Сколько всего имеется двузначных чисел чтобы выяснить это будем рассуждать: Решение на Упражнение 69 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Дорофеев Г.В.
A7к (базовый уровень, время 2 мин)
Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики»
Лекция 1. Тема: «Элементы комбинаторики» Определение. Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить
ПодробнееB8 (повышенный уровень, время 2 мин)
К. Поляков, 009-011 B8 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,
ПодробнееB7 (повышенный уровень, время 2 мин)
К Поляков, 009-01 B7 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел Системы счисления Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,
Подробнее16 (повышенный уровень, время 2 мин)
16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы
ПодробнееКомбинаторика. Перебор вариантов
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Комбинаторика. Перебор вариантов Сколькими способами можно выбрать три яблока из корзины? Сколько имеется вариантов школьного расписания? Такого рода вопросами
Подробнее1 (базовый уровень, время 1 мин)
1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
ПодробнееА1 (базовый уровень, время 1 мин)
А1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
ПодробнееДелимость целых чисел в задачах
Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, – Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический
ПодробнееID_3685 1/10 neznaika.pro
1 Числа и их свойства Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Представьте число
ПодробнееА1 (базовый уровень, время 1 мин)
А1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
Подробнее16 (повышенный уровень, время 2 мин)
К. Поляков, 009-016 16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,
Подробнее6-1 (базовый уровень, время 4 мин)
6-1 (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Выполнение и анализ простых алгоритмов. Что нужно знать: сумма двух цифр в десятичной системе счисления находится в диапазоне от 0 до 18 (9+9) в некоторых задачах
ПодробнееА1 (базовый уровень, время 2 мин)
А1 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
ПодробнееА1 (базовый уровень, время 1 мин)
А1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
Подробнее 1. Закон сложения в комбинаторикерия:
Тема 10. Комбинаторика 1. Закон сложения в комбинаторикерия: В вазе лежит 5 яблок, 4 груши и 3 мандарина. Сколько существует возможностей взять один фрукт из вазы? Если взять яблоко, то существует 5 возможностей,
ПодробнееМатематика 7 класс Задачи на делимость
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства
Подробнее1. Десятичная система счисления
Задачи и головоломки 1. Десятичная система счисления Десятичная система счисления является позиционной. В позиционных системах счисления вклад цифры в число зависит от положения этой цифры в записи числа.
ПодробнееКомбинаторика. Правило произведения
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Комбинаторика. Правило произведения При решении комбинаторных задач часто приходится умножать число способов выбора одного объекта на число способов выбора
ПодробнееТЕМА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ…
С О Д Е Р Ж А Н И Е 1 ТЕМА II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ… 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ПРИМЕРЫ… 2 1.1. ПРИМЕРЫ… 2 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И ФОРМУЛЫ… 3 3. ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ… 4 4.
ПодробнееРЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого
А1 (базовый уровень, время 1 мин)
А1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
ПодробнееНумерация трёхзначных чисел
Десятичная система счисления Позиционный принцип записи чисел 4 Нумерация трёхзначных чисел Посчитай от 97 до ; от 499 до 6; от 990 до 000. Посчитай десятками от 280 до 20; от 860 до 900. Посчитай сотнями
ПодробнееА1 (базовый уровень, время 1 мин)
А1 (базовый уровень, время 1 мин) Тема: Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
Подробнее4 класс, первая лига, 2 тур, 5 ноября
4 класс, первая лига, 2 тур, 5 ноября 1. На прямой отмечены точки A, B, C, D, E так, что А крайняя левая, B крайняя правая, AB=1800 см, AC = BD = 1100 см, AE в три раза больше, чем CD. Найдите, в каком
Подробнееq и пишут a b. Число b называют делителем
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Определение. Говорят, что целое число a нацело делится на целое число b, если a b q и пишут a b. Число b называют делителем существует такое целое число q, что числа a. виде Определение.
ПодробнееЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. Правило произведения. Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n m различных пар
Учебное пособие Элементы комбинаторики
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края ГБПОУ КК «АМТ» Учебное пособие Элементы комбинаторики для студентов специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах»
ПодробнееТема: Системы счисления
Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше
ПодробнееID_2839 1/5 neznaika.pro
1 Числа и их свойства Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Найдите четырёхзначное
Подробнееотрезке [a,b]. Пример работы программы:
1 Напишите программу, которая в последовательности натуральных чисел определяет сумму трёхзначных чисел, кратных 4. Программа получает на вход натуральные числа, количество введённых чисел неизвестно,
Подробнее«Устный счет – гимнастика для ума»
«Устный счет – гимнастика для ума» Счёт на пальцах Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец
ПодробнееУроки математики в 6 классе.
Уроки математики в 6 классе. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ ( ч) Урок 11. Разложение на простые множители Цели: ознакомить с разложением на простые множители числа; повторить степень числа; формировать
22 (повышенный уровень, время 7 мин)
К. Поляков, 09-6 22 (повышенный уровень, время 7 мин) Тема: динамическое программирование. Что нужно знать: динамическое программирование это способ решения сложных задач путем сведения их к более простым
ПодробнееУрок математики в 3-м классе по теме “Вычислительный приём деления двузначных чисел на однозначные”
Тема: вычислительный приём деления двузначных чисел на однозначные.
Цели:
- Ознакомить с приёмом деления двузначных чисел на однозначные, в основе которого лежит свойство деления суммы на число, используя технологию проблемного обучения.
[ 1 ] - Упражнять в решении задач.
- Совершенствовать технику счета.
- Способствовать воспитанию активной и творческой личности, любви к природе, аккуратности.
- Способствовать формированию мыслительных операций, развитию активной речи, формированию умения передавать мысль словами, учебных умений (работа с книгой, самопроверка).
Оборудование:
учителя: картина «Математический полюс», «сугробы» с числовыми выражениями, снеговик, снежинки и карточки с примерами.
учащихся: учебник М.И.Моро и др. «Математика» Москва «Просвещение» 2003, карточки для индивидуальной работы, счетный материал, звездочки для самооценки.
Ход урока
1. Организация учащихся
– Создадим хорошее дружелюбное настроение.
– Улыбнитесь друг другу, садитесь.
– Ребята, я сегодня вам предлагаю отправиться в экспедицию к математическому полюсу. Мы должны исследовать одну важную тему. Когда ученые что-либо исследуют или делают открытие, они проверяют все, что связано с предметом их изучения. И мы, прежде чем узнать, что же это за тема, должны ее рассмотреть и сами открыть новое.
2. устный счет
Несколько заданий нам приготовил снеговик, но он пришел к нам до нашей экспедиции и от тепла успел растаять. Давайте поможем ему приобрести первоначальный вид– Итак, чтобы «скатать» первый ком, нужно узнать, чему равен Х
– Как будем рассуждать? (Надо сделать обратные операции).
– С какого числа начнем? (Со ста).
И т.д.
100-28/9+35=43
– Чему же равен Х? (ответ 43)
Учитель прикрепляет 1 ком снеговика.
– Снеговик дает каждому из вас индивидуальное задание: карточку реши, самопроверку проведи.
2 человека решают задание у доски, остальные работают по индивидуальным карточкам.
– Оцените себя, наклейте соответствующую по цвету звездочку на листок.
Учитель прикрепляет 2 ком снеговика.
– Ну что же? Это еще не все. В следующем задании наш снеговик задает вам задачу на смекалку.
– Незнайка посадил 50 семян гороха. Из каждого десятка не взошло 2 семени. Сколько всего семян не взошло?
Учитель прикрепляет 3 ком снеговика (голову).
– Посмотрите, не хватает головного убора. Вот он. Какой он формы? (Прямоугольной).
– Снеговик просит узнать, чему равен периметр его шляпы, если известно, что длина 17 см, ширина 13 см. (17+13*2=60 см)
Учитель прикрепляет шляпу.
– Ребята, а вам не кажется, что чего-то не хватает у нашего снеговика? (Носа).
– Из чего его делают? (Из моркови).
– Где же она? Чуть не потеряли! Смотрите-ка, и тут есть задание.
Один ученик читает.
– Из каких геометрических фигур я состою?
– Что такое окружность?
3. подготовка к изучению нового
– Наша экспедиция продолжается. Пока мы помогали снеговику, метелица делала свое дело, намела на нашем пути сугробы, снежные да глубокие. Их нам надо преодолеть, вспомнить, как мы делили сумму на число.
На доске рисунки двух сугробов с числовыми выражениями:
(4+16)/2 (решают первым способом)
(50+15)/5 (решают вторым способом, учитель спрашивает, сколько всего разделили, как делили?)
– Молодцы, справились с сугробами
4. Работа над новым материалом
Побуждение к осознанию противоречия.
– Но метелица не унимается, не хочет пускать нас к математическому полюсу. Пошёл снег. На снежинках числовые выражения, значения которых вам надо найти.
56:8 60:2 42:3
4*9 21*4 64:4
Дети находят значения выражений на первой и второй снежинках, а выражения на третьей снежинке вызывает у них затруднение.
– Ребята, вы можете выполнить задание? (Нет, мы ещё таких примеров не решали.)
– Каких примеров не решали? Почему здесь возникло затруднение? (Это внетабличное деление.)
– Значит, какие примеры мы будем сегодня решать? (На внетабличное деление двузначных чисел на однозначные.)
Здесь мы подошли к учебной проблеме, совпадающей с темой.
– Наша экспедиция подошла к своей цели. Сформулируйте тему урока.
Побуждение к выдвижению гипотезы.
– Итак, попробуем решить данный пример. Какие будут предложения, гипотезы? Как справиться с этой проблемой? (Если всё число не делится на данное, то надо разложить его на сумму.)
– На какую сумму?
Приходим к выводу, что на сумму удобных слагаемых.
– Какие слагаемые будут удобны?
Дети решают примеры, находящиеся на третьей снежинке только что открытым ими способом.
– А теперь продолжим нашу исследовательскую работу дальше. Составим программу наших действий на примере учебника. (Страница 13.) Закончи решение и объясни его.
– Мы уже приближаемся к математическому полюсу, становится холоднее. Давай те погреемся, «поиграем в снежки».
5. Физминутка
– Я называю число 72, тем самым « кидаю» один снежок, а вы «кидаете» в меня два, то есть представляете число 72 в виде суммы удобных слагаемых, чтобы легко его было разделить на 4, на3,на 6.
ДРУЖНО МЫ В СНЕЖКИ ИГРАЕМ!
Я ЧИСЛО ВАМ, ВЫ МНЕ – ДВА.
ОХ, ЗАБАВНАЯ ИГРА!
– Экспедиция продолжается. Выполним № 2 с объяснением.
6. Работа над пройденным материалом
Решение задачи № 3.
– Наша экспедиция подходит к концу, мы почти у цели, но по какой тропинке нам идти дальше? Дорогу к математическому полюсу мы узнаем, решив № 6. Ребята 1 варианта узнают длину красной ломаной, а ребята 2 варианта – длину синей. Какую тропинку выберем?
7. Подведение итогов
– Скоро уже дойдём до математического полюса.
– Какую тему мы сегодня исследовали?
– Сформулируйте вопросы по этой теме. ( Как разделить двузначное число на однозначное? Какие слагаемые должны быть в сумме? Какое свойство надо применить при делении? )
– Вот и математический полюс. Ой! Посмотрите, здесь числовые выражения, значения которых вам надо найти. Решите самостоятельно. Выполните самопроверку. Наклейте звёздочку.
– Дома вы продолжите свои исследования самостоятельно, закрепите приобретённые знания и выполните № 5.
– Итак, мы достигли математического полюса. На северном полюсе есть северное сияние, давайте, и мы на математическом полюсе зажжём своё сияние. Наклейте свои оценочные карточки на доску. Какой цвет преобладает? Молодцы! Урок окончен.
Список литературы
- .Мельникова Е.Л. Технология проблемного обучения // Школа 2100. Образовательная программа и пути её реализации. Выпуск 3. М, Баланс, 1999
Методика обучения решению комбинаторных задач (стр. 11 из 15)
6. Имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье. Сколько видов бутербродов можно приготовить?
7. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5 + 4 = 9 способами.
8. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина?
Решение: По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе пары (яблоко, апельсин), то ее, согласно правилу произведения, можно выбрать 5·4=20 способами.
9. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?
Решение: чтобы записать двузначное число, надо выбрать цифру десятков и цифру единиц. Согласно условию на месте десятков в записи может быть любая из цифр 7, 4 и 5. другими словами, выбрать цифру десятков можно тремя способами. После того, как цифра десятков определена, для выбора цифры единиц остается две возможности, цифры в записи числа не должны повторяться. Так как любое двузначное число – это упорядоченная пара, состоящая из цифр десятков и цифр единиц, то ее выбор, согласно правилу произведения, можно осуществить 3·2=6 способами.
10. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5?
Решение: в данной задаче рассматриваются трехзначные числа, так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. Поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то, согласно правилу произведения, его выбор можно осуществить 3·3·3=27 способами.
11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
Решение: Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо ноль, либо три, т.е. имеется два способа выбора. Цифру десятков можно выбрать двумя способами, цифру единиц – двумя. Чтобы узнать, сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3, согласно правилу произведения, способы выбора каждой цифры надо перемножить: 1·2·2·2=8. таким образом, имеем 8 четырехзначных чисел.
12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?
Решение: Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор можно также осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что трехзначных чисел можно образовать 5·5·4 = 100 способами.
13. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
14. Сколько можно составить пар, выбирая:
а) первый предмет из 4, а второй из 8;
б) первый предмет из 6, а второй из 3;
в) первый предмет из 15, а второй из 12;
15. В школе есть все классы с 1 по 11. каждый из них имеет дополнительную букву «а», «б», «в», «г» или «д». сколько всего классов в этой школе?
16. на каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 9. автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?
17. Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше – подаренных открыток или подаренных гвоздик?
18. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?
19. Укажите все способы, какими можно разложить три яблока в две вазы (учтите при этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).
20. Составьте все возможные двузначные числа, используя в записи указанные цифры не более одного раза:
а) 1, 6, 8; б)0, 3, 4.
21. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что:
а) цифры в числе не повторяются;
б) допускается повторение цифр в числе.
22. Используя цифры 0, 2, 4, 6, составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.
23. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
24. В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?
25. При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
26. Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 человека?
27. На входной двери дома установлен домофон, на котором нанесены цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. каждая квартира получает кодовый замок из двух цифр типа 0-2, 3-7, 7-3, 8-8 и т.п., позволяющий открывать входную дверь. Хватит ли кодовых замков для всех квартир дома, если в доме 96 квартир?
28. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?
29. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать ответ, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
Решение. Первое блюдо можно выбрать 3 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 возможностей выбора второго блюда. Значит, первые два блюда можно выбрать 3·5 способами. Наконец, для каждого выбора третьего блюда, т.е. существует 3·5·2 способов составления обеда из трех букв. Итак, обед из трех букв может быть составлен 30 способами.
30. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы и две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
2. Перестановки
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.
Рассмотрим пример 1. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).
Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.
Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что
Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.
Расположив множители в порядке возрастания, получим
Pn = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.
Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).
Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!
Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.
По определению считают, что 1!=1.
Применение данной формулы иллюстрируется в пособии следующими примерами.
Пример 2. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.
Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.
Пример 3. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел (без повторения цифр), которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, равно Р4 – Р3. Получаем, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18.
Пример 4. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг это можно сделать Р6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению Р6·Р4 = 6! ·4! = 720·24 = 17280.
Спец. Номера
Мы получили массу хороших решений по Эта проблема.
Эйлин, Бекка и Паулина от Уолтера Школа Дж. Патона рассказала, как они пришли к Решение:
Было очень интересно разобраться в задаче «Специальные числа». В
Во-первых, мы не поняли, что это значит. Но через некоторое время
полагая, мы заметили закономерность. Вот что мы сделали:
Мы просто попробовали случайные числа и нашли число 18. Это было
только 1, поэтому мы попробовали 19.
Сумма 1 + 9 была 10, а произведение 1×9 было 9.
После этого мы сложили 10 + 9 и получилось 19!
Это был наш исходный номер!
Мы нашли специальный номер!
Но возник еще один вопрос: есть ли более одного
специальные номера?
По мере того, как мы пытались выяснить больше, мы попробовали число 29.
Это тоже сработало!
После небольшого наблюдения мы заметили, что 9 было в единицах (единицах) ставьте оба раза!
Мы пробовали больше чисел, таких как 39, 49 и так далее.
Те все заработали! Мы нашли выкройку!
Вот как мы решили эту проблему.
Джозеф, из той же школы, и Мэй, из
Средняя школа Heartlands показала несколько примеров,
работало:
29:
2 + 9 = 11
2 x 9 = 18
11 + 18 = 29
39:
3 + 9 = 12
3 x 9 = 27
12 + 27 = 39
49:
4 + 9 = 13
4 x 9 = 36
13 + 36 = 49
59:
5 + 9 = 14
5 x 9 = 45
14 + 45 = 59
69:
6 + 9 = 15
6 x 9 = 54
15 + 54 = 69
Джоанна, Софи и Габи из Kings Sutton Начальная школа обнаружила эти числа, а затем перешла к другим наборы специальных двузначных чисел:
В первой задаче мы разделили числа на троих.
и работал над разными разделами.Джоанна начала с 0 до 33,
Софи сделала 34–66, а Габи сделала все остальное.
Габи обнаружила, что 69 работало, и примерно в то же время Джоанна обнаружила, что
19 работали. Тогда мы решили попробовать каждое двузначное число, оканчивающееся на
а 9. Все работали.
Алгебра была немного сложной, поэтому мы рассмотрели вторую часть и вот что мы нашли:
Мы обнаружили, что если вы удвоите десятки, то единицы должны быть 8, и если вы утроите десятки, оно должно закончиться на 7.
Затем мы заметили закономерность, поскольку число, которое мы умножаем на, увеличивается.
значение единиц уменьшается.
Мы проверили нашу гипотезу и обнаружили, что она работает.
Эдди из школы Вильсона действительно использовал
алгебра, чтобы объяснить его результаты:
Во-первых, чтобы упростить решение этой проблемы, мы можем использовать алгебру.
Это означает замену первой цифры специального номера (
цифру десятков) вместо ‘а’ и подставив вторую цифру (единицы
цифра) вместо ‘b’.
Итак, произведение цифр (ab) + сумма цифр (a + b) должно равняться исходному числу (10a + b).
В виде уравнения это записывается как:
ab + a + b = 10a + b.
Если убрать букву «b» с обеих сторон, это равняется:
ab + a = 10a
Тогда, если вы уберете по одной букве «а» с обеих сторон, вы получите:
ab = 9a
Это потому, что 10 лотов из «а» убрать одну партию из «а» – это 9 лотов
(9а).
Это можно записать как: b x a = 9 x a.
Следовательно, когда мы разделим обе стороны на «a», мы получим:
b = 9
Это означает, что вторая цифра (b) специального числа должна равняться 9.
Теперь мы можем проверить, работает ли это.
Давайте заменим 1 на a и b на 9:
1 x 9 + 1 + 9 = 10 x 1 + 9
19 = 19
Это работает.
Теперь замените «a» на 2:
2 x 9 + 2 + 9 = 10 x 2 + 9
29 = 29
Работает ли 3?
3 x 9 + 3 + 9 = 10 x 3 + 9
39 = 39
И так далее.
4, 5, 6, 7, 8 и 9 тоже работают.
Теперь я объясню, почему специальные числа увеличиваются на 10:
Если «a» равно 1, а «b» равно 9, то число равно 19.
Замены выше показывают, что это работает.
Если «а» равно 2, то число 29 (на 10 больше, чем на 19).
Разница между 1 x 9 и 2 x 9 равна +9,
, а разница между 1 + 9 и 2 + 9 равна +1.
Сложите разницу, чтобы получить общую разницу в +10.
Повторите этот абзац с двумя последовательными цифрами в шаблон, и вы обнаружите, что он работает.
Бен Пейдж из средней школы Хедерсетт
также использовал некоторые алгебры, чтобы объяснить свои результаты:
1×9 + 1 + 9 = 19
2×9 + 2 + 9 = 29
3×9 + 3 + 9 = 39
4×9 + 4 + 9 = 49
5×9 + 5 + 9 = 59
6×9 + 6 + 9 = 69
7×9 + 7 + 9 = 79
8×9 + 8 + 9 = 89
9×9 + 9 + 9 = 99
ab + a + b = 10a + b
ab + a = 10a
ab = 9a
b = 9
Таким образом, все двухзначные “специальные числа” заканчиваются на 9.
Джейми из школы Mold Alun объяснил, почему
специальные числа увеличены на 10:
Любое двузначное число, оканчивающееся на 9, является одним из специальных чисел.
Начиная с 19 у вас есть
1 + 9 = 10 и 1×9 = 9
10 + 9 = 19
Если вы увеличиваете 19 на 10, сумма увеличивается на 1 и произведение увеличивается на 9, давая вам дополнительные 10, необходимые для следующее число, 29.
Каждый раз, когда вы увеличиваете предыдущее специальное число на 10, сумма увеличивается на 1, а произведение увеличивается на 9, что дает вам дополнительную 10 нужно составить следующее число.
например для 29:
2 + 9 = 11, на 1 больше суммы цифр 19,
и 2 x 9 = 18, на 9 больше, чем произведение цифр в 19.
Лена из SHHS нашла два набора особый
числа:
Выражение для двузначного числа – 10a + b.
Чтобы решить первое специальное число, вы создаете алгебраический
уравнение.
Вам нужно добавить сумму двух цифр к произведению двух
цифры, чтобы получить исходный номер.
Уравнение выглядит так:
10a + b = a + b + ab
9a + b = b + ab
9a = ab
b = 9
Итак, теперь вы знаете, что единица измерения двузначного числа всегда будет
быть 9.
Другое специальное число может заключаться в добавлении удвоенной цифры десятков к
цифру единиц измерения, затем добавьте ее к произведению цифр и
это возвращает исходное число.
Уравнение будет выглядеть так:
10a + b = 2a + b + ab
8a + b = b + ab
8a = ab
b = 8
Итак, вы знаете, что вторая цифра в двузначном числе будет
всегда быть 8.
Например, 28 – это особое число, потому что
2×2 + 8 + 2×8 = 12 + 16 = 28
Джозеф из Grammar School Уилсона выбрал
ab для представления двузначного числа и показал, как найти специальные
числа, удовлетворяющие различным критериям:
a + b + ab = 10a + b
a + b – b + ab = 10a
a + ab = 10a
ab = 10a – a
ab = 9a
b = 9
Итак специальные числа: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
2a + b + ab = 10a + b
2a + ab = 10a
ab = 10a – 2a
ab = 8a
b = 8
Таким образом, в этом случае специальные числа 18, 28, 38, 48, 58, 68,
78, 88, 98
3a + b + ab = 10a + b
3a + ab = 10a
ab = 10a – 3a
ab = 7a
b = 7
Таким образом, в этом случае специальные числа 17, 27, 37 , 47, 57, 67, 77,
87, 97
4a + b + ab = 10a + b
4a + ab = 10a
ab = 10a – 4a
ab = 6a
b = 6
Таким образом, в этом случае специальные числа – 16, 26, 36, 46 , 56, 66, 76,
86, 96
5a + b + ab = 10a + b
5a + ab = 10a
ab = 10a – 5a
ab = 5a
b = 5
Таким образом, в этом случае специальные числа 15, 25, 35, 45 , 55, 65, 75,
85, 95
Раджив из Галантереи “Мальчики Аске” Школа нашла общее правило:
Когда цифра десятков умножается n раз, единицы цифра специальных номеров будет 10-n.
Макс из Twyford C of E High School приехал в
тот же вывод:
Когда это двойная цифра десятков, вы убираете 2 из 10, и это
дает вам значение цифры единиц специальных чисел.
Если получится 3 раза, 4 раза и т. Д., Вы просто вычтите его от 10 до
даст вам значение цифры единиц специальных чисел.
Молодец.
Magic 9 – математика
The Магия числа 9
1. F индекс Цифровые корни по кастингу 9
Что такое цифровой корень?
Если мы складываем цифры числа, пока не останется только одно число мы нашли то, что называется цифровым корнем. Другими словами, сумма цифр числа называется его цифровой корень.
Пример:
Для 5674 5 + 6 + 7 + 4 = 22 и 2 + 2 = 4
4 – цифровой корень 5674
Один цифровые корни используются для тестов на делимость (например, 3 и 9). Этот метод упрощает вычисление цифрового корня.
Пример:
Пример:
Найдите цифровой корень 257520643
Шагов:
1.2 + 7 = 9, 2 и 7 зачеркнуть.
2,4 + 3 = 9, зачеркнуть 4, 3 и 2.
3. Других групп чисел с суммой до 9 нет.
4. сложите оставшиеся цифры, 5 + 5 + 0 + 3 = 13.
5,13 больше 9, поэтому 1 + 3 = 4.
6. Цифровой корень – 4.
Если ничего не осталось после изгнания девяток, тогда цифровой корень – 9.
2. он мне не нравится, почему он следует за мной?
В в приведенной ниже таблице, умноженной на девять, обратите внимание, что цифры суммы каждого продукта до девяти. Почему это случаться? Посмотрите, как цифры продукта меняются каждый раз.
I хотел бы сказать классу, что по какой-то причине (Пурани душмани) Мне не нравится Нет.9, поэтому, чтобы избавиться от него, я умножаю его на 5, получаем 45, что составляет 4 + 5 = 9, тогда я смотрю в небо, закатываю глаза и говорю о о, он снова пришел!
Тогда Я говорю хорошо, позволь мне умножить его на 7. Опыт повторяется. К этому времени студенты уже поняли и хотят, чтобы я умножьте на 8, на 9, на 15 и так далее.
3. обратный Стол
Запишите таблицу умножения 9 и поменять местами значение каждого полученного числа. Соблюдайте закономерность. Как это увлекательно!
Do вы думаете, это сработает для таблицы 8? Пытаться!
4. Змея ест свой хвост
Думай двузначного числа, скажем 42, затем вычтите обратную сторону его цифры, 24, из 42
Выбрать любые две цифры числа и для каждой из них переверните цифры и вычтите меньшее число от большего. Посмотрите на все ответы, которые вы получите. Есть ли у всех общий делитель? К чему складываются цифры каждый раз?
Некоторые Примеры:
Вы видеть как это увлекательно и приятно. В каждом случае разница составляет делится на 9 (т.е. общий множитель равен 9) и сумма цифр разницы всегда 9.
Do вы думаете, что это также будет работать для трехзначного числа или четырехзначного числа количество. Попробуйте!
5. Взять 9 и добавьте к нему любое число.
Что вы наблюдали:
The сумма цифр числа, сложенного с 9, всегда равна сумме цифр результата.
Take любое четырехзначное число и попробуйте.
6. Рука Калькулятор
Ваш друзья удивляются, когда вы волшебным образом превращаете свои руки в калькулятор и умножай на пальцах!
Материалы: Ручка
Препарат
Ничья эти ключи калькулятора на ладони с шариковой ручкой.
Презентация
Скажите ваш друг, что она может умножить на 9 на ваших руках так же, как она на обычном калькуляторе. После она вводит числа и нажимает (=) , просто наклонитесь над пальцем, умноженным на 9. Поднятые пальцы говорят ей ответ!
7. Вычитание Колдовство
Вы попросите друга поработать на калькуляторе задачу на вычитание. После того, как она скажет вам одну цифру ответа, вы сможете разглашу весь ответ!
Материалы
А калькулятор Бумага и карандаш
Наконец, попросите ее назвать вам первую или последнюю цифру отвечать.Теперь вы можете разгласить весь ответ!
Как Сделай это
Здесь все возможные ответы, когда вы вычитаете два трехзначных числа как описано.
99 198 297 396 495 594 693 792 891
( 0 99)
Уведомление что средняя цифра всегда 9 и что сумма первой цифры а последняя цифра – 9.Так просто вычтите то, что ваш друг говорит вам, из 9, чтобы получить недостающее цифра.
Исключение
Если ваш друг говорит вам, что первая или последняя цифра 9, ее ответ будет 99.
8. Литье из девяток
Кастинг из девяток, многократно вычитая 9, пока оставшаяся часть осталось меньше 9, или, что то же самое, деление на 9, а остальное можно сделать до странности простым способом. Остаток после деления числа на 9 будет таким же. как сумма цифр (или, когда эта сумма дает число с двумя цифры сумма этих цифр). Поскольку остаток, а не количество девяток – это то, что вы после того, как вы можете прийти к нему напрямую. Вот два примера:
В ролях девятки из 67 и найти остаток.
Сколько существует двузначных целых чисел?
Метод представления чисел и работы с ними известен как система счисления.Система счисления – это система записи чисел. Это математическое обозначение, используемое для представления чисел данного набора с помощью цифр или других символов. Это позволяет нам выполнять арифметические операции, такие как деление, умножение, сложение и вычитание.
Что такое числа?
Вниманию читателя! Все, кто говорит, что программирование не для детей, просто еще не встретили подходящих наставников. Присоединяйтесь к демонстрационному классу для курса «Первый шаг к программированию», специально разработан для учащихся 8–12 классов.
Студенты смогут больше узнать о мире программирования в этих бесплатных классах , которые определенно помогут им сделать правильный выбор карьеры в будущем.
Числа используются в различных арифметических значениях, применимых для выполнения различных арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и т. Д., Которые применимы в повседневной жизни для целей вычислений. Ценность числа определяется цифрой, его разрядами в числе и основанием системы счисления.
Числа, также известные как числа, представляют собой математические значения, используемые для подсчета, измерений, маркировки и измерения основных величин.
Числа – это математические значения или числа, используемые для измерения или расчета величин. Он представлен цифрами как 2,4,7 и т. Д. Некоторыми примерами чисел являются целые числа, целые числа, натуральные числа, рациональные и иррациональные числа и т. Д.
Типы чисел
Существуют различные типы чисел, разделенных на наборы. по системе счисления.Типы описаны ниже:
- Натуральные числа: Натуральные числа – это положительные счетные числа, которые считаются от 1 до бесконечности. Подмножество не включает дробные или десятичные значения. Набор натуральных чисел представлен « N ». Это числа, которые мы обычно используем для подсчета. Набор натуральных чисел может быть представлен как N = 1,2,3,4,5,6,7, ……………
- Целые числа: Целые числа – положительные натуральные числа, включая ноль, который отсчитывается от 0 до бесконечности.Целые числа не включают дроби и десятичные знаки. Набор целых чисел представлен « W ». Набор может быть представлен как W = 0,1,2,3,4,5, ………………
- Целые числа: Целые числа – это набор чисел, включающий все положительные счетные числа, ноль, а также все отрицательные счетные числа, которые считаются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. В наборе нет дробей и десятичных знаков. Набор целых чисел обозначается « Z ». Набор целых чисел можно представить как Z = ……….., – 5.-4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5, ………….
- Десятичные числа: Любое числовое значение, состоящее из десятичной точки, является десятичным числом. В некоторых случаях он также может быть выражен в дробной форме. Оно может быть выражено как 2,5,0,567 и т. Д.
- Действительное число: Действительные числа – это заданные числа, не содержащие мнимых значений. Он включает в себя все положительные целые числа, отрицательные целые числа, дроби и десятичные значения. Обычно обозначается как « R ».
- Комплексное число: Комплексные числа – это набор чисел, который включает мнимые числа. Его можно выразить как a + bi, где «a» и «b» – действительные числа. Он обозначается как « C ».
- Рациональные числа: Рациональные числа – это числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. Он включает в себя все целые числа и может быть выражен в виде дробей или десятичных знаков. Он обозначается как « Q ».
- Иррациональные числа: Иррациональные числа – это числа, которые нельзя выразить дробями или отношениями целых чисел.Он может быть записан в десятичном формате и содержать бесконечные неповторяющиеся цифры после десятичной точки. Обозначается он « P ».
Что такое целые числа?
Целые числа – это числа без дробей, представляющие собой набор натуральных чисел от 0 до бесконечности. Все целые числа записаны в числовые строки. Все целые числа являются действительными числами, но мы не можем сказать, что все действительные числа являются целыми числами. Целые числа не могут быть отрицательными. Целые числа представлены символом «W».
Примеры целых чисел
0, 10, 12, 56 и 100 и т. Д. Все являются примерами целых чисел.
Сколько существует двузначных целых чисел?
Ответ:
Целые числа представляют собой набор действительных чисел, который включает ноль и все положительные счетные числа. При этом исключает дроби, отрицательные целые числа, дроби и десятичные дроби.
Целые числа – это числа, начинающиеся с 0 и заканчивающиеся на бесконечность. Двухзначные целые числа начинаются с 10 и заканчиваются 99, поскольку 100 – это трехзначное число.Эти числа:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 и 99
Всего 101 число от 0 до 100. Для подсчета все 2-значные целые числа, мы должны удалить все 1-значные и 3-значные числа из подсчета первых 100 чисел.
Всего однозначных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т.е. ‘ 10 ‘, 1-значных чисел
Всего трехзначных чисел: 100, т.е. ‘ 1 ′ 3-значное число
Следовательно, количество двузначных целых чисел составляет 101 – 10 – 1 = 90
Следовательно, всего имеется 90 двузначных целых чисел.
Подобные вопросы
Вопрос 1. Может ли квадратный корень быть целым числом?
Ответ:
Да, если квадратный корень является точным квадратом любого действительного числа, тогда квадратный корень может быть целым числом.
Вопрос 2: Какие целые числа от 1 до 10?
Ответ:
Целые числа от 1 до 10 будут включать 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9
Вопрос 3. Является ли 6 целым числом?
Ответ:
Поскольку целые числа представляют собой набор действительных чисел, который включает ноль и все положительные счетные числа, 6 также является целым числом.
Вопрос 4. Каковы целые числа от 15 до 25 (включая оба)?
Ответ:
Целые числа от 15 до 25, включая 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 и 25
Как мы узнаем, если Число делится на 4?
В этом посте мы узнаем критерии делимости числа 4 и поймем, как они работают.
Критерии делимости числа 4 – это правила, позволяющие узнать, можно ли разделить число на 4. Их легко выучить, и их объяснения легко понять.
Как узнать, делится ли число на 4?
Если число можно выразить путем умножения другого числа на 4, оно делится на 4.
Вам необходимо знать несколько свойств умножения: ассоциативное и распределительное. Если вы не совсем понимаете их, вы можете просмотреть их в этом посте.
Критерии деления одно- и двузначных чисел на 4
Во-первых, мы собираемся узнать, как определить, соответствует ли одно- или двузначное число критерию делимости на 4. Легко: это когда мы делим и видим, что остаток равен нулю.
Например: 24 делится на 4?
Да, потому что, когда мы делим 24 на 4, частное равно 6, а остаток равен 0.
24 = 6 х 4
Критерии деления трех- и четырехзначных чисел на 4
Чтобы трех- или четырехзначное число делилось на 4, оно должно удовлетворять одному из двух условий:
- Последние две цифры равны нулю .
- Последние две цифры делятся на 4.
Например: делятся ли 500 и 339 на 4?
500 делится на четыре, потому что его последние две цифры равны нулю.
339 не делится на четыре, потому что 39 (его последние две цифры) – нет.
Применение известных нам правил, чтобы увидеть, соблюдаются они или нет, помогает нам определить, делится ли число на четыре. Но мы не знаем рассуждений, давайте продолжим и попробуем разобраться.
Объяснение критериев деления числа на 4
Как возможно, что два простых правила могут сказать нам, соответствует ли число критерию делимости на 4? Откуда эти правила?
Причина очень проста, и мы собираемся объяснить ее в три этапа.
Мы начинаем с наименьшего возможного числа, которое имеет ноль в качестве последних двух цифр, 100. Если мы разделим 100 на 4, получится 25, а остаток – 0. 100 делится на 4 .
100 = 25 х 4
- Числа больше 100 с нулем в последних двух цифрах.
Все числа, последние две цифры которых содержат ноль, можно выразить умножением другого числа на 100. Мы выберем одно, например, 4300.
4,300 = 43 х 100
Поскольку мы знаем, что 100 делится на четыре, мы также можем сказать, что 4300 делится. Вот математическое объяснение:
4300 = 43 x 100 = 43 x (25 x 4) = (43 x 25) x 4 = 1075 x 4
Мы можем использовать ту же операцию для любого числа, имеющего эти характеристики. Таким образом, мы обнаруживаем первое правило: любое число, которое имеет ноль в качестве последних двух цифр, делится на 4.
Для всех остальных чисел, тех, которые больше ста и тех, у которых нет нуля в последних двух цифрах, мы можем применить процесс, аналогичный упомянутому ранее.Их можно выразить как сумму числа с нулем в последних двух цифрах и еще одного числа. Возьмем случайное число, например 6 548.
6,548 = 6,500 + 48
Поскольку мы знаем, что 6500 делится на 4, мы не должны забывать проверять, делится ли 48 тоже. Ну да, две последние цифры делятся на 4.
48 = 12 х 4
Итак, мы можем выразить это следующим образом:
6548 = 6500 + 48 = (65 х 100) + 48 =
= (65 х 25 х 4) + (12 х 4) = (1,625 х 4) + (12 х 4) =
= (1,625 + 12) х 4 = 1,637 х 4
Вот как мы понимаем второе правило: любое число делится на 4, если его последние две цифры делятся на 4.
Заключение
Нам не нужно проходить все этапы этого процесса каждый раз, когда нам нужно знать, делится ли число на четыре. Мы узнали необходимые критерии для деления числа на 4, но понимание этого помогает понять, почему эти критерии существуют, и если однажды мы забудем какой-либо из них … Я уверен, что мы вспомним, откуда они взялись!
Чтобы по-настоящему понять критерии, которые мы узнали о делении на 4, возможно, вы хотели бы обновить, как делить на 3-значное число.
Если вы хотите узнать больше о материалах по начальной математике, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте бесплатно.
Подробнее:
Развлечение – любимый способ обучения нашего мозга
Дайан Акерман
Smartick – увлекательный способ изучения математики- 15 веселых минут в день
- Адаптируется к уровню вашего ребенка
- Миллионы учеников с 2009 года
Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.
Ментальная математика – БУДЬТЕ ИЛИ B2: КВАДРАТ ДВУХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Я рад представить новую функцию CompAct. Начиная с этого выпуска, мы будем включать отрывки из книги «Секреты ментальной математики: руководство по математическим вычислениям и удивительным математическим трюкам» Артура Бенджамина и Майкла Шермера. Random House, Inc. любезно предоставила нам разрешение воспроизводить отрывки из этой книги каждый квартал в CompAct. Большая часть знаний, которые можно почерпнуть из этой книги, зависит от накопления определенных навыков в предыдущих главах; однако я постараюсь включить отдельные разделы.Приведенный ниже выбор включает упрощенный метод вычисления квадрата двузначного числа, основанный на некоторой базовой алгебре.
—Пол Рамирес, соредактор
Возведение чисел в квадрат (умножение числа на само) – один из самых простых, но самых впечатляющих умений, которые вы можете сделать в мысленном вычислении. Я до сих пор помню, где был, когда узнал, как это делать. Мне было 13 лет, я ехал в автобусе навестить отца на работе в центре Кливленда. Я часто совершал это путешествие, поэтому мои мысли начали блуждать.Не знаю почему, но я начал думать о числах, которые в сумме дают 20, и мне стало интересно, насколько большим может быть произведение двух таких чисел?
Я начал с середины с 10 × 10 (или 10 2 ), произведение которого равно 100. Затем я умножил 9 × 11 = 99, 8 × 12 = 96, 7 × 13 = 91, 6 × 14. = 84, 5 × 15 = 75, 4 × 16 = 64 и т. Д. Я заметил, что продукты становились все меньше, и их разница от 100 составляла 1, 4, 9, 16, 25, 36,… – или 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6 2 ,… (см. Таблицу ниже).
Числа, которые добавляют к 20 | Расстояние от 10 | Их продукт | Отличие товара от 100 | |
---|---|---|---|---|
10 | 10 | 0 | 100 | 0 |
9 | 11 | 1 | 99 | 1 |
8 | 12 | 2 | 96 | 4 |
7 | 13 | 3 | 91 | 9 |
6 | 14 | 4 | 84 | 16 |
5 | 15 | 5 | 75 | 25 |
4 | 16 | 6 | 64 | 36 |
3 | 17 | 7 | 51 | 49 |
2 | 18 | 8 | 36 | 64 |
1 | 19 | 9 | 19 | 81 |
Этот узор меня поразил.Затем я попробовал числа, которые складываются с 26, и получил аналогичные результаты. Сначала я вычислил 13 2 = 169, затем вычислил 12 × 14 = 168, 11 × 15 = 165, 10 × 16 = 160, 9 × 17 = 153 и так далее. Как и раньше, расстояния, на которые эти продукты были от 169, составляли 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 и так далее (см. Таблицу ниже).
На самом деле существует простое алгебраическое объяснение этого явления (см. Почему эти уловки работают). В то время я недостаточно хорошо знал свою алгебру, чтобы доказать, что эта закономерность всегда будет иметь место, но я экспериментировал с достаточным количеством примеров, чтобы убедиться в этом.
Затем я понял, что этот шаблон может помочь мне легче возводить числа в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Вместо умножения 13 × 13,
Числа, которые добавляют к 26 | Расстояние от 13 | Их продукт | Отличие товара от 169 | |
---|---|---|---|---|
13 | 13 | 0 | 169 | 0 |
12 | 14 | 1 | 168 | 1 |
11 | 15 | 2 | 165 | 4 |
10 | 16 | 3 | 160 | 9 |
9 | 17 | 4 | 153 | 16 |
8 | 18 | 5 | 144 | 25 |
Почему бы не получить приблизительный ответ, используя два числа, которые легче умножить, но при этом добавить к 26? Я выбрал 10 × 16 = 160.Чтобы получить окончательный ответ, я просто добавил 32 = 9 (поскольку 10 и 16 – это каждые 3 от 13). Таким образом, 132 = 160 + 9 = 169. Отлично!
Схема этого метода выглядит следующим образом:
Теперь посмотрим, как это работает для другого квадрата:
Чтобы возвести в квадрат 41, вычтите 1, чтобы получить 40, и добавьте 1, чтобы получить 42. Затем умножьте 40 × 42. Не паникуйте! Это просто замаскированная задача умножения 2 на 1 (в частности, 4 × 42). Поскольку 4 × 42 = 168, 40 × 42 = 1680. Почти готово! Все, что вам нужно сложить, – это квадрат 1 (число, на которое вы пошли вверх и вниз от 41), что даст вам 1680 + 1 = 1681.
Можно ли возвести в квадрат двузначное число так просто? Да, с помощью этого метода и небольшой практики это возможно. И это работает независимо от того, округляете ли вы сначала в меньшую или большую сторону. Например, давайте рассмотрим 77 2 , вычислив его как округлением в большую, так и в меньшую сторону:
или
В этом случае преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически закончили, как только завершили задачу умножения, потому что к числу, оканчивающемуся на 0, просто прибавить 9!
На самом деле, для всех двузначных квадратов я всегда округляю в большую или меньшую сторону до ближайшего числа, кратного 10.Итак, если число, которое нужно возвести в квадрат, оканчивается на 6, 7, 8 или 9, округляйте в большую сторону, а если число, которое нужно возвести в квадрат, заканчивается на 1, 2, 3 или 4, округляйте в меньшую сторону. (Если число заканчивается на 5, вы делаете и то, и другое!) С помощью этой стратегии вы добавите только числа 1, 4, 9, 16 или 25 к вашему первому вычислению.
Давайте попробуем другую задачу. Вычислите в уме 56 2 , прежде чем смотреть, как мы это сделали, ниже:
Возвести в квадрат числа, оканчивающиеся на 5, еще проще. Поскольку вы всегда будете округлять в большую и меньшую сторону на 5, оба числа для умножения будут кратны 10.Следовательно, умножение и сложение особенно просты. Мы отработали 85 2 и 35 2 , ниже:
Как вы видели в главе 0, когда вы возводите в квадрат число, оканчивающееся на 5, округление вверх и вниз позволяет сразу выпалить первую часть ответа, а затем закончить ее числом 25. Например, если вы хотите вычислить 75 2 , округляя до 80 и до 70, вы получите «Пятьдесят шестьсот… двадцать пять!»
Для чисел, оканчивающихся на 5, у вас не должно возникнуть проблем с победой кого-нибудь с помощью калькулятора, а немного потренировавшись с другими квадратами, скоро вы сможете обыграть калькулятор с любым двузначным квадратным числом.Не стоит опасаться даже большого числа. Вы можете попросить кого-нибудь дать вам действительно большое двузначное число, что-то около 90-х, и это будет звучать так, как будто вы выбрали невозможную задачу для вычисления. Но на самом деле это еще проще, потому что они позволяют округлить до 100.
Допустим, ваша аудитория дает вам 96 2 . Попробуйте сами, а потом проверьте, как мы это сделали.
Разве не все было просто? Вы должны были округлить в большую сторону от 4 до 100 и от 4 до 92, а затем умножить 100 × 92, чтобы получить 9200.На этом этапе вы можете сказать вслух: «Девяносто двести», а затем закончить словами «Шестнадцать» и наслаждаться аплодисментами!
Почему эти уловки работают
Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любителей математики и всех, кому интересно, почему наши методы работают. Некоторые люди могут найти теорию столь же интересной, как и ее применение. К счастью, вам не нужно понимать, почему работают наши методы, чтобы понимать, как их применять. У всех фокусов есть рациональное объяснение, и математические фокусы ничем не отличаются.Именно здесь математик раскрывает свои самые сокровенные секреты!
В этой главе, посвященной задачам умножения, закон распределения – это то, что позволяет нам разбивать задачи на их составные части. Распределительный закон гласит, что для любых чисел a, b и c:
(b + c) × a = (b × a) + (c × a)
То есть внешний термин a распределяется или применяется отдельно к каждому из внутренних терминов b и c. Например, в нашей первой мысленной задаче умножения 42 × 7 мы пришли к ответу, рассматривая 42 как 40 + 2, а затем распределив 7 следующим образом:
42 × 7 = (40 + 2) × 7 = (40 × 7) + (2 × 7) = 280 + 14 = 294
Вы можете задаться вопросом, почему вообще действует закон о распределении.Чтобы понять это интуитивно, представьте, что у вас есть 7 сумок, каждая из которых содержит 42 монеты, 40 из которых золотые и 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Есть два способа прийти к ответу. Во-первых, по самому определению умножения есть монеты 42 × 7. С другой стороны, есть золотые монеты 40 × 7 и серебряные монеты 2 × 7. Следовательно, всего у нас есть (40 × 7) + (2 × 7) монет. Ответив на наш вопрос двумя способами, мы получаем 42 × 7 = (40 × 7) + (2 × 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми числами (a, b или c), и применима та же логика.Вот почему действует закон распределения!
Используя аналогичные рассуждения для золотых, серебряных и медных монет, мы можем получить:
(b + c + d) × a = (b × a) + (c × a) + (d × a)
Следовательно, чтобы решить задачу 326 × 7, мы разбиваем 326 на 300 + 20 + 6, а затем распределяем 7 следующим образом: 326 × 7 = (300 + 20 + 6) × 7 = (300 × 7) + (20 × 7) + (6 × 7), которые затем складываем, чтобы получить ответ. Что касается возведения в квадрат, следующая алгебра оправдывает мой метод. Для любых чисел A и d
A2 = (A + d) × (A – d) + d 2
Здесь A – возведенное в квадрат число; d может быть любым числом, но я выбрал расстояние от A до ближайшего числа, кратного 10.Следовательно, для 77 2 я установил d = 3, и наша формула говорит нам, что 772 = (77 + 3) × (77 – 3) + 32 = (80 × 74) + 9 = 5929. Следующее алгебраическое соотношение также работает, чтобы объяснить мой метод возведения в квадрат:
(z + d) 2 = z 2 + 2zd + d 2 = z (z + 2d) + d 2
Следовательно, в квадрате 41 мы устанавливаем z = 40 и d = 1, чтобы получить:
41 & sup2 = (40 + 1) 2 = 40 × (40 + 2) + 1 2 = 1681
Аналогично (z – d) 2 = z (z – 2d) + d 2
Чтобы найти 77 2 , когда z = 80 и d = 3,
77 & sup2 = (80-3) 2 = 80 × (80-6) + 3 2 = 80 × 74 + 9 = 5929
Что на самом деле означают номера автомагистралей – Большой Вашингтон
Изображение автора.
Почему I-95 называется I-95? А как насчет I-395, I-270 или I-66? За всем этим стоит логическая система, которой легко научиться.
Во-первых, сколько цифр
Число цифр говорит вам, соединяет ли межгосударственная автомагистраль несколько районов метро или существует только в пределах одной зоны метро. Межгосударственные автомагистрали с одно- и двузначным обозначением охватывают несколько регионов, а межштатные автомагистрали с тремя цифрами более локальны. Остальная часть системы вытекает из этой основной отправной точки.
Однозначная / двузначная система
Есть три фактора, которые влияют на определение числа для двузначного межгосударственного сообщения:
- Дороги с востока на запад получают четные номера, а дороги с севера на юг – нечетные.
- Наименьшие числа начинаются на юге и западе и становятся выше по мере продвижения на север и восток.
- На наиболее важных межштатных автомагистралях есть числа, делящиеся на пять, что означает, что они оканчиваются нулем или пятью.
Таким образом, например, название I-95 было зарезервировано для самой дальней на востоке главной национальной межгосударственной межгосударственной магистрали, которая пересекает маршрут с севера на юг. Точно так же название I-10 было зарезервировано для самой дальней южной магистрали между штатами, пересекающей маршрут с востока на запад.
Вы можете увидеть, как это работает, на этой карте, на которой показаны только «ноль» и «пять» основных автомагистралей:
Изображение автора.
Меньшие двузначные межгосударственные районы – те, которые заканчиваются цифрами, отличными от нуля или пяти, – действительно следуют тому же географическому правилу восток-запад / север-юг, но гораздо более свободно. Диагональные автомагистрали не всегда вписываются в систему, и поскольку некоторые автомагистрали были добавлены в сеть после ее первоначального строительства, движение в точном порядке не всегда было возможным.
Например, автомагистраль I-99 не была обозначена до 1998 года и проходит в центральной Пенсильвании, к западу от автомагистрали I-95.
Короткая и бесславная I-99, показанная красным. Изображение в общественном достоянии.
Основные двузначные межгосударственные сообщения (пятерки и нули) имеют уникальные номера; есть только одна автомагистраль I-95, только одна I-70 и т. д. Но меньшие двузначные числа могут повторяться, пока они находятся далеко друг от друга. Например, есть отдельные автомагистрали I-76 в Пенсильвании и Колорадо и отдельные автомагистрали I-87 в Нью-Йорке и Северной Каролине.
Есть несколько очень коротких двухзначных межштатных автомагистралей, которые, вероятно, должны были получить вместо них трехзначные числа. Вышеупомянутая автомагистраль I-87 Северной Каролины имеет длину всего 13 миль, в то время как I-97 Мэриленда, которая соединяет Балтимор с Аннаполисом, имеет длину менее 18.
Трехзначная система
Трехзначные межгосударственные маршруты – это более короткие маршруты, которые обслуживают отдельные районы метро, в отличие от двухзначных междугородних маршрутов. Они подключаются к более длинным двузначным маршрутам и действуют как кольцевые дороги, ответвления или соединители.В трехзначную нумерацию входят два фактора:
- Последние две цифры отражают двузначную автомагистраль между штатами, к которой ведет маршрут. Например, I-395 подключается к I-95, а I-270 подключается к I-70.
- Первая цифра отражает назначение дороги. Петли и байпасы, которые пересекаются с их первичным двузначным межгосударственным соединением в двух местах, обычно получают даже первые цифры. Шпоры и соединители, которые пересекаются только один раз, обычно получают нечетные первые цифры.
Трехзначная межгосударственная система именования.Изображение в общественном достоянии.
Для трехзначных межштатных маршрутов одно и то же число может повторяться столько раз, сколько необходимо, при условии, что оно не повторяется в одном и том же состоянии. Например, есть семь разных I-395 и четыре разных I-270. Обратите внимание, что и в Балтиморе, и в Вашингтоне есть собственная ветка I-395, но в Балтиморе нет I-495, потому что кольцевая дорога Вашингтона входит в Мэриленд.
Конечно, есть множество исключений. Автомагистраль I-270 в Мэриленде создает особые проблемы: почему ответвление, соединяющееся с I-70 только в одном месте, должно получать четную первую цифру вместо нечетной? И если шпоры от шпор получают свой собственный номер, как I-370 в Гейтерсбурге, почему тогда у I-270 Spur в Bethesda тоже нет своего номера, возможно I-570?
Самым большим исключением, вероятно, является трасса I-238 в районе залива Сан-Франциско.Нет I-38, и, следовательно, не должно быть I-238. I-238 – это соединитель между I-580 и I-880, каждый, в свою очередь, отводит I-80. Теоретически I-238 могла получить номер I-x80, но Калифорния, будучи Калифорнией, все доступные варианты с первого по девятый уже были назначены другим шоссе. Поскольку I-238 раньше назывался Калифорнийским маршрутом 238, номер автомагистрали штата был преобразован в автомагистраль между штатами.
Гавайи, Аляска и Пуэрто-Рико
Несмотря на отсутствие прямого наземного сообщения с остальной частью Соединенных Штатов, Гавайи, Аляска и Пуэрто-Рико имеют межгосударственные автомагистрали.Им даются буквенные префиксы: H для Гавайев, A для Аляски и PR для Пуэрто-Рико. У них также более простая система нумерации: автомагистрали просто нумеруются последовательно, начиная с 1. Первая межгосударственная магистраль на Гавайях – это h2, A1 на Аляске и PR1 в Пуэрто-Рико.
Они могут иметь трехзначные шпоры, хотя h301 – единственный такой пример.
Я что-то пропустил?
Дэн Малоуфф (Dan Malouff) – планировщик перевозок в Арлингтоне и адъюнкт-профессор Университета Джорджа Вашингтона.Он имеет степень в области городского планирования Университета Колорадо и живет в Тринидаде, округ Колумбия. Он руководит BeyondDC и пишет статьи для Washington Post. Дэн ведет блог, чтобы выражать личные взгляды, и не участвует в принятии политических решений GGWash.
Как завершить переключение номеров – Bay Tree Blog
Поговорите с любой воспитательницей детского сада, и она расскажет вам о своих учениках, которые меняют числа. Двузначные числа озадачивают многих младших школьников.Нередко можно услышать, как студенты путают числа «13» и «31» или записывают число «14» как «41».
Эту частую ошибку иногда называют перестановкой. Когда ученики меняют числа, они записывают все правильные числа, но они не помещают числа в правильную последовательность (порядок значений).
Ошибки транспонирования часто возникают в двузначных числах. Мои ученики чаще всего переносят числа от 12 до 19. Эти ошибки с числами для подростков на самом деле показывают, что ребенок хорошо понимает образцы написания чисел и слов.Ошибки с числами больше двадцати могут указывать на то, что ребенку нужно больше практиковаться в оценках.
Сегодня я хочу предоставить вам эффективные инструменты для устранения ошибок транспонирования. Во-первых, давайте разберемся, почему ученики сбиты с толку.
Ваши ученики меняют номера?
Другой тип ошибок – это написание зеркального отображения числа, и мы обычно называем эти ошибки обращениями. Щелкните здесь, чтобы найти мою бесплатную статью о реверсировании и мою платную программу для остановки реверсирования номеров.Некоторые дети ошибаются как в перестановках, так и в переворотах.
Почему студенты меняют числа?
Взрослые мы работаем с цифрами десятилетиями, так что это несложная задача. Поскольку мы так бегло говорим с числами, иногда трудно понять, почему дети меняют их. Копните немного глубже, и вы обнаружите, что числа подростков сложнее, чем кажется.
Чтобы разобраться в этой головоломке, нам нужно исследовать правописание английского языка!
Понимание языка чисел
Давайте посмотрим, как пишутся слова для большинства двузначных чисел.
В двузначных числах вы можете услышать и написать две части слова или морфемы. Например, произнесите число двадцать три:
.Сначала вы слышите десятичное место – двадцать. Я показал это красным. Затем вы слышите одно место – три. Я показал это зеленым. Поскольку мы пишем слева направо, это легко записать:
Посмотрите на любое число от 20 до 99, и вы увидите, что каждое число написано сначала десятичной цифрой, а затем единицей. Мы слышим – и пишем – десятки, за которыми идет единица.
Подростковые числа следуют другому образцу
Неудивительно, что дети почти всегда меняют числа подростков. Эти числа не соответствуют тому же образцу написания, что и другие двузначные числа, поэтому детям необходимо понимать совершенно новый образец.
Давайте исследуем последовательность морфем внутри тринадцати. Произнесите вслух тринадцать:
То, что вы не слышите, – это паттерн, который мы только что описали выше: разряды десятков, за которыми следует единица. Вместо этого вы сначала слышите одно место – три.Затем вы слышите десятку – подросток. Мы не можем просто слушать морфемы и записывать их слева направо. Понимаете, что я имею в виду?
Подростковые числа не имеют того же паттерна морфем, как все другие двузначные числа. Если бы это было так, мы бы произнесли 13 как «teenthir!»
Число подростков действительно имеет большой смысл, если мы посмотрим на происхождение слов в древнеанглийском языке. Посещая этимологический словарь, мы обнаруживаем:
- Морфема «подросток» означает на десять больше, чем.«Тринадцать» тогда означает три и еще десять. Этот образец объясняет: тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать и девятнадцать.
- Одиннадцать также происходит от древнеанглийского и означает «один слева» (больше десяти).
- Аналогично, двенадцать означает, что осталось два (больше десяти).
Морфология числовых слов действительно помогает понять математику!
Морфология: как использовать части слова, чтобы помочь своим ученикам
Некоторым студентам нужны подробные инструкции.Рекомендую:
- Объясните: числовые слова состоят из частей слова. Изучите некоторые двузначные числа от 20 до 99. Могут ли ваши ученики внимательно слушать слова? Слышат ли они отдельные части слова? Могут ли они услышать, как за десяткой следует первое место?
- Теперь исследуйте некоторые числа подростков от 13 до 19. Пусть ваши ученики внимательно слушают слова. Какую часть слова они слышат первой? Верно! Это единственное место!
- Вместе со своими учениками исследуйте происхождение подростковых чисел в этимологическом словаре.
Как использовать манипуляторы, чтобы устранить путаницу
Некоторым ученикам может хватить быстрого объяснения, чтобы решить транспозицию. Другим ученикам будет полезно использовать математические манипуляторы. Я рекомендую использовать блоки с десятичной базой, чтобы устранить путаницу.
Учащимся младшего возраста или детям старшего возраста с дислексией, дискалькулией или языковыми нарушениями может потребоваться показать, что слова, блоки и цифры могут использоваться для обозначения одного и того же числа. Я использую эти шаги:
ШАГ 1 : Начните с создания стандартного двузначного числа (от 21 до 99) с помощью манипуляторов.Во-первых, создайте графический органайзер, который четко показывает место десяти и единицы. Загрузите мою бесплатную копию здесь. Покажите ученику, как построить это число, используя блоки с основанием десять.
ШАГ 2 : Теперь покажите, как записать это число цифрами. Укажите на разряды десятков и скажите: «Я вижу четыре десятки в разряде десятков, поэтому я собираюсь написать цифру 4. Я вижу две единицы на месте единицы, поэтому я собираюсь написать цифру 2».
ШАГ 3 : Явно свяжите бетонные блоки с помощью символических цифр.Дайте детям возможность выразить словами связь между установленными ими кубиками и написанными цифрами. Я мог бы смоделировать: «Я вижу одно и то же число с блоками и написанными цифрами. Я вижу четыре стержня с десятью стержнями и цифру четыре. Я вижу два одноблочных блока и цифру два. И блоки, и цифры показывают число 42 ». Практикуйтесь со стандартными двузначными числами (21-99) и подростками (13-19).
ШАГ 4 : Студент на практике.
Добавочный номер : Начните с символов.Как только ученик сможет определить число из десятичных блоков, работайте в другом направлении. Выпишите двузначные числа и попросите ребенка построить число из кубиков.
БОНУСНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Чтобы дать вашим ученикам дополнительную практику, вот мой набор бесплатных номерных карточек. Вы найдете более 40 карточек с четырьмя различными изображениями чисел 11-19. Каждое число представлено блоками с основанием десять, десятью кадрами, словом и цифрой.
Разложите карточки на земле и попросите учащихся сопоставить числа.Вы также можете использовать карты, чтобы играть в игры Memory или Go Fish.
Давай сделаем это!
Вы и ваш ученик должны подготовиться с некоторым пониманием орфографии английского языка и десятичных блоков.
Отличные математические навыки начинаются с уверенности в себе. Многие ученики, которые испытывают трудности с математикой, чувствуют себя некомфортно с числами. Так не должно быть! С самого начала мы можем показать студентам, как понимать и выражать свои мысли с помощью чисел. Чтение и запись двузначных цифр – прекрасный способ укрепить эту уверенность в себе.