Примеры 3 класс уравнения: Реши уравнения 3 класс
В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.
Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
п.2. Примеры
Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x – (3 – 2x) = 9
Решение:
x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4
Проверка:
$4 -(3 – 2 \cdot 4)=9 \implies 4 – 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$
Ответ: x = 4
Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56
Решение:
7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 – 3 $\iff$ x=5
Проверка:
$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$
Ответ: x = 5
Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14
Решение:
(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 – 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8
Проверка:
$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$
Ответ: x = 8
Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} – \frac {5x-11}{5} = 0$
Решение:
$\frac {3x-7}{3} – \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$
$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $
Решений нет.
Ответ: $x \in \varnothing $
Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x – 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$
Решение:
$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $
$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$
Ответ: $8 \frac 14$
Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5
Решение:
$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$
Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$
Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3
Решение:
$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$
$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$
Проверка:
$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$
Ответ: x = -2
Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?
Решение:
Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:
5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 – 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1
a=1
Ответ: a = 1
Урок математики в 3-м классе “Решение уравнений”
Тип урока: урок введения новых знаний.
Цель: познакомить с уравнениями нового вида.
Задачи:
- Учить решать уравнения нового вида, которые будут вводиться через текстовую задачу.
- Развивать умение переносить ранее изученные знания на новый материал.
- Развивать интеллектуальные и коммуникативные умения, умения самостоятельно оценивать результат своих действий.
Оборудование:
- мультимедийный проектор, компьютер, презентация.
- Лист самооценки учащихся представлен в Приложение 1
- Тема на плакате. Решение уравнений (закрыта)
- Листики для работы в группах
- (Х + 2 = 5 x 3)
- Учебник “Моя математика” Т.Е.Демидова, С.А.Козлова, А.П.Тонких Часть 2.
- Карточки с домашним заданием ( разноуровневые задания).
Ход урока
I. Организация класса.
Положительный настрой на работу.
II. Актуализация знаний.
Ребята, вы согласны, что в жизни пригодиться такое умение – как быстро считать?
А знать о пользе разных продуктов?
Вы любите ягоды? Не случайно вас спрашиваю. Вы сейчас потренируетесь в счёте и заодно узнаете о пользе и лечебных свойствах некоторых ягод и фруктов.
1. Математическая разминка + тема здоровья (лечебные свойства ягод, фруктов)
Послушайте задачи и запишите выражения в тетрадях:
а) Семья собрала летом с одного куста 2 кг черноплодной рябины. Сколько всего кг рябины собрала семья с 11 таких кустов?
В плодах черноплодной рябины витамина “Р” в 20 раз больше, чем в яблоках и апельсинах. Витамины – необходимы для растущего организма.
б) Юля разделила поровну 30 мандаринов среди пяти своих подруг. Сколько мандаринов получила каждая из них?
При простуде и кашле – рекомендуется каждое утро выпивать по стакану мандаринового сока. Эфирное масло мандарина поднимает настроение.
в) На зиму заготовили 4 баночки брусники, а клюквы в 6 раз больше. Сколько банок с клюквой заготовили на зиму?
Раны и ожоги, промытые клюквенным соком, моментально заживают. Брусника повышает остроту зрения и рекомендуются пилотам, морякам, водителям, работающим с напряжением зрения и ученикам.
г) Масса арбуза 12 кг, Сколько кг в ? арбуза?
Арбузы прекрасно утоляют жажду и выводят из организма ядовитые вещества.
Проверьте. (Слайд № 2 по щелчку)
- 2 x 11= 22(кг)
- 30 : 5 = 6(м.)
- 4 x 6= 24(б.)
- 12 : 2= 6(кг) ( Самоконтроль. Самопроверка.
Дети выполняют отметку в листе самооценки. Приложение 1.)
Какие знания понадобились для решения задач? (Знания таблицы умножения и деления)
Отлично справились с заданием.
Продолжаем математическую разминку:
2. Игра.
На какие 2 группы можно разбить записи? (Слайд № 3 по щелчку)
505 – 5
Х+ 20= 70
Х- 40 =30
808 – 8
150 – Х = 70 (Уравнения и числовые выражения)
Что такое уравнение? (Равенство с неизвестным)
Каждый ряд решает своё уравнение. (1 ряд - первое уравнение -Х+ 20= 70, 2 ряд- второе уравнение Х- 40 =30, 3 ряд -150 – Х = 70)
Проверка решения уравнений по рядам. (Слайд № 4).
Оцените своё решение (Дети делают отметку в листе самооценки. Приложение 1.)
III. Подводящий диалог к формулированию новой темы.
1. Работа с рисунками. Рисунки к задаче № 1 стр.88 (слайд № 5 )
Ребята, перечислите предметы, которые здесь изображены художником? (Весы, рыба, гири).
Что за цифры на гирях. Зачем они? (Указывают массу гирь)
Скажите, в каком положении находятся весы (Весы находятся в равновесии)
Запишем то, что видите на картинке с помощью цифр, математических знаков(слайд № 6 пощелчку)
Что лежит сначала на левой чаше весов? (Рыба)
Какова её масса? (Неизвестна)
Как её можно обозначить?( Давайте обозначим массу рыбы буквой Х)
Что ещё находиться на этой же чаше? (Гиря массой в 2 кг)
Если это вместе на одной чаше весов, какой знак между числами поставим? ( х+2)
(Аналогично с правой чашей весов) Перечисляют и появляется запись: 5 5 5
Весы в равновесии, какой знак поставим между записями ? (Равно)
Интересная запись! Х + 2 = 5 x 3
Давайте это запишем в тетрадь.
А я догадалась, как правую часть проще записать, а вы? (5 x 3 сумма одинаковых слагаемых)
Здорово!
Х + 2 = 5 x 3
Что вы заметили? Что напоминает вам эта запись? (Похоже на уравнение)
А решали такие сложные уравнения?(Нет)
Тогда сформулируйте тему нашего урока. (Решение уравнений)
(тему открываю)
Как думаете, чему мы будем учиться мы на уроке? (Учиться решать новые виды уравнений).
IV. Оздоровительная минутка.
Зрительная гимнастика (слайд № 7). Следят за движением рыбки, затем дельфина.
V. Совместное “открытие” нового знания.
Работа в группах.
Проведём свои наблюдения, исследовательскую работу. Помогайте друг другу.
С чего бы вы начали решение этого уравнения?
Сделайте его проще!(Можно найти произведение 5 и 3. Мы получили уравнение, которое уже умеем решать: Х +2 = 15)
Неизвестно 1 слагаемое. Чтобы его найти, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.
Корень – 13 (слайд № 8 по щелчку)
Молодцы! Вы сделали открытие!
Смогли сами справиться с таким сложным заданием.
Сделайте отметку в листе самооценки. Делают отметку в листе самооценки.
(работа в группах)
Если уч-ся не смогут самостоятельно решить данное уравнение, то предложить готовое решение Вити.( № 1 стр. 88 учебника)
Расскажите, как Витя решал это уравнение?
Откуда появляется число 15 в уравнении? (Произведение 5 и 3)
Витя решил уравнение так:
Х + 2 = 5 x 3
Х + 2 = 15
Х = 15 – 2
Х = 13
Ответ 13 килограммов масса камбалы.
Чему же равна масса рыбы?(Масса рыбы – 13 кг)
VI. Первичное закрепление.
Попробуем полученные знания применить на практике
Откройте учебник стр. 88 № 3 (а)
Чтение про себя, вслух.
Костя выполнил 2 рисунка и решил составить к ним уравнения. Какие задачи к ним можно придумать?
(слайды № 9, 10 по щелчку)
Что положили на левую чашу весов? (гири – 2 кг и 15 кг)
Что положили на правую чашу весов? (Гирю 5 кг, арбуз)
Какова масса арбуза? (Какова масса арбуза?)
Что необходимо будет узнать в придуманной вами задаче? (Определить массу арбуза)
Какую задачу можно придумать?
Заслушиваются задачи, составленные учащимися. (Например: На одной чашке весов гиря массой 5 кг и арбуз, а на другой чашке весов гири 5 кг и 15 кг. Какова масса арбуза?)
Если вы решите данное уравнение, Х + 5= 15 + 2 то сможем узнать :
(массу арбуза)
Решите уравнение:
Дети записывают в тетрадях:
Х+5= 17
Х=17- 5
Х= 12
Ответ: 12 кг масса арбуза..)
VII. Повторение и систематизация изученного материала.
Попытайтесь сами решить уравнение
Самостоятельная работа по вариантам (слай № 11)
х +3 = 17 – 2 – 1 вариант
9 – у = 13 – 6 – 2 вариант( Самостоятельно работают).
Проверка самостоятельной работы. (слайд № 12)
VIII. Итог урока. Рефлексия.
Чему учились на уроке? (Учились решать сложные уравнения)
Проанализируйте свою деятельность.
(лист самооценки) Вложите в свои тетради. (Заполненный лист самооценки вкладывают в тетради, тетради сдают).
Как работалось в команде?( Ответы детей)
О пользе каких ягод и фруктов вы узнали?(клюквы, брусники, арбуза, мандаринов, черноплодной рябины)
IX. Домашнее задание. (дифференцированное)
Чтобы научиться решать задачи с уравнениями, вы потренируйтесь в решении уравнений дома. Здесь и пригодятся полученные знания новой темы урока.
(Учащимся предлагаются разноуровневые карточки с уравнениями. Дети, оценивая степень усвоения, выбирают себе карточку легче по уровню или труднее)
1 уровень:
Х + 4= 3+3+3+3
3 + Х= 2 x 6
7+ у = 16 – 3
40 – а =30+ 8
*2 уровень
9 + у = 12 x 6
40- а = 30 : 5
88: с = 55 : 5
Х x 10 = 16 x 5
X. Дополнительный материал. (если останется время) Слайд № 13.
Игра.
Найдите уравнения, с которыми вы сегодня познакомились на уроке математики.
Х+5=19
Х+3= 7 x 4
7+Х= 6+6+6
Х+5=13+6
7+Х = 18
Спасибо за урок!
Уравнение с тремя неизвестными | Математика
62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение
3x + 4y – 2z = 11.
На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:
3x + 12 – 10 = 11,
откуда
3x = 9 и x = 3.
Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть
y = –1 и z = 0.
Тогда получим уравнение:
3x – 4 = 11,
откуда
3x = 15 и x = 5.
Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.
Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):
Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.
Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:
3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.
Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.
Возьмем еще уравнение
3x – 5y – 2z = 7.
Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y
–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2
Теперь легко составить таблицу решений:
Контрольные работы по математике за 1 полугодие 3 класс
В третьем классе у учащихся по разным УМК теперь знания отличаются все больше и больше. К примеру, “Школа России” и “Школа 21 века” давали понятие уравнений с неизвестными и ребятишки научились их решать, а вот “Перспектива” не учила решать уравнения. Именно поэтому важно, чтобы контрольная соответствовала программе, а не была взята “с потолка”. Мы предлагаем вам варианты контрольных работ для третьего класса за первое полугодие.
Цель: проверить уровень математической подготовки, прочности усвоения и осознанности материала учащимися третьих классов по пройденным темам на конец 1 полугодия.
Контрольная работа по математике за 1 полугодие 3 класс по программе “Школа России”
1 вариант
1. В 4 наборах 32 листа цветной бумаги. В скольких наборах находятся 72 листа бумаги?
2. Вставьте в «окошки» знаки · или : и пропущенные числа так, чтобы примеры стали верными:
□ . . . 8 = 9 5 . . . □= 0 36 . . . □ = 6
3 . . . □ = 24 □ . . . 8 = 1 □ . . . 6 = 0
3. Найдите значение выражений:
45 : (33 – 24) · 6 63 + 27 : (30 : 10)
4. Площадь прямоугольника 42 см2, его ширина 6 см. Найдите длину и периметр этого прямоугольника.
5. Найдите значение выражения а + 27, если а = 8, а = 12, а = 16, а = 4.
6. В нашем доме живут Катя, Маша и Лена. Вчера я видел Катю и Машу. Одной из них 9 лет, другой – 8. Сегодня я видел Машу и Лену. Одной из них 10 лет, другой – 9. Кому сколько лет?
2 вариант
1. На 3 костюма идёт 9 м ткани. Сколько метров ткани пойдёт на 6 таких костюмов?
2. Вставьте в «окошки» знаки · или : и пропущенные числа так, чтобы примеры стали верными:
□ … 7 = 6 9 . . . □ = 0 5 . . . □ = 40
□ . . . 15= 1 56 . . . □= 7 □ . . .7 = 3
3. Найдите значение выражений:
60 – 18 : 2 · 3 96 – (35 – 5) : 6
4. Площадь прямоугольника 72 см2, его длина 8 см. Найдите ширину и периметр этого прямоугольника.
5. Найдите значение выражения 36 + в, если в = 9, в = 5, в = 29, в = 17.
6. Цветки картофеля бывают открыты от 6 ч утра до 14 ч дня, цветки льна – от 6 ч до 16 ч, а цветки календулы от 9 ч до 15 ч. В какие часы эти цветки раскрыты одновременно?
Итоговая контрольная работа за 1 полугодие 3 класс. Программа “Школа 21 века”
1 вариант
1. Выпиши только верные неравенства:
(300 + 250 + 400) · 0 < 300 · 1
187 + 415 + 104 > 105 + 188 + 416
(80 – 66) : 2 = 7
2. Реши уравнения:
x + 135 = 582 72 : y = 8
3. Реши задачу:
В столовой израсходовали 18 кг риса, а гречневой крупы в 2 раза меньше, чем риса. Пшена израсходовали столько, сколько риса и гречневой крупы вместе. Сколько килограммов пшена израсходовали?
4. Выполни действия:
49 кг 32 г + 22 кг 59 г =
102 см 9 мм – 96 см 8 мм =
5. Вычисли по действиям:
180-81:9+6·4
324+189-205+18
2 вариант
1. Выпиши только верные равенства:
3 · 2 < 2 + 2 + 2
(56 – 48) · 4 = 24
83 + 2 · 4 = 91
2. Реши уравнения:
y – 104 = 289 5 * x = 35
3. Реши задачу:
В субботу библиотеку посетили 24 читателя, а в воскресенье читателей было в 3 раза меньше, чем в субботу. В понедельник библиотеку посетило столько читателей, сколько в субботу и воскресенье вместе. Сколько читателей было в библиотеке в понедельник?
4. Выполни действия
158 см 5 мм + 42 см 4 мм =
101 кг 42 г – 64 кг 28 г =
5. Вычисли по действиям:
415-226+107-29
150-64:8+2·4
Контрольная за полугодие по УМК “Школа 21 века” (доп.вариант)
Вариант 1
1. Решите задачу:
Девочка прочитала в первый день 16 страниц, а во второй – 14. После этого ей осталось прочитать 18 страниц. Сколько всего страниц в этой книге?
2. Решите задачу:
Карандаш стоит 3 рубля. Сколько стоят 9 таких карандашей?
3. Решите примеры:
(17-8) · 2= 82-66=
(21-6) : 3= 49+26=
18 : 6 · 3= 28+11=
8 · 3 – 5= 94-50=
4. Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 4 см и 2 см.
5. Рассмотри таблицу.
Ниже приведено расписание уроков Насти на три дня.
Понедельник Вторник Среда
1 урок Русский язык Математика Русский язык
2 урок Физкультура Русский язык Математика
3 урок ИЗО Чтение Английский язык
4 урок Математика Музыка Чтение
5 урок История
Пользуясь таблицей, выбери верные утверждения.
1) Во вторник сразу после урока чтения идёт урок русского языка.
2) В понедельник урок математики не последний.
3) Каждый из этих трёх дней начинается с урока русского языка.
4) В понедельник уроков больше, чем во вторник.
В ответе запиши номера верных утверждений.
Вариант 2
1. Решите задачу:
В первый день школьники окопали 18 деревьев, во второй – 12 деревьев. После этого им осталось окопать 14 деревьев. Сколько деревьев было нужно окопать школьникам?
2. Решите задачу:
В пакете 7 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля в 3 таких пакетах?
3. Решите примеры:
(24-6) : 2= 87-38=
(15-8) · 3= 26+18=
12 : 6 · 9= 73+17=
3 · 7 – 12= 93-40=
4. Найдите периметр прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см
5. Рассмотри таблицу.
Ниже приведено расписание уроков Насти на три дня.
Понедельник Вторник Среда
1 урок Русский язык Математика Русский язык
2 урок Физкультура Русский язык Математика
3 урок ИЗО Чтение Английский язык
4 урок Математика Музыка Чтение
5 урок История
Пользуясь таблицей, выбери верные утверждения.
1) Во вторник сразу после урока математики идёт урок чтения
2) В среду урок английского языка не последний.
3) Каждый из этих трёх дней начинается с урока русского языка.
4) В понедельник уроков больше, чем во вторник.
В ответе запиши номера верных утверждений.
Контрольная работа по математике за 1 полугодие 3 класс “Перспективная начальная школа”
1 вариант
1. Укажите порядок действий и найдите значения выражений.
(145 – 45 : 5) · 7
158 · 6 – (468 + 354) : 3
297 – 209 + 73 · 8 – 329 : 7
2. Найдите значения выражений:
16457 – 7540 56 : 8
79596 + 49537 26 · 3
3. Найдите корни уравнений.
173 – х = 79 52 + х = 84 9 · х = 45
4. Реши задачу.
В подарке 2 шоколадки, а конфет – на 4 штуки больше. Сколько конфет в восьми таких подарках?
5. Начертите два отрезка: длина первого отрезка 12 см, длина второго – в 2 раза меньше.
2 вариант
1. Укажите порядок действий и найдите значения выражений.
(227 – 27 : 9) · 11
100 · 5 – (30 – 5) : 5
2. Найдите значения выражений:
56408+3592 6 · 7
723394–5639 32 : 4
3. Найдите корни уравнений.
284 – х = 84 83 + х = 100 5 · х = 30
4. Реши задачу.
В ящике 8 кг моркови. Сколько килограммов моркови в шести таких ящиках?
5. Начертите два отрезка: длина первого отрезка 12 см, длина второго – на 9 см меньше.
Контрольная работа (тест) по математике за 1 полугодие 3 класс, “Перспектива”
1 вариант
1. В каком числе 5 десятков 6 единиц.
1) 65 2) 56 3) 25 4) 61
2.Увеличь 60 на 37.
1) 97 2) 87 3) 78
3. Уменьшаемое 54, вычитаемое 40. Найди разность.
1) 94 2) 14 3) 4
4. Какое число нужно прибавить к трём десяткам, чтобы получилось 60?
1) 80 2) 30 3) 50 4) 58
5. Укажи значение произведения чисел 9 * 6
1) 52 2) 54 3) 63
6. Частное каких чисел равно 9 ?
1) 18 и 9 2) 3 и 3 3) 36 и 4
7. Чему равно произведение чисел 14 и 6 ?
1) 84 2) 20 3) 60
8. В каком выражении к числу 18 надо прибавить частное чисел 24 и 3?
1) 18 + 24 *3 2) 18 + 24 : 3 3) (18 + 24) : 3
9. Выяви закономерность и запиши следующие два числа
3, 6, 9, 12, __________
10. Сравни выражения и поставь вместо звёздочки знак: >, <, =.
30+70 * 80+20
1) > 2) < 3) =
67-3 * 68-5
1) = 2) > 3) <
11. Сравни значения величин и поставь вместо звёздочки знак: >, <, ==.
8дм 8 см * 8 дм 5 см
1) > 2) < 3) =
12. Длина стороны квадрата равна 7 см. Чему равен периметр?
1) 12 см 2) 28 см 3) 14 см 4) 64 см
13. Реши задачу.
В 6 одинаковых наборах 48 карандашей. Сколько карандашей в 4 таких же наборах?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
14. Запиши выражение и найди его значение.
Сумма чисел 16 и 24 разделить на 2.________________________
15. Какие два числа в указанном порядке надо записать в «окошки», чтобы равенство 9 х : =6
1) 2 и 6 2) 3 и 9 3) 4 и 6
16. Реши задачу выражением.
Библиотекарь разложила на 8 полках по 6 новых книг и на 5 полках по 8 новых книг. Сколько всего новых книг разложила библиотекарь?
__________________________________________________________________
Ответ:____________________________________________________________
2 вариант
1. В каком числе 6 десятков 3 единиц.
1) 39 2) 93 3) 63 4) 91
2. Увеличь 64 на 6.
1) 69 2) 70 3) 58
3. Уменьшаемое 72, вычитаемое 50. Найди разность.
1) 22 2) 32 3) 42
4. Какое число нужно прибавить к двум десяткам, чтобы получилось 70?
1) 30 2) 50 3) 40 4) 4
5. Укажи значение частного 42 и 7
1) 7 2) 6 3) 8
6. В виде произведения каких чисел можно представить число 54 ?
1) 7 * 8 2) 6 * 8 3) 9 * 6
7. Чему равно произведение чисел 18 и 2 ?
1) 20 2) 36 3) 38
8. В каком выражении надо из числа 72 вычесть частное чисел 12 и 2?
1) 72 – 12 *2 2) 72 – 12 : 2 3) (72 – 12) : 2
9. Выяви закономерность и запиши следующие два числа
4, 8, 12, 16, __________
10. Сравни выражения и поставь вместо звёздочки знак: >,<,=.
50+40 * 100-10
1) > 2) < 3) =
78-4 * 79-6
1) > 2) < 3) =
11. Сравни значения величин и поставь вместо звёздочки знак: >,<,=.
6 дм 4 см * 4 дм 6 см
1) > 2) < 3) =
12. Длина стороны квадрата равна 6 см. Чему равен периметр?
1) 24 см 2) 18 см 3) 36 см 4) 12 см
13. Реши задачу.
На 8 одинаковых кофтах 56 пуговиц. Сколько пуговиц на 5 таких кофтах?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
14. Запиши выражение и найди его значение.
Разность чисел 27 и 18 умножить на 3.______________________________
15. Какие два числа в указанном порядке надо записать в «окошки», чтобы равенство 8 х : = 4
1) 5 и 8 2) 3 и 6 3) 3 и 4
16. Реши задачу выражением
Садовник посадил 5 рядов слив по 8 деревьев в каждом ряду и 7 рядов черешни по 6 деревьев в каждом ряду. Сколько всего деревьев посадил садовник?
______________________________________________________________
Ответ:________________________________________________________
Административная контрольная работа по математике за 1 полугодие 3 класса
Фамилия , имя __________________________________________
Контрольная работа по математике
3 класс, 1 полугодие
Вариант 1
1. Числа и величины.
Выбери четырехзначное число с цифрой 6 в разряде сотен. Обведи номер ответа.
1) 43 600
2) 7 562
3) 1 674
4) 260
2. Текстовые задачи.
Реши задачу.
На пошив 6 пальто ушло 24 метра ткани. Сколько ткани потребуется для пошива 8 таких пальто?
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. Арифметические действия.
Запиши примеры столбиком и вычисли.
824 * 6 138 * 40
4. Арифметические действия.
Вычисли :
240 – 640 : 8 * 2 =
5. Геометрические величины.
С помощью какого из перечисленных ниже числовых выражений можно найти периметр прямоугольника со сторонами 3 см и 4см? Отметь все верные ответы.
1) 3 + 4
2) 3 * 4
3) 3 * 4 *2
4) 3 * 2 + 4 * 2
5) (3 + 4) * 2
6. Работа с информацией.
Вася на протяжении двух недель в одно и то же время измерял температуру воздуха на улице и записывал результаты в таблицу.
Дни недели Первая неделя Вторая неделя
Понедельник +19 +20
Среда +25 +18
Пятница +17 +24
В какой день второй недели была самая низкая температура ?
Ответ: ____________________________
7. Три литра варенья надо разлить в пол-литровые банки. Хватит ли 5 таких банок ? Запиши ответ и объясни его.
Ответ _________________________________
Объяснение _______________________________________________________
Фамилия , имя __________________________________________
Контрольная работа по математике
3 класс, 1 полугодие
Вариант 2
1. Числа и величины.
Выбери четырехзначное число с цифрой 2 в разряде десятков. Обведи номер ответа.
1) 3 200
2) 7 562
3) 624
4) 2 621
2. Текстовые задачи.
Реши задачу.
В 7 ящиках 56 кг яблок. Сколько кг яблок в 9 таких ящиках?
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. Арифметические действия.
Запиши примеры столбиком и вычисли.
262 * 3 143 * 40
4. Арифметические действия.
Вычисли :
200 – 120: 3 * 2 =
5. Геометрические величины.
С помощью какого из перечисленных ниже числовых выражений можно найти площадь прямоугольника со сторонами 5 см и 4см? Отметь 2 верный ответ.
1) 5 + 4
2) 5 * 4
3) 5 * 2 + 4 * 2
4) (5 + 4) * 2
6. Работа с информацией.
В таблице представлены результаты учащихся 3 класса по легкой атлетике.
Имя ученика Прыжки в длину (см) Прыжки в высоту (см) Метание мяча (см)
Артем 295 85 28
Миша 305 105 33
Света 255 95 20
Карина 295 100 24
Участник, который показал лучшие результаты в трех видах соревнований, считается победителем и получает приз. Кто получил приз?
Ответ: ________________________________
7. Удобрение продается в упаковках. Одной упаковки достаточно для обработки посадок на площади 10 м2. Хватит ли 8 упаковок удобрения для обработки посадок площадью 75 м2 ? Запиши ответ и объясни его.
Ответ :___________________
Объяснение :_______________________________________________________
Уравнения 5 класса | Математика
Сегодня мы рассмотрим более сложные уравнения 5 класса, содержащие несколько действий. Чтобы найти неизвестную переменную, в таких уравнениях надо применить не одно, а два правила.
1) x:7+11=21
Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых
| x:7 | + | 11 | = | 21 |
| 1сл. | 2сл. | сум. |
Таким образом, переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
x:7=21-11
x:7=10
Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:
x=10∙7
x=70
Ответ: 70.
2) 65-5z=30
Правая часть уравнения представляет собой разность:
| 65 | — | 5z | = | 30 |
| ум. | в. | р. |
Переменная z является частью неизвестного вычитаемого. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:
5z=65-30
5z=35
Получили простое уравнение, в котором z — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
z=35:5
z=7
Ответ: 7.
3) 120:y-23=17
В правой части уравнения — разность. Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого.
| 120:y | — | 23 | = | 17 |
| ум. | в. | р. |
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:
120:y=17+23
120:y=40
Здесь y — неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное:
y=120:40
y=3
Ответ: 3.
4) (48+k)∙8=400
Левая часть уравнения представляет собой произведение. Переменная k — часть первого множителя:
| (48+k) | · | 8 | = | 400 |
| 1мн | 2мн | пр |
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
48+k=400:8
48+k=50
В новом уравнении k — неизвестное слагаемое:
k=50-48
k=2
Ответ: 2.
Здесь мы решали уравнения 5 класса без использования свойств сложения и вычитания. В 6 классе правила раскрытия скобок упрощаются, и решать такие уравнения становится проще.
Учебник Моро 3 класс. 2 часть. Страница 105
Страница 105
1. Объясни, почему верны равенства.
Равенства верны потому, что равны их левые и правые части.
2. Реши:
3. Закончи каждый вывод и приведи примеры:
Если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель:
4 • 9 = 36, 36 : 4 = 9, 36 : 9 = 4.
Если делитель умножить на частное, то получится делимое:
48 : 8 = 6, 8 • 6 = 48.
Если делимое разделить на частное, то получится делитель:
63 : 7 = 9, 63 : 9 = 7.
4. Объясни, как выполнена проверка умножения и деления.
- 32 — первый множитель
- 3 — второй множитель
- 96 — произведение
Проверка: можно разделить произведение на первый множитель и получить второй, либо разделить произведение на второй множитель и получить первый.
- 75 — делимое
- 5 — делитель
- 15 — частное
Проверка: можно умножить частное на делитель и получить делимое, либо разделить делимое на частное и получить делитель.
5. 1) Закончи каждый вывод:
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
2) Объясни решение уравнений и проверку.
х • 24 = 72
- х — первый множитель, 24 — второй множитель, 72 — произведение;
- Чтобы найти первый множитель, надо произведение разделить на второй множитель: 72 : 24 = 3, значит х = 3
- Проверка: подставим найденное значение: 3 — 24 = 72
- 72 = 72, значит, уравнение решено верно.
х : 18 = 5
- х — делимое, 18 — делитель, 5 — частное
- Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: 18 • 5 = 90, значит х = 90;
- Проверка: подставим найденное значение: 90 : 18 = 5;
- 5 = 5, значит, уравнение решено верно.
51 : х = 17
- 51 — делимое, х — делитель, 17 — частное;
- Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное: 51:17 = 3 ,значит х = 3
- Проверка: подставим найденное значение: 51:3=17
- 17 = 17, значит, уравнение решено верно.
3) Реши уравнения, не вычисляя.
х • 18 = 18
х = 1
х • 24 = 0
х = 0
36 : х = 1
х = 36
х : 1 = 17
х = 17
Головоломка:
7 • 8 = 56
8 • 3 = 24
3 • 7 = 21
Обучающие и развивающие компоненты, задания и упражнения | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Формы организации совзаимодействия | Формируемые умения (УУД) | Промежуточный контроль | |
I. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности | ||||||
Эмоциональная, психологическая и мотивационная (внешняя и внутренняя) подготовка к уроку | Приветствует учащихся, проверяет готовность класса к уроку и оборудования, эмоционально настраивает на учебную деятельность. – Ребята, давайте сегодня вспомним все, что мы изучили, ничего мы не забыли. Рисуем, чертим, вычисляем, математику мы знаем. | Слушают учителя. Демонстрируют готовность к уроку, организуют рабочее место. (Проверяют, у всех ли есть карточки) | Фронтальная, индивидуальная. | К – планируют учебное сотрудничество Л – понимают значение знаний для человека, проявляют интерес к изучаемому предмету. | Наблюдение учителя за организацией учащимися рабочего места | |
II. Актуализация знаний | ||||||
Устный счет | Проверка вычислительных навыков умножения и деления, сложения и вычитания, порядок действий в примерах, знание математической терминологии 82:9+14:2=16 7*3-12:4=18 63:21+45:9=8 18*4-72:12=66 | Выполняют задания, ответы показывают на карточках. | Фронтальная, индивидуальная. | П – Осуществляют логические действия, строят модели, отражающие различные отношения между объектами, осознанно и произвольно строят речевые высказывания. К – могут работать в коллективе, уважают мнение других участников образовательного процесса. Л – осознают свои возможности в учении. | Устные ответы, наблюдения учителя, выполненные задания. | |
III. Подготовка к активной учебной деятельности | ||||||
Актуализация опорных знаний и умений, формирование познавательных мотивов. Чистописание. | – Какое сегодня число? – Открываем тетради и записываем число. – Дайте характеристику этому числу. – Запишите произведение чисел равные 7. – Каким свойством умножения вы здесь воспользовались? | – 7 февраля – Однозначное, состоит только из единиц, нечетное, т.к. не делится на 2. – 7*1, 1*7 – От перестановки множителей произведение не меняется. | Фронтальная, индивидуальная | П – формируют ответы на поставленные учителем вопросы Р – принимают и сохраняют учебные задачи. | Устные ответы, выполненные задания, записи в тетради. | |
IV. Закрепление знаний и способов действия. | ||||||
Сформировать у учащихся конкретные представления об изучаемом материале, выделить главное, провести обобщение вместе с учащимися, на основе знаний выработать умения. | – Посмотрите на записи, найдите среди них уравнение. 48-25+23 30+х>40 36:х=12 Х*5 – Прочитайте его(уравнение) – Докажите, что это уравнение. – Повторите еще раз, что же такое уравнение? | Рассматривают запись на доске. Один учении к читает: 36:х=12 – Это равенство, содержащее неизвестное число, которое нужно найти. Один ученик повторят еще раз. | Фронтальная, индивидуальная, коллективная | П – формируют ответы на поставленные учителем вопросы, осуществляют логические действия, адекватно воспринимают информацию полученную из объяснения учителя, ответов учащихся. Р – принимают и сохраняют учебные задачи. | Устные ответы, выполненные задания. | |
V. Первичное закрепление. | ||||||
Целеполагание. Работа с учебником стр. 20 | – Кто догадался, какая сегодня тема урока? – Какую цель вы поставите перед собой? – Откройте учебник на стр. 20. Прочитайте первое уравнение. – Что такое 76? – Что такое Х? – Что такое 38? – Как же найти делитель? – Ребята, мы вспомнили компоненты действий деления и умножения. – Давайте сделаем вывод: 1) Чтобы найти неизвестный множитель, … 2) Чтобы найти неизвестное делимое, … 3) Чтобы найти неизвестный делитель, … | – Решение уравнений. Учащиеся ставят цели исходя из темы урока. Выполняют с комментирование задание. 76:Х=38 – Делимое – Делитель – Частное. – Надо делимое разделить на частное. Аналогично решают 2 и 3 уравнения с комментированием. 1)….надо произведение разделить на множитель. 2) ….надо частное умножить на делитель 3) ….надо делимое разделить на частное | Фронтальная, индивидуальная, коллективная | П – извлекают необходимую информацию из текста, используют знаково – символические средства, осознанно и произвольно строят речевое высказывание, используют математические термины, символы и знаки. Р – осуществляют поиск средств для решения учебной задачи. К – могут работать в коллективе, уважают мнение других участников образовательного процесса. | Л – осознают свои возможности в учении. Устные ответы, наблюдения учителя, выполнен ные задания. | |
VI. Закрепление знаний. Практическая деятельность. | ||||||
Решение этапов уравнения. Восстановление алгоритмов. | – А теперь посмотрите на доску. Перед вами этапы решения уравнения. Но, по-моему, вся последовательность нарушена. Ее надо восстановить. – А сейчас используя этот алгоритм, выполним задание №1 на стр. 20 (3 человека у доски) – А теперь давайте проверим эти уравнения. – Кто сделал ошибку в 1 уравнении? Поднимите руки. – Кто сделал ошибку во 2 уравнении? – Кто сделал ошибку в 3 уравнении? | Восстанавливают запись алгоритма. 1. Вспомнить компоненты действия данного уравнения. 2. Определить неизвестный компонент. 3. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента. 4. Применить правило и найти неизвестный компонент. 5. Записать ответ. Учащиеся решают самостоятельно, в тетрадях. …проверит 1 уравнение на доске. …проверит 2 уравнение на доске. …проверит 3 уравнение на доске. Учащиеся проверяют уравнения и исправляют свои ошибки (если они имеются) | Фронтальная, индивидуальная, коллективная | П – извлекают необходимую информацию из текста, используют знаково – символические средства, осознанно и произвольно строят речевое высказывание, используют математические термины, символы и знаки. Р – осуществляют поиск средств для решения учебной задачи. К – могут работать в коллективе, уважают мнение других участников образовательного процесса. | ||
Физминутка | ||||||
Организует проведение физминутки Раз, два, три, четыре, пять Все умеем мы считать, Отдыхать умеем тоже. Руку за спину заложим, Голову поднимем выше И легко, легко подышим. Раз – подняться, Два – согнуть и разогнуться. Три – в ладоши три хлопка, На четыре – руки шире. Пять – руками помахать. Шесть – за парту тихо сесть. | Выполняют упражнения согласно инструкции учителя. | |||||
VII. Практическая деятельность | ||||||
Организация деятельности учащихся по применению изученных знаний, выделение существенных признаков, конкретизация ЗУН Решение задачи № 4 на стр. 20 | – Прочитаем задачу хором.- Что известно в задаче? – Что еще? – Что значит на каждого? – Что нужно узнать? – Запишем краткое условие задачи. – Посмотрите на краткую запись и скажите, какая эта задача? – Почему? – Из чего состоит составная задача? При разборе и решении задачи следует сначала предложить детям решить ее самостоятельно, записывая каждое действие отдельно. При проверке по всей вероятности, что ученики решали задачу разными способами. Оба варианта следует записать на доске с краткими пояснениями. способ: 1) 2+3=5(б)-на 1 человека. 2)5*19=95(б)-на 19 человек (2+3)*19=95(б) способ: 1)2*19=38(б)-с мясом 2)3*19=57(б)-с овощами 3)38+57=95(б) | – Значит на каждого. Ученики записывают: 1 чел -?б, по 2б и по 3б 19чел -?б – Составная – Два вопросительных знака. – Из двух простых. Решают самостоятельно с последующей проверкой. Более рационален 1 способ, потому что он короче. | Фронтальная, индивидуальная, коллективная | П – осуществляют анализ и синтез, сравнение, обобщение; устанавливают причинно – следственные связи. Р – осуществляют контроль, коррекцию. К – выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью; учитывают разные мнения; координируют в сотрудничестве разные позиции. Л – осуществляют смыслообразование | Устные ответы, записи в тетради. | |
VIII. Домашнее задание | ||||||
Инструктаж по выполнению домашнего задания | Учебник стр. 20 №3 | Задают уточняющие вопросы. | Фронтальная, индивидуальная | Р – Принимают и сохраняют учебные задачи. | ||
IХ. Итог урока. Рефлексия деятельности. | ||||||
Анализ успешности овладения знаниями и способами деятельности учащихся. | – Ребята, чем мы с вами сегодня занимались на уроке? – Что нового узнали? – Что же такое уравнение? -Какие знания вам понадобились на уроке? – Определите, какой момент на уроке для вас был самым удачным? – Где испытывали трудности? – Какие задания вам необходимо еще раз выполнить Получают оценки. Ты, молодец, получаешь…. А тебе надо подтянуться, ты работал на уроке, но делал ошибки. | Отвечают на вопросы. Делают выводы и обобщения. | Фронтальная, индивидуальная | П – ориентируются в своей системе знаний. Р – оценивают собственную деятельность на уроке Л – проявляют интерес к предмету. | Устные ответы | |
Общие алгебраические уравнения: линейные, квадратичные, полиномиальные и другие – видео и стенограмма урока
Линейное
Первое называется линейным уравнением . Общая форма этих уравнений: y = mx + b , где m и b – числа, а m не может быть нулевым. Способ идентифицировать эти типы уравнений – искать x без экспонент. x должна быть единственной переменной, которую вы видите, кроме y .У вас не должно быть других показателей степени или квадратного корня. x также всегда в числителе, а не в знаменателе.
Эти уравнения называются «линейными», потому что, когда вы строите их график, вы получаете одну линию. Итак, чтобы помочь вам запомнить, что вы должны видеть только одну x , думайте о линейной как о имеющей одну линию и связывайте одну линию с другой x в своей голове. Например, y = 4 x + 3 – это линейное уравнение. Обратите внимание, что вы видите x и никаких других x .3 = 0 – пример кубического уравнения. Обратите внимание, что 3 здесь является наивысшим показателем, а наши b, c и d равны нулю, но наше a равно 1. Добавляя эту информацию в нашу таблицу, мы получаем это.
Полином
В то время как ваши линейные, квадратные и кубические уравнения ограничивают ваш самый высокий показатель до 1, 2 и 3 соответственно, полиномиальное уравнение снимает этот предел. Многочлен имеет вид:
, где все и – числа.2 + 3) / ( x + 5) = 0. Теперь мы можем добавить это в нашу таблицу.
Радикальное
Наше последнее общее алгебраическое уравнение – это радикальное уравнение , которое представляет собой уравнение, которое включает в себя радикальный символ. Итак, уравнение с квадратным корнем – это радикальное уравнение. То же самое и уравнение с третьим корнем. Если уравнение имеет радикальный символ – тот, который используется для квадратных корней, – тогда уравнение является радикальным уравнением.Уравнение, такое как 4 x + sqrt 3 = 0, является примером радикального уравнения, потому что оно имеет радикальный символ в уравнении. Теперь мы можем закончить нашу таблицу, добавив последний бит информации.
Резюме урока
Теперь мы можем повторить то, что мы узнали. Мы узнали, что в алгебре есть несколько общих типов уравнений, которые мы будем видеть снова и снова. Возможность распознать их упрощает решение проблемы, потому что мы будем знать тип уравнения, с которым работаем.2 + 3) / ( x + 5) = 0
Результат обучения
К концу этого урока вы сможете определить и обсудить характеристики линейных, квадратичных, кубических, полиномиальных, рациональных и радикальных уравнений.
РешенияNCERT для главы 3 по математике класса 10
Получите решения NCERT главы 3, класс 10 – пара линейных уравнений с двумя переменными в Teachoo.Ответы на все вопросы с упражнениями, примеры и дополнительные вопросы были предоставлены вместе с видео по каждому вопросу
Мы изучали линейные уравнения с двумя переменными в классе 9, в этой главе мы изучим пар из линейных уравнений.
В этой главе мы узнаем
- Что такое Линейные уравнения с двумя переменными
- Преобразование операторов в уравнения и построение графика графика этих линейных уравнений
- Возможный тип графиков для пары линейных уравнений с двумя переменными – две пересекающиеся линии, две параллельные линии, совпадающие линии
- Нахождение s Решение уравнений из графиков
- Согласованность уравнений путем нахождения отношения 1 / a 2 , b 1 / b 2 , c 1 / c 2
- и проверка того, являются ли линии
- Пересекающиеся линии (Ровно одно решение – уникальное)
- Совпадающие линии (Бесконечное множество решений)
- Параллельные линии ( Нет решений)
- Решение пары линейных уравнений с помощью
- Замена Метод
- Устранение Метод
- Перекрестное умножение Метод
- Решение сложных уравнений типа 2 / x + 3 / y = 4 путем подстановки переменных (например, постановка p = 1 / x, q = 1 / y и решение)
- Решение вопросов утверждения , сначала составив уравнения, а затем решив
Щелкните упражнение или ссылку на тему ниже, чтобы приступить к изучению главы
Примечание: при нажатии на ссылку откроется первый вопрос.Чтобы открыть любой другой вопрос упражнения, перейдите в конец страницы. Есть список со стрелками, в которых указаны все вопросы (с отметкой важных вопросов, )
Систем уравнений с тремя переменными
Решение систем уравнений с тремя переменными
Система уравнений с тремя переменными включает два или более уравнений, каждое из которых содержит от одной до трех переменных.
Цели обучения
Решите систему уравнений с тремя переменными графически, используя подстановку или исключение
Основные выводы
Ключевые моменты
- В системе из уравнений с тремя переменными вы можете иметь одно или несколько уравнений, каждое из которых может содержать одну или несколько из трех переменных, обычно x , y и z . Введение переменной z означает, что функции на графике теперь представляют плоскости, а не линии.
- Метод подстановки включает решение одной из переменных в одном из уравнений и включение ее в остальные уравнения для сокращения системы. Повторяйте, пока не останется одно уравнение, а затем, используя это уравнение, вернитесь назад, чтобы решить предыдущие уравнения.
- Графический метод включает построение графика системы и нахождение единственной точки пересечения плоскостей.
- Метод исключения включает добавление или вычитание кратных значений одного уравнения из других уравнений, удаление переменных из каждого уравнения до тех пор, пока в каждом уравнении не останется одна переменная.
Ключевые термины
- Система уравнений с тремя переменными : Набор из одного или нескольких уравнений, каждое из которых может содержать одну или несколько из трех переменных, обычно x, y и z.
- Система уравнений : Набор уравнений с несколькими переменными, которые могут быть решены с использованием определенного набора значений.
Системы уравнений с тремя переменными
В математике одновременные уравнения – это система уравнений, содержащая несколько переменных.Этот набор часто упоминается как система уравнений . Решение системы уравнений – это конкретная спецификация значений всех переменных, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям. Графически решение находится там, где функции пересекаются.
В системе уравнений с тремя переменными вы можете иметь одно или несколько уравнений, каждое из которых может содержать одну или несколько из трех переменных, обычно x , y и z .Введение переменной z означает, что функции на графике теперь представляют плоскости, а не линии.
Простой пример
Это набор линейных уравнений, также известный как линейная система уравнений, с тремя переменными:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y-z = 6 \\ -2x + 2y + z = 3 \\ x + y + z = 4 \\ \ end {matrix} \ right. [ / латекс]
Решение этой системы уравнений:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
Подставьте эти значения в каждое из уравнений, чтобы убедиться, что решение удовлетворяет всем трем уравнениям.
Решение систем уравнений с тремя переменными
Графический метод
Графический метод решения системы уравнений с тремя переменными включает построение плоскостей, которые образуются при построении графика каждого уравнения в системе, а затем нахождение точки пересечения всех трех плоскостей. Единственная точка пересечения всех трех плоскостей – это единственное решение системы.
Система линейных уравнений: На этом изображении показана система трех уравнений с тремя переменными. Точка пересечения (белая точка) – единственное решение этой системы.
Метод замещения
Метод подстановки для решения системы уравнений с тремя переменными включает определение уравнения, которое может быть легко записано с одной переменной в качестве предмета (путем решения уравнения для этой переменной). Затем замените это выражение, где эта переменная появляется в двух других уравнениях, тем самым получив меньшую систему с меньшим количеством переменных.После того, как эта меньшая система решена, будь то дальнейшее применение метода подстановки или другими методами, подставьте найденные решения для переменных обратно в первое выражение в правой части.
Например, рассмотрим эту систему уравнений:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y-z = 6 \\ -2x + 2y + z = 3 \\ x + y + z = 4 \\ \ end {matrix} \ right. [ / латекс]
Поскольку коэффициент z уже равен 1 в первом уравнении, решите относительно z , чтобы получить:
[латекс] z = 3x + 2y-6 [/ латекс]
Подставьте это выражение для z в два других уравнения:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} -2x + 2y + (3x + 2y-6) = 3 \\ x + y + (3x + 2y-6) = 4 \\ \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
Эта новая система упрощается до:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x + 4y = 9 \\ 4x + 3y = 10 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex]
Теперь, решая относительно x в первом уравнении, получаем:
[латекс] х = 9-4лет [/ латекс].
Подставьте это выражение для x в последнее уравнение системы и решите относительно y :
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} 4 (9-4y) + 3y & = 10 \\ 36-16y + 3y & = 10 \\ 13y & = 26 \\ y & = 2 \ end {align} [/ latex]
Теперь, когда у вас есть значение y , восстановите уравнение.Подставьте [латекс] y = 2 [/ latex] в уравнение [latex] x = 9-4y [/ latex], чтобы получить [latex] x = 1 [/ latex].
Работая снова, подставьте [latex] (1,2) [/ latex] в первое подставленное уравнение и решите относительно z :
[латекс] \ begin {align} z & = 3x + 2y-6 \\ z & = (3 \ cdot 1) + (2 \ cdot 2) -6 \\ z & = 1 \ end {align} [/ latex]
Следовательно, решение системы уравнений – [латекс] (1,2,1) [/ латекс].
Метод исключения
Устранение разумным умножением – еще один широко используемый метод решения одновременных линейных уравнений.Он использует общие принципы, согласно которым каждая сторона уравнения по-прежнему равна другой, когда обе стороны умножаются (или делятся) на одно и то же количество, или когда одно и то же количество добавляется (или вычитается) с обеих сторон.
По мере того, как уравнения становятся проще за счет исключения некоторых переменных, переменная в конечном итоге появляется в полностью решаемой форме, и это значение затем может быть «подставлено обратно» в ранее выведенные уравнения, подставив это значение в качестве переменной. Обычно каждая «обратная подстановка» может позволить решить другую переменную в системе.
Давайте посмотрим на следующую систему:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x + y + z = 2 \\ x-y + 3z = 4 \\ 2x + 2y + z = 3 \\ \ end {matrix} \ right. [/ латекс]
Используя метод исключения, начните с вычитания первого уравнения из второго и упрощения:
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x-y + 3z- (x + y + z) & = 4-2 \\ – 2y + 2z & = 2 \ end {align} [/ latex]
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x + y + z = 2 \\ -2y + 2z = 2 \\ 2x + 2y + z = 3 \\ \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
Теперь вычтите дважды первое уравнение из третьего, чтобы получить
.[латекс] \ begin {align} 2x + 2y + z-2 (x + y + z) & = 3-2 (2) \\ 2x + 2y + z-2x-2y-2z & = – 1 \\ z & = 1 \ end {align} [/ latex]
При этом отображается новая система:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x + y + z = 2 \\ -2y + 2z = 2 \\ z = 1 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex]
Затем вычтите дважды третье уравнение из второго уравнения и упростите:
[латекс] \ begin {align} -2y + 2z-2z & = 2-2 \\ y & = 0 \ end {align} [/ latex]
При этом отображается новая система:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x + y + z = 2 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
Наконец, вычтите третье и второе уравнение из первого уравнения, чтобы получить
[латекс] \ begin {align} x + y + z-y-z & = 2-0-1 \\ x & = 1 \ end {align} [/ latex]
Таким образом, окончательная решенная система:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \ end {matrix} \ right. [/ Latex]
Несогласованные и зависимые системы с тремя переменными
Системы уравнений с тремя переменными могут быть независимыми, зависимыми или несовместимыми; каждый случай можно установить алгебраически и представить графически.
Цели обучения
Объясните графически, что означает несовместимость или зависимость систем уравнений с тремя переменными, а также как распознать алгебраически, когда это имеет место.
Основные выводы
Ключевые моменты
- Зависимые системы имеют бесконечное количество решений. Графически бесконечное количество решений находится на линии или плоскости, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Решение зависимой системы путем исключения приводит к выражению, которое всегда истинно, например [latex] 0 = 0 [/ latex].
- Несогласованные системы не имеют решения. Графически система без решения представлена тремя плоскостями, не имеющими общей точки.
- Решение противоречивой системы путем исключения приводит к утверждению, которое является противоречием, например [латекс] 3 = 0 [/ латекс].
Ключевые термины
- Независимая система : Система уравнений с одним решением. Для систем уравнений с тремя переменными это решение представляет собой упорядоченную тройку [латекс] (x, y, z) [/ latex], которая представляет собой единственную точку пересечения трех плоскостей.
- Зависимая система : Система уравнений с бесконечным числом решений. Для систем уравнений с тремя переменными существует бесконечное количество решений на прямой или плоскости, которая является пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Несогласованная система : Система уравнений без решения. Система уравнений с тремя переменными, не имеющая решений, представлена тремя плоскостями, не имеющими общей точки.
Определение зависимых и несовместимых систем
Напомним, что решение линейной системы – это присвоение чисел переменным таким образом, чтобы все уравнения выполнялись одновременно.Решение системы уравнений с тремя переменными представляет собой упорядоченную тройку [латекс] (x, y, z) [/ latex] и описывает точку пересечения трех плоскостей в пространстве.
Существует три возможных сценария решения системы трех уравнений с тремя переменными:
- Независимые системы имеют единое решение. Решение системы путем исключения приводит к единственной упорядоченной тройке [латекс] (x, y, z) [/ latex]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Зависимые системы имеют бесконечное количество решений. Графически решения попадают на линию или плоскость, которая является пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Несогласованные системы не имеют решения. Графически система без решения представлена тремя плоскостями, не имеющими общей точки.
Зависимые системы уравнений с тремя переменными
Из работы с системами уравнений с двумя переменными мы знаем, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений.То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может возникнуть из нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на линии, имеющей бесконечное количество решений (см. Ниже графическое представление). Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по линии (см. Пример задачи для графического представления).
Зависимые системы: Пример трех различных уравнений, пересекающихся на линии.
Например, рассмотрим эту систему уравнений:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} \ begin {align} 2x + y – 3z & = 0 \\ 4x + 2y – 6z & = 0 \\ x – y + z & = 0 \ end {align } \ end {matrix} \ right. [/ latex]
Сначала умножьте первое уравнение на [латекс] -2 [/ латекс] и добавьте его ко второму уравнению:
[латекс] \ begin {align} -2 (2x + y – 3z) + (4x + 2y – 6z) & = 0 + 0 \\ (-4x + 4x) + (-2y + 2y) + (6z – 6z) & = 0 \\ 0 & = 0 \ end {align} [/ latex]
Нам больше не нужно идти.В результате мы получаем тождество [latex] 0 = 0 [/ latex], которое говорит нам, что эта система имеет бесконечное количество решений. Есть и другие способы начать решать эту систему, например, умножив третье уравнение на [латекс] -2 [/ латекс] и добавив его к первому уравнению. Затем мы выполняем те же шаги, что и выше, и получаем тот же результат, [latex] 0 = 0 [/ latex].
Если бы мы изобразили график каждого из трех уравнений, у нас были бы три плоскости, изображенные ниже. Обратите внимание, что две плоскости одинаковы, и они пересекают третью плоскость по прямой.Множество решений бесконечно, так как все точки на линии пересечения будут удовлетворять всем трем уравнениям.
Зависимая система : два уравнения представляют одну и ту же плоскость, и они пересекают третью плоскость на прямой.
Несогласованные системы уравнений с тремя переменными
Как и в случае с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить несовместимую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что у нее нет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям.Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например [латекс] 3 = 7 [/ латекс], или другому противоречию.
Несогласованные системы : Все три цифры представляют системы три на три без решения. (а) Три плоскости пересекаются друг с другом по трем различным параллельным линиям, которые не пересекаются в общей точке.(b) Две плоскости параллельны и пересекаются с третьей плоскостью, но не друг с другом. (c) Все три плоскости параллельны, поэтому точки пересечения нет.
Например, рассмотрим систему уравнений
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} \ begin {align} x – 3y + z & = 4 \\ -x + 2y – 5z & = 3 \\ 5x – 13y + 13z & = 8 \ end { align} \ end {matrix} \ right. [/ latex]
Используя метод исключения для решения системы уравнений с тремя переменными, обратите внимание, что мы можем добавить первое и второе уравнения, чтобы сократить [latex] x [/ latex]:
[латекс] \ begin {align} (x – 3y + z) + (-x + 2y – 5z) & = 4 + 3 \\ (x – x) + (-3y + 2y) + (z-5z) & = 7 \\ -y – 4z & = 7 \ end {align} [/ latex]
Затем умножьте первое уравнение на [латекс] -5 [/ латекс] и добавьте его к третьему уравнению:
[латекс] \ begin {align} -5 (x – 3y + z) + (5x – 13y + 13z) & = -5 (4) + 8 \\ (-5x + 5x) + (15y – 13y) + (-5z + 13z) & = -20 + 8 \\ 2y + 8z & = -12 \ end {align} [/ latex]
Теперь обратите внимание, что у нас есть система уравнений с двумя переменными:
[латекс] \ left \ {\ begin {matrix} \ begin {align} -y – 4z & = 7 \\ 2y + 8z & = -12 \ end {align} \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
Мы можем решить эту проблему, умножив верхнее уравнение на 2 и прибавив его к нижнему уравнению:
[латекс] \ begin {align} 2 (-y-4z) + (2y + 8z) & = 2 (7) -12 \\ (-2y + 2y) + (-8z + 8z) & = 14 – 12 \\ 0 & = 2 \ end {align} [/ latex]
Окончательное уравнение [латекс] 0 = 2 [/ латекс] является противоречием, поэтому мы заключаем, что система уравнений несовместима и, следовательно, не имеет решения.
Системы линейных уравнений: три переменные
Результаты обучения
- Решите системы трех уравнений с тремя переменными.
- Определите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
- Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, в стандартных обозначениях.
Джон получил наследство в размере 12 000 долларов, которое он разделил на три части и инвестировал тремя способами: в фонд денежного рынка, выплачивающий 3% годовых; в муниципальные облигации с уплатой 4% годовых; и в паевых инвестиционных фондах с выплатой 7% годовых. Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации.В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон вложил в каждый тип фонда?
(кредит: «Элембис», Wikimedia Commons)
Понимание правильного подхода к постановке таких проблем, как эта, делает поиск решения вопросом следования шаблону. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с использованием трех уравнений и трех переменных. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными. Однако поиск решений систем трех уравнений требует немного большей организации и некоторой визуальной гимнастики.
Решите системы трех уравнений с тремя переменными
Для решения систем уравнений с тремя переменными, известных как системы три на три, основная цель состоит в том, чтобы исключить по одной переменной за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы трех уравнений от трех переменных [latex] \ left (x, y, z \ right), \ text {} [/ latex] называется упорядоченной тройкой .
Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:
- Поменять местами любые два уравнения.
- Умножьте обе части уравнения на ненулевую константу.
- Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.
Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете представить себе такое пересечение, представив любой угол прямоугольной комнаты. Угол определяется тремя плоскостями: двумя смежными стенами и полом (или потолком). Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.
Общее примечание: количество возможных решений
Плоскости иллюстрируют возможные сценарии решения для систем «три на три».
- Системы с одним решением – это системы, которые после исключения приводят к набору решений , состоящему из упорядоченной тройки [латекс] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [ /латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Системы с бесконечным числом решений – это системы, которые после исключения приводят к выражению, которое всегда истинно, например [latex] 0 = 0 [/ latex].Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
- Системы, у которых нет решения, – это системы, которые после исключения приводят к утверждению, которое является противоречием, например [латекс] 3 = 0 [/ латекс]. Графически система без решения представлена тремя плоскостями, не имеющими общей точки.
(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с одним решением.(б) Три плоскости пересекаются по линии, представляя систему три на три с бесконечными решениями.
Пример: определение того, является ли упорядоченная тройка решением для системы
Определите, является ли упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] решением системы.
[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 2 \\ 6x – 4y + 5z = 31 \\ 5x + 2y + 2z = 13 \ end {собранный} [/ latex]
Показать решениеМы проверим каждое уравнение, подставляя значения упорядоченной тройки для [latex] x, y [/ latex] и [latex] z [/ latex].
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 2 \\ \ left (3 \ right) + \ left (-2 \ right) + \ left (1 \ right) = 2 \\ \ text {True } \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 6x – 4y + 5z = 31 \\ 6 \ left (3 \ right) -4 \ left ( -2 \ right) +5 \ left (1 \ right) = 31 \\ 18 + 8 + 5 = 31 \\ \ text {True} \ end {align} \ hspace {5mm} [/ latex] [latex] \ hspace {5mm} \ begin {align} 5x + 2y + 2z = 13 \\ 5 \ left (3 \ right) +2 \ left (-2 \ right) +2 \ left (1 \ right) = 13 \\ 15 – 4 + 2 = 13 \\ \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Упорядоченная тройка [латекс] \ left (3, -2,1 \ right) [/ latex] действительно является решением системы.
Как: дана линейная система из трех уравнений, решите относительно трех неизвестных.
- Выберите любую пару уравнений и решите для одной переменной.
- Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
- Вы создали систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решите получившуюся систему два на два.
- Выполните обратную замену известных переменных в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.
Пример: решение системы трех уравнений с тремя переменными методом исключения
Найдите решение для следующей системы:
[латекс] \ begin {align} x – 2y + 3z = 9 & & \ text {(1)} \\ -x + 3y-z = -6 & & \ text {(2)} \\ 2x – 5y + 5z = 17 & & \ text {(3)} \ end {align} [/ latex]
Показать решениеВсегда будет несколько вариантов, с чего начать, но наиболее очевидным первым шагом здесь является устранение [latex] x [/ latex] путем добавления уравнений (1) и (2).
[латекс] \ begin {align} x – 2y + 3z & = 9 \\ -x + 3y-z & = – 6 \\ \ hline y + 2z & = 3 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5 мм} \ begin {gather} \ text {(1}) \\ \ text {(2)} \\ \ text {(4)} \ end {gather} [/ latex]
Второй шаг – это умножение уравнения (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и прибавление результата к уравнению (3). Эти два шага устранят переменную [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {align} −2x + 4y − 6z & = – 18 \\ 2x − 5y + 5z & = 17 \\ \ hline −y − z & = – 1 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (2) \ text {умножено на} −2 \\ & \ left (3 \ right) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]
В уравнениях (4) и (5) мы создали новую систему «два на два».Мы можем решить для [latex] z [/ latex], сложив два уравнения.
[латекс] \ begin {align} y + 2z & = 3 \\ -y-z & = – 1 \\ \ hline z & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} (4) \\ (5) \\ (6) \ end {align} [/ latex]
Выбирая по одному уравнению из каждой новой системы, получаем верхнюю треугольную форму:
[латекс] \ begin {align} x – 2y + 3z & = 9 && \ left (1 \ right) \\ y + 2z & = 3 && \ left (4 \ right) \\ z & = 2 && \ left (6 \ справа) \ end {align} [/ latex]
Затем мы обратно подставляем [latex] z = 2 [/ latex] в уравнение (4) и решаем относительно [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {align} y + 2 \ left (2 \ right) & = 3 \\ y + 4 & = 3 \\ y & = – 1 \ end {align} [/ latex]
Наконец, мы можем обратно подставить [latex] z = 2 [/ latex] и [latex] y = -1 [/ latex] в уравнение (1). Это даст решение для [латекс] х [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} x – 2 \ left (-1 \ right) +3 \ left (2 \ right) & = 9 \\ x + 2 + 6 & = 9 \\ x & = 1 \ end {align } [/ латекс]
Решение – упорядоченная тройка [латекс] \ left (1, -1,2 \ right) [/ latex].
Попробуй
Решите систему уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {array} {l} 2x + y – 2z = -1 \ hfill \\ 3x – 3y-z = 5 \ hfill \\ x – 2y + 3z = 6 \ hfill \ end {array} [ / латекс]
Показать решение[латекс] \ влево (1, -1,1 \ вправо) [/ латекс]
В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных результатов решения системы уравнений с тремя переменными. Также есть отработанный пример решения системы с использованием исключения.
Пример: решение реальной проблемы с помощью системы трех уравнений с тремя переменными
В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три разных фонда: часть фонда денежного рынка с выплатой 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное – в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых.Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, полученных за год, составила 670 долларов. Сколько он вложил в каждый тип фонда?
Показать решениеЧтобы решить эту проблему, мы используем всю предоставленную информацию и составили три уравнения. Сначала мы присваиваем переменную каждой из трех сумм инвестиций:
[латекс] \ begin {align} & x = \ text {сумма, инвестированная в фонд денежного рынка} \\ & y = \ text {сумма, инвестированная в муниципальные облигации} \\ z & = \ text {сумма, инвестированная в паевые инвестиционные фонды} \ end {align} [/ латекс]
Первое уравнение показывает, что сумма трех основных сумм составляет 12 000 долларов.
[латекс] x + y + z = 12 {,} 000 [/ латекс]
Мы составляем второе уравнение на основании информации о том, что Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации.
[латекс] z = y + 4 {,} 000 [/ латекс]
Третье уравнение показывает, что общая сумма процентов, полученных от каждого фонда, равна 670 долларам.
[латекс] 0,03x + 0,04y + 0,07z = 670 [/ латекс]
Затем мы запишем три уравнения в виде системы.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \\ 0.03x + 0,04y + 0,07z = 670 \ end {align} [/ latex]
Чтобы упростить вычисления, мы можем умножить третье уравнение на 100. Таким образом,
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (1 \ right) \\ -y + z = 4 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (2 \ right) \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \ hspace {5mm} \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Шаг 1. Поменяйте местами уравнение (2) и уравнение (3) так, чтобы два уравнения с тремя переменными совпали.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \ hfill \\ 3x + 4y + 7z = 67 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end { align} [/ латекс]
Шаг 2. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -3 [/ латекс] и добавьте к уравнению (2). Запишите результат в строке 2.
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \\ -y + z = 4 {,} 000 \ end {align} [/ латекс]
Шаг 3. Добавьте уравнение (2) к уравнению (3) и запишите результат в виде уравнения (3).
[латекс] \ begin {align} x + y + z = 12 {,} 000 \\ y + 4z = 31 {,} 000 \ 5z = 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]
Шаг 4. Решите относительно [латекс] z [/ латекс] в уравнении (3). Подставьте это значение обратно в уравнение (2) и решите относительно [латекс] y [/ латекс].Затем обратно подставьте значения для [latex] z [/ latex] и [latex] y [/ latex] в уравнение (1) и решите для [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {align} & 5z = 35 {,} 000 \\ & z = 7 {,} 000 \\ \\ & y + 4 \ left (7 {,} 000 \ right) = 31 {,} 000 \ \ & y = 3 {,} 000 \\ \\ & x + 3 {,} 000 + 7 {,} 000 = 12 {,} 000 \\ & x = 2 {,} 000 \ end {align} [/ latex]
Джон вложил 2000 долларов в фонд денежного рынка, 3000 долларов в муниципальные облигации и 7000 долларов в паевые инвестиционные фонды.
Классифицируйте решения для систем по трем переменным
Как и в случае с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить несовместимую систему уравнений с тремя переменными, что означает, что у нее нет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям.Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например [латекс] 3 = 7 [/ латекс] или какому-либо другому противоречию.
Пример: решение несовместимой системы трех уравнений с тремя переменными
Решите следующую систему.
[латекс] \ begin {align} x – 3y + z = 4 && \ left (1 \ right) \\ -x + 2y – 5z = 3 && \ left (2 \ right) \\ 5x – 13y + 13z = 8 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Показать решениеГлядя на коэффициенты [latex] x [/ latex], мы видим, что мы можем исключить [latex] x [/ latex], добавив уравнение (1) к уравнению (2).
[латекс] \ begin {align} x – 3y + z = 4 \\ -x + 2y – 5z = 3 \\ \ hline -y – 4z = 7 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5 мм} \ begin {align} (1) \\ (2) \\ (4) \ end {align} [/ latex]
Затем мы умножаем уравнение (1) на [латекс] -5 [/ латекс] и добавляем его к уравнению (3).
[латекс] \ begin {align} −5x + 15y − 5z & = – 20 \\ 5x − 13y + 13z & = 8 \\ \ hline 2y + 8z & = – 12 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin {align} & (1) \ text {умножено на} −5 \\ & (3) \\ & (5) \ end {align} [/ latex]
Затем мы умножаем уравнение (4) на 2 и добавляем его к уравнению (5).
[латекс] \ begin {align} −2y − 8z & = 14 \\ 2y + 8z & = – 12 \\ \ hline 0 & = 2 \ end {align} [/ latex] [латекс] \ hspace {5mm} \ begin { align} & (4) \ text {умножается на} 2 \\ & (5) \\ & \ end {align} [/ latex]
Окончательное уравнение [латекс] 0 = 2 [/ латекс] является противоречием, поэтому мы заключаем, что система уравнений несовместима и, следовательно, не имеет решения.
Анализ решения
В этой системе каждая плоскость пересекает две другие, но не в одном месте.Следовательно, система непоследовательна.
Попробуй
Решите систему трех уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 2 \ hfill \\ \ text {} y – 3z = 1 \ hfill \\ 2x + y + 5z = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]
Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащей три переменные
Мы знаем из работы с системами уравнений с двумя переменными, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений.То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может возникнуть из нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на линии, имеющей бесконечное количество решений. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.
Пример: поиск решения зависимой системы уравнений
Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.
[латекс] \ begin {align} 2x + y – 3z = 0 && \ left (1 \ right) \\ 4x + 2y – 6z = 0 && \ left (2 \ right) \\ x-y + z = 0 && \ left (3 \ right) \ end {align} [/ latex]
Показать решениеВо-первых, мы можем умножить уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавить его к уравнению (2).
[латекс] \ begin {align} −4x − 2y + 6z = 0 & \ hspace {9mm} (1) \ text {умножено на} −2 \\ 4x + 2y − 6z = 0 & \ hspace {9mm} ( 2) \ end {align} [/ latex]
Нам больше не нужно идти. В результате мы получаем тождество [latex] 0 = 0 [/ latex], которое говорит нам, что эта система имеет бесконечное количество решений.Есть и другие способы начать решать эту систему, например, умножив уравнение (3) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавив его к уравнению (1). Затем мы выполняем те же шаги, что и выше, и находим тот же результат, [latex] 0 = 0 [/ latex].
Когда система зависима, мы можем найти общие выражения для решений. Складывая уравнения (1) и (3), получаем
[латекс] \ begin {align} 2x + y − 3z = 0 \\ x − y + z = 0 \\ \ hline 3x − 2z = 0 \ end {align} [/ latex]
Затем мы решаем полученное уравнение для [латекс] z [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} 3x – 2z = 0 \\ z = \ frac {3} {2} x \ end {align} [/ latex]
Мы обратно подставляем выражение для [латекс] z [/ латекс] в одно из уравнений и решаем для [латекс] y [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} & 2x + y – 3 \ left (\ frac {3} {2} x \ right) = 0 \\ & 2x + y- \ frac {9} {2} x = 0 \\ & y = \ frac {9} {2} x – 2x \\ & y = \ frac {5} {2} x \ end {align} [/ latex]
Итак, общее решение – [латекс] \ left (x, \ frac {5} {2} x, \ frac {3} {2} x \ right) [/ latex]. В этом решении [latex] x [/ latex] может быть любым действительным числом.Значения [latex] y [/ latex] и [latex] z [/ latex] зависят от значения, выбранного для [latex] x [/ latex].
Анализ решения
Как показано ниже, две плоскости одинаковы, и они пересекают третью плоскость по прямой. Множество решений бесконечно, так как все точки на линии пересечения будут удовлетворять всем трем уравнениям.
Вопросы и ответы
Всегда ли общее решение зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс] x? [/ Latex]
Нет, вы можете написать общее решение в терминах любой из переменных, но обычно его пишут в терминах [латекс] x [/ латекс] и, если необходимо, [латекс] x [/ латекс] и [латекс] ] y [/ латекс].
Попробуй
Решите следующую систему.
[латекс] \ begin {собранный} x + y + z = 7 \\ 3x – 2y-z = 4 \\ x + 6y + 5z = 24 \ end {собранный} [/ latex]
Показать решениеБесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 4x – 11, -5x + 18 \ right) [/ latex].
Ключевые концепции
- Набор решений – это упорядоченная тройка [latex] \ left \ {\ left (x, y, z \ right) \ right \} [/ latex], которая представляет собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
- Систему трех уравнений с тремя переменными можно решить, выполнив ряд шагов, которые заставят исключить переменную.Эти шаги включают в себя изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
- Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных проблем.
- Система уравнений с тремя переменными несовместима, если решения не существует. После выполнения операций исключения получено противоречие.
- Несогласованные системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, пересекающих две другие, но не в одном и том же месте.
- Система уравнений с тремя переменными является зависимой, если она имеет бесконечное число решений. После выполнения операций исключения результатом будет личность.
- Системы уравнений с тремя зависимыми переменными могут быть результатом трех идентичных плоскостей, трех плоскостей, пересекающихся на одной линии, или двух идентичных плоскостей, пересекающих третью на прямой.
Глоссарий
набор решений набор всех упорядоченных пар или троек, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе уравнений
Пример 1 – Ахила пошла на ярмарку в своем селе.Она хотела
Последнее обновление: 18 декабря 2020 г., Teachoo
Выписка
Пример 1 Ахила поехала на ярмарку в свою деревню. Она хотела насладиться поездкой на Гигантском Колесе и поиграть в Hoopla (игру, в которой вы бросаете кольцо на предметы, хранящиеся в стойле, и если кольцо полностью закрывает какой-либо объект, вы его получаете).Количество раз, которое она играла в Hoopla, вдвое меньше, чем количество поездок на Гигантском Колесе. Если каждая поездка стоит 3 рупия, а игра в Hoopla стоит 4 рупии, как бы вы узнали, сколько поездок она совершила и сколько раз она играла в Hoopla, при условии, что она потратила 20. Изобразите ситуацию алгебраически и графически. Пусть Ахила на гигантском колесе скачет на колесах x. Пусть, сколько раз Ахила играл в Hoopla, будет y. Учитывая, что Количество раз, когда она играла в Hoopla, вдвое меньше, чем количество поездок на Гигантском Колесе. у = 1/2 х 2у = х 2у – х = 0 Также, Если каждая поездка стоит 3 рупия, а игра в Hoopla стоит 4 рупии, как бы вы узнали, сколько поездок она совершила и сколько раз она играла в Hoopla, при условии, что она потратила 20 рупий. Кол-во поездок на гигантском колесе × (3 руп.) + Количество раз, когда играли в Hoopla × (4 рупия) = Общая сумма денег 3х + 4у = 20 Теперь, построив уравнения 2у – х = 0… (1) 3x + 4y = 20… (2) Для уравнения (1) 2у – х = 0 Пусть x = 0 2у – 0 = 0 2у = 0 у = 0 Итак, x = 0, y = 0 – решение т.е. (0, 0) – решение Пусть x = 2 2у – 2 = 0 2у = 2 у = 1 Итак, x = 2, y = 1 – решение т.е. (2, 1) является решением Для уравнения (2) 3х + 4у = 20 Положив x = 0 3 (0) + 4у = 20 0 + 4y = 20 4y = 20 у = 20/4 у = 5 Итак, x = 0, y = 5 – решение я.е. (0, 5) – решение Положив x = 4 3 (4) + 4у = 20 12 + 4лет = 20 4лет = 20–12 у = 8/4 у = 2 Итак, x = 4, y = 2 – решение т.е. (4, 2) – решение Построим оба уравнения на графике
. Показать большеуравнений – математика для старших классов
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Вставляйте и вычисляйте простые математические уравнения в OneNote
Вам не нужен калькулятор, чтобы находить ответы на простые математические задачи. Вы можете записывать математические уравнения во время собрания, конференции или занятия, а OneNote может мгновенно вычислить результаты за вас.
Введите уравнение, которое вы хотите вычислить. Например, введите 95 + 83 + 416 , чтобы вычислить сумму чисел 95, 83 и 416, или SQRT (15) , чтобы вычислить квадратный корень из 15.
После уравнения, не вводя пробел, введите знак равенства (=) и нажмите клавишу «Пробел». Ответ появится после знака равенства.
Советы:
Не используйте пробелы в уравнении.Введите числа, операторы и функции как одну непрерывную строку текста.
Коды функций не чувствительны к регистру. Например, SQRT (3) =, sqrt (3) = или Sqrt (3) = вычислит тот же ответ.
Чтобы создать новую строку после ответа, нажмите Enter (вместо пробела) после знака равенства.
Если вы хотите, чтобы в заметках был только ответ, после его вычисления вы можете удалить уравнение, которое ему предшествует.Ответ останется в ваших заметках.
Примеры простых расчетов
Ниже приведены несколько примеров математических выражений, которые OneNote может вычислить.
Среднемесячный объем продаж товара. Например, если общий годовой доход составляет 215 000 долларов США, введите 215 000 долларов США / 12 = и нажмите клавишу “Пробел”.
Итого стоимость ежемесячных платежей. Например, введите 48 * 129,99 доллара США = и затем нажмите клавишу пробела, чтобы рассчитать стоимость 48 ежемесячных платежей по цене 129,99 доллара США за платеж.
Синус угла 30 градусов. Например, введите sin (30) = и нажмите клавишу пробела.
Более полные математические уравнения. Например, введите (6 + 7) / (4 * sqrt (3)) = и затем нажмите клавишу пробела, чтобы вычислить ответ на (6 + 7), разделенный на (4-кратный квадратный корень из 3).
Поддерживаемые арифметические операторы
В уравнениях можно использовать следующие операторы.
Оператор | Значение | Пример |
+ (плюс) | Дополнение | 3 + 3 |
– (знак минус) | Вычитание | 3-1 |
* (звездочка) | Умножение | 3 * 3 |
X (прописные или строчные) | Умножение | 3×3 |
/ (косая черта) | Дивизион | 3/3 |
% (знак процента) | процентов | 20% |
^ (каретка) | Возведение в степень | 3 ^ 2 |
! (восклицательный знак) | Факторное вычисление | 5! |
Поддерживаемые математические и тригонометрические функции
Вы можете использовать математические и тригонометрические функции из следующей таблицы для своих уравнений.
Примечание: Чтобы вычислить функцию, введите ее код (например, SQRT для квадратного корня) и сразу после него укажите число, угол или переменные в круглых скобках, как показано в столбце «Синтаксис».