Примеры с многозначными числами 4 класс: Письменные приемы сложения и вычитания многозначных чисел (4 класс) скачать

Арифметические действия над многозначными числами

Число  qo (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором:  156  = 52 х 3 , т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении  4316 на 52 получается частное  83.

     Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа А на натуральное число В является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если А=В, то частное q = 1 , остаток  r = 0

3. Если а >в и число разрядов в числе А больше, чем в числе В, то записываем делимое А и справа от него делитель В, который отделяем от А уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе А столько старших разрядов, сколько разрядов в числе В или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное В. Перебором находим частное q1 чисел d1  и  в ,последовательно умножая В на 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Записываем q1 под уголком (ниже В).

б) Умножаем В на q1 и записываем произведение под числом А так, чтобы младший разряд  числа  вq1   был написан под младшим разрядом выделенного числа  d1 .

в) Проводим черту под вq1 и находим разность  r1= d1 – вq1

г) Записываем разность r1  под числом вq1  , приписываем справа к  r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого А и сравниваем полученное число d2  с числом В.

д) Если полученное число  d2     больше или равно В, то относительно него поступаем согласно п.1 или п.2. Частное q2  записываем после  q1 .

е) Если полученное число d2 меньше В, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое  число  d3  , большее или равное В. В этом случае записываем после  q1  такое же число нулей. Затем относительно  d3  поступаем согласно  пп.1,2. Частное   q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа А окажется, что  d3    и   В  равно нулю, и этот нуль записывается последним к частному, а остаток  r = d3 .  

   ГЛАВА  2.  ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И ИСПРАВЛЕНИЯ.

2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА   ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ   НАВЫКОВ.

     Одной из главных задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.

По мнению М.А.Бантовой вычислительный навык  –  это высокая степень овладения вычислительными приемами.  Приобрести вычислительные навыки – значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

     Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.

ПРАВИЛЬНОСТЬ – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием. 

ОСОЗНАННОСТЬ  –  ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности  выбора операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это ,конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как буде показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.

РАЦИОНАЛЬНОСТЬ  –  ученик, сообразуясь с конкретными  условиями  , выбирает для данного случая более рациональный прием, т.е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

ОБОБЩЕННОСТЬ  –  ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т.е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшем образом связана с осознанностью вычислительного  навыка, поскольку общим для различных  случаев вычисления будет прием, основа  которого – одни и те же теоретические положения.

АВТОМАТИЗМ  –  (СВЕРНУТОСТЬ) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

ПРОЧНОСТЬ  –  ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

     Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев – запомнить результаты наизусть. К тому же в каждом концентре изучается довольно большое количество приемов, поэтому естественно, что не все ученики сразу усваивают их, часть допускают ошибки.

     Мы рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении ими арифметических действий в концентре «многозначные числа», а также методические приемы предупреждения и устранения таких ошибок.

2.2. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ СЛОЖЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ.  РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.

     Освоив все арифметические действия, поняв и выуичв таблицы сложения и умножения, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если после изучения каждого арифметического действия несколько уроков посвятить конструированию «Справочника ошибкоопасных мест». Уроки желательно строить таким образом, чтобы дети не боялись рассуждать, давать самооценку своим действиям, показать свое непонимание.

     На первом этапе учащимся предлагаем подумать, какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения с доски, с учебника, с карточки…

     Мы выделили следующие виды ошибок: 

1) замена арифметических знаков при списывании математического выражения;

2) ошибки в записи чисел:

   а) 2567 вместо 2657 – перестановка цифр в числе;

   б) 256 вместо 2567 – пропуск цифры;

   в) 25567 вместо 2567 – запись лишней цифры;

   г) 2557 вместо 2567 – замена цифр.

Каждый ученик оформляет карточку №1, перечисляя предполагаемые ошибки. (См.приложение).

     На следующих уроках отрабатываем алгоритм проверки чисел и арифметических знаков в математических выражениях. 

     На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел. Они отмечают такие ошибки, сопровождая свои рассуждения моделью:

1) Ошибка в записи чисел в столбик:

Например,

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы  стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.  Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка.»

2) Ошибка в постановке знака:

3) Знак «плюс», а ученик вычитает:

Эта ошибка особенно характерна для случаев:

4) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:

Ошибки при выполнении письменного сложения , обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например:

Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя – не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда.  Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен  рассуждать : «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение , что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 – 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д.

5)неправильно определили количество цифр в сумме:

6) Допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять:

Во внеурочное время учащиеся оформляют карточку №2 «Возможные ошибки при выполнении действия сложения». Несколько последующих уроков посвящяется отработке алгоритма проверки действия сложения. Предлагаются такие задания: Исправь ошибки: 97062 + 194=

35678 + 1264 =

56706 + 4624 =

  53628 + 24628 =

43640 + 1702 =

2) Объясни решение:

3) Придумай задания с «ловушками» для своего соседа.

     Эффективность данной работы во многом будет зависеть, во-первых, от того, насколько сам учитель готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок; во-вторых, от того , насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.

2.3. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ВЫЧИТАНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ . РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.

     Как показывают наблюдения, усвоение уч-ся алгоритмов письменных вычислений происходит с определенными затруднениями. Аналогичные затруднения испытывают учащиеся и при вычитании многозначных чисел. Они, как правило , усваивают общий алгоритм вычитания, но затрудняются применять его в частном случае, когда уменьшаемое в записи содержит нули.  Наблюдаются, например, такие ошибочные решения:

     Несмотря на то, что ошибки в первом и втором примерах отличаются от ошибок в третьем и четвертом примерах, причина их возникновения одна – неумение заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда, т.е. учащиеся затрудняются представлять один десяток тысяч как 9 тысяч 9 сотен и 10 десятков. Они же раскладывают 1 десяток тысяч либо на 9 тысяч 9 сотен и 9 десятков, либо на 10 тысяч 9 сотен и 10 десятков, либо на 10 тысяч 10 сотен и 10 десятков. Предупредить указанные ошибки можно, если при изучении темы «Нумерация многозначных чисел»  уделить особое внимание выполнению упражнений по замене единиц высшего разряда единицами низших разрядов.

     Помимо упражнений, данных в учебнике, необходимо проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено упражнениями вида:

1. Отсчитайте от сотни палочек одну палочку, две палочки.

2. Замените сотню десятками и единицами .

3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3.

4. Какое число предшествует при счете числу 200, числу 700?

5. Замените 1000 сотнями и десятками; сотнями, десятками и единицами.

6. Замените десяток тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами.

7. Замените сотню тысяч десятками тысяч, тысячами и сотнями.

8. Какое число предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000?

9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000.

10. Вычислите:

    а) 1000 – 700 б) 100000 – 3   в) 10000 – 20                 1000 – 70      100000 –  30     10000 – 200

1000 – 7      100000 – 300     10000 – 2

             100000 – 3000

Наиболее трудные случаи вычитания, такие как:

700 – 261 ,  70000 – 3257,  700000 – 302007,  701006 – 32057,  и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность продолжения и углубления подготовительной работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы используем счеты.

     Для примера покажем один из вариантов выполнения задания из учебника математики, в котором требуется отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число непосредственно предшествует ему при счете. Здесь уместно сочетать наблюдения учащихся за работой учителя на демонстрационных счетах с их практической работой на индивидуальных.

     Предлагаем отложить число 100 тысяч на счетах (на шестой проволоке счетов появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно предшествующее какому-нибудь числу при счете (отсчитать от него единицу). Уточняем, на какой проволоке счетов откладываются единицы (на первой). Задаем вопрос, как с шестой проволоки попасть на первую, чтобы отсчитать единицу. При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на  10 десятков тысяч, и 10 косточек  откладываем на пятой проволоке. 

     Из десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч (т.е. одну косточку) заменяем десятью единицами тысяч и откладываем десять косточек на четвертой проволоке.  Продолжая аналогично рассуждать и откладывать косточки на счетах, мы получаем на первой проволоке  10 косточек (10 единиц). Обращаем внимание на то, что 1 сотню тысяч мы заменили на 9 десятков тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем с первой проволоки счетов одну косточку), остается 9. Теперь читаем число, которое отложилось на счетах:  девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. (999999).

     Продолжением такой работы является выполнение задания, где требуется назвать и записать, между какими числами встречается при счете каждое из следующих чисел:   100 1000 10000 100000

                                      300 800 30000 700000

Наблюдения показывают, что учащиеся сравнительно легко справляются с присчитыванием единицы, нахождением последующего числа и затрудняются при отсчитывании (нахождении предшествующего). Целесообразно и в этом случае обращаться к счетам.

     Кроме того, снизить уровень указанных трудностей помогает ориентация на осознание учащимися как общего алгоритма вычитания, так и особенностей его применения в рассматриваемых частных случаях.

    Поэтому надо учить детей сопровождать вычисления подробными пояснениями, показывающими, что , в какой последовательности и для чего нужно делать. Покажем характер таких пояснений на следующем примере.

     Пусть требуется из 701006 вычесть 32057.

Из единиц мы не можем вычесть 7 единиц, поэтому обратимся к высшим разрядным единицам, чтобы, заменив их на низшие, получить простые единицы. Так как в уменьшаемом десятков 0 и сотен 0, возьмем 1 тысячу (ставим над разрядом тысяч точку) и заменим ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами (ведь из тысяч нужно выделить единицы).

     К 10 единицам прибавим 6, получим 16 единиц.

     Из 16 единиц вычтем 7 единиц, получим 9 единиц, которые записываем под единицами. Далее аналогично из 9 десятков вычитаем 5 десятков и из 9 сотен вычитаем 0 сотен.

Теперь нужно вычитать тысячи, но тысяч осталось 0 (из 0 тысяч нельзя вычесть 2 тысячи),и десятков тысяч в уменьшаемом тоже 0, поэтому возьмем из 7 сотен тысяч 1 сотню тысяч (ставим над этим разрядом точку)и заменим ее девятью десятками тысяч и десятью тысячами, так как из сотен тысяч нужно выделить тысячи. Вычитаем из 10 тысяч 2 тысячи, из 9 десятков тысяч 3 десятка тысяч и результаты пишем под соответствующими разрядами. Сотен тысяч у нас осталось 6, из них ничего не вычитается, поэтому число 6 записываем под сотнями тысяч.

