Какие числа четные и какие нечетные: Чётные и нечётные числа — урок. Математика, 2 класс.
Числа рациональные и иррациональные
Числа рациональные и иррациональные
ОглавлениеОт редактораВведение ГЛАВА I.  § 1. Простые числа § 2. Единственность разложения на простые множители § 3. Целые числа § 4. Четные и нечетные целые числа § 5. Свойства замкнутости § 6. Замечания о природе доказательства ГЛАВА II. Рациональные числа § 1. Определение рациональных чисел § 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби § 3. Различные сгюсобы формулировки и доказательства предложений § 4. Периодические десятичные дроби § 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби § 6. Краткие выводы ГЛАВА III. Действительные числа § 1. Геометрическая точка зрения § 2. Десятичные представления § 3. Иррациональность числа V2 § 4. Иррациональность числа V3 § 5. Иррациональность чисел V6 и V2+V3 § 6. Слова, которыми мы пользуемся § 7. Приложение к геометрии § 8. Краткие выводы ГЛАВА IV. Иррациональные числа § 1. Свойства замкнутости § 2. Алгебраические уравнения § 3. Рациональные корни алгебраических уравнений§ 4. Дальнейшие примеры § 5. Краткие выводы ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций § 1. Иррациональные значения тригонометрических функций § 2. Одно общее правило § 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов § 4. Трансцендентные числа § 5. Три знаменитые задачи на построение § 6. Дальнейший анализ числа V2 § 7. Краткие выводы ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными § 1. Неравенства § 2. Приближение целыми числами § 3. Приближение рациональными числами § 4. Лучшие приближения § 5. Приближения с точностью до 1/n2 § 6. Ограничения точности приближений § 7. Краткие выводы ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел § 1. Предварительные сведения из алгебры § 2. Один способ приближения числа а § 3. План доказательства § 4. Свойства многочленов § 6. Краткие выводы ПРИЛОЖЕНИЕ А. Доказательство бесконечности числа простых чиселПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы арифметики ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Доказательство иррациональности значений тригонометрических фуннций И. М. Яглом Ответы и указания к упражнениям ПРИЛОЖЕНИЕ В Литература |
Математика Чётные и нечётные числа
Материалы к уроку
Конспект урока
7. Чётные и нечётные числа
|
Организационный этап
Посмотрите друг на друга. Улыбнитесь соседу справа, а теперь соседу слева. Улыбка творит чудеса и поднимает настроение. Но не только улыбка творит чудеса, а и дружба.
|
|
|
|
Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний
Устный счёт
Ну-ка в сторону карандаши.
Задание 1 Нюша расставила банки с вареньем в погребе на 2 полки. Она поставила по 5 банок на каждую полку. Сколько банок с вареньем заготовила Нюша? 10 банок
Задание 2 Ёжик любит яблоки. 16 яблок
|
|
|
|
Этап усвоения новых знаний
Задание 3 Бараш положил в погреб на зиму 8 штук свёклы. Всю свёклу он разложил в 2 корзины поровну. Сколько штук свёклы лежит в каждой корзине? Мы видим, что в каждую корзину положили по 4 свёклы. Значит 8 делится на 2 без остатка.
Решите еще одну задачу. Бараш положил в погреб на зиму 11 штук тыквы. Всю тыкву он разложил на 2 полки поровну. Сколько штук тыквы лежит на каждой полке? Мы видим, что 11 не можем разделить на 2, т. к. на каждую полку можно положить по 5 тыкв, и одна еще останется. Значит, есть числа, которые мы можем разделить на 2 без остатка, и числа, которые без остатка на 2 не делятся. Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются чётными. 2, 4, 6, 8, 10…- четные числа Числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными. 1, 3, 5, 7, 9…- нечетные числа |
|
|
|
Этап закрепления новых знаний
Задание Перед вами улица, на которой живут Смешарики. Ветер сорвал номера на некоторых домиках, давайте поможем их восстановить. Домики у Смешариков круглые, поэтому в своей тетради вы будете рисовать кружки на 2 строчках. Первая сторона улицы – нечетная, вторая – чётная. Пронумеруйте домики. 1 3 _ _ 9 нечётные 2 _ _ 8 _ чётные
Проверьте себя. Четные номера домов: 2, 4, 6, 8, 10. Нечетные номера домов: 1, 3, 5, 7, 9 Задание Решите задачу. На улице Смешариков 8 домов с чётными номерами, а с нечётными на 1 дом больше. Сколько всего домов на улице Смешариков? Проверьте себя. В первом действии найдем, сколько домов с нечетными номерами: 1) 8 + 1 = 9 домов Во втором действии ответим на вопрос задачи: сложим количество домов с чётными номерами и количество домов с нечётными номерами: 2) 8 + 9 = 17 домов Запишем ответ: 17 домов на улице Смешариков.
Задание Определите, какой номер дома последний? Последний дом номер 17. 17 разделим на 2. Двузначное чётное число можно отличить от нечётного по последней цифре. Если последняя цифра в записи числа делится на 2, то всё число делится на 2, значит, оно чётное |
|
|
|
Задание Решите числовые выражения. 57-13 60-32 33+16 23+46 73-58 Проверьте себя. 57-13=44 60-32=28 33+16=49 Найдите среди результатов нечётные числа и подчеркните их. Проверьте себя. Нечётные числа – 49, 69, 15.
|
|
|
|
Самостоятельная работа
Задание Запишите числа по порядку от 10 до 19. Обведите кружками четные числа – красным карандашом, а нечетные – синим. Проверьте себя и оцените свои успехи. Четные числа – 10, 12, 14 , 16, 18 Нечетные числа – 11, 13, 15, 17, 19
|
|
|
|
Итог урока
Мы сегодня вместе со Смешариками познакомились с чётными и нечётными числами. Какие числа называются чётными? Числа, которые делятся на 2 без остатка, называются чётными. 2, 4, 6, 8, 10…- чётные числа Какие числа называются нечётными? Числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными. 1, 3, 5, 7, 9…- нечётные числа
Рефлексия
Выберите смайлик, который более всего соответствует вашему пониманию изученных сегодня на уроке правил и нарисуйте его у себя в тетради. Спасибо за работу! |
||
Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать репетитора
Является ли ноль четным числом?
Опубликовано
Лаура Грей
BBC News
Последствия урагана Сэнди для многих предвидеть было легче, чем другие. Миллионы людей пострадали от наводнений и отключений электроэнергии, Нью-Йоркский марафон был отменен, а в Интернете появились фотографии акул в городе. Еще одним результатом стало привлечение внимания к уникальному положению числа ноль.
Чтобы справиться с нехваткой топлива после урагана, мэр Нью-Йорка Майкл Блумберг 8 ноября ввел нормирование.
«Водители в Нью-Йорке, чьи номерные знаки заканчиваются на нечетную цифру или заканчиваются буквой или другим символом, смогут использовать бензин или дизель только в нечетные дни, например, завтра, 9-е число», он сказал.
“Люди, чьи номерные знаки оканчиваются на четное число или на ноль, смогут купить бензин или дизельное топливо только в четные дни, например, в субботу, 10 ноября.”
Использование фразы «четное число или число ноль» подразумевает, что ноль не является четным. С другой стороны, мэр смешивает ноль с четными числами, поэтому он, конечно, не считает это нечетным.
Так что там – нечетное, четное или ни то, ни другое?
Image caption,Эту машину разрешили заправить в последний день нормирования – 23 ноября
Для математиков ответ прост: ноль – четное число. Остальные из нас могут не чувствовать себя полностью уверенными.
По словам доктора Джеймса Грайма из Математического проекта тысячелетия в Кембриджском университете, эксперименты со временем реакции в 1990-е годы показали, что люди на 10% медленнее решают, является ли ноль четным или нечетным, чем другие числа.
Детям особенно трудно определить, является ли ноль четным или нечетным. «Опрос детей младшего школьного возраста в 1990-х годах показал, что около 50 % считали ноль четным, около 20 % — нечетным, а остальные 30 % считали, что ни то, ни другое или что они не знают», — объясняет доктор. Грязь.
“Похоже, мы можем мысленно записывать числа в списки, такие как четные числа два, четыре, шесть, восемь или числа в степени двойки, которые включают два, четыре, шесть, восемь или два, четыре, восемь, 16 Ноль не входит в эти списки, поэтому нам нужно больше времени, чтобы разобраться».
Так почему же с математической точки зрения ноль является четным числом? Потому что любое число, которое можно разделить на два, чтобы получить еще одно целое число, является четным. Ноль проходит этот тест, потому что если вы разделите ноль пополам, вы получите ноль.
Ноль также имеет нечетные числа по обе стороны от него — минус один и один — так что это еще один тест, который он проходит, чтобы классифицировать его как четное число.
Image caption,Полиция пропускает в Париж автомобили каждый день, если их номерной знак заканчивается на ноль
На самом деле существует мнение, что ноль – самое четное число из всех. Число, которое является «дважды четным», можно разделить на два, а затем снова разделить на два. Ноль можно делить на два навсегда и результатом всегда будет целое число – ноль.
Не только публика пытается признать ноль четным числом. Во время смога в 1977 году в Париже использование автомобилей было ограничено, поэтому люди с номерными знаками, оканчивающимися на нечетные или четные числа, ездили через день.
«Полиция не знала, останавливать ли номерные знаки с нулевым номером, поэтому они просто пропустили их, потому что не знали, четный он или нечетный», — говорит доктор Грайм.
Даже математикам понадобилось некоторое время, чтобы прийти к согласию по этому вопросу.
Начнем с того, что ноль вообще не распознавался как число. Вавилоняне и древние греки использовали его, чтобы различать маленькие и большие числа, например, 26 и 206. До этого люди могли определить, больше ли одно число, чем другое, только по контексту, в котором оно использовалось.
В 13 веке итальянский математик Фибоначчи первым популяризировал в Европе арабские цифры, которыми мы пользуемся сегодня. Он классифицировал от одного до девяти как числа, а ноль как «знак».
Они боролись за то, что если ноль — это ничто, то является ли он вообще числом и может ли он иметь свойства числа? Например, нечетность или четность?
«Только в 1600-х годах ноль действительно считался четным числом — после сопротивления и споров», — говорит Грайм.
Более 1000 лет у математиков были трудности с числом ноль, а нематематики до сих пор часто не знают, как его классифицировать.
Таким образом, у Блумберга были все основания объяснить жителям Нью-Йорка черным по белому, что он смешивает ноль с (другими) четными числами.
Слушайте More or Less на BBC Radio 4 и World Service или загрузите бесплатный подкаст .
Вы можете следить за журналом на Twitter и на Facebook
Четные и нечетные | Происхождение математики
ο
многие
год. совсем не умею ( Примечание 1 ). Что люди делают «естественно», так это различают д. — более сложные градации вводятся позже и обычно с большой неохотой. сложность природы и кроме пола осталось не так много настоящих научных дихотомий хотя у нас еще есть классификация животных на позвоночных и беспозвоночных .
Сами числа очень рано были классифицированы на четные и нечетные , наиболее фундаментальное числовое различие после классификации один и много что еще более основное.
Классификация четных/нечетных радикальна: она дает то, что современные математики называют разбиением всего множества. То есть принцип классификации исчерпывающий : за возможным исключением единицы, все числа попадают в ту или иную из двух категорий. Более того, эти два класса взаимоисключающие: ни одно число не появляется в списке из четных появятся в списке четных . Это никоим образом не относится ко всем принципам классификации чисел, как можно было бы предположить на первый взгляд. Числа можно классифицировать, например, как треугольные и как прямоугольные в зависимости от того, могут ли они быть (буквально) преобразованы в прямоугольники или равносторонние треугольники. Но ΟΟΟΟΟΟ оказывается и тем, и другим, поскольку его можно сформировать как в треугольник, так и в прямоугольник:0081 ΟΟΟ ΟΟ
Ο
Греки, как и практически все культуры древнего мира, рассматривали нечетные и четные числа как «мужское» и « четное » как «женское» и «только по одной груди» — предположительно, потому, что у женщины только одна грудь. А поскольку нечетность , хотя в греческом языке этот термин не имел таких ассоциаций, как в английском, тем не менее определялся по отношению к четности , а не наоборот, это делало нечетный номер своего рода женский manqué. Это, должно быть, создало проблему для их сильно патриархального общества, но греческие философы и математики обошли это, утверждая, что «один» (а не «два») был основой системы счисления, в то время как «один» был «отцом числа». все числа».
С другой стороны, матриархальное общество или вид, в котором доминировали самки, почти наверняка и с лучшими рассуждениями сделал бы «единицу» числом самки , первобытным яйцом, из которого появилось все числовое потомство. Тем, кто считает, что математика в каком-то смысле «вечно верна», следует задуматься над вопросом о том, как могла бы развиваться математика внутри гермафродитного вида или в мире, где существовало три , а не два гуманоидных пола , как в научно-фантастическом романе Иэна Бэнкса Игрок в игры .
Ровность нелегко определить — и, если на то пошло, распознать, как я только что понял, поскольку, наткнувшись на более раннюю версию этого раздела, я обнаружил, что на мгновение не могу решить, какой из рядов шаров, изображенных на главы этой главы представлены нечетные или четные числа. Мы должны апеллировать к некоторому очень простому чувству «симметрии» — то, что находится по одну сторону разделительной линии, точно соответствует тому, что находится по другую сторону от нее. Таким образом, определение может быть
Если вы можете спарить коллекцию внутри себя и ничего не остается, то коллекция называется четной , если вы не можете этого сделать, коллекция называется нечетной .
Это делает нечетность аномальной и менее базовой, чем четность , которая интуитивно кажется правильной — я думаю, мы никогда не мечтали бы определить нечетность , а затем сказать «Если набор не нечетный, оно четное» . И хотя только на английском и нескольких других языках “нечетный” также означает “странный” , уничижительный смысл, который приобрело слово нечетный , предполагает, что мы ожидаем и желаем, чтобы вещи совпадали, то есть мы ожидаем или, по крайней мере, желаем, чтобы они были ‘. даже’ — фигурка Справедливости держит пару равномерно сбалансированных весов.
Смысл и даже как «уровня» вполне может быть первоначальным. Если у нас есть два набора предметов, которые по отдельности более или менее идентичны, то пара весов остается на одном уровне, если наборы расположены на каждом плече рычага (на одном и том же расстоянии). можно определить четные и нечетные , таким образом, прагматично:
«Если набор одинаковых стандартных объектов можно разделить таким образом, чтобы сохранить равновесие плеч, то набор называется четным . Если это невозможно, оно называется нечетным ».
В этом определении избегается использование слова два , что предпочтительнее, поскольку смысл вещей «четность» гораздо более фундаментален, чем ощущение «двойственности» — по этой причине различение четное/нечетное , как и еще более фундаментальное «один/много» , относится скорее к стадии до -нумерации, чем к стадии нумерации.
Древний человек, конечно, не имел весов, но он был знаком с процедурой «равного деления», а самый простой способ разделить набор предметов — разделить его на два равные части. Если что-то и оставалось, то его можно было просто выбросить. Таким образом, четность — это не только простейший способ разделения набора объектов, но и принцип деления, сводящий остаток к минимуму: любой другой метод деления может привести к тому, что останется больше объектов.
Определение Евклида — равное деление. Он говорит: « четное число — это то, что делится на две равные части» ( Элементы Определение 6. Книга VII ) и « нечетное число — это то, что не делится на две равные части, или что которое отличается на единицу от четного числа» ( Элементы Определение 7. Книга VII ). Между прочим, у Евклида «число» не только всегда имеет смысл «целое положительное число», но имеет конкретный смысл — он определяет «9».0086 номер ‘как «множество, состоящее из единиц».
Обратите внимание, что Евклид определяет нечетное сначала привативно (через то, чем оно не является), а затем как нечто неполное по отношению к четному числу. Второе определение все еще с нами сегодня: алгебраическая формула для нечетных чисел (2n-1) , где n даны последовательные значения 1, 2, 3…. или иногда (для того, чтобы оставить 1 вне его), указав n последовательные значения 2, 3, 4…. Конкретно, у нас есть последовательность
Ο ΟΟ ΟΟΟ …….. …..
Их дублирование дает нам «двойники» или четные числа
Ο Ο. Ο.
Ο ΟΟ ΟΟΟ ……
и удаление единицы каждый раз дает нам «недостающие» нечетные числа.
Единица сама по себе является чем-то особенным и традиционно не считалась ни четной, ни нечетной. Это уж точно не даже в соответствии с определением «равное деление», поскольку его вообще нельзя разделить (в контексте теории целых чисел) и его нельзя положить на весы, не нарушив равновесия. На практике часто бывает удобно обращаться с единицей так, как если бы она была нечетным , точно так же, как считать ее числом в квадрате , числом в кубе и т. д., иначе многие теоремы пришлось бы формулировать дважды. Контекст обычно дает понять, включает ли термин «число» единицу или нет.
Обратите внимание, что различение четных и нечетных не имеет ничего общего с подсчетом или даже с различением больше или меньше — знание того, что число четное, ничего не говорит о его размере. И наоборот, связывание числового слова или символа с набором предметов не даст вам информации о том, четное это количество или нечетное — у произносимого слова нет «четных» или «нечетных» окончаний, подобных тем, которые показывают, является ли что-то четным или нечетным. единственного или множественного числа, мужского или женского рода.
Примечательно, что у нас нет слов для чисел, которые, например, кратны четырем или которые оставляют остаток от одной единицы при делении на три. (Однако греческие математики говорили о «четно-четных» числах.) Если бы у нашего вида было три пола вместо двух, как в мире, описанном в «Игрок в игры» , мы, возможно, стремились бы делить вещи на . тройки и классифицировать все числа в зависимости от того, можно ли их точно разделить на три части, был ли счетчик коротким или счетчиком. Это, однако, настолько усложнило бы дело, что такому виду, скорее всего, понадобилось бы еще больше времени, чтобы выработать счет и арифметику, чем в нашем случае.
Различие четных/нечетных является первым и простейшим случаем того, что сегодня называется конгруэнтностью. Целые числа можно разделить на так называемые классы эквивалентности в соответствии с остатком, оставшимся после деления на заданное число, называемое модулем . Все числа относятся к одному и тому же классу ( по модулю 1) , поскольку, когда они разделены на единицы, остается только один возможный остаток: вообще ничего. В системе обозначений Гаусса четные числа — это числа, при делении которых на 9 в остатке остается ноль.0086 2 или ‘0 (mod 2)’ , где mod является сокращением от по модулю . А нечетные числа все 1 (mod 2) т.е. оставляют единицу при разделении на двойки. Что поразительно, так это то, что хотя различие между четным и нечетным, то есть различие между числами, равными 0 или 1 (mod 2) , является доисторическим, конгруэнтная арифметика как таковая была изобретена Гауссом всего пару столетий назад.
В конкретных терминах мы можем установить классы эквивалентности относительно заданного модуля, расположив наборы счетчиков (фактически или в воображении) между параллельными линиями заданной ширины, начиная с ширины единицы, затем ширины, которая допускает только два счетчика, затем три и так далее. Это изображение позволяет нам сразу увидеть, что сумма любых двух или более даже номеров всегда даже .
А поскольку у нечетного числа есть дополнительный О , это означает, что у каждой пары нечетных чисел есть дополнительная единица, и поэтому, если мы совместим их вместе так, чтобы единицы смотрели друг на друга, мы получим четный результат. Таким образом Четное плюс четное равно четному» и «Нечетное плюс нечетное равно четному» — это не просто мелодии, которые мы должны разучивать в школе, а соответствующие тому, что на самом деле происходит, если мы пытаемся расположить настоящие фишки или квадраты так, чтобы они совпадали.
В итоге мы получаем следующие две таблицы, которые, возможно, были самыми ранними таблицами, составленными математиками.
+нечетный даже × нечетный даже
Odd Evel Evel Odd Odd Overd voke aely
даже нечетные даже даже даже
даже Все это может показаться настолько очевидным, что едва ли стоит констатировать, но просто обращаясь к этим таблицам, можно вывести многие результаты, далеко не самоочевидные. Например, на опыте мы обнаруживаем, что некоторые конкретные числа можно расположить в виде прямоугольников и что среди этих прямоугольных чисел есть такие, которые можно разделить на два меньших прямоугольника, и те, которые не могут быть разделены. Однако если мне скажут, что некоторую коллекцию можно расположить в виде прямоугольника, одна сторона которого всего на единицу больше другой, я сразу же приду к выводу, что ее можно разделить на два меньших прямоугольника. Почему я так в этом уверен? Поскольку, ссылаясь на таблицы выше,
1.) «произведение» четного и нечетного числа четно;
2.) четное число по определению всегда можно разделить на две равные части.
Я мог бы вывести это, даже если бы я был членом общества, в котором не было письменной системы счисления и было всего несколько числовых слов.
Это только начало: банальное различие между четным и нечетным и ссылка на записи в таблицах выше всплывают в удивительном количестве доказательств в теории чисел. Знаменитое доказательство того, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом, как мы бы сказали, основано на том факте, что никакая величина, состоящая из такого количества равных битов, не может быть одновременно четной и нечетной.