”) если индекс% модуль == 0: Распечатать() Распечатать()

Этот код определяет split_names_into_rows () , который принимает два параметра. name_list – это список имен, который следует разбить на строки. модуль устанавливает модуль для операции, эффективно определяя, сколько имен должно быть в каждой строке. split_names_into_rows () будет перебирать name_list и начинать новую строку после достижения значения модуля .

Прежде чем разбирать функцию более подробно, взгляните на нее в действии:

>>>
  >>> names = ["Пикард", "Райкер", "Трой", "Крашер", "Ворф", "Дейта", "Ла Форж"]
>>> split_names_into_rows (имена)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------
---- Дробилка ---- ----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----
  

Как видите, список имен разделен на три строки, максимум по три имени в каждой строке.Модуль по умолчанию 3 , но вы можете указать любое число:

>>>
  >>> split_names_into_rows (имена, модуль = 4)
---- Пикард ----- ----- Райкер ----- ----- Трой ------ ---- Крашер ----
----- Ворф ------ ----- Данные ------ --- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 2)
---- Пикард ----- ----- Райкер -----
----- Трой ------ ---- Дробилка ----
----- Worf ------ ----- Данные ------
--- Ла Форж ----

>>> split_names_into_rows (имена, модуль = 1)
---- Пикард -----
----- Райкер -----
----- Трой ------
----Дробилка----
----- Ворф ------
-----Данные------
--- Ла Форж ----
  

Теперь, когда вы увидели код в действии, вы можете разобрать, что он делает.Во-первых, он использует enumerate () для перебора name_list , присваивая текущему элементу в списке name , а значение счетчика index . Вы можете видеть, что необязательный аргумент start для enumerate () имеет значение 1 . Это означает, что счетчик индекса начнется с 1 вместо 0 :

.
  для индекса, имя в перечислении (name_list, start = 1):
  

Затем внутри цикла функция вызывает print () для вывода name в текущую строку.15 Синтаксис сообщает print () следующее:

  • Выведите не менее 15 символов, даже если строка короче 15 символов.
  • Выровняйте строку по центру.
  • Заполните любое пространство справа или слева от строки символом дефиса ( - ).

Теперь, когда имя напечатано в строке, взглянем на основную часть split_names_into_rows () :

 , если индекс% модуля == 0:
    Распечатать()
  

Этот код принимает индекс текущей итерации и, используя оператор по модулю, сравнивает его с модулем .Если результат равен 0 , то он может запустить код, зависящий от интервала. В этом случае функция вызывает print () , чтобы добавить новую строку, которая начинает новую строку.

Приведенный выше код является только одним примером. Использование шаблона index% modulus == 0 позволяет запускать другой код через определенные промежутки времени в ваших циклах. В следующем разделе вы немного углубитесь в эту концепцию и рассмотрите циклическую итерацию.

Как создать циклическую итерацию

Циклическая итерация описывает тип итерации, которая сбрасывается при достижении определенной точки.Как правило, этот тип итерации используется для ограничения индекса итерации определенным диапазоном.

Вы можете использовать оператор по модулю для создания циклической итерации. Взгляните на пример использования библиотеки turtle для рисования формы:

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.выбор (цвета)) # Первый цвет случайный

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        turtle.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

В приведенном выше коде используется бесконечный цикл для рисования повторяющейся формы звезды. После каждых шести итераций он меняет цвет пера. Размер пера увеличивается с каждой итерацией, пока i не будет сброшен до 0 .Если запустить код, то должно получиться примерно следующее:

Важные части этого кода выделены ниже:

  импортная черепаха
случайный импорт

def draw_with_cyclic_iteration ():
    colors = ["зеленый", "голубой", "оранжевый", "фиолетовый", "красный", "желтый", "белый"]

    turtle.bgcolor ("gray8") # Hex: # 333333
    turtle.pendown ()
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))

    i = 0 # Начальный индекс

    в то время как True:
        i = (i + 1)% 6 # Обновить индекс
        черепаха.pensize (i) # Установить размер pensize на i
        черепаха вперед (225)
        черепаха. правая (170)

        # Выберите случайный цвет
        если я == 0:
            turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

Каждый раз при прохождении цикла i обновляется на основе результатов (i + 1)% 6 . Это новое значение i используется для увеличения значения .pensize с каждой итерацией. Как только i достигнет 5 , (i + 1)% 6 будет равно 0 , а i вернется к 0 .

Вы можете увидеть шаги итерации ниже для более ясного понимания:

  я = 0: (0 + 1)% 6 = 1
я = 1: (1 + 1)% 6 = 2
я = 2: (2 + 1)% 6 = 3
я = 3: (3 + 1)% 6 = 4
я = 4: (4 + 1)% 6 = 5
i = 5: (5 + 1)% 6 = 0 # Сброс
  

Когда i сбрасывается обратно на 0 , .pencolor изменяется на новый случайный цвет, как показано ниже:

 , если i == 0:
    turtle.pencolor (random.choice (цвета))
  

Код в этом разделе использует 6 в качестве модуля, но вы можете установить его на любое число, чтобы настроить, сколько раз цикл будет повторяться перед сбросом значения i .

Как преобразовать единицы

В этом разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю для преобразования единиц. В следующих примерах единицы меньшего размера преобразуются в единицы большего размера без использования десятичных знаков. Оператор по модулю используется для определения любого остатка, который может существовать, когда меньшая единица не делится без остатка на большую единицу.

В этом первом примере вы преобразуете дюймы в футы. Оператор по модулю используется для получения оставшихся дюймов, которые неравномерно не делятся на футы.Оператор деления пола ( // ) используется для округления общего количества футов в меньшую сторону:

  def convert_inches_to_feet (total_inches):
    дюймы = total_inches% 12
    футов = total_inches // 12

    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

Вот пример используемой функции:

>>>
  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов
  

Как видно из выходных данных, 450% 12 возвращает 6 , то есть оставшиеся дюймы, которые не были равномерно разделены на футы.Результатом 450 // 12 является 37 , которое представляет собой общее количество футов, на которое дюймы были равномерно разделены.

В следующем примере вы можете пойти немного дальше. convert_minutes_to_days () принимает целое число, total_mins , представляющее количество минут, и выводит период времени в днях, часах и минутах:

  def convert_minutes_to_days (total_mins):
    дней = total_mins // 1440
    extra_minutes = total_mins% 1440

    часы = extra_minutes // 60
    минут = дополнительные_минуты% 60

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

Разбив это, вы можете увидеть, что функция выполняет следующее:

  1. Определяет общее количество равномерно делимых дней с total_mins // 1440 , где 1440 - количество минут в дне
  2. Вычисляет любые дополнительных_минут оставшихся с total_mins% 1440
  3. Использует дополнительных_минут , чтобы получить равные часов и любые дополнительные минут

Вы можете увидеть, как это работает, ниже:

>>>
  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days (3456)
3456 = 2 дня, 9 часов и 36 минут

>>> convert_minutes_to_days (35000)
35000 = 24 дня, 7 часов и 20 минут
  

Хотя в приведенных выше примерах рассматривается только преобразование дюймов в футы и минут в дни, вы можете использовать любой тип единиц с оператором по модулю, чтобы преобразовать меньшую единицу в большую единицу.

Примечание : Оба приведенных выше примера можно изменить, чтобы использовать divmod () , чтобы сделать код более лаконичным. Если вы помните, divmod () возвращает кортеж, содержащий результаты деления по этажам и по модулю с использованием предоставленных параметров.

Ниже операторы деления этажей и по модулю были заменены на divmod () :

  def convert_inches_to_feet_updated (total_inches):
    футы, дюймы = divmod (total_inches, 12)
    print (f "{total_inches} дюймов = {футов} футов и {дюймов} дюймов")
  

Как видите, divmod (total_inches, 12) возвращает кортеж, который распакован в футов и дюймов .

Если вы попробуете эту обновленную функцию, то получите те же результаты, что и раньше:

>>>
  >>> convert_inches_to_feet (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов

>>> convert_inches_to_feet_updated (450)
450 дюймов = 37 футов и 6 дюймов
  

Вы получите тот же результат, но теперь код более сжат. Вы также можете обновить convert_minutes_to_days () :

  def convert_minutes_to_days_updated (total_mins):
    дней, extra_minutes = divmod (total_mins, 1440)
    часы, минуты = divmod (extra_minutes, 60)

    print (f "{total_mins} = {дней} дней, {часов} часов и {минут} минут")
  

При использовании divmod () функция легче читается, чем предыдущая версия, и возвращает тот же результат:

>>>
  >>> convert_minutes_to_days (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты

>>> convert_minutes_to_days_updated (1503)
1503 = 1 день, 1 час и 3 минуты
  

Использование divmod () не обязательно для всех ситуаций, но здесь имеет смысл, поскольку при расчетах преобразования единиц используется как деление по этажам, так и по модулю.

Теперь, когда вы узнали, как использовать оператор по модулю для преобразования единиц, в следующем разделе вы узнаете, как можно использовать оператор по модулю для проверки простых чисел.

Как определить, является ли число простым числом

В следующем примере вы посмотрите, как можно использовать оператор Python по модулю, чтобы проверить, является ли число простым числом . Простое число - это любое число, которое содержит только два делителя: 1 и само себя. Примеры простых чисел: 2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 59 , 83 и 97 .

Код ниже представляет собой реализацию для определения простоты числа с помощью оператора по модулю:

  def check_prime_number (число):
    если число <2:
        print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
        возвращаться

    факторы = [(1, число)]
    я = 2

    в то время как я * я <= число:
        если num% i == 0:
            Factors.append ((i, num // i))
        я + = 1

    если len (факторы)> 1:
        print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
    еще:
        print (f "{num} - простое число")
  

Этот код определяет check_prime_number () , который принимает параметр num и проверяет, является ли это простым числом.Если это так, то отображается сообщение о том, что num - простое число. Если это не простое число, отображается сообщение со всеми множителями числа.

Примечание: Приведенный выше код не самый эффективный способ проверки простых чисел. Если вы хотите копнуть глубже, посмотрите Сито Эратосфена и Сито Аткина, где можно найти примеры более эффективных алгоритмов поиска простых чисел.

Прежде чем вы внимательно посмотрите на функцию, вот результаты с использованием некоторых других чисел:

>>>
  >>> check_prime_number (44)
44 не простое.Он имеет следующие факторы: [(1, 44), (2, 22), (4, 11)]

>>> check_prime_number (53)
53 - простое число

>>> check_prime_number (115)
115 не простое. Он имеет следующие факторы: [(1, 115), (5, 23)]

>>> check_prime_number (997)
997 - простое число
  

Углубившись в код, вы увидите, что он начинается с проверки, меньше ли num 2 . Простые числа могут быть не более 2 . Если число меньше 2 , то выполнение функции не требуется.Он будет print () сообщение и вернет :

 , если число <2:
    print (f "{число} должно быть больше или равно 2, чтобы быть простым.")
    возвращаться
  

Если num больше 2 , то функция проверяет, является ли num простым числом. Чтобы проверить это, функция перебирает все числа между 2 и квадратным корнем из num , чтобы увидеть, делятся ли они на num поровну. Если одно из чисел делится равномерно, значит, был найден множитель, и num не может быть простым числом.

Вот основная часть функции:

  факторов = [(1, num)]
я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Здесь есть что распаковать, так что давайте рассмотрим это шаг за шагом.

Сначала создается список факторов с начальными факторами (1, число) . Этот список будет использоваться для хранения любых других найденных факторов:

Затем, начиная с 2 , код увеличивает i , пока не достигнет квадратного корня из num .На каждой итерации он сравнивает num с i , чтобы увидеть, делится ли оно без остатка. Коду нужно только проверить квадратный корень из num включительно, потому что он не будет содержать никаких множителей выше этого:

  я = 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Вместо того, чтобы пытаться определить квадратный корень из num , функция использует цикл while , чтобы проверить, не является ли i * i <= num .Пока i * i <= num , цикл не достиг квадратного корня из num .

Внутри цикла while оператор по модулю проверяет, делится ли num без остатка на i :

  факторов = [(1, num)]
i = 2 # Начать начальный индекс с 2

в то время как я * я <= число:
    если num% i == 0:
        Factors.append ((i, num // i))
    я + = 1
  

Если число делится без остатка на i , тогда i является множителем число , и кортеж множителей добавляется к списку множителей .

После завершения цикла и код проверяет, были ли найдены какие-либо дополнительные факторы:

  если len (факторы)> 1:
    print (f "{число} не является простым. Имеет следующие множители: {факторы}")
еще:
    print (f "{num} - простое число")
  

Если в списке факторов существует более одного кортежа, то число не может быть простым числом. Для непростых чисел коэффициенты распечатываются. Для простых чисел функция выводит сообщение о том, что num - простое число.

Как реализовать шифры

Оператор модуля Python может использоваться для создания шифров. Шифр - это тип алгоритма для выполнения шифрования и дешифрования входных данных, обычно текста. В этом разделе вы познакомитесь с двумя шифрами: шифром Цезаря и шифром Виженера .

Цезарь Шифр ​​

Первый шифр, на который вы посмотрите, - это шифр Цезаря, названный в честь Юлия Цезаря, который использовал его для тайной передачи сообщений.Это шифр подстановки, который использует подстановку букв для шифрования строки текста.

Шифр ​​Цезаря работает, взяв зашифровываемую букву и сдвинув ее на определенное количество позиций влево или вправо в алфавите. Какая бы буква ни была в этой позиции, используется как зашифрованный символ. Это же значение сдвига применяется ко всем символам в строке.

Например, если сдвиг был 5 , то A сместился бы на пять букв вверх, чтобы стать F , B превратился бы в G и так далее.Ниже вы можете увидеть процесс шифрования текста REALPYTHON со сдвигом 5 :

В результате получается шифр WJFQUDYMTS .

Расшифровка шифра выполняется реверсированием сдвига. Процессы шифрования и дешифрования можно описать следующими выражениями, где char_index - это индекс символа в алфавите:

  encrypted_char_index = (char_index + shift)% 26
decrypted_char_index = (char_index - сдвиг)% 26
  

Этот шифр использует оператор по модулю, чтобы гарантировать, что при сдвиге буквы индекс будет перебираться, если будет достигнут конец алфавита.Теперь, когда вы знаете, как работает этот шифр, взгляните на его реализацию:

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = верхний регистр.индекс (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

Этот код определяет функцию с именем caesar_cipher () , которая имеет два обязательных параметра и один необязательный параметр:

  • текст - это текст, который нужно зашифровать или расшифровать.
  • сдвиг - количество позиций для сдвига каждой буквы.
  • дешифровать - логическое значение, которое задает, нужно ли расшифровывать текст .

decrypt включен, чтобы можно было использовать одну функцию для обработки как шифрования, так и дешифрования. Эта реализация может обрабатывать только буквенные символы, поэтому функция сначала проверяет, является ли текст буквенным символом в кодировке ASCII:

  def caesar_cipher (text, shift, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")
  

Затем функция определяет три переменные для хранения строчных символов ASCII, прописных символов ASCII и результатов шифрования или дешифрования:

  нижний регистр = строка.ascii_lowercase # "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
результат = ""
  

Затем, если функция используется для дешифрования текста , она умножает сдвиг на -1 , чтобы сдвинуть назад:

  если расшифровать:
    сдвиг = сдвиг * -1
  

Наконец, caesar_cipher () перебирает отдельные символы в тексте и выполняет следующие действия для каждого char :

  1. Проверьте, является ли char строчными или прописными буквами.
  2. Получите индекс из char в списках строчных или прописных ASCII.
  3. Добавьте сдвиг к этому индексу , чтобы определить индекс используемого зашифрованного символа.
  4. Используйте % 26 , чтобы убедиться, что сдвиг вернется к началу алфавита.
  5. Добавить символ шифра к строке результата .

После завершения цикла итерации по значению текста возвращается результат :

  для символов в тексте:
    если char.islower ():
        index = lowercase.index (char)
        результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
    еще:
        index = uppercase.index (символ)
        результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

вернуть результат
  

Вот еще раз полный код:

  строка импорта

def caesar_cipher (текст, сдвиг, дешифрование = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в формате ASCII и не содержать чисел.")

    нижний регистр = строка.ascii_lowercase
    прописные буквы = строка.ascii_uppercase
    результат = ""

    если расшифровать:
        сдвиг = сдвиг * -1

    для символа в тексте:
        если char.islower ():
            index = lowercase.index (char)
            результат + = нижний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]
        еще:
            index = uppercase.index (символ)
            результат + = верхний регистр [(индекс + сдвиг)% 26]

    вернуть результат
  

Теперь запустите код в Python REPL, используя текст meetMeAtOurHideOutAtTwo со сдвигом 10 :

>>>
  >>> caesar_cipher ("meetMeAtOurHideOutAtTwo", 10)
woodWoKdYebRsnoYedKdDgy
  

Зашифрованный результат: woodWoKdYebRsnoYedKdDgy .Используя этот зашифрованный текст, вы можете запустить расшифровку, чтобы получить исходный текст:

>>>
  >>> caesar_cipher ("woodWoKdYebRsnoYedKdDgy", 10, decrypt = True)
MeetMeAtOurHideOutAtTwo
  

Шифр ​​Цезаря - забавное занятие для введения в криптографию. Хотя шифр Цезаря редко используется сам по себе, он является основой для более сложных подстановочных шифров. В следующем разделе вы познакомитесь с одним из потомков шифра Цезаря, шифром Виженера.

Шифр ​​Виженера

Шифр ​​Виженера - это полиалфавитный шифр замещения. Для шифрования он использует разные шифры Цезаря для каждой буквы входящего текста. Шифр Виженера использует ключевое слово, чтобы определить, какой шифр Цезаря следует использовать для поиска буквы шифра.

Вы можете увидеть пример процесса шифрования на следующем изображении. В этом примере входной текст REALPYTHON зашифрован с использованием ключевого слова MODULO :

Для каждой буквы входящего текста, REALPYTHON , используется буква ключевого слова MODULO , чтобы определить, какой столбец шифра Цезаря следует выбрать.Если ключевое слово короче вводимого текста, как в случае с MODULO , то буквы ключевого слова повторяются до тех пор, пока все буквы вводимого текста не будут зашифрованы.

Ниже представлена ​​реализация шифра Виженера. Как вы увидите, оператор по модулю используется в функции дважды:

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

Вы могли заметить, что подпись для vigenere_cipher () очень похожа на caesar_cipher () из предыдущего раздела:

  def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не текст.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    верхний регистр = строка.ascii_uppercase
    результаты = ""
  

Основное отличие состоит в том, что вместо параметра shift vigenere_cipher () принимает параметр key , который является ключевым словом, используемым во время шифрования и дешифрования. Еще одно отличие - добавление text.isupper () . На основе этой реализации vigenere_cipher () может принимать только вводимый текст в верхнем регистре.

Подобно caesar_cipher () , vigenere_cipher () перебирает каждую букву входного текста, чтобы зашифровать или расшифровать его:

  для i, символ в перечислении (текст):
    current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

В приведенном выше коде вы можете увидеть, как функция впервые использует оператор по модулю:

  current_key = ключ [i% len (ключ)]
  

Здесь значение current_key определяется на основе индекса, возвращенного из i% len (key) .Этот индекс используется для выбора буквы из строки ключа , например M из MODULO .

Оператор по модулю позволяет использовать ключевое слово любой длины независимо от длины шифруемого текста . Как только индекс i , индекс символа, который в настоящее время зашифрован, равен длине ключевого слова, он начнется с начала ключевого слова.

Для каждой буквы входящего текста несколько шагов определяют, как ее зашифровать или расшифровать:

  1. Определите char_index на основе индекса char внутри в верхнем регистре .
  2. Определите key_index на основе индекса current_key внутри в верхнем регистре .
  3. Используйте char_index и key_index , чтобы получить индекс для зашифрованного или дешифрованного символа.

Взгляните на эти шаги в приведенном ниже коде:

  char_index = верхний регистр.индекс (символ)
key_index = uppercase.index (текущий_ключ)

если расшифровать:
    index = char_index - key_index + 26
еще:
    index = char_index + key_index
  

Как видите, индексы для дешифрования и шифрования рассчитываются по-разному.Поэтому в этой функции используется дешифровка . Таким образом, вы можете использовать эту функцию как для шифрования, так и для дешифрования.

После определения индекса вы обнаружите, что функция использует второй оператор по модулю:

  результатов + = прописные буквы [индекс% 26]
  

index% 26 гарантирует, что индекс символа не превышает 25 , таким образом гарантируя, что он остается внутри алфавита. С помощью этого индекса зашифрованный или дешифрованный символ выбирается из прописных и добавляется к результатам .

Вот еще раз полный код шифра Виженера:

  строка импорта

def vigenere_cipher (текст, ключ, decrypt = False):
    если не text.isascii () или не text.isalpha () или не text.isupper ():
        Raise ValueError ("Текст должен быть в верхнем регистре ASCII без цифр.")

    uppercase = string.ascii_uppercase # "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
    результаты = ""

    для i, символ в перечислении (текст):
        current_key = ключ [i% len (ключ)]
        char_index = uppercase.index (символ)
        key_index = прописные буквы.индекс (текущий_ключ)

        если расшифровать:
            index = char_index - key_index + 26
        еще:
            index = char_index + key_index

        результаты + = верхний регистр [индекс% 26]

    вернуть результаты
  

Теперь запустите его в Python REPL:

>>>
  >>> vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
DSDFAMFVRH

>>> encrypted = vigenere_cipher (text = "REALPYTHON", key = "MODULO")
>>> печать (в зашифрованном виде)
DSDFAMFVRH

>>> vigenere_cipher (зашифровано, "MODULO", decrypt = True)
РЕАЛПИТОН
  

Отлично! Теперь у вас есть рабочий шифр Виженера для шифрования текстовых строк.

Расширенное использование оператора по модулю Python

В этом заключительном разделе вы поднимете свои знания об операторах по модулю на новый уровень, используя их с десятичным числом . Десятичное число . Вы также узнаете, как добавить .__ mod __ () к своим пользовательским классам, чтобы их можно было использовать с оператором по модулю.

Использование оператора Python по модулю с десятичным числом

. Десятичное число

Ранее в этом руководстве вы видели, как можно использовать оператор по модулю с числовыми типами, такими как int и float , а также с math.fmod () . Вы также можете использовать оператор по модулю с Decimal из модуля decimal . Вы используете decimal.Decimal , если вам нужно дискретное управление точностью арифметических операций с плавающей запятой.

Вот несколько примеров использования целых чисел с десятичным числом . Десятичное число и оператор по модулю:

>>>
  >>> импортировать десятичный
>>> десятичное.Десятичное (15)% десятичное.Десятичное (4)
Десятичный ('3')

>>> десятичный.Десятичный (240)% десятичный. Десятичный (13)
Десятичный ('6')
  

Вот некоторые числа с плавающей запятой, используемые с десятичным числом . Десятичное число и оператор по модулю:

>>>
  >>> decimal.Decimal ("12,5")% decimal.Decimal ("5.5")
Десятичный ('1,5')

>>> decimal.Decimal ("13.3")% decimal.Decimal ("1.1")
Десятичный ('0,1')
  

Все операции по модулю с decimal.Decimal возвращают те же результаты, что и другие числовые типы, за исключением случаев, когда один из операндов отрицательный.В отличие от int и float , но, как и math.fmod () , decimal. Decimal использует знак делимого для результатов.

Взгляните на приведенные ниже примеры, в которых сравниваются результаты использования оператора по модулю со стандартными значениями int и с плавающей запятой и с десятичным числом . Десятичное :

>>>
  >>> -17% 3
1 # Знак делителя

>>> десятичное.Десятичное (-17)% десятичное.Десятичное (3)
Десятичный (-2) # Знак дивиденда

>>> 17% -3
-1 # Знак делителя

>>> десятичный.Десятичный (17)% десятичный. Десятичный (-3)
Десятичный ("2") # Знак дивиденда

>>> -13,3% 1,1
1.0000000000000004 # Знак делителя

>>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1") # Знак дивиденда
  

По сравнению с math.fmod () , десятичное. Десятичное число будет иметь тот же знак, но точность будет другой:

>>>
  >>> decimal.Decimal ("- 13,3")% decimal.Decimal ("1,1")
Десятичный ("- 0,1")

>>> математика.fmod (-13,3, 1,1)
-0,09999999999999964
  

Как видно из приведенных выше примеров, работа с десятичным числом , десятичным числом и оператором по модулю аналогична работе с другими числовыми типами. Вам просто нужно иметь в виду, как он определяет знак результата при работе с отрицательным операндом.

В следующем разделе вы узнаете, как можно переопределить оператор по модулю в своих классах, чтобы настроить его поведение.

Использование оператора Python Modulo с пользовательскими классами

Модель данных Python позволяет вам переопределить встроенные методы в объекте Python, чтобы настроить его поведение.В этом разделе вы узнаете, как переопределить .__ mod __ () , чтобы вы могли использовать оператор по модулю со своими собственными классами.

В этом примере вы будете работать с классом Student . Этот класс будет отслеживать количество времени, которое студент учился. Вот начальный ученик класс:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        self.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        себя.study_sessions + = сеансы
  

Класс Student инициализируется параметром name и начинается с пустого списка study_sessions , который будет содержать список целых чисел, представляющих количество минут, изученных за сеанс. Также существует .add_study_sessions () , который принимает параметр sessions , который должен быть списком учебных сессий, который нужно добавить к study_sessions .

Теперь, если вы помните из приведенного выше раздела о преобразовании единиц, convert_minutes_to_day () использовал оператор Python по модулю для преобразования total_mins в дни, часы и минуты.Теперь вы реализуете модифицированную версию этого метода, чтобы увидеть, как можно использовать свой собственный класс с оператором по модулю:

  def total_study_time_in_hours (студент, всего_мин.):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Эту функцию можно использовать с классом Студент , чтобы отобразить общее количество часов, которое изучил Студент . В сочетании с классом Student , приведенным выше, код будет выглядеть так:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

def total_study_time_in_hours (студент, total_mins):
    часы = total_mins // 60
    минут = total_mins% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Если вы загрузите этот модуль в Python REPL, то можете использовать его так:

>>>
  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> jane.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_mins = сумма (джейн.study_sessions)
>>> total_study_time_in_hours (Джейн, total_mins)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

Приведенный выше код распечатывает общее количество часов, которые изучила Джейн . Эта версия кода работает, но требует дополнительного шага суммирования study_sessions , чтобы получить total_mins перед вызовом total_study_time_in_hours () .

Вот как можно изменить класс Student , чтобы упростить код:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое
  

Переопределив .__ mod __ () и .__ floordiv __ () , вы можете использовать экземпляр Student с оператором по модулю. Вычисление суммы () из study_sessions также включен в класс Student .

С этими изменениями вы можете использовать экземпляр Student непосредственно в total_study_time_in_hours () . Поскольку total_mins больше не требуется, вы можете удалить его:

  def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Вот полный код после изменений:

  класс Студент:
    def __init __ (я, имя):
        себя.name = имя
        self.study_sessions = []

    def add_study_sessions (самостоятельно, сеансы):
        self.study_sessions + = сеансы

    def __mod __ (сам, другое):
        возвратная сумма (self.study_sessions)% other

    def __floordiv __ (я, другой):
        возвратная сумма (self.study_sessions) // другое

def total_study_time_in_hours (студент):
    часы = студент // 60
    минут = студент% 60

    print (f "{student.name} изучил {часы} часы и {минуты} минуты")
  

Теперь, вызвав код в Python REPL, вы увидите, что он гораздо лаконичнее:

>>>
  >>> jane = Студент ("Джейн")
>>> Джейн.add_study_sessions ([120, 30, 56, 260, 130, 25, 75])
>>> total_study_time_in_hours (Джейн)
Джейн занималась 11 часов 36 минут
  

Переопределяя .__ mod __ () , вы позволяете своим пользовательским классам вести себя больше как встроенные числовые типы Python.

Заключение

На первый взгляд, оператор по модулю Python может не привлечь ваше внимание. Тем не менее, как вы видели, в этом скромном операторе есть так много всего. От проверки четных чисел до шифрования текста - вы видели множество различных применений оператора по модулю.

Из этого руководства вы узнали, как:

  • Используйте оператор по модулю с int , float , math.fmod () , divmod () и decimal. Decimal
  • Вычислить результаты операции по модулю
  • Решите реальных проблем с помощью оператора по модулю
  • Переопределить .__ mod __ () в ваших собственных классах, чтобы использовать их с оператором по модулю

Обладая знаниями, полученными в этом руководстве, теперь вы можете с большим успехом начать использовать оператор по модулю в своем собственном коде.Удачного питонинга!

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.