     По мере усвоения приема вычитания учащиеся постепенно переходят от подробных рассуждений к более кратким. Они поясняют лишь те шаги алгоритма, которые могут затруднить их при вычитании. Сокращение пояснения к его решению таковы: из 6 единиц мы не можем вычесть 7, поэтому берем 1 тысячу и заменяем ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами. Из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 десятков вычитаем 5, получаем 4, из 9 сотен вычитаем 0, получаем  9. Из 0 тысяч нельзя вычесть 2. Берем 1 сотню тысяч и заменяем ее на 9 десятков тысяч и 10 тысяч. Из 10 вычитаем 2, получаем 8, из 9 вычитаем 3, получаем 6. Оставшиеся 6 сотен тысяч записываем в результат.

     И, наконец, ограничиваемся лишь следующими пояснениями: из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 вычитаем 5, получаем 4 и т.п.

     Таким образом, предлагаемая система подготовительных упражнений с методикой их выполнения и последовательность работы по изучению приема вычитания многозначных чисел с нулями в уменьшаемом обеспечивает формирование навыков осознанных и быстрых вычислений указанного вида.

     Учащиеся установили следующие возможные  ошибки при выполнении действия вычитания с многозначными числами, фиксируя их в модели:

1) Ошибка при записи примера в столбик:

2) Ошибка в постановке знака:

3)Знак поставили правильно, но выполняют действия сложения:

4) Неправильно обозначили разряд, из которого «занимали» (забыли, что «занимали»):

5) Неправильно обозначили количество цифр в разности:

6) Допустили ошибки при вычислениях в пределах 10, с переходом через 10:

     Оформляется карточка №3 «Возможные ошибки при выполнении действия вычитания» . (см. приложение).

Отрабатывая алгоритм  проверки действия вычитания, учащиеся выполняют задания включающие «ловушки»:

1) Реши примеры:

  2) Реши примеры с объяснением:

5678 – 322 = 67452 – 7428 =

3) Объясни решение:

4) Не вычисляя, определи, сколько цифр будет в разности:

5) Закончи запись примеров:

6) Придумай примеры по схемам:

7) Придумай задания с  «ловушками».

     Учащимся нравится придумывать задания с «ловушками» и самим находить  «ловушки».

2.4. ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УМНОЖЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАБОТА ПО ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЮ.

     Освоив способ умножения многозначных чисел, дети приступают к выявлению ошибок, которые можно допустить при выполнении этого сложного арифметического действия. К этому времени учащиеся умеют анализировать примеры, у них отработан механизм проверки чисел при списывании, алгоритм проверки действия сложения, которое необходимо выполнять при умножении многозначных чисел. Задание не из легких, но оно понятно детям. На уроке создается доброжелательная атмосфера сотрудничества. В процессе творческой работы учащиеся, испытывающие какие-либо затруднения, могут обратиться к учителю за помощью, за поддержкой, если не находят этого в группе.

     Первые три ошибки, которые возможны при выполнении данного действия, фиксируются детьми достаточно быстро, так как они аналогичны ошибкам, возможным при выполнении действий сложения и вычитания:

1) Ошибка при записи чисел в столбик:

2) Заменили знак умножения знаком сложения (не исключены и другие знаки):

3) Поставили знак умножения , а выполнили действие сложения:

     Последующие действия учащиеся показывают, насколько хорошо они усвоили тему «Умножение многозначных чисел», умеют ли применять приобретенные знания при решении различных практических и учебных задач. При выполнении данного задания происходит также совершенствование знаний, умений и навыков по темам: «Умножение многозначных чисел» и «Сложение многозначных чисел».

4)Умножение только на единицы, забыв на десятки, сотни и т.д.

5) Неправильно записали неполные произведения:

     Ошибки в письменном умножении на двузначное и трехзначное число, обусловленные неправильной записью неполных произведений, например:

Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики хорошо усвоили, почему второе неполное произведение начинаем подписывать под десятками. С этой целью на этапе ознакомления с приемом надо добиться, чтобы ученики, выполняя умножение, давали развернутое объяснение. Так, при решении приведенного примера они рассуждают: «Теперь буду умножать 564 на 30; для этого 564 умножу на 3 и результат на 10; при умножении на 10 приписывают справа нуль под единицами; умножаю на 3; четыре умножаю на 3, получится 12, два пишу на месте десятков, а 1 запоминаю» и т.д.  На этапе закрепления знания приема ученики  не пишут нуль на месте единиц второго неполного произведения, но говорят: «Нуль не пишу, а умножаю 4 на 3 и подписываю под десятками».

     Полезно и в таких случаях разобрать несколько неверных решений, подобных приведенному, и выяснить, какая допущена ошибка. Выявлению ошибок  самими учениками помогает проверка путем прикидки результата ( 500 х 30 = 15000, а получили только 2820, пример решен неправильно), а позднее, когда будут изучены соответствующие случаи деления, выполняется проверка с помощью деления произведения на один из множителей. 

6) Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двузначные разрядные и неразрядные числа.

Например: 34 х 20 = 408  (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 68 и 340), 34 х 12 = 680  (умножили 34 на 2 и результат 68 умножили на 10 ).

     Как и в других случаях смешения приемов, целесообразно сравнить их и установить существенное различие: при умножении на разрядные числа умножаем число на произведение, т.е. умножаем его на один из множителей и результат на другой множитель, а при умножении на двузначные неразрядные числа умножаем число на сумму разрядных слагаемых: умножаем его на каждое слагаемое и результаты складываем. Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.

7) Ошибки при письменном умножении в табличных случаях умножения.

Такие ошибки возникают либо по невнимательности учеников, либо в результате слабого знания отдельными учащимися таблицы умножения.

     Чтобы устранить названные ошибки, надо проводить индивидуальную работу с отдельными учениками по заучиванию таблиц умножения, а также чаще включать табличные случаи умножения в устные упражнения. (см.приложение)

8) Забыли прибавить десятки к произведению десятков, сотни к произведению сотен и т.д. Прибавили десятки к десяткам множителя, а не к произведению:

Например:

9) Ошибка в табличном умножении:

     Для того, чтобы избежать излишней громоздкости алгоритма, в нем не выделены в отдельные пункты ошибки, которые возможны при сложении неполных произведений, хотя они проговариваются.

Эта исследовательская работа учащимися теряет смысл, если учитель не предусматривает в дальнейшем планирования таких заданий, выполнение которых, во-первых, обеспечило бы автоматизированное усвоение действия умножения; во-вторых, привело бы к совершенствованию вычислительных умений и навыков; в-третьих, сформировало бы навык осознанной проверки.

Речь идет о заданиях вида:  (см. приложение карточка №     )

     Таким образом, предупреждению, а также устранению ошибок в вычислениях учеников помогает использование таких методических приемов:

1. Для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.

2. Чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами примеры.

3. Предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.

4. Для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку решения примеров соответствующими способами и постоянно воспитывать к них эту привычку.

2.5.ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ДЕЛЕНИЯ НАД МНОГОЗНАЧНЫМИ ЧИСЛАМИ. ПУТИ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ.

     Формирование у учащихся навыков деления многозначных чисел – одна из наиболее трудных задач учителя начальных классов. Объясняется это прежде всего тем, что правило (алгоритм), по которому выполняется письменное деление, довольно своеобразно и громоздко, и, чтобы обеспечит достаточную осознанность его, нужно ориентировать учащихся на выявление существенных признаков, характеризующих данное правило. Кроме того, закрепление правила совмещать с его практическим применением, что способствует ускорению выработки 

первоначальных умений.

     Еще в период изучения алгоритма деления многозначного числа на однозначное не следует торопить сокращать рассуждения учащихся и переходить на краткие рассуждения и оформление процесса деления. Это лучше делать постепенно. Например, сначала разрешать пользоваться краткими рассуждениями тем учащимся, которые не допускают ошибок в подобных рассуждениях, затем ежедневно присоединять к ним все новых и новых детей. При таких условиях учащиеся более глубоко овладевают алгоритмом деления.

     Рассмотрим ошибки, возможные при выполнении действия деления:

1) неправильно  определили первое неполное делимое:

2) ошибка в определении количества цифр в частном:

3) ошибка в подборе пробного числа:

4) ошибка при умножении пробного числа на делитель (см.карточку №4 «Возможные ошибки при выполнении действия умножения» ;приложение):

5) ошибка в нахождении остатка (см.карточку № 3 «Возможные ошибки при выполнении действия вычитания»,приложение):

     Такая схема последовательности рассуждений учащимися висит в классе до тех пор, пока не буде доведен до автоматизма алгоритм выполнения и проверки действия деления.

     Учащиеся оформляют карточку №5. «Возможные ошибки при выполнении действия деления» (см. приложение).

     Более подробно рассмотрим причины и пути предупреждения у учащихся ошибок, заключающихся в пропуске цифр частного (потеря нулей в частном) и в получении лишних цифр в частном.

     Основными причинами указанных выше ошибок являются следующие:

– неумение учащимися осознанно определять количество цифр в частном;

– имеющееся у большинства учащихся представление о том, что меньшее число не делится  даже с остатком на  большее число, а значит, и частного в этом случае не будет;

– формальное усвоение способа образования неполных делимых;

– отсутствие значения о том, что каждое неполное делимое обязательно дает цифру частного в соответствующем разряде.

     Остановимся на каждой из указанных причин и путях их устранения.

1.ОШИБКИ В ПОДБОРЕ ЦИФР ЧАСТНОГО ПРИ ПИСЬМЕННОМ ДЕЛЕНИИ.

а) получение лишних цифр в частном.

Например:

Ученик разделил на 26 не 130 десятков, а 104 десятка, вследствие чего получил остаток 46, который можно разделить на делитель, что он и сделал, получив лишнюю цифру в частном.

     Для предупреждения таких ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результата. Так , при решении приведенного примера они рассуждают: «Первое неполное делимое 150 десятков, значит в частном будет двузначное число…» После решения примера они устанавливают, что в частном получилось трехзначное число, а должно быть  двузначное, значит пример решен неверно. Полезно, чтобы при этом на первом этапе работы над приемом ученики после установления числа цифр частного ставили на их месте точки, тогда нагляднее выступит несоответствие полученного и установленного числа цифр в частном. Полезно также проводить анализ неверно выполненных решений, аналогичных приведенному. При этом выясняется, что если после вычитания получается число, которое можно разделить  на делитель ( 46 ), то цифра частного подобрана неправильно, надо взять больше. Ошибка может быть обнаружена самими учениками в результате проверки решения на основе связи между компонентами и результатом деления (умножат частное на делитель).

     В дальнейшем полезно в устные упражнения включать специальные задания на определение количества цифр частного, например, такие:

1. Сколько цифр будет содержать частное и почему, если первое неполное делимое 12 десятков? 4 сотни? 57 тысяч? 19 десятков тысяч?

2. Выполняя деление в следующих случаях: 

1) 9870 : 35

2) 136576 : 64

3) 95345 : 485

4) 76171 : 19

5) 720036 : 36

Ученик в частном получил соответственно: 1) трехзначное число; 2)четырехзначное число; 3) двухзначное число ; 4) четырехзначное число; 5) трехзначное число.

В каких случаях частное найдено неверно? Почему?

3. Не выполняя действий деления и умножения, укажите, какие из равенств неверны:   116174 : 58 = 203

44172 : 9 = 4908

21476 : 7 = 368

     Особое внимание обращается на случаи деления, когда в частном получается нуль в середине или в конце. 

2.ПРОПУСК ЦИФРЫ НУЛЬ В ЧАСТНОМ,

Например

Здесь ученик разделил на 43 число сотен  и число единиц ,пропустив операцию деления 34 десятков.

    В таких случаях предупреждению и выявлению ошибок помогает также предварительное установление числа цифр в частном (должно получиться трехзначное число, а получилось двузначное, значит в решении допущена ошибка). Полезно своевременно провести обсуждение неверно решенных примеров, аналогичных  приведенному. При этом после установления числа цифр в частном и нахождения ошибки надо обратить внимание учеников на то, что неполных делимых должно быть столько же, сколько цифр в частном (в приведенном примере – 2, а должно быть 3) и это должно выражаться в записи:

    Выполнение именно такой записи предупреждает появление названной ошибки. Важно, чтобы при этом ученики вели развернутое объяснение решения. Выявить ошибку ученики и здесь могут сами, выполнив проверку решения путем умножения частного на делитель.

     При рассмотрении случаев деления на двузначное число с нулем в частном также полезно в записи иметь каждое из неполных делимых , даже если это делимое равно нулю. Важно приучить детей к соблюдению такой последовательности выполнения деления: после получения неполного делимого нужно обязательно найти соответствующую цифру частного, записать ее в частном и лишь после этого образовывать следующее неполное делимое. Выработка у учащихся привычки всегда  при выполнении письменного деления придерживаться указанной последовательности и есть основной путь устранения причины ошибок, отмеченной нами выше.

     Покажем на примере 480024 : 24, как может быть оформлена запись алгоритма письменного деления и какими рассуждениями целесообразно ее сопровождать:

«Первое неполное делимое 48 десятков тысяч, значит, в частном будут десятки тысяч, единицы тысяч, сотни, десятки и единицы, т.е. пять цифр. Разделю 48 на 24, получится 2 в разряде десятков тысяч в частном. Все десятки тысяч разделились, остаток 0. Образую второе неполное делимое: 0 тысяч.  0 разделю на 24, получиться нуль в разряде единиц тысяч в частном. Следующее неполное делимое  0 сотен. 0 разделю на 24, получится 0 в разряде сотен в частном. Следующее неполное делимое 2 десятка. 2 разделю на 24, в частном в разряде десятков получу 0, в остатке 2. Следующее неполное делимое  24 единицы. 24 разделю на 24, получится 1 в разряде единиц частного. Частное чисел 480024 и 24 равно 20001».

     В дальнейшем применяется обычная запись, но в случае затруднений, ошибок можно прибегать и к приведенной выше записи или же к такой, как показано ниже:

     На этапе закрепления и совершенствования приобретенных умений и формирования навыка широко используются тренировочные упражнения. Виды тренировочных упражнений сначала носят обучающий характер, поэтому их решение сопровождается развернутым пояснением, затем осуществляется постепенный переход от подробного пояснения уч-ся выполняемых операций к более сокращенному. Постепенно увеличивается и удельный вес самостоятельной работы школьников с учебным материалом.

    В дополнению к учебнику приведем образцы некоторых упражнений:

1. Реши примеры верхней строки каждой пары:

4824 : 24 9760 : 16

4837 : 24 9772 : 16

Сравни примеры каждой пары.

Используя ответы первого примера, найди частное и остаток второго примера.

2. Выполни деление, подбирая частное из чисел : 7, 4, 3.

876 : 219 484 : 12

651 : 217 424 : 106

3. Выполни деление с остатком:

186 : 23 272 : 98

457 : 58 321 : 47

4. Проверь двумя способами, правильно ли выполнено деление:

Объясни способы проверки (заново выполни деление и деление проверь умножением).

Какие ошибки были допущены? В чем причина этих ошибок? (Надо было сразу определить количество цифр в частном).

     Задания для самостоятельной работы подбираются таким образом, чтобы приобретенные умения применялись учащимися  в различных ситуациях, вызывали 

интерес своим разнообразием.

     Навык деления многозначного числа на двузначное формируется медленно, поэтому объем тренировочных упражнений должен быть большим.

     В заключение отметим, что формирование любого навыка идет успешнее, если этот навык осознанный. Именно поэтому усиление внимания учителей ко всем отмеченным выше моментам в обучении алгоритму письменного деления будет способствовать выработке более прочных вычислительных навыков.

2.6 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА НАД ОШИБКАМИ.

     Важным является умение учителя подготовить каждого ученика к самостоятельной работе над ошибками. Ведь работа над ошибками эффективна в том случае, если школьник готов к самостоятельному их исправлению. И если для одного ученика достаточно обратить внимание на слова, влияющие на выбор действия (например: подумай, что значит – в частном будет 3 цифры…, и т.д.), то для другого необходим детальный анализ, дополнительные разъяснения. При этом не стоит снижать оценку за ошибку, которую ученик допустил в процессе поиска решения и тут же самостоятельно исправил. Боязнь допустить ошибку, а следовательно получить более низкую оценку ,сковывает мысль ученика и отбивает желание самостоятельного поиска решения. При исправлении ошибок для некоторых детей достаточным является зачеркивание неверного ответа и запись верного, для других целесообразно подчеркнуть запись и предложить ученику самому найти ошибку в том или ином действии. Не следует спешить исправлять ошибку и предлагать учащимся правильное решение, которое они должны понять. Желательно привлекать учеников к тому, чтобы они могли исправить допущенные ошибки самостоятельно. И если при решении ученик допустил ошибку, то целесообразно дать время на отыскание и исправление ошибки самому ученику.

     Если ученик самостоятельно найдет ошибку, оценку за работу снижать нет необходимости.

     Однако, как бы мы хорошо не работали и не предупреждали ошибки, при самостоятельном решении у многих учащихся были, есть и будут ошибки. И как проводить работу над ошибками, какие приемы использовать для их предупреждения – это вопрос, на который надо обращать больше внимания как в практике работы учителя, так и в методической литературе.

З А К Л Ю Ч Е Н И Е

     В квалификационной работе решены все поставленные цели и задачи:

     Учебная деятельность младших школьников и психолого-педагогические особенности становятся ведущей. Это необычайно сложная деятельность становится ведущей, которой будет отдано много сил и времени жизни ребенка.

     Специфика уроков математики обуславливается также особенностями усвоения детьми математического материала; абстрактный характер материала требует тщательного отбора наглядных средств, методов обучения, разнообразия видов деятельности учащихся в течении урока.

     Учебник является основным средством обучения. Все другие средства разрабатываются в соответствии с учебником и используются во взаимосвязи с ним.

     Тема нумерации многозначных чисел является пропедевтическим этапом сложения и вычитания многозначных чисел, а затем умножения и деления многозначных чисел. Знание основ десятичной системы исчисления, является необходимым условием для изучения алгоритма арифметических действий.

     В результате изучения темы: «Арифметические действия над многозначными числами» дети знают конкретный смысл  сложения и вычитания, умножения и деления, умеют применять полученные знания при решении задач, овладели  алгоритмом письменного сложения и вычитания, умножения и деления на однозначное, двузначное и трехзначное число.

“Решение уравнений, требующих действий с многозначными числами.”

Автор:
Ковалева Наталья Михайловна,
учитель начальных классов
МОУ “СОШ № 61”

Закрепление алгоритма сложения многозначных чисел.

       1. Повторить алгоритм сложения многозначных чисел

       2. Отрабатывать вычислительный навык на основе решения уравнений

       3. Постановка задачи на нахождение периметра многоугольников

Урок математики в 4 классе .Действия с многозначными числами. Путешествие к пирамиде Хеопса — Лицей №14

Евтушенко Людмила Николаевна, учитель начальных классов,

МОУ лицей №14 «Экономический», г.Ростова-на-Дону.

Урок математики в 4 классе.

Тема: Действия с многозначными числами. Путешествие к пирамиде Хеопса.

Цели урока:

• Закрепление вычислительных навыков и умения решать задачи с многозначными числами;
• Расширение представления учащихся о математике как науке, способствующей познанию мира;
• Воспитание интереса к предмету, аккуратности и точности в работе.

Форма проведения урока: заочная экскурсия к пирамиде Хеопса.

Оборудование: компьютер, мультимедиа экран, иллюстрации, аббаки.

Ход урока.

I.                   Организация  начала урока. Постановка цели и задач урока.

Ребята, давайте скажем друг другу и гостям хорошее слово: «Здравствуйте!»

Давайте задумаемся: что же такое математика? Для чего она нам нужна? (ответы детей).

Знаменитый философ Платон утверждал, что «Математика – это идеальный мир чисел и фигур». Другой учёный Галилей называл математику «языком, на котором написана книга природы».

Сегодня на уроке мы  постараемся расширить наше представление об этой науке, опираясь на ваши умения выполнять действия с многозначными числами. (Оформление тетради).

Что в математике является главным?  Без чего мы не можем обойтись? Почему?

Основным элементом математической науки является число. Магическим считается число «7». Какие ассоциации связаны у вас с числом 7?

Ответы: 7 дней в неделе, 7 нот в музыке, 7 цветов  радуги, 7 чудес света. Семь раз отмерь – один раз отрежь.

Жизнь каждого из нас связана с числами. А люди, рождённые 7 числа, обладают космической энергией и огромным интеллектом. Кто родился 7 числа? Какого месяца?

Но это не значит, что рождённые другого числа считаются менее талантливыми и умными. Именно это вам и предстоит сегодня доказать.

II.                Заочная экскурсия к пирамиде Хеопса.

1.Актуализация знаний учащихся.

Одно из семи чудес света находится в Африке, в государстве Египет, недалеко от поселения Гиза.  Кто знает что это? Это  пирамида Хеопса. Она – древнейшее из чудес света, которое сохранилось до наших дней. Свое название она получила от имени её создателя — царя-фараона Хеопса.

А вы хотите отправиться в путешествие к пирамиде? Дети нашего лицея тоже хотят отправиться с вами. Для этого давайте сначала сформируем экскурсионные группы.

2. Решение задачи.

Для экскурсии к пирамиде Хеопса сформировали 3 группы туристов. В первой группе было 33 человека, что на 8 человек больше, чем во второй группе. Сколько человек было в третьей группе?

Можем ли мы решить эту задачу? Нет.

Почему?

Дополним задачу недостающими данными. Всего в трёх группах 86 туристов.

Решение:  86-(33+(33-8))=28 (туристов)

3. Устный счёт.

Но прежде чем мы отправимся в путешествие, у меня есть 4 билета класса «люкс». Чтобы получить билет нужно решить правильно и быстро примеры на карточке. Время ограничено временем устного счёта.

Группы мы сформировали. А теперь, выясним,  какой маршрут достанется каждой группе. Номер маршрута – это ответ последнего примера. Сейчас мы с вами устно по группам решим эти столбики примеров.

3 группы туристов — 3 ряда учеников. Ученики по очереди выходят к доске по одному и записывают ответы.  Оценивается правильность ответов и скорость выполнения.

356+124=480                320 : 40=8                 175*2=350

480 : 3=160                  8 · 15=120                350 + 170= 520

160 * 6=960                 120 : 30=4                520 : 4 =130

960: 30=32                   4  * 92=368              130 * 7 =910

32 + 298=330               368 – 159=209         910 – 460 =450

Давайте посмотрим, какой маршрут достался каждой группе.

Кто получил заветный билет? Подведение итога конкурса.

4.  Решение задачи.

Итак, представим себя у подножия пирамиды (у её основания).

Высота пирамиды Хеопса 146 м (как 50-ти этажный небоскрёб). В своём первоначальном виде это была сверкающая белая гора, склоны которой отражали солнечные лучи. Поэтому её и назвали одним из чудес света. Но природа безжалостна. За эти годы пирамида изменила свой облик. Из-за наступления песков она уменьшилась по высоте на 9 метров. Какой стала её высота теперь?

146-9=137 метров.

Нам предстоит обойти вокруг пирамиды.

Длина каждой стороны основания пирамиды 233 метра. Найдите периметр её основания.

Р =233*4=932 метра.

Это расстояние больше или меньше километра? На сколько метров меньше? (на 68 метров).

5. Физминутка

В жаркую сухую погоду наш путь обещает быть нелёгким. Поэтому перед дорогой нужно хорошо размяться.

Фараон в Египте жил головой своей крутил,

Вот так, вот так головой своей крутил.

Вперевалочку ходил у фонтана руки мыл,

Вот так, вот так у фонтана руки мыл.

В тихий час ложился спать – пора глазки закрывать,

Фараон  проснулся,

Сладко потянулся.

От души мы потянулись

И за парты все вернулись.

6. Решение задачи.

А вы знаете, что пирамида Хеопса — величайшее сооружение, когда-либо воздвигнутое человеком. Не сохранилось никаких сведений о том, как она строилась. Но изучение всех пирамид позволяет представить, какие методы и инструменты использовали древние строители.

10 лет — велись подготовительные работы (прокладывалась дорога для доставки каменных блоков, укладывали основание).

Давайте выясним, сколько это месяцев? (120)

Вычислим, сколько это дней?

365*10=3650 дней.

Каменотесы по чертежам вырубали из скалы блоки определённого размера. Большинство их  имели длину стороны 1м 30 см  и весили 2500 кг, но были и огромные – по200000 кг.

Какова разница между наибольшим и наименьшим весом блоков?

200000-2500=197500 (кг.)

Посмотрите, блоки, какой массы могли поднимать люди.

На приготовление 5 каменных блоков потребовалось 40 дней. За сколько дней будут изготовлены 30 блоков?

40: 5=8 (дней)

8*30=240 (дней)

Как ещё можно решить эту задачу?

5 блоков – 40 дней

30блоков — х  дней

Во сколько раз 30 больше 5?

Во сколько раз х больше 40?

30 : 5 * 40=240 (дней)

7. Продолжаем экскурсию.

Когда каменный блок был готов, его взваливали на подставку, напоминающую сани, закрепляли верёвками и волокли к строительной площадке.

Тут наступала очередь самой тяжёлой работы: каменные блоки при помощи канатов и рычагов затягивали на верхнюю площадку строящейся пирамиды. Там рабочие укладывали блок на указанное архитектором  место с точностью до миллиметра. И чем выше поднимались, тем опаснее становилась работа.

Как вы думаете, почему люди смогли построить пирамиду? (работали дружно, организованно, ответственно). И если вы будете работать также, то справитесь с любым заданием.

Сейчас, я познакомлю вас с интересными фактами, связанными со строительством пирамиды. А вам предстоит сложная задача, не просто запомнить информацию, но и записать эти данные в тетрадь.

• Строительство пирамиды Хеопса продолжалось 30 лет;
• 100000 человек работали за это время;
• Подготовительные работы вели 40000 человек, хотя по подсчётам учёных , только 8000 человек могли бы строить пирамиду, не мешая друг другу;
• Площадь основания пирамиды 53000 кв. метров, здесь могло бы поместиться 10 футбольных полей;
• Уложено более 2000000 каменных блоков – всё это лишь для того, чтобы сложить гробницу для одного единственного человека, пусть даже царя.
• 47 веков стоит пирамида Хеопса. Сколько это лет? (4700 лет)

III.             Итог урока.

Итак, наша экскурсия подошла к концу. Вам понравилось? Что нового, интересного вы узнали?

Что вы расскажите своим друзьям о пирамиде Хеопса?

С какими числами мы работали на уроке?

IV.  Домашнее задание.

Но есть и другие пирамиды. Узнать о них вы можете, изучая  историю, и читая познавательную литературу. Дома найдите интересные сведения о других пирамидах или чудесах света и придумайте вопросы, ответив на которые нужно решить задачу.

По поводу происхождения и устройства пирамид учёные выдвигают самые невероятные гипотезы (предположения), например:

1. Пирамиды построены инопланетянами, явившимися с далёких звёзд, чтобы оставить нам каменные послания;
2. Пирамиды заключают в себе математическую тайну, которой владели египтяне, и если мы раскроем её, то сможем установить даты всех предстоящих событий;
3. Древние египтяне при помощи таинственных сил пытались предохранить свои гробницы от вторжения посторонних, поэтому многие учёные поплатились за своё любопытство жизнью.

Так или иначе, разгадка тайн пирамид до сих пор не найдена. Может, кому-нибудь из вас удастся это сделать? Для тренировки своих вычислительных навыков каждый получает карточку с домашним заданием.

Конспект урока математики «Многозначные числа»; 4 класс – Математика – Начальные классы

Конспект урока по математике для учащихся 4 класса по теме: «Многозначные числа»

Журавлева Галина Николаевна, учитель начальных классов СОШ № 18 г. Сочи

Тип урока: «открытие» нового знания

Цели:

-Сформировать понятие «многозначные числа»

-Тренировать способность к чтению многозначных чисел; устные вычислительные навыки.

Задачи:

-повторить табличное и внетабличное умножение и деление;

-закрепить умение читать и записывать многозначные числа, представлять их в виде суммы разрядных слагаемых;

-закрепить умение складывать и вычитать многозначные числа;

-отработать навык решения текстовых задач.

Оборудование: мультимедийный проектор,

карточки для самостоятельной работы.

Этапы урока:

1. Орг. момент. Введение в урок.

2. Устный счёт.

3. Самостоятельная работа.

4. Работа с таблицей разрядов.

5. Работа с многозначными числами.

6. Работа в парах.

7. Гимнастика для глаз.

8. Решение задачи.

9. Найти значение выражения.

10. Подведение итогов урока.

11. Рефлексия.

12. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Орг. момент. Введение в урок.
– Умные глазки смотрят на меня. Улыбнулись гостям и друг другу.

– Что возьмём с собой на урок? (Ум, смекалку, доброту, хорошее настроение).
– Ребята, в конце урока мы узнаем слово, без которого нельзя обойтись на любом уроке.

– Но сначала запишем тему урока и определим задачи.

Тема: Многозначные числа (повторение). (Слайд 2)

Задачи: (Слайд 3)

• Повторим табличное и внетабличное умножение и деление.

• Закрепим умение читать и записывать многозначные числа, представлять их в виде суммы разрядных слагаемых.

• Закрепим умение сложения и вычитания многозначных чисел.

• Отработаем навык решения текстовых задач.

2.Устный счёт. (Слайд 4)
-Начнём с повторения табличных случаев умножения и деления.
– Для чего нам это нужно?

Расшифруйте фразу

4х9 м 9х9 ! 6х8 н 6х2:4 л 60:6 п 36:6 о

3х5 ч 49:7 е 15:5х9 у 5х9 ё 7х7 т 8х7 и

8х4 в 24:6 с 32:4 я 40:8 я 72:8 у 5х7 с

9 36 7 48 8 32 4 45 10 6 3 27 15 56 49 35 5 81

У м е н я в с ё п о л у ч и т с я !

Каждый себе скажет: «У меня всё получится!».

Эта фраза станет девизом нашего урока.

В этом предложении найдите букву, обозначающую согласный, звонкий, сонорный, мягкий звук. (Н(48) – выставляем на доску)

Итог: Для чего нам нужно знать табличное умножение и деление?

3. Самостоятельная работа. (Слайд 5)

Решение примеров на внетабличные случаи умножения и деления.
34х3=102 100:25=4 88:44=2 96:8=12 230х2=460
Взаимопроверка по образцу. (Слайд 6)
– На какие группы можно разделить данные равенства? (Произведение и частное). (Слайд 7)

Итог: Мы повторили внетабличные случаи умножения и деления для того, чтобы…

– Среди ответов найдите число, в котором 1 сотня и 2 единицы (102-А (выставляем на доску)).

4. Работа с таблицей разрядов. (Слайд 8)
– С какими числами мы сейчас работали? (Однозначные, двузначные, трёхзначные).
-А числа больше трёхзначных называются….(Многозначными).
-Для того чтобы правильно читать, записывать многозначные числа, их разбили на… (Классы).

– Прочитайте хором: 561.002,

7.304.503,

40.045
-Сколько разрядов в каждом классе?
-Как называются единицы 2-го разряда? 7-го разряда?
-Сколько нулей у миллиона?
-Что значит нуль в записи числа? (Отсутствуют единицы данного разряда).
Прочитать числа.

5. Работа с многозначными числами. (Слайд 9)

ЧИСЛО 2.063
-Прочитайте число. Сколько классов в этом числе?
-Что обозначает нуль в записи этого числа?
-Умножить это число на 100.

Прочитайте число.(206.300)

Разложите это число на сумму разрядных слагаемых:

206.300= 200.000+6.000+300
 

ЧИСЛО 408.100
-Прочитайте число.

Разделите это число на 10.

Какое число получилось? (40.810)
Сколько классов в этом числе? (Два).

итог: закончите предложения

Для правильной записи и чтения многозначные числа разбили на… (КЛАССЫ).

В каждом классе …разрядов.

Нуль в записи числа обозначает … (отсутствие единицы данного разряда)

Самостоятельная работа по вариантам. (2.063 и 408.100)
1-й вариант находит разность чисел.(406.037)
2-й вариант находит сумму этих чисел.(410.163)
Проверка по образцу. (Слайд 10)
Разложите эти числа на сумму разрядных слагаемых. (Слайд 11)
406.037=400.000+6.000+30+7
410.163=400.000+10.000+100+60+3

На сколько одно число больше другого?

Запишите решение в тетрадь.

(410.163 — 406.037 = 4126)
Проверка по образцу. (Слайд 11)

Итог: Среди чисел в самостоятельной работе было число, в котором 4сотни тысяч, 8 тысяч и 1 сотня. Что это за число? – 408.100 Е

6. Работа в парах. ( Слайд 12)

-Ребята, у вас на партах лежат карточки.
-На обратной стороне карточек записаны числа.

728 23.456 4.678 10.000

7280 56 10 80.007

728.000 56.890 4 1.456.789

72.800 345 10.002 2.345

456 26 7.890.345 728

1.028 45.670 405 7280

34.890 567.890 102.590 728.000

4 67.001 3.005 72.800

907 3000 10.000 45.670

5.609 40958 1.456.789 10

100.618 678 80.007 102.590

2.146 728.000 2.345 1.456.789

Расставьте эти числа в порядке возрастания, убывания. Прочитайте получившиеся числа.
– Какие задания можно предложить, используя эти числа?

7. Гимнастика для глаз. (Слайд13-20)

8. Решение задачи.

– Полученные знания о многозначных числах используем в задаче.

На строительство шоссейной дороги в первый день привезли 9650т песка, во второй день на 3197т меньше, чем в первый, а в третий на 900т меньше, чем во второй. Сколько тонн песка привезли в третий день?

-Прочитайте условие задачи. (Cлайд 21)
-Какие вопросы можно задать?
-Прочитайте задачу полностью. (Cлайд 21)
Составление краткой записи к задаче. (слайд 22)

Разбор задачи по действиям. (Cлайд 23)
Запись решения в тетради.

1) 9650 — 3197 = 6453(т) — привезли песок во 2-ой день.

2) 6453- 900 = 5553(т)

– Составим выражение к нашей задачи.

9650-3197-900 = 5553(т)

Ответ: в третий день привезли 5553 тонн песка.

• Найдите в записи решения задачи самое большое число – 9650 И

• Среди записи выражения решения задачи найдите самое маленькое число — 900 Н

9. Найти значение выражения.
– А теперь я предлагаю вам выражение посложнее. Попробуйте решить его самостоятельно.

– Прочитайте выражение. (Cлайд 24)

(800:4-5х20)х5+(100-350:50)- 98= 495

1) 800:4 = 200 4) 350:50 = 7 7) 500+93 = 593

2) 5х20 = 100 5) 100-7 = 93 8) 593-98 = 495

3) 200-100 = 100 6) 100х5 = 500

– Расставьте действия.
Самостоятельное решение. Проверка.

– В данном выражении найдите самое маленькое число. (Это 4. Выставляем (4-З) на доску.

10. Подведение итогов урока.
Даны числа на доске. Расставьте их в порядке возрастания и у вас получится слово.

48 102 408.100 9.650 900 4

Н А Е И Н З

4 48 102 900 9.650 408.100

З Н А Н И Е

-Для чего нам знания на уроке?

11. Рефлексия.

– Мне показалось труднее всего на уроке ….
-Мне удалось на уроке лучше всего…
– Вы хорошо поработали на уроке. Молодцы!

12. Домашнее задание. (Слайд25)

Урок 19. устные и письменные приёмы вычислений – Математика – 4 класс

Математика, 4 класс

Урок №19. Устные и письменные приёмы вычислений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Как быстрее и легче посчитать устно?
2. Каков алгоритм сложения и вычитания многозначных чисел?
3. Есть ли способы проверки вычислений с многозначными числами?

Глоссарий по теме:

Многозначные числа – это числа класса тысяч и класса миллионов. 

Алгоритм – последовательность действия (шагов).

Сложе́ние (обозначается символом плюса «+») – арифметическое действие. Сложение есть объединение в одно целое.

Результатом сложения чисел является число, называемое суммой.

Вычита́ние (обозначается символом минус «-») (убавление) – арифметическое действие (уменьшаемого и вычитаемого), результатом которой является новое число (разность).

Обязательная литературы и дополнительная литература:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 3 класс. Учебник для

общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60. 61

1. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику 4 класс.

Учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.; Просвещение,2018. – с. 19

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение

164 + 45 + 36 + 355

Для быстрого вычисления нужно вспомнить свойства сложения  переместительное и сочетательное.

Переместительное свойство подсказывает, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

А в сочетательном свойстве говорится, что два соседних слагаемых можно заменить их суммой.

Воспользуемся этими свойствами.

164 + 45 + 36 + 355 = (164 + 36) + (355 + 45) = 200 + 400 = 600

Если уметь применять свойства сложения, то значение выражений можно считать устно.

Но, конечно, не всегда удаётся устно выполнить вычисления. Ведь иногда надо выполнять их с многозначными числами. И тогда приходится пользоваться письменным приёмом вычисления. Вспомним алгоритм письменного сложения и вычитания трёхзначных чисел. Допустим, надо сложить числа четыреста шестьдесят пять и двести восемьдесят девять.

Числа записаны одно под другим, одинаковые разряды стоят строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Выполняем вычисления с наименьшего разряда. Складываем единицы. Пять плюс девять – четырнадцать. Четыре пишем под единицами, а один десяток добавляем к десяткам.

Складываем шесть десятков и восемь десятков – четырнадцать. Да ещё десяток – пятнадцать десятков. Это пять десятков и одна сотня, которую добавляем к сотням.

Складываем четыре и две сотни, да ещё одну сотню. Всего семь сотен. Ответ: семьсот пятьдесят четыре.

Ну а если бы надо было складывать не трёхзначные числа, а, например, пяти- или шестизначные?

Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел.

Допишем в наших слагаемых цифры в классе тысяч.

Теперь надо сложить шестизначные числа. Действие сложения с классом единиц в них уже выполнено. Продолжаем. Складываем единицы тысяч. Восемь и два – десять. Нуль пишем под единицами тысяч, единицу добавляем к десяткам тысяч. Складываем их. Шесть, четыре и один – одиннадцать десятков тысяч. Это одна сотня и один десяток тысяч. Один десяток тысяч пишем под десятками тысяч и одну сотню тысяч добавляем к сотням тысяч. Складываем их. Шесть. Читаю ответ: шестьсот десять тысяч семьсот пятьдесят четыре.

Ну что ж, надо проверить сложение. А проверяем сложение, естественно, вычитанием.

Из шестисот десяти тысяч семисот пятидесяти четырёх вычитаем триста сорок две тысячи двести восемьдесят девять.

Так же, как при вычитании трёхзначных чисел, начинаем с наименьшего разряда – единиц. Четыре минус девять. Надо занять один десяток. Четырнадцать минус девять – пять.

Вычитаем десятки. Мы заняли один десяток. Их осталось четыре. Из четырёх восемь вычесть не можем. Занимаем одну сотню. Четырнадцать минус восемь – шесть. Вычитаем сотни. Точка подсказывает, что их на одну меньше. Шесть минус два – четыре.

Вычитаем единицы тысяч. Из нуля вычитать нельзя. Занимаем десяток тысяч и вычитаем из десяти. Десять минус два – восемь.

Вычитаем десятки тысяч. У нас был один десяток тысяч, но его заняли. Остался нуль. Занимаем сотню тысяч. Это десять десятков тысяч. Из них вычитаем четыре, получается шесть.

Вычитаем сотни тысяч. Точка подсказывает, что их осталось пять. Пять минус три равно два. Читаю ответ: двести шестьдесят восемь тысяч четыреста шестьдесят пять.

Разность такая же, как первое слагаемое примера на сложение. Значит, всё выполнено верно.

Необходимо запомнить: письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел.

Решим задачу:

Гуляя после уроков, мальчики и девочки произносят каждый день 11875 слов по делу, 5316 – со смыслом, 27981 – не задумываясь, а 379 слов лучше было бы вообще не произносить. Сколько всего слов в день говорят мальчики и девочки, гуляя после уроков?

Решение:

11875 + 5316 + 27981 + 379 = 45551 (с.)

Ответ: 45551 слово всего говорят в день дети.

Вывод:

Если надо что-нибудь посчитать устно, то иногда это можно сделать быстрее и легче, пользуясь переместительным и сочетательным свойствами сложения.

При сложении и вычитании многозначных чисел числа записывают одно под другим, одинаковые разряды стоят строго друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Выполняем вычисления с наименьшего разряда.

Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел.

Проверяем сложение вычитанием, а вычитание сложением.

Выполним тренировочное задание.

Урок для 4 класса по теме: “Письменное деление многозначных чисел на круглые”

Урок математики в 4 классе.

Тема: Письменное деление многозначных чисел на круглые.

Цели:

• познакомить детей с новым для них алгоритмом деления многозначного числа на многозначное,

• учиться читать и записывать информацию, представленную в виде различных математических моделей

Ход урока:

1. Вычислите значения выражений:

8

180 : 60 н

240 : 30 д

540 : 90 л

700 : 100 е

360 : 40 и

– Какое слово получилось в таблице?

– Как называются числа при делении?

– Что можно сказать о делимом и делителе в наших выражениях?

2. На доске:

1316 : 2 1316 : 20

– Сравните. Какое выражение решите без затруднения?

– Как решить второе выражение? Решите.

– Составьте алгоритм деления на круглые числа. Работа в группах.

1. Находим первое неполное делимое.

2. Определяем количество цифр в частном.

3. Делим неполное делимое.

4. Проверяем умножением.

5. Ищем остаток.

6. Сносим следующую цифру.

7. Продолжаем, пока не разделим все цифры.

3. Попробуем решить несколько примеров с объяснением: определите пример с остатком.

1290 : 30 4340 : 70 25832 : 600

4. Работа по карточкам:

1240 : 20 2400 : 50

720 : 90 540 : 60

2880 : 40 2880 : 40

– Полученные числа вставьте в окошки:

_ : = 53 + : = 56

5. Решение задач на движение.

Работа с учебником на странице 85 № 4.

– Прочитайте условие и ответьте на вопросы.

Проверка.

№ 5 Рассмотрите рисунок и составьте задачу.

Решение самостоятельное.

Тест.

1. 4650 : 8 Первое неполное делимое 465.

2. 6524 : 7 В частном будет 3 цифры.

3. 2727 больше 9 в 33 раза.

4. Число 8080 увеличили в 4 раза, и получили 2020.

5. Первая цифра частного 48532 : 7 это 6.

Тест.

1. Наибольшее четырёхзначное число, в записи которого используются цифры 9 и 8 – это 9899.

2. 420580 : 40 Первое неполное делимое 42.

3. 29250 : 50 В частном будет 3 цифры.

4. Число 250 увеличили в 4 раза, и получили 100.

5. Первая цифра частного 23654 : 9 это 2.

6. Итог – Чему учились на уроке? Д.З. Стр. 85, № 6

Многозначные числа. Единицы разрядов и классов. Сумма разрядных слагаемых.

Многозначные числа.

Существуют в математике огромное количество натуральных чисел. Они все разные. Например, 2, 67, 354, 1009. Рассмотрим подробно эти числа.
Натуральное число 2 состоит из одной цифры, поэтому такое число называют, однозначным числом. Еще пример однозначных чисел: 3, 5, 8.
Натуральное число 67 состоит из двух цифр, поэтому такое число называют, двузначным числом. Пример двузначных чисел: 12, 35, 99.
Трехзначные числа состоят из трех цифр, например: 354, 444, 780.
Четырехзначные числа состоят из четырёх цифр, например: 1009, 2600, 5732.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные, шестизначные и т.д. числа, называются, многозначными числами.

Разряды чисел.

Рассмотрим число 134. У каждой цифры этого числа есть свое место. Такие места, называются, разрядами.

Цифра 4 занимает место или разряд единиц. Так же цифру 4 можно назвать цифрой первого разряда.
Цифра 3 занимает место или разряд десятков. Или цифру 3 можно назвать цифрой второго разряда.
И цифра 1 занимает разряд сотен. По-другому, цифру 1 можно назвать цифрой третьего разряда. Цифра 1 является последней цифрой слава числа 134, поэтому цифру 1 можно назвать, цифрой высшего разряда. Цифра высшего разряда всегда больше 0.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда.  10 единиц образуют один разряд десяток, 10 десятков образуют один разряд сотен, десять сотен образуют разряд тысяч и т.д.
Если нет какого-то разряда, то вместо него будет стоять 0.

Например: число 208.
Цифра 8 – первый разряд единиц.
Цифра 0 – второй разряд десятков. 0 означает в математике ничего. Из записи следует, что десятков у данного числа нет.
Цифра 2 –  третий разряд сотен.

Такой разбор числа называется разрядным составом числа.

Классы.

Многозначные числа разбивают на группы по три цифры справа налево. Такие группы цифр называют классам. Первый класс справа называется классом единиц, второй называется классом тысяч,  третий – классом миллионов, четвёртый – классом  миллиардов, пятый – классом триллионов, шестой – классом квадриллионов, седьмой – классом квинтиллионов, восьмой – классом секстиллионов.

Класс единиц – первый класс справа с конца три цифры состоит из разряда единиц, разряда десятков и разряда сотен.
Класс тысяч – второй класс состоит из разряда: единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.
Класс миллионов – третий класс состоит из разряда: единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Разберем пример:
У нас есть число 13 562 006 891.
Это число имеет 891 единиц в классе единиц, 6 единиц в классе тысяч, 562 единиц в классе миллионов и 13 единиц в классе миллиардов.

Таблица разрядов и классов.

Чтобы прочитать натуральное число 13562006891 нужно справа отметить по три цифры класса 13 562 006 891  и прочитать число единиц каждого класса слева направо:

13 миллиардов 562 миллионов 6 тысяч 891.

Сумма разрядных слагаемых.

Любое натурально число имеющее различные разряды можно разложить на сумму разрядных слагаемых. Рассмотрим пример:
Число 4062 распишем на разряды.

4 тысяч 0 сотен 6 десятков 2 единиц или по-другому можно записать

4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2

Следующий пример:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0

Вопросы по теме:

Назовите первые четыре класса в записи натуральных чисел?
Ответ: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.

Как читают многозначные числа?
Ответ: многозначные числа читают слева направо. Разбивают число по 3 цифры с конца на классы, называют все цифры, кроме нуля. Цифра 0 в записи  числа означают отсутствие разряда.

Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?
Ответ: 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.

Что такое сумма разрядных слагаемых?
Ответ: Это разложение натурального числа на разряды и суммирование их.

Сколько десятков в сотне?
Ответ: в сотне 10 десятков.(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100)

Сколько сотен в тысячи?
Ответ: в тысячи 10 сотен. (100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=1000)

Сколько десятков в тысячи?
Ответ: в тысячи 100 десятков.

Сколько тысяч в миллионе?
Ответ: в миллионе 1000 тысяч.

Примеры на задачи.

Пример №1:
Запишите и прочитайте число: а) пятизначное б) шестизначное.
Ответ: а) 35 100 (тридцать пять тысяч сто) б) 803 273 (восемьсот три тысячи двести семьдесят три)

Пример №2:
Сколько натуральных чисел: а) однозначных б) двузначных?
Ответ: а) однозначных натуральных чисел 10 (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9), б) двузначных натуральных чисел 90 (10, 11, 12, …,99)

Пример №3:
В записи числа 10398 назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, …
Ответ: 8 – разряд единиц, 9 – разряд десятков, 3 – разряд сотен, 0 – разряд тысяч, 1 – разряд десятков тысяч.

Пример №4:
Напишите наименьшее трехзначное число и наибольшее пятизначное число.
Ответ: 100 и 99999.

Пример №5:
Запишите число 56976 в виде суммы разрядных слагаемых:
Ответ: 56976=50000+6000+900+70+6=5⋅10000+6⋅1000+9⋅100+7⋅10+6

Проектирование базы данных – Введение

Это четвертое издание этой онлайн-книги Альваро Монж, пожалуйста, свяжитесь с ним с любыми вопросами и особенно, чтобы сообщить о любых ошибках или предлагать изменения.

Предыдущие издания были выполнены Томом Джуэттом. Теперь, когда Том ушел с преподавания, он по-прежнему активно занимается веб-дизайном и консультированием по вопросам доступности.

Редакции

Это четвертое издание dbDesign является значительным обновлением содержания книги. а также его дизайну (готовится к печати).Большая часть контента была обновлена ​​и работа над этим продолжается. Более подробная информация об изменениях будет продолжать публиковаться ниже на протяжении всего процесса.

• Обновите все веб-страницы, чтобы использовать элементы HTML, соответствующие их содержимому. Для например, использовать списки, в которых есть информация, использование HTML5 элементы секционирования (статья, раздел и т. д.), используйте элемент figure в качестве контейнера изображений и т. д. Удалите использование устаревших элементов / атрибутов HTML.
• Обновляет определения стилей CSS по мере необходимости с учетом изменений в HTML.
• Использование символов UTF-8 вместо символов HTML.
• интегрирует Highlight.js, библиотека подсветки синтаксиса, встроенная в JavaScript и используется на этом веб-сайте для выделения примеров операторов SQL.
• Исправьте ошибки в представленном синтаксисе SQL и предоставьте альтернативный синтаксис SQL.
• Расширить пояснения некоторых понятий, которые некоторые студенты считают трудными. основанный на многолетнем опыте их преподавания.Например, студенты часто путают использование классов ассоциации и “многие-ко-многим” с историей шаблон дизайна. Пояснение к ним было изменено, и дополнительная информация предоставлены в попытке прояснить эти (и другие концепции).
• Организовал тематические страницы, добавив больше заголовков для структурирования содержания.

Предыдущие издания

По историческим причинам в приведенном ниже списке представлены изменения к предыдущим редакциям.

1. Третье издание dbDesign представляет собой общее обновление, отвечающее требованиям законодательства. требования к доступности «Раздела 508» США и внесение кода в соответствие последним стандартам Консорциума World Wide Web. В процессе, Я попытался сделать примеры SQL как можно более общими, хотя вы все равно придется обращаться к документации для вашей собственной системы баз данных. Графика больше не требует подключаемого модуля SVG; только большие изображения и текст просмотры каждого рисунка предоставляются всем читателям; в меню теперь организовано по тематическим областям; и версия для печати (за исключением навигации слева) выполняется автоматически таблицей стилей.
2. Второе издание во многом было мотивировано очень полезными комментарии профессора Альваро Монжа, а также Собственные наблюдения Тома Джуэтта в двух семестров использования его предшественника в классе. Основные изменения включали четкое разделение UML от его реализации в реляционной модели, введение терминологии реляционной алгебры как помощь в понимании SQL, и повышенное внимание к пониманию дизайна на естественном языке.
3. Оригинальный сайт возник на основе предыдущей книги. проект, Практическое проектирование реляционной базы данных (PRDD), Уэйн Дик и Том Джуэтт. Переезд в Интернете включал сжатые обсуждения, интегрированный взгляд на концепции и навыки работы с базами данных, и использование единого языка моделирования в процессе проектирования. Я благодарен за положительный отклик, который получил сайт, оба от моих собственных учеников и от онлайн-читателей со всего мира.

Благодарности

• В 2002 году Том Джуэтт воплотил книжный проект PRDD в жизнь онлайн. Инструкторы CSULB вводного класса базы данных (CECS 323) использовали эту онлайн-книгу все эти годы и добились отличных результатов. Трудолюбие, целеустремленность и профессионализм Тома сделали эту онлайн-книгу успешной. В 2014 году он передал этот проект Альваро Монге, который надеется продолжить великую работу, которую они с Уэйном Диком начали много лет назад и которая Том принес в Сеть с большим успехом.
• В каждом выпуске этого сайта огромная благодарность выражается Проф. Уэйн Дик, ведущий автор более ранней книги PRDD и всемирно известный эксперт по доступности. На протяжении многих лет он внес огромный вклад в в базах данных, попавших на этот онлайн-ресурс.

Альваро Монж
Кафедра компьютерной инженерии и компьютерных наук
Калифорнийский государственный университет, Лонг-Бич
Альваро Монге
электронная почта: [email protected]

[К началу страницы]

Многозначный атрибут – обзор

9.3 Атрибуты

Как и другие нотации электронной отчетности, UML позволяет моделировать отношения как атрибуты.Например, на рис. 9.6 (a) класс Employee имеет восемь атрибутов. Соответствующая диаграмма ORM показана на рисунке 9.6 (b).

Рисунок 9.6. Атрибуты UML (a) изображены как типы отношений ORM (b).

В UML атрибуты по умолчанию являются обязательными и однозначными. Таким образом, все атрибуты номера сотрудника, имени, должности, пола и статуса курения являются обязательными. В модели ORM унарный предикат «курит» необязателен (не все должны курить). UML не поддерживает унарные отношения, поэтому вместо этого он моделирует это как логический атрибут isSmoker с возможными значениями True или False.В UML домен (т. Е. Тип) любого атрибута может дополнительно отображаться после него (которому предшествует двоеточие). В этом примере домен отображается только для атрибута isSmoker. По умолчанию инструменты ORM обычно используют подход закрытого мира к унарным, что согласуется с обязательным атрибутом isSmoker.

Модель ORM также указывает, что пол и страна идентифицируются кодами (а не именами, скажем). Мы могли бы передать некоторые из этих деталей на диаграмме UML, добавив доменные имена.Например, «гендерный код» и «код страны» можно добавить к «пол:» и «страна рождения:» для обеспечения синтаксических доменов.

В модели ORM это необязательно независимо от того, записываем ли мы страну рождения, номер социального страхования или номер паспорта. Это фиксируется в UML путем добавления [0..1] к имени атрибута (у каждого сотрудника есть 0 или 1 страна рождения и 0 или 1 номер социального страхования). Это пример ограничения множественности атрибутов . Основные случаи множественности показаны в таблице 9.2. Если кратность не объявлена ​​явно, предполагается, что она равна 1 (ровно один). При желании мы можем явно указать кратность по умолчанию, добавив к атрибуту [1..1] или [1].

Таблица 9.2. Кратности.

В модели ORM ограничения уникальности для правых ролей (включая ссылочную схему Employee Nr, показанную явно ранее) указывают на то, что каждый номер сотрудника, номер социального страхования и номер паспорта относятся не более чем к один сотрудник.Как упоминалось ранее, UML не имеет стандартной графической нотации для таких «ограничений уникальности атрибутов», , поэтому мы добавили наши собственные обозначения {P} и {U n } для предпочтительных идентификаторов и уникальности. В UML 2 добавлена ​​возможность указания {unique} или {nonunique} как части объявления множественности, но это только для того, чтобы объявить, могут ли экземпляры коллекций для многозначных атрибутов или многозначных ассоциативных ролей включать дубликаты, поэтому его нельзя использовать для указать, что экземпляры однозначных атрибутов или комбинации таких атрибутов уникальны для класса.

UML не имеет графической нотации для включения или ограничения, поэтому ограничение ORM, согласно которому каждый сотрудник имеет номер социального страхования или номер паспорта, должно быть выражено в текстовой форме в прилагаемой заметке , , как на рисунке 9.6 (a). Такие текстовые ограничения могут быть выражены неформально или на некотором формальном языке, интерпретируемом инструментальным средством. В последнем случае ограничение помещается в фигурных скобок.

В нашем примере мы выбрали кодирование включающего ограничения или ограничения в синтаксисе SQL.Хотя UML предоставляет для этой цели OCL, он не требует его использования, позволяя пользователям выбирать свой собственный язык (даже программный код). Это, конечно, ослабляет портативность модели. Более того, читаемость ограничения обычно плохая по сравнению с вербализацией ORM.

Тип факта ORM «Сотрудник родился в стране» смоделирован как атрибут страны рождения на диаграмме классов UML на рис. 9.6 (a). Если позже мы решим записать население страны, тогда нам нужно будет ввести Country как класс, и, чтобы прояснить связь между страной рождения и страной, мы, вероятно, переформулируем атрибут страны рождения как связь между сотрудником и страной.Это существенное изменение в нашей модели. Более того, любые объектные запросы или код, ссылающийся на атрибут «страна рождения», также должны быть переформулированы. ORM избегает такой семантической нестабильности, всегда используя отношения вместо атрибутов.

Еще одна причина для введения класса Country состоит в том, чтобы позволить хранить список стран, идентифицированных их кодами стран, без требования, чтобы все эти страны участвовали в факте. Для этого в ORM мы просто объявляем тип Country независимым.Тип объекта Country может быть заполнен справочной таблицей, которая содержит интересующие коды стран (например, «AU» обозначает Австралию).

Типичный аргумент в поддержку атрибутов звучит так: «Хорошие разработчики моделей UML в первую очередь объявляют страну как класс, ожидая, что позже потребуется что-то о нем записать или вести список ссылок; с другой стороны, такие характеристики, как титул и пол человека, явно являются вещами, у которых никогда не будет других свойств, и поэтому их лучше всего моделировать как атрибуты ».Этот аргумент ошибочен. В общем, вы не можете быть уверены в том, какую информацию вы, возможно, захотите записать позже, или в том, насколько важными станут некоторые особенности модели.

Даже в случае заголовка и пола полная модель должна включать тип отношений, чтобы указать, какие титулы ограничиваются определенным полом (например, «Миссис», «Мисс», «Мисс» и «Леди» применимы только к женский пол). В ORM этот тип ограничения может быть отображен графически как ограничение соединения-подмножества или текстуально как ограничение на формальном языке ORM (например,g., Если Лицо 1 имеет титул , что ограничен полом 1, то Лицо 1 имеет пол 1). Напротив, использование атрибута препятствует выражению соответствующей ассоциации ограничения (попробуйте выразить и заполнить это правило в UML).

ORM включает алгоритмы для динамического создания диаграмм ER и UML в виде представлений атрибутов. Эти алгоритмы присваивают разные уровни важности типам объектов в зависимости от их текущих ролей и ограничений, повторно отображая второстепенные типы фактов как атрибуты основных типов объектов.Моделирование и сопровождение – это итерационные процессы. Важность функции может измениться со временем по мере того, как мы все больше узнаем о глобальной модели, а также изменяется сама моделируемая область.

Для обеспечения семантической стабильности ORM не делает никаких обязательств относительно относительной важности в своих базовых моделях, вместо этого поддерживает это динамически с помощью представлений. Элементарные факты – это фундаментальные единицы информации, которые единообразно представляются как отношения, и то, как они группируются в структуры, не является концептуальным вопросом.Вы можете съесть свой торт и съесть его, используя ORM для анализа, а если вы хотите работать с диаграммами классов UML, вы можете использовать свои модели ORM для их получения.

Один из способов моделирования этого в UML показан на рисунке 9.7 (a). Здесь информация о том, кто каким видом спорта занимается, моделируется как многозначный атрибут «спорт». Ограничение множественности «[0 .. *]» для этого атрибута указывает, сколько видов спорта может быть введено здесь для каждого сотрудника. «0» указывает на то, что для какого-либо сотрудника может быть запрещен какой-либо вид спорта.UML использует для этого случая нулевое значение , как и в реляционной модели. Присутствие нулей ставит пользователей под угрозу реализации, а не концептуальных проблем, и усложняет семантику запросов. «*» В «[0 .. *]» означает, что нет верхней границы для количества видов спорта одного сотрудника. Другими словами, сотрудник может заниматься многими видами спорта, и нам все равно, сколько. Если «*» используется без нижней границы, это считается сокращением для «0 .. *».

Рисунок 9.7. (a) Многозначный спортивный атрибут UML, изображенный как (b) тип факта ORM m: n .

Эквивалентная схема ORM показана на рисунке 9.7 (b). Здесь необязательный тип факта many: many используется вместо многозначного атрибута sports. Как обсуждается в следующем разделе, этот подход также может использоваться в UML с использованием ассоциации m: n .

Для обсуждения совокупностей экземпляров классов в UML используются диаграммы объектов . По сути, это диаграммы классов, в которых каждый объект показан как отдельный экземпляр класса со значениями данных, предоставленными для его атрибутов.В качестве простого примера на рис. 9.8 (a) показаны диаграммы объектов для моделирования трех экземпляров сотрудников вместе со значениями их атрибутов. Модель ORM на рис. 9.8 (b) отображает ту же выборку совокупности, используя таблицы фактов для перечисления экземпляров фактов.

Рисунок 9.8. Заполненные модели в (а) UML и (б) ORM.

В таких простых случаях полезны диаграммы объектов. Однако они быстро становятся громоздкими, если мы хотим отображать несколько экземпляров для более сложных случаев. Напротив, таблицы фактов легко масштабируются для обработки больших и сложных случаев.

Ограничения ORM легко прояснить с помощью выборки популяций. Например, на рис. 9.8 (b) отсутствие сотрудника 101 в таблице фактов Plays ясно показывает, что занятия спортом необязательны, а ограничения уникальности отмечают, какой столбец или значения комбинации столбцов могут встречаться не более чем в одной строке. В таблице фактов EmployeeName значения первого столбца уникальны, но второй столбец включает дубликаты. В таблице Plays каждый столбец содержит дубликаты: уникальны только целые строки.Такие совокупности очень полезны для проверки ограничений с экспертами в предметной области. Эта функция ORM, основанная на проверке через пример, действует для всех ее ограничений, а не только для обязательных ролей и уникальности, поскольку все ее ограничения основаны на ролях или типах, и каждая роль соответствует столбцу таблицы фактов.

В качестве последнего примера многозначных атрибутов предположим, что мы хотим записать псевдонимы и цвета флагов стран. Давайте согласимся записывать не более двух псевдонимов для любого данного флага, и что псевдонимы применяются только к одному флагу.Например, «Старая слава» и, возможно, «Усеянное звездами знамя» могут использоваться в качестве прозвищ для флага Соединенных Штатов. Флаги имеют хотя бы один цвет.

На рис. 9.9 (a) показан один из способов моделирования этого в UML. «[0..2]» указывает, что каждый флаг имеет не более двух (от нуля до двух) псевдонимов. [”1 .. *] объявляет, что флаг имеет один или несколько цветов. Требуется дополнительное ограничение, чтобы гарантировать, что каждый псевдоним ссылается не более чем на один флаг. Простого ограничения уникальности атрибута (например, {U1}) недостаточно, поскольку для атрибута nicknames установлено значение.Не только каждый набор псевдонимов должен быть уникальным для каждого флага, но и каждый элемент в каждом наборе должен быть уникальным (второе условие подразумевает первое). Это более сложное ограничение неофициально указано в прилагаемом примечании.

Рисунок 9.9. Модель флага в (а) UML и (б) ORM.

Здесь скрыты домены атрибутов. Элементы псевдонима обычно имеют домен типа данных (например, String). Если мы не храним другую информацию о странах или цветах, мы можем также выбрать String в качестве домена для страны и цвета (хотя это субконцепция, потому что реальные страны и цвета не являются символьными строками).Однако, поскольку мы, возможно, захотим добавить информацию об этом позже, лучше использовать классы для их доменов (например, Country и Color). Если мы это сделаем, нам также нужно будет определить классы.

На рис. 9.9 (b) показан один из способов моделирования этого в ORM. Для вербализации мы идентифицируем каждый флаг по его стране. Поскольку страна является типом объекта, ссылочная схема показана явно (ссылочные режимы могут сокращать ссылочные схемы только в том случае, если ссылочный тип является типом значения). Ограничение частоты «≤ 2» указывает, что каждый флаг имеет не более двух псевдонимов, а ограничение уникальности для роли NickName указывает, что каждый псевдоним относится не более чем к одному флагу.

UML дает нам возможность моделировать пространственный объект как атрибут или ассоциацию. Для концептуального анализа и запросов явные ассоциации обычно имеют много преимуществ перед атрибутами, особенно многозначными атрибутами. Этот выбор помогает нам вербализовать, визуализировать и наполнить ассоциации. Это также позволяет нам выражать различные ограничения, связанные с «ролью атрибута» в стандартных обозначениях, вместо того, чтобы прибегать к каким-либо нестандартным расширениям. Это относится не только к простым ограничениям уникальности (как обсуждалось ранее), но и к другим видам ограничений (частота, подмножество, исключение и т. Д.)) по одной или нескольким ролям, которые включают роль, которую играет домен атрибута (в неявной ассоциации, соответствующей атрибуту).

Например, если флаг ассоциации “Страна” явно изображен в UML, ограничение, заключающееся в том, что каждая страна имеет не более одного флага, может быть зафиксировано путем добавления ограничения множественности “0..1” в левой роли этой ассоциации. . Хотя страна и цвет естественно воспринимаются как классы, псевдоним обычно интерпретируется как тип данных (например,g., подтип String). Хотя ассоциации в UML могут включать типы данных (а не только классы), это несколько неудобно; поэтому в UML лучше всего оставить псевдонимы как многозначный атрибут. Конечно, сначала мы могли бы чисто смоделировать это в ORM.

Другой причиной предпочтения ассоциаций перед атрибутами является стабильность. Если мы когда-нибудь захотим поговорить об отношениях, как в ORM, так и в UML можно создать из него объект и просто прикрепить к нему новые детали. Если бы вместо этого мы смоделировали объект как атрибут, нам нужно было бы сначала заменить атрибут ассоциацией.Например, рассмотрим ассоциацию «Сотрудник играет в спорт» на рис. 9.8 (b). Если нам нужно записать уровень навыков для этой игры, мы можем просто объективировать эту ассоциацию как Play и прикрепить тип факта: Play имеет SkillLevel. Аналогичный ход можно сделать в UML, если функция воспроизведения была смоделирована как ассоциация. Однако на рис. 9.8 (a) эта функция смоделирована как атрибут спорта, который необходимо заменить эквивалентной ассоциацией, прежде чем мы сможем добавить новые сведения об уровне навыков. Понятие объективированных типов отношений или классов ассоциаций рассматривается в следующем разделе.

Другая проблема, связанная с многозначными атрибутами, заключается в том, что запросы к ним нуждаются в каком-либо способе извлечения компонентов и, следовательно, усложняют процесс запроса для пользователей. В качестве тривиального примера сравните запросы Q1, Q2, выраженные на ConQuer (язык запросов ORM), с их аналогами на OQL (язык объектных запросов, предложенный ODMG). Хотя этот пример тривиален, использование многозначных атрибутов в более сложных структурах может затруднить пользователям выражение своих требований.

(Q1)

Перечислите каждый цвет флага США.

(Q2)

Укажите каждый флаг, имеющий «красный» цвет.

(Q1a)

выберите x.colors из x в флаге, где x.country = «USA»

(Q2a)

выберите x.country из x во флаге, где «красный» в x.colors

По этим причинам многозначные атрибуты обычно следует избегать в моделях анализа, особенно если атрибуты основаны на классах, а не на типах данных. Если мы избегаем многозначных атрибутов в нашей концептуальной модели, мы все равно можем использовать их в реальной реализации.Некоторые инструменты UML и ORM позволяют аннотировать схемы инструкциями для переопределения действий по умолчанию любого средства отображения, которое используется для преобразования схемы в реализацию. Например, схема ORM на рис. 9.9 может быть подготовлена ​​для сопоставления путем аннотирования ролей, играемых NickName и Color, для сопоставления в виде наборов внутри сопоставленной структуры Flag. Такие аннотации не являются концептуальной проблемой, и их можно отложить до составления карты.

Глава 8 Модель данных отношений сущностей – Дизайн базы данных – 2-е издание

Адриенн Ватт

Модель данных взаимоотношений сущностей (ER) существует уже более 35 лет.Он хорошо подходит для моделирования данных для использования с базами данных, поскольку является довольно абстрактным и его легко обсуждать и объяснять. ER-модели легко переводятся в отношения. ER-модели, также называемые ER-схемой, представлены ER-диаграммами.

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "query": {"match_all": {}},
      "boost": "5",
      "random_score": {}, 
      "boost_mode": "умножить"
    }
  }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "query": {"match_all": {}},
      "boost": "5", 
      "функции": [
        {
          "filter": {"match": {"test": "bar"}},
          "random_score": {}, 
          «вес»: 23
        },
        {
          "filter": {"match": {"test": "cat"}},
          «вес»: 42
        }
      ],
      "max_boost": 42,
      "score_mode": "макс",
      "boost_mode": "умножить",
      «min_score»: 42
    }
  }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "запрос": {
        "матч": {"сообщение": "elasticsearch"}
      },
      "script_score": {
        "script": {
          "источник": "Math.log (2 + doc ['my-int']. value)"
        }
      }
    }
  }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "запрос": {
        "матч": {"сообщение": "elasticsearch"}
      },
      "script_score": {
        "script": {
          "params": {
            «а»: 5,
            «б»: 1.2
          },
          "источник": "params.a / Math.pow (params.b, doc ['my-int']. value)"
        }
      }
    }
  }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "random_score": {
        «семя»: 10,
        "поле": "_seq_no"
      }
    }
  }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "field_value_factor": {
        "поле": "my-int",
        «коэффициент»: 1.2,
        "модификатор": "sqrt",
        «пропавших без вести»: 1
      }
    }
  }
} 

 "DECAY_FUNCTION": {
    "FIELD_NAME": {
          "origin": "11, 12",
          «масштаб»: «2км»,
          "смещение": "0км",
          «распад»: 0,33
    }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "gauss": {
        "@timestamp": {
          "origin": "2013-09-17", 
          «scale»: «10d»,
          "offset": "5d", 
          «распад»: 0.5 
        }
      }
    }
  }
} 

 "DECAY_FUNCTION": {
        "FIELD_NAME": {
              "источник": ...,
              "шкала": ...
        },
        "multi_value_mode": "avg"
    } 

 "гаусс": {
    "цена": {
          "origin": "0",
          «scale»: «20»
    }
} 

 "гаусс": {
    "место нахождения": {
          "origin": "11, 12",
          «масштаб»: «2км»
    }
} 

 GET / _search
{
  "запрос": {
    "function_score": {
      "функции": [
        {
          "gauss": {
            "цена": {
              "origin": "0",
              «scale»: «20»
            }
          }
        },
        {
          "gauss": {
            "место нахождения": {
              "origin": "11, 12",
              «масштаб»: «2км»
            }
          }
        }
      ],
      "запрос": {
        "соответствие": {
          "свойства": "балкон"
        }
      },
      "score_mode": "умножить"
    }
  }
} 

 $ users = Get-ADObject -Filter "ObjectCategory -eq 'person'" -SearchBase 'OU = IT, DC = contoso, DC = com' '
-Свойства DisplayName, DisplayNamePrintable

foreach ($ user в $ users) {
    если ($ user.displayNamePrintable -eq $ null) {
        $ user.displayNamePrintable = $ user.displayName
        Set-ADObject -Instance $ пользователь
    }
    еще{
        "DisplayNamePrintable для" + $ user.name + "уже" + $ user.displayNamePrintable "
        }
}
 

 Get-ADUser -Filter "StreetAddress -eq 'My Street 3'" |
Set-ADUser -StreetAddress "Другая улица 1"
 

 $ user.otherHomePhone = "+498
5"
Set-ADObject -Instance $ пользователь
 

 $ users = Get-ADUser -Filter "name -like '*'" -SearchBase 'OU = IT, DC = contoso , DC = com '-Свойства *
foreach ($ user в $ users) {
        Set-ADUser -Identity $ user.DistinguishedName -Add @ {otherHomePhone = $ user.homePhone}
    }
 

 $ users = Get-ADUser -Filter "name -like '*'" -SearchBase 'OU = IT, DC = contoso, DC = de' -Properties *
foreach ($ user в $ users) {
Set-ADUser -Identity $ user.DistinguishedName -Remove @ {otherHomePhone = $ user.homePhone}
    }
 

 Set-ADUser -Identity $ user.DistinguishedName -Replace @ {homePhone = "+498967890"}
 

 Set-ADUser -Identity $ user. 
 Если вы не хотите записывать значение в атрибут, а удалять его содержимое, вы можете сделать это с помощью параметра  Clear  из  Set-ADObject : 
 
 $ users = Get-ADUser -Filter "name -like '*' "-SearchBase 'OU = IT, DC = contoso, DC = com'`
-Свойства DisplayNamePrintable

foreach ($ user в $ users) {
    if ($ user.displayNamePrintable -ne $ null) {
        Set-ADObject -Identity $ user.DistinguishedName -clear displayNamePrintable
    }
}
 
 В этом примере показана процедура для однозначного атрибута  , но он также работает для тех, которые хранят несколько значений.
 Поскольку однозначные и многозначные атрибуты требуют разных операций для удаления, добавления и замены значений, возникает вопрос, как распознать эти два типа. Однако этого нельзя сделать, просто запросив свойство объекта PowerShell.
 Microsoft TechNet предоставляет сценарий, который перечисляет все атрибуты объекта AD и сообщает, может ли он содержать одно или несколько значений. Здесь вы изменяете назначение в первой строке, чтобы использовать один из объектов, которые хотите отредактировать позже.
 Подпишитесь на рассылку новостей 4sysops! 
 
 # Привязать к указанному объекту Active Directory
$ ObjectDN = "cn = Джек Ма, ou = Sales, dc = contoso, dc = com"
$ ADObject = [ADSI] "LDAP: // $ ObjectDN"  # Определить класс объекта.