Разное

Примеры на плюс и минус 2 класс: Примеры онлайн на сложение и вычитание двузначных чисел

Содержание

Примеры онлайн на сложение и вычитание двузначных чисел

Примеры на сложение однозначных и двузначных чисел позволяют выбрать положение двузначных и однозначных чисел – для тренировки перехода через десяток в разных десятках, или сложение любых двузначных чисел. Пока результат всех примеров не будет превышать 100.

Онлайн примеры можно разделить по степени сложности: лёгкие – это примеры без перехода через десяток, сложные – с обязательным переходом, обычные – слагаемые выбираются случайным образом.

 


Настройка генератора примеров

Файл для печати

Образец примеров



73 – 28

78 – 33

92 – 71

87 – 54

16 – 5

74 – 41

88 – 72

76 – 4

45 – 31

20 + 67

25 + 46

35 – 20

33 + 66

11 + 30

42 – 29

23 + 25

15 + 21

54 + 10

38 + 29

39 + 58

59 + 20

98 – 78

29 + 6

80 – 53

59 – 36

78 – 45

68 + 17

67 + 24

34 – 2

26 + 11

96 – 67

47 + 13

38 + 32

79 – 71

23 + 36

40 + 15

92 – 83

52 – 3

51 – 41

69 – 10

23 + 42

10 + 58

96 – 14

58 – 6

71 + 3

65 + 19

20 + 62

13 + 49

72 – 48

73 – 8

76 + 6

75 – 40

72 – 63

94 – 1

28 + 2

82 – 45

27 + 11

42 + 8

51 + 33

37 + 37

12 + 3

51 – 50

49 + 48

56 – 50

86 – 62

84 + 6

27 + 72

29 – 13

11 + 48

2 + 62

12 + 27

65 – 7

20 + 18

96 – 7

3 + 81

80 – 35

60 + 28

5 + 17

97 – 35

84 – 83

47 – 39

53 + 12

68 – 35

28 + 42

24 + 39

24 – 24

69 – 34

68 – 4

39 – 21

21 + 41

45 + 29

47 + 2

21 + 74

43 – 26

25 + 18

49 + 2

85 – 22

32 + 2

23 + 36

2 + 25

73 – 46

23 + 39

59 – 12

88 – 80

63 – 15

24 + 17

55 – 9

75 + 14

97 – 54

62 + 11

79 + 1

36 + 31

16 + 51

79 + 18

28 – 3

49 – 22

27 + 53

42 + 48

59 – 48

68 – 67

38 – 27

31 + 57

64 – 38

53 + 9

26 – 7

7 + 4

97 – 76

18 + 53

59 – 50

98 – 96

79 – 33

51 – 7

19 + 27

41 + 27

58 – 35

20 + 25

91 – 15

85 – 38

89 – 70

28 + 1

63 + 17

9 + 21

86 – 77

94 – 14

59 + 10

83 – 15

45 + 15

58 + 13

43 + 30

96 – 76

54 + 36

63 + 23

37 + 33

20 + 1

53 + 36

5 + 90

40 – 20

53 + 6

50 – 17

14 – 4

13 + 64

20 + 34

98 – 62

17 + 32

97 – 74

61 – 11

20 + 1

41 – 40

30 + 11

34 + 7

26 + 60

33 + 1

6 + 83

74 – 25

20 + 16

12 – 7

70 – 9

47 + 11

44 + 47

73 – 72

72 + 9

28 + 2

44 – 44

93 – 20

9 – 6

12 + 72

63 + 24

17 + 78

54 + 31

75 + 18

24 + 2

24 – 10

23 + 70

66 – 61

76 – 25

21 + 5

14 + 22

38 – 20

16 + 77

58 + 12

68 – 6

54 – 26

13 – 8

26 + 10

56 + 35

98 – 15

36 + 30

93 – 29

23 + 31

17 + 78

13 + 30

16 + 66

30 + 45

23 + 29

96 – 33

55 – 25

76 + 15

9 + 63

42 + 22

19 + 75

32 + 2

99 – 36

89 + 10

31 – 8

41 – 27

35 + 49

18 + 8

23 + 75

9 + 58

83 – 52

64 – 3

24 – 6

9 + 38

84 – 14

83 + 16

66 – 47

99 – 8

44 – 39

7 + 50

2 + 32

35 + 34

42 – 35

20 + 45

32 + 21

48 + 25

16 + 5

95 – 37

90 – 87

97 – 31

26 + 50

57 + 34

36 + 41

67 + 28

62 + 37

43 + 29

95 – 60

40 + 23

66 + 8

32 + 66

31 + 2

36 + 8

44 – 22

29 + 25

97 – 8

6 + 66

66 – 39

78 – 48

49 + 25

22 + 2

14 + 75

22 + 34

60 – 25

40 – 20

25 + 51

6 + 17

42 – 24

10 + 55

7 + 36

6 + 20

59 + 24

13 + 34

50 + 35

95 – 66

16 + 81

96 – 78

33 + 62

18 – 10

52 – 49

10 + 2

56 + 35

43 + 5

25 – 19

38 – 36

66 + 16

98 – 56

57 – 39

95 – 12

91 + 3

69 – 8

81 – 48

2 + 34

57 – 54

56 + 12

99 – 20

68 – 39

25 + 41

16 + 34

98 – 50

52 – 12

94 – 83

1 + 64

12 + 26

25 + 21

13 + 14

97 – 43

81 – 48

95 – 40

59 – 42

25 + 47

54 – 3

38 + 47

93 – 4

26 + 25

33 + 64

46 + 26

69 – 8

16 + 50

7 + 66

31 – 13

58 – 54

33 + 62

68 + 12

23 + 23

67 + 20

63 – 47

10 + 86

48 + 24

76 – 52

18 + 25

1 + 19

32 + 38

52 + 5

72 – 46

30 + 57

22 + 11

92 – 52

33 + 4

84 – 43

25 + 70

7 + 32

38 – 25

18 + 64

56 + 37

8 + 72

59 + 28

72 + 11

26 + 9

75 – 59

53 – 32

32 – 11

53 – 22

86 – 72

17 + 35

27 + 17

91 – 52

61 – 23

33 + 54

75 – 2

31 + 34

5 + 93

77 – 10

30 + 49

86 – 61

9 + 9

19 + 62

69 + 23

5 + 88

4 + 54

90 – 75

91 – 9

26 + 38

85 – 58

27 + 46

17 + 35

23 + 25

46 + 39

56 – 29

55 + 16

45 – 35

7 + 80

57 + 40

67 – 66

89 – 35

95 – 73

87 – 37

21 + 16

89 – 76

82 – 32

