Правила счета в математике: Порядок выполнения действий без скобок и со скобками

Порядок выполнения действий в математике: правила, примеры

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Арифметика Порядок действий в математике

В данной публикации мы рассмотрим правила в математике касательно порядка выполнения арифметических действий (в том числе в выражениях со скобками, возведением в степень или извлечением корня), сопроводив их примерами для лучшего понимания материала.

• Порядок выполнения действий
  • Общее правило
  • Примеры со скобками
  • Возведение в степень/извлечение корня

Отметим сразу, что действия рассматриваются от начала примера к его концу, т.е. слева направо.

Общее правило

сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание полученных промежуточных значений.

Давайте подробно рассмотрим пример: 2 ⋅ 4 + 12 : 3.

Над каждым действием мы написали число, которое соответствует порядку его выполнения, т.е. решение примера состоит из трех промежуточных действий:

• 2 ⋅ 4 = 8
• 12 : 3 = 4
• 8 + 4 = 12

Немного потренировавшись в дальнейшем можно все действия выполнять цепочкой (в одну/несколько строк), продолжая исходное выражение. В нашем случае получается:

2 ⋅ 4 + 12 : 3 = 8 + 4 = 12.

Если подряд идут несколько действий умножения и деления, то они также выполняются подряд, и их можно объединить при желании.

Решение:

• 5 ⋅ 6 : 3 = 10 (совместное выполнение действий 1 и 2)
• 18 : 9 = 2
• 7 + 10 = 17
• 17 – 2 = 15

Цепочка примера:

7 + 5 ⋅ 6 : 3 – 18 : 9 = 7 + 10 – 2 = 15.

Примеры со скобками

Действия в скобках (если они есть) выполняются в первую очередь. А внутри них действует все тот же принятый порядок, описанный выше.

Решение можно разбить на действия ниже:

• 7 ⋅ 4 = 28
• 28 – 16 = 12
• 15 : 3 = 5
• 9 : 3 = 3
• 5 + 12 = 17
• 17 – 3 = 14

При расстановке действий выражение в скобках можно условно воспринимать как одно целое/число. Для удобства мы выделили его в цепочке ниже зеленым цветом:

15 : 3 + (7 ⋅ 4 – 16) – 9 : 3 = 5 + (28 – 16) – 3 = 5 + 12 – 3 = 14.

Скобки в скобках

Иногда в скобках могут быть еще одни скобки (называются вложенными). В таких случаях сперва выполняются действия во внутренних скобках.

Раскладка примера в цепочку выглядит так:

11 ⋅ 4 + (10 : 5 + (16 : 2 – 12 : 4)) = 44 + (2 + (8 – 3)) = 44 + (2 + 5) = 51.

Возведение в степень/извлечение корня

Данные действия выполняется в самую первую очередь, т.е. даже до умножения и деления. При этом если они касаются выражения в скобках, то сначала производятся вычисления внутри них. Рассмотрим пример:

Порядок действий:

• 19 – 12 = 7
• 7² = 49
• 6² = 36
• 4 ⋅ 5 = 20
• 36 + 49 = 85
• 85 + 20 = 105

Цепочка примера:

6² + (19 – 12)² + 4 ⋅ 5 = 36 + 49 + 20 = 105.

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Методика быстрого счета без калькулятора

Цифры окружают нас с детства. Еще до школы или в первом классе человек учится складывать и вычитать, решать простые примеры и задачи. Позже он осваивает таблицу умножения, переходя к более сложной части математических упражнений. Большинство людей может производить в уме только простые вычисления. А вот умножение и деление больших значений приходится выполнять на бумаге или с помощью калькулятора. Но можно ли как-то научиться хорошо считать без использования подручных средств?

Быстрый счет без калькулятора

Жизнь любого современного человека неотрывно связана с числами. Без умения считать невозможно выполнять самые простые повседневные задачи. Конечно, сегодня у людей появились умные помощники – калькуляторы, смартфоны, компьютеры, но даже они могут иногда подвести – сломаться или не вовремя разрядиться. Да и не всегда можно полагаться на гаджеты, ведь на экзаменах в школе или в ВУЗе они не помогут. Именно поэтому многие люди стремятся научиться хорошо считать без помощи подручных средств. Особенно это актуально для школьников, ведь если с детства освоить техники быстрого устного счета, то и учеба в школе, и различные задачи во взрослой жизни будут даваться легче.

Есть еще одна серьезная причина для того, чтобы начать тренироваться хорошо считать в уме. Устный счет развивает человеческий мозг и способствует росту уровня интеллекта. Поэтому даже те студенты, которые обучаются на гуманитарных специальностях, все равно изучают такие точные науки, как высшая математика и математический анализ. Упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума. Так развитие интеллекта и удобство в быту – это две самые главные причины научиться хорошо считать без калькулятора.

Человечество еще с древности стремилось найти такие способы быстрого счета. И речь не только о простых вычислениях, таких как сложение и вычитание, но и о более сложных – об умножении и делении. Пусть это и занимает много времени, но складывать и вычитать большие значения все же можно без предварительной подготовки, а вот такие действия, как умножение двузначных чисел, недоступны большинству людей.

Но, благодаря труду математиков со всего земного шара, сегодня появились некоторые математические хитрости, позволяющие считать в уме не только однозначные, но и двузначные числа. Чтобы понять принцип их работы, лучше рассмотреть каждый из этих приемов отдельно.

Популярная система быстрого счета

Существует несколько видов основных математических операций – сложение, вычитание, умножение и деление. И если с нахождением суммы и разности все более или менее понятно, то другие вычисления производить намного сложнее. Рассмотрим самые популярные математические хитрости, направленные на удобное умножение и деление в уме.

Умножение любого числа на 9

Решать устно такие примеры очень легко. Для этого достаточно умножить нужное значение на 10 и вычесть из получившегося ответа это же число. Например, нам нужно найти результат умножения 19 и 9. Пример будет выглядеть так: 19*10-19= 190-19=171. Этот прием достаточно легко применять на практике.

Умножение любого числа на 11

Похожим образом выглядит умножение любого значения на 11: мы находим произведение нашего числа и 10, а затем прибавляем к получившемуся выражению наше число. Допустим, мы ищем сколько будет 67*11, так у нас получается следующий пример: 67*10+67=670+67=737.

Умножение двузначного числа на однозначное

Проще всего производить такую операцию методом разбора множителей на десятки и единицы. Допустим, нам требуется перемножить 56 и 8. Для этого мы разделяем 56 на составные части, получается 50 и 6. Теперь мы отдельно перемножаем наши десятки и единицы на однозначное число и ищем их сумму. Получается 50*8+6*8=400+48=448. Но чем больше знаков в каждом из перемножаемых значений, тем сложнее производить подобные операции в уме.

Умножение двузначного числа на двузначное

Нахождение результата умножения двузначных чисел похоже на предыдущий метод. К примеру, необходимо найти произведение 24 и 52. Для этого мы разбиваем одно из чисел на десятки и единицы и перемножаем их на наш множитель, а затем складываем полученные выражения: 20*52+4*52=1040+208=1248. Чем больше каждое из чисел, тем сложнее находить результат умножения.

Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от любого значения, нужно умножить данное число на размер искомого процента и разделить на сто. Лучше рассмотреть данный подход на примере. Допустим, требуется найти 12% от 74. Мы производим умножение 12 и 74, разбирая это выражение на составные части. Получается 10*74+2*74=740+148=888. Теперь мы делим наш результат на 100 и получаем ответ – 8,88%. Так удается легко находить процент от любого значения без помощи калькулятора.

Деление многозначного числа на однозначное

Чтобы найти ответ на такой пример, нужно вспомнить таблицу умножения. Допустим, нам требуется разделить число 138 на 6. Для этого мы разбиваем делимое на части, получается 13 десятков и 8 единиц. Делим 13 на 6, получаем 2 и 1 в остатке. Это значит, что десятком в нашем ответе будет число 2. Остаток, а это 1 десяток, мы складываем с единицей делимого, получается 18. Делим 18 на 6, получается 3. Теперь складываем получившиеся десятки и единицы: 20+3=23. Целое выражение будет выглядеть так: 120/6+(10+8)/6=20+18/6=23.

Существуют и другие, более сложные приемы устных математических вычислений, которые позволяют выполнять операции с многозначными числами. Но и освоить эти техники труднее, так как они требуют высокой концентрации и хорошо развитой памяти.

К плюсам всех подобных приемов можно отнести уже то, что такому счету можно научиться достаточно быстро. Перечисленные способы имеют множество вариаций от простых до более сложных, поэтому некоторые из них охотно используют даже дети. Но все эти методы имеют один существенный недостаток, который не позволяет им называться полноценной системой счета в уме.

Такие способы вычислений подразумевают соблюдение целого ряда условий. Например, правила для умножения трехзначных чисел отличаются от правил для двузначных. Поэтому приходится запоминать большое количество условий, чтобы можно было применять в быту такие способы счета. Все это делает подобные методы сложения, вычитания, умножения и деления скорее зарядкой для ума, чем продуктивным подходом к вычислениям.

Но существуют и кардинально иные техники, позволяющие развить навыки человека и научиться очень хорошо считать без подручных средств. Одной из самых популярных методик быстрого устного счета является ментальная арифметика. Рассмотрим ее преимущества подробнее.

Как научить ребенка считать в уме

Ментальная арифметика – это далеко не новая система быстрого счета, ведь она зародилась еще в древности, около пяти тысяч лет назад. С тех пор данная методика не претерпела серьезных изменений и дошла до нас в практически первозданном виде. В ее основе лежат вычисления на абакусе – специальных счётах. Сначала человек учится решать простейшие примеры на них, а затем постепенно переходит к более сложному этапу обучения – учится представлять абакус в уме и производить вычисления на нем в своем воображении.

Лучше всего ментальная арифметика подходит именно детям. Нет, взрослые также могут ее освоить, но для этого им придется абстрагироваться от привычных методов операций с числами, а ребенок справляется с этим намного легче. Для него ментальная арифметика является не только помощником на уроках математики, но и способом развить свои интеллектуальные способности до очень высокого уровня.

Весь секрет этой методики в том, что она подразумевает разностороннее развитие человека. За логику и анализ отвечает правое полушарие мозга, именно оно задействуется на обычных уроках математики, когда мы решаем примеры или задачи. Правое полушарие, отвечающее за креативное мышление и фантазию, в этом случае к работе почти не подключается, а значит и не развивается должным образом. А ведь все области человеческого интеллекта необходимо тренировать.

Так как ментальная арифметика задействует и аналитическое мышление, и воображение, она является даже не столько способом быстро решать математические задачи, сколько средством для всестороннего развития. Другие методики чаще всего направлены на тренировку какой-то одной способности, а данная техника работает комплексно. Именно это выделяет ее среди прочих и делает одной из самых популярных систем развития интеллекта ребенка.

Обучение ментальной арифметике занимает достаточно много времени, но те преимущества, которые она дает, оправдывают затраченные усилия. Когда речь идет об обучении ребенка по данной методике, важно подобрать правильную программу тренировок. Ключевым фактором успеха является соблюдение плана занятий и контроль их регулярности. Несмотря на то, что в открытых источниках в интернете можно найти много информации по этому запросу, не всегда удается самостоятельно освоить ментальную арифметику. Поэтому большинство родителей предпочитают обучать ребенка этой технике в детских центрах дополнительного образования.

Как выбрать эффективную методику

Сегодня многие учебные заведения предлагают пройти курсы ментальной арифметики. Но детское образование – это очень сложный и многогранный процесс, поэтому родители должны походить к нему внимательно, и выбирать такие занятия, которые точно принесут пользу.

Выбирая школу ментальной арифметики, обращайте внимание на то, чтобы обучение велось по проверенной методике и учитывало возрастные особенности каждого ребенка. Нельзя, чтобы в одной группе обучались дети из начальной школы и старшеклассники, ведь в каждом возрасте своя скорость освоения, запоминания и закрепления материала.

К тому же, маленьким детям лучше всего преподавать любой предмет в игровой форме. Так они не будут уставать учиться и смогут сохранять концентрацию в течение всего урока. Внедрение игры в образовательный процесс способствует повышению интереса ребенка к математике.

Очень важно, чтобы тренер успевал уделить внимание каждому ученику в процессе занятия, но это возможно только в небольших группах. Поэтому стоит отдавать предпочтение тем детским центрам, где педагог обучает не более десяти детей единовременно. Только тогда удастся заниматься с максимальной продуктивностью.

Если учебный план организован правильно, то ребенку удастся приобрести полезные навыки, благодаря которым математика станет для него интересным и любимым предметом. Все это положительно скажется на успеваемости в школе, ведь, когда учеба дается легко, заниматься намного веселее.

Все это делает обучение ментальной арифметике самым продуктивным способом освоения быстрого устного счета.Ребенку больше не придется прибегать к различным математическим хитростям, чтобы легко справляться с задачами и примерами. Ученик приобретает навыки, которые сохраняются на всю жизнь, а значит они пригодятся ему не только в учебе, но и в карьерной деятельности. Все это делает обучение данной технике отличным вкладом в будущее своего ребенка.

Фундаментальный принцип счета | Brilliant Math & Science Wiki

Андрес Гонсалес внес

Содержание

• Основные примеры
• Промежуточные примеры
• Решение проблем
• Смотрите также

Лили пытается решить, что надеть.

У нее есть рубашки следующих цветов: красный, фиолетовый и синий, а брюки следующих цветов: черный и белый. Из скольких различных нарядов может выбрать Лили (при условии, что она выберет одну рубашку и одну пару брюк)?

---

Из определения правила произведения мы знаем, что если есть \(n\) вариантов выполнения одного действия (например, выбора рубашки) и \(m\) вариантов выполнения другого действия (например, выбора пары брюки), то есть всего \(n \times m\) комбинаций, из которых мы можем выбирать. В этом случае есть \(3\) вариантов выбора рубашки и \(2\) вариантов выбора брюк. Таким образом, всего имеется \(3 \times 2 = 6\) вариантов.

Вот таблица, в которой каждая строка представляет возможный наряд.

Shirt	Pants
Red	Black
Blue	Black
Purple	Black
Red	White
Blue	White
Фиолетовый	Белый

Как и ожидалось, существует \(6\) возможных комбинаций. \(_\квадрат\)

В приведенном выше примере нужно было выбрать две вещи: рубашку и брюки. Однако правило продукта может распространяться на любое количество вещей, из которых можно выбирать. Например, если есть \(n\) вариантов для рубашки, \(m\) вариантов для пары брюк, \(x\) вариантов для пары обуви и \(y\) вариантов для шляпы , правило произведения гласит, что существует \(n \times m \times x \times y\) возможных комбинаций.

Неизвестно 175 145000 15000 142500

Вы идете в библиотеку, чтобы взять три книги, и вам нужна одна книга по истории, одна книга по науке и одна книга фэнтези.

В библиотеке 50 книг по истории, 95 фантастических романов и 30 книг по науке. Сколько комбинаций книг у вас есть на выбор?

В Чикаго издается \(8\) ежедневных газет и \(5\) еженедельных журналов. Если Колин хочет подписаться ровно на одну ежедневную газету и один еженедельный журнал, сколько вариантов у него есть?

---

У Колина есть \(8\times5=40\) вариантов. \(_\квадрат\)

Кэлвин хочет поехать в Милуоки. Он может выбрать из \(3\) автобусов или \(2\) поездов, чтобы отправиться из дома в центр Чикаго. Оттуда он может выбрать один из двух автобусов или трех поездов, чтобы отправиться в Милуоки. Сколько у него есть способов попасть в Милуоки?

---

Поскольку Кальвин может сесть на автобус или на поезд в центр города , у него есть \( 3+2 =5\) способов попасть в центр города (правило суммы). После этого он может либо сесть на автобус, либо поезд до Милуоки, и, следовательно, у него есть другие \(2+3=5\) способы добраться до Милуоки (правило суммы). Таким образом, всего у него есть \( 5 \х5 = 25\) способов добраться из дома в Милуоки (правило произведения). \(_\квадрат\)

Шестеро друзей Энди, Бэнди, Кэнди, Денди, Энди и Фэнди хотят сесть в ряд в кинотеатре. Если доступно только шесть мест, сколькими способами мы можем посадить этих друзей?

---

На первое место у нас есть выбор любого из 6 друзей. После посадки первого человека на второе место у нас есть выбор любого из оставшихся 5 друзей. После посадки второго человека на третье место у нас есть выбор любого из оставшихся 4 друзей. После посадки третьего человека на четвертое место у нас есть выбор любого из оставшихся 3 друзей. После посадки четвертого человека на пятое место у нас есть выбор любого из оставшихся 2 друзей. После посадки пятого человека на шестое место у нас есть выбор только 1 из оставшихся друзей. Следовательно, по правилу произведения существует \( 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720) способов рассадить этих 6 человек. В более общем смысле эта проблема известна как перестановка. Есть \( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1\) способов рассадить \( n\) человек в ряд. \(_\квадрат\)

Клавиатура моего игрушечного пианино имеет 7 отдельных белых нот: буквы A-G в английском алфавите. 3\)? 9b\), где \( a\) и \( b\) — целые числа, удовлетворяющие \( 0 \leq a \leq 4, 0 \leq b \leq 3\). Есть 5 возможностей для \( a\) и 4 возможности для \(b\), следовательно, всего есть \( 5 \times 4 = 20\) (правило произведения) положительных делителей 2000. \(_\квадрат\)

• Правило суммы
• Перестановки

Процитировать как: Основной принцип счета. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/фундаментальный-счетный-принцип/

Методы подсчета, перестановки и комбинации

Методы подсчета — обычно называемые в материалах GMAT «комбинациями и перестановками» — обычно представляют собой область математики с наименьшей доходностью в тесте. Под «самой низкой отдачей» я подразумеваю, что улучшение вашего результата на тесте невелико по сравнению с количеством усилий, которые вы должны приложить к теме. Если у вас есть сильное словесное представление, вы определенно можете побить 700 или 720 без знаний, кроме правил счета № 1 и № 2 ниже. Тем не менее, если вы стремитесь покорить раздел «Количественный анализ» и справились с текстовыми задачами и вопросами по геометрии, пришло время обратиться к методам счета.

Как упоминалось ранее в нашем обсуждении факториалов, на GMAT мы иногда должны подсчитывать возможности. В некоторых вопросах мы делаем это для того, чтобы вычислить вероятность, а в некоторых — потому, что нас об этом прямо просят.

В некоторых случаях мы можем подсчитать возможности, просто перечислив их исчерпывающе — перечислив. Этот метод прост и хорошо работает со многими вопросами GMAT. В других случаях нам придется вычислить количество возможностей чего-то, не имея возможности подсчитать все возможности, либо потому, что мы имеем дело с переменной, либо потому, что количество возможностей слишком велико для перечисления.

Правило продукта

Группы независимых возможностей, если рассматривать их вместе, умножаются в числе. Если существует 90 146 и 90 147 способов сделать одно и 90 146 и 90 147 способов сделать другое, то существует 90 146 и 90 147 способов выполнить оба действия.

Предположим, вы решили заказать пиццу. Сначала необходимо выбрать тип корочки: тонкое или глубокое блюдо (2 варианта). Затем вы выбираете начинку: сыр, пепперони или колбасу (3 варианта). Используя правило произведения, вы знаете, что существует (2)(3) = 6 возможных комбинаций заказа пиццы.

Думая об этом примере в обозначениях: если начинки {A,B,C}, а варианты корочки {X,Y}, то возможные общие варианты выбора {AX,AY,BX,BY,CX,CY} . В этом примере правило гласит: умножьте 3 на 2, чтобы получить 6.

Ключом к правилу произведения является то, что две категории возможности учитываются или получаются одновременно . Другими словами, ваша пицца будет иметь тип корочки и топпинг . Вот почему вы умножаете. Когда вы рассматриваете взаимоисключающие категории, вы используете «Правило суммы».

Правило суммы

Правило суммы, как и правило произведения, является основным принципом счета. Это идея о том, что если у нас есть 90 146 a 90 147 способов сделать что-то и 90 146 b 90 147 способов сделать что-то другое, и мы не можем делать и то, и другое одновременно, то существует 90 146 a + b 90 147 способов выбрать одно из действий.

Рассмотрим модификацию примера с пиццей. Скажем, пицца, которую вы заказываете, по умолчанию представляет собой пиццу на тонком тесте без начинки. Без дополнительной платы вы можете получить одно «улучшение» к пицце: толстое тесто или одну начинку — сыр, пепперони или колбасу. Правила пиццерии в этом случае другие. Можем выбрать толстую корочку или топпинг, но не оба. Поскольку возможности исключительны, применяется правило суммы: есть 1 + 3 = 4 способа выбрать одно бесплатное дополнение для вашей пиццы.

Упражнения

1. Томас идет в ресторан и решает приготовить свой собственный бургер. У него есть 2 разных вида сыра, 3 разных хлеба и 3 разных соуса, из которых он может выбирать, но он может выбрать только один из каждой категории. Сколькими способами он может приготовить этот бургер?

2. Диана заказывает пиццу для своей семьи. Есть 4 различных возможных размера пиццы. Кроме того, она должна выбрать одну из 5 начинок для пиццы и один из 3 разных видов сыра для пиццы. Кроме того, она должна выбрать один из 3 различных видов корочки. Сколькими способами она может съесть свою пиццу?

3. а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7 и 9?

б) Сколько из этих чисел меньше 400?

Ответы

1.

2.

3. а) Поскольку имеется шесть доступных цифр, ответ будет

б) Чтобы значение трехзначного числа было меньше 400, мы только есть два варианта для первой цифры, а именно 2 или 3. После этого мы можем свободно выбирать две другие цифры. Таким образом, ответ

Зависимые события и факториалы

Есть n ! различные способы расположения n различных объектов в последовательность, перестановки этих объектов.

Предположим, Джон работает в библиотеке. Он должен поставить 5 книг на полку в любом порядке. Сколькими способами он может расположить книги на полке? В отличие от независимых событий, здесь, когда Джон кладет книгу на полку, это исключает одну книгу из оставшихся вариантов книг, которые можно поставить на полку следующей; поэтому они называются зависимыми событиями. Сначала у него есть 5 различных вариантов, поэтому первым числом в задаче на умножение будет 5. Теперь, когда одно число отсутствует, число уменьшается до 4. Затем оно уменьшается до 3 и так далее. Итак, общее количество способов заказать 5 книг:

Допустим, на собачьем соревновании участвуют 10 собак. Сколькими способами можно выбрать победителей первого и второго места? Мы можем начать с первого места. Есть 10 разных собак, поэтому 10 разных способов выбрать первое место. Далее, сколько собак осталось, чтобы выбрать второе место? В любом случае, независимо от того, кто был выбран на первое место, есть 9 способов выбрать второе место. Итак, что в сумме? Есть 10 способов выбрать первое место, а есть 9способов выбрать второе место для каждого способов выбрать первое место, поэтому есть 10 умножить на 9 или 90 способов выбрать первое и второе место из 10 собак. Фраза «для каждого» здесь и часто является намеком на то, что мы должны умножать.

Правила подсчета

Правило 1: Повторные испытания одного типа. Если любое из k взаимоисключающих и исчерпывающих событий может произойти в каждом из n испытаний, то существует

различных последовательностей, которые могут возникнуть в результате набора таких испытаний.

Пример: Подбросьте монету три раза, чтобы найти количество возможных последовательностей. Поскольку у медали две стороны, есть два возможных исхода, и k = 2. Подбросов три, поэтому n = 3. Следовательно,

Правило 2: Испытания смешанных типов. Если числа

являются числами возможностей на n стадиях событий, то количество различных полных последовательностей событий, которые могут произойти, равно произведению этих чисел:

.

Пример: Подбросьте монету и бросьте кубик, чтобы найти количество возможных последовательностей. Количество различных итоговых результатов:

Правило 1 и Правило 2 по существу являются одним и тем же правилом. Например, если вы рассматриваете применение правила 2, в котором вы просто делаете одно и то же n раз, так что все k равны, то вы получите k к n . силовые возможности. Вы также можете смешивать правила. Например, если вы трижды подбросите монету, а затем бросите шестигранный кубик, количество возможных исходов равно 9.0003

.

Правило 3: Перестановка. Расположение по порядку называется перестановкой. Число различных способов, которыми n различных вещей могут быть упорядочены (или расположены вдоль линии или относительно одного измерения), равно

То есть есть n ! способов заказать n товаров по одному измерению.

Пример: Расположите 10 предметов по порядку, найдя количество возможных способов. Количество возможных аранжировок

Пример: Мы хотим вычислить количество перестановок S = {1,2,3}. Поскольку множество S состоит из трех элементов, в нем 3! = 6 перестановок. Их можно перечислить как 123, 132, 213, 231, 312, 321. Этот пример изображен графически ниже:

Возможные перестановки 3 элементов

Правило 4: k -Permutation Количество способов выбора и расположения тыс. объектов из числа n различных объектов:

или, как видно на калькуляторе или написано от руки, [nPk].

Пример: выберите 3 вещи из 10 и разложите их по порядку. В таком случае n = 10, k = 3, поэтому общее количество общих исходов, выборов и расстановок равно

числа 10!/7! значительно упростили, сократив его до (10)(9)(8). Упрощение такого рода всегда будет возможно при применении этого правила или приведенного ниже правила. Всегда будет факториал в числителе и меньший факториал в знаменателе, а множители большего факториала всегда полностью включают меньший факториал.

Возможно, вы сможете решить этот вопрос и другие k -перестановки, не используя приведенную выше формулу, а используя правило произведения, рассмотренное выше. Обратите внимание, что приведенное выше очень похоже на пример, который мы обсуждали с выставкой собак с двумя победителями, только в этом случае у нас есть три победителя. Для решения этого вопроса можно использовать ту же методику, которую мы использовали для решения вопроса о выставке собак.

Пример: Недавно созданная музыкальная группа может сыграть четыре оригинальных песни. Их просят исполнить две песни на музыкальном фестивале. Мы хотим вычислить количество аранжировок, которые группа может предложить на концерте. Абстрактно это эквивалентно вычислению количества 2-перестановок четырех песен. Таким образом, количество различных аранжировок равно 4!/2! = 12.

Возможные варианты выбора-2 из 4 элементов

0146 k » перестановка n элементов аналогична простой перестановке n элементов, о которой мы говорили в предыдущем правиле. Здесь есть дополнительная логическая ошибка, заключающаяся в том, что мы не выбираем все элементы для упорядочения. Другой способ представить это состоит в том, что простая перестановка n элементов, описанная в предыдущем правиле, подобна перестановке k n элементов, в которой вы выбираете все n элементов, так что к = п . Подставив это в приведенную выше формулу, мы получим

Как и следовало ожидать, мы вернулись к предыдущему правилу, которое гласит, что существует n ! способы заказа n шт.

Правило 5: Комбинация. Общее количество способов выбора k различных комбинаций из n объектов, независимо от порядка (т. е. мы не упорядочиваем элементы после того, как выберем k, , а только делаем выбор), составляет:

или, как показано на калькуляторе, [nCr]. Этот выбор называется «комбинацией» , чтобы отличить его от перестановки выше.

Пример: Выберите 3 предмета из 10 в любом порядке, где n = 10, k = 3. Общее количество способов сделать выбор равно

Один из способов запомнить Правило № 5: что оно представляет вычисление, аналогичное вычислению в правиле 4, но в правиле 5 количество уменьшено на по подразделениям. В этом правиле Правило 5 порядок нам не важен, количество возможных способов выбора будет меньше, поэтому делим на к !.

Пример: Мы можем рассмотреть приведенный выше пример в модифицированном виде. У недавно созданной музыкальной группы есть четыре оригинальных песни, которые они могут сыграть. Их просят исполнить две песни на музыкальном фестивале. Если мы хотим вычислить количество аранжировок песен, которые группа может предложить на концерте, игнорируя порядок, количество комбинаций 4!/(2!) разделить на 2!, или 6,

Количество комбинаций 2-х элементов, выбранных из 4
(Пунктирные линии указывают на то, что комбинации не упорядочены.)

Иногда полезно знать, что

Мы можем видеть это непосредственно из определения

Обратите внимание, что два члена в знаменателе в сумме дают n . Так, например,

и

Этот факт может пригодиться на GMAT, когда вас спросят об одной такой комбинации, но с эквивалентной комбинацией работать проще.