Примеры по математике 3 класс в несколько действий на деление и умножение: Тренажеры по математике 3 класс (задачи и примеры) – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

Порядок решения примеров с умножением и делением. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,

причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Выполните действия 7−3+6 .

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 .

Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

Рассмотрим решения примеров.

Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2:3−7 .

В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

cleverstudents. ru

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

Если в примере нет скобок , мы выполняем все действия по порядку, слева направо.

Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, и лишь потом все остальные действия, начиная слева направо.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное – сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь – тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число – примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Если в примере нет скобок , сначала выполняем действия умножения и деления по порядку, слева направо. Затем – действия сложения и вычитания по порядку, слева направо.

Если в примере есть скобки , то сначала мы выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, и затем – сложение и вычитание начиная слева направо.

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные – значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 – 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

3. Порядок действий (расставляем порядок и решаем примеры)

Порядок действий в математике 4 класс

Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем сложение. Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить сложение и вычитание, выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после – разность.

Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.

Начать следует с умножения, далее – сложение.

После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.

По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.

Завершающим этапом станет вычитание.

Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

detskoerazvitie.info

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Цель: 1.

3. Закрепить знание таблицы умножения и деления на 2 – 6, понятия делителя и

4. Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование * : + — (), геометрический материал.

Раз, два – выше голова.

Три, четыре – руки шире.

Пять, шесть – всем присесть.

Семь, восемь – лень отбросим.

Но сначала придется узнать его название. Для этого нужно выполнить несколько заданий:

6 + 6 + 6 … 6 * 4 6 * 4 + 6… 6 * 5 – 6 14 дм 5 см… 4 дм 5 см

Пока мы вспоминали о порядке действий в выражениях, с замком происходили чудеса. Мы были только что у ворот, а теперь попали в коридор. Смотрите, дверь. А на ней замок. Откроем?

1. Из числа 20 вычесть частное чисел 8 и 2.

2. Разность чисел 20 и 8 разделить на 2.

— Чем отличаются результаты?

— Кто сможет назвать тему нашего урока?

(на массажных ковриках)

По дорожке, по дорожке

Скачем мы на правой ножке,

Скачем мы на левой ножке.

По тропинке побежим,

Наше предположение было полностью правильно7

Где выполняются действия сначала, если в выражении есть скобки?

Смотрите перед нами «живые примеры». Давайте «оживим» их.

* : + — ().

m – c * (a + d) + x

k: b + (a – c) * t

6. Работа в парах.

Для их решения вам понадобиться геометрический материал.

Учащиеся выполняют задания в парах. После выполнения проверка работы пар у доски.

Что нового вы узнали?

8. Домашнее задание.

Тема: Порядок действий в выражениях со скобками.

Цель: 1. Вывести правило порядка действий в выражениях со скобками, содержащих все

4 арифметических действия,

2. Формировать способность к практическому применению правила,

4.Учить работать в парах с целью развития коммуникативных качеств.

Оборудование : учебник, тетради, карточки со знаками действий * : + — (), геометрический материал.

1 . Физминутка.

Девять, десять – тихо сесть.

2. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы с вами отправляемся в очередное путешествие по стране Знаний городу математика. Нам предстоит посетить один дворец. Что-то я забыла его название. Но не будем расстраиваться, вы сами сможете мне подсказать его название. Пока я переживала, мы подошли к воротам дворца. Войдем?

1. Сравните выражения:

2. Расшифруй слово.

3. Постановка проблемы. Открытие нового.

Так как же называется дворец?

А когда в математике мы говорим о порядке?

Что вы уже знаете о порядке выполнения действий в выражениях?

— Интересно, нам предлагают записать и решить выражения (учитель читает выражения, учащиеся записывают их и решают).

20 – 8: 2

(20 – 8) : 2

Молодцы. А что интересного в этих выражениях?

Посмотрите на выражения и их результаты.

— Что общего в записи выражений?

— Как вы думаете, почему получились разные результаты, ведь числа были одинаковые?

Кто рискнет сформулировать правило выполнения действий в выражениях со скобками?

Правильность этого ответа мы сможем проверить в другой комнате. Отправляемся туда.

4. Физминутка.

И по этой же дорожке

До горы мы добежим.

Стоп. Немножко отдохнем

И опять пешком пойдем.

5. Первичное закрепление изученного.

Вот мы и пришли.

Нам нужно решить еще два выражения, чтобы проверить правильность нашего предположения.

6 * (33 – 25) 54: (6 + 3) 25 – 5 * (9 – 5) : 2

Для проверки правильности предположения откроем учебники на стр. 33 и прочитаем правило.

Как нужно выполнять действия после решения в скобках?

На доске написаны буквенные выражения и лежат карточки со знаками действий * : + — (). Дети выходят к доске по одному, берут карточку с тем действием, которое нужно сделать сначала, потом выходит второй ученик и берет карточку со вторым действием и т. д.

а + (а –в)

а * (в +с) : d – t

m – c * ( a + d ) + x

k : b + ( a – c ) * t

(a – b) : t + d

6. Работа в парах.

Знание порядка действий необходимо не только для решения примеров, но и при решении задач мы тоже сталкиваемся с этим правилом. Сейчас вы в этом убедитесь работая в парах. Вам нужно будет решить задачи из № 3 стр. 33.

7. Итог.

По какому дворцу мы с вами сегодня путешествовали?

Вам понравился урок?

Как нужно выполнять действия в выражениях со скобками?

Можно ли оформить договор купли-продажи квартиры, купленной за материнский капитал? В настоящей момент каждой семье, в которой родился или которая усыновила второго ребенка, государство предоставляет возможность […]
Особенности бухгалтерского учета субсидий Государство стремится поддержать малое и среднее предпринимательство. Такая поддержка наиболее часто выражается в форме предоставления субсидий – безвозмездных выплат из […]
Работа вахтой в Москве – свежие вакансии прямых работодателей логистические компании; склады; Дополнительный плюс работы вахтовым методом заключается в том, что работник получает от компании проживание (в […]
Ходатайство об уменьшении размера исковых требований Один из видов уточнения иска – ходатайство об уменьшении размера исковых требований. Когда истец неправильно определил цену иска. Или ответчик частично исполнил […]
Как правильно париться в бане Банная процедура с парением – это целая наука. Основные правила парильщика: не торопиться, наибольшее удовольствие от бани – когда можно не спеша несколько раз зайти в парилку с […]
Школьная Энциклопедия Nav view search Login Form Законы Кеплера о движении планет Подробности Категория: Этапы развития астрономии Опубликовано 20. 09.2012 13:44 Просмотров: 25396 «Он жил в эпоху, когда ещё не […]

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

38 – (10 + 6) = 22;

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1) действия, заключенные в скобках;

2) умножение и деление;

3) сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

Понравилась статья – поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Порядок выполнения действий: правила, примеры.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7−3+6=4+6=10

Ответ: 7−3+6=10.

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6:2·8:3?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4):2.

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2·3=7−6=1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5+1·2:2=5+2:2=5+1=6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

(3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

ГДЗ самостоятельные работы к учебнику Моро по математике за 3 класс Самсонова ФГОС часть 1, 2

Автор: Л.

Ю. Самсонова

Издательство: Экзамен 2017

Серия: УМК

Тип книги: Самостоятельные работы

Часть: 1, 2

Как нужно работать с решебником к СР по математике для 3 класса от Самсоновой и в чем заключается его польза?

Организовать полноценный и качественный учебный процесс без приобщения к нему учебно-вспомогательной литературы невозможно. Только при регулярных занятиях в спокойной домашней обстановке можно добиться непрерывного и разностороннего интеллектуального роста. Но мамы и папы зачастую не воспринимают «онлайн-шпаргалки» как положительное явление, они считают, что изначально решенные вопросы ничему не учат их чад и более того – вредят качеству их образования. Разумеется, такое мнение имеет мало общего с реальным положением дел, поскольку такого рода пособия созданы исключительно для благих целей: чтобы обеспечить учащегося материалом, необходимым для проведения самоконтроля.

«ГДЗ к самостоятельным работам по математике за 3 класс от Самсоновой Л. Ю. (Экзамен)» – это средство для самопроверки, и обращаться с ним следует правильно:

Завершить упражнение самому.
Проверить себя, открыв онлайн-задачник.
Найти и исправить ошибки.

Быстрый поиск

Часть 1

Повторяем все, что знаем

Сложение и вычитание в пределах 100

Уравнение. Буквенные выражения

Компоненты действий сложения, вычитания

Решаем задачи

Решаем примеры

Табличное умножение и деление на 2, 3

Компоненты действий умножения, деления

Порядок выполнения действий

Табличные случаи умножения и деления на 4, 5

Решаем задачи

Решаем примеры

Табличные случаи умножения и деления на 6, 7

Увеличение, уменьшение числа в несколько раз

Умножение Табличные случаи умножения и деления на 8, 9деление чисел, оканчивающихся нулями

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Решаем задачи

Решаем примеры

Умножение и деление вида 2х0,2

Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями

Единицы времени

Окружность

Часть 2

Умножение и деление двузначного числа на однозначное

Деление с остатком

Решаем задачи

Решаем примеры

Письменная нумерация чисел в пределах 100

Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000

Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000

Умножение на 10 и 100

Решаем задачи

Решаем примеры

Устные приемы умножения и деления в пределах 1000

Письменные приемы умножения на однозначное число

Письменные приемы деления на однозначное число

Доли

Решаем задачи

Решаем примеры

Миллиметр

Угол.

Виды углов

Треугольник

Многоугольник

Периметр

Площади

От учеников третьих классов, уже прошедших половину своего пути в начальном звене, сейчас требуется сосредоточиться на восприятии и усвоении поступающей информации. Они уже адаптировались к ритму школьных будней, знают о всех законах и порядках, царящих в стенах будущей альма-матер, и потому им не нужно тратить силы на привыкание к среде, как их маленьким товарищам. Третьеклассники могут с головой погрузиться в изучаемый материал, одновременно готовясь к ожидающей их через год неминуемой Государственной итоговой аттестации. Царица наук будет одной из трех основных дисциплин, которые им потребуется сдавать на испытании, а так как сложности в ее понимании возникают почти всегда и у всех, юным математикам потребуется уделить ей огромное количество времени и внимания. К счастью, им вовсе не обязательно бороться с трудностями в одиночку. Такое непростое дело требует компании, на которую можно положиться, и онлайн-пособие, разработанное по изданию, выпущенному издательством «Экзамен» в 2017 г. в дополнение к учебнику Моро М. И., призвано для исполнения этого требования. Оно, разумеется, может быть использовано в качестве контрольно-справочной базы и к любым другим УМК.

Чем наполнен онлайн-решебник к СР по математике 3 класс Самсонова

Главным ориентиром при составлении указанного справочника служила оригинальная печатная версия КИМов. Создававшие его методисты учли все нюансы, и потому содержание книги в точности копирует исходный учебно-методический комплект: соблюдена не только общая тематическая направленность, но и сама последовательность изложения глав. По программе исследование математической науки третьеклашками рассчитано на четыре часа в неделю, а это 136 ч. за весь учебный год. Курс в большей степени направлен на совершенствование вычислительных навыков и доведения их до автоматизма. Тетрадь состоит из двух частей, которые включают в себя самостоятельные работы по каждой из пройденных тем, выполненные в двух вариантах. В их числе:

Компоненты действий сложения и вычитания.
Умножение и деление на двойку и тройку по таблице.
Табличные случаи умн. и дел. на 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Во сколько раз больше/меньше?
Письменная нумерация в пределах сотни.
Устные приемы слож. и выч. до тысячи.
Миллиметр.
Угол и его виды.

В чем преимущество ГДЗ к с/р по математике для 3 класса от Самсоновой

Онлайн-пособие доступно бесплатно и с любых платформ. К тому же оно имеет:

понятный интерфейс;
быструю навигацию;
корректное оформление.

Как решить пример по действиям. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Составление выражения со скобками

1. Составь из следующих предложений выражения со скобками и реши их.

Из числа 16 вычти сумму чисел 8 и 6.
Из числа 34 вычти сумму чисел 5 и 8.
Сумму чисел 13 и 5 вычесть из числа 39.
Разность чисел 16 и 3 прибавь к числу 36
Разность чисел 48 и 28 прибавь к числу 16.

2. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

2.1. Папа принёс из леса мешок с орехами. Коля взял из мешка 25 орешков и съел. За тем Маша взяла из мешка 18 орешков. Мама то же взяла из мешка 15 орешков, но положила обратно 7 из них. Сколько осталось в итоге орешков в мешке, если в начале их было 78?

2. 2. Мастер ремонтировал детали. В начале рабочего дня их было 38. В первой половине дня он смог отремонтировать 23 из них. После полудня ему принесли еще столько же, сколько было в самом начале дня. Во второй половине он отремонтировал еще 35 деталей. Сколько деталей ему осталось отремонтировать?

3. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

45: 5 + 12 * 2 -21:3
56 – 72: 9 + 48: 6 * 3
7 + 5 * 4 – 12: 4
18: 3 – 5 + 6 * 8

Решение выражений со скобками

1. Реши примеры правильно раскрывая скобки:

1 + (4 + 8) =	8 – (2 + 4) =	3 + (6 – 5) =	59 + 25 =
82 + 14 =	29 + 52 =	18 + 47 =	39 + 53 =
37 + 53 =	25 + 63 =	87 + 17 =	19 + 52 =

2. Реши примеры правильно выполняя последовательность действий:

2.1. 36: 3 + 12 * (2 – 1) : 3
2.2. 39 – (81: 9 + 48: 6) * 2
2.3. (7 + 5) * 2 – 48: 4
2.4. 18: 3 + (5 * 6) : 2 – 4

3. Реши задачи, сперва составив правильно выражения, а за тем последовательно их решив:

3.1. На складе было 25 упаковок стирального порошка. В один магазин увезли 12 упаковок. За тем во второй магазин увезли столько же. После этого на склад привезли в 3 раза больше упаковок, чем было раньше. Сколько упаковок порошка стало на складе?

3.2. В гостинице проживало 75 туристов. За первый день из гостиницы уехали 3 группы по 12 человек, а заехали 2 группы по 15 человек. На второй день уехали еще 34 человека. Сколько туристов осталось в гостинице к концу 2 дня?

3.3. В химчистку привезли 2 мешка одежды по 5 вещей в каждом мешке. За тем забрали 8 вещей. После полудня привезли ещё 18 вещей на стирку. А забрали только 5 выстиранных вещей. Сколько вещей в химчистке к концу дня, если в начале дня там было 14 вещей?

ФИ _________________________________

21: 3 * 6 – (18 + 14) : 8 =	63: (81: 9) + (8 * 7 – 2) : 6 =	64:2: 4+ 97-91=
37 *2 + 180: 9 – 36: 12 =	52 * 10 – 60: 15 * 1 =	72: 4 +58:2=
5 *0: 25 + (72: 1 – 0) : 9 =	21: (3 * 7) – (7* 0 + 1)*1 =	6:6+0:8-8:8=
91: 7 + 80: 5 – 5: 5 =	64:4 – 3*5 +80:2=	(19*5 – 5) : 30 =
19 + 17 * 3 – 46 =	(39+29) : 4 + 8*0=	(60-5) : 5 +80: 5=
54 – 26 + 38: 2 =	63: (73) 3=	(160-70) : 18 *1=
200 – 80: 5 + 3 * 4 =	(29+25): (72:8)=	72:25 + 3* 17=
80: 16 + 660: 6 =	3 * 290 – 800=	950:50*1-0=
(48: 3) : 16 * 0 =	90-6*6+29=	5* (48-43) +15:5*7=
54: 9 8 – 14: 7 4 =	63: 74+70:7 5=	24: 67 – 70=
21: 7 * 8 + 32: 8 * 4 =	27: 3* 5 + 26-18 *4=	54: 6*7 – 0:1=
45: 9 * 6 + 7 * 5 – 26 =	28: 7 9 + 6 (54 – 47)=	6*(9: 3) – 40:5 =
21 * 1 – 56: 7 – 8 =	9 * (64: 8) – 18:18	3 *(14: 2) – 63:9=
4 * 8 + 42: 6 *5 =	04+0:5 +8 (48: 8)=	56:7 +76 – 51=
31 * 3 – 17 – 80: 16 * 1 =	57:19 32 – 11 7=	72-96:8 +60:15 *13=
36 + 42: 3 + 23 + 27 *0 =	56:14 *19 – 72:18=	(86-78:13)* 4=
650 – 50 * 4 + 900: 100 =	630: 9 + 120 * 5 + 40=	980 – (160 + 20) : 30=
940 – (1680 – 1600) * 9 =	29* 2+26 – 37:2=	72:3 +280: (14*5)=
300: (5 60) (78: 13) =	63+ 100: 4 – 8*0=	84:7+70:14 – 6:6=
45: 15 – 180: 90 + 84: 7 =	32+51 + 48:6 * 5=	54:6 ?2 – 70:14=
38: 2 – 48: 3 + 0 * 9 =	30:6 * 8 – 6+3*2=	(95:19) *(68:2)=
(300 – 8 * 7) * 10 =	1:1 – 00 + 10 – 1*1=	(80: 4 – 60:30) *5 =
2 * (120: 6 – 80: 20) =	56:4+96:3- 0*7=	20+ 20: 4 – 1*5=
(18 + 14) : 8 – (7 0 + 1) 1 =	(87-2):6 +63: (73)=	(50-5) : 5+21: (3*7)=
19 + 17 * 3 – 60: 15 * 1 =	80: 5 +3*5 +80:2=	54: 9 8-64:4 +160=
72 * 10 – 64: 2: 4 =	84 – 36 + 38:2	91:13+80:5 – 5:5
300 – 80: 5 + 6 * 4 =	950:190 1+14: 74=	(39+29) : 17 + 8*0=
(120 – 30) : 18 * 1- 72: 25 =	210:30*60-0:1=	90-67+3 17=
240: 60 7 – 7 0 =	60:60+0:80-80:80=	720: 40 +580:20=
9 7 – 9 1 + 5 * 0: 25 =	21: 7 * 6 +32: 4 *5=	80:16 +66:6 -63:(81:9)=
(19 * 5 – 5) : 30 + 70: 7 =	15:57 + 63: 7 5=	54: 6 * 7 – (72:1-0):9=
3 290 – 600 – 5 (48 – 43) =	(300-897)10 – 3?2=	(80: 4) +30*2+ 180: 9=
30: 6 * 8 – 6 + 48: 3 + 0 *9 =	(95:19) (68:34) – 60:305=	27: 3*5 – 48:3=
3* 290 – 800 + 950: 50 =	80:16 +660:6*1-0=	90-66+ 15:57=
5(48 – 43) + (48: 3) :160=	280: (145) +630: 90=	300: (506) (78: 6)=

