Примеры для решения в столбик: Онлайн калькулятор. Деление столбиком.

примеры, решения, сложение и вычитание в столбик

Существует удобный метод нахождения разности двух натуральных чисел – вычитание в столбик, или вычитание столбиком. Этот способ берет свое название от метода записи уменьшаемого и разности друг под другом. Так можно провести и основные, и промежуточные вычисления в соответствии с нужными разрядами чисел.

Этим методом удобно пользоваться, поскольку это очень просто, быстро и наглядно. Все сложные на первый взгляд подсчеты можно свести к сложению и вычитанию простых чисел.

Ниже мы рассмотрим, как именно пользоваться этим методом. Наши рассуждения будут подкреплены примерами для большей наглядности.

Что нужно повторить перед изучением вычитания столбиком?

Метод основан на некоторых простых действиях, которые мы уже разбирали ранее. Необходимо повторить, как правильно вычитать с помощью таблицы сложения. Также желательно знать основное свойство вычитания равных натуральных чисел (в буквенном виде оно записывается как a−a=0).

Кроме того, важно знать, как определять разряд натуральных чисел.

Разбор метода вычитания столбиком

Главное на первом этапе – правильно записать исходные данные. Для начала записываем первое число, из которого будем вычитать. Под ним располагаем вычитаемое. Цифры должны быть расположены строго одна под другой с учетом разряда: десятки под десятками, сотни под сотнями, единицы под единицами. Запись читается справа налево. Далее ставим минус с левой стороны от столбика и подводим черту под обоими числами. Под ней будет записываться конечный результат.

Покажем на примере, какая запись подсчета является правильной:

С помощью первой мы можем найти, сколько будет 56−9, с помощью второй – 3 004−1 670, третьей – 203 604 500−56 777.  

Как видно, с помощью этого метода можно производить вычисления разной сложности.

Далее рассмотрим сам процесс нахождения разности. Для этого выполняем поочередное  вычитание значений разрядов: сначала вычитаем единицы из единиц, потом десятки из десятков, потом сотни из сотен и т.д. Значения записываем под чертой, отделяющей исходные данные от результата. В итоге у нас должно получиться число, которое и будет верным ответом задачи, т.е. разностью исходных чисел.

Как именно выполняются подсчеты, можно увидеть на этой схеме:

С общей картиной записи и подсчета мы разобрались. Однако в методе есть и некоторые моменты, нуждающиеся в уточнении. Для этого мы приведем конкретные примеры и поясним их. Начнем с простейших задач и будем постепенно наращивать сложность, пока наконец не разберем все нюансы.

Советуем внимательно прочитать все примеры, потому что каждый из них иллюстрирует отдельные непонятные моменты. Если вы дойдете до конца и запомните все объяснения, то подсчет разности натуральных чисел в дальнейшем не будет вызывать у вас ни малейших затруднений.

Условие: найдем разность 74 805 – 24 003 с помощью вычитания столбиком.

Решение:

Запишем эти числа одно под другим, правильно расположив разряды друг под другом, и подчеркнем их:

Вычитание начинается справа налево, то есть с единиц. Считаем: 5-3=2 (если нужно, повторите таблицы сложения натуральных чисел). Итог запишем под чертой там, где указаны единицы:

Вычитаем десятки. Оба значения в нашем столбике нулевые, а вычитание нуля из нуля всегда дает нуль (как вы помните, мы упоминали, что нам в дальнейшем потребуется это свойство вычитания). Результат записываем в нужное место:

Далее считаем значения разности сотен: : 8−0=8. Вписываем итог следующим числом в наш будущий результат:

Следующий шаг – нахождение значения разности тысяч: 4−4=0. Получившийся нуль записываем на положенное ему место и получаем в итоге:

Нам остается подсчитать только разность между цифрами, означающими десятки тысяч. Пишем последнюю цифру под чертой и смотрим, что у нас вышло:

У нас получилось 50 802, которое и будет верным ответом для указанного выше примера. На этом вычисления завершены.

Ответ: 50 802. 

Возьмем другой пример:

Условие: подсчитаем, сколько будет 5 777 – 5 751 с помощью метода нахождения разности столбиком.

Решение: 

Шаги, которые нам нужно сделать, мы уже приводили выше. Выполняем их последовательно для новых чисел и получаем в итоге:

В начале результата стоит два нуля. Т.к. они стоят первыми, то можно смело их отбросить и получить в ответе 26. Это число и будет правильным ответом нашего примера.

Ответ: 26.

Если посмотреть на условия двух примеров, приведенных выше, легко заметить, что до сих пор мы брали только числа, равные по количеству знаков. Но метод столбика можно использовать и тогда, когда уменьшаемое включает в себя больше знаков, чем вычитаемое.

Условие: найдем разность 502 864 число 2 330.

Решение

Запишем числа друг под другом, соблюдая нужную соотнесенность разрядов. Это будет выглядеть так:

Теперь поочередно вычисляем значения:

– единиц: 4−0=4;

– десятков: 6−3=3;

– сотен: 8−3=5;

– тысяч: 2−2=0.

Запишем, что у нас получилось:

Вычитаемое имеет значения в месте десятков и сотен тысяч, а вот уменьшаемое нет. Что же делать? Вспомним, что пустота в математических примерах равнозначна нулю. Значит, нам нужно вычесть нули из исходных значений. Вычитание нуля из натурального числа всегда дает нуль, следовательно, все, что нам остается, – это переписать исходные значения разрядов в область ответа:

Наши подсчеты завершены. Мы получили итог: 502 864 – 2 330 = 500 534.

Ответ: 500 534. 

В наших примерах значения разрядов вычитаемого всегда оказывались меньше, чем значения уменьшаемого, поэтому никаких трудностей при подсчете это не вызывало. Что делать, если из значения верхней строки нельзя вычесть значение нижней, не уйдя при этом в минус? Тогда нам нужно “взять взаймы” значения более старших разрядов. Возьмем конкретный пример.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Условие: найдите разность 534-71.

Пишем уже привычный нам столбик и делаем первый шаг вычислений: 4-1=3. Получаем:

Далее нам надо перейти к подсчету десятков. Для этого нам надо из 3 вычесть 7. Это действие с натуральными числами выполнить нельзя, ведь оно имеет смысл только при таком уменьшаемом, которое больше вычитаемого. Поэтому в данном примере нам нужно “занять” единицу из старшего разряда и тем самым “разменять” его. То есть 100 мы как бы меняем на 10 десяток и берем одну из них. Чтобы не забыть об этом, отметим нужный разряд точкой, а в десятках запишем 10 другим цветом. У нас получилась запись следующего вида:

Далее нам надо добавить полученные 10 десяток к трем, что у нас уже есть: 3+10=13, а потом уже из 13 вычитаем 7:

13−7=6.

Получившийся результат пишем на нужном месте под чертой:

Нам осталось закончить подсчет, вычислив сотни. У нас стоит точка над числом 5: это значит, что мы отсюда брали десяток для предыдущего разряда. Тогда 5−1=4. От четверки же ничего отнимать не нужно, поскольку вычитаемое в разряде сотен значений не имеет. Записываем 4 на место и получаем ответ:

Ответ: 463.   

Зачастую выполнять действие “размена” в рамках одного примера приходится несколько раз. Разберем такую задачу.

Условие: сколько будет 1 632 – 947?

Решение

В первом же этапе подсчета надо вычесть двойку из семерки, так что сразу “занимаем” десятку для размена на 10 единиц. Отмечаем это действие точкой и считаем 10+2-7=5. Вот как выглядит наша запись с отметками:

Далее нам надо подсчитать десятки. Указанная точка означает, что для вычислений мы берем в этом разряде число на единицу меньше: 3−1=2. Из двойки нам придется вычитать четверку, так что “размениваем” сотни.  У нас получается (10+2)−4=12−4=8.

Движемся дальше к подсчету сотен. Из шестерки мы уже занимали единицу, так что 6−1=5. Из пятерки вычитаем девятку, для чего берем имеющуюся у нас тысячу и “размениваем” ее на 10 сотен. Таким образом, (10+5)−9=15−9=6. Теперь наша запись с примечаниями выглядит так:

Нам осталось сделать подсчеты в тысячном разряде. Одну единицу отсюда мы уже занимали, так что 1−1=0. Пишем результат под итоговую черту и смотрим, что получилось:

На этом вычисления закончены. Нуль в начале можно отбросить. Значит, 1 632−947=685.

Ответ:  685.

Возьмем еще более сложный пример.

Условие: вычтите 907 из 8 002.

Решение

В первом шаге, как и ранее, нам приходится вычитать двойку из семерки. Идем в десятки за “разменом”. Но у нас их нет, как нет и сотен: на месте этих разрядов у уменьшаемого стоят нули. Поэтому идем сразу в тысячу. Это 10 сотен, так что:

После этого одну сотню представляем в виде 10 десяток:

Финальное действие в “размене” – один десяток на 10 единиц. Получим:

Только на этом этапе мы сможем наконец подсчитать сумму 10+2=12 и вычесть из нее число 7. В итоге у нас будет 5. Поместим результат на нужное место:

Теперь движемся к другим разрядам, отмеченным точками. Видим над десятками точку – считаем: 10−1=9. Прибавляем к нему значение разряда десятков уменьшаемого (0): 9+0=9. Из результата надо вычесть значения разряда десятков вычитаемого (0): 9−0=9. У нас вышло:

Далее над сотнями также видим точку. Считаем: 10−1=9. Прибавляем сотни числа 8 002 и от результата отнимаем сотни 907. Получаем: (9+0)−9=9−9=0. Теперь наша запись выглядит так:

У  нас остался последний шаг. Мы видим оставшееся число восемь с точкой, означающей, что ее надо уменьшить на единицу. Считаем число 8−1=7:

Ответ: 7095. 

Это были все сложные моменты, которые мы хотели пояснить. Они пригодятся для быстрых вычислений на практике. Завершим статью еще одним примером, но без комментариев:

Вычислите:  51 038 628 – 999 531.

Решение

Ответ: 50039097

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

§ Вычитание в столбик. Как вычитать в столбик

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

Темы уроков

Опыт есть истинный учитель. Леонардо да Винчи

Рассмотрим пример:

• Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры. Вычитаем по цифре (знаку).

  2 − 1 = 1

  Результат записываем под чертой.
• Далее вычитаем из «1» ноль.

  1 − 0 = 1

Вычитание в столбик полезно при выполнении действий с большими числами.

Вычитание столбиком из чисел содержащих нули

Пример:

• Записываем числа в столбик. Большее сверху. Вычитаем справа налево по одной цифре.

  9 − 3 = 6

Если при вычитании столбиком над нулем стоит точка, ноль превращается в 9».

Решаем в столбик

Уважаемые взрослые!

Счёт в столбик сам по себе несложен, но требует долговременной концентрации и внимания.
Очень часто дети-торопыжки, имеющие отличные оценки по математике, делают глупые и обидные ошибки. Например, вычитают из четырёх два и получают… один. Для детей и родителей это шок и полнейшее непонимание: “КАК такое может быть?”. Знаете, может. И часто.

Как добиться автоматизированного счёта в столбик? Никого не удивлю своей позицией – нужна специальная отработка счёта в столбик. Когда-то давно у нас выходил сборник таких примеров. Сейчас его не издают. Но и мои ученики, и ученики многих моих коллег выучились быстрому и безошибочному счету в столбик по этому пособию.

Мне жалко, что хороший материал лежит столько лет, не принося никому пользы. Поэтому я решила выложить его на сайте до первого требования издателей убрать.

Как строится книга? На листочке в клеточку написаны примеры. На обратной стороне – примеры для работы над ошибками дома. Так как Ваши дети и так будут примеры решать дома – можете или решать всё подряд, или оставить примеры для работы над ошибками для будущего повторения. Потому что после того, как порешали примеры на умножение, хорошо бы вспомнить заново примеры и на сложение, и на вычитание.

В содержании написаны темы. Вот через тему я рекомендую не перешагивать и решать по 1-2 страницы на каждую. Весь материал дан в логической последовательности. В конце книги размещены самые распространенные математические ребусы счёта в столбик.

Для взрослых выходила даже книжка с ответами. Её я тоже выкладываю. Ответы на ребусы тоже есть.

P.S. Не увлекайтесь решением в столбик, если пример можно решить устно. В этой книге идёт отработка от простого к сложному. Поэтому здесь  всё решаете в столбик. Когда научитесь – останавливайте детей:  примеры, типа 83-56, 12х8, нужно решать устно. Необходимо постоянно тренировать приёмы счета, развивать мышление, память, внимание. Устный счёт очень полезен, очень развивает.

Помните, что счёт в столбик надо использовать только при необходимости.

Скачать/открыть книги Вы можете по ссылкам ниже:

Вычисления в столбик

Ответы на письменные вычисления

Деление натуральных чисел в столбик: правила, примеры

В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные) можно делить столбиком – с остатком и без него.

Правила деления в столбик

Без остатка

Чтобы найти частное от деления одного числа на другое (с любым количеством разрядов) можно выполнить это арифметическое действие в столбик.

Рассмотрим правила деления на практическом примере для лучшего понимания. Допустим, нам нужно трехзначное число разделить на однозначное, к примеру 256 на 8. Вот, что мы делаем:

1. Пишем делимое (256), затем немного отступаем от него и в этой же строке дописываем делитель (8). Затем между этими числами дорисовываем уголок. Результат будем записывать под делителем.

2. В делимом слева направо отсчитываем минимально необходимое количество разрядов таким образом, чтобы полученное из содержащихся в них цифр новое число было больше, чем делитель. В нашем случае числа 2 недостаточно, поэтому к нему добавляем 5 и в итоге получаем 25.

Примечание: Если крайняя левая цифра делимого больше делителя, добавлять к нему цифру следующего разряда не нужно, и мы сразу приступаем к следующему шагу.

3. Определяем, сколько целых раз наш делитель содержится в полученном из цифр делимого числе (25). В нашем случае – три раза. Пишем цифру 3 в отведенном для этого месте, затем умножаем ее на делитель (3 ⋅ 8). Получившееся число (24) отнимаем из 25 и остается единица. Важно, чтобы результат вычитания (остаток) обязательно был меньше делителя, иначе мы неправильно выполнили вычисления.

Примечание: Правила и примеры вычитания чисел столбиком приведены в отдельной публикации.

4. К остатку (1) добавляем следующую цифру делимого (6), чтобы получить новое число, которое снова больше, чем делитель.

Примечание: Если при добавлении следующей цифры образовавшееся новое число все еще меньше делителя, берем еще одну цифру справа (если есть такая возможность), при этом в частном пишем ноль. В противном случае, получается деление с остатком, которое мы рассмотрим далее.

5. В числе 16 содержится ровно два раза по восемь (2 ⋅ 8), следовательно, пишем 2 в частном, затем выполняем вычитание (16 – 16) и получаем остаток, равный нулю.

На этом деление столбиком числа 256 на 8 успешно выполнено, и частное равно 32.

С остатком

В целом, алгоритм действий аналогичен вышеописанному. Разница лишь в том, что при последнем вычитании остается неделимой остаток, к которому больше нечего дописывать из делимого, т.к. все его разряды уже были использованы. Остаток обычно записывается справа от результата в скобках.

Например, остаток от деления 112 на 5 равняется двум. То есть 112 : 5 = 22 (2).

Пояснение: в результате вычитания 10 из 12 получается 2, но к нему больше нечего дописать из делимого.

Примеры деления в столбик

Пример 1

Разделим трехзначное число на двузначное, например 378 на 21.

Ответ: 378 : 21 = 18.

Пример 2

Найдем частное от деления чисел 1537 и 35.

Пояснение: в данном случае в делимом нужно сразу отсчитать слева не две, а три цифры, т.к. числа 1 и 15 меньше 35.

Ответ: 1537 : 35 = 43 (32)

Сложение столбиком. Сложение чисел столбиком. Математика сложение столбиком.

Когда вы хотите сложить два числа, вы можете сложить их столбиком.

Как правильно записать цифры в столбик?

Десятки цифр выстраиваются под десятками, сотни под сотнями и так далее. Затем складываем по столбцам, начиная со столбца справа. 

Пример 1. Сложите два числа: \(55 + 31\) в столбик.

Решение:

\(5+1=6\)

\(5+3=8\)

Ответ: \(86.\)

Пример 2. Сложите два числа: \(523 + 31\) в столбик.

Решение:

\(3+1=4\)

\(2+3=5\)

Ответ: \(554\).

Если при сложении образуется число больше 9: обычно это 10-18, то мы запоминаем десяток и прибавляем его к разряду выше, например если при сложении цифр 2 и 9 результат сложения равен 11, 1 мы записываем в сотни , а вторую еденицу прибавляем к тысячным.

Пример 3. Сложите два числа: \(523 + 91\) в столбик.

Решение:

    \(3+1=4\)

     \(2+9=11\) записываем \(1\)

\(5+1=6\)

Ответ: \(614\).

И еще пару примеров для лучшего понимания.

Пример 4. Сложите два числа: \(523 + 98\) в столбик.

Решение:

\(3+8=11\)

\(2+9+1\)

\(5+1=6\)

Ответ: \(621.\)

Пример 5. Сложите два числа: \(224 + 98\) в столбик.

Решение:

\(4+8=12\) записываем \(2\)

\(2+9+1=12\) записываем \(2\)

\(2+1=3\)

Ответ: \(322.\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Репетитор по математике

Самаркандский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Учитель первой категории. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Объясняю доступно, ясно, легко. Учитываю личность, характер ученика. К нахожу индивидуальный подход.

Репетитор по математике

Мозырский государственный педагогический университет им. И.П. Шамякина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Могу проводить урок как на русском языке так и на английском. Преподаю предмет так, как хотела бы, чтоб учили моего ребенка. Могу весело и интересно преподнести сложный материал учащимся. Я люблю математику за точность, а не приблизительность, за возможность предугадать будущий результат, а не полагаться на нечто неконтролируемое. Буду рада видеть на своих уроках!

Репетитор по математике

Новосибирский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-8 класса. Математика окружает нас повсюду, чем и влюбляет в себя. Люди, интересующиеся математикой, видят гораздо больше вокруг себя, имеют больше возможностей. Я помогаю ученикам не только повысить уровень знаний школьной математики, но и учу пользоваться ей в повседневной жизни и применять ее в обыденных действиях. Моя цель – не просто выдать материал, а объяснить его на простом и доходчивом языке, чтобы ребёнок точно всё понял. С радостью буду ждать всех на занятиях!

Функция

• – Индивидуальные занятия
• – В любое удобное для вас время
• – Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_{n-1},\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_n\ne 0\), называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\)-ой степени.{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.2-5x-3=0\).

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1, \pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.2+px+q)=0\]

Замечание

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\).

Деление в столбик | ПОЛЕЗНЫЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ УЧЕБЫ И РАБОТЫ

Описание

Примеры на деление в столбик решать просто. Но они требуют концентрации и внимания, особенно для очень торопливых детей. Практика счета таких примеров поможет развить внимательность и закрепить навыки счета больших чисел, а также добиться автоматизированного счета.

Программа представляет собой тренажер для счета. Она имеет внутренние настройки, изменяя которые можно создать примеры для детей разного возраста и уровня подготовки: на однозначное , двузначное  или  трехзначное число. Поэтому программа будет полезна как для учеников начальной школы 3-4 классов, так и для более старших классов.

Программа счета написана в Excel с помощью макросов. Формируются примеры на листе формата А4. Примеры генерируются случайным образом, количество генераций не ограничено. При записи примеров разряды чисел формируются друг под другом, что позволяет легко ориентироваться в примерах.

В конце карточки формируются ответы на примеры, которые после печати карточки можно отрезать. Нумерация карточек и ответов позволяет быстро находить ответы к каждой карточке, даже если их напечатано много.

Генератор примеров по математике будет очень удобен как для родителей, так и для учителей. Не нужно заранее покупать задачники и пособия по математике с примерами. Можно скачать файл и сгенерировать карточки в любое время независимо от подключения к интернету и распечатать.

Для ознакомления с программой можно бесплатно скачать примеры, которые получаются при использовании программы. Для получения новой карточки примеров достаточно скачать, нажать на кнопку генерации и распечатать.

 Также есть программы, в которых можно выбрать уровень сложности. В них можно начать с решения легких примеров, а затем перейти к более сложным.

На сайте представлен каталог программ, в котором все программы распределены по группам с указанием различий в программах внутри каждой группы. С помощью каталога Вы можете выбрать те программы, которые подходят именно Вам.

Наборы решений

Уравнение Ax = b легче решить, когда b = 0, поэтому мы начнем с этого случая.

Определение

Система линейных уравнений вида Ax = 0 называется однородной .

Система линейных уравнений вида Ax = b для bB = 0 называется неоднородной .

Однородная система – это просто система линейных уравнений, в которой все константы справа от знака равенства равны нулю.

Однородная система всегда имеет решение x = 0.Это называется тривиальным решением . Любое ненулевое решение называется нетривиальным .

Когда однородное уравнение Ax = 0 действительно имеет нетривиальные решения, оказывается, что множество решений удобно выразить в виде промежутка.

Параметрическая векторная форма (однородный случай)

Рассмотрим следующую матрицу в сокращенной форме эшелона строк:

А = C10-8-701430000D.

Матричное уравнение Ax = 0 соответствует системе уравнений

Tx1−8×3−7×4 = 0x2 + 4×3 + 3×4 = 0.

Мы можем записать параметрическую форму следующим образом:

GMKMIx1 = 8×3 + 7x4x2 = −4×3−3x4x3 = x3x4 = x4.

Мы написали избыточные уравнения x3 = x3 и x4 = x4, чтобы превратить указанную выше систему в векторное уравнение :

x = EPNx1x2x3x4FQO = x3EPN8−410FQO + x4EPN7−301FQO.

Это векторное уравнение называется параметрической векторной формой набора решений. Поскольку x3 и x4 могут быть любыми, это означает, что набор решений – это набор всех линейных комбинаций EPN8-410FQO и EPN7-301FQO.Другими словами, набор решений –

SpanGMKMIEPN8−410FQO, EPN7−301FQOHMLMJ.

Вот общая процедура.

Рецепт: Параметрическая векторная форма (однородный случай)

Пусть A – матрица размера m × n. Предположим, что свободными переменными в однородном уравнении Ax = 0 являются, например, x3, x6 и x8.

1. Найдите сокращенную форму эшелона строки A.
2. Запишите параметрическую форму набора решений, включая избыточные уравнения x3 = x3, x6 = x6, x8 = x8.Расположите уравнения для всех xi по порядку.
3. Составьте одно векторное уравнение из этих уравнений, превратив коэффициенты при x3, x6 и x8 в векторы v3, v6 и v8 соответственно.

Решения Ax = 0 тогда будут выражены в форме

x = x3v3 + x6v6 + x8v8

для некоторых векторов v3, v6, v8 в Rn и любых скаляров x3, x6, x8. Это называется параметрической векторной формой решения.

В этом случае набор решений можно записать как Span {v3, v6, v8}.

Особо подчеркнем следующий факт.

Множество решений однородного уравнения Ax = 0 представляет собой промежуток.

Поскольку в приведенном выше примере было двух переменных , набор решений является подмножеством R2. Поскольку одна переменных была свободной, набор решений представляет собой строку :

Чтобы на самом деле найти нетривиальное решение Ax = 0 в приведенном выше примере, достаточно подставить любое ненулевое значение для свободной переменной x2.Например, взяв x2 = 1, получаем нетривиальное решение x = 1 · A31B = A31B. Сравните с этим важным замечанием в разделе 1.3.

Поскольку в приведенном выше примере было трех переменных , набор решений является подмножеством R3. Поскольку две переменных были свободными, набор решений представляет собой плоскость .

Возникает естественный вопрос: можно ли записать решение однородного матричного уравнения, используя меньшее количество векторов, чем тот, который указан в приведенном выше рецепте? Мы увидим это на примере в разделе 2.5 видно, что ответ: нет : векторы из рецепта всегда линейно независимы, а это означает, что нет способа записать решение с меньшим количеством векторов.

Другой естественный вопрос: являются ли множества решений неоднородных уравнений также разветвленными? Как мы вскоре увидим, они никогда не бывают пролетами, но они тесно связаны с пролетами.

Существует естественная связь между количеством свободных переменных и «размером» набора решений, как показано ниже.

Размер набора решений

Приведенные выше примеры показывают нам следующую закономерность: когда есть одна свободная переменная в согласованном матричном уравнении, набор решений представляет собой линию, а когда есть две свободные переменные, набор решений представляет собой плоскость и т. Д.Количество свободных переменных называется размерностью набора решений.

Мы разработаем строгое определение размерности в разделе 2.7, но сейчас размерность будет просто означать количество свободных переменных. Сравните с этим важным замечанием в разделе 2.5.

Интуитивно понятно, что размерность набора решений – это количество параметров, необходимых для описания точки в наборе решений. Для линии нужен только один параметр, а для плоскости – два.Это похоже на то, как местоположение здания на Пичтри-стрит, которое похоже на линию, определяется одним числом, а угол улицы в Манхэттене, который похож на самолет, определяется двумя числами.

Напомним, что матричное уравнение Ax = b называется неоднородным , когда bB = 0.

В приведенном выше примере набором решений были все векторы вида

x = Rx1x2S = x2R31S + R − 30S

, где x2 – любой скаляр. Вектор p = A − 30B также является решением Ax = b: возьмем x2 = 0.Мы называем p частным решением .

В наборе решений x2 может быть что угодно, поэтому набор решений получается следующим образом: мы берем все скалярные кратные A31B, а затем добавляем конкретное решение p = A-30B к каждому из этих скалярных кратных. Геометрически это достигается путем сначала рисования отрезка A31B, который представляет собой линию, проходящую через начало координат (и, что не случайно, решение Ax = 0), и мы перемещаем , или толкаем эту линию вдоль p = A− 30B. Переведенная строка содержит p и параллельна Span {A31B}: это перевод строки .

В приведенном выше примере набором решений были все векторы вида

x = Cx1x2x3D = x2C110D + x3C − 201D + C100D.

, где x2 и x3 – любые скаляры. В этом случае частным решением будет p = C100D.

В предыдущем примере и в примере до него параметрическая векторная форма набора решений Ax = b была точно такой же, как параметрическая векторная форма набора решений Ax = 0 (из этого примера и этого примера, соответственно) , плюс особое решение.

Основное наблюдение

Если Ax = b согласовано, набор решений для получается путем взятия одного частного решения p для Ax = b и добавления всех решений Ax = 0.

В частности, если Ax = b непротиворечиво, набор решений представляет собой перевод из диапазона .

Параметрическая векторная форма решений Ax = b – это просто параметрическая векторная форма решений Ax = 0 плюс конкретное решение p.

Нетрудно понять, почему это ключевое наблюдение верно.Если p – частное решение, то Ap = b, а если x – решение однородного уравнения Ax = 0, то

A (x + p) = Ax + Ap = 0 + b = b,

, поэтому x + p – другое решение Ax = b. С другой стороны, если мы начнем с любого решения x для Ax = b, то x − p будет решением для Ax = 0, поскольку

A (x − p) = Ax − Ap = b − b = 0.

См. Интерактивные рисунки в следующем подразделе для визуализации ключевого наблюдения.

Размер набора решений

Как и в этом важном примечании, когда есть одна свободная переменная в согласованном матричном уравнении, набор решений представляет собой линию – эта линия не проходит через начало координат, когда система неоднородна – когда есть две свободные переменные, множество решений является плоскостью (опять же, не через начало координат, когда система неоднородна) и т. д.

Еще раз сравните с этим важным примечанием в Разделе 2.5.

С каждой матрицей A размера m × n мы теперь связали два совершенно разных геометрических объекта, оба описываемые с помощью промежутков.

• Набор решений : для фиксированного b это набор всех x таких, что Ax = b.

  • Это диапазон, если b = 0, и перевод диапазона, если bB = 0 (и Ax = b согласован).
  • Это подмножество Rn.
  • Он вычисляется путем решения системы уравнений: обычно путем сокращения строк и нахождения параметрической векторной формы.

• Диапазон столбцов A : это набор всех b таких, что Ax = b согласован.

  • Это всегда промежуток.
  • Это подмножество Rm.
  • Это не вычисляется путем решения системы уравнений: сокращение строки не играет роли.

Не путайте эти две геометрические конструкции! В первом вопросе заключается в том, какой x работает для данного b, а во втором вопрос заключается в том, какой b работает для некоторого x.

13.2: Типы растворов и растворимость

Цели обучения

• Чтобы понять, как изменения энтальпии и энтропии влияют на образование раствора.
• Использовать величину изменений энтальпии и энтропии, чтобы предсказать, будет ли данная комбинация растворенного вещества и растворителя спонтанно образовывать раствор.

Во всех растворах, будь то газообразные, жидкие или твердые, вещество, присутствующее в наибольшем количестве, является растворителем, а вещество или вещества, присутствующие в меньших количествах, являются растворенными веществами.Растворенное вещество не обязательно должно находиться в том же физическом состоянии, что и растворитель, но физическое состояние растворителя обычно определяет состояние раствора. Пока растворенное вещество и растворитель объединяются с образованием гомогенного раствора, считается, что растворенное вещество растворимо в растворителе. В таблице \ (\ PageIndex {1} \) перечислены некоторые общие примеры газообразных, жидких и твердых растворов и указаны физические состояния растворенного вещества и растворителя в каждом из них.

Формирование решения

Образование раствора из растворенного вещества и растворителя – это физический процесс, а не химический.{-} (водн.) + h3 (g)} \ label {13.1.2} \]

Когда раствор испаряется, мы не восстанавливаем металлический цинк, поэтому мы не можем сказать, что металлический цинк растворим в водной соляной кислоте, потому что он химически превращается при растворении. Растворение растворенного вещества в растворителе с образованием раствора не включает химического превращения (то есть физического изменения).

Растворение растворенного вещества в растворителе с образованием раствора не требует химического превращения.

Вещества, образующие единую гомогенную фазу во всех пропорциях, считаются полностью смешивающимися друг с другом. Этанол и вода смешиваются так же, как смешиваются смеси газов. Если два вещества практически нерастворимы друг в друге, например масло и вода, они несмешиваются . Примеры газообразных растворов, которые мы уже обсуждали, включают атмосферу Земли.

Роль энтальпии в образовании раствора

Энергия требуется для преодоления межмолекулярных взаимодействий в растворенном веществе, которое может обеспечиваться только новыми взаимодействиями, происходящими в растворе, когда каждая частица растворенного вещества окружена частицами растворителя в процессе, называемом сольватацией (или гидратация, когда растворитель вода).Таким образом, все взаимодействия растворенного вещества и растворенного вещества и многие взаимодействия растворитель – растворитель должны быть нарушены для образования раствора. В этом разделе мы описываем роль энтальпии в этом процессе.

Поскольку энтальпия является функцией состояния, мы можем использовать термохимический цикл для анализа энергетики образования раствора. Процесс происходит в три отдельных шага, обозначенных \ (ΔH_1 \), \ (ΔH_2 \) и \ (ΔH_3 \) на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Общее изменение энтальпии при образовании раствора (\ (\ Delta H_ {soln} \)) представляет собой сумму изменений энтальпии на трех этапах:

\ [\ Delta H_ {soln} = \ Delta H_1 + \ Delta H_2 + \ Delta H_3 \ label {13.1.3} \]

Когда к раствору добавляется растворитель, этапы 1 и 2 являются эндотермическими, поскольку для преодоления межмолекулярных взаимодействий в растворителе (\ (\ Delta H_1 \)) и растворенном веществе (\ (\ Delta H_2 \)) требуется энергия. . Поскольку \ (ΔH \) положительно для обоих шагов 1 и 2, взаимодействия растворенное вещество-растворитель (\ (\ Delta H_3 \)) должны быть сильнее, чем взаимодействия растворенное вещество-растворенное вещество и растворитель-растворитель, которые они заменяют, чтобы процесс растворения быть экзотермическим (\ (\ Delta H_ {soln} <0 \)).Когда растворенное вещество представляет собой ионное твердое вещество, \ (ΔH_2 \) соответствует энергии решетки, которую необходимо преодолеть для образования раствора. Чем выше заряд ионов в ионном твердом теле, тем выше энергия решетки. Следовательно, твердые вещества с очень высокой энергией решетки, такие как \ (MgO \) (-3791 кДж / моль), обычно нерастворимы во всех растворителях.

Положительное значение для \ (ΔH_ {soln} \) не означает, что решение не сформируется. Происходит ли самопроизвольно данный процесс, включая образование раствора, зависит от того, снижается ли в результате общая энергия системы. Энтальпия – только один из факторов. Высокое значение \ (ΔH_ {soln} \) обычно указывает на то, что вещество не очень растворимо. Холодные компрессы быстрого приготовления, используемые, например, для лечения спортивных травм, используют большой положительный эффект \ (ΔH_ {soln} \) нитрата аммония во время растворения (+25.7 кДж / моль), что обеспечивает температуру ниже 0 ° C (Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)).

Энтропия и образование раствора

Изменение энтальпии, которое сопровождает процесс, важно, потому что процессы, которые высвобождают значительное количество энергии, имеют тенденцию происходить спонтанно. Второе свойство любой системы, ее энтропия, также важно для того, чтобы помочь нам определить, происходит ли данный процесс спонтанно. Мы обсудим энтропию более подробно в другом месте, а пока мы можем заявить, что энтропия (\ (S \)) – это термодинамическое свойство всех веществ, пропорциональное степени их беспорядка.Идеальный кристалл при 0 К, атомы которого правильно расположены в идеальной решетке и неподвижны, имеет энтропию, равную нулю. Напротив, газы имеют большую положительную энтропию, потому что их молекулы сильно разупорядочены и находятся в постоянном движении с высокими скоростями.

При образовании раствора молекулы, атомы или ионы одного вида рассеиваются во втором веществе, что обычно увеличивает беспорядок и приводит к увеличению энтропии системы. Таким образом, энтропийные факторы почти всегда способствуют образованию раствора.Напротив, изменение энтальпии может способствовать или не способствовать образованию раствора. Лондонские дисперсионные силы, которые удерживают вместе циклогексан и н-гексан в чистых жидкостях, например, аналогичны по природе и силе. Следовательно, \ (ΔH_ {soln} \) должно быть приблизительно равно нулю, что и наблюдается экспериментально. Однако смешивание равных количеств двух жидкостей дает раствор, в котором молекулы н-гексана и циклогексана равномерно распределены примерно в два раза больше исходного объема. В этом случае движущей силой для образования раствора является не отрицательное значение \ (ΔH_ {soln} \), а скорее увеличение энтропии из-за увеличения беспорядка в смеси.Все самопроизвольные процессы с \ (ΔH \ ge 0 \) характеризуются увеличением энтропии на . В других случаях, таких как смешивание масла с водой, соли с бензином или сахара с гексаном, энтальпия раствора большая и положительная, и увеличения энтропии в результате образования раствора недостаточно для ее преодоления. Таким образом, в этих случаях решение не формируется.

Все самопроизвольные процессы с ΔH ≥ 0 характеризуются увеличением энтропии.

Таблица \ (\ PageIndex {2} \) суммирует, как энтальпийные факторы влияют на формирование раствора для четырех общих случаев.В крайнем правом столбце используются относительные величины энтальпийных вкладов, чтобы предсказать, сформируется ли решение из каждого из четырех. Имейте в виду, что в любом случае энтропия способствует образованию раствора. В двух случаях ожидается, что энтальпия раствора будет относительно небольшой и может быть как положительной, так и отрицательной. Таким образом, энтропийный вклад доминирует, и мы ожидаем, что решение будет легко образовываться. В двух других случаях ожидается, что энтальпия раствора будет большой и положительной.Энтропийный вклад, хотя и благоприятный, обычно слишком мал, чтобы преодолеть неблагоприятный член энтальпии. Следовательно, мы ожидаем, что решение придет нелегко.

В отличие от жидких растворов межмолекулярные взаимодействия в газах слабые (считается, что в идеальных газах их нет). Следовательно, смешение газов обычно является термически нейтральным процессом (\ (ΔH_ {soln} \ приблизительно 0 \)), и энтропийный фактор из-за увеличения беспорядка является доминирующим (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)). Следовательно, все газы легко растворяются друг в друге во всех пропорциях с образованием растворов.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Учитывая \ (\ ce {LiCl} \), бензойную кислоту (\ (\ ce {C6H5CO2H} \)) и нафталин, который будет наиболее растворимым, а какой – наименее растворимым в воде?

Дано : три соединения

Запрошено: относительная растворимость в воде

Стратегия : Оцените относительную величину изменения энтальпии для каждого шага в процессе, показанном на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).Затем используйте Таблицу \ (\ PageIndex {2} \), чтобы предсказать растворимость каждого соединения в воде и расположить их в порядке уменьшения растворимости.

Решение:

Первое вещество, \ (\ ce {LiCl} \), является ионным соединением, поэтому для разделения его анионов и катионов и преодоления энергии решетки требуется много энергии (ΔH ₂ намного больше нуля в Уравнение \ (\ ref {13.1.1} \)). Поскольку вода является полярным веществом, взаимодействия между ионами Li ⁺ и Cl ^– и водой должны быть благоприятными и сильными.Таким образом, мы ожидаем, что \ (ΔH_3 \) будет намного меньше нуля, что делает LiCl растворимым в воде. Напротив, нафталин является неполярным соединением, и только силы лондонской дисперсии удерживают молекулы вместе в твердом состоянии. Поэтому мы ожидаем, что \ (ΔH_2 \) будет малым и положительным. Мы также ожидаем, что взаимодействие между полярными молекулами воды и неполярными молекулами нафталина будет слабым \ (ΔH_3 \ приблизительно 0 \). Следовательно, мы не ожидаем, что нафталин будет хорошо растворяться в воде, если будет вообще. Бензойная кислота имеет группу полярной карбоновой кислоты и неполярное ароматическое кольцо.Поэтому мы ожидаем, что энергия, необходимая для разделения молекул растворенного вещества (ΔH ₂ ), будет больше, чем для нафталина, и меньше, чем для LiCl. Сила взаимодействия бензойной кислоты с водой также должна быть промежуточной между LiCl и нафталином. Следовательно, ожидается, что бензойная кислота будет более растворимой в воде, чем нафталин, но менее растворимой, чем \ (\ ce {LiCl} \). Таким образом, мы прогнозируем, что \ (\ ce {LiCl} \) наиболее растворим в воде, а нафталин – наименее растворим.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Принимая во внимание хлорид аммония, циклогексан и этиленгликоль (\ (HOCH_2CH_2OH \)), какой из них будет наиболее растворимым, а какой – наименее растворимым в бензоле?

Ответ

Наиболее растворимым является циклогексан; наименее растворимым является хлорид аммония.

Резюме

Растворы представляют собой гомогенные смеси двух или более веществ, компоненты которых равномерно распределены в микроскопическом масштабе. Компонент, присутствующий в наибольшем количестве, представляет собой растворитель, а компоненты, присутствующие в меньших количествах, являются растворенным веществом (ами). Образование раствора из растворенного вещества и растворителя – это физический процесс, а не химический. Смешивающиеся вещества, например газы, при смешивании образуют единую фазу во всех пропорциях.Вещества, образующие отдельные фазы, не смешиваются. Сольватация – это процесс, при котором частицы растворенного вещества окружены молекулами растворителя. Когда растворителем является вода, процесс называется гидратацией. Общее изменение энтальпии, которое сопровождает образование раствора, \ (ΔH_ {soln} \), представляет собой сумму изменения энтальпии для разрыва межмолекулярных взаимодействий как в растворителе, так и в растворенном веществе и изменения энтальпии для образования нового растворенного вещества. –Растворители взаимодействия. Экзотермические (\ (ΔH_ {soln} <0 \)) процессы способствуют образованию раствора.Кроме того, изменение энтропии, степени неупорядоченности системы, необходимо учитывать при прогнозировании образования раствора. Увеличение энтропии (уменьшение по порядку) способствует растворению.

Алгоритмы генерации столбцов – оптимизация

Авторы: Кедрик Дали (весна 2015 г.)
Управляющие: Даджун Юэ, Фэнци Ю

Алгоритмы генерации столбцов используются для проблем MILP. Формулировка была первоначально предложена Фордом и Фулкерсоном в 1958 г. [1]. Основное преимущество генерации столбцов состоит в том, что не все возможности нужно перечислять.Вместо этого проблема сначала формулируется как проблема с ограниченным ведущим (RMP). Этот RMP имеет как можно меньше переменных, и новые переменные вносятся в базис по мере необходимости, аналогично симплексному методу [2]. Подобно симплексному методу, это означает, что если можно найти столбец с отрицательной приведенной стоимостью, он добавляется в RMP, и этот процесс повторяется до тех пор, пока в RMP не перестанут быть добавлены столбцы.

Простая блок-схема создания столбца

Формулировка задачи создания столбцов зависит от типа проблемы.Один из распространенных примеров – проблема раскроя материала. Однако во всех случаях необходимо взять исходную проблему и сформулировать RMP, а также подзадачу. Решение RMP определяет некоторые параметры в подзадаче, тогда как подзадача будет использоваться, чтобы определить, есть ли какие-либо столбцы, которые могут войти в основу. Подзадача решает это с минимальными затратами. Если приведенная стоимость отрицательна, решение можно ввести в основу как новый столбец. Если приведенная стоимость больше или равна нулю, нижняя граница оптимального решения была найдена, хотя это может быть не целочисленное решение.

Проблема с режущим материалом (CSP)

В задаче раскроя заготовок цель состоит в том, чтобы свести к минимуму отходы, получаемые при нарезке валков фиксированного размера (так называемые «сырье») при выполнении заказов клиентов.

Например, у нас могут быть стальные стержни длиной L = 17 м, по заказу клиента двадцать пять стержней длиной 3 м, двадцать стержней длиной 5 м и пятнадцать стержней длиной 9 м.
Позвольте быть длиной, которую требует заказчик. Таким образом,

Пусть будет спрос на каждый кусок длины.Таким образом,

Традиционный состав IP

Традиционная формулировка целочисленного программирования для задач раскроя материала включает в себя минимизацию количества разрезаемых валков, чтобы удовлетворить ограничения спроса, а также общие ограничения размера.

Позвольте быть индекс имеющихся рулонов.
Пусть будет 1, если рулон обрезан, и 0 в противном случае.
Позвольте быть количеством раз, когда элемент разрезается на рулоне.
Тогда формулировка IP:

Однако эта формулировка неэффективна и ее трудно решить до оптимальности для большого числа переменных [3].Алгоритмы генерации столбцов могут помочь быстро решить эту проблему за счет ограничения количества необходимых перечислений.

Состав для создания колонки

При создании колонки основное внимание уделяется различным схемам, по которым можно разрезать стержни [4].

Позвольте быть набором всех шаблонов, которые можно вырезать.
Позвольте быть количеством отрезков длины, вырезанных в выкройке p.
Позвольте быть количество раз, когда шаблон вырезан. Тогда столбцы поколения RMP и dual:

Теперь необходимо выбрать начальный набор столбцов.Это можно сделать, просто выбрав «фальшивые» столбцы, которые, как мы знаем, не попадут в раствор, или покрывая основу. В этом примере можно выбрать единичную матрицу. Лучше использовать исходную матрицу, покрывающую базис, потому что мы всегда можем вырезать по крайней мере такое количество баров из нашего исходного материала. Таким образом, наша исходная матрица:

Решение двойного RMP затем дает двойной множитель. Эти значения затем передаются в подзадачу, чтобы увидеть, будут ли добавлены какие-либо столбцы.Подзадача выглядит следующим образом:

Эта подзадача представляет собой задачу о рюкзаке, которая была тщательно изучена. Для решения этой задачи о рюкзаке можно использовать динамическое программирование (например, ветвление и границу) [5]. В конце этой подзадачи мы вычислим уменьшенную стоимость, чтобы определить, добавляем ли мы столбец решения в. Подобно симплексному алгоритму, если приведенная стоимость отрицательна, столбец добавляется к RMP, в противном случае мы закончили добавление столбцов, и самое последнее первичное решение даст нам наше решение с нижней границей для RMP.Подстановка двойных переменных и других известных величин в подзадачу дает нам:

Решение которого дает , со сниженной стоимостью . Поскольку эта приведенная стоимость отрицательна, столбец добавляется в RMP, и он заменяет один из столбцов в основе. После добавления столбца

Решение двойного значения нового RMP дает двойной множитель. . И снова эти значения передаются в подзадачу и становятся коэффициентами целевой функции.Решение второй итерации подзадачи дает снижение затрат на . Поскольку эта уменьшенная стоимость отрицательна, столбец добавляется и алгоритм продолжается.

Новые двойные множители становятся, и после подстановки в подзадачу мы обнаруживаем, что столбец решения имеет уменьшенную стоимость 0. Поскольку это не отрицательная приведенная стоимость, этот столбец не добавляется, и создание столбца прекращается. Затем можно найти оптимальное решение, используя самую последнюю версию и просто оптимизируя RMP.Результирующее решение для RMP: что дает объективное значение.

Результатом является нижняя граница целочисленного решения для CSP и, как в этом случае, часто не является целым числом. В случае CSP простого округления часто бывает достаточно для получения приемлемого целочисленного решения, которое в данном случае будет 21 необработанной строкой для выполнения заказов.

Другие примеры

Другие приложения создания столбцов включают [6]:

• Планирование человеческих ресурсов
  
• Маршрутизация транспортных средств
  
• Планирование летного экипажа
  

Все эти приложения по-прежнему следуют базовому формату генерации столбцов.RMP формулируется и решается, а параметры отправляются в подзадачу. Затем подзадача решается, и если уменьшенная стоимость решения отрицательна, столбец добавляется к RMP, и цикл продолжается до тех пор, пока уменьшенная стоимость не станет неотрицательной. Формулировка каждой проблемы различается из-за разных параметров, но общий подход один и тот же.

Алгоритмы генерации столбцов лучше всего использовать, когда имеется большое количество переменных, но не большое количество ограничений для сравнения.Перечисление всех возможностей при большом количестве переменных, часто из-за большого количества индексов, занимает много времени даже при эффективных методах решения. Алгоритмы генерации столбцов решают эту проблему, ограничивая то, что перечисляется, и вносят столбцы в основу только тогда, когда это необходимо. Когда столбцы переносятся в основу, также можно удалить любой столбец, который был заменен входящим столбцом, что может помочь сэкономить память при перечислении решений. Экономия времени и памяти – вот где сияют алгоритмы генерации столбцов, хотя они не лишены своих недостатков.

Одним из основных недостатков генерации столбцов является то, что может быть трудно определить, можно ли сформулировать проблему так, чтобы создание столбцов было выгодным. Обычно легче придумать стандартную модель MILP, чем эквивалент генерации столбцов, поскольку формулировки генерации столбцов не всегда очевидны. Однако, как только это начальное препятствие будет преодолено, создание столбцов станет полезным инструментом для решения проблем MILP.

Алгоритмы генерации столбцов наиболее полезны при работе с большим количеством переменных.Они эффективны, поскольку избегают перечисления всех возможных элементов традиционной формулировки MILP и вместо этого оценивают переменные только по мере необходимости. Это достигается за счет внесения столбцов в RMP, когда сниженная стоимость отрицательна. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута неотрицательная уменьшенная стоимость, а затем может быть решена самая последняя первичная функция, чтобы получить границу для проблемы MILP. Хотя первоначальная формулировка MILP с использованием алгоритмов генерации столбцов может быть трудно увидеть на первых порах, если формулировка может быть достигнута, использование алгоритма генерации столбцов дает много потенциальной экономии времени.

[1] Л. Р. Форд, младший, Д. Р. Фулкерсон, (1958) Предлагаемое вычисление для максимальных потоков мульти-товарной сети. Наука управления 5 (1): 97-101. http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.5.1.97

[2] Desrosiers, J., & Lübbecke, M. (2005). Учебник по созданию колонок. В: G. Desaulniers, J. Desrosiers & M. Solomon (Eds.), Column Generation (стр. 1-32): Springer US.

[3] (ноябрь 2012 г.) Лекция 8: Создание столбцов [PDF-документ] Получено с http://ocw.nctu.edu.tw / upload / classbfs1211073803.pdf

[4] Стейн, К. (2007) Создание столбцов: раскрой – очень прикладной метод [PDF-документ]. Получено с http://www.columbia.edu/~cs2035/courses/ieor4600.S07/columngeneration.pdf.

[5] Создание столбцов [документ PDF]. Получено с http://systemsbiology.ucsd.edu/sites/default/files/Attachments/Images/classes/convex_presentations/ColGen.pdf.

[6] Ган, Х. (2008) Создание столбцов [документ PDF]. Получено с http: // www.more.ms.unimelb.edu.au/students/operationsresearch/lecturenotes/620362_ColGen.pdf

[7] Джованни Ригини. (Апрель 2013 г.) Создание столбцов [документ PDF]. Получено с http://homes.di.unimi.it/righini/Didattica/ComplementiRicercaOperativa/MaterialeCRO/CG.pdf.

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций – преобразовать – или уменьшить – исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы представлены более простой расширенной матрицей [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель – получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель – получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого – добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y – 3 z = – 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x – 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление −1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение Гаусса осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, путем выполнения дополнительных строковых операций для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Исключение Гаусса-Жордана продолжается с того места, где остановилось Гаусса, а затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1, а при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель – решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы –

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку есть 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 из неизвестных, z , скажем, произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t – любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y – 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t – любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение т дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, – 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R ³ , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая гласит, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найти все решения системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется по крайней мере одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂ . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t ₁ t ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T и пусть A будет матрицей

Для каких значений b ₁ , b ₂ и b ₃ будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

Нижняя строка теперь подразумевает, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должен быть равен нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T , для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется гомогенной системой .В матричной форме он читает A x = 0 . Поскольку каждая однородная система согласована – поскольку x = 0 всегда является решением, – однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t – любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t – любое действительное число.Существует бесконечно много растворенных веществ, поскольку каждое действительное значение т дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обеих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь – соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

  Xθ = y  может быть решено только тогда, когда  y  лежит в плоскости, которая охватывает два вектора-столбца, комбинацию столбцов  X . Затем мы говорим, что  y  находится в пространстве столбца.