Разное

По математике примеры с ответами: Задачи по математике для 2 класса, 3500 занимательных заданий с ответами и решением

Содержание

Примеры на сложение и вычитание от 1 до 5. Математика, 1 класс: уроки, тесты, задания.

1. Сосчитай

Сложность: лёгкое

1
2. Сложение числа и 1

Сложность: лёгкое

1
3. Вычитание числа 1

Сложность: лёгкое

1
4. Драгоценные камни двух видов

Сложность: лёгкое

1
5. Исключение

Сложность: лёгкое

1
6. Пропущенное число

Сложность: среднее

2
7. Пропущенное число

Сложность: среднее

2
8. Минус или плюс?

Сложность: среднее

2
9. Вычитание с тремя числами

Сложность: среднее

2
10. Пропущенные знаки

Сложность: среднее

4
11.
Неизвестные числа (сложение)

Сложность: сложное

3
12. Неизвестные числа (вычитание)

Сложность: сложное

3
13. Неизвестные числа, три числа (сложение)

Сложность: сложное

3
14. Пример с данным ответом

Сложность: сложное

5

«3000 примеров по математике.

Нескучные задачи и нелегкие примеры. С ответами и пояснениями. 3 класс» Узорова Ольга Васильевна, Нефедова Елена Алексеевна - описание книги | 3000 примеров для начальной школы

Алтайский край

Ангарск

Астрахань

Белгород

Благовещенск

Богучар

Братск

Брянск

Владивосток

Владимирская область

Волгоград

Волгоградская область

Воронеж

Воронежская область

Грозный

Губкин

Екатеринбург

Забайкальский край

Ивановская область

Иркутск

Кабардино-Балкарская Республика

Калужская

Кемерово

Кемеровская область

Киров

Кострома

Краснодарский край

Красноярск

Красноярский край

Курганская

Курск

Липецк

Москва

Московская область

Нижегородская область

Нижний Новгород

Нижний Тагил

Нововоронеж

Новосибирск

Омск

Оренбург

Оренбургская область

Орловская область

Пенза

Пермский край

Пермь

Поворино

Приморский край

Республика Адыгея

Республика Башкортостан

Республика Бурятия

Республика Крым

Республика Мордовия

Республика Северная Осетия — Алания

Республика Татарстан

Республика Тыва

Республика Хакасия

Россошь

Ростов-на-Дону

Ростовская область

Рязань

Самара

Самарская область

Саратов

Саратовская область

Свердловская область

Севастополь

Смоленск

Ставрополь

Ставропольский край

Старый Оскол

Тамбов

Тамбовская область

Тверь

Томск

Тула

Тулун

Тульская область

Тюмень

Удмуртская Республика

Ульяновск

Ульяновская область

Хабаровск

Ханты-Мансийский автономный округ

Челябинск

Челябинская область

Чувашская Республика

Энгельс

Ямало-Ненецкий автономный округ

Ярославль

Ярославская область

Примеры по математике для любого класса.

Решение примеров онлайн. | Клуб любителей математики

Тренажер примеров по математике разного уровня сложности для любого класса поможет развить математичесике способности устного счета.

На своем жизненном пути каждому приходилось или придется встретиться с такой прекрасной и точной наукой как Математика. Она развивает логическое и абстрактное мышление, улучшает способность быстро соображать и принимать решения. На основе именно этой науки строится описание нашего мира.

С чего начинается математика?

Базовой составляющей математики является раздел Арифметика – операции подсчета, измерения и описания форм объектов. Это базис, на который опираются знания о структуре, порядке и отношениях. Именно они составляют суть науки. Школьная программа начинается с Арифметики, которую и предстоит освоить каждому ребенку, переступившему порог школы.

Поняв принцип математических операций, необходимо научиться быстро и безошибочно решать любые примеры по математике. И тут все упирается в терпение и регулярную практику, в следствие которой подсчитывать ответ становится все легче и легче.

Виды примеров по математике:

  • С натуральными числами
  • С дробными числами
  • С отрицательными числами
  • С иррациональными числами
  • С тригонометрическими выражениями

Так же в математических примерах можно встретить комплексные числа. Роль каждых из чисел очень велика при решении и описании разных проблем с помощью математики. В дальнейшем в разделе Алгебра вместо чисел будут использоваться разнообразные выражения, но суть останется прежняя.

С чего начать тренировку в решении примеров по математике ?

Конечно, начинать надо с самого простого и банального, с того что является самой основой. Обычные примеры начальной школы с натуральными числами. На их изучение и практику в школе уделяют большое количество времени, и дети на протяжении нескольких месяцев или лет, занимаются решением примеров, списывая задание с доски, открывая учебник или рабочую тетрадь, где один за одним решают примеры.

Предлагаем вам упрощенный способ развития навыков решения.

Онлайн тренажер устного счета

192 разнообразных режима тренировок: Уравнения, сравнения, отрицательные числа

С помощью специального онлайн «Тренажера устного счета», где можно быстро и легко практиковаться в решении простых арифметических примеров.

Приложение позволяет быстро анализировать и исправлять допущенные ошибки, помогает с ответом при наличии сложного примера, а также ведет полную статистику выполненной работы. Родителям не придется тратить свое время на поиск математических примеров для тренировки ребенка, а потом долго и скрупулезно проверять их вручную.

В свою очередь дети сосредотачиваются на решении примера и не тратят время на поиск его среди массы похожих примеров на страницах учебников, не отвлекаются на переