Познавательная математика: Логические задачи по математике для 4 класса с ответами

Познавательная математика

 Меню

Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг (Ф. Хаусдорф.) Вечный вопрос в математике: а не все ли равно? Математика – это язык, на котором написана книга природы . (Г. Галилей) Математика – царица наук, арифметика – царица математики . (К.Ф. Гаусс) Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич) «Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын) Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов) Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин) Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон) Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон) Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они полу­чили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность. (П.Л. Чебышев) Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы. (Д.И. Писарев) Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен) Полет – это математика. (В. Чкалов) Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин) Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов) В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский) Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов) Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов) Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер) Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов) Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов) Слеп физик без математики. (М.В. Ломоносов) Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс) Математика – это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский) Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский) Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной. (А. Эйнштейн) Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер) Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. (И. Гете) Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики”. (Ж. Фурье) …Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган) Счет и вычисления – основа порядка в голове. (Песталоцци) Величие человека – в его способности мыслить. (Б. Паскаль) Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа) Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. (А. Франц) Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль) Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным. (Б. Паскаль) В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками. (И. Ньютон) Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, – что, следуя этому методу, мы достигнем цели. (Г. Лейбниц) Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым. (Л. Карно) Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. (Н.И. Лобачевский) Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое. (М.В. Остроградский) Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математике дисциплинировать ум. (В. Шрадер) Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. (Г. Цейтен) …Математика – это цепь понятий: выпадет одно звенышко – и не понятно будет дальнейшее. (Н.К. Крупская) Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому. (Д. Пойа) Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! (Д. Пойа) Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа) Умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления. (В.А. Сухомлинский) Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. (А.П. Конфорович) Доказательство – это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович) Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики. (Ф. Энгельс) Великая книга природы написана математическими символами. (Галилей) Математика – самая надежная форма пророчества. (В. Швебель) В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. (И. Кант) Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Д. Сантаяна) Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии. (Давид Гильберт об одном из своих учеников) Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. (Бертран Рассел) Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. (Хуго Штейнхаус) В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре) Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной. Некий профессор математики об одной из теорем (Л. Эйлера) Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру. (А Эйнштейн) Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. (А. Пуанкаре) Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете) Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. (А. Эйнштейн) Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. (Т. Вейерштрасс) В математике ум исключительно занят собственными формами познавания – временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. (А. Шопенгауэр)   Источник http://free-math.ru/

Авторские права © 2019 Фролов И.В. Адрес учреждения: 655770, Республика Хакасия, Бейский район, с. Новотроицкое, ул. Ленина, дом 17 e-mail: [email protected] Телефон: 8 (39044) 3-41-46

Занимательная математика 📚 – топ лучшей литературы по теме

Занимательная математика 📚 – топ лучшей литературы по теме | Читайте и слушайте онлайн на MyBook

Что выбрать

Библиотека

Подписка

📖Книги

🎧Аудиокниги

👌Бесплатные книги

🔥Новинки

❤️Топ книг

🎙Топ аудиокниг

🎙Загрузи свой подкаст

📖Книги

🎧Аудиокниги

👌Бесплатные книги

🔥Новинки

❤️Топ книг

🎙Топ аудиокниг

🎙Загрузи свой подкаст

org/BreadcrumbList”>
1. Главная
2. Библиотека
3. Темы
4. занимательная математика

Сортировать

Фильтры

Фильтры

Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Артур Бенджамин

Премиум

Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии в такой увлекательной форме? Почему нельзя было сразу объяснить, зачем нам все эти параболы, интегралы и вероятности. Оказывается, математика окружает нас. Она повсюду! По параболе льется струя воды из фонтана, а инженеры используют…

Математическое мышление

Джо Боулер

Премиум

Математика – это не тоскливые цифры и заученные формулы. Математика – это логика. А логика – это творческий подход к решению интересных задач. Джо Боулер, профессор Стэнфорда, делится своими наработками, позволяющими каждому почувствовать в себе математические способности. Эта книга для тех, кто …

Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

Маркус дю Сотой

Премиум

Принято считать, что залог успеха – упорный труд. Но подлинный успех приносит вовсе не он – его приносят шорткаты: более короткие и вместе с тем более легкие, более быстрые и более удобные пути решения той или иной задачи. Благодаря таким рациональным путям мы добиваемся выдающихся результатов. А…

Математика космоса: Как современная наука расшифровывает Вселенную

Иэн Стюарт

Премиум

Как математические модели объясняют космос? Иэн Стюарт, лауреат нескольких премий за популяризацию науки, представляет захватывающее руководство по механике космоса в пределах от нашей Солнечной системы и до всей Вселенной. Он описывает архитектуру пространства и времени, темную материю и темную …

Величайшие математические задачи

Иэн Стюарт

Премиум

Закономерности простых чисел и теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и сферическая симметрия Кеплера, загадка числа π и орбитальный хаос в небесной механике. Многие из нас лишь краем уха слышали о таинственных и непостижимых загадках современной математики. Между тем, как ни парадоксально, фундаментал…

Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

Николай Полуэктов

Премиум

Может ли завтра начаться сегодня? Как быстро перемножить в уме 748 на 1503? Каков минимальный размер черной дыры? Почему не тают ледяные жилища эскимосов, когда в них разводят огонь? Авторы предлагают вам проверить свои знания математики, физики и логики. Каверзные вопросы, варианты ответов с под…

Игра случая. Математика и мифология совпадения

Джозеф Мазур

Стандарт

Что есть случайность? Этим вопросом мы задаемся, сталкиваясь с неожиданными и, казалось бы, невозможными совпадениями. Однако с математической точки зрения шансы многих событий гораздо выше, чем любой из нас мог бы подумать. В книге «Игра случая» математик Джозеф Мазур открывает необыкновенный ми…

Математика для гиков

Рафаель Роузен

Премиум

Возможно, вам казалось, что вы далеки от математики, а все, что вы вынесли из школы – это «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Если вы всегда думали, что математика вам не понадобится, то пора в этом разубедится. В книге «Математика «для гиков» Рафаэля Розена вы не только узнаете много нового…

Модельное мышление. Как анализировать сложные явления с помощью математических моделей

Скотт Пейдж

Премиум

В какой бы области вы ни работали – в науке, бизнесе или государственном управлении, вам приходится решать сложные задачи с огромным количеством данных. Из этой книги вы узнаете, как заставить эти данные работать на вас. Автор объясняет, как с помощью 25 классов математических моделей анализирова. ..

Апология математики (сборник статей)

Владимир Успенский

Премиум

В этот сборник вошли статьи разных лет российского математика и лингвиста Владимира Андреевича Успенского, ученика великого Колмогорова, существенно переработанные и дополненные. Очерчивая место математики в современной культуре, автор пытается прояснить для читателей-нематематиков некоторые осно…

Фильтры

Фильтры

В данном разделе представлен топ лучших книг и аудиокниг по теме «Занимательная математика». Полный список из 50 популярных книг и аудиокниг по теме, рейтинг и отзывы читателей. Читайте книги или слушайте на сайте онлайн, скачайте приложение для iOS или Android, чтобы не расставаться с любимыми книгами даже без интернета.

О проекте

Что такое MyBook

Правовая информация

Правообладателям

Документация

Помощь

О подписке

Купить подписку

Бесплатные книги

Подарить подписку

Как оплатить

Ввести подарочный код

Библиотека для компаний

Настройки

Другие проекты

Издать свою книгу

MyBook: Истории

Занимательная математика (7 класс) – презентация онлайн

1.

Занимательная математикадля 7 класса
Подготовила
ученица 10 а класса
Веденёва Наталья.
(в рамках декады
математики. Ноябрь
2010 г)
Учитель математики
Шайдурова Н. М.
1) 23 х 25 =
2) 54 : 5=
3) 119 =
4) 291 =
5) 42 =
6) 52 =
7)42 + 22 =
8)52 +14 =
9)62 – 23 =
10)102 – 92 =

4. Задача 1.

Четверо ребят обсуждали ответ к
задаче.
Коля сказал: “Это число 9”.
Роман: “Это простое число”.
Катя: “Это четное число”.
А Наташа сказала, что это число -15.
Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись
ровно по одному разу.
( A )1; (B) 2; (C) 3; ( D ) 9; ( E ) 15;

5. Решение…

• Предположим, что Коля прав. Тогда обе
девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 нечетное число, а это противоречит условию
задачи.
• Остается, что прав Роман и тогда не права
Наташа, так как 15 не простое число.
Остается предположить, что искомое число
простое и четно (так как Катя права), а это
только 2. Проверка подтверждает, что условие
соблюдено.
Итак верно (В).

6. Задача 2.

• У Васи 100 мышей, некоторые из них белые,
некоторые – серые.
• Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из
каждой пары мышей хотя бы одна – белая.
• Сколько серых мышей у Васи ?
• (A) 1; (B) 49; (C) 50; (D) 99;
(E) невозможно определить

7. Решение…

• Предположим, что имеются две, или более
серых мышей.
• В этом случае существует, по меньшей мере,
пара мышей серого цвета, что противоречит
условию.
• Следовательно, предположение наше
ошибочно и в хозяйстве Васи имеется лишь
одна серая мышь, факт существования которой
оговорен условием. Ответ: (А) 1

8. Задача 3.

• На скамейке сидит Таня, ее мама, бабушка и кукла.
• Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с
куклой. Кукла не сидит рядом с мамой.
Кто сидит рядом с мамой Тани ?
• (A) Таня;
(B) бабушка;
(C) Таня и бабушка;
(D) Таня и кукла;
(E) бабушка и кукла.

9. Решение…

• С бабушкой, по условию, сидит внучка.То есть
остается пристроить куклу и маму.
• Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой,
то кукла и мама сидят по разные стороны от
бабушки с внучкой.
• Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко
проверить, что эти расположения удовлетворяют
условию. Верный ответ – (В).

10. Задача 4

• У рассеянной хозяйки есть три ящика для
рассады с надписью “Огурцы”,”Цветы” и
“Ромашки”.
• Она посадила семена ромашек, огурцов и
колокольчиков в эти ящики так, что все
надписи оказались неверными.
• Что вырастет в ящике с надписью “Ромашки”?
(A) огурцы; (B) колокольчики; (C) ромашки;
(D) нельзя определить;

11. Решение…

• В силу своей рассеянности, хозяйка не могла
посадить в ящик с названием “Цветы” ни ромашки, ни
колокольчики. Следовательно, она посадила в этом
ящике огурцы.
• Теперь осталось ей посадить ромашки и
колокольчики. Для них осталось два ящика с
надписями: “Ромашки” и “Огурцы”. Но рассеянная
хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием
“Ромашки”, как они того они заслуживали, а
посадила их в ящик под названием “Огурцы”. А
колокольчики она посадила в ящик с надписью
“Ромашки”.
• Так что в ящике с названием “Ромашки” у нее
вырастут колокольчики. Верный ответ – (B).

12. Задача 5.

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате
или в подвале.
Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр
лежит в холодильнике.
Если сыр на столе, а кошка – в подвале, то мышка в
комнате.
Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда
обязательно:
(A) кошка в комнате; (B) мышка в норке;
(C) кошка в комнате или мышка в норке;
(D) кошка в подвале, а мышка в комнате.

13. Решение…

• Сначала поищем, где сидит кошка в этот
дождливый день.
По условию задачи, она может быть в двух
местах: в комнате или в подвале.
• Но в комнате кошка не может быть, так как
сыр не лежит в холодильнике (он лежит на
столе). Следовательно, кошка находится в
подвале.
• Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а
кошка – в подвале. По условию, в этом
случае мышка – в комнате. Верный ответ (D).

15. Эти загадочные числа…

1. Если число 111 111 111 умножить само на себя, то
получится интересное число 12 345 678 987 654 321
2. Понятие “отрицательное число” ввел впервые купец из Италии
по фамилии Пизано в 1202 году, обозначив им свои
задолженности и убытки
3. Число гугл – это единица и сто нулей. Название этому числу дал
американский математик Эдвард Каснер.
4. Символ #, который часто называют “решеткой”, “знаком номера”
или “знаком фунта” на самом деле имеет официальное название октоторп.
5. Если число 21978 умножить на 4, то получится число,
представляющее из себя обратную последовательность цифр
исходного числа.
• 21978 x 4 = 87912
• 6) 1961 год – самый недавний из тех, запись которых читается
одинаково и в обычном виде и в перевернутом. Следующим таким
годом будет 6009
7) В русской математической литературе ноль не является
натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко
множеству натуральных чисел.

16. Несколько фактов о шариковых ручках.

• 1. Ежесекундно в мире продается 125 шариковых ручек.
2. В индейском племени Кампучии авторучки запрещены и
в случае их обнаружения, человека расстреливают на
месте.
3. Самая дорогая ручка, занесенная в книгу рекордов
Гиннеса, стоит 1 млн. евро. Это платиновая авторучка
«Montegrappa».
4. Если человеку дать новую ручку, то первое слово,
которое он ей напишет, будет означать его имя.
5. В Америке есть говорящая на английском языке ручка –
компьютер, которая продается в наборе со специальной
бумагой. Она сама исправляет все допущенные в
написании ошибки, может осуществлять перевод на
испанский язык и обратно, при этом, произносить слова
вслух.
6. За 1 год человек исписывает 3-4 ручки, при этом
каждой хорошей ручкой можно написать 50 тыс. слов.
7. Каждый год, из-за того, что подавились ручкой, умирает
около 100 человек.

17. Задача 6. Кот в Сапогах продает яблоки

У Кота в Сапогах в мешке было 128 яблок.
25% из них он продал Синей Бороде,
25% оставшихся – он продал Красной
Шапочке.
• Лучшее яблоко из тех, что у него
остались, он отдал своему хозяину, и
тогда у него осталось:
(A) 73 яблока; (B) 72 яблока; (C) 71
яблоко; (D) 70 яблок;

18. Задача 7. Логический ряд. Какая лишняя?

• Какая из этих рожиц лишняя?

19. Задача 8.

• Марк строит параллелепипед из трех
блоков.
• Два из этих блоков хорошо видны на
рисунке справа. А вот, третий – белого
цвета, надо выбрать из блоков:

Когнитивные области математики – четвертый и восьмой классы – СТРУКТУРЫ ОЦЕНКИ TIMSS 2019

Home/TIMSS 2019 Математическая структура/Когнитивные области математики – четвертый и восьмой классы

Мэри Линдквист, Рэй Филпот, Ина В.С. Mullis, and Kerry E. Cotter

Загрузить TIMSS 2019 Mathematics Framework (pdf)

Чтобы правильно отвечать на вопросы теста TIMSS, учащиеся должны быть знакомы с оцениваемым содержанием математики, но им также необходимо рисовать в диапазоне когнитивных навыков. Описание этих навыков играет решающую роль в разработке такой оценки, как TIMSS 2019., потому что они жизненно важны для обеспечения того, чтобы опрос охватывал соответствующий диапазон когнитивных навыков в уже описанных областях контента.

Первая область, , знание , охватывает факты, концепции и процедуры, которые необходимо знать учащимся, а вторая, , применение , фокусируется на способности учащихся применять знания и концептуальное понимание для решения проблем или ответов на вопросы. Третья область,

рассуждение , выходит за рамки решения рутинных задач и охватывает незнакомые ситуации, сложные контексты и многоэтапные задачи.

Знание, применение и рассуждение упражняются в разной степени, когда учащиеся демонстрируют свои математические способности, которые выходят за рамки знаний по предмету. Эти когнитивные области TIMSS охватывают компетенции решения проблем, предоставления математических аргументов в поддержку стратегии или решения, математического представления ситуации (например, с использованием символов и графиков), создания математических моделей проблемной ситуации и использования таких инструментов, как линейка. или калькулятор, чтобы помочь решить проблемы.

Три когнитивных области используются для обоих классов, но баланс времени тестирования различается, отражая разницу в возрасте и опыте учащихся двух классов. Для четвертого и восьмого классов каждая предметная область будет включать элементы, разработанные для каждой из трех когнитивных областей. Например, числовой домен будет включать элементы знания, применения и рассуждения, как и другие домены контента.

На рис. 1.4 показаны целевые проценты времени тестирования, посвященного каждой когнитивной области для оценок четвертого и восьмого классов.

Приложение 1.4: Целевые проценты результатов TIMSS 2019 по математике, посвященные когнитивным областям в четвертом и восьмом классах

Когнитивные области	Проценты
	Четвертый класс	Восьмой класс
Знание	40%	35%
Применение	40%	40%
Рассуждение	20%	25%

Знание

Способность применять математику или рассуждать о математических ситуациях зависит от знакомства с математическими понятиями и свободного владения математическими навыками. Чем больше актуальных знаний учащийся может вспомнить и чем шире диапазон понятий, которые он или она понимает, тем больше у него возможностей для участия в широком диапазоне ситуаций решения проблем.

Без доступа к базе знаний, которая позволяет легко вспомнить язык и основные факты и соглашения о числах, символическом представлении и пространственных отношениях, учащиеся сочтут невозможным целенаправленное математическое мышление. Факты охватывают знания, которые обеспечивают основной язык математики, а также основные математические понятия и свойства, формирующие основу математического мышления.

Процедуры образуют мост между более базовыми знаниями и использованием математики для решения задач, особенно тех, с которыми многие люди сталкиваются в своей повседневной жизни. По сути, беглое использование процедур влечет за собой припоминание наборов действий и способов их выполнения. Студенты должны быть эффективными и точными в использовании различных вычислительных процедур и инструментов. Им нужно видеть, что конкретные процедуры могут использоваться для решения целых классов проблем, а не только отдельных проблем.

Вызов	Вспомнить определения, терминологию, числовые свойства, единицы измерения, геометрические свойства и обозначения (например, a × b = ab , a + a + a 2 a = 1 3 )1 3 .
Распознать	Распознавать числа, выражения, количества и формы. Распознавать объекты, которые математически эквивалентны (например, эквивалентные знакомые дроби, десятичные числа и проценты; различные ориентации простых геометрических фигур).
Классификация/Заказ	Классифицировать числа, выражения, количества и фигуры по общим свойствам.
Вычисление	Выполнение алгоритмических процедур для +, –, ×, ÷ или их комбинации с целыми числами, дробями, десятичными и целыми числами. Выполняйте простые алгебраические процедуры.
Получить	Получить информацию из графиков, таблиц, текстов или других источников.
Мера	Пользоваться измерительными приборами; и выбрать подходящие единицы измерения.

Применение

Область применения включает в себя применение математики в различных контекстах. В этой области факты, концепции и процедуры, а также проблемы должны быть знакомы студенту. В некоторых предметах, связанных с этой областью, учащимся необходимо применить математические знания фактов, навыков и процедур или понимание математических понятий для создания представлений. Представление идей составляет основу математического мышления и коммуникации, а способность создавать эквивалентные представления имеет основополагающее значение для успеха в предмете.

Решение проблем занимает центральное место в прикладной области с упором на более знакомые и рутинные задачи. Проблемы могут быть поставлены в реальных жизненных ситуациях или могут быть связаны с чисто математическими вопросами, связанными, например, с числовыми или алгебраическими выражениями, функциями, уравнениями, геометрическими фигурами или наборами статистических данных.

Определить	Определить эффективные/соответствующие операции, стратегии и инструменты для решения проблем, для которых существуют обычно используемые методы решения.
Представление/Модель	Отображение данных в виде таблиц или графиков; создавать уравнения, неравенства, геометрические фигуры или диаграммы, моделирующие проблемные ситуации; и генерировать эквивалентные представления для данного математического объекта или отношения.
Орудие	Реализовать стратегии и операции для решения задач, связанных со знакомыми математическими понятиями и процедурами.

Рассуждения

Рассуждения математически включают логическое, систематическое мышление. Он включает интуитивные и индуктивные рассуждения, основанные на шаблонах и закономерностях, которые можно использовать для решения проблем, возникающих в новых или незнакомых ситуациях. Такие задачи могут быть чисто математическими или иметь реальные условия. Оба типа предметов предполагают перенос знаний и навыков в новые ситуации; и взаимодействия между навыками рассуждения обычно являются особенностью таких заданий.

Несмотря на то, что многие из когнитивных навыков, перечисленных в области рассуждений, могут быть задействованы при обдумывании и решении новых или сложных задач, каждый из них сам по себе представляет собой ценный результат математического образования, способный влиять на мышление учащихся в целом. Например, рассуждение предполагает способность наблюдать и делать предположения. Это также включает в себя логические выводы, основанные на определенных предположениях и правилах, и обоснование результатов.

Анализ	Определение, описание или использование отношений между числами, выражениями, количествами и фигурами.
Интеграция/Синтез	Связывайте различные элементы знаний, связанные представления и процедуры для решения проблем.
Оценка	Оценить альтернативные стратегии решения проблем и решения.
Сделать выводы	Делайте правильные выводы на основе информации и доказательств.
Обобщение	Делайте заявления, которые представляют отношения в более общих и широко применимых терминах.
Обоснование	Предоставьте математические аргументы в поддержку стратегии или решения.

‘; number.forEach (функция (значение, индекс) { if($.isNumeric(val)){ // Является ссылкой число = значение; если (ref_var [число-1]! = не определено) { div_text += ‘

‘; } } else { // Является сноской если (фут_вар [значение]! = не определено) { footnote_obj = foot_var[val]; div_text += ‘

Когнитивное развитие математики – Роль когнитивных навыков

Несмотря на то, что трудности чтения широко изучались в последние несколько десятилетий, трудностям изучения математики уделялось меньше внимания. Однако трудности с математикой столь же распространены, как и проблемы с чтением, у 5–8% населения ¹ . Как и трудности с чтением, проблемы с математикой могут иметь множество причин и аспектов. Более того, поскольку учебная программа по математике изменилась за последние десять-пятнадцать лет, больше внимания стало уделяться передаче математических идей, интерпретации данных из диаграмм и рисунков и оценке. Эти изменения означают, что дефицит обучения в любой области с большей вероятностью повлияет на успеваемость по математике. На самом деле, многие люди с математическими отклонениями также имеют проблемы с обучением в других областях. Однако независимо от того, присутствуют ли другие нарушения обучаемости, появляется все больше свидетельств того, что лежащие в основе когнитивные процессы играют важную роль в успеваемости по математике. ²

Гири описывает взаимосвязь между различными когнитивными механизмами и дефицитом математических способностей, которую можно резюмировать в следующей таблице:

Когнитивные механизмы	Дефицит математики
Языковые системы	Представление информации, как при артикуляции числовых слов
Рабочая память	Манипулирование информацией при подсчете.
Визуально-пространственная обработка	Представление концептуальных знаний, таких как числовые величины и информация в пространственной форме (как на диаграмме).
Процессы внимания и торможения (исполнительный контроль)	Использование процедур при решении задач.

Основываясь на анализе механизмов и связанных с ними типов дефицита математики, для которых имеется эмпирическое подтверждение, Гири определяет три подтипа математической инвалидности: семантическая память, процедурная и зрительно-пространственная. В следующем обсуждении представлен обзор трех подтипов, дефицита, связанного с ними, и основных когнитивных навыков, снижающих эффективную работу. m_logged_in]

Подтип семантической памяти

Семантическая память позволяет нам запоминать слова, значения и понятия, а не конкретные события. Люди с дефицитом семантической памяти, вероятно, будут иметь трудности с извлечением арифметических фактов, проявляя высокий уровень ошибок и / или переменную (часто медленную) скорость извлечения. Эти люди также могут не распознавать математические символы (например, знаки операций) и могут иметь проблемы с пониманием значения различных операций. Неудивительно, что учащийся с нарушениями семантической памяти выполняет ряд математических задач с несколькими операциями (например, сочетание задач на сложение и вычитание) как одну задачу, потому что он/она не заметил изменение знака операций от одной задачи к другой.

1. Стивен Зекер, презентация на AET, февраль 2008 г.
2. Дэвид С. Гири. Математика и журнал с ограниченными возможностями обучения. 37(1), 2004 г.; 4-1

Этот подтип часто сочетается с нарушениями чтения или обработки речи, поскольку требует опоры на фонетические и семантические репрезентативные системы.

Предполагается, что у нормально развивающегося человека базовый математический поиск фактов переходит от подсчета к прямому поиску фактов. Например, для основного факта:

4+6=?

Сначала мы учимся, считая все. Это включает в себя подсчет каждого числа до суммы, например 1, 2, 3, 4  1, 2, 3, 4, 5, 6  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Затем переходим к подсчету. На этом этапе учащийся начинает с первого слагаемого и считает до второго, например, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Более зрелая версия подсчета предполагает выбор большего числа и подсчет оттуда, как в 6, 7, 8, 9, 10. Это называется подходом минимизации.

Наконец, эти процессы становятся настолько автоматическими, что мы переходим к самому быстрому и эффективному поиску фактов, известному как прямой поиск. Когда в долговременной памяти хранится набор математических фактов, человек видит 4 + 6 = и немедленно извлекает ответ 10. прямое указание. Традиционный метод преподавания математических фактов посредством прямого обучения включает в себя интенсивное обучение. Однако, когда у учащегося есть подтип семантической памяти, связанный с математикой, его трудно исправить традиционными методами (упражнениями).

Некоторые преподаватели рекомендуют обойти проблему и снять нагрузку с процесса поиска. Это может включать использование шпаргалки по математическим фактам или калькулятора. Однако этот подход ничего не делает для решения основных проблем поиска, которые в первую очередь вызывают проблему.

Поскольку характеристика этого подтипа относится к различным аспектам памяти, включая кратковременную память и рабочую память, неудивительно, что исправление с помощью традиционных подходов часто оказывается неэффективным. В связи с этим возникает вопрос, существует ли способ более эффективно устранять дефицит семантической памяти путем развития сознания, лежащего в основе способности развивать понятия и средства символического представления (долговременная память) и оперативной памяти, а не просто обхода проблемы с помощью костылей памяти. шпаргалка.

Процедурный подтип

Процедурный подтип математической инвалидности связан с использованием стратегий и процедур для решения математических задач. Люди с этим типом инвалидности проявляют незрелые в развитии процедуры при решении математических задач, испытывают трудности с точным выполнением процедур и трудностями в последовательности шагов в процедуре. Поскольку процедуры являются одним из типов долговременной памяти, трудности или медлительность в идентификации и выполнении процедуры также, вероятно, связаны с проблемами памяти, хотя и другого типа. Способность идентифицировать шаблон, различать сходства и различия и выполнять знакомую последовательность шагов в процедуре напрямую связана с лежащими в основе когнитивными навыками, такими как последовательная зрительная или слуховая память, рабочая память, логика и рассуждение и, конечно же, внимание. навыки и умения.

Зрительно-пространственный подтип

Третий подтип математических нарушений, для которого существуют эмпирические доказательства, — это зрительно-пространственный подтип. Трудности в этой области включают неправильное выравнивание чисел в многостолбцовой арифметике, обращение или размещение чисел вне последовательности и неправильное понимание пространственно представленных чисел (например, показателей степени). Интерпретация диаграмм и графиков и развитие понимания изображенных геометрических фигур могут быть другими примерами математических нарушений зрительно-пространственного подтипа. Направленность, визуализация, синхронизация/ритм и зрительно-пространственная память являются базовыми когнитивными навыками, которые формируют основу для этих конкретных математических навыков.

Основные недостатки математических способностей

В то время как исследования подтверждают существование подтипов математических нарушений, приведенное выше обсуждение предполагает, что в основе этих подтипов могут лежать основные недостатки, точно так же, как основные нарушения были выявлены при дислексии и других нарушениях чтения. Влияние дефицита основных когнитивных навыков может различаться от подтипа к подтипу, но были выявлены следующие общие основные дефициты ³ :

• Разработка стратегии
• Рабочая память
• Поиск
• Концептуальные знания
• Скорость обработки (беглость)
• Обработка языка
• Подсчет знаний

В следующей таблице показана связь между базовыми когнитивными навыками и математическими способностями:

Когнитивные навыки	Как навык связан с математикой
Зрительное устойчивое внимание	Оставаться сосредоточенным в течение некоторого периода времени, даже достаточного для того, чтобы собрать несколько цифр в правильном порядке или несколько чисел и операторов в математическом предложении
Визуальная дискриминация	Способность отличать + от X и 5 от 2 и быстро распознавать их без необходимости их сознательной оценки. Точно так же способность видеть различия в диаграмме или графике.
Консистенция визуальной формы	Способность распознавать объект независимо от его размера, расстояния или ориентации необходима для понимания и видения взаимосвязей в геометрии и других математических понятиях.
Скорость визуальной обработки	Чем быстрее мозг может обрабатывать визуальные стимулы, появляющиеся на странице, тем больше вероятность того, что их можно объединить в значимые группы.
Визуализация	Способность вспоминать образ того, что вы видели, и способность мысленно манипулировать и изменять аспекты этого образа в уме присущи видению того, что произойдет, если, например, 2 из 10 яблок будут удалены.
Направленность	Направленность относится к способности интерпретировать и проецировать концепции левого и правого в пространство и на другие объекты. Возможно, это основной когнитивный навык, связанный с мысленным представлением числовой линии. Направленность в сочетании с другими когнитивными навыками также будет задействована в восприятии разряда и выравнивании столбцов чисел.
Долговременная память	Способность хранить и извлекать информацию, особенно значение понятий и символов, а также математические факты, имеет решающее значение для беглости математики.
Слуховая/зрительная последовательная память	Способность вспомнить последовательность шагов в математической процедуре имеет решающее значение для запоминания и точного выполнения шагов.
Рабочая память	Способность удерживать информацию в уме, когда вы манипулируете ею, то есть думать об этом, позволяет учащемуся собирать математические факты и одновременно манипулировать ими, а также занимать свое место в шагах процедура.
Концептуальное мышление	Одним из аспектов абстрактного или интерпретативного мышления является способность формировать наборы понятий признаков, которые создают категорию или идею. Понятие числа является ключевым для математических способностей, но другие понятия, такие как сложение/вычитание, количество элементов, углы и т.п., также являются неотъемлемой частью обучения математике.

Когнитивная основа для счета и восприятия чисел

Хотя существуют некоторые разногласия по поводу того, что такое чувство чисел, существует широкое согласие в том, что оно так же важно для математических способностей, как фонематические знания для чтения ⁴ . Точно так же, как начинающие читатели должны признать, что слова состоят из звуков, которые являются абстрактными единицами (фонематическое осознание), математическая компетентность основана на ощущении чисел как дискретных, но связанных объектов в последовательности. Проблема, как и фонематическое восприятие при чтении, заключается в автоматизме. Поскольку человеческий разум имеет ограниченную способность сознательно обрабатывать информацию, основные факты должны стать автоматическими. Если, например, человеку необходимо сознательно поработать над объединением звуков в слово или сделать вывод, что 7+8 равно 15 пятнадцати (например, считать на пальцах), то для понимания понятий остается мало места или энергии. Развитие чувства числа является важным предшественником формального обучения математике и включает в себя такие элементы, как:

• Подсчет
• Числовые отношения (сравнения величин)
• Преобразование чисел
• Оценка
• Шаблоны номеров
• Ментальная числовая линия

Представления о числах и их последовательных связях играют центральную роль в успеваемости по математике. Фактически, ранняя способность к счету связана с сильными вычислительными навыками позже. Хотя счет может показаться простым, он включает в себя несколько поднавыков, в том числе:

• Присвоение имен номерам. В этом стремлении английский с его одиннадцатью по сравнению с десятью в китайском проблематичен.
• Понимание того, что вы считаете каждый элемент один и только один раз, известное как соответствие один к одному.
• Способность отслеживать, какие элементы были подсчитаны, а какие еще нет, навык, известный как разделение.
• Понятие кардинальности. Это представление о том, что последнее подсчитанное число является количеством подсчитанных вещей.
• Понимание того, что непохожие объекты можно сосчитать, известное как абстракция. То есть можно считать яблоки и апельсины (кусочки фруктов). Это также включает в себя понимание того, что вы можете считать нематериальные вещи.

Изучение того, как мы развиваем понятие числа и числового смысла, начинает приводить к некоторому пониманию важности когнитивных навыков в этом процессе. Недавние исследования показывают, что понятие числа развивается рано. Девятимесячные младенцы демонстрируют способность различать группы разного размера. Предположение состоит в том, что работает механизм синхронизации: время, необходимое для сканирования большей (большей по количеству, а не по размеру объектов) группы, больше, чем для меньшей группы. Это говорит о том, что время и ритм также могут лежать в основе когнитивных навыков, которые объясняют наблюдения, что музыка и математические способности тесно связаны.

В 1980-х годах, когда преподаватели пришли к выводу, что учащиеся должны развивать автоматизм с математическими фактами, чтобы ресурсы внимания можно было направить на мышление более высокого порядка, математические упражнения стали обычным подходом для вбивания математических фактов в семантическую память. Этот подход «сверли и убивай» действительно дал некоторые результаты в тестах, но мало что сделал для развития чувства числа.

Альтернативным подходом к развитию автоматизма является развитие основных когнитивных навыков, таких как описанные выше, включая визуализацию, постоянство визуальной формы, визуальную последовательную память и рабочую память, среди прочих навыков, в качестве предшественника и дополнения к работе с математическими фактами. Автоматизм, обеспечиваемый за счет развития этих навыков, в сочетании с улучшением формирования понятий должен давать значительно лучшие результаты, чем сосредоточение исключительно на математических упражнениях. Некоторые из основных недостатков, описанных ранее в этом документе как основные факторы, способствующие различным подтипам математических нарушений легко идентифицируются как навыки, которые можно улучшить с помощью терапии когнитивных навыков, особенно рабочая память и скорость обработки информации. Это навыки, специально разработанные в BrainWare Safari, компьютерной программе, которая развивает 41 когнитивный навык в формате видеоигры. Кроме того, BrainWare Safari развивает зрительно-пространственные навыки, которые, по-видимому, иллюстрируют третий подтип математической инвалидности. Кроме того, особенно принимая во внимание коморбидность математики и других нарушений, можно постулировать, что другие когнитивные навыки также играют роль, но не были конкретно идентифицированы как часть нарушения.

Эмпирическая поддержка влияния развития когнитивных навыков

В двух исследованиях улучшение когнитивных навыков улучшило результаты теста на знание математики. Helms и Sawtelle ⁵ обнаружили, что учащиеся, прошедшие 11 недель использования BrainWare Safari, улучшили свои результаты в подтесте на беглость математики батареи Вудкока-Джонсона III на 1 год и 7 месяцев по сравнению с контрольной группой, в которой наблюдалось снижение производительности. на 4 месяца за тот же период времени. Во втором неопубликованном исследовании ⁶ , девять учеников ESL улучшили свои результаты в том же тесте на 1 год и 9 месяцев после использования программы в течение 11 недель.

Результаты исследований, демонстрирующие влияние развития когнитивных навыков на другие формирующие и стандартизированные оценки математических способностей, недоступны, но они проводятся.

Последствия

Улучшение основных когнитивных навыков имеет большие перспективы для улучшения математических способностей. Потенциал этого подхода особенно привлекателен, учитывая неудачу традиционных методов бурения и глушения и отсутствие других постоянно эффективных и масштабируемых вмешательств. Более того, наличие задержки развития не должно стать препятствием для академического прогресса, когда доступно краткосрочное (например, 11-недельное) вмешательство. Благодаря развитию основных когнитивных навыков, которые позволяют мозгу обрабатывать больше информации с большей автоматизацией, первоначальные результаты демонстрируют, что математические способности и понимание могут быть развиты до гораздо более высокого уровня за относительно короткий период времени.

СКАЧАТЬ PDF

Поделиться

Запланировать бесплатную консультацию

Подпишитесь на обновления Brainy

Подпишитесь, чтобы получать наши ежемесячные обновления новостей Brainy и приглашения на вебинары.

Границы | От редакции: Abstract Mathematical Cognition

Несмотря на важность математики в наших образовательных системах, мало что известно о том, как возникает абстрактное математическое мышление. Большинство исследований математического познания были посвящены пониманию его более простых форм, таких как серийность и счет. Хотя эти формы составляют основу, на которой развиваются все другие математические навыки, разрыв между базовыми навыками и обработкой сложных математических понятий плохо изучен. Однако стало достаточно хорошо понятно, как приобретается умение считать. 90s ознаменовали изменение нашего подхода к человеческому познанию в целом и к математическому познанию в частности. Технологии нейровизуализации позволили локализовать нейронную активность, обнаружив, что математическое познание, как и другие формы познания и навыков, зависит от сети активации. Ключевой вывод нейровизуализации и регистрации одиночных клеток заключается в том, что числовая информация хранится во внутритеменной борозде. Теперь, когда ядро ​​математического познания определено, пришло время понять, как базовые навыки используются для поддержки приобретения и использования абстрактных математических понятий. Часси и Гродд (2012) открыли дверь для абстрактного математического познания, впервые изучив нейронные корреляты отрицательных чисел — абстрактное математическое понятие, которое появляется в начале математических программ. В настоящем выпуске сообщается о важных достижениях в нашем понимании нейронных основ абстрактного математического познания.

Для общего введения в тему читатель отсылается к статье, подписанной Moeller et al. Статья предлагает отличный обзор сетей, которые в той или иной степени участвуют в обработке величин, являющихся самой основой математического познания. Вывод авторов укрепляет мнение о том, что лобно-теменная сеть составляет суть наших математических способностей. Лобно-теменная сеть была отмечена в ряде исследований и, как считается, лежит в основе изучения математических понятий. Увеличивая сложность понятий, хранящихся в нашей памяти, мы улучшаем качество нашего понимания физического мира на первых этапах математического познания. Тогда абстрактные понятия могут возникать из конкретных физических величин.

На пути развития математики первым шагом к абстрактному представлению понятий является переход от конкретного предметного познания к использованию символов. Символы, хотя и произвольные, представляют собой конкретные величины, которые помогают детям измерять и, таким образом, понимать окружающий их мир. Реш и Мёллер поддерживают эту точку зрения, предполагая, что внутреннее представление пальцев способствует фактической способности представлять количества. В том же духе межкультурное исследование, проведенное Бендером и Беллером, сравнивает западную систему счета с полинезийским языком острова Тонга, предлагая уникальное представление о том, как конкретное подсчет различных объектов приводит к абстрактному представлению чисел; тем самым демонстрируя, что корни абстрактного математического познания исходят из базовых сенсорных способностей (давняя точка зрения, которая находит здесь новое отражение). Подчеркивая конкретные корни математического познания, авторы этих исследований открывают дискуссию о наследовании математических навыков, указывая на очень конкретные сенсорные функции.

Символы на более поздних стадиях развития математики используются для представления понятий абстрактного характера. То есть, как только понятие натурального числа получено, следующим шагом на пути к опыту является формализация операций в виде абстрактных сущностей. Например, операция 5 + 4 = 9 конкретна, и ее можно обучить с помощью предметов. Даукер показывает, что ученики, как правило, используют одни и те же стратегии решения задач для решения задач на вычитание и сложение. Поскольку свойства двух операций различаются, применение одной и той же стратегии приводит к ошибкам ученика. Учащиеся должны изучить новый набор свойств, чтобы решить задачу вычитания. Точно так же Хубер и соавт. утверждают, что представления дробей в уме не отличаются от натуральных чисел; что действительно отличается, так это стратегии, используемые для кодирования информации. Взгляды Даукера, Хьюбета и др. согласуются с исследованием Мигуловича и др. которые, сравнивая пациентов с левым и правым поражением, показали, что арифметические операции основаны на разных сетях. Ошибочно мнение некоторых педагогов, что вычитание и сложение являются зеркальными операциями. Интересно отметить, что обучение может быть адаптировано таким образом, чтобы для обучения различным операциям можно было использовать разные подходы. Исследования подчеркивают тот факт, что изучение арифметики включает в себя знания, которые не являются чисто числовыми. Это наша первая подсказка, указывающая на то, что образовательные стратегии могут иметь огромное влияние на способность учащихся усваивать абстрактные понятия. Следующим этапом математического обучения является шаг, состоящий в переходе от конкретных (арифметических) к абстрактным (алгебраическим) соотношениям. Исследование Susac et al. посмотрел на этот шаг и показал, что требуется около 4 лет обучения, чтобы освоить этот новый шаг к абстрактному мышлению в математике. Важно отметить, что эти 4 года являются дополнением к многим годам, необходимым для правильного освоения основ. Математическое обучение — это долгий путь. Это требует педагогических подходов, специфичных для каждого уровня.

Две основные переменные могут влиять на приобретение математических знаний: система образования и унаследованные факторы. Идея о том, что методы преподавания сильно влияют на способность учащихся развивать свои навыки абстрактного математического познания, продемонстрирована Prado et al. Авторы провели кросс-культурное исследование, сравнивая китайских и американских студентов на эффекты размера задачи, и показали, что образовательные практики, которые различаются в двух странах, влияют на проводку сети, отвечающей за символическую арифметику. В соответствии с этим результатом Маклин и Рускони пытаются преодолеть разрыв между открытиями академической науки и практическими проблемами, с которыми сталкиваются учебные заведения при работе со студентами с математическими трудностями. Выявив когнитивные факторы, лежащие в основе приобретения математических знаний, Маклин и Рускони обсуждают типы вмешательств, которые могут помочь учащимся с математическими трудностями. Что касается наследственных факторов, Zhang et al. показали, что одаренные подростки демонстрируют высоко интегрированную лобно-теменную сеть, следовательно, демонстрируют более эффективную связь между представлением чисел в теменной коре и рабочей памятью в префронтальной коре.

Многие результаты статей по этой специальной теме требуют дальнейших исследований, чтобы увидеть, как конкретные нейронные сети обслуживают различные абстрактные математические концепции.

Заявление о конфликте интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось в отсутствие каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могли бы быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Мы хотели бы поблагодарить рецензентов за потраченное время и энергию на улучшение качества всех документов.

Ссылки

Часси, П., и Гродд, В. (2012). Сравнение количеств: основные и зависящие от формата области, выявленные с помощью фМРТ. Церебр. Кора 22, 14:20–14:30. doi: 10.1093/cercor/bhr219

PubMed Abstract | Полный текст перекрестной ссылки | Google Scholar

Ключевые слова: математическое познание, абстрактные концепции, обучение, психология развития, развитие знаний

Образец цитирования: Chassy P and Grodd W (2016) От редакции: Abstract Mathematical Cognition. Фронт. Гум. Нейроски . 9:719. doi: 10.3389/fnhum.2015.00719

Поступила в редакцию: 13 ноября 2015 г.; Принято: 23 декабря 2015 г.;
Опубликовано: 26 января 2016 г.

Редактировал и рецензировал: Hauke ​​R. Heekeren, Свободный университет Берлина, Германия

Copyright © 2016 Chassy and Grodd. Это статья с открытым доступом, распространяемая на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC BY). Использование, распространение или воспроизведение на других форумах разрешено при условии указания автора(ов) или лицензиара оригинала и ссылки на оригинальную публикацию в этом журнале в соответствии с принятой академической практикой.