Разное

Сложные круги эйлера примеры: Круг Эйлера. Круги Эйлера – примеры в логике

Содержание

6 класс Математика. Решение задач с помощью кругов Эйлера | Презентация к уроку по математике (6 класс):

Конспект урока

6 класс

Предмет: Математика

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера

Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии мы с вами познакомимся с новым для вас методом решения логических задач - кругами Эйлера. Мы научимся решать некоторые из тех задач, которые входят в группу конкурсных и олимпиадных. Целью нашего урока: является познакомиться с решением простейших логических задач методом кругов.

Разминка

 Устно:

  1. Кирпич весит 3кги ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?
  2. Два спортсмена на соревновании пробежали по стадиону 8 кругов. Сколько кругов пробежал каждый?
  3. Назовите два числа, разность которых равна их сумме.
  4. Сколько будет: два плюс пять умножить на три?

Изучение нового материала

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук.

Для наглядной геометрической иллюстрации понятий и соотношений между ними используется диаграммы Эйлера-Венна (круги Эйлера). Если имеются какие-либо понятия А, В, С и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объектами (множествами) - в виде пересекающихся кругов.

Перед решением задачи ответьте сначала на следующие вопросы:

  1. О скольких множествах идет речь в данной задаче?
  2. Какие из перечисленных в задаче данных относятся к разным множествам одновременно?

Задачи разобрать и записать в тетрадь с правильным оформлением: дано, рисунок (круги Эйлера), решение, ответ.

Задача 1. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом - собак. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части "кошачьего" круга ставим цифру 4 (6 - 2 = 4). В свободной части "собачьего" круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача 2. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 - в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р - только районной. Тогда ШР - изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно. Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:

(не Шк.биб) = Р - ШР.

Всего 30 учеников,

Ш = 20 человек,

Р = 15 человек.

Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 =  5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно.

Тогда (не Шк.биб) = Р - ШР= 15 - 5= 10.

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 3. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: "Белоснежка и семь гномов", "Винни Пух", "Микки Маус". Всего в классе 28 человек. "Белоснежку и семь гномов" выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще "Микки Маус", шестеро - "Винни Пух", а один написал все три мультфильма. Мультфильм "Микки Маус" назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм "Винни Пух"?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только "Белоснежку" выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только "Микки-Маус" выбрали 9-3-2-1=3 человека.

Только "Винни-Пух" выбрали 28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что "Винни-Пух" выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Задачи на оценку:

Задача 1. Спортивный класс. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 - в волейбол, 12 - в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 - в футбол и баскетбол, а 5 - в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

Задача 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача 3. 12 моих одноклассников любят читать детективы , 18 – фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

Домашнее задание:

Задача 1. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу - 8 человек, спортивную школу - 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу - 2, музыкальную и спортивную школу - 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

 

КРУГИ ЭЙЛЕРА | Matemat.me

Этот урок посвящен одному очень необычному и красивому способу решения задач.
В 18 веке один из величайших математиков — Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, которые и получили название: «круги Эйлера». Подробнее кто такой Эйлер, и чем он знаменит вы можете узнать из видеоролика который размещен ниже.

 В конце урока вам нужно будет ответить на вопросы по биографии Эйлера: Кто такой Эйлер и что он сделал для России?

Вы узнали кто такой Леонард Эйлер, чем он знаменит и сколько он сделал для науки.
 Леонард Эйлер «Письма к немецкой принцессе» — скачайте  книгу. Посмотрите  содержание писем. Обратите внимание на стиль изложения.Есть ли среди писем такие,  темы, которых вам показались интересными, и вы бы захотели расширить свои знания о устройстве нашего мира? 

Задачи на круги Эйлера это тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.

Ниже представлен видеоролик с разбором нескольких задач, посвященных кругам Эйлера.

Посмотрев видео, пройдите тестирование по подобным задачам.

для прохождения тестирования введите свое имя. Тест будет открыт. Возможно, чтобы увидеть вопросы теста, вам придется немного прокрутить информацию вниз.

БОНУС: Я хочу показать вам прекрасное датское видео, которое является хорошей иллюстрацией к теме «Круги Эйлера».
В нем показывается, как у людей из разных слоев общества, с разными интересами, из разных социальных и политических кругов, вдруг находится много общего друг с другом. И, казалось бы, совсем разные группы людей, могут удивительным образом объединяться и пересекаться.
 

Приведите один-два примера объединения совершенно разных, казалось бы, групп людей.

Перейдем к задачам посложнее. Ниже представлены  задачи, в которых речь идет уже о пересечениях и объединениях трех множеств.

три круга нов


Пройдите тестирование по подобным задачам.
для прохождения тестирования введите свое имя. Тест будет открыт. Возможно, чтобы увидеть вопросы теста, вам придется  прокрутить информацию вниз.

Сегодня мы познакомились с новым для вас способом решения задач с помощью кругов Эйлера. Узнали некоторые факты его биографии. И увидели, где в жизни встречаются ситуации, связанные с кругами Эйлера.

Домашнее задание:

I) Дайте ответы на вопросы либо с помощью Googl формы, либо просто вышлите ответы по почте [email protected]

1.Посмотрите видеоролик «Биография Эйлера» и дайте ответ на вопрос :» Кто такой Леонард Эйлер». 

2. Что он сделал для России?

3. Скачайте, или пролистайте книгу Эйлера  «Письма к немецкой принцессе»  Посмотрите  содержание писем. Есть ли среди писем такие,  темы, которых вам показались интересными? И вы бы захотели расширить свои знания о устройстве нашего мира. Напишите название одной-двух тем.

4. Посмотрите видеоролик датского телевидения. Приведите один-два примера объединения совершенно разных, казалось бы, групп людей.

Критерии оценивания домашнего задания.

Домашняя работа состоит из двух уровней. Свой уровень выбирайте сами. При желании, можете выполнить задания из обоих уровней.

1 уровень —  Ответить на вопросы и пройти тест по теме «Круги Эйлера. 2 множества.»

2 уровень —  Самому составить и решить задачу на пересечение трех кругов. Выслать электронный вариант оформленной и решенной задачи (в форме презентации, в формате word или каком то другом — выбирайте сами ) мне на почту: [email protected]

Урок закончен! 🙂 

Здесь представлена коллекция задач, составленная учащимися Гуманитарного Лицея г Ижевска в 2016-2017 году как итог нашего занятия по кругам Эйлера. Нажмите на выделенный текст для того, чтобы посмотреть коллекцию.

Круги Эйлера: примеры и возможности

Математика по собственной сущности наука абстрактная, если отступить от простых понятий. Так, на паре-тройке яблок можно наглядно изобразить главные операции, что лежат в базе арифметики, но, как плоскость деятельности расширяется, этих объектов становится недостаточно. Кто-либо пробовал изобразить на яблоках операции над нескончаемыми огромными количествами? В том-то и дело, что нет. Чем труднее становились понятия, которыми оперирует математика в собственных суждениях, тем проблематичнее казалось их приятное выражение, которое было бы призвано облегчить осознание. Но, на счастье как современных студентов, так и науки в целом, были выведены круги Эйлера, примеры и способности которых мы разглядим ниже.

Мало истории

17 апреля 1707 года мир подарил науке Леонарда Эйлера — восхитительного ученого, чей вклад в арифметику, физику, судостроение и даже теорию музыки не переоценить. Труды его признаны и нужны до настоящего времени в мире, невзирая на то что наука не стоит на месте. Особо занятным является тот факт, что государь Эйлер принял конкретное роль в становлении русской школы высшей арифметики, тем паче что волею судеб он два раза ворачивался в наше правительство. Ученый обладал уникальной способностью выстраивать прозрачные в собственной логике методы, отсекая все избыточное и в кратчайшие сроки переходя от общего к личному. Не станем перечислять все его награды, потому что это займет большое количество времени, и обратимся конкретно к теме статьи. Конкретно он предложил использовать графическое изображение операций над огромными количествами. Круги Эйлера решение хоть какой, даже самой трудно составленной задачки, способны изобразить наглядно.

В чем все-таки сущность?

На практике круги Эйлера, схема которых изображена ниже, могут применяться не только лишь в арифметике, потому что понятия «огромного количества» присущи не только лишь данной дисциплине. Так, они с фуррором используются и в менеджменте.

Схема выше указывает дела множеств А (иррациональные числа), В (оптимальные числа) и С (натуральные числа). Круги демонстрируют, что огромное количество С включено в огромное количество В, тогда как огромное количество А с ними никак не пересекается. Пример простой, но наглядно разъясняет специфику «отношений множеств», которые очень абстрактны для реального сопоставления хотя бы в силу их бесконечности.

Алгебра логики

Данная область математической логики оперирует высказываниями, которые могут носить как настоящий, так и неверный нрав. К примеру, из простого: число 625 делится нацело на 25, число 625 делится нацело на 5, число 625 является обычным. 1-ое и 2-ое утверждения – правда, тогда как последнее – ересь. Естественно, на практике все труднее, но сущность показана ясно. И, конечно, в решении снова участвуют круги Эйлера, примеры с их внедрением очень комфортны и наглядны, чтоб их игнорировать.

Незначительно теории:

  • Пусть огромного количества А и В есть и не являются пустыми, тогда для их определены последующие операции скрещения, объединения и отрицания.
  • Скрещение множеств А и В состоит из частей, что принадлежат сразу как огромному количеству А, так и огромному количеству В.
  • Объединение множеств А и В состоит из частей, что принадлежат огромному количеству А либо огромному количеству В.
  • Отрицание огромного количества А — это огромное количество, что состоит из частей, которые не принадлежат огромному количеству А.

Все это изображают снова же круги Эйлера в логике, потому что с помощью их любая задачка, вне зависимости от степени трудности, становится тривиальной и приятной.

Теоремы алгебры логики

Положим, что 1 и 0 есть и определены во огромном количестве А, тогда:

  • отрицание отрицания огромного количества А есть огромное количество А;
  • объединение огромного количества А с не_А есть 1;
  • объединение огромного количества А с 1 есть 1;
  • объединение огромного количества А с самим собой есть огромное количество А;
  • объединение огромного количества А с 0 есть огромное количество А;
  • скрещение огромного количества А с не_А есть 0;
  • скрещение огромного количества А с самим собой есть огромное количество А;
  • скрещение огромного количества А с 0 есть 0;
  • скрещение огромного количества А с 1 есть огромное количество А.

Главные характеристики алгебры логики

Пусть огромного количества А и В есть и не являются пустыми, тогда:

  • для скрещения и объединения множеств А и В действует переместительный закон;
  • для скрещения и объединения множеств А и В действует сочетательный закон;
  • для скрещения и объединения множеств А и В действует распределительный закон;
  • отрицание скрещения множеств А и В есть скрещение отрицаний множеств А и В;
  • отрицание объединения множеств А и В есть объединение отрицаний множеств А и В.

Ниже показаны круги Эйлера, примеры скрещения и объединения множеств А, В и С.

Перспективы

Работы Леонарда Эйлера обоснованно числятся базой современной арифметики, но на данный момент их с фуррором используют в областях людской деятельности, что появились относительно не так давно, взять хотя бы корпоративное управление: круги Эйлера, примеры и графики обрисовывают механизмы моделей развития, будь то русская либо англо-американская версия.

Круги Эйлера Википедия

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B{\displaystyle B} — живое существо, A{\displaystyle A} — человек, C{\displaystyle C} — неживая вещь

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру[⇨]. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна[⇨].

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с C.

История

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[1]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Венн предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики[2].

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

  • A={1,2,5}{\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
  • B={1,6}{\displaystyle B=\{1,\,6\}}
  • C={4,7}{\displaystyle C=\{4,\,7\}}
  • диаграмма Эйлера

  • диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

Примеры

На рисунке внизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество существ с 4 конечностями является подмножеством животных, которое не пересекается с множеством минералов.

Диаграмма Эйлера

См. также

Примечания

  1. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.
  2. ↑ Кузичев, 1968, с. 25.

Литература

  • Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.

круг Эйлера | Серьезная математика для серьезных старшеклассников: математика - это больше, чем соревнования.

Добро пожаловать в круг Эйлера!

Примечание: Euler Circle будет проводиться в режиме онлайн зимой и до тех пор, пока не станет безопасным возобновление очных занятий. Вам не обязательно жить в районе залива Сан-Франциско, чтобы посещать онлайн-классы. Зимой мы проведем занятия по переходу к доказательствам по комбинаторике и комплексному анализу.

Вы ученик старшей школы в районе залива Сан-Франциско, который любит математику? Считаете ли вы традиционную учебную программу по математике слишком простой? Вы хотите изучать увлекательную и сложную математику? Хотите поработать над задачами и подружиться со сверстниками с математическим складом ума? Если да, то вы попали в нужное место!

Что

Euler Circle - математический институт для продвинутых студентов в районе залива Сан-Франциско, которые любят математику.Мы предлагаем ряд классов математики на уровне колледжа, специально адаптированных к потребностям продвинутых старшеклассников, многие из которых исчерпали учебную программу по математике в своих школах и хотят узнать больше. Каждый предлагаемый нами класс эквивалентен уроку математики в колледже. В каждом классе ученики решают множество задач, чтобы познакомиться с новым материалом, а на продвинутых классах каждый ученик пишет пояснительную работу по теме, связанной с материалом класса.

Классы организованы таким образом, чтобы обеспечить путь к независимым исследованиям.Многие из наших наборов проблем в продвинутых классах включают нерешенные проблемы, которые студенты могут изучить после того, как они усвоят материал, представленный в классе. Мы предлагаем встречи в небольших группах для студентов, заинтересованных в работе над исследовательскими проблемами, когда они продемонстрируют способность усердно работать над сложными проблемами. Смотрите больше об исследованиях в Euler Circle.

Почему

Математика - это не просто соревнования. Однако для старшеклассников мало ресурсов, чтобы узнать об остальном чудесном мире математики.Мы считаем, что многие студенты хотели бы увидеть, что еще существует, и мы хотим поделиться тем, что мы знаем.

Когда / где

Зимой у нас будет два класса. Наш промежуточный класс - это вторая четверть перехода к последовательности доказательств с упором на комбинаторику. Наш продвинутый класс посвящен комплексному анализу. Эти занятия начнутся в январе и будут длиться 10 и 20 недель соответственно. Несмотря на то, что официальный крайний срок подачи заявок истек, все еще возможно принять еще несколько студентов в порядке очереди.Зимние занятия будут проводиться онлайн на Zoom. Нажмите здесь, чтобы подать заявку!

FAQ | Круг Эйлера

FAQ | Круг Эйлера
    • Чем уроки по кругу Эйлера отличаются от других занятий по математике в районе залива?
      Есть много других замечательных занятий по математике в районе залива, но мы считаем, что всегда есть потребность в большем, и студенты согласны с нами. Другие классы в основном ориентированы на математику для соревнований.В математических кружках преподаватели могут сделать краткий обзор темы, но у них нет времени на ее разработку, чтобы учащиеся могли выучить ее действительно хорошо, а также нет времени на изучение темы, требующей многих недель изучения. подготовка к удовлетворительному завершению длинной истории. Уроки в Euler Circle столь же интенсивны, как и уроки в колледже, и к ним следует относиться соответственно. Мы подчеркиваем более глубокое понимание и доступ к открытым проблемам, что обычно не делается в этих других условиях.
    • Чего вы надеетесь достичь на этих занятиях?
      Столько всего! Одна из наших основных целей для наших учеников состоит в том, чтобы они научились видеть математику и думать о математике, как это делает профессиональный математик. Мы хотим, чтобы наши ученики видели, что такое математика на более глубоком уровне, чем они могли бы в любом другом виде, чтобы работать над сложными задачами, как теми, которые уже решены, так и теми, которые еще не решены, чтобы научиться решать сложные темы и развиваться. интуиция для них.
    • В чем смысл сообщества в Euler Circle?
      Мы настоятельно рекомендуем сотрудничество. Учащиеся вместе работают над проблемами и заводят прочные и значимые дружеские отношения из-за общей любви к математике, и даже самые тихие ученики, которые от природы тяготеют к работе в одиночку, в конечном итоге находят радость в совместной работе. Совместная работа над сложными проблемами и достижение момента «ага» - это отличный опыт для студентов.Мы любим проводить дебаты по математике, когда группы студентов выдвигают различные предположения и пытаются бросить вызов друг другу с помощью проверяющих примеров и контрпримеров. Многие из наших студентов предпочитают работать в группах над своими заключительными презентациями, и это дает им еще больше времени, чтобы узнать друг друга. Поскольку большинство наших студентов возвращаются квартал за кварталом, их дружба не обязательно прекращается или становится менее удобной после окончания одного урока.
    • Помогут ли эти классы мне выигрывать соревнования по математике?
      Любая математика, которую вы изучаете, поможет вам в другой математике, так что да, вроде того.Однако классы Эйлера не ориентированы на соревнования, и есть гораздо более эффективные способы научиться побеждать в соревнованиях. Наша цель не в том, чтобы помочь студентам выигрывать соревнования, хотя мы поощряем их делать это, если им нравится соревновательная среда.
    • Итак, какой смысл посещать эти занятия, если они не помогают мне становиться лучше на соревнованиях?
      Математика - это больше, чем соревнования! Большинство лучших вещей по математике выходят далеко за рамки программы соревнований, и мы считаем, что учащимся понравится познакомиться с настоящей математикой на уровне колледжа и за его пределами.Мы считаем, что соревнования ценны для многих учеников, и что они могут воодушевить учеников и вдохновить их улучшить свои навыки в соревнованиях и даже выиграть их. Однако у учащихся должна быть возможность познакомиться и с другими видами математики, особенно с теми, которые больше похожи на современную математику.
    • Какой опыт должен иметь учащийся перед посещением этих классов?
      Предварительные требования варьируются от класса к классу.Некоторые классы требуют знаний в области математического анализа, а некоторые - нет. К счастью, исчисление легко выучить по книге.
    • Где я могу найти информацию о классах?
      Щелкните здесь, чтобы получить общую информацию о классах. Щелкните здесь, чтобы получить информацию о предстоящем расширенном классе по криптографии, и здесь, чтобы получить информацию о предстоящем классе методов промежуточного доказательства.
    • Какой формат занятий?
      Расширенные классы проходят два раза в неделю, по вторникам и средам, по два часа каждое занятие в течение десяти недель.На занятиях по вторникам инструктор читает лекции, а на занятиях по средам студенты работают над проблемами в группах и обсуждают проблемы с помощниками преподавателя. Промежуточные классы собираются один раз в неделю, по понедельникам, по три часа каждое занятие в течение десяти недель. Ожидается, что учащиеся всех классов будут усердно работать над проблемами как на проблемных занятиях, так и дома. Мы призываем учащихся объединяться в рабочие группы со своими друзьями в классе, чтобы они могли вместе работать над проблемами и просматривать материалы класса за пределами классных занятий.В последнюю неделю четверти в продвинутых классах студенты проводят короткие презентации по выбранным ими темам, связанным с классом, и пишут пояснительные работы, связанные с их презентациями.
    • Есть домашнее задание? Сколько?
      Да. Выучить математику без решения задач очень сложно. Таким образом, мы даем студентам решить множество задач, и от студентов ожидается, что они будут их решать. На всех занятиях отводится время, чтобы ученики работали над проблемами в группах и обсуждали их с инструкторами.Однако в классе недостаточно времени для решения всех задач, поэтому ученикам необходимо работать над проблемами вне класса, в идеале с другими учениками в классе. Инструкторы будут рады ответить на электронные письма о проблемах в течение недели.
    • Где я могу найти информацию о выполнении исследовательского проекта?
      Щелкните здесь. Но имейте в виду, что исследования - это чрезвычайно сложная задача, которая подходит не всем. В частности, проводить исследования на намного труднее, чем на занятия по кругу Эйлера.Мы предоставляем возможность исследования студентам, посещающим наши занятия, если они продемонстрировали готовность усердно работать, решать множество задач с умеренным уровнем сложности и серьезно заниматься предметом.
    • Кто может посещать занятия?
      Как правило, учащиеся не должны окончить среднюю школу до начала занятий, хотя в исключительных случаях можно принять меры. Для учащихся не установлен нижний возрастной предел, но чем вы моложе, тем больше вам нужно будет сделать, чтобы убедить нас в том, что занятия вам принесут пользу.Если вы ученик средней школы, который готов посещать уроки на уровне колледжа, то мы определенно готовы научить вас!
    • Конкурсный ли прием?
      Традиционный способ приема на конкурсной основе - наличие абитуриентов и свободных мест. Скорее всего, здесь дело обстоит не так: мы можем разместить много студентов, и нам не нравится идея лишать достойных студентов образования; мы, конечно же, не будем гордиться этим и никогда не будем публиковать статистику приема.Однако вы должны убедить нас, что вы готовы к занятиям и что вы из тех учеников, которым нам понравится учить.
    • Сколько стоит занятие?
      Стоимость 900 долларов за 10-недельное занятие. Однако никому не откажут из-за отсутствия средств. Если вы не можете заплатить, сообщите нам об этом (только после допуска), и мы откажемся от комиссии.
    • Могу ли я получить кредит за эти классы?
      У нас нет возможности предоставить кредит для этих классов.Однако, если вы хотите организовать независимое исследование или что-то подобное в своей школе, чтобы у вас было больше времени для изучения материала из классов Euler Circle, мы будем рады обсудить этот вопрос с учителем в вашей школе.
    • Я живу в Ист-Бэй. Можете ли вы вести там занятия?
      В настоящее время это невозможно, хотя мы, в конечном счете, хотели бы расширить, если будет достаточный интерес. Мы будем рады помочь вам организовать парковки в Пало-Альто и обратно, если рядом с вами живут другие студенты.
    • Я не живу в районе залива. Можете ли вы проводить уроки в моем районе?
      Не стесняйтесь искушать нас! Убедите нас, что в вашем районе много заинтересованных студентов, и мы, возможно, захотим разбить лагерь, скажем, во время зимних или летних каникул в вашем районе.

Нравится:

Нравится Загрузка ...

Пути и цепи Эйлера

Расследуй!

Путь Эйлера в графе или мультиграфе - это обход графа, при котором каждое ребро используется ровно один раз.Схема Эйлера - это путь Эйлера, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине. Наша цель - найти быстрый способ проверить, есть ли в графе (или мультиграфе) эйлеров путь или цепь.

  1. В каком из графов ниже есть пути Эйлера? Какие есть схемы Эйлера?

  2. Перечислите степени каждой вершины приведенных выше графиков. Есть ли связь между степенями и существованием путей и цепей Эйлера?

  3. Может ли граф с вершиной степени 1 иметь схему Эйлера? Если да, нарисуйте один.Если нет, объясните, почему нет. А как насчет пути Эйлера?

  4. Что делать, если каждая вершина графа имеет степень 2. Существует ли путь Эйлера? Схема Эйлера? Нарисуйте графики.

  5. Ниже часть графика. Несмотря на то, что вы можете видеть только некоторые из вершин, можете ли вы определить, будет ли граф иметь путь Эйлера или схему?

Если мы начнем с вершины и проследим вдоль ребер, чтобы добраться до других вершин, мы создадим обход по графу.Точнее, обход в графе - это последовательность вершин, такая что каждая вершина в последовательности смежна с вершинами до и после нее в последовательности. Если прогулка проходит по каждому ребру ровно один раз, она называется эйлеровым путем (или Эйлеровым путем ). Если, кроме того, начальная и конечная вершины совпадают (поэтому вы проводите вдоль каждого ребра ровно один раз и заканчиваете там, где вы начали), то обход называется контуром Эйлера (или обходом Эйлера ).Конечно, если граф не связан, нет никакой надежды найти такой путь или цепь. В оставшейся части этого раздела предполагается, что все обсуждаемые графы связаны.

Мосты в Кенигсберге Проблема на самом деле является вопросом о существовании путей Эйлера. Будет маршрут, который пересекает каждый мост ровно один раз тогда и только тогда, когда на графике ниже есть путь Эйлера:

Этот граф достаточно мал, чтобы мы могли проверить все возможные обходы, не использующие повторно ребра, и тем самым убедить себя, что пути Эйлера (не говоря уже о схеме Эйлера) не существует.На небольших графах, у которых есть путь Эйлера, найти его обычно не сложно. Наша цель - найти быстрый способ проверить, есть ли в графе путь Эйлера или схема, даже если граф довольно большой.

Один из способов гарантировать, что граф не имеет схему Эйлера, - это включить «пик», вершину степени 1.

Вершина \ (a \) имеет степень 1, и если вы попытаетесь составить схему Эйлера, вы увидите, что застрянете в вершине. Это тупик. То есть, если вы не начнете с этого.Но тогда нет возможности вернуться, так что нет никакой надежды найти схему Эйлера. Однако существует путь Эйлера. Он начинается с вершины \ (a \ text {,} \), а затем обходит треугольник. Вы закончите в вершине степени 3.

Вы сталкиваетесь с подобной проблемой всякий раз, когда у вас есть вершина любой нечетной степени. Если вы начнете с такой вершины, вы не сможете там закончить (после прохождения каждого ребра ровно один раз). После использования одного ребра для выхода из начальной вершины у вас останется четное количество ребер, исходящих из вершины.Половину из них можно было использовать для возврата в вершину, а другую половину - для ухода. Так что возвращайся, а потом уходи. Возвращайся, потом уходи. Единственный способ использовать все ребра - использовать последнее, оставив вершину. С другой стороны, если у вас есть вершина с нечетной степенью, с которой вы не начинаете путь, то в конечном итоге вы застрянете в этой вершине. Путь будет использовать пары ребер, инцидентных вершине, чтобы снова прибыть и уйти. В конце концов все эти ребра, кроме одного, будут израсходованы, и останется только одно ребро, которое нужно будет пройти, и ни одно ребро не будет уходить снова.

Все это говорит о том, что если у графа есть путь Эйлера и две вершины с нечетной степенью, то путь Эйлера должен начинаться в одной из вершин нечетной степени и заканчиваться на другой. В такой ситуации каждая вторая вершина должна иметь четную степень, поскольку нам нужно равное количество ребер, чтобы добраться до этих вершин, чтобы выйти из них. Как у нас могла быть схема Эйлера? Граф не может иметь вершину нечетной степени, поскольку путь Эйлера должен начинаться или заканчиваться там, но не то и другое вместе.Таким образом, чтобы граф имел схему Эйлера, все вершины должны иметь четную степень.

Верно и обратное: если все вершины графа имеют четную степень, тогда у графа есть схема Эйлера, а если есть ровно две вершины с нечетной степенью, у графа есть путь Эйлера. Доказать это немного сложно, но основная идея состоит в том, что вы никогда не застрянете, потому что для каждого «входящего» ребра в каждой вершине существует «исходящее» ребро. Если вы попытаетесь построить путь Эйлера и пропустите некоторые ребра, вы всегда сможете «соединить» схему, используя ранее пропущенные ребра.

Эйлеровы пути и схемы.

Поскольку в мостах графа Кенигсберга все четыре вершины имеют нечетную степень, нет пути Эйлера через граф. Таким образом, у горожан нет возможности пересечь каждый мост ровно один раз.

Подраздел Пути Гамильтона

Предположим, вы хотите совершить поездку по Кенигсбергу таким образом, чтобы посетить каждый массив суши (два острова и оба берега) ровно один раз. Это можно сделать. В терминах теории графов мы спрашиваем, существует ли путь, который посещает каждую вершину ровно один раз.Такой путь называется гамильтоновым путем (или гамильтоновым путем ). Мы также могли бы рассмотреть цикла Гамильтона , которые являются путями Гамильтона, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине.

Пример 4.5.1.

Определите, есть ли на графиках ниже путь Гамильтона.

Решение

На графике слева есть путь Гамильтона (на самом деле много разных), как показано здесь:

На графике справа нет пути Гамильтона. Вам нужно будет посетить каждую из «внешних» вершин, но как только вы посетите одну, вы застрянете.Обратите внимание, что этот граф не имеет пути Эйлера, хотя есть графы с путями Эйлера, но не пути Гамильтона.

Похоже, что найти пути Гамильтона было бы проще, потому что графы часто имеют больше ребер, чем вершин, поэтому требуется меньше требований. Однако никто не знает, правда ли это. Нет известного простого теста, есть ли у графа путь Гамильтона. Для небольших графов это не проблема, но по мере увеличения размера графа становится все труднее и труднее проверить, существует ли путь Гамильтона.Фактически, это пример вопроса, который, насколько нам известно, слишком сложно решить для компьютеров; это пример NP-полной задачи.

Упражнения Упражнения

1.

Вы и ваши друзья хотите совершить поездку по юго-западу на машине. Вы посетите следующие девять штатов со следующим довольно странным правилом: вы должны пересечь каждую границу между соседними штатами ровно один раз (так, например, вы должны пересечь границу Колорадо и Юты только один раз). Ты можешь сделать это? Если да, имеет ли значение, откуда вы начнете путешествие? Какой факт в теории графов решает эту проблему?

Решение

Это вопрос о поиске путей Эйлера.Нарисуйте граф с вершиной в каждом состоянии и соедините вершины, если их состояния имеют общую границу. Ровно две вершины будут иметь нечетную степень: вершины для Невады и Юты. Таким образом, вы должны начать свое путешествие в одном из этих состояний и закончить его в другом.

2.

Какой из следующих графов содержит путь Эйлера? Какие содержат схему Эйлера?

  1. \ (\ Displaystyle K_4 \)
  2. \ (K_5 \ text {.} \)
  3. \ (\ Displaystyle K_ {5,7} \)
  4. \ (\ Displaystyle К_ {2,7} \)
  5. \ (\ Displaystyle C_7 \)
  6. \ (\ Displaystyle P_7 \)
Решение
  1. \ (K_4 \) не имеет пути или цепи Эйлера.
  2. \ (K_5 \) имеет схему Эйлера (а также путь Эйлера).
  3. \ (K_ {5,7} \) не имеет эйлерового пути или цепи.
  4. \ (K_ {2,7} \) имеет путь Эйлера, но не схему Эйлера.
  5. \ (C_7 \) имеет схему Эйлера (это граф схемы!)
  6. \ (P_7 \) имеет путь Эйлера, но не схему Эйлера.
3.

Эдвард А. Маус только что закончил строительство своего нового дома. План этажа показан ниже:

  1. Эдвард хочет показать свой новый коврик подруге-мышке.Могут ли они пройти через каждый дверной проем ровно один раз? Если да, то в каких комнатах они должны начать и закончить экскурсию? Объясни.

  2. Можно ли совершить поездку по дому, посетив каждую комнату ровно один раз (не обязательно через каждый дверной проем)? Объясни.

  3. Через несколько лет мышки Эдвард решает переделать. Он хотел бы добавить новые двери между комнатами, которые у него есть. Конечно, он не может добавлять двери в экстерьер дома. Возможно ли, чтобы в каждой комнате было нечетное количество дверей? Объясни.

4.

Для какого \ (n \) граф \ (K_n \) содержит схему Эйлера? Объясни.

5.

Для каких \ (m \) и \ (n \) граф \ (K_ {m, n} \) содержит путь Эйлера? Схема Эйлера? Объясни.

6.

Для какого \ (n \) \ (K_n \) содержит путь Гамильтона? Цикл Гамильтона? Объясни.

7.

Для каких \ (m \) и \ (n \) граф \ (K_ {m, n} \) содержит путь Гамильтона? Цикл Гамильтона? Объясни.

Подсказка

Это сложнее, чем три предыдущих вопроса.Подумайте, на какой «стороне» графа должен быть путь Гамильтона на каждом втором шаге.

8.

В Кенигсберг приехал мостостроитель и хочет добавить мосты, чтобы по каждому мосту можно было пройти ровно один раз. Сколько мостов нужно построить?

Решение

Если мы построим один мост, у нас будет путь Эйлера. Для схемы Эйлера необходимо построить два моста.

9.

Ниже приведен график, представляющий дружбу между группой студентов (каждая вершина - ученик, а каждое ребро - дружба).Могут ли ученики сесть за круглый стол так, чтобы каждый ученик сидел между двумя друзьями? Какое отношение этот вопрос имеет к путям?

Подсказка

. Если вы читаете имена студентов по порядку, вам нужно будет прочитать имя каждого студента ровно один раз, а фамилия должна принадлежать студенту, который дружил с первым. Что это за цикл?

10.

На столе лежат 8 костяшек домино, как показано ниже. Если бы вы выровняли их в один ряд так, чтобы любые две соприкасающиеся стороны имели совпадающие числа, какова была бы сумма двух конечных чисел?

Подсказка

Нарисуйте граф с 6 вершинами и 8 ребрами.Какой путь будет подходящим?

11.

Можно ли что-нибудь сказать о том, есть ли в графе путь Гамильтона, исходя из степеней его вершин?

  1. Предположим, что у графа есть путь Гамильтона. Какое максимальное количество вершин первой степени может иметь граф? Объясните, почему ваш ответ правильный.

  2. Найдите граф, в котором нет пути Гамильтона, хотя ни одна вершина не имеет степени один. Объясните, почему ваш пример работает.

12.

Рассмотрим следующий график:

  1. Найдите путь Гамильтона. Можно ли продлить ваш путь до цикла Гамильтона?
  2. Является ли граф двудольным? Если да, сколько вершин в каждой «части»?
  3. Используйте свой ответ на часть (b), чтобы доказать, что в графе нет цикла Гамильтона.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *