Разное

Примеры с как решать: Примеры решения задач по математике, геометрии, теории вероятности, алгебре, химии, физике и другим предметам.

Содержание

Множества — Практика — Примеры решения типовых задач

     1. Записать множество Е, если , причем А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Решение.
      есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

     2. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е={6, 12}.

     3. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е={2, 4, 8, 10}.

     4. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
     Из предыдущего примера имеем

. Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е={3, 6, 9, 12}.

     5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
     Выполняя действие в скобках получим:

     После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

     6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

.

     Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

      затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

     Теперь проиллюстрируем правую часть:

          

     окончательный вид правой части:

     Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

     7. По диаграмме Венна записать формулу:

     Запишем сначала ,

     затем , получим:

     8. Доказать
     Решение.

,

     по закону да Моргана и закону дистрибутивности

Международный инженерный чемпионат «CASE-IN» | Примеры решения кейсов

 

 

 

 

Горное дело

2015 г.

 

 

В финале чемпионата 2015 года участники представили решение кейса «Запас устойчивости», заданием которого было разработать проект извлечения запасов медной и цинковой руды, расположенной в прибортовой зоне Учалинского карьера.

I место

команда «Шмель» 

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

г. Белгород

II место

команда «Teamberg»

Санкт-Петербургский горный университет 

г. Санкт-Петербург

III местo

команда  «Техники»

Южно-Российский государственный политехнический университет (филиал) 

г. Шахты

Смотреть решение
Смотреть решение
Смотреть решение

 

 

 

2016 г.

 

 

Выбор системы разработки участков «Верхне-Ильдиканский» и «Быстринский-2» месторождения Быстринского, а так же определение технологической схемыпроизводства и параметров горно-технологического комплекса Быстринского гока. по плану предприятие должно быть введено в эксплуатацию в октябре 2017 года и выйти на проектную мощность в 10 млн т/год в 2020 году.

 

 

 

 

2017 г.

 

 

Анализ горно-геологических условий и параметров отработки Кичёйского месторождения и предложение технологии производства, обеспечивающая плановые объемы добычи и переработки руды, а также высокие показатели надежности, безопасности и экологичности.

 

 

 

 

2018 г.

 

 

 

 

 

2019 г.

 

 

I место

команда «Granite» 

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

г. Магнитогорск

II место

команда «4 Mining peopl» 

Санкт-Петербургский горный университет 

г. Санкт-Петербург

III местo

команда  «Blasted Brain»

Северно-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова

г. Якутск

Смотреть решение Смотреть решение Смотреть решение

 

 

 

2020 г.

 

 

I место

команда «Union of mining engineers» 

Иркутский национальный исследовательский технический университет

г. Иркутск

II место

команда «Вахта» 

Уральский государственный горный университет 

г. 2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс.

2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

103x=102

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях - свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)x=(5/2)4

Представим (2/5)x как (5/2)-x:

(5/2)-x=(5/2)4

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4

Ответ: x=-4

Пример №3

√3х=9

√3х распишем как 3x/2, а 9 - как 32:

3х/2=32

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4

Ответ: x=4

Пример №4

3х2-х-2=81

Заметим, что 81=34

3х2-х-2=34

Приравниваем показатели:

х2-х-2=4

х2-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х1=(1+5)/2=3

х2=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

Пример №5

4х+1+4х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

4х(4+1)=320

4х*5=320

Представим 320 в виде 5*43, тогда:

4х*5=5*43

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4х=43

Приравняем показатели:

х=3

Ответ: х=3

Пример №6

7х+2+4*7х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7x-1. Получаем:

7х-1*(73+4)=347

7х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 70:

7х-1=70

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1

Ответ: х=1

Пример №7

4х-5*2х+4=0

Представим 4х как 2, получим:

2-5*2х+4=0

Введем подстановку: 2х обозначим переменной t. Cледовательно: 2=t2. Получим:

t2-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t1=1

t2=4

Заменим t на 2х:

2х=1

Заметим, что 20=1

2х=20

Приравняем показатели:

х=0

2х=4

Заметим, что 4=22

2х=22

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.

Ответ: х=0 и х=2

Пример №8

(√2+√3)х + (√2-√3)х=4

Введем подстановку: (√2+√3)х обозначим переменной t. А (√2-√3)х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)х*(√2-√3)х) / (√2+√3)х = (√4-3)х/(√2+√3)х = 1 x/(2+√3)x = 1/(2+√3)x

Следовательно, 1/(√2+√3)х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=4t

t2-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t1=(4-2√3)/2=2-√3

t2=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)х:

(√2-√3)х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)-2

(√2+√3)х=(√2-√3)-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)2

Приравняв показатели, получим:

х=2

Ответ: х=-2 и х=2

Пример №9

x+y=6

xy2+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

xy2+7y+12=1

Заметим, что x0=1:

x=6-y

xy2+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y2+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y2+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y1=(-7+1)=-3

y2=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10

Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>


Как решать примеры с минусами

Еще в начальной школе учат, как складывать и вычитать числа. Для того чтобы научиться это делать, необходимо выучить таблицу сложения и основанную на ней таблицу вычитания. Получается,первоклашка сможет из семнадцати вычесть девять или решить любой подобный пример. Однако завести в тупик его сможет пример обратного характера: как вычесть из девяти семнадцать. Примеры с отрицательными числами даются по школьной программе много позже, когда человек созревает до абстрактного мышления.

Математических действий существует четыре вида: сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому примеров сбудет четыре типа. Отрицательные числа внутри примера выделяются скобками для того, чтобы не перепутать математическое действие. Например, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) или 34:(-17).

Сложение. Данное действие может иметь вид:1) 3+(-6)=3-6=-3. Замена действия: сначала раскрываются скобки, знак "+" меняется на противоположный, далее из большего (по модулю) числа "6" отнимается меньшее - "3", после чего ответу присваивается знак большего, то есть "-".
2) -3+6=3. Этот пример можно записать по-другому ("6-3") или решать по принципу "из большего отнимать меньшее и присваивать ответу знак большего".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. При раскрытии скобок происходит замена действия сложения на вычитание, затем суммируются модули чисел и результату ставиться знак "минус".

Вычитание.1) 8-(-5)=8+5=13. Раскрываются скобки, знак действия меняется на противоположный, получается пример на сложение.
2) -9-3=-12. Элементы примера складываются и ответ получает общий знак "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. При раскрытии скобок снова меняется знак на "+", далее из большего числа отнимается меньшее и у ответа - знак большего числа.

Умножение и деление.При выполнении умножения или деления знак не влияет на само действие. При произведении или делении чисел с разными знаками ответу присваивается знак "минус", если числа с одинаковыми знаками - у результата всегда знак "плюс".1)-4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Примеры решения системы уравнений | Математика

60. Различные примеры на решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Мы разберем здесь несколько примеров с целью показать, как и какими способами удобнее пользоваться, в зависимости от особенностей данных уравнений.

Пример 1:

x/y = 5/8; 4x + y/4 = 11.

Вместо того, чтобы сначала упрощать уравнения, мы определим из 1-го уравнения x через y, для чего достаточно обе части уравнения умножить на y. Получим:

x = 5y/8.

Полученное выражение подставим вместо x во 2-е уравнение:

4 · 5y/8 + y/4 = 11

или

5y/2 + y/4 = 11

Освободим теперь уравнение от дробей, для чего обе части его умножим на 4

10y + y = 44.

Откуда

11y = 44 и y = 4.

Теперь легко вычислить x

x = 5y/8 = 5 · 4 / 8 = 2½

Пример 2.

(x + y)/2 – x/3 = 1; x – (x + y) / 2 = 3.

Здесь возможно употребить следующий искусственный прием.
Определим из 1-го уравнения (x + y)/2 через x, - мы получим, перенеся член x/3 в правую часть:

(x + y) / 2 = 1 + x/3.

Подставим затем полученное выражение 1 + x/3 во 2-ое уравнение на место (x + y) / 2, - получим:

x – (1 + x/3) = 3

или

x – 1 – x/3 = 3

или

2x/3 = 4,

откуда

x = 4 : 2/3 = 6.

Подставим теперь число 6 на место x в 1-ое уравнение, - получим:

3 + y/2 = 1 + 2,

откуда

y/2 = 0 и y = 0.

Пример 3.

a – (ax – y)/2a = x/4; y/(x – a) = a.

Упростим 1-ое уравнение, для чего сначала обе части его умножим на общего знаменателя 4a:

4a2 – 2ax + 2y = ax или 3ax – 2y = 4a2.

Упростим 2-ое уравнение:

y = ax – a2 или ax – y = a2.

Уравняем теперь коэффициенты при y, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части 2-го умножим на 2, - получим:

3ax – 2y = 4a2
2ax – 2y = 2a2.

Вычтя по частям из 1-го уравнения 2-ое, получим:

ax = 2a2,

откуда

x = 2a2/a = 2a.

Подставим теперь полученное значение x в наиболее простое уравнение, т. е. в ax – y = a2. Получим

2a2 – y = a2,

откуда

y = a2.

Пример 4.

12/x – 15/y = ¼; 8/x + 10/y = 5/6.

Не следует здесь освобождать уравнения от дробей.

Уравняем числители тех дробей, знаменателем которых служит y, для чего обе части первого уравнения умножим на 4 и обе части второго на 6. Получим:

48/x – 60/y = 1 и 48/x + 60/y = 5      (1)

Сложив по частям наши уравнения, получим:

96/x = 6.

Умножим обе части на x:

96 = 6x или 6x = 96

откуда

x = 16.

Для определения y умножим обе части 1-го уравнения в системе (1) на –1; получим:

–48/x + 60/y = –1
48/x + 60/y = 5.

Сложив теперь наши уравнения по частям, получим:

120/y = 4,

откуда

120 = 4y или 4y = 120 и y = 30.

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

""

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Математика 6 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Русский язык 7 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Математика 5 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / - гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Деление и дроби
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / - гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

Решение уравнений - методы и примеры

Понимание того, как решать уравнения, - один из самых фундаментальных навыков, который может освоить каждый студент, изучающий алгебру. Решения для большинства алгебраических выражений ищутся, применяя этот навык. Таким образом, учащиеся должны лучше понимать, как проводить операцию.

Эта статья научит решить уравнение , выполнив четыре основных математических операции: сложение , вычитание , умножение и деление .

Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, обозначающим их взаимосвязь. Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства (=), меньше (<), больше (>) или комбинацией этих знаков.

Как решать уравнения?

Решение алгебраического уравнения - это обычно процедура манипулирования уравнением. Переменная остается на одной стороне, а все остальное - на другой стороне уравнения.

Проще говоря, решить уравнение - значит изолировать его, сделав его коэффициент равным 1.Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, сделайте то же самое с противоположной стороной уравнения.

Решите уравнения, добавив

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 1

Решите: –7 - x = 9

Решение

–7 - x = 9

Добавьте 7 к обеим сторонам уравнения.
7 - x + 7 = 9 + 7
- x = 16

Умножить обе стороны на –1
x = –16

Пример 2

Решить 4 = x - 3

Решение

Здесь переменная находится справа в уравнении. Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения

4+ 3 = x - 3 + 3

7 = x

Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.

4 = x - 3

4 = 7 - 3

Следовательно, x = 7 - правильный ответ.

Решение уравнений путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите относительно x в x + 10 = 16

Решение

x + 10 = 16

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

x + 10-10 = 16-10

x = 6

Пример 4

Решите линейное уравнение 15 = 26 - y

Решение

15 = 26 - y

Вычесть 26 с обеих сторон уравнения
15-26 = 26-26 -y
-11 = -y

Умножим обе части на –1

y = 11

Решение уравнений с переменными с обеих сторон, добавив

Давайте см. несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.

Так как уравнение имеет две стороны, вам необходимо выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.

Добавьте переменную x к обеим частям уравнения

⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

Упростите

Упростите уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.

5x - 12 = 8.

Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.

Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.

Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.

⟹ 5x - 12 +12 = 8 + 12

Упростить

Упростите уравнение, объединив похожие члены. И 12.

⟹ 5x = 20

Теперь разделим на коэффициент.

Деление обеих сторон на коэффициент означает простое деление всего на число, присвоенное переменной.

Решение этого уравнения, следовательно,

x = 4.

Проверьте свое решение

Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.

4x –12 = -x + 8

⟹ 4 (4) –12 = -4 + 8

4 = 4

Следовательно, решение верное.

Пример 5

Решить -12x -5-9 + 4x = 8x - 13x + 15-8

Решение

Упростить, объединив похожие термины

-8x-14 = -5x +7

Добавьте 5x с обеих сторон.

-8x + 5x -14 = -5x + 5x + 7

-3w -14 = 7

Теперь прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения.

- 3x - 14 + 14 = 7 + 14

-3x = 21

Разделите обе части уравнения на -3

-3x / -3 = 21/3

x = 7.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 6

Решите уравнение 12x + 3 = 4x + 15

Решение

Вычтите 4x из каждой части уравнения.

12x-4x + 3 = 4x - 4x + 15

6x + 3 = 15

Вычтем константу 3 с обеих сторон.

6x + 3-3 = 15-3

6x = 12

Разделить на 6;

6x / 6 = 12/6

x = 2

Пример 7

Решите уравнение 2x - 10 = 4x + 30.

Решение

Вычтем 2x из обеих частей уравнения .

2x -2x -10 = 4x - 2x + 23

-10 = 2x + 30

Вычтем обе части уравнения на константу 30.

-10-30 = 2x + 30-30

-40 = 2x

Теперь разделите на 2

-40/2 = 2x / 2

-20 = x

Решение линейных уравнений с умножением

Линейные уравнения решаются умножением, если при написании уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.

Пример 7

Решите x / 4 = 8

Решение

Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби,

4 (x / 4) = 8 x 4

x = 32

Пример 8

Решите -x / 5 = 9

Решение

Умножьте обе стороны на 5.

5 (-x / 5) = 9 x 5

-x = 45

Умножьте обе стороны на -1, чтобы коэффициент переменной был положительным.

x = - 45

Решение линейных уравнений с делением

Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на приведенные ниже примеры.

Пример 9

Решите 2x = 4

Решение

Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.

2x / 2 = 4/2

x = 2

Пример 10

Решите уравнение −2x = −8

Решение

Разделите обе части уравнения на 2.

−2x / 2 = −8/2

−x = - 4

Умножая обе стороны на -1, получаем;

x = 4

Как решать алгебраические уравнения, используя свойство распределения?

Решение уравнений с использованием свойства распределения влечет за собой умножение числа на выражение в круглых скобках. Затем подобные термины объединяются, а затем выделяется переменная.

Пример 11

Решите 2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

Решение

2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

Используйте свойство распределения для удаления скобок
2x - 6x + 4 = 2x - 4 + 20
- 4x + 4 = 2x + 16

Сложить или вычесть с обеих сторон

–4x + 4 - 4 –2x = 2x + 16 - 4 –2x
–6x = 12
x = –2

Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.

2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

(2 * –2) - 2 ((3 * –2) –2) = 2 (–2 –2) + 20
12 = 12

Пример 12

Решите относительно x в уравнении -3x - 32 = -2 (5 - 4x)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки .

–3x - 32 = - 10 + 8x

Сложение обеих частей уравнения на 3x дает

-3x + 3x - 32 = - 10 + 8x + 3x

= - 10 + 11x = -32

Сложите обе части уравнения на 10.

- 10 + 10 + 11x = -32 + 10

11x = -2

Разделите все уравнение на 11.

11x / 11 = -22/11

x = -2

Как решать уравнения с дробями?

Не паникуйте, когда увидите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, это легкий кусок пирога для вас.

Чтобы решить уравнения с дробями, вам нужно преобразовать их в уравнение без дробей.

Этот метод также называется «очистка от фракций ».

При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:

  • Определите наименьшее общее кратное знаменателей (ЖКД) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
  • Изолировать переменную.
  • Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
  • Примените свойство деления или умножения, чтобы коэффициент переменной был равен 1.

Пример 13

Решить (3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

Решение

На ЖК-дисплее 5 и 3 будет 15, поэтому умножьте оба
(3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

{(3x + 4) / 5} 15 = {(2x - 3) / 3} 15

9x +12 = 10x -15

Изолировать переменную;

9x -10x = -15-12

-x = -25

x = 25

Пример 14

Решить относительно x 3 / 2x + 6/4 = 10/3

Решение

ЖК-дисплей 2x, 4 и 3 равен 12x

Умножьте каждую дробь в уравнении на ЖК-дисплей.

(3 / 2x) 12x + (6/4) 12x = (10/3) 12x

=> 18 + 18x = 40x

Изолировать переменную

22x = 18

x = 18/22

Упростить

x = 9/11

Пример 15

Решить относительно x (2 + 2x) / 4 = (1 + 2x) / 8

Решение

LCD = 8

Умножьте каждую дробь на ЖК-дисплей,

=> 4 + 4x = 1 + 2x

Изолировать x;

2x = -3

x = -1.5

Практические вопросы

1. Решите относительно x в следующих линейных уравнениях:

a. 10x - 7 = 8x + 13

б. х + 1/2 = 3

с. 0,2x = 0,24

г. 2x - 5 = x + 7

e. 11x + 5 = x + 7

2. Возраст Джареда в четыре раза старше его сына. Через 5 лет Джаред будет в 3 раза старше своего сына. Найдите настоящий возраст Джареда и его сына.

3. Стоимость 2 пар брюк и 3 рубашек - 705 долларов США. Если рубашка стоит на 40 долларов меньше пары брюк, найдите стоимость каждой рубашки и брюк.

4. Лодке требуется 6 часов при движении вверх по течению и 5 часов при движении вниз по течению. Рассчитайте скорость лодки в стоячей воде, учитывая, что скорость реки составляет 3 км / час.

5. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, полученное число на 27 меньше исходного. Найдите номер.

6. 10000 долларов распределено между 150 людьми. Если деньги достоинством 100 или 50 долларов. Подсчитайте количество денег каждого достоинства.

7. Ширина прямоугольника на 3 см меньше длины. Когда ширина и длина увеличиваются на 2, площадь прямоугольника изменяется на 70 см на 2 больше, чем у исходного прямоугольника. Вычислите размеры исходного прямоугольника.

8. Числитель дроби 8 меньше знаменателя. Когда знаменатель уменьшается на 1, а числитель увеличивается на 17, дробь становится 3/2. Определите дробь.

9. Мой отец на 12 лет больше меня, чем в два раза.Через 8 лет возраст моего отца будет на 20 лет меньше меня, чем в 3 раза. Какого возраста сейчас мой отец?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Навыки решения проблем: определения и примеры

Когда работодатели говорят о навыках решения проблем, они часто имеют в виду способность справляться со сложными или неожиданными ситуациями на рабочем месте, а также со сложными бизнес-задачами. Организации полагаются на людей, которые могут оценить оба типа ситуаций и спокойно найти решения.Навыки решения проблем - это черты, которые позволяют вам это делать. Хотя навыки решения проблем ценятся работодателями, они также очень полезны в других сферах жизни, таких как построение отношений и принятие повседневных решений.

Что такое навыки решения проблем?

Навыки решения проблем помогут вам определить источник проблемы и найти эффективное решение. Хотя решение проблем часто определяется как отдельный навык, есть и другие связанные навыки, которые способствуют этой способности.

Некоторые ключевые навыки решения проблем включают:

  • Активное слушание
  • Анализ
  • Исследования
  • Творчество
  • Коммуникация
  • Надежность
  • Принятие решений
  • Сплочение команды

Умения решать проблемы важны во всех случаях. карьера на всех уровнях. В результате для эффективного решения проблем также могут потребоваться отраслевые или специфические технические навыки. Например, дипломированной медсестре потребуются навыки активного слушания и общения при общении с пациентами, но также потребуются эффективные технические знания, связанные с заболеваниями и лекарствами.Во многих случаях медсестре необходимо знать, когда следует проконсультироваться с врачом относительно медицинских потребностей пациента в рамках решения.

Связано: 3 упражнения по решению проблем для построения команды

Примеры навыков решения проблем

Для эффективного решения проблемы вы, вероятно, будете использовать несколько различных навыков. Вот несколько примеров навыков, которые вы можете использовать при решении проблемы:

Исследование

Исследование - важный навык, связанный с решением проблем.Как специалист по решению проблем, вы должны уметь определять причину проблемы и полностью ее понимать. Вы можете начать собирать больше информации о проблеме, проводя мозговой штурм с другими членами команды, консультируясь с более опытными коллегами или приобретая знания посредством онлайн-исследований или курсов.

Анализ

Первым шагом к решению любой проблемы является анализ ситуации. Ваши аналитические способности помогут вам понять проблемы и эффективно находить решения.Во время исследования вам также потребуются аналитические навыки, чтобы отличать эффективные от неэффективных решений.

Принятие решений

В конечном итоге вам нужно будет принять решение о том, как решать возникающие проблемы. Иногда - и имея опыт работы в отрасли) - вы можете быстро принять решение. Твердые исследовательские и аналитические навыки могут помочь тем, у кого меньше опыта в своей области. Также могут быть случаи, когда уместно потратить некоторое время на выработку решения или передать проблему кому-то более способному ее решить.

Связь

При определении возможных решений вам необходимо знать, как сообщить о проблеме другим. Вам также необходимо знать, какие каналы связи являются наиболее подходящими при обращении за помощью. Когда вы найдете решение, его четкое изложение поможет уменьшить путаницу и упростить реализацию решения.

Надежность

Надежность - один из важнейших навыков для тех, кто решает проблемы.Своевременное решение проблем имеет важное значение. Работодатели высоко ценят людей, которым они могут доверять, которые как можно быстрее и эффективнее находят решения, а затем внедряют их.

Связано: 10 способов улучшить свои творческие навыки решения проблем

Как улучшить свои навыки решения проблем

Есть несколько методов, которые вы можете использовать для улучшения своих навыков решения проблем. Ищете ли вы работу или работаете в настоящее время, улучшение ваших навыков решения проблем и связанных с ними способностей поможет вам стать сильным кандидатом и сотрудником.

Получите больше технических знаний в своей области

В зависимости от отрасли решить проблемы может быть проще, если у вас есть серьезные технические знания. Вы можете получить больше технических знаний с помощью дополнительных курсов, обучения или практики.

Ищите возможности для решения проблемы

Ставя себя в новые ситуации, вы с большей вероятностью получите возможности для решения проблемы. Вы можете найти возможности стать волонтером для новых проектов в вашей текущей роли, в другой команде или вне рабочего места в другой организации.

Решайте практические задачи

Практика и ролевые игры могут быть полезными инструментами при обучении развитию навыков решения проблем. Вы можете найти профессиональные учебники для вашей отрасли и сценарии решения проблем в Интернете. Попрактикуйтесь, как вы можете решить эти проблемы, и определите, жизнеспособны ли ваши потенциальные решения.

Например, в отделе обслуживания клиентов вы можете найти сценарий вроде: «Как бы вы поступили с рассерженным клиентом?» или «Как вы отвечаете, когда клиент просит вернуть деньги?» Практика того, как вы можете справиться с этими или другими сценариями, распространенными в вашей отрасли, может помочь вам быстро находить решения, когда они возникают на работе.

Понаблюдайте, как другие решают проблемы.

У вас могут быть коллеги, которые умеют решать проблемы. Наблюдение за тем, как эти коллеги решают проблемы, может помочь вам улучшить свои навыки. Если возможно, спросите одного из своих более опытных коллег, можете ли вы понаблюдать за их приемами. Задавая соответствующие вопросы, вы можете применить их в своей карьере.

Связано: Игры для решения проблем для проблемного обучения на работе

Как выделить навыки решения проблем

Демонстрация ваших навыков решения проблем в резюме и сопроводительном письме может помочь работодателям быстро понять, как вы могли быть ценными для своей команды. Вы можете рассмотреть возможность демонстрации навыков решения проблем в своем резюме только в том случае, если это особенно актуально для должности, на которую вы претендуете. Например, должности в сфере обслуживания клиентов, инженеров и менеджеров будут хорошими кандидатами для включения навыков решения проблем.

Навыки решения проблем для резюме

В своем резюме вы можете выделить свои навыки решения проблем в нескольких местах: в разделе «навыки», в разделе «достижения» и приведя конкретные примеры решения проблем в раздел вашего «опыта».

В разделе навыков вы можете перечислить ключевые навыки решения проблем, которыми вы обладаете, вместо того, чтобы просто записывать более общий термин «решение проблем». Например, вы можете перечислить конкретные технические навыки, которыми вы обладаете, которые помогут вам решать проблемы, или навыки межличностного общения, связанные с решением проблем, такие как ваши исследовательские способности или способности принимать решения.

Помните, истории сильны. Запомните конкретные примеры решения проблемы. Это полезно для вашего резюме, но также поможет вам ответить на такие вопросы собеседования, как: «Расскажите мне о случае, когда вы преодолели препятствие.”

Связано: шаги по эффективному решению проблем на рабочем месте

Навыки решения проблем для сопроводительного письма

Сопроводительное письмо также является отличной возможностью развить свои навыки решения проблем. Здесь вы можете привести краткий пример того, как вы успешно решили проблему. В качестве альтернативы вы можете определить проблему, которую этот потенциальный работодатель пытается решить, и объяснить, как вы ее решите.

Связано: 7 эффективных способов начать сопроводительное письмо

Например, если в объявлении о вакансии упоминается, что компания ищет кого-то, чтобы помочь улучшить свое присутствие в социальных сетях, вы можете определить ключевые способы, которыми вы могли бы помочь в повышении осведомленности бренда через различные социальные сети.

Ваши навыки решения проблем пригодятся вам на каждом этапе вашей карьеры. От резюме до подачи заявки, от собеседования до должностных обязанностей - способность эффективно решать проблемы по мере их возникновения сделает вас ценным активом на работе и востребованным кандидатом.

Определение решения по Merriam-Webster

\ ˈSälv , ˈSȯlv \

переходный глагол

1 : , чтобы найти решение, объяснение или ответ для решить проблему раскрыто преступление

2 : оплатить полностью решить долг

Как решать алгебру

y = 24 - 4x
Пояснение:

Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.

Нам дано, что

у = 24 - 4х ------ (1)
2x + y / 2 = 12 ------ (2)

Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в самая упрощенная форма:

(Подставляя это значение y в уравнение (2), а затем решая для x дает)

2x + (24-4x) / 2 = 12 ------ (2) (∵ y = 24 - 4x)
2x + 24 / 2- 4x / 2 = 12
2x + 12 - 2x = 12
12 = 12

Вы можете подумать, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24). Но ждать! Вы слишком рано пытаетесь сделать вывод. В предыдущем сценарии результат 24 = 24 был получен потому, что мы поместили значение переменной в то же уравнение, что и используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.

Результат 12 = 12 имеет какое-то отношение к природе системы уравнений, которую мы дано.Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных уравнения лежат в единственной точке, где их линии пересекаются. В этом сценарии две строки в основном одинаковы (одна линия над другой. На следующем рисунке показан этот сценарий.

Такая система называется зависимой системой уравнения. И решение такой системы - это вся линия (каждая точка на линии - это точка пересечения двух линий)

Следовательно, решением данной системы уравнений является вся строка: y = 24 - 4x

Другой возможный сценарий:

Подобно этому примеру, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной в уравнение 2 nd приводит к результату, аналогичному показанному ниже:

23 = –46

или

5 = 34

Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений. Т.е., когда две линии вообще не пересекаются ни в одной точке.

Следовательно, в случае такого результата, когда кажется, что ваши основные математические правила не работают, простой вывод заключается в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется системой Несогласованная .

Использование формулы для решения реального приложения

Многие приложения решаются по известным формулам. Задача формулируется, формула идентифицируется, известные величины подставляются в формулу, уравнение решается относительно неизвестного и дается ответ на вопрос задачи. Обычно эти задачи включают два уравнения, представляющих две поездки, две инвестиции, две области и так далее.Примеры формул включают область прямоугольной области, [латекс] A = LW [/ латекс]; периметр прямоугольника, [латекс] P = 2L + 2W [/ латекс]; и объем твердого тела прямоугольной формы, [латекс] V = LWH [/ латекс]. Когда есть два неизвестных, мы находим способ записать одно через другое, потому что мы можем решать только одну переменную за раз.

Пример 3: Решение приложения с использованием формулы

Эндрю утром на работу добирается 30 минут.Он едет домой по тому же маршруту, но это занимает на 10 минут дольше, а скорость у него в среднем на 10 миль / ч меньше, чем утром. Как далеко Эндрю едет на работу?

Решение

Это проблема расстояния, поэтому мы можем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex], где расстояние равно коэффициенту, умноженному на время. Обратите внимание, что когда скорость указывается в миль / ч, время должно быть выражено в часах. Последовательные единицы измерения являются ключом к получению правильного решения.

Сначала мы идентифицируем известные и неизвестные величины.Утренняя поездка Эндрю на работу занимает 30 минут, или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] h по курсу [latex] r [/ latex]. Его дорога домой занимает 40 минут, или [latex] \ frac {2} {3} [/ latex] ч, а его скорость в среднем на 10 миль / ч меньше, чем при утренней поездке. Обе поездки покрывают дистанцию ​​[латекс] д [/ латекс]. Таблица, подобная приведенной ниже, часто бывает полезной для отслеживания информации о подобных проблемах.

[латекс] d [/ латекс] [латекс] r [/ латекс] [латекс] t [/ латекс]
На работу [латекс] d [/ латекс] [латекс] r [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]
К дому [латекс] d [/ латекс] [латекс] r - 10 [/ латекс] [латекс] \ frac {2} {3} [/ латекс]

Напишите два уравнения, по одному для каждой поездки.

[латекс] \ begin {array} {ll} d = r \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill & \ text {To work} \ hfill \\ d = \ left (r - 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ hfill & \ text {На главную} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку оба уравнения равны одинаковому расстоянию, мы полагаем их равными друг другу и решаем относительно r .

[латекс] \ begin {array} {l} r \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill & = \ left (r - 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ hfill \\ \ frac {1} {2} r \ hfill & = \ frac {2} {3} r- \ frac {20} {3} \ hfill \\ \ frac {1} {2} r - \ frac {2} {3} r \ hfill & = - \ frac {20} {3} \ hfill \\ - \ frac {1} {6} r \ hfill & = - \ frac {20} {3} \ hfill \\ r \ hfill & = - \ frac {20} {3} \ left (-6 \ right) \ hfill \\ r \ hfill & = 40 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решили для скорости работы, 40 кмч.Подставив 40 в ставку на обратном пути, вы получите 30 миль / ч. Теперь мы можем ответить на вопрос. Подставляем коэффициент обратно в любое уравнение и решаем: d.

[латекс] \ begin {array} {l} d \ hfill & = 40 \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill \\ \ hfill & = 20 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Расстояние между домом и работой - 20 mi.

Анализ решения

Обратите внимание, что мы могли бы очистить дроби в уравнении, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы найти [латекс] r [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} r \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill & = \ left (r - 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ hfill \\ 6 \ times r \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill & = 6 \ times \ left (r - 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3 } \ right) \ hfill \\ 3r \ hfill & = 4 \ left (r - 10 \ right) \ hfill \\ 3r \ hfill & = 4r - 40 \ hfill \\ -r \ hfill & = -40 \ hfill \\ r \ hfill & = 40 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробовать 3

В субботу утром Дженнифер потребовалось 3,6 часа, чтобы добраться до дома своей матери на выходные.В воскресенье вечером из-за интенсивного движения Дженнифер вернулась домой за 4 часа. В воскресенье ее скорость была на 5 миль / ч ниже, чем в субботу. Какая у нее была скорость в воскресенье?

Решение

Пример 4: Решение проблемы периметра

Периметр прямоугольного патио на открытом воздухе составляет [латекс] 54 [/ латекс] фута. Длина [латекс] на 3 [/ латекс] фута больше ширины. Каковы размеры патио?

Решение

Формула периметра стандартная: [латекс] P = 2L + 2W [/ латекс].У нас есть две неизвестные величины: длина и ширина. Однако мы можем записать длину через ширину как [латекс] L = W + 3 [/ латекс]. Подставьте значение периметра и выражение для длины в формулу. Часто бывает полезно сделать набросок и обозначить стороны.

Рисунок 3

Теперь мы можем найти ширину, а затем вычислить длину.

[латекс] \ begin {array} {l} P = 2L + 2W \ hfill \\ 54 = 2 \ left (W + 3 \ right) + 2W \ hfill \\ 54 = 2W + 6 + 2W \ hfill \\ 54 = 4W + 6 \ hfill \\ 48 = 4W \ hfill \\ 12 = W \ hfill \\ \ left (12 + 3 \ right) = L \ hfill \\ 15 = L \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Размеры [латекс] L = 15 [/ латекс] футов и [латекса] W = 12 [/ латекс] футов.

Попробовать 4

Найдите размеры прямоугольника, учитывая, что его периметр составляет [латекс] 110 [/ латекс] см, а его длина на 1 см превышает ширину более чем в два раза.

Решение

Пример 5: Решение задачи с площадью

Периметр таблетки миллиметровой бумаги составляет 48 дюймов 2 . Длина [латекс] на 6 [/ латекс] дюймов больше ширины. Найдите область миллиметровой бумаги.

Решение

Стандартная формула для определения площади [латекс] A = LW [/ латекс]; однако мы решим проблему, используя формулу периметра.Причина, по которой мы используем формулу периметра, заключается в том, что мы знаем достаточно информации о периметре, которую формула позволит нам решить для одного из неизвестных. Поскольку и периметр, и площадь используют длину и ширину в качестве размеров, они часто используются вместе для решения такой проблемы, как эта.

Мы знаем, что длина на 6 дюймов больше ширины, поэтому мы можем записать длину как [латекс] L = W + 6 [/ латекс]. Подставьте значение периметра и выражение для длины в формулу периметра и найдите длину.

[латекс] \ begin {array} {l} P \ hfill & = 2L + 2W \ hfill \\ 48 \ hfill & = 2 \ left (W + 6 \ right) + 2W \ hfill \\ 48 \ hfill & = 2W + 12 + 2W \ hfill \\ 48 \ hfill & = 4W + 12 \ hfill \\ 36 \ hfill & = 4W \ hfill \\ 9 \ hfill & = W \ hfill \\ \ left (9 + 6 \ right) \ hfill & = L \ hfill \\ 15 \ hfill & = L \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы находим площадь с учетом размеров [латекса] L = 15 [/ латекс] дюймов и [латекса] W = 9 [/ латекс] дюймов. {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Площадь [латекс] 135 [/ латекс] 2 .

Попробовать 5

Игровая комната имеет периметр 70 футов. Длина в пять раз больше ширины в два раза. Сколько футов 2 нового коврового покрытия следует заказать?

Решение

Пример 6: Решение проблемы объема

Найдите размеры транспортной коробки, учитывая, что длина вдвое больше ширины, высота [латекс] 8 [/ латекс] дюймов, а объем - 1600 дюймов. 3 .

Решение

Формула объема коробки определяется как [латекс] V = LWH [/ латекс], произведение длины, ширины и высоты.{2} [/ latex] приведет к положительному и отрицательному значению. Однако, поскольку мы описываем ширину, мы можем использовать только положительный результат.

вычисляющих и решающих функций | Колледж алгебры

Результаты обучения

  • Оценивать и решать функции в алгебраической форме.
  • Оценивать функции по табличным или графическим данным. {2} + 2p [/ latex], решите относительно [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex].{2} + 2p - 3 = 0 && \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны}. \\ & \ left (p + 3 \ text {) (} p - 1 \ right) = 0 && \ text {Factor}. \ end {align} [/ latex]

    Если [латекс] \ left (p + 3 \ right) \ left (p - 1 \ right) = 0 [/ latex], либо [latex] \ left (p + 3 \ right) = 0 [/ latex] или [латекс] \ left (p - 1 \ right) = 0 [/ latex] (или оба они равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая [латекс] p [/ латекс].

    [латекс] \ begin {align} & p + 3 = 0, && p = -3 \\ & p - 1 = 0, && p = 1 \ hfill \ end {align} [/ latex]

    Это дает нам два решения.Выход [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex], когда вход либо [latex] p = 1 [/ latex], либо [latex] p = -3 [/ latex].

    Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 5. График проверяет, что [latex] h \ left (1 \ right) = h \ left (-3 \ right) = 3 [/ latex] и [latex] h \ left (4 \ справа) = 24 [/ латекс].

    Попробуйте

    Учитывая функцию [латекс] g \ left (m \ right) = \ sqrt {m - 4} [/ latex], решите [latex] g \ left (m \ right) = 2 [/ latex].

    Вычисление функций, выраженных в формулах

    Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения .Если можно выразить выход функции с помощью формулы , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ латекс] выражает функциональную взаимосвязь между [латексом] n [/ латексом] и [латексом] p [/ латексом]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex] p [/ latex] функцией [latex] n [/ latex].

    Практическое руководство. Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

    1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства с другой стороной как выражение, которое включает только , входную переменную.
    2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих частей уравнения на одну и ту же величину.

    Пример: поиск уравнения функции

    Выразите отношение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ latex] как функцию [latex] p = f \ left (n \ right) [/ latex], если это возможно.

    Показать решение

    Чтобы выразить взаимосвязь в этой форме, нам нужно иметь возможность записать взаимосвязь, где [latex] p [/ latex] является функцией [latex] n [/ latex], что означает запись в виде [latex] p = [/ latex] выражение, включающее [latex] n [/ latex].

    [латекс] \ begin {align} & 2n + 6p = 12 \\ [1 мм] & 6p = 12 - 2n && \ text {Subtract} 2n \ text {с обеих сторон}. \\ [1mm] & p = \ frac {12 - 2n} {6} && \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите}. \\ [1 мм] & p = \ frac {12} {6} - \ frac {2n} {6} \\ [1 мм] & p = 2- \ frac {1} {3} n \ end {align} [/ latex ]

    Следовательно, [латекс] p [/ latex] как функция [latex] n [/ latex] записывается как

    [латекс] p = f \ left (n \ right) = 2- \ frac {1} {3} n [/ latex]

    Анализ решения

    Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, можно также выразить как функцию с формулой.{y} [/ latex], если мы хотим выразить [latex] y [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex], не существует простой алгебраической формулы, включающей только [latex] x [/ latex] что равно [латекс] y [/ латекс]. Однако каждый [latex] x [/ latex] определяет уникальное значение для [latex] y [/ latex], и существуют математические процедуры, с помощью которых [latex] y [/ latex] может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [latex] y [/ latex] как функции [latex] x [/ latex], даже если формулу нельзя записать явно.

    Оценка функции, заданной в табличной форме

    Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

    Функция, которая связывает тип домашнего животного с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу ниже.

    Домашнее животное Объем памяти в часах
    Щенок 0,008
    Взрослая собака 0.083
    Кот 16
    Золотая рыбка 2160
    Бета-рыба 3600

    Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию [латекс] П [/ латекс].

    Область функции - это тип домашнего животного, а диапазон - это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию [latex] P [/ latex] при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс] P \ left (\ text {goldfish} \ right) = 2160 [/ latex]. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex] P [/ latex] кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

    Практическое руководство. Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.


    1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
    2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
    3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
    4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

    Пример: оценка и решение табличной функции

    Используя приведенную ниже таблицу,

    1. Вычислить [латекс] g \ left (3 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8
    Показать решение
    • Вычисление [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] означает определение выходного значения функции [latex] g [/ latex] для входного значения [latex] n = 3 [/ latex].Выходное значение таблицы, соответствующее [latex] n = 3 [/ latex], равно 7, поэтому [latex] g \ left (3 \ right) = 7 [/ latex].
    • Решение [latex] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex] означает определение входных значений, [latex] n [/ latex], которые дают выходное значение 6. В таблице ниже показаны два решения: [ латекс] n = 2 [/ латекс] и [латекс] n = 4 [/ латекс].
    [латекс] n [/ латекс] 1 2 3 4 5
    [латекс] г (п) [/ латекс] 8 6 7 6 8

    Когда мы вводим 2 в функцию [latex] g [/ latex], мы получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию [latex] g [/ latex], наш результат также равен 6.

    Попробуйте

    Используя таблицу из предыдущего примера, оцените [латекс] g \ left (1 \ right) [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] г \ слева (1 \ справа) = 8 [/ латекс]

    Поиск значений функций из графика

    Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

    Пример: чтение значений функций из графика

    Учитывая график ниже,

    1. Вычислить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex].
    2. Решите [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex].
    Показать решение
    1. Чтобы оценить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex], найдите точку на кривой, где [latex] x = 2 [/ latex], затем прочтите [latex] y [/ latex] - координата этой точки.Точка имеет координаты [latex] \ left (2,1 \ right) [/ latex], поэтому [latex] f \ left (2 \ right) = 1 [/ latex].
    2. Чтобы решить [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex], мы находим выходное значение [latex] 4 [/ latex] на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии [latex] y = 4 [/ latex], мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением [latex] 4: [/ latex] [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ латекс] и [латекс] \ влево (3,4 \ вправо) [/ латекс]. Эти точки представляют два решения [латекса] f \ left (x \ right) = 4: [/ latex] [latex] x = -1 [/ latex] или [latex] x = 3 [/ latex].Это означает [латекс] f \ left (-1 \ right) = 4 [/ latex] и [latex] f \ left (3 \ right) = 4 [/ latex], или когда ввод [латекс] -1 [ / latex] или [latex] \ text {3,} [/ latex] вывод будет [latex] \ text {4} \ text {.} [/ latex] См. график ниже.

    Попробуйте

    Используя график, решите [латекс] f \ left (x \ right) = 1 [/ latex].

    Показать решение

    [латекс] x = 0 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

    Попробуйте

    Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков для построения графиков функций, поиска значений функций и оценки функций.2 + x + 4 [/ latex] с использованием обозначения функций.

  • Вычислить функцию при [latex] x = 1 [/ latex]
  • Составьте таблицу значений, которая ссылается на функцию. Включите хотя бы интервал [latex] [- 5,5] [/ latex] для значений [latex] x [/ latex].
  • Решите функцию для [латекс] f (0) [/ латекс]
  • Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    Решение одношаговых уравнений - ChiliMath

    Решение одношаговых уравнений - действительно ваш «первый шаг» в мире решения линейных уравнений.Если вы можете решать одношаговые уравнения, вы готовы справиться с проблемой более сложных уравнений, таких как двухшаговые и многоступенчатые уравнения. Поверьте, это не сложно. Овладев этим конкретным навыком, вы откроете для себя множество возможностей.

    В этом уроке мы рассмотрим пять (5) типов или случаев одношаговых уравнений в зависимости от того, как они решаются. Однако пятый тип на самом деле представляет собой смесь или комбинацию умножения и деления, выполняемую как одну операцию.Это действительно важный случай, потому что другие могут рассматривать его как двухэтапную задачу уравнения, хотя на самом деле ее можно решить за один шаг.


    Пять (5) случаев решения одношаговых уравнений

    • Случай 1 : Уравнения, которые можно решить, прибавив одно и то же число к обеим сторонам уравнения.
    • Случай 2 : Уравнения, которые можно решить, вычитая одно и то же число из обеих частей уравнения.
    • Случай 3 : Уравнения, которые можно решить, умножив одно и то же число на обе части уравнения.
    • Случай 4 : Уравнения, которые можно решить, разделив одно и то же число на обе части уравнения.
    • Случай 5 : Уравнения, которые решаются путем умножения обратной величины коэффициента члена на переменную для обеих сторон уравнения.

    Что значит решить уравнение?

    Вот простой ответ. Если вы можете изолировать или сохранить переменную отдельно на одной стороне уравнения (левая или правая сторона), так что переменная или буква имеет коэффициент +1, а константа или число находятся на противоположной стороне, тогда у вас есть просто решил рассматриваемое уравнение.


    Примеры решения одношаговых уравнений

    Пример 1: Решите одношаговое уравнение.

    Обратите внимание, что левая часть уравнения содержит переменную x, которая вычитается на 3, а правая часть содержит положительное число девять, +9. Поскольку переменная уже находится слева, оставим ее там.

    Однако, чтобы изолировать переменную x, мы должны избавиться от -3. Мы можем исключить -3, добавив его противоположность - +3.Чтобы уравнение оставалось сбалансированным, мы также должны добавить +3 в правую часть уравнения.

    Повторюсь, это Случай 1 решения одношаговых уравнений, потому что мы добавили одно и то же число к обеим сторонам уравнения.


    Пример 2: Решите одношаговое уравнение.

    Это одношаговое линейное уравнение немного отличается от первого примера. Обратите внимание, что переменная расположена в правой части уравнения. Не беспокойтесь об этом, потому что это не имеет большого значения.🙂

    Помните, что при решении уравнения вы можете оставить переменную по обе стороны от уравнения. Пока в конце решаемая вами переменная изолирована с одной стороны с коэффициентом +1. Поэтому для этого уравнения удобно оставить переменную в правой части.

    Легко видеть, что вычитание обеих частей уравнения на 7 даст «трюк», потому что это избавит от +7, тем самым изолировав переменную y в правой части.

    Это Случай 2 , так как мы вычли уравнения с обеих сторон на то же самое число , чтобы решить его.


    Пример 3: Решите одношаговое уравнение.

    В этой задаче наша переменная «k» делится на 4. Помните, что наша цель - всегда изолировать переменную на одной стороне уравнения. Следовательно, мы должны найти операцию, которая может отменить деление.

    Операция, отменяющая деление, - это умножение. Это означает, что мы умножим обе части уравнения на 4.


    Пример 4: Решите одношаговое уравнение.

    В примере № 3 переменная делится на число.На этот раз у нас есть переменная, умноженная на число. Чтобы избавиться от числа 6, которое умножает переменную m, мы собираемся разделить обе части на 6. Мы используем деление, чтобы отменить или отменить эффект умножения.


    Пример 5: Решите одношаговое уравнение.

    Многие студенты не согласны с этим типом одношагового уравнения из-за наличия дроби в качестве коэффициента. То есть в данном случае \ Large {5 \ over 7}.

    Так как же нам исключить дробь \ Large {5 \ over 7}? Когда мы говорим, что хотим исключить дробь, это не значит, что мы должны сделать ее нулевой.Вместо этого мы хотим преобразовать его в \ large \ color {red} 1.

    Единственный способ сделать это - умножить дробь на обратную.

    Следовательно, чтобы решить это уравнение, мы умножим обе части на \ Large {7 \ over 5}, который является обратной величиной коэффициента.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *