Примеры на умножение столбиком 3 класс: Тренажер на умножение столбиком

Пример 3: Используйте 827 + 389 = 1,216, чтобы найти 389 + 827. 

Решение:

Поскольку 827 + 389 = 1216, значит, 389 + 827 также равно 1216.

Пример 4: Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы записать уравнение 3 + 5 + 9 = 17 в другой последовательности слагаемых.

Решение:

3 + 9 + 5 = 17 (поскольку 5 + 9 = 9 + 5)

5 + 3 + 9 = 17 (поскольку 3 + 5 = 5 + 3)

5 + 9 + 3 = 17 (потому что 3 + 9 = 9 + 3)

Точно так же мы можем переставить слагаемые и написать:

9 + 3 + 5 = 17

9 + 5 + 3 = 17

Пример 4: Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой. Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой. Они купили одинаковое количество ручек или нет?

Решение: 

Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой.

Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 3 × 6

Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой.

Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 6 × 3

По свойству перестановочности умножения 3 × 6 = 6 × 3. 

Итак, Бен и Мия купили одинаковое количество ручек.

Пример 5: У Лизы 78 красных и 6 синих шариков. У Бет есть 6 упаковок по 78 шариков в каждой. У них одинаковое количество шариков?

Решение:

Так как у Лизы 78 красных и 6 синих шариков.

Итак, общее количество шариков у Лизы = 78 + 6

У Бет 6 пакетов по 78 шариков в каждом.

Итак, общее количество шариков с Бет = 6 × 78

Очевидно, что сложение и умножение двух чисел дает разные результаты. (Кроме 2 + 2 и 2 × 2.

То есть 78 + 6 ≠ 6 × 78

Итак, у Лизы и Бет не одинаковое количество шариков.

Практические задачи

1

Какие следующее представляет коммутативное свойство сложения?0005

Правильный ответ: 8 + 5 = 5 + 8
Согласно свойству коммутативности сложения сумма не меняется при перестановке слагаемых. То есть а + b = b + а.

2

Что из следующего представляет коммутативное свойство умножения?

7 × $\frac{1}{7}$ = 1

7 × 1 = 7

7 × 3 = 3 × 7

7 × 0 = 0

Правильный ответ: 7 × 3 = 3 × 7
Согласно коммутативному свойству умножения, произведение остается тем же самым при замене местами множимого и множителя. То есть а × b = b × а.

3

Какое из следующих выражений будет следовать свойству коммутативности?

15 ÷ 3

15 × 3

15 – 3

3 ÷ 15

Правильный ответ: 15 × 3
Коммутативное свойство не выполняется для деления и вычитания.

4

Выберите набор чисел, чтобы утверждение было верным.

5, 5

4, 4

5, 4

4, 5

Правильный ответ: 4, 5
5 + 4 = 4 + 5
(по коммутативному свойству сложения)

Часто задаваемые вопросы

Можно ли применить коммутативное свойство сложения/умножения к трем числам?

Да. По определению коммутативность применяется к 2 числам, но результат остается тем же и для 3 чисел. Это потому, что мы можем применить это свойство к двум числам из 3 в различных комбинациях.

Какие операции не следуют свойству коммутативности?

Коммутативное свойство не применимо к вычитанию и делению.

Что такое ассоциативное свойство сложения (или умножения)?

Это свойство указывает, что при сложении (или умножении) трех или более чисел сумма (или произведение) остается одинаковой независимо от группировки слагаемых (или множимых). То есть

(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c), где a, b и c — целые числа.

Для каких операций выполняется свойство ассоциативности?

Ассоциативное свойство верно для сложения и умножения.

Какое распределительное свойство умножения?

Под распределительным свойством умножения над сложением мы подразумеваем, что умножение суммы двух или более слагаемых на число даст тот же результат, что и умножение каждого слагаемого по отдельности на число, а затем сложение произведений вместе. То есть

a × (b + c) = (a × b) + (a × c), где a, b и c — целые числа.

3 способа понять умножение матриц | by Glenn Henshaw

Когда я впервые узнал о умножении матриц, я был удивлен тем, как трудно мне было развить интуицию в отношении этой операции. Обычное определение матричного умножения скрывает множество интересных фактов, которые легче распознать, если посмотреть с разных точек зрения. В этом посте я опишу умножение матриц с трех точек зрения: столбцы, строки и их комбинации. Я также расскажу о некоторых простых фактах, которые помогут проверить вашу интуицию. Мы надеемся, что после прочтения вы получите более глубокое представление об умножении матриц, строках и столбцах. Этот пост был вдохновлен курсом линейной алгебры, который вел великий Гилберт Странг (MIT) .

В этом посте перечислены три способа интерпретации умножения матриц. Для каждой из этих интерпретаций мы обсудим следующее.

1. Интерпретация: Что это значит?
2. Почему это работает?: Как эта интерпретация возникает из определения умножения матриц?
3. Проверьте свою интуицию: Список фактов, которые вы можете использовать, чтобы проверить свою интуицию для интерпретации, которую мы рассматриваем.

Иногда я упоминаю понятия линейной комбинации , линейной зависимости , линейной независимости , скалярного произведения . Если вы хотите быстро освежить свою память по этим темам, посмотрите мою статью 3 основных понятия в линейной алгебре.

Пример. Допустим, у нас есть три завсегдатая: Ларс, Фатима и Джорджия. На вечеринке Ларс купил 2 пива и 1 коктейль, Фатима купила 1 пиво и 2 коктейля, а у Джорджии было 4 пива и никаких коктейлей. Пиво стоит 7 долларов, а коктейли — 10 долларов. Мы можем смоделировать их расходы на ночь с помощью матричного умножения.

Как были вычислены числа справа?

Наша цель — понять свойства умножения матриц в более общем виде, поэтому в этом посте мы будем рассматривать произведение матрицы 3×3 A и матрицы 3×2 B . . Результатом будет матрица 3×2 C .

Жак Филипп Мари Бине … признан первым, кто вывел правило умножения матриц в 1812 году. — Оливер Книлл

Обычный способ определить умножение матриц – это суммирование или, более компактно, скалярное произведение строк A и столбцов B. Скалярное произведение строки 1 A и столбца 1 B даст первую запись C.

В общем случае ij-я запись C представляет собой i-ю строку A , разделенную точками с j-м столбцом B .

Пример. Найдите третью строку и второй столбец произведения C .

Ответ: (1)(1)+(2)(2) +(3)(1) = 8. Попробуйте использовать определение, чтобы найти остальные записи С .

Интерпретация: Запись C является скалярным произведением строки A и столбца B . Нулевые записи в C соответствуют строке A и столбцу B , которые являются ортогональными (под прямым углом друг к другу).

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Количество столбцов A должно равняться количеству строк B . В противном случае суммы в определении не будут определены.
• Продукт AB будет матрицей с тем же количеством столбцов, что и A , и тем же количеством строк, что и B.
• соответствует ряду A и столбец B ортогональны. Ортогональные векторы линейно независимы . Но не все пары линейно независимых векторов ортогональны.

Первое, на что следует обратить внимание относительно AB = C , это то, что столбцы матрицы C связаны со столбцами матрицы A важным образом.

Интерпретация Каждый из столбцов C является матрицей A , умноженные на колонку B. Эффект этого состоит в том, что Колонны C – это Lineaear Combinations из 9024. столбцы B.

Почему это работает? Чтобы понять, почему столбцы C являются линейными комбинациями столбцов A , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первый столбец C.

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Матрица, умноженная на вектор, Ax , представляет собой просто линейную комбинацию столбцов a с элементами x. Таким образом, столбцы A линейно независимы тогда и только тогда, когда уравнение Ax = 0 имеет только нулевое решение.
• Мы можем просмотреть столбцы C как результат применения линейного преобразования, определенного B , к столбцам A .
• Предположим, что столбцы A линейно независимы. Тогда, если C имеет столбец нулей, B также должен иметь столбец нулей.
• Если столбцы C линейно зависимы и столбцы B линейно независимы, то столбцы A зависимы. This follows from that fact that if x is a non-trivial solution of Cx = 0 then Bx is a non-trivial solution of Ax = 0.
• Если уравнение Ax = b не имеет решения, то уравнение ABx = Cx = b не имеет решения. Ведь столбцы C – это просто комбинации столбцов A .
• Пролет колонн C содержится в пролете колонн A . Следовательно, ранг(AB) ≤ ранг(A) .
• Если B обратим с обратным B’ , то столбцы A и AB 9002 имеют одинаковый пролет. Мы можем доказать это из предыдущего факта, ранг(AB) ≤ ранг(A) в сочетании с тем фактом, что ранг(A) = ранг(AI) = ранг(ABB’) ≤ ранг(AB).

Итак, умножение матриц с точки зрения столбцов. Теперь перейдем к рядам?

Интерпретация Строки C являются строками A , умноженными на матрицу B . Следовательно, строки C являются линейными комбинациями строк B с весами, указанными в строках A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему строки C являются линейными комбинациями строк B , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первую строку C , используя определение умножения матриц.

Проверьте свою интуицию: Давайте еще раз перечислим некоторые факты о строках, которые выводятся из этой интерпретации умножения матриц.

• Для AB = C , если строки C линейно независимы, то строки B линейно независимы. Предупреждение: обратное не обязательно верно.
• Если A имеет ряд нулей, то AB имеет ряд нулей.
• Диапазон строк B содержит диапазон строк C .
• Если E — обратимая матрица n×n , а B — любая матрица n×m . Тогда EB имеет то же место в строке, что и E . В частности, элементарные операции со строками сохраняют пространство строк.

Мы можем использовать интерпретацию строки и столбца, чтобы помочь набросать доказательство интересного результата о размерности пространства строки и пространства столбца m×n матрица. Размерность размаха столбцов матрицы называется ее рангом . Размер промежутка строк называется rowrank .

Претензия: Ранг и Rowrank из M × N MATRIX C4 4 4164.

Есть много m×r матриц A и r×n матрицы B такие, что C = AB. Выберите A и B так, чтобы r было минимальным. The r columns of A span the column space of C. The r строки B охватывают пространство строк C. Поскольку мы выбрали r как наименьшее такое число, rank(C) = rowrank(C) = r.

Претензия: , если A и B – квадратные матрицы, а AB = I Затем BA = I. Следовательно, B – это 2 A.