По математике примеры с ответами: Задачи по математике для 2 класса, 3500 занимательных заданий с ответами и решением

Такой страницы нет !!!

• Популярные запросы
  • Обстоятельство
  • Дополнение
  • Определение
  • Деление дробей
  • Русский язык 7 класс
  • Русский язык 6 класс
  • Русский язык 5 класс
  • Алгебра 8 класс
  • Математика 5 класс
  • Математика 6 класс
  • Алгебра 7 класс
  • Наименьшее общее кратное
  • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / – гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Деление и дроби
  • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / – гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
  • Квадратный корень из неотрицательного числа
  • Доли. Обыкновенные дроби
  • Окружность и круг
  • Антонимы. Синонимы
  • Десятичная запись дробных чисел
  • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

3000 примеров по математике. Нескучные задачи и нелегкие примеры. С ответами и пояснениями. 4 класс | Узорова Ольга Васильевна | ISBN 9785171352851

Пособие содержит задания по всем темам курса математики для 4 класса. В него включены нестандартные задания, расширяющие базовую систему знаний четвероклассников. Материал пособия поможет ученикам закрепить изученное, потренировать память, развить логическое мышление, умение находить правильные решения непростых задач. При выполнении нестандартных заданий учащиеся тренируются в установлении причинно-следственных связей, конструировании способа решения, демонстрируя не дополнительный объём знаний, а уровень своей самостоятельности. Уровень сложности всех заданий выше базового, именно поэтому они станут хорошим тренингом для тех, кто захочет участвовать в школьных олимпиадах по математике.Учителю пособие также поможет на уроке занять учеников, которые быстрее других в классе выполняют все виды заданий.Для удобства работы в конце книги даны ответы и пояснения к заданиям, которые могут вызвать затруднения.Пособие можно использовать на уроках в школе и для самостоятельных занятий дома.

Posobie soderzhit zadanija po vsem temam kursa matematiki dlja 4 klassa. V nego vkljucheny nestandartnye zadanija, rasshirjajuschie bazovuju sistemu znanij chetveroklassnikov. Material posobija pomozhet uchenikam zakrepit izuchennoe, potrenirovat pamjat, razvit logicheskoe myshlenie, umenie nakhodit pravilnye reshenija neprostykh zadach. Pri vypolnenii nestandartnykh zadanij uchaschiesja trenirujutsja v ustanovlenii prichinno-sledstvennykh svjazej, konstruirovanii sposoba reshenija, demonstriruja ne dopolnitelnyj objom znanij, a uroven svoej samostojatelnosti. Uroven slozhnosti vsekh zadanij vyshe bazovogo, imenno poetomu oni stanut khoroshim treningom dlja tekh, kto zakhochet uchastvovat v shkolnykh olimpiadakh po matematike.Uchitelju posobie takzhe pomozhet na uroke zanjat uchenikov, kotorye bystree drugikh v klasse vypolnjajut vse vidy zadanij.Dlja udobstva raboty v kontse knigi dany otvety i pojasnenija k zadanijam, kotorye mogut vyzvat zatrudnenija.Posobie mozhno ispolzovat na urokakh v shkole i dlja samostojatelnykh zanjatij doma.

FindHow.org – Найди как – инфопортал

Сообщение № 12 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность -)

23-24 апреля в Туркестанской области местами ожидается пыльная буря. Ветер северо-восточный 15-20 м/с, днем 23 апреля порывы 25 м/с. г. Туркестан: утром и днем 23 апреля ожидается ветер северо-восточный порывы 15-20 м/с.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность %)

Днем 23 апреля в Кызылординской области ожидается пыльная буря. Ветер восточный, юго-восточный ночью местами 15-20 м/с, днем 15-20, местами 23 м/с. г. Кызылорда: днем 23 апреля ожидается пыльная буря. Ветер восточный, юго-восточный днем 15-20 м/с.

Сообщение № 7 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность -)

23-25 апреля в Жамбылской области местами ожидается туман. 23-25 апреля ожидается ветер северо-восточный местами 15-20 м/с, 23-24 апреля порывы 23-28 м/с. Ночью 23-24 апреля местами сохраняются заморозки до 3 градусов. г.Тараз: 23-25 апреля временами ожидается туман. Днем 23 апреля ветер северо-восточный порывы 15-20 м/с.

Сообщение № 6 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов. г.Тараз: 21 апреля временами ожидаются сильные осадки (дождь, снег). 21-22 апреля ожидается туман. Днем 20, сутки 21 апреля ветер юго-западный с переходом на северо-восточный порывы 15-20, временами 25 м/с. Днем 20, ночью и утром 21 апреля ожидаются гроза, град, днем 21, ночью 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-9 тепла, ночью 22-23 апреля заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Арифметических прогрессий: проблемы с решениями

Проблема 1

В чем общее отличие арифметической прогрессии 10, 5, 0, -5?

Задача 2

Образуют ли числа 2, 6, 10, 12, 16 … арифметическую прогрессию?
Ответьте да или нет .

Задача 3, присланная Роем К. Бехананом

Найдите 10-й член арифметической прогрессии 1, 3.5, 6, 8.5, …

Задача 4

Найдите сумму первых 10 натуральных чисел.

Задача 5 прислала Таз

Сумма пяти последовательных чисел равна 100. Найдите первое число.

Задача 6

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией. Если [текс] а_1 = 4 [/ текс] и [текс] а_2 = 7 [/ текс], определить [текс] а_ {11} [/ текс]

Задача 7

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] d = 12 [/ tex] и [tex] a_3 = 43 [/ tex]. Найдите [tex] a_1 [/ tex]

Задача 8

Пусть [tex] a_n [/ tex] будет арифметической прогрессией.Если [текс] а_1 = 15 [/ текс] и [текс] а_2 = 8 [/ текс], определить [текс] а_ {19} [/ текс].

Задача 9

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой первый член [tex] a_1 = 1 [/ tex] и общая разность [tex] d = 1 [/ tex]. Найдите [tex] a_ {1083} [/ tex]

Задача 10

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] a_2 = 5 [/ tex] и [tex] a_1 = -11 [/ tex]. Найдите разницу в прогрессии.

Задача 11

Определить разницу арифметической прогрессии [текс] {a_n} [/ текс], если [текс] а_5 = 18 [/ текс] и [текс] а_2 = 9 [/ текс]

Задача 12

Пусть [текс] {a_n} [/ текс] будет арифметической прогрессией, для которой [текс] а_3 = 13 [/ текс] и [текс] а_ {11} = 25 [/ текс].Найдите [tex] a_7 [/ tex]

Задача 13

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] a_1 = 15 [/ tex] и [tex] d = 3 [/ tex]. Найдите сумму первых 10 элементов.

Задача 14

Каково общее отношение геометрической прогрессии 3, -6, 12, -24, 48 …?

Задача 15

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией. Если [tex] a_1 = 7 [/ tex] и [tex] d = 4 [/ tex], определить сумму первых 6 элементов с четными индексами.

Задачи и решения по математическим словам

Проблема 1 Днем продавец продал в два раза больше груш, чем утром. Если он продал в тот день 360 килограммов груш, сколько? килограммов он продал утром, а сколько днем?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет килограммами, которые он продал утром. Затем днем ​​он продал 2 доллара за килограммы. Итак итого $ x + 2x = 3x $. Это должно быть равно 360.
$ 3x = 360 $
$ x = \ frac {360} {3}
$ x = 120 $
Таким образом, продавец продал 120 кг утром и 2 \ cdot 120 = 240 $ кг днем.

Задача 2 Мэри, Питер и Люси собирали каштаны. Мэри собрала в два раза больше каштанов, чем Питер. Люси выбрала На 2 кг больше Питера. Вместе они собрали 26 кг каштанов. Сколько килограммов набрал каждый из них?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранной Питером суммой.Затем Мэри и Люси выбрали $ 2x $ и $ x + 2 $ соответственно. Итак,
$ x + 2x + x + 2 = 26 $
$ 4x = 24 $
$ x = 6 9000 $ 9 Таким образом, Питер, Мэри и Люси выбрали 6, 12 и 8 кг соответственно.

Задача 3
София закончила $ \ frac {2} {3} $ книги. Она подсчитала, что закончила на 90 страниц больше, чем еще не прочитала. Как долго ее книга?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет общим количеством страниц в книге, тогда она закончила $ \ frac {2} {3} \ cdot x $ страниц.
Тогда у нее осталось $ x- \ frac {2} {3} \ cdot x = \ frac {1} {3} \ cdot x $ страниц.
$ \ frac {2} {3} \ cdot x- \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ x = 270 $
Итак, в книге 270 страниц.

Задача 4
Поле можно вспахать 6 тракторами за 4 дня. Когда 6 тракторов работают вместе, каждый из них пашет. 120 га в сутки. Если два трактора были перенесены на другое поле, тогда оставшиеся 4 трактора могут вспахать то же поле за 5 дней.Сколько гектаров в день будет обрабатывать один трактор?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Если каждый из тракторов за 6 долларов обрабатывает 120 гектаров в день, и они завершают работу за 4 доллара дней, то все поле будет: 120 $ \ cdot 6 \ cdot 4 = 720 \ cdot 4 = 2880 $ га. Давайте предположим, что каждый из четырех тракторов обрабатывал $ x $ гектаров в день. Таким образом, за 5 дней вспахано
$ 5 \ cdot 4 \ cdot x = 20 \ cdot x $ га, что равняется площади всего поля 2880 га.
Итак, получаем $ 20x = 2880 $
$ x = \ frac {2880} {20} = 144 $. Таким образом, каждый из четырех тракторов будет обрабатывать 144 гектара в день.

Задача 5
Студент выбрал число, умножил его на 2, затем вычел 138 из результата и получил 102. Какое число он выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным им числом, тогда
$ 2 \ cdot x – 138 = 102 $
$ 2x = 240 $
$ x = 120 $

Задача 6
Я выбрал число и разделил его на 5.Затем я вычел из результата 154 и получил 6. Какое число я выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным мной числом, тогда
$ \ frac {x} {5} -154 = 6 $
$ \ frac {x} {5} = 160 $ ​​
$ x = 800 $

Задача 7
Расстояние между двумя городами 380 км. В этот же момент легковой автомобиль и грузовик начинают движение навстречу друг другу из разные города. Они встречаются через 4 часа. Если автомобиль движется на 5 км / ч быстрее грузовика, какова их скорость?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Задача 8
Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой стороны. Если увеличить длину каждой стороны на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 18 см ² . Найдите длины всех сторон.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет длиной большей стороны $ x \ gt 3 $, тогда длина другой стороны будет $ x-3 $ см. Тогда площадь S ₁ = x (x – 3) см ² . После увеличения длины сторон они станут $ (x +1) $ и $ (x – 3 + 1) = (x – 2) $ см в длину.2 + x – 2x – 2 $
$ 2x = 20 $
$ x = 10 $. Итак, стороны прямоугольника равны $ 10 $ см и $ (10 – 3) = 7 $ см в длину.

Задача 9
В первый год две коровы дали 8100 литров молока. Второй год их производство увеличилось. на 15% и 10% соответственно, а общее количество молока увеличилось до 9100 литров в год. Сколько литров молока давалось от каждой коровы за год?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x будет количеством молока первой коровы произведен в течение первого года.Затем вторая корова в тот год произвела (8100 – x) литров молока. На второй год каждая корова произвела столько же молока, сколько в первый год плюс прибавка на 15 \% $ или 10 \% $.
Итак, $ 8100 + \ frac {15} {100} \ cdot x + \ frac {10} {100} \ cdot (8100 – x) = 9100 $
Следовательно, $ 8100 + \ frac {3} {20} x + \ frac {1} {10} (8100 – x) = 9100 $
$ \ frac {1} {20} x = 190 $
$ x = 3800 $
Следовательно, коровы дали 3800 и 4300 литров молока в первый год и 4370 долларов и 4730 долларов за литр молока во второй год, соответственно.

Проблема 10
расстояние между станциями A и B – 148 км. Экспресс отправился со станции A в сторону станции B со скоростью 80 км / ч. В то же В это время товарный поезд покинул станцию ​​B в сторону станции A со скоростью 36 км / час. Они встретились на станции C в 12 часов, и к тому времени экспресс остановился на промежуточной станции на 10 мин, а грузовой поезд остановился на 5 мин. Находим:
a) Расстояние между станциями C и B.
b) Время, когда грузовой поезд покинул станцию ​​B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение
a) Пусть x будет расстоянием между станции B и C. Тогда расстояние от станции C до станции A составляет $ (148 – x) $ км. К моменту встречи на станции C экспресс ехал $ \ frac {148-x} {80} + \ frac {10} {60} $ часов, а грузовой поезд ехал $ \ frac {x} {36} + \ frac {5} {60} $ часов . Поезда ушли одновременно, так что: $ \ frac {148 – x} {80} + \ frac {1} {6} = \ frac {x} {36} + \ frac {1} {12} $. Общий знаменатель чисел 6, 12, 36, 80 равен 720.Тогда
$ 9 (148 – x) +120 = 20x + 60 $
$ 1332 – 9x + 120 = 20x + 60 $
$ 29x = 1392 $
$ x = 48 $. Следовательно, расстояние между станциями B и C составляет 48 км.
б) К моменту встречи на станции С фрахт поезд ехал $ \ frac {48} {36} + \ frac {5} {60} $ часов, то есть 1 доллар в час и 25 долларов в минуту.
Следовательно, он покинул станцию ​​B на отметке $ 12 – (1 + \ frac {25} {60}) = 10 + \ frac {35} {60} $ часов, то есть в 10:35.

Задача 11
Сьюзен едет из города А в город Б.После двух часов езды она заметила, что она преодолела 80 км и подсчитала, что если она двигаясь с той же скоростью, она опаздывала на 15 минут. Так она увеличила скорость на 10 км / ч и прибыла в город B на 36 минут раньше чем она планировала.
Найдите расстояние между городами A и B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет расстоянием между точками A и B. Поскольку Сьюзен преодолела 80 км за 2 часа, ее скорость составила $ V = \ frac {80} {2} = 40 $ км / час.
Если бы она продолжила движение с той же скоростью, то опоздала бы на 15 $ минут, т.е. запланированное время в пути составляет $ \ frac {x} {40} – \ frac {15} {60} $ hr. Остальное расстояние $ (x – 80) $ км. $ V = 40 + 10 = 50 $ км / час.
Итак, она преодолела расстояние между A и B за $ 2 + \ frac {x – 80} {50} $ hr, и это оказалось на 36 минут меньше, чем планировалось. Таким образом, запланированное время было $ 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $.
Когда мы выравниваем выражения для запланированного времени, мы получаем уравнение:
$ \ frac {x} {40} – \ frac {15} {60} = 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $
$ \ frac {x – 10} {40} = \ frac {100 + x – 80 + 30} {50} $
$ \ frac {x – 10} {4} = \ frac {x +50} {5} $
$ 5x – 50 = 4x + 200 $
$ x = 250 $
Итак, расстояние между городами A и B составляет 250 км.

Задача 12
Чтобы доставить заказ вовремя, компания должна производить 25 деталей в день. После изготовления 25 частей в день по 3 дней компания начала производить на 5 деталей больше в день, а к последнему дню работы было произведено на 100 деталей больше, чем планировалось. Узнайте, сколько деталей изготовила компания и сколько дней это заняло.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней, в течение которых компания проработала. Тогда 25x – это количество деталей, которые они планировали сделать.При новом уровне добычи они сделано:
$ 3 \ cdot 25 + (x – 3) \ cdot 30 = 75 + 30 (x – 3)
$ Следовательно: 25 $ x = 75 + 30 (x -3) – 100 $
$ 25x = 75 + 30x -90 – 100 $
$ 190 -75 = 30x -25 $
$ 115 = 5x $
$ x = 23 $
Итак, компания проработала 23 дня и заработала 23 $ \ cdot 25 + 100 = 675 $ штук.

Задача 13
В седьмом классе 24 ученика. Решили посадить на заднем дворе школы березы и розы. Пока каждая девочка посадила по 3 роз, каждые три мальчика посадили по 1 берёзе.К концу дня они посадили растения за 24 доллара. Сколько берез и роз было посажено?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством роз. Тогда количество берез составляет 24 $ – x $, а количество мальчиков – $ 3 \ times (24-x) $. Если каждая девочка посадила 3 роз, в классе $ \ frac {x} {3} $ девочек.
Мы знаем, что в классе 24 ученика. Следовательно, $ \ frac {x} {3} + 3 (24 – x) = 24 $
$ x + 9 (24 – x) = 3 \ cdot 24 $
$ x +216 – 9x = 72 $
$ 216 – 72 = 8x $
$ \ frac {144} {8} = x 9000 $ 9 $ x = 18 9000 $ 9 Итак, ученики посадили 18 роз и 24 – x = 24 – 18 = 6 берез.

Задача 14
Автомобиль выехал из города A в сторону города B, двигаясь со скоростью V = 32 км / час. После 3 часов в пути водитель остановился на 15 минут в городе C. на закрытой дороге ему пришлось изменить маршрут, увеличив поездку на 28 км. Он увеличил скорость до V = 40 км / час, но все равно опоздал на 30 минут. Находим:
а) Расстояние, которое преодолела машина.
б) Время, которое потребовалось, чтобы добраться от пункта C до пункта B.
Щелкните, чтобы увидеть решение

A
Остановка была запланирована. Рассмотрим только поездку из C в B, и пусть $ x $ будет количеством часов, в течение которых водитель потратил на эту поездку.
Тогда расстояние от C до B равно $ S = 40 \ cdot x $ км. Если бы водитель мог использовать первоначальный маршрут, ему потребовалось бы $ x – \ frac {30} {60} = x – \ frac {1} {2} $ часов, чтобы проехать от C до B. Расстояние от C до B. согласно первоначальному маршруту $ (x – \ frac {1} {2}) \ cdot 32 $ км, и это расстояние на $ 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $ км.Тогда у нас есть уравнение
$ (x – 1/2) \ cdot 32 + 28 = 40x $
$ 32x -16 +28 = 40x $
$ -8x = -12 $
$ 8x = 12 $.
$ x = \ frac {12} {8} $
$ x = 1 \ frac {4} {8} = 1 \ frac {1} {2} = 1 \ frac {30} {60} = 1 час. 30 минут.
Итак, автомобиль преодолел расстояние от C до B за 1 час 30 минут.
Расстояние от A до B составляет $ 3 \ cdot 32 + \ frac {12} {8} \ cdot 40 = 96 + 60 = 156 $ км.

B
Предположим, ему потребовалось $ x $ часов чтобы добраться из C в B. Тогда расстояние $ S = 40 \ cdot x $ км.
Водитель не планировал остановку на C. Допустим, он остановился, потому что ему пришлось изменить маршрут.
Потребовалось $ x – \ frac {30} {60} + \ frac {15} {60} = x – \ frac {15} {60} = x – \ frac {1} {4} $ h, чтобы проехать от С к Б. расстояние от C до B составляет 32 (x – \ frac {1} {4}) $ км, что на 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $, то есть
$ 32 (x – \ frac {1} {4}) + 28 = 40x $
$ 32x – 8 +28 = 40x $
$ 20 = 8x $
$ x = \ frac {20} {8} = \ frac {5} {2} = 2 \ text {hr} 30 \ text {min}. $
Пройденное расстояние равно $ 40 \ умноженное на 2.5 = 110 км $.

Задача 15
Если фермер хочет вовремя вспахивать сельскохозяйственное поле, он должен вспахивать 120 гектаров в день. По техническим причинам он пахал всего 85 гектаров в день, следовательно, ему пришлось пахать на 2 дня больше, чем планировалось, и он осталось еще 40 га. Какова площадь фермерского поля и сколько дней фермер изначально планировал работать?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней в первоначальном плане.Таким образом, все поле составляет 120 $ \ cdot x $ га. Фермеру приходилось работать x + 2 доллара в день, и он вспахали 85 долларов (x + 2) гектаров, оставив 40 гектаров невыпаханными. Тогда у нас есть уравнение:
$ 120x = 85 (x + 2) + 40 $
$ 35x = 210 $
$ x = 6 $.
Таким образом, фермер планировал завершить работу за 6 дней, а площадь фермерского поля составляет 120 $ \ cdot 6 = 720 $ га.

Задача 16
Столяр обычно делает определенное количество запчасти за 24 дня. Но он смог увеличить свою производительность на 5 деталей в день, и поэтому он не только закончил работу всего за 22 дня, но и сделал 80 дополнительных деталей.Сколько частей плотник обычно делает в день, а сколько штук он делает за 24 дня?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством деталей, которые плотник обычно изготавливает ежедневно. За 24 дня он заработал $ 24 \ cdot x $ штук. Его новая дневная норма производства составляет x + 5 долларов за штуку и в $ 22 $ дней он сделал $ 22 \ cdot (x + 5) $ деталей. Это на 80 больше, чем $ 24 \ cdot x $. Следовательно уравнение:
$ 24 \ cdot x + 80 = 22 (x +5) $
$ 30 = 2x $
$ x = 15 $
Обычно он делает 15 частей в день, а за 24 дня он зарабатывает 15 $ \ cdot 24 = 360 $ частей.

Задача 17
Байкер преодолел половину расстояния между двумя городами за 2 часа 30 минут. После этого он увеличил скорость на 2 км / час. Вторую половину дистанции он преодолел за 2 часа 20 минут. Найдите расстояние между двумя городами и начальная скорость байкера.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x км / ч будет начальной скоростью байкером, то его скорость во второй части поездки составляет x + 2 км / час. Половина расстояния между двумя городами равна $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x $ км и $ 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ км.Из уравнения: $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x = 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ получаем $ x = 28 $ км / час.
Начальная скорость байкера 28 км / ч.
Половина расстояния между двумя городами составляет
$ 2 ч 30 мин \ умножить на 28 = 2,5 \ умножить на 28 = 70 $.
Таким образом, расстояние равно 2 \ умножить на 70 = 140 $ км.

Задача 18
Поезд преодолел половину расстояния между станциями A и B со скоростью 48 км / час, но затем ему пришлось остановиться на 15 мин. Составить из-за задержки он увеличил свою скорость на $ \ frac {5} {3} $ м / сек и прибыл на станцию ​​B вовремя.Найдите расстояние между двумя станциями и скорость поезда после остановки.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Для начала определим скорость поезда после остановки. Скорость было увеличено на $ \ frac {5} {3} $ м / сек $ = \ frac {5 \ cdot 60 \ cdot 60} {\ frac {3} {1000}} $ км / час = $ 6 $ км / час. Следовательно новая скорость 48 $ + 6 = 54 $ км / час. Если на покрытие первого половины расстояния, то на преодоление расстояния требуется $ x – \ frac {15} {60} = x – 0,25 $ ч. вторая часть.
Итак, уравнение: $ 48 \ cdot x = 54 \ cdot (x – 0,25) $
$ 48 \ cdot x = 54 \ cdot x – 54 \ cdot 0,25 $
$ 48 \ cdot x – 54 \ cdot x = – 13,5 $
$ -6x = – 13,5 $
$ x = 2,25 $ ч.
Все расстояние
$ 2 \ умножить на 48 \ умножить на 2,25 = 216 $ км.

Задача 19
Элизабет может выполнить определенную работу за 15 дней, а Тони – только 75%. эта работа в одно и то же время. Тони работал один в течение нескольких дней, а затем к нему присоединилась Элизабет, так что они закончили остаток работы. работа за 6 дней, работаем вместе.
Сколько дней проработал каждый из них и какой процент работы каждый из них выполнил?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала мы определим дневную производительность каждого рабочего. Если мы рассмотрим всю работу как единицу (1), Элизабет выполняет $ \ frac {1} {15} $ работы в день, а Тони выполняет 75 \% $ из $ \ frac {1} {15} $, т.е.
$ \ frac { 75} {100} \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {1} {20} $. Предположим, что Тони работал один за $ x $ дней. Затем он в одиночку выполнил $ \ frac {x} {20} $ всей работы.За работой вместе в течение 6 дней двое рабочих закончили $ 6 \ cdot (\ frac {1} {15} + \ frac {1} {20}) = 6 \ cdot \ frac {7} {60} = \ frac {7} { 10} $ работы.
Сумма $ \ frac {x} {20} $ и $ \ frac {7} {10} $ дает нам всю работу, т.е. $ 1 $. Таким образом, мы получаем уравнение:
$ \ frac {x} {20} + \ frac {7} {10} = 1 $
$ \ frac {x} {20} = \ frac {3} {10} $
$. х = 6 $. Тони проработал 6 + 6 = 12 дней и Элизабет работала за 6 долларов в день. Часть работы сделана это $ 12 \ cdot \ frac {1} {20} = \ frac {60} {100} = 60 \% $ для Тони и $ 6 \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {40} {100} = 40 \% $ для Элизабет.

Задача 20
Фермер планировал вспахать поле, выполнив 120 га в сутки. После двух дней работы он увеличил свою дневную производительность на 25% и закончил работу на два дня раньше срока.
а) Какова площадь поля?
б) За сколько дней фермер выполнил свою работу?
c) Через сколько дней фермер планировал выполнить работу?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Прежде всего мы найдем новую суточную производительность фермер в гектарах в сутки: 25% от 120 гектаров $ \ frac {25} {100} \ cdot 120 = 30 $ га, поэтому 120 $ + 30 = 150 $ га новая ежедневная продуктивность.Пусть x будет запланированным количеством дней, отведенных на работу. Тогда хозяйство будет 120 \ cdot x $ га. На с другой стороны, мы получим ту же площадь, если добавим 120 $ \ cdot 2 $ гектаров к 150 $ (х -4) $ га. Тогда мы получаем уравнение
$ 120x = 120 \ cdot 2 + 150 (x -4) $
$ x = 12 $
Итак, изначально работа должна была занять 12 дней, но на самом деле поле было вспахано за 12-2. = 10 дней. Площадь поля 120 $ \ cdot 12 = 1440 $ га.

Задача 21
Чтобы покосить травяное поле, бригада косилок планировала обрабатывать 15 гектаров в день.Через 4 рабочих дня они увеличили дневную производительность на $ 33 \ times \ frac {1} {3} \% $ и закончил работу на 1 день раньше запланированного срока.
А) Какова площадь травяного поля?
B) Сколько дней понадобилось, чтобы косить все поле?
C) Сколько дней изначально было запланировано для этой работы?
Подсказка : Взгляните на проблему 20 и решите ее сами.
Ответ: А) 120 га; Б) 7 дней; В) 8 дней.

Задача 22
Поезд идет от станции A до станции B.Если поезд отправляется со станции А со скоростью 75 км / час, прибывает на станцию ​​B на 48 минут раньше запланированного. Если бы он двигался со скоростью 50 км / час, то к запланированному времени прибытия бы осталось еще 40 км до станции B. Найти:
A) Расстояние между двумя станциями;
B) Время, за которое поезд следует из пункта А в пункт Б по расписанию;
C) Скорость поезда по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет запланированным временем поездки из пункта А в пункт Б.Тогда расстояние между A и B можно найти двумя способами. С одной стороны, это расстояние составляет $ 75 (x – \ frac {48} {60}) $ км. С другой стороны, это 50 $ + 40 $ км. Таким образом, мы получаем уравнение:
$ 75 (x – \ frac {48} {60}) = 50x + 40 $
$ x = 4 $ час – это запланированное время в пути. В расстояние между двумя станциями 50 $ \ cdot 4 + 40 = 240 $ км. Тогда скорость, которую поезд должен поддерживать, чтобы идти по расписанию, составляет $ \ frac {240} {4} = 60 $ км / час.

Задача 23
Расстояние между городами A и B составляет 300 км.Один поезд отправляется из города А, а другой – из города. город B, оба уезжают в один и тот же момент времени и направляются друг к другу. Мы знаем, что один из них на 10 км / час быстрее другого. Находить скорости обоих поездов, если через 2 часа после отправления расстояние между ними составляет 40 км.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть скорость более медленного поезда будет $ x $ км / час. Тогда скорость более быстрый поезд стоит (x + 10) $ км / час. За 2 часа они преодолевают 2x $ км и 2 (x +10) $ км соответственно.Поэтому, если они еще не встретились, весь расстояние от A до B составляет $ 2x + 2 (x +10) +40 = 4x + 60 $ км. Однако если они уже встретились и продолжили движение, расстояние будет $ 2x + 2 (x + 10) – 40 = 4x – 20 $ км. Таким образом, мы получаем следующие уравнения:
$ 4x + 60 = 300 $
$ 4x = 240 $
$ x = 60 $ или
$ 4x – 20 = 300 $
$ 4x = 320 $
$ x = 80 $
Отсюда скорость более медленного поезда составляет 60 долларов США км / час или 80 долларов США км / час, а скорость более быстрый поезд стоит 70 долларов за км / час или 90 долларов за км / час.

Задача 24
Автобус едет из города А в город Б.Если скорость автобуса составляет 50 км / час, он прибудет в город B на 42 минуты позже запланированного срока. Если автобус увеличивается его скорость составляет $ \ frac {50} {9} $ м / сек, он прибудет в город B на 30 минут раньше запланированного срока. Находим:
A) Расстояние между двумя городами;
B) Планируемое время прибытия автобуса в B;
C) Скорость автобуса по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала определим скорость автобуса после ее увеличения. Скорость увеличено на $ \ frac {50} {9} $ м / сек $ = \ frac {50 \ cdot60 \ cdot60} {\ frac {9} {1000}} $ км / час $ = 20 $ км / час.Следовательно, новая скорость составляет $ V = 50 + 20 = 70 $ км / час. Если $ x $ – количество часов по расписанию, то со скоростью 50 км / ч автобус едет из пункта A в пункт B за $ (x + \ frac {42} {60}) $ час. Когда скорость автобуса составляет $ V = 70 $ км / час, время в пути составляет $ x – \ frac {30} {60} $ час. потом
$ 50 (x + \ frac {42} {60}) = 70 (x- \ frac {30} {60}) $
$ 5 (x + \ frac {7} {10}) = 7 (x- \ frac { 1} {2}) $
$ \ frac {7} {2} + \ frac {7} {2} = 7x -5x $
$ 2x = 7 $
$ x = \ frac {7} {2} $ час.
Итак, автобус должен сделать поездку за 3 доллара за час 30 долларов за минуту.
Расстояние между двумя городами составляет 70 долларов США (\ frac {7} {2} – \ frac {1} {2}) = 70 \ cdot 3 = 210 $ км, а запланированная скорость составляет $ \ frac {210} {\ гидроразрыв {7} {2}} = 60 $ км / час.

Математические задачи с решениями

Задачи со словами – Полный курс алгебры

10

Примеры

Проблемы

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ требует практики в переводе словесного языка на алгебраический язык.См. Урок 1, Задача 8. Тем не менее, проблемы со словами делятся на разные типы. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1. ax ± b = c . Все проблемы, подобные следующей, в конечном итоге приводят к уравнению в такой простой форме.

Джейн потратила 42 доллара на обувь. Это было на 14 долларов меньше, чем вдвое, чем она потратила на блузку. Сколько была кофточка?

Решение. У каждой проблемы со словом неизвестный номер.В этой проблеме цена кофточки. Всегда позволяйте x представлять неизвестное число. То есть пусть на вопрос ответит x .

Пусть тогда x будет тем, сколько она потратила на блузку. В задаче говорится, что «Это», то есть 42 доллара, было на 14 долларов меньше, чем в два раза больше, чем x .

Вот уравнение:

Блузка стоила 28 долларов.

Пример 2. Всего в классе b мальчиков. Это в три раза больше, чем в четыре раза девушек. Сколько девочек в классе?

Решение. Опять же, пусть x представляет неизвестное число, которое вас просят найти: Пусть x будет количеством девушек.

(Хотя b неизвестно – это произвольная константа – это не то, что вас просят найти.)

В задаче указано, что «Это» – b – на три больше, чем в четыре раза x :

Решение здесь не число, потому что оно будет зависеть от значения b . Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.

Пример 3. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа?

Решение. В этой задаче нам предлагается найти два числа.Следовательно, мы должны сделать x одним из них. Пусть тогда x будет первым числом.

Нам говорят, что другое число – еще 12, x + 12.

В задаче указано, что их сумма равна 84:

= 84

Линия над x + 12 – это символ группировки, который называется vinculum . Это избавляет нас от написания скобок.

У нас:

Это первый номер. Следовательно, другой номер –

х + 12 = 36 + 12 = 48.

Сумма 36 + 48 дает 84.

Пример 4.Сумма двух последовательных чисел составляет 37. Какие они?

Решение . Два последовательных числа равны 8 и 9 или 51 и 52.

Пусть тогда x будет первым числом. Тогда число после него будет x + 1.

В задаче указано, что их сумма равна 37:

= 37

Два числа – 18 и 19.

Пример 5. Одно число на 10 больше другого. Сумма, состоящая из удвоенного меньшего и трехкратного большего, равна 55.Какие два числа?

Решение. Пусть x будет меньшим числом.

Тогда большее число на 10 больше: x + 10.

Состояние проблемы:

Это меньшее число. Чем больше число, тем больше на 10: 15.

Пример 6. Разделите 80 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было вдвое больше, чем у первого, а у третьего было на 5 долларов меньше, чем у второго.

Решение . Опять же, нас просят найти более одного числа. Мы должны начать с того, что допустим, что x будет тем, сколько получит первый человек.

Затем второй получает вдвое больше, 2 x .

А третий получает на 5 долларов меньше, 2 x – 5.

Их сумма 80 $:

Вот сколько получает первый человек. Следовательно, второй получает

Сумма 17, 34 и 29 фактически равна 80.

Пример 7.Нечетные числа. Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 52. Какие два нечетных числа?

Решение . Во-первых, четное число кратно 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. В алгебре принято представлять четное число как 2 n , где, вызывая переменную « n », понимается, что n будет принимать целочисленные значения: n = 0, 1, 2 , 3, 4 и т. Д.

Нечетное число на 1 больше (или на 1 меньше) четного.Итак, мы представляем нечетное число как 2 n + 1.

Пусть 2 n + 1 будет первым нечетным числом. Далее будет еще 2 – это будет 2 n + 3. Задача утверждает, что их сумма 52:

Теперь мы решим это уравнение для n , а затем заменим решение в 2 n + 1, чтобы найти первое нечетное число.Нас:

Следовательно, первое нечетное число 2 · 12 + 1 = 25.Итак, следующее 27. Их сумма 52.

Проблемы

Задача 1. У Джули 50 долларов, что на восемь долларов больше, чем у Джона. Сколько у Джона? (Сравните Пример 1.)

Во-первых, что вы позволите изображать x ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Неизвестный номер – сколько у Джона.

Что такое уравнение?

2 х + 8 = 50.

Вот решение:

x = 21

Проблема 2. Карлотта потратила на рынке 35 долларов. Это было на семь долларов меньше, чем в три раза больше, чем она потратила в книжном магазине; сколько она там потратила?

Вот уравнение.

3 x – 7 = 35

Вот решение:

x = 14

Проблема 3.Есть b черных шариков. Это на четыре больше, чем в два раза больше красных шариков. Сколько там красных шариков? (Сравните Пример 2.)

Вот уравнение.

2 x + 4 = b

Вот решение:

Проблема 4. Джанет потратила 100 долларов на книги. Это было на тыс. доллара меньше, чем в пять раз больше, чем она потратила на обед.Сколько она потратила на обед?

Вот уравнение.

5 x – к = 100

Вот решение:

Задача 5. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 99, и одно из них на 17 больше другого. Какие два числа? (Сравните Пример 3.)

Вот уравнение.

Вот решение:

Задача 6. Класс из 50 учеников делится на две группы; в одной группе на восемь меньше, чем в другой; сколько в каждой группе?

Вот уравнение.

Вот решение:

Проблема 7.Сумма двух чисел равна 72, и одно из них в пять раз больше другого; какие два числа?

Вот уравнение.

х + 5 х = 72.

Вот решение:

x = 12,5 x = 60,

Задача 8. Сумма трех последовательных чисел равна 87; кто они такие? (Сравните Пример 4.)

Вот уравнение.

Вот решение:

28, 29, 30.

Задача 9. Группа из 266 человек состоит из мужчин, женщин и детей. Мужчин в четыре раза больше, чем детей, а женщин в два раза больше, чем детей. Сколько их там?

(Чему вы приравняете x – количеству мужчин, женщин или детей?)

x + 4 x + 2 x = 266

Вот решение:

х = 38.4 x = 152. 2 x = 76.

Задача 10. Разделите 79 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было в три раза больше, чем у первого, а у третьего было на два доллара больше, чем у второго. (Сравните Пример 6.)

Вот уравнение.

Вот решение:

11, 33, 35 долларов.

Задача 11. Разделите 15,20 доллара между тремя людьми так, чтобы у второго было на доллар больше, чем у первого, а у третьего – на 2,70 доллара больше, чем у второго.

Вот уравнение.

Вот решение:

3,50 доллара США, 4,50 доллара США, 7,20 доллара США.

Задача 12. Два последовательных нечетных числа таковы, что три раза первое будет на 5 больше, чем в два раза больше второго.Что это за два нечетных числа?

(см. Пример 7, где мы представляем нечетное число как 2 n + 1.)

Решение . Пусть первое нечетное число будет 2 n + 1.

Тогда следующий 2 n + 3 – потому что будет еще 2.

Задача состоит в следующем:

Следовательно, первое нечетное число – 2 · 4 + 1 = 9. Следующее – 11.

И это верное решение, потому что в соответствии с проблемой:

3 · 9 = 2 · 11 + 5.

Следующий урок: Неравенство

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Устранение неравенств – объяснения и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление.Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

• Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства. Например, если a
• Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
• Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
• Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например, если a b *
• Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.Если a b / c

Как решить неравенства?

Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги, за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений – это операция умножения или деления на отрицательное число. Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Распределение собственности

Решение линейных неравенств с помощью сложения Давайте разберемся с примерами

ниже это понятие.

Пример 1

Решите 3x – 5 ≤ 3 – x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 – x

3x ≤ 8 – x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 – x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y – 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y – 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y – 2y <2y - 2y + 9

Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> – 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.

5x – 3x> 3x – 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решить x / 4> 5

Решение:

Умножить обе стороны неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x> 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.

x ≤ – 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x – 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе стороны неравенства на 2

8x – 2 + 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Решение

Divide both сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x – 4) ≥ 3x – 5

Решение

2 (x – 4) ≥ 3x – 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x – 8 ≥ 3x – 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x – 8 + 8 ≥ 3x – 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x – 3x ≥ 3x + 3 – 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ – 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?

Решение

Пусть в третьем тесте будет получено х баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Таким образом, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов, чтобы провести день рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов и более

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа – 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат – отрицательные числа.

Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

–1 ≤ x