90 – 82

17 – 4

72 – 10

91 – 75

20 + 75

52 – 6

74 + 1

55 – 48

86 + 1

13 – 10

10 + 88

25 – 25

76 – 65

63 – 5

60 – 8

6 + 86

1 – 1

24 – 9

78 – 23

62 – 21

37 + 15

36 + 30

25 + 9

77 + 20

59 – 15

96 – 94

9 + 51

5 + 28

18 – 9

88 – 16

39 + 16

59 + 27

62 – 12

54 + 42

38 + 37

51 + 15

31 + 47

73 – 40

69 – 18

57 + 29

45 + 30

92 – 14

50 + 27

83 – 65

62 + 22

85 – 15

35 + 13

58 – 13

55 + 8

89 – 37

29 + 16

86 – 27

32 + 66

80 – 78

95 – 1

10 + 13

64 + 21

64 + 16

52 + 17

14 + 81

31 + 5

61 – 58

18 + 6

97 – 22

49 – 25

48 – 4

13 + 86

16 + 51

72 – 22

71 + 18

2 + 27

77 + 10

33 + 21

62 – 58

78 – 60

46 – 33

44 + 33

13 + 17

67 – 11

17 + 60

58 – 15

59 – 34

16 + 77

47 + 36

13 + 64

89 – 21

87 – 67

30 + 30

3 + 72

97 – 37

92 – 51

67 – 67

79 + 13

80 – 3

21 – 5

58 – 35

55 + 29

93 – 80

48 – 11

63 – 12

 

Урок 32. проверка сложения и вычитания – Математика – 2 класс

Математика, 2 класс

Урок №32. Проверка сложения и вычитания

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Как проверить письменное сложение двузначных чисел без перехода через десяток?

– Как проверить письменное вычитание двузначных чисел без перехода через десяток?

Глоссарий по теме:

Сложение – это объединение объектов в одно целое. Результатом сложения чисел является число, называемое суммой чисел (слагаемых).

Вычитание – это такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее – вычитаемым, результат вычитания – разностью.

Обратные действия – действия, приводящие к прежнему, исходному состоянию.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова и др. –

5-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.4.

2. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова –

6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.3.

3. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. М. И. Моро, С. И. Волкова – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – с.16.

4. Математика. Тетрадь учебных достижений. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. С. И. Волкова – М.: Просвещение, 2017. – с.40, 41.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Используя числа 21, 14, 35 составим все возможные равенства и запишем их письменно, в столбик.

Прочитаем их:

сумма чисел 21 и 14 равна 35,

сумма чисел 14 и 21 равна 35,

разность чисел 35 и 14 равна 21,

разность чисел 35 и 21 равна 14.

Вспомним, как связаны компоненты и результат действия сложения.

«Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое».

Действия сложение и вычитание являются взаимно обратными действиями.

Компоненты и результат действия деления также связаны между собой.

«Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое».

«Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое».

Вспомним, как можно проверить, верно, ли выполнено сложение.

«Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно».

Например, надо проверить, верно ли вычислили сумму чисел 34 и 25. Для этого из суммы 59 вычтем одно из слагаемых. Например, 25. Должно получиться другое слагаемое. Получилось 34. Значит, сумма чисел 34 и 25 найдена правильно.

Можно вычесть из суммы другое слагаемое. 59 минус 34, получится слагаемое 21. Это ещё раз подтверждает, что сумма найдена верно.

Вспомним, как можно проверить, верно ли выполнено вычитание. Это можно сделать двумя способами. Способ первый:

«Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно».

Второй способ проверки вычитания:

«Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно»

Например, надо проверить, верно ли вычислили разность чисел 68 и 26.

Проверим вычитание сложением: к разности чисел 42 прибавим вычитаемое 26. Получили уменьшаемое 68.

Проверим вычитание вычитанием. Из уменьшаемого 68 вычтем разность 42, получили вычитаемое 26. Значит, вычитание выполнили верно.

Вывод: Для проверки письменного сложения, как и для проверки устного сложения, надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно. Для того, чтобы выполнить проверку письменного вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.

Тренировочные задания.

1.Вставьте пропущенные цифры так, чтобы получились верные проверки примеров.


Правильные ответы:

2.Соотнесите пример с записью для его проверки.

Правильные ответы:

Выражения со скобками. Математика 2 класс Богданович. ГДЗ, решебник.

Категория: –>> Математика 2 класс Богданович  
Задание:  –>>   192 – 208  



наверх

Задание 192.

Выполни задания устно.

  • 1) Найти сумму чисел 5 и 2. Вычесть эту сумму из числа 10.
  • 2) К числу 8 прибавить разность чисел 9 и 3.

Решение:
  • 1) 10 – (5 + 2) = 3
  • 2) 8 + (9 – 3) = 14

Задание 193.

В рулоне было 15 м ткани. Первый покупатель приобрёл 5 м ткани, а второй 3 м. Сколько метров ткани осталось в рулоне?
Чтобы узнать, сколько метров ткани осталось в рулоне, продавец поступил так: вычислил, сколько всего метров ткани он продал, а потом полученное число вычел из 15.

15 – (5 + 3) = 7 (м)

Скобки обозначают, что сначала ну ясно найти сумму, а потом выполнить действие вычитания.

Задание 194.

Прочитай и вычисли.
От числа 12 отнять сумму чисел 7 и 2.

К числу 8 прибавить разность чисел 13 и 6.


Решение:
  • 1) 12 – (7 + 2) = 3
  • 2) 8 + (13 – 6) = 15



Задание 195.

На стоянке было 12 автомобилей. Сначала отъехало 4 автомобиля, а потом — ещё 3. Сколько автомобилей осталось на стоянке?


Решение:
  • 1) 12 – (4 + 3) = 5
  • Ответ: 5 автомобилей.

Задание 196.

У одной белки 9 орехов и столько же — у другой. Сколько всего орехов у белок?


Решение:
  • 1) 9 + 9 = 18
  • Ответ: 18 орехов.

Задание 197.

Прочитай и вычисли.

  • 1) Из числа 14 вычесть разность чисел 7 и 2.
  • 2) К числу 8 прибавить сумму чисел 3 и 6.

Решение:
  • 1) 14 – (7 – 2) = 9
  • 2) 8 + (3 + 6) = 17

Задание 198.

На стоянке было 13 грузовых автомобилей, а легковых на 8 меньше. Подъехало еще 6 легковых автомобилей. Сколько легковых автомобилей стало на стоянке?


Решение:
  • 1) (13 – 8) + 6 = 11
  • Ответ: 11 легковых автомобилей.

Задание 199.

Дополни и реши задачу.
В одном классе 7 компьютеров, а в другом на 2 компьютера … .


Решение:

В одном классе 7 компьютеров, а в другом на 2 компьютера меньше. Сколько компьютеров в 2 классах вместе.

  • 1) 7 – 2 = 5
  • 2) 7 + 5 = 12
  • Выражение: (7 – 2) + 7 = 12
  • Ответ: 12 компьютеров.

Задание 200.

Реши примеры.


Решение:
13 – (9 – 3) = 716 – (7 + 2) = 77 + (2 + 5) = 14
13 – 9 – 3 = 116 – 7 + 2 = 117 + 2 + 5 = 14

Задание 201.

По рисунку объясни приёмы вычислений

Задание 202.

Из каждого примера на сложение составь два примера на вычитание.


Решение:
7 + 5 = 12
12 – 5 = 7
12 – 7 = 5		10 + 9 = 19
19 – 10 = 9
19 – 9 = 10		3 + 8 = 11
11 – 3 = 8
11 – 8 = 3

Задание 203.

Прочитай примеры по-разному, используя данные слова.

Сложить
Плюс
Увеличить
Сумма		Вычесть
Минус
Уменьшить
Разность

Задание 204.


Решение:
  • 1) Сложить 9 и 7, равно 16. 9 плюс 7 равно 16. 9 увеличить на 7, равно 16. Сумма девяти и семи равна шестнадцати.
  • 2) 14 вычесть 6 равно 8. 14 минус 6 равно 8. 14 уменьшить на 6 равно 8. Разность четырнадцати и шести равна восьми.

Задание 205.

Утром от коровы надоили 9 л молока, | а вечером — на 1 л меньше. | 3 л молока от вечернего удоя оставили, | а остальное продали. Сколько литров молока от вечернего удоя продали?
Прочитай всю задачу. Подумай, о чём в ней рассказывается.
Прочитай задачу по частям, на которые она разделена линиями.
Реши задачу.

План решения
  • 1) Сколько литров молока надоили вечером?
  • 2) Сколько литров молока от вечернего удоя продали?

Решение:
  • 1) 9 – 1 = 8
  • 2) 8 – 3 = 5
  • Выражение: (9 – 1) – 3 = 5
  • Ответ: 5 литров.

Задание 206.

В субботу отец и сын вместе обрезали 4 дерева. В воскресенье отец обрезал 3 дерева и столько же деревьев обрезал сын. Сколько всего деревьев они обрезали за 2 дня?


Решение:
  • 1) 3 + 3 = 6
  • 2) 4 + 6 = 10
  • Выражение: 4 + 3 + 3 = 10
  • Ответ: 10 деревьев.

Задание 207.

Реши примеры.


Решение:
14 – 6 – 6 = 27 + 5 + 1 = 1316 – 8 + 1 = 9
14 – (6 – 6) = 147 + (5 + 1) = 1316 – (8 + 1) = 7

Задание 208.

Составь задачу по рисунку и реши её.


Решение:

Под деревом лежало 12 яблок. Один ежик забрал 4 яблока, а другой еще 3. Сколько яблок осталось под деревом?

  • 1) 4 + 3 = 7
  • 2) 12 – 7 = 5
  • Выражение: 12 – (4 + 3) = 5
  • Ответ: 5 яблок.



Задание:  –>>   192 – 208  

Свойства сложения и вычитания. Переместительное и сочетательное

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

  • 2 — это первое слагаемое,
  • 5 — второе слагаемое,
  • 7 — это сумма.

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.


Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства сложения

  1. Переместительное свойство сложения
    От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
    a + b = b + a

  2. Сочетательное свойство сложения
    Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
    (a + b) + c = a + (b + c)

  3. Свойство нуля при сложении
    Если к числу прибавить нуль, получится само число.
    a + 0 = 0 + a = a

На заметку!

При сложении нескольких чисел, их можно объединять в группы и переставлять в любом порядке. Например: a + b + с = (a + b) + c = a + (b + c).

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Рассмотрим пример 9 – 4 = 5, в котором:

  • 9 — это уменьшаемое,
  • 4 — вычитаемое,
  • 5 — разность.

    • При этом саму запись (9 – 4) тоже можно назвать разностью.



    Свойства вычитания

    1. Свойство нуля при вычитании
      Если из числа вычесть нуль, получится само число.
      a – 0 = a
      Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
      a – a = 0

    2. Свойство вычитания суммы из числа
      Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое.
      a – (b + c) = a – b – c

    3. Свойство вычитания числа из суммы
      Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
      (a + b) – c = (a – c) + b (если a > c или а = с)
      (a + b) – c = (b – c) + a (если b > c или b = с)

    На заметку!

    Есть случаи, когда скобки не имеют значения при вычитании, и их можно опустить. Например: (a – b) – c = a – b – c.

    Примеры использования свойств сложения и вычитания

    Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:


    Скачать

    Пример 1

    Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

    а) 4 + 3 + 8

    б) 9 + 11 + 2

    в) 30 + 0 + 13

    Как решаем:

    а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

    б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

    в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

    Пример 2

    Применить разные свойства при вычислении разности:

    а) 25 – 0 – 2

    б) 18 – 1 – 4

    в) 55 – 55

    Как решаем:

    а) 25 – 0 – 2 = 25 – 2 = 23

    б) 18 – (1 + 4) = 18 – 1 – 4 = 17 – 4 = 13

    в) 55 – 55 = 0

    Пример 3

    Найти значение выражения удобным способом:

    а) 11 + 10 + 3 + 9

    б) 16 + (4 – 3) + 7

    в) 0 + 2 + 4 – 0

    Как решаем:

    а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

    б) 16 – (4 + 3) + 7 = 16 – 4 – 3 + 7 = (16 – 4) – 3 + 7 = 12 – 3 + 7 = 9 + 7 = 16

    в) 0 + 2 + 4 – 0 = 2 + 4 = 6

    Правила знаков

    Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

    Рассмотрим подробней основные правила знаков.

    Деление.

    Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

    Умножение.

    Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

    Вычитание и сложение.

    Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

    Правила при умножении (делении) чисел

    Множители
    (делимое и делитель)    		Результат
    +++
    +––
    –+–
    ––+

    Почему минус на минус дает плюс?

    «Враг моего врага — мой друг».

    Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

    Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

    Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

    В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

    Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

    Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

    Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

    Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

    Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

    В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

    Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

    Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

    • сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
    • умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
    • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

    Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

    Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

    Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

    Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

    Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

    Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

    А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

    Ответил: Евгений Епифанов

    Порядок выполнения действий: правила, примеры.

    Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

    В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

    Порядок вычисления простых выражений

    Определение 1

    В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

    1. Все действия выполняются слева направо.
    2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

    Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

    Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

    Пример 1

    Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.

    Решение

    В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

    7−3+6=4+6=10

    Ответ: 7−3+6=10.

    Пример 2

    Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6:2·8:3?

    Решение

    Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

    Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

    Пример 3

    Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.

    Решение

    Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:

    17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2

    Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

    17−10−2+2=7−2+2=5+2=7

    Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.

    Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

    .

    Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

    Что такое действия первой и второй ступени

    Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

    К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

    Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

    Определение 2

    В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

    Порядок вычислений в выражениях со скобками

    Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

    Определение 3

    Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

    Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание Пример 4

    Условие: вычислите, сколько будет 5+(7−2·3)·(6−4):2.

    Решение

    В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

    7−2·3=7−6=1

    Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.

    Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

    5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2

    Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

    5+1·2:2=5+2:2=5+1=6

    На этом вычисления можно закончить.

    Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

    Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

    Пример 5

    Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).

    Решение

    У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.

    Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.

    Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

    Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам:  4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.

    Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

    Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом  или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

    Разберем пример такого вычисления.

    Пример 6

    Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.

    Решение

    У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.

    Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

    (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13

    Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.

    В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

    Что такое двойники? – Определение, факты и примеры

    Двойные

    Чтобы получить двойное число, мы прибавляем это число к самому себе. Например, удвоение 2 равно 2 + 2 = 4.

    Пример : У Мишель 4 шарика, а у Джейн вдвое больше шариков, чем у Мишель. Сколько шариков у Джейн?

    Двойное число 4 равно 8.

    Итак, у Джейн 8 шариков.

    Легко запомнить числа, которые мы получаем, удваивая однозначные числа.

    Двойные дополнительно:

    Сложение любых двух последовательных чисел может быть выполнено с использованием стратегии удвоения плюс 1 или удвоения минус 1.

    Пример : 2 + 3

    Число 3 на единицу больше 2. Итак, мы можем записать 3 как 2 + 1. Таким образом, сложение 2 + 3 может быть показано как:

    Мы уже знаем, что удвоение 2 равно 4.

    Итак, требуемая сумма на единицу больше, чем вдвое. То есть 5. Следовательно, 2 + 3 = 5.

    Пример : 7 + 6

    Число 6 на единицу меньше 7. Итак, мы можем записать 6 как 7-1. Таким образом, сложение 7 + 6 может быть показано как:

    Мы уже знаем, что удвоение 7 равно 14.

    Итак, требуемая сумма на единицу меньше двойного. То есть 13. Следовательно, 7 + 6 = 13.

    Двойные плюс 1 и двойные минус 1 также называются стратегией близких удвоений.

    Это также может быть расширено на числа, которые не находятся рядом друг с другом.

    Пример : 5 + 8

    8 это 3 больше 5.

    5 + 8 = (5 + 5) + 3 = 10 + 3 = 13

    Двойное вычитание:

    Добавление предложения сложения будет вычитанием / разностью соответствующего предложения вычитания.

    Мы знаем, что:

    6 + 6 = 12

    Итак, 12 – 6 = 6.

    Это может быть показано на картинке как:

    Если от 12 отнять 6:

    Осталось 6.

    Интересные факты

    Поскольку 2 + 3 – это то же самое, что 3 + 2, мы можем применить любую из стратегий близких удвоений, чтобы найти сумму.

    2 + 3 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5

    ИЛИ

    3 + 2 = (3 + 3) – 1 = 6 – 1 = 5

    Сложение и вычитание с отрицательными числами

    Добавление любого числа к его противоположный – также называемый аддитивным обратным – всегда дает нулевой результат.Например:

    – 999 + 999 знак равно 0 2,5 + ( – 2,5 ) знак равно 0 1 + ( – 1 ) знак равно 0

    Как только вы это узнаете, есть несколько способов подумать о сложении.

    Метод алгебраической плитки

    Пусть желтые плитки представляют положительные числа, а красные плитки – отрицательные числа.

    Пример 1:

    Проблема сложения 5 + ( – 2 ) можно представить как

    Сгруппируйте две отрицательные плитки с двумя положительными.

    С 2 + ( – 2 ) знак равно 0 , эти плитки исчезнут.Мы остались с 3 позитивная плитка.

    Так 5 + ( – 2 ) знак равно 3 .

    Когда оба числа отрицательны , у нас только отрицательные плитки, поэтому ответ тоже отрицательный.

    Пример 2:

    Проблема сложения – 3 + ( – 4 ) можно представить как

    Результат просто 7 негативы плитки.

    Так – 3 + ( – 4 ) знак равно – 7 .

    Метод числовой линии

    Когда ты добавить положительный номер, вы переходите к верно в числовой строке.

    Когда ты добавить отрицательный номер, вы переходите к левый в числовой строке.

    Пример 3:

    Добавлять 6 + ( – 8 ) используя числовую строку.

    Начать с 6 , и двигаться 8 единиц слева.

    6 + ( – 8 ) знак равно – 2

    Вычитание числа равносильно сложению его противоположности.

    Так, вычитание положительного число похоже на добавление минуса; вы переходите к левый в числовой строке.

    Вычитание отрицательного число похоже на добавление плюса; вы переходите к верно в числовой строке.

    Пример 4:

    Вычесть – 4 – ( – 7 ) .

    Начать с – 4 , и двигаться 7 единиц вправо.

    – 4 – ( – 7 ) знак равно 3 .

    Правила для положительных и отрицательных чисел

    Положительные и отрицательные числа – это два широких класса чисел, которые используются в математике, а также в повседневных транзакциях, таких как управление деньгами или измерение веса.

    • Положительное число имеет значение больше нуля. Его знак положительный, но обычно он пишется без знака плюса перед ним (например, 4, 51, а не +4, +51).
    • Отрицательное число имеет значение меньше нуля. Его знак считается отрицательным и пишется со знаком минус перед ним (например, -2, -23).
    • Сумма положительного числа и равного ему отрицательного числа равна нулю.
    • Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

    Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательных чисел.Как правило, легче выполнять операции с отрицательными числами, если они заключены в скобки, чтобы разделять их. Числовые линии также упрощают понимание положительных чисел и чисел.

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

    Когда вы складываете или вычитаете положительные и отрицательные числа, знак ответа зависит от того, похожи ли знаки или какое число имеет большее значение.

    Сложить положительные и отрицательные числа просто, если оба числа имеют одинаковый знак.Просто найдите сумму чисел и держите знак. Например:

    • 3 + 2 = 5
    • (-4) + (-2) = -6

    Найдите сумму положительного и отрицательного числа, вычтя число с меньшим значением из числа с большее значение. Знак – это знак большего числа.

    • (-7) + 2 = -5
    • 4 + (-8) = 4-8 = -4
    • (-3) + 8 = 5
    • 10 + (-2) = 10-2 = 8
    • (-5) + 4 = -1

    Правила вычитания аналогичны правилам сложения.Для двух положительных чисел, если первое число больше второго, результатом будет другое положительное число.

    Если вы вычтите большое положительное число из меньшего положительного числа, вы получите отрицательное число.

    Легкий способ сделать это – вычесть меньшее число из большего числа и изменить знак ответа на минус.

    Вычитание положительного числа из отрицательного числа аналогично сложению отрицательного числа. Другими словами, это делает отрицательное число более отрицательным.

    • (-4) – 3 = (-4) + (-3) = -7
    • (-10) – 12 = (-10) + (-12) = -24

    Вычитание отрицательного числа из положительного числа отменяет отрицательные знаки и становится простым сложением. Это делает положительное число более положительным.

    • 4 – (-3) = 4 + 3 = 7
    • 5 – (-2) = 5 + 2 = 7

    Когда вы вычитаете отрицательное число из другого отрицательного числа, отрицательные знаки снова отменяют каждое другое, чтобы стать знаком плюс.Ответ имеет знак большего числа.

    • (-2) – (-7) = (-2) + 7 = 5
    • (-5) – (-3) = (-5) + 3 = -2

    Умножение и деление положительных и отрицательные числа

    Если вы умножаете или делите одинаковые знаки, вы получаете положительное число. Умножение или деление положительных и отрицательных чисел дает отрицательное число.

    Правила умножения и деления просты:

    • Если оба числа положительны, результат будет положительным.
    • Если оба числа отрицательны, результат положительный. (По сути, два отрицательных значения компенсируют друг друга).
    • Если одно число положительное, а другое отрицательное, результат будет отрицательным.
    • Если вы умножаете или делите несколько чисел знаками, сложите количество положительных и отрицательных чисел. Знак избытка – знак ответа.
    • Умножение любого числа (положительного или отрицательного) на ноль дает ответ 0.
    • Ноль, разделенный на любые числа, равен 0.
    • Любое число, деленное на ноль, равно бесконечности.

    Вот несколько примеров. В этих примерах используются целые числа (целые числа), но те же правила применяются к десятичным и дробным числам.

    • 4 x 5 = 20
    • (-2) x (-3) = 6
    • (-6) x 3 = -18
    • 7 x (-2) = -14
    • 2 x (-3 ) x 4 = -24
    • (-2) x 2 x (-3) = 12
    • 12/2 = 6
    • (-10) / 5 = -2
    • 14 / (-7) = -2
    • (-6) / (-2) = 3

    Похожие сообщения

    Вычитание – | Основы арифметики

    Эта страница посвящена основам арифметики – простейшему способу работы с числами посредством вычитания (-).

    См. Другие наши арифметические страницы, где обсуждаются и примеры: Сложение (+), Умножение ( × ) и Деление ( ÷ ).

    Вычитание

    Вычитание – это термин, используемый для описания того, как мы «убираем» одно или несколько чисел у другого.

    Вычитание также используется для нахождения разницы между двумя числами. Вычитание противоположно сложению. Если вы еще этого не сделали, мы рекомендуем прочитать нашу дополнительную страницу.

    Знак минус «-» используется для обозначения операции вычитания, например 4–2 = 2. Знак «-» можно использовать несколько раз по мере необходимости: например, 8–2–2 = 4.

    Этот расчет правильный, но его можно упростить, сложив числа, которые мы вычитаем. В нашем примере 8 – 2 – 2 = 4 можно упростить до 8 – 4 = 4 (две двойки были добавлены вместе, чтобы получить 4, которое затем вычитается из 8).

    Предупреждение

    Будьте осторожны при использовании знака «-».Числа с отрицательным значением записываются с предшествующим «-», поэтому минус два записывается как -2. Это просто означает, что 2 меньше нуля или 2 меньше нуля.

    Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу Положительные и отрицательные числа .

    Остерегайтесь знаков и порядка при вычитании

    Когда мы выполняем вычисление , сложение , порядок, в котором мы складываем числа, не имеет значения.

    Например,
    8 + 3 + 5 совпадает с 3 + 8 + 5 и дает нам тот же ответ, 16.

    Однако, когда мы выполняем вычитание , нам нужно проявлять особую осторожность с порядком чисел.

    Обычно при вычитании мы сначала записываем число, которое мы вычитаем из , а числа, которые мы убираем, в любом порядке после этого.

    Например,
    8-5 = 3
    Это НЕ то же самое, что 5-8 = −3

    Мы видим, что у нас тот же числовой ответ (3), но его значение другое: 3 в первом вычислении, но минус 3 (−3) во втором.

    Аналогично 8-5-3 = 0, но 5-8-3 = −6, что является совершенно другим ответом.

    Причина того, что ответы различаются, не в том, что мы поставили числа в «неправильном» порядке, а в том, что мы не позаботились о том, положительные они или отрицательные.

    В нашем примере 8 – положительное число, поэтому мы могли бы записать его как «+ 8», и это было бы правильно, но по соглашению нам не нужно писать символ «+». Однако символ «+» очень важен при изменении порядка, как и символы «-», предшествующие 5 и 3.

    Вот последний пример, переписанный для правильного ответа:

    8-5-3 = 0, как и раньше, и – 5 + 8-3 = 0, что дает тот же ответ. В этом случае мы написали числа в том же порядке, что и раньше, но учли их положительное или отрицательное значение.

    Более подробное объяснение и примеры см. В разделе «Вычитание в особых случаях: нулевые и отрицательные числа » ниже.

    Выполнение вычитания

    Простое вычитание может выполняться так же, как и сложение, путем подсчета или использования числовой строки:

    Если у Фиби 9 конфет, а у Люка 5 конфет, какая разница?

    Начиная с меньшего числа (5) и считая до большего числа (9).

    6 (1), 7 (2), 8 (3), 9 (4).

    У Фиби на 4 конфет больше, чем у Люка, разница в конфетах на 4.

    Итак: 9-5 = 4 .

    Для более сложного вычитания, когда использование подсчета не подходит, полезно записывать наши числа в столбцы один над другим – аналогично вычислению сложения.

    Предположим, что Майк зарабатывает 755 фунтов стерлингов в неделю и платит 180 фунтов стерлингов в неделю за аренду. Сколько денег осталось у Майка после того, как он заплатил за квартиру?

    В этом примере мы собираемся убрать 180 фунтов из 755 фунтов стерлингов.Сначала мы записываем начальное число, а снизу – число, которое мы убираем, следя за тем, чтобы числа были в правильных столбцах.

    Сот Десятки Шт.
    7 5 5
    1 8 0

    Шаг 1: Сначала мы выполняем вычитание чисел в столбце «Единицы измерения» справа, затем записываем ответ внизу в том же столбце.В этом случае 5 – 0 = 5.

    сот Десятки Шт.
    7 5 5
    1 8 0
    Всего 5

    Шаг 2: Используя тот же подход, что и при сложении, мы работаем по столбцам справа налево.Затем нам нужно вычесть числа в столбце десятков. В нашем примере нам нужно вычесть восемь из пяти (5-8), но 8 больше 5, поэтому мы не можем этого сделать, так как в итоге получим отрицательное число. Нам нужно позаимствовать число из столбца сотен. Это может быть сложной концепцией, и мы рассмотрим ее более подробно ниже: у нас есть 7 в столбце сотен, поэтому мы «заимствуем» 1 для столбца десятков, оставляя нас с 6 в сотнях. Перечеркните 7 и напишите 6 в столбце сотен, чтобы избежать ошибок позже.Переместите 1 в столбец десятков и запишите его перед числом 5. Мы не добавляем «1» к десяткам, мы ссужаем «1 лот из 10». Итак, вместо 5 десятков у нас теперь 15 десятков.

    15 больше восьми, поэтому мы можем выполнить вычитание в столбце десятков. Возьмите 8 из 15 и напишите ответ (7) внизу столбца десятков.

    сот Десятки Шт.
    7 6 15 5
    1 8 0
    Всего 7 5

    Шаг 3: Наконец, отнимите 1 от 6 в столбце сотен.6 – 1 = 5, поэтому поставьте 5 в столбце ответа сотен, чтобы дать окончательный ответ. У Майка осталось 575 фунтов стерлингов после того, как он заплатил за квартиру.

    сот Десятки Шт.
    7 6 15 5
    1 8 0
    Всего 5 7 5

    Заем в вычет

    Заимствование , как в приведенном выше примере, может сбивать с толку при вычислениях вычитания.Это похоже на «перенос» в дополнительных вычислениях, но в обратном порядке, потому что вычитание – это обратное (противоположное) сложение.

    Повторное заимствование может произойти при вычислении вычитания.
    Предположим, у нас есть 10,01 фунта стерлингов, и мы хотим забрать 9,99 фунта стерлингов. Мы можем решить это, не записывая ничего – ответ – 0,02 фунта стерлингов или 2 пенни. Однако, если мы выпишем этот расчет формально, то понятие заимствования станет более ясным.

    В этом примере мы проигнорировали десятичную точку и записали числа как 1001 и 999.

    Начиная с столбца единиц справа, нам нужно отнять 9 от 1. В наших вычислениях вычитания правило (как в приведенном выше примере) состоит в том, что мы никогда не убираем большее число из меньшего числа, потому что это даст нам отрицательный ответ.

    Чтобы расчет заработал, нам нужно « позаимствовать » – число из следующего столбца слева. В столбце десятков стоит 0, поэтому нам нечего заимствовать, поэтому нам нужно перейти к следующему столбцу слева.В столбце сотен также есть 0, поэтому мы также не можем заимствовать данные из этого столбца, поэтому мы переходим к следующему столбцу слева. Столбец тысяч имеет 1, поэтому мы можем позаимствовать его и переместить в следующий столбец справа, столбец сотен. Мы перечеркиваем 1 в столбце тысяч, чтобы избежать ошибок позже.

    Одна тысяча равна 10 сотням, поэтому теперь у нас есть 10 в столбце сотен, где раньше было ноль:

    Перенесено 0 10
    1 0 0 1
    9 9 9

    Однако это не помогает с 1–9 (в столбце единиц), потому что у нас все еще есть ноль для заимствования в столбце десятков, но это первый шаг в процессе.

    Теперь, когда у нас есть 10 сотен, мы можем позаимствовать одну из них для столбца десятков. Сто равно 10 десяткам, поэтому мы переносим 10 в столбец десятков. Мы не должны забыть настроить столбец сотен, поэтому мы перечеркиваем 10 и вместо этого пишем 9.

    Перенесено 9 10
    Переносной 0 10
    1 0 0 1
    9 9 9

    Наконец, мы можем выполнить вычитание в столбце единиц, заимствовав 1 десятку из столбца десятков.Это оставляет 9 десятков в столбце десятков и 10 + 1, который у нас уже был в столбце единиц, что дает нам 11 единиц.

    Перенесено 9 10
    Переносной 9 10
    Переносной 0 10
    1 0 0 1
    9 9 9

    Теперь мы можем выполнить полный расчет, начиная со столбца единиц, 10 + 1 = 11 – 9 = 2.Тогда в столбце десятков 9 – 9 = 0. То же самое для столбца сотен 9 – 9 = 0. Наконец, в столбце тысяч 0 – 0 = 0.

    Перенесено 9 10
    Переносной 9 10
    Переносной 0 10
    1 0 0 1
    9 9 9
    Всего 0 0 0 2

    Взяв взаймы несколько раз, мы пришли к нашему ответу 2.Когда мы заменяем десятичную точку, получаем 0,02 фунта стерлингов.

    Вычитание в особых случаях: ноль и отрицательные числа

    Если бы мы выполняли простое сложение, мы могли бы считать в уме или, возможно, на пальцах. Когда мы выполняем вычитание, особенно если оно включает отрицательные числа, помогает представить себя идущим по линии. Каждый шаг – это номер в этой строке. Если мы начнем с нуля, каждый шаг вперед добавляет число, каждый шаг назад убирает единицу.Самое важное, что нужно помнить, – это то, что мы всегда смотрим в позитивном направлении. Возможно, вам будет полезно думать о своей линии как о подъеме и спуске по лестнице, где каждая ступенька имеет номер. Или, возможно, вам больше знакомо движение вверх и вниз по многоэтажному блоку на лифте, где ноль – это первый этаж, положительные числа – над землей, а отрицательные – в подвале.

    Если бы мы провели эту линию на листе бумаги, она выглядела бы как линейка. Мы можем перемещать ручку вперед и назад по линии так же, как представляем себе наши шаги вперед и назад.Это называется числовой строкой , и это очень полезный инструмент для сложения и вычитания.

    Мы собираемся использовать эту аналогию, чтобы помочь нам понять следующие примеры.

    Когда числа равного значения вычитаются друг из друга, результат всегда равен нулю: 19-19 = 0.

    Используя нашу аналогию, начав с нуля, если мы пройдем 19 шагов вперед по линии, затем 19 шагов назад, мы вернемся к нулю.

    При вычитании нуля из любого числа число остается неизменным: 19-0 = 19.

    Используя числовую прямую, мы начинаем с 19 и идем назад нулевых шага – мы не двигаемся и остаемся на 19.

    Когда мы вычитаем из нуля любое положительное число , получаем отрицательное число : 0 – 15 = –15

    Помните из наших предыдущих примеров, положительное число обычно не нужно записывать с положительным знаком. Когда мы видим число «67», математическое соглашение говорит нам, что оно положительное, т.е.е. «+67».

    В этом примере мы вычитаем +15 из нуля: 0 – (+15) = –15. Используя нашу аналогию, мы начинаем с нуля и делаем 15 шагов назад.

    Когда мы вычитаем любое положительное число из отрицательного числа , ответ становится « более отрицательный » .

    Например, если мы начнем с нашего ответа сверху (–15) ​​и вычтем 6, мы получим: –15 – 6 = –21. Помните, что «6» положительно, поэтому мы можем написать –15 – (+6) = –21, и это означает то же самое.Используя числовую линию, чтобы помочь нам понять, мы начинаем со значения –15. Мы идем назад на шесть шагов, по-прежнему глядя в положительном направлении. В итоге мы делаем 21 шаг назад от нуля, то есть –21.

    Но что произойдет, если нам нужно вычесть отрицательное число из любого другого числа?

    Начнем с примера: 15 – (–6) = 15 + 6 = 21

    Правило : два отрицательных числа дают положительное значение , т.е. вычитание отрицательного числа становится сложением.

    Давайте вернемся к нашей числовой прямой, чтобы облегчить понимание: начиная с 15, мы знаем, что нам нужно двигаться назад (в отрицательном направлении), потому что мы делаем вычитание. Но из нам нужно вычесть отрицательное число, поэтому, чтобы проиллюстрировать это, мы должны повернуть вокруг . Затем мы возвращаемся на 6 позиций назад, чтобы прийти к нашему ответу. При повороте и последующем движении назад (два отрицательных момента) наше общее направление движения будет в положительном направлении , т.е.е. мы выполнили сложение .

    Вычитание отрицательного числа – абстрактная концепция, и вы можете подумать, что она не встречается в повседневной жизни. В конце концов, мы не можем удержать отрицательное количество яблок или налить отрицательное количество кофе. Однако это очень важно, когда речь идет о математических понятиях, таких как векторов . Вектор имеет направление и звездную величину , поэтому, например, важно не только, как далеко проплыла лодка, но нам также нужно знать направление, в котором она плыла.


    Дополнительная литература по навыкам, которые вам нужны

    Основы счета
    Часть требуемых навыков Руководство по счету

    Эта электронная книга содержит рабочие примеры и простые для понимания объяснения, чтобы показать вам, как использовать основные математические операции и начать манипулировать числами. Он также включает в себя примеры из реальной жизни, чтобы прояснить, насколько эти концепции полезны в реальной жизни.

    Если вы хотите освежить в памяти основы или помочь детям в учебе, эта книга для вас.

    Числовые строки: 2 класс по математике

      Панель приборов

      Математика 2 класс

      Числовые строки

      Перейти к содержанию Панель приборов

      • Авторизоваться

      • Панель приборов

      • Календарь

      • Входящие

      • История

      • Помощь

      Закрывать