Если в примерах встретится вопросительный знак (?), следует его заменить на знак * – умножение.

1. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

35: 5 + 36: 4 – 3
26 + 6 х 8 – 45: 5 24: 6 + 18 – 2 х 6
9 х 6 – 3 х 6 + 19 – 27:3

2. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

48: 8 + 32 – 54: 6 + 7 х 4
17 + 24: 3 х 4 – 27: 3 х 2 6 х 4: 3 + 54: 6: 3 х 6 + 2 х 9
100 – 6 х 2: 3 х 9 – 39 + 7 х 4

3. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

100 – 27: 3 х 6 + 7 х 4
2 х 4 + 24: 3 + 18: 6 х 9 9 х 3 – 19 + 6 х 7 – 3 х 5
7 х 4 + 35: 7 х 5 – 16: 2: 4 х 3

4. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 6: 3 + 6 х 8 – 17
5 х 8 – 4 х 7 + 13 – 11 24: 6 + 18: 2 + 20 – 12 + 6 х 7
21: 3 – 35: 7 + 9 х 3 + 9 х 5

5. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 7 х 3 + 2 + 24: 3 – 7 + 9 х 3
6 х 6 + 30: 5: 2 х 7 – 19 90 – 7 х 5 – 24: 3 х 5
6 х 5 – 12: 2 х 3 + 49

6. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

32: 8 х 7 + 54: 6: 3 х 5
50 – 45: 5 х 3 + 16: 2 х 5 8 х 6 + 23 – 24: 4 х 3 + 17
48: 6 х 4 + 6 х 9 – 26 + 13

7. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

42: 6 + (19 + 6) : 5 – 6 х 2
60 – (13 + 22) : 5 – 6 х 4 + 25 (27 – 19) х 4 + 18: 3 + (8 + 27) :5 -17
(82 – 74) : 2 х 7 + 7 х 4 – (63 – 27): 4
8. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

90 – (40 – 24: 3) : 4 х 6 + 3 х 5
3 х 4 + 9 х 6 – (27 + 9) : 4 х 5
(50 – 23) : 3 + 8 х 5 – 6 х 5 + (26 + 16) : 6
(5 х 6 – 3 х 4 + 48: 6) +(82 – 78) х 7 – 13
54: 9 + (8 + 19) : 3 – 32: 4 – 21: 7 + (42 – 14) : 4 – (44 14) : 5

9. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

9 х 6 – 6 х 4: (33 – 25) х 7
3 х (12 – 8) : 2 + 6 х 9 – 33 (5 х 9 – 25) : 4 х 8 – 4 х 7 + 13
9 х (2 х 3) – 48: 8 х 3 + 7 х 6 – 34

10. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 6 – 36: 6) : 6 х 3 + 5 х 9
7 х 6 + 9 х 4 – (2 х 7 + 54: 6 х 5) (76 – (27 + 9) + 8) : 6 х 4
(7 х 4 + 33) – 3 х 6:2

11. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(37 + 7 х 4 – 17) : 6 + 7 х 5 + 33 + 9 х 3 – (85 – 67) : 2 х 5
5 х 7 + (18 + 14) : 4 – (26 – 8) : 3 х 2 – 28: 4 + 27: 3 – (17 + 31) : 6

12. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(58 – 31) : 3 – 2 + (58 – 16) : 6 + 8 х 5 – (60 – 42) : 3 + 9 х 2
(9 х 7 + 56: 7) – (2 х 6 – 4) х 3 + 54: 9

13. РЕШИ ВЫРАЖЕНИЯ:

(8 х 5 + 28: 7) + 12: 2 – 6 х 5 + (13 – 5) х 4 + 5 х 4
(7 х 8 – 14: 7) + (7 х 4 + 12: 6) – 10: 5 + 63: 9

Тест «Порядок арифметических действий» (1 вариант)
1(1б)
2(1б)
3(1б)
4(3б)
5(2б)
6(2б)
7(1б)
8(1б)
9(3б)
10(3б)
11(3б)
12(3б)

110 – (60 +40) :10 х 8

а) 800 б) 8 в) 30

а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1

3 4 6 5 1 2

5. В каком из выражений последнее действие умножение?
а) 1001:13 х (318 +466) :22

в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2
6. В каком из выражений первое действие вычитание?
а) 2025:5 – (524 – 24:6) х45
б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90
в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5

Выбери верный ответ:
9. 90 – (50- 40:5) х 2+ 30
а) 56 б) 92 в) 36
10. 100- (2х5+6 – 4х4) х2
а) 100 б) 200 в) 60
11. (10000+10000:100 +400) : 100 +100
а) 106 б) 205 в) 0
12. 150: (80 – 60:2) х 3
а) 9 б) 45 в) 1

Тест «Порядок арифметических действий»
1(1б)
2(1б)
3(1б)
4(3б)
5(2б)
6(2б)
7(1б)
8(1б)
9(3б)
10(3б)
11(3б)
12(3б)
1. Какое действие в выражении сделаешь первым?
560 – (80+20) :10 х7
а) сложение б) деление в) вычитание
2. Какое действие в этом же выражении сделаешь вторым?
а) вычитание б) деление в) умножение
3. Выбери правильный вариант ответа данного выражения:
а) 800 б) 490 в) 30
4. Выбери верный вариант расстановки действий:
а) 3 4 6 5 2 1 4 5 6 3 2 1
320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15) в) 320:8 х 7+9х(240 – 60:15)

3 4 6 5 2 1
б) 320: 8 х 7 + 9 х (240 – 60:15)
5. В каком из выражений последнее действие деление?
а) 1001:13 х (318 +466) :22
б) 391 х37:17 х (2248:8 – 162)
в) 10000 – (5 х 9+56 х 7) х2
6. В каком из выражений первое действие сложение?
а) 2025:5 – (524 + 24 х6) х45
б) 5870 + (90-50 +30) х8 -90
в) 5400:60 х (3600:90 -90)х5
7. Выбери верное высказывание: «В выражении без скобок действия выполняются:»
а) по порядку б) х и: , затем + и – в) + и -, затем х и:
8. Выбери верное высказывание: «В выражении со скобками действия выполняются:»
а) сначала в скобках б)х и:, затем + и – в) по порядку записи
Выбери верный ответ:
9. 120 – (50- 10:2) х 2+ 30
а) 56 б) 0 в) 60
10. 600- (2х5+8 – 4х4) х2
а) 596 б) 1192 в) 60
11. (20+20000:2000 +30) : 20 +200
а) 106 б) 203 в) 0
12. 160: (80 – 80:2) х 3
а) 120 б) 0 в) 1

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

Решение примеров со скобками

Разберём конкретный пример:

При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
Начать следует с умножения, далее – сложение.
После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
Завершающим этапом станет .

Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Что такое действия первой и второй ступени

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Определение 3

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 – 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)
2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)
3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте .

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 – 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 – 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 – (20 – 7) +15

32 + 9 * (19 – 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 – 6: 2 * 3 =

18: (11 – 5) + 47=

7 * 3 – (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 – 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Порядок действий в Математике

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

сложение (+)
вычитание (-)
умножение (*)
деление (:)

Операции отношения:

равно (=)
больше (>)
меньше (<)
больше или равно (≥)
меньше или равно (≤)
не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 – 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 – 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

действия выполняются по порядку слева направо
сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 – 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 – 2 * 3 = 8 – 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 – 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 – 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Какое действие в полученном выражении делается первым, умножение или деление? Выполняем слева направо: умножение, деление, затем — вычитание. Получилось:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 18 : 2 = 10 + 6 = 16.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (7 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2 = 16.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Как решаем:

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

2 + 3 = 5.

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 24, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 – 7.

Как решаем:

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 – 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 – 7 = 3 * 3 + 36 : 3 – 7 = 9 + 12 – 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 – 7 = 14.

У нас есть статья “знаки больше, меньше или равно”, она может быть полезной для тебя!

Еще больше практики — в детской школе Skysmart. Ученики занимаются на интерактивной платформе, в комфортном темпе и с поддержкой внимательных учителей.

Чтобы ребенок занимался математикой в удовольствие и чувствовал себя увереннее в школе, запишите его на бесплатный вводный урок. Познакомим с форматом и вдохновим на учебу!

Порядок выполнения действий / Справочник по математике для начальной школы

Главная
Справочники
Справочник по математике для начальной школы
Порядок выполнения действий

В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.

1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:

Вычисляем:

1) 10 + 15 = 25

2) 25 – 6 = 19

3) 19 – 8 = 11

Полностью пример записываем так:

10 + 15 – 6 – 8 = 25 – 6 – 8 = 19 – 8 = 11

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:

Вычисляем:

1) 15 : 5 = 3

2) 3 • 4 = 12

3) 12 : 6 = 2

Полностью пример записываем так:

15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2

2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.

1)15 : 3 = 5

2) 6 • 8 = 48

3) 10 – 5 = 5

4) 5 + 48 = 53

Полностью пример записываем так:

10 – 15 : 3 + 6 • 8 = 10 – 5 + 6 • 8 = 10 – 5 + 48 = 5 + 48 = 53

3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.

1) 25 – 10 = 15

2) 15 : 3 = 5

3) 6 • 8 = 48

4) 5 + 48 = 53

Полностью пример записываем так:

(25 – 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.

1) 12 : 4 = 3

2) 6 + 3 = 9

3) 18 : 9 = 2

4) 42 + 2 = 44

Полностью пример записываем так:

42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44

Вывод:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Скобки

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 54. Вариант 1. № 2, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 10, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 52, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 53, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 57, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 62, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 97, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 111, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 40, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 50, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

3 класс

Страница 27, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 28, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 39, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 66, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 71, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 85, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 107, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 17, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 58, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 76, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс

Страница 6, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 40, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 52, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 76, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 19, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 41, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 6. Вариант 1. Проверочная работа 1, Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 31, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 58, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 115, Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

5 класс

Задание 74, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 243, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 244, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 259, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 455, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1127, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Задание 18, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 85, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 92, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 373, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 378, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 400, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 411, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 417, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 422, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 454, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Пользовательское соглашение

Математика для 3-го класса – Блок 2: Умножение и деление, Часть 1

Сводка по агрегату

Модуль 2 открывает учащимся глаза на некоторые из самых важных материалов, которые они изучают в 3-м классе, – умножение и деление. В этом разделе «учащиеся начинают развивать эти концепции, работая с числами, с которыми они более знакомы, такими как 2, 5 и 10, в дополнение к числам, которые легко пропустить, например, 3 и 4», позволяя познавательным требуют использования самих понятий умножения и деления, а не чисел (CCSS Toolbox, Sequenced Units for Common Core State Standards in Mathematics Grade 3).Затем в Модуле 3 студенты будут работать над более сложными модулями 0, 1, 6–9 и кратными 10.

Во 2 классе учащиеся научились считать объекты в массивах, используя повторное сложение (2.OA.4), чтобы получить основу для умножения. Они также проделали обширную работу над одно- и двухэтапными задачами со словами, включающими сложение и вычитание, освоив все типы задач, связанных с этими операциями (2.OA.1). Таким образом, учащиеся развили сильную склонность к решению проблем и имеют базовое содержание, необходимое для того, чтобы сразу приступить к умножению и делению в этом разделе.

В начале этого раздела учащиеся получают понимание умножения и деления в контексте задач равных групп и массивов в Теме A. Чтобы сосредоточиться на концептуальном понимании умножения и деления (3.OA.1, 3. OA.2), в теме A не обсуждаются конкретные стратегии решения, и, таким образом, учащиеся могут подсчитать все объекты (стратегия уровня 1) или запомнить их подсчет пропусков и повторное добавление (стратегии уровня 2) для поиска продукта. Тем не менее, в темах B и C основное внимание уделяется разработке более эффективных стратегий решения умножения и деления, включая подсчет пропусков и повторное сложение (стратегии уровня 2), а также «простое знание» фактов, что способствует достижению цели. «К концу 3 класса [ученики] знают по памяти все произведения двух однозначных чисел и связанные с ними факты деления» (3.OA.7). Как говорится в разделе «Операции и прогрессирование алгебраического мышления», «освоение этого материала и достижение беглости в однозначном умножении и соответствующем делении может занять довольно много времени, потому что нет общих стратегий для умножения или деления всех однозначных чисел, как это есть для сложения или вычитание »(OA Progression, стр. 22). Таким образом, поскольку «существует множество моделей и стратегий, зависящих от конкретных чисел», они сначала работают с факторами 2, 5 и 10 в теме B, поскольку они выучили эти последовательности подсчета пропусков во 2 классе.Затем в теме C они работают с новыми факторами 3 и 4. Только тогда, когда учащиеся лучше познакомятся с этими факторами, они смогут решать с ними более сложные и / или абстрактные задачи, включая определение неизвестного целого числа в таблице. уравнение умножения или деления, связывающее три целых числа (3.OA.4) и решение двухэтапных задач со словами с использованием всех четырех операций (3.OA.3, 3.OA.8), оценивая разумность их ответов для различных типы проблем в теме D.

На протяжении всего раздела студенты занимаются различными математическими упражнениями.В блоке особое внимание уделяется абстрактному и количественному мышлению, поскольку учащиеся начинают понимать значение умножения и деления, а также абстрактные символы, используемые для их представления (МР.2). Кроме того, учащиеся моделируют математику с помощью этих новых операций, решая с их помощью одно- и двухшаговые уравнения (МР.4).

Это введение в умножение и деление будет углублено в Блоке 3, когда студенты будут изучать более сложные множители 0, 1, 6–9 и кратные 10.Затем, в Модуле 4, студенты будут изучать область как приложение умножения. В 4 классе их понимание умножения и деления станет еще более тонким, когда они придут к пониманию мультипликативного сравнения и решат связанные с ним словесные задачи (4.OA.1, 4.OA.2). Кроме того, они будут решать многоступенчатые задачи со словами, включающие все четыре операции, иногда при необходимости интерпретировать остаток в контексте задачи (4.OA.3). Наконец, студенты станут более свободно владеть умножением и делением, умножением целого числа до четырех цифр на однозначное целое число и два двузначных числа, а также деление до четырехзначных дивидендов на однозначное число. делитель (4.NBT.5, 4.NBT.6). Умножение и деление обеспечивают основу для множества алгебраических и геометрических тем, от линейных функций до тригонометрии, и, таким образом, это содержание имеет решающее значение для всего будущего математического обучения.

Темп: 19 учебных дней (16 уроков, 2 гибких дня, 1 оценочный день)

Инструкции по корректировке темпа на 2020-2021 учебный год в связи с закрытием школ см. В нашем разделе «Рекомендуемые настройки для 3-го класса и последовательности».

Связь между делением и умножением

Это полный урок с обучением и упражнениями о взаимосвязи между умножением и делением, предназначенный для третьего класса.Это противоположные операции, и обе они связаны с группами одинакового размера. Студенты пишут предложения умножения и деления с одной и той же картинки. В последующих упражнениях они записывают факт деления, соответствующий заданному умножению, и наоборот. Наконец, учащиеся используют свои знания об умножении для решения задач деления.

Получаем как
, так и факт умножения
и факт деления
с той же картинки:

Три группы по 4 составляют 12.	3 × 4 = 12

12 разделены на группы по 4 – это три группы.	12 ÷ 4 = 3

Умножение и деление очень тесно связаны. Они противоположны операции.
Можно сказать, что деление «наоборот» умножение.

1. Заполните пустые поля.

а. Две группы по 6 – 12.

2 × 6 = 12

12 разделены на группы по 6 – это две группы.

12 ÷ 6 = 2

г. Пять групп по 2 _____.

____ × 2 = ____

____ разделен на группы по 2
есть ___ групп.

_____ ÷ 2 = ____

г. Одна группа из 4 – это 4.

____ × 4 = ____

4 разделены на групп по 4 – это одна группа.

_____ ÷ 4 = ____

г. ____ групп по 3 _____.

____ × ____ = ____

___ разделены на группы по 3
есть ___ групп.

_____ ÷ ____ = ____

э. Пять групп по 1 равно 5.

____ × 1 = ____

5 разделены на группы по 1
____ групп.

_____ ÷ 1 = ____

ф. ____ групп ____ _____.

____ × ____ = ____

___ разделено на групп по 2
___ групп.

_____ ÷ ____ = ____

2. Составляйте группы. Затем запишите факты деления и умножения, которые картинки иллюстрируют.

3.Теперь нарисуйте палочки или круги и сделайте картинку самостоятельно. Напишите деление
и предложения умножения.

а. Ничья 15 палочек.
Сгруппируйте по 5.

_____ × 5 = _______

_______ ÷ 5 = _____

б. Нарисуйте 24 палочки.
Составляйте группы по 8.

_____ × ____ = _______

______ ÷ ____ = _____

г. Нарисуйте 30 палочек.
Сгруппируйте по 5.

_____ × ____ = _______

______ ÷ ____ = _____

г. Ничья 27 палочек.
Составляйте группы по 9.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

г. Нарисуйте 32 палочки.
Составляйте группы по 16.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

ф. Нарисуйте 16 палочек.
Сгруппируйте по 2.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

г. Ничья 8 палочек.
Сформируйте группу из 8.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

ч. Нарисуйте 18 палочек.
Составляйте группы по 9.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

i. Нарисуйте 20 палочек.
Сгруппируйте по 5.

_____ × ____ = _______

_______ ÷ ____ = _____

4.Для каждого факта умножения напишите также факт деления. Считать о группах!

а. 7 × 2 = _____

______ ÷ 2 = _____

б. 12 × 2 = _____

______ ÷ 2 = _____

c. 8 × 5 = _____

______ ÷ 5 = _____

г. 6 × 7 = _____

______ ÷ ____ = _____

э. 7 × 7 = _____

______ ÷ ____ = _____

ф. 11 × 3 = _____

______ ÷ ____ = _____

г. 9 × 8 = _____

______ ÷ ____ = _____

ч. 1 × 5 = _____

______ ÷ ____ = _____

я. 7 × 9 = _____

______ ÷ ____ = _____

Вы можете решить проблему разделения, подумав о умножение соответствия .

30 ÷ 6 = ___	Подумайте: сколько 6 умножить на 30?
___ × 6 = 30

Итак, поскольку вы уже знаете таблицы умножения, деление будет простым!

5.Для каждого деления подумайте о соответствующем умножении и решать.

а. 14 ÷ 2 = ______

____ × 2 = 14

б. 18 ÷ 2 = ______

____ × 2 = ______

c. 21 ÷ 7 = ______

____ × 7 = ______

г. 54 ÷ 6 = ______

____ × ____ = ______

э. 24 ÷ 4 = ______

____ × ____ = ______

f. 30 ÷ 3 = ______

____ × ____ = ______

г. 32 ÷ 4 = ______

____ × ____ = ______

ч. 56 ÷ 7 = ______

____ × ____ = ______

я. 55 ÷ 5 = ______

____ × ____ = ______

6. Разделить. Опять подумайте об умножении .

а.

б.

24 ÷ 4 = ______

16 ÷ 2 = ______

20 ÷ 2 = ______

36 ÷ 9 = ______

15 ÷ 5 = ______

35 ÷ 5 = ______

49 ÷ 7 = ______

54 ÷ 9 = ______

32 ÷ 8 = ______

40 ÷ 8 = ______

50 ÷ 5 = ______

42 ÷ 6 = ______

48 ÷ 6 = ______

56 ÷ 8 = ______

81 ÷ 9 = ______

100 ÷ 10 = _____

Подумайте об умножении и решите.

а. 1000 ÷ 100 = ______	г. 400 ÷ 50 = ______	г. 200 ÷ 4 = ______

г. 1000 ÷ 500 = ______	e. 800 ÷ 800 = ______	ф. 200 ÷ 40 = ______

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Division 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Связь между умножением и делением

Математика – очень логичная наука, построенная на правилах, принципах и отношениях.Математическое мышление основано на последовательном изучении процедур сначала с конкретными объектами, затем с визуальными моделями и только потом с абстрактными символами и понятиями. Такой систематический подход к обучению позволяет учащимся понять смысл математических операций и связь между ними.

Начиная с 3-го класса, «Счастливые числа» дают пошаговые объяснения умножения и деления, их связи со сложением и вычитанием, которые учащиеся освоили ранее, и того, как применять эти операции.Кроме того, студенты изучают связь между умножением и делением, поскольку эти операции обратны друг другу. Впоследствии они укрепляют и развивают эти знания при решении различных задач. В этой статье рассматривается, как Happy Numbers помогает студентам изучить взаимосвязь между умножением и делением, чтобы они могли свободно выполнять эти операции.

1. Связанные факты об умножении и делении

Связь деления на число с умножением на одно и то же число

Самый простой способ установить связь между умножением и делением на интуитивном уровне – использовать модель массива, которая в равной степени подходит для обеих операций.«Счастливые числа» предлагает серию упражнений, которые приводят учащихся к концептуальному пониманию этой взаимосвязи.

В первом упражнении учащиеся сопоставляют факты умножения и деления, соответствующие одной и той же модели массива. Каждая из трех задач начинается с разделения. Например, на снимке экрана ниже показан третий массив, а результаты первых двух сохраняются в правом верхнем углу:

Если учащиеся отвечают неправильно, следующая подсказка напоминает им об интерпретации деления, которая позволяет им найти ответ:

Следующий шаг – завершение предложения умножения на основе того же представления массива:

Теперь студенты смотрят на результаты трех заданий и приходят к важному предположению:

Чтобы просмотреть упражнение полностью, перейдите по этой ссылке.

Деление на 3 связано с умножением на 3. Не только это, но и отношение верно для любого числа: Деление на число связано с умножением на то же число .

Это делает утверждение «Деление связано с умножением» более конкретным и может быть дополнительно детализировано, чтобы стать незамедлительно используемым инструментом.

Связанные факты умножения и деления состоят из связанных одинаковыми числами

Чтобы детализировать установленную выше взаимосвязь, Happy Numbers предлагает упражнения, привлекающие внимание студентов к числам, участвующим в двух операциях (делении и умножении), соответствующих одной и той же модели массива:

Учащиеся выделяют три пары чисел, и эта цветовая кодировка помогает составить утверждение:

Это утверждение затем позволяет студентам заполнить факты умножения, связанные с данным фактом деления.Например:

В случае неправильного ответа ученики получают напоминание:

В этих задачах используется одна заготовка, однако ее размещение может быть разным. Он может быть в любом уравнении и в любом положении. Чтобы увидеть полное упражнение, перейдите по этой ссылке.

Таким образом, учащиеся понимают, что оба связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел. Это добавляет важную деталь к ранее установленным отношениям, и вместе они описывают очень практический факт:

Деление на число связано с умножением на такое же число.
Два связанных уравнения состоят из одних и тех же чисел.
Пример: 14 ÷ 2 = 7, 7 × 2 = 14

Это подробное описание взаимосвязи между умножением и делением позволяет учащимся составить уравнение деления, связанное с данным уравнением умножения, и наоборот.

Чтобы привыкнуть к взаимосвязи, студенты работают над простыми задачами в пределах 100 : для данного уравнения деления они находят соответствующее уравнение умножения в таблице умножения.

Это делается в два этапа. Ответ на первую часть задания…

… позволяет учащимся ограничить поиск связанных фактов умножения таблицей умножения для одного числа (2 в этом примере).

В вышеуказанных упражнениях учащиеся не выполняют умножение или деление; вместо этого они развивают математическое мышление, чтобы обнаружить взаимосвязь между этими типами фактов, что поможет им решать проблемы в будущей деятельности.

Деление на 100 на основе связи между умножением и делением

К настоящему времени студенты искали только факт умножения, связанный с с учетом факта деления , и пришло время рассмотреть более практический случай, когда результат деления неизвестен.
Happy Numbers представляет эту задачу так, что она очень похожа на предыдущую с заданным фактом деления. Это помогает учащимся понять, что связь между умножением и делением остается применимой и здесь:

… и соответствующий факт умножения можно найти в соответствующей таблице умножения (× 3 в этом примере):

Есть важная подсказка для тех, кому это нужно:

На приведенном выше снимке экрана другие коэффициенты в таблице умножения на 3 скрыты, чтобы подчеркнуть, что соответствующее предложение умножения можно идентифицировать без какой-либо информации об этом коэффициенте.

Итак, родственные предложения:

Здесь результат деления и один из факторов на самом деле являются одним и тем же числом , поэтому знание одного из них означает также знание другого:

Зная основной факт умножения 4 × 3 = 12, сразу следует, что 12 ÷ 3 равно 4.

Чтобы просмотреть упражнение полностью, перейдите по этой ссылке.

Та же стратегия работает для поиска фактов деления, связанных с основными фактами умножения (то есть умножения двух однозначных чисел). Рассмотрим, например, умножение и деление на 7. В учебной программе «Счастливые числа» учащиеся сначала работают с фактами умножения × 7, а затем применяют взаимосвязь между делением и умножением для деления.Здесь подсказка напоминает им о взаимосвязи между умножением и делением:

В случае неправильного ответа предоставляется дополнительная поддержка:

Студенты получают дополнительную поддержку при необходимости: таблицу × 7 можно сделать доступной, нажав кнопку справки.

Здесь достигается двойная цель: усвоение основных фактов и понимание взаимосвязи между умножением и делением.

Две пары связанных фактов умножения и деления

Для дальнейшего развития понимания учащимися этой взаимосвязи, Happy Numbers вводит факт умножения, такой как 3 × 8 = 24, и показывает, как взаимосвязь между умножением и делением приводит к факту деления 24 ÷ 8 = 3.

Стоит упомянуть, что существует еще одна пара связанных фактов, состоящих из тех же трех чисел. Это связано с коммутативным свойством умножения: факты умножения в двух парах просто поменяли местами множители.Например:

3 × 8 = 24 8 × 3 = 24

Каждое из уравнений умножения имеет свой собственный факт деления.

Эти пары фактов представляют собой обратные операции: первая – умножение на 8 и деление на 8, другая – умножение на 3 и деление на 3.Итак, отношения внутри каждой пары очень близкие, а все четыре факта связаны. Студенты узнают, что делитель в факте деления и один из факторов в факте умножения одинаковы. Кроме того, оба уравнения состоят из одних и тех же трех чисел.

2. Деление как проблема неизвестного фактора

Толкования и определение подкласса

В начальной школе деление обычно вводится с учетом двух его интерпретаций: нахождения количества групп и нахождения количества предметов в каждой группе.Оба они используют равное распределение объектов между несколькими группами, в то время как каждая интерпретация затрагивает свой вопрос.

Давайте начнем с интерпретации деления как нахождения количества групп , когда даны количество объектов в каждой группе и общее количество. Рассмотрим, например, задание из учебной программы «Счастливые числа»:

Количество групп (ящиков) можно найти делением 10 ÷ 2 = ▢. При этом задачу можно представить и решить в виде уравнения для неизвестного количества групп: ▢ × 2 = 10.

Другая интерпретация деления – это нахождение числа объектов в каждой группе , когда даны общее количество и количество групп. Например:

Как и в предыдущем примере, неизвестное число можно найти любым способом: делением 12 ÷ 4 = ▢ или решением уравнения для неизвестного числа объектов в каждой группе: 4 × ▢ = 12. Из-за коммутативности При умножении коэффициенты можно поменять местами, чтобы неизвестный коэффициент оказался в первой позиции ▢ × 4 = 12, как и в первой интерпретации.

Таким образом, в обеих интерпретациях неизвестное можно найти, решив уравнение в той же форме:

▢ × делитель = дивиденд

, несмотря на различное значение неизвестного (количество групп или количество объектов в каждой группе). Итак, не имеет значения, какая из двух интерпретаций используется. Например, 120 ÷ 8: оба подразумевают одно и то же уравнение ▢ × 8 = 120 для нахождения частного. Две интерпретации разделения согласованы!

Дело в том, что нахождение неизвестного фактора на самом деле является определением деления .Точнее:

– Отдел находит неизвестный множитель из уравнения ▢ × делитель = делимое

или другими словами:

– Результат деления – это число, умноженное на делитель, чтобы получить дивиденд.

Прежде всего, это означает, что любой известный факт умножения дает факт деления. Например, зная, что 25 × 6 = 150, человек знает, что 150 ÷ 6 = 25. Этот источник фактов деления очень полезен до тех пор, пока студенты не овладеют стандартным алгоритмом деления.Фактически, мы использовали эту стратегию ранее для установления фактов деления, соответствующих основным фактам умножения в пределах 100.

Наиболее важным в понимании деления как нахождения неизвестного фактора является то, что оно охватывает все случаи деления действительных чисел, включая деление любого целого числа, даже если оно не приводит к частному целому числу.

Дробь как результат деления целых чисел

Не всегда можно разделить целые числа и получить результат целого числа (деление на остаток дает пару целых чисел , а не единичное число ).Итак, набор целых чисел и операция деления расширены, чтобы это стало возможным. В игру вступают дроби, и интерпретация деления на основе равного распределения показывает, что результатом деления может быть дробь. Например, в задании из учебной программы «Счастливые числа» учащиеся делят 3 выпечки поровну на 4 тарелки

Они работают в интерактивном режиме со всей необходимой поддержкой, чтобы получить следующий результат:

Выполнение ряда аналогичных заданий приводит учащихся к разумному выводу, что:

Результат деления целого числа делимого на целое число делитель является дробью

Легко прийти к такому выводу, если понимать разделение как обнаружение неизвестного фактора.Давайте проверим, например, что 5, разделенное на 9, равно ⁵ ⁄ ₉. С точки зрения поиска неизвестного фактора это означает: убедитесь, что ⁵ ⁄ ₉ удовлетворяет уравнению

▢ × 9 = 5

, что верно: ⁵ ⁄ ₉ × 9 = 5.

Умножение и деление как обратные операции

Часто говорят, что умножение и деление – обратные операции, но что именно это означает? Фактически, это сводится к полезному утверждению, которое является просто еще одним способом выразить взаимосвязь между умножением и делением, как обсуждалось выше.

Рассмотрим, например, деление числа m на 7. Соотношение между умножением и делением говорит о том, что умножение результата m ÷ 7 на делитель дает делимое m :

( м ÷ 7) × 7 = м

Итак, , если число делится на 7, умножение частного на 7 отменяет деление на 7 , или для краткости: умножение на 7 является обратной операцией для деления на 7.На самом деле это верно для любого числа n ≠ 0 вместо 7:

Умножение на n отменяет деление на n ( n ≠ 0)

Верно и наоборот:

Деление на n отменяет умножение на n ( n ≠ 0)

Эти утверждения интуитивно понятны и полезны. Например, умножение на 10 (или более, обычно на соответствующую степень 10) с последующим делением упрощает умножение десятичной дроби до умножения целого числа:

Начиная с исходного выражения 3 × 2.3, студенты преобразовали его, умножив десятичный множитель на 10. Это также означает, что произведение умножается на 10 из-за ассоциативного свойства. Теперь ученики делят на 10, чтобы отменить умножение и таким образом получить требуемый исходный продукт.

Эта стратегия также применима к умножению и делению двух десятичных чисел.

Проверочное деление с умножением

Это занятие с двойной целью.Первая цель – это, конечно, проверка расчета, что особенно важно, когда разделение «сложное» или когда вводятся новые приложения. Это довольно «сложно», если, например, деление в столбик выглядит так:

Решение можно проверить, проверив, истинно ли 957 × 3 = 2,871.

Пример нового применения деления – введение деления дроби на целое число.

Проверка результата 2 ÷ ¹ ⁄ ₃ = 6 путем проверки правильности 6 × ¹ ⁄ ₃ = 2 здесь важна для усиления концептуального понимания деления.

Возможный подход к задачам дробного деления

Сила отношения умножения / деления простирается за пределы начальной школы. Учащиеся 6 классов и старше могут использовать уравнение умножения с неизвестным фактором в качестве стратегии для решения задач деления на дроби. Давайте рассмотрим этот подход для двух стандартных типов задач со словами и задач с числовым делением.

Давайте начнем со словесной задачи, основанной на интерпретации деления как , нахождение неизвестного размера долей , когда указаны количество долей и общая сумма.

Это похоже на проблему с заданными целыми числами. Например, «Джим прополз 6 ярдов, что было 3 из его обычных ежедневных поездок. Как долго длится обычная ежедневная поездка? » Интерпретируется как проблема с заданной суммой – 6, заданным количеством акций – 3 и неизвестным размером акций . Исходная проблема часто интерпретируется таким же образом, хотя общая сумма является дробным числом (что неудивительно), а количество долей дробное. Студенты должны привыкнуть к последнему, что возможно на примере использования долей, таких как 2-галлонный резервуар: 1 галлон – это половина его объема, четверть галлона – одна восьмая его объема и т. Д.

Задача решается разделением ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢, при этом фактическое решение основано на модели, представляющей ¹ ⁄ ₂ как ² ⁄ ₄ и деление как ² ⁄ ₄ ÷ ³ ⁄ ₄ = 2 ÷ 3 = ² ⁄ ₃. Упрощение данных дробей до общего знаменателя работает для любой задачи деления на дроби. Однако это дополнительный шаг, от которого студенты могут научиться избавляться позже, когда умножение на обратную дробь заменяет прямое деление.

Давайте теперь рассмотрим альтернативную стратегию решения вышеуказанной проблемы.

Постановка задачи сразу же переводится как «Найдите всю длину поездки ▢, учитывая, что ³ ⁄ ₄ из нее равно ¹ ⁄ ₂ ярдов». Поскольку ³ ⁄ ₄ из ▢ равно ³ ⁄ ₄ × ▢, это проблема неизвестного фактора

³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂

, относящееся (эквивалент) к задаче деления ¹ ⁄ ₂ ÷ ³ ⁄ ₄ = ▢.

Чтобы найти неизвестный коэффициент, достаточно выделить в уравнении
³ ⁄ ₄ × ▢ = ¹ ⁄ ₂. Этого легко добиться, умножив обе части уравнения на величину, обратную ³ ⁄ ₄, то есть на ⁴ ⁄ ₃. (Обратной величиной любой дроби является дробь, в которой числитель и знаменатель исходной дроби поменяны местами. Обратное значение дроби, умноженной на эту дробь, всегда равно 1.) Это умножение дает

и ответ на проблему:

▢ = ⁴ ⁄ ₃ × ¹ ⁄ ₂ = ² ⁄ ₃

Рассмотрим теперь другой тип словесной задачи.

Независимо от того, что данная сумма и размер долей являются дробными, это проблема нахождения неизвестного количества долей : 1 ¹ ⁄ ₂ ÷ ² ⁄ ₅ = ▢.Исходная постановка проблемы также переводится в проблему с неизвестным фактором – количество долей, умноженное на размер доли, равняется заданной сумме:

▢ × ² ⁄ ₅ = 1 ¹ ⁄ ₂

В качестве альтернативы, можно прийти к проблеме неизвестного фактора, начиная с проблемы деления и используя взаимосвязь между умножением и делением. Проблема неизвестного фактора решается, как указано выше, с использованием обратной дроби ³ ⁄ ₂.

Как видите, даже задачи деления на дроби можно понять и решить, связав их с умножением.

***

Happy Numbers предлагает учебную программу, в которой студенты последовательно изучают математические процедуры. Они увеличивают и углубляют знания с помощью описательных визуальных моделей, дополненных манипулятивной механикой и выразительной анимацией. Мгновенная обратная связь, интегрированная в виде подсказок, позволяет студентам улучшить свою стратегию решения в данный момент и, таким образом, учиться на собственных ошибках.

Happy Numbers может стать отличным цифровым помощником на уроках математики! Готовы присоединиться? Зарегистрируйтесь в качестве преподавателя на сайте, чтобы начать бесплатный пробный период.

Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

Основные операции

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Цели обучения

Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

Основные выводы

Ключевые точки

Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.

Ключевые термины

ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
произведение : результат умножения двух величин.
частное : результат деления одной величины на другую.
сумма : результат сложения двух величин.
разница : результат вычитания одной величины из другой.

Четыре арифметических операции

Дополнение

Сложение – это самая основная арифметическая операция. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну сумму, или сумму . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и другая группа из 3 ящиков.Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

[латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание противоположно сложению. Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу в между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля.Математически:

[латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

Умножение

Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений. В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки – сложить группы вместе:

[латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

Однако есть еще один способ посчитать коробки – это умножить количество:

[латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат – 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

Дивизия

Деление – это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы приводит к получению 4 групп по 2 блока:

[латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

Основные арифметические свойства

Коммутативная собственность

Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение являются коммутативными операциями:

[латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
[латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

Однако вычитание и деление не коммутативны.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство описывает уравнения, в которых группировка чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

[латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
[латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

Распределительная собственность

Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третью величину.

[латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

Отрицательные числа

Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

Цели обучения

Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

Основные выводы

Ключевые точки

Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательный результат; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.

Четыре операции

Дополнение

Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

[латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Основной принцип заключается в том, что два долга – отрицательные числа – могут быть объединены в один долг большей величины.

При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа – вычесть положительные величины. Например:

[латекс] 8 + (−3) = 8 – 3 = 5 [/ латекс]

Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

[латекс] (- 8) + 3 = 3 – 8 = −5 [/ латекс]

Аналогично:

[латекс] (- 2) + 7 = 7 – 2 = 5 [/ латекс]

Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

[латекс] 2 + (−7) = 2-7 = −5 [/ латекс]

Вычитание

Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

[латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

[латекс] 5 – 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

[латекс] (- 3) – 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

Аналогично, вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и прибавление положительного числа этого числа. Идея здесь в том, что потерять долга – это то же самое, что получить кредит.Следовательно:

[латекс] 3 – (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

[латекс] (- 5) – (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

Умножение

При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
Произведение двух отрицательных чисел положительно.

Например:

[латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

[латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

Однако

[латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга – это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом – это то же самое, что получить кредит в шесть раз:

[латекс] \ left (−2 \ text {долгов} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

Дивизия

Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
Деление одного положительного числа и одного отрицательного числа дает отрицательное число.
После деления двух отрицательных чисел получается положительное число.

Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

[латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

[латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

но

[латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

Дополнительные соображения

Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

[латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

Дроби

Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

Цели обучения

Вычислить результат операций с дробями

Основные выводы

Ключевые точки

Для сложения и вычитания дробей требуются «одинаковые количества» – общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь – использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
Деление на дроби предполагает умножение первого числа на величину, обратную второму числу.

Ключевые термины

числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
обратная : Дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
дробь : отношение двух чисел – числителя и знаменателя, которые обычно пишутся одно над другим и разделяются горизонтальной чертой.

Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где торт можно разрезать, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Дополнение

Добавление одинаковых количеств

Первое правило сложения дробей – начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман – три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

Добавление отличных величин

Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, – это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ – использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

Сложение дробей к целым числам

Что делать, если к целому числу прибавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (вспомните, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} – \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} – \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} – \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

Умножение

В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьшего значения до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

[латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, – это во время приготовления.Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

Дивизия

Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина – это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

[латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если оно делится просто):

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

или умножьте знаменатель дроби на целое число:

[латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

Сложные фракции

Комплексная дробь – это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

Цели обучения

Упростить сложные дроби

Основные выводы

Ключевые точки

Сложные дроби включают такие числа, как [latex] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
«Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.

Ключевые термины

комплексная дробь : отношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, – это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] – сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

Объедините члены в числителе.
Объедините члены в знаменателе.
Разделите числитель на знаменатель.

Пример 1

Давайте применим этот метод к первой сложной дроби, представленной выше:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

[латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ гидроразрыва {4} {5} [/ латекс].

Пример 2

Давайте попробуем другой пример:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:

[латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]

Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:

[латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]

Перейдем к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]

Наконец, упростим полученную дробь:

[латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]

Следовательно, в итоге:

[латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]

Введение в экспоненты

Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на сам [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

Показатели 0 и 1

Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

Порядок действий

Порядок операций – это подход к оценке выражений, включающих несколько арифметических операций.

Цели обучения

Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

Основные выводы

Ключевые точки

Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
Умножение и деление имеют равный приоритет, так же как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
Полезная мнемоника для запоминания порядка действий – PEMDAS, иногда расширяемая до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Ключевые термины

математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

Порядок операций – это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

Один вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

Другой вариант:

[латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

Какой порядок действий правильный?

Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ – 10.

Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

Упростите термины в круглых или квадратных скобках
Упростите экспоненты и корни
Выполните умножение и деление
Выполнить сложение и вычитание

Эти правила означают, что в математическом выражении в первую очередь должна выполняться операция с наивысшим рангом в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

Примечание о равной приоритетности

Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

[латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
[латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

Мнемоника

В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

Однако эта мнемоника может вводить в заблуждение, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» – это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

[латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

[латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ записи мнемоники:

-П

Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

Обучение 3.OA.A.3 – Умножение и деление в пределах 100 для решения задач со словами в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измерениями величин

Представляйте и решайте задачи умножения и деления .

CCSS.Math.Content.3.OA.A.3
Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения задач со словами в ситуациях, связанных с равными группами, массивами и измеряемыми величинами, например.g., используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа, чтобы представить проблему.

Заметки для учителя
Рисунки и уравнения помогают нам решать задачи со словами в ситуациях, связанных с одинаковыми группами, массивами и измеряемыми величинами.
Понимание контекста и действий сюжетной проблемы помогает нам интерпретировать и представлять математические уравнения.

Цели знаний учащихся

Я понимаю умножение и деление.
Я могу сказать, что означают числа в словесной задаче.
Я знаю, как связаны умножение и деление.
Я знаю стратегии решения ситуаций умножения и деления.

Я могу использовать и интерпретировать символы неизвестных чисел в уравнениях умножения и деления.
Я понимаю структуру ситуаций умножения и деления, чтобы обеспечить контекст проблемы.
Я могу использовать структуру задачи со словом, чтобы решить ее.

Я могу написать уравнение и создать модель для описания контекста задачи умножения и / или деления.

Словарь

уравнение умножения
умножение
массив
равные группы / доли
факторов
продуктов
уравнение деления
деление
совместное использование

дивиденд
делитель
частное
неизвестно / символ

Уроки
Занять Нью-Йорк Модуль 1 B-4 – Поймите значение неизвестного как размер группы в подразделении.
Engage NY Модуль 1 B-5 – Поймите значение неизвестного как числа групп в подразделении.
Engage NY Module 1 B-6 – Интерпретация неизвестного в делении с использованием модели массива.
Learn Zillion Lesson – Свяжите умножение и деление с моделью массива, используя равные группы.

Студенческие видеоуроки
Learn Zillion – Интерпретация целых частных целых чисел
Virtual Nerd – Интерпретация целых частных целых чисел
Study Jams – Связать умножение и деление

Онлайн-задачи и оценки
Академия Хана – Вопросы и видеоуроки
Задачи с разделением слов – факты до 10
Заполните таблицу деления

Онлайн-игры
Представляйте и решайте задачи, связанные с умножением и делением

Печатные формы
Представляйте и решайте задачи, связанные с умножением и делением
Задача оценки 2
Задача оценки 3
Задача оценки 4
Задача оценки 5
Задача оценки 6
Задача оценки 7
Задача оценки 8
Задача оценки 9
Задача оценки 10
Задача оценки 11
Задача 1
Задача 2

Модели и стратегии умножения и деления | Scholastic

Чтобы продолжить мой последний блог о сложении и вычитании, я хотел бы рассмотреть различные стратегии и модели, используемые в умножении и делении.Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что они делают, а не просто запоминали шаги и процедуры. Им необходимо уметь анализировать числа и критически относиться к ним и их соотношению. Традиционные алгоритмы умножения и деления важны, и каждый студент должен знать, как их использовать, но только после того, как они укрепят свое понимание. Начиная с конкретной концепции, переходя к изобразительному и, наконец, к абстрактному, учащиеся могут полностью развить свое мастерство.

Ниже приведены некоторые модели, которые учащиеся используют, чтобы помочь им понять взаимосвязь между умножением и делением. Надеюсь, что просмотр этих моделей и понимание того, как их использовать, помогут вам, когда вы увидите, как их использует ваш ребенок.

Массивы: Это одна из самых ранних моделей, используемых для понимания концепции умножения и деления. Они помогают учащимся увидеть связь между двумя операциями, а учащиеся могут визуально увидеть концепцию «группировки» или «совместного использования».Массивы – отличный способ помочь учащимся запомнить факты умножения и деления, а не просто использовать флеш-карточки.

Изображение: Eduplace.org

Модели области: Модель области тесно связана с вычислениями, используемыми при вычислениях с использованием стандартного алгоритма. Разница заключается в визуальном представлении и связи с Системой Base 10, а также в понимании значения места. Студенты могут визуально видеть фактический размер каждого вычисления и узнавать, как интерпретировать частичные продукты.

Изображение: Tes.com

Модели стержней: Модели стержней основаны на концепции равных групп и частей-частей-целых. Эта модель помогает учащимся отойти от конкретной фазы и начинает помогать им понять сцену изобразительного искусства. Столбчатые модели – отличный способ помочь учащимся проявить свое мышление при решении задач, особенно при решении двухэтапных задач.

Изображение: Wikipedia.org

Числовые линии: Числовые линии позволяют учащимся начать понимать абстрактную стадию умножения и деления.Учащиеся начинают связывать подсчет пропусков и умножение числа с нахождением произведения фактора. Они могут «переходить» вперед или назад, чтобы представить обратную операцию. Числовые линии – отличные модели, которые помогают ученикам показать свое мышление и объяснить свои рассуждения.

Изображение: Eduplace.com

Массивы, умножение и деление

Массивы, умножение и деление

Дженни Пеннант с помощью Дженни Уэй и Майка Аскью исследует, как использовать массив в качестве инструмента мышления, чтобы помочь детям развить глубокое понимание умножения и деления.

Использование массивов для исследования чисел

Массивы – это полезные модели для умножения, которые можно использовать по-разному, от высоко структурированных уроков до игр и открытых исследований.

Массив формируется путем размещения набора объектов в строки и столбцы. Каждый столбец должен содержать такое же количество объектов, что и другие столбцы, и каждая строка должна иметь такое же количество объектов, что и другие строки.

Следующий массив, состоящий из четырех столбцов и трех строк, может использоваться для представления числового предложения 3 x 4 = 12, 4 x 3 = 12, 3 + 3 + 3 + 3 = 12 и 4 + 4 + 4 = 12.

Построение фактов и таблиц умножения

Массивы можно использовать для конструктивного построения фактов умножения. Прежде чем сверлить и запоминать таблицы, дети должны понять, как эти факты выводятся. Например, постепенно добавляя еще один столбец из трех объектов, дети могут построить себе трехкратные таблицы. Это представление не только помогает понять процесс, но и дает визуальное изображение для детей, на которых можно рисовать, когда они начнут использовать и запоминать основные числовые факты.

Использование массивов для исследования больших чисел

Массивы могут быть полезны для изучения вычислений, таких как 13 x 5, где массив может быть разделен на полезные части, такие как 10 и 3. Это означает, что дети могут использовать свои известные число фактов для проведения расчетов.

Здесь 13 x 5 = (10 x 5) + (3 x 5).

Через некоторое время рисование всех точек может стать очень утомительным! Пустой массив становится очень полезным инструментом, помогающим детям моделировать свое мышление и разрабатывать более сложные операции умножения в неформальной обстановке.

Вот ребенок, использующий пустой массив в качестве инструмента мышления, чтобы помочь им вычислить 15 x 14.

Пустой массив помогает детям использовать другие стратегии, такие как компенсация, при выполнении умножения. Здесь, чтобы вычислить 34 x 9, ребенок решил сделать 34 x 10, а затем снять 34 x 1.

Помимо пустого массива, эту стратегию «деления умножения на простые части» можно формализовать в виде сеточный метод.Дети могут видеть, как «абстрактный» метод сетки накладывает на массив и формализует пустой массив в стандартной форме.

Деление как обратная операция умножения

Из четырех операций деление является наиболее сложной задачей для молодых студентов. Полное понимание деления обычно сильно отстает от других операций. Для многих детей возможности исследовать концепцию на конкретных материалах ограничиваются задолго до того, как они осознают взаимосвязь между разделением и тремя другими операциями.Одна из таких отношений, обратная связь Между делением и умножением можно эффективно проиллюстрировать использование массивов.

Например; 3 × 5 = 15 или 3 строки из 5 составляют 15, могут быть представлены следующим массивом.

Если взглянуть на массив по-другому, можно увидеть обратное, то есть
15 ÷ 3 = 5 или 15, помещенные в 3 строки, дают 5 столбцов – или 5 в каждой строке.

Порядок решения примеров с умножением и делением. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Действия первой и второй ступени

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

Онлайн игры,тренажеры,презентации,уроки,энциклопедии,статьи

Post navigation

Примеры со скобками, урок с тренажерами.

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число – примеры со скобками. Тренажер

1. Примеры со скобками в пределах чисел до 100, действия сложения, вычитания, умножения и деления. Онлайн тренажер.

2. Тренажер по математике 2 – 3 класс «Расставь порядок действий (буквенные выражения).»

Порядок действий в математике 4 класс

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Урок по математике 2 класс Порядок действий в выражениях со скобками.

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Порядок выполнения действий: правила, примеры.

Порядок вычисления простых выражений

Что такое действия первой и второй ступени

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

ГДЗ самостоятельные работы к учебнику Моро по математике за 3 класс Самсонова ФГОС часть 1, 2

Рекомендуем посмотреть

Как нужно работать с решебником к СР по математике для 3 класса от Самсоновой и в чем заключается его польза?

Часть 1

Повторяем все, что знаем

Сложение и вычитание в пределах 100

Уравнение. Буквенные выражения

Компоненты действий сложения, вычитания

Решаем задачи

Решаем примеры

Табличное умножение и деление на 2, 3

Компоненты действий умножения, деления

Порядок выполнения действий

Табличные случаи умножения и деления на 4, 5

Решаем задачи

Решаем примеры

Табличные случаи умножения и деления на 6, 7

Увеличение, уменьшение числа в несколько раз

Умножение Табличные случаи умножения и деления на 8, 9деление чисел, оканчивающихся нулями

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Решаем задачи

Решаем примеры

Умножение и деление вида 2х0,2

Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями

Единицы времени

Окружность

Часть 2

Умножение и деление двузначного числа на однозначное

Деление с остатком

Решаем задачи

Решаем примеры

Письменная нумерация чисел в пределах 100

Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000

Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000

Умножение на 10 и 100

Решаем задачи

Решаем примеры

Устные приемы умножения и деления в пределах 1000

Письменные приемы умножения на однозначное число

Письменные приемы деления на однозначное число

Доли

Решаем задачи

Решаем примеры

Миллиметр

Угол.

Треугольник

Многоугольник

Периметр

Площади

Чем наполнен онлайн-решебник к СР по математике 3 класс Самсонова

В чем преимущество ГДЗ к с/р по математике для 3 класса от Самсоновой

Как решить пример по действиям. Учебно-методический материал по математике (3 класс) на тему: Примеры на порядок действий

Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

Решение примеров со скобками

Что такое действия первой и второй ступени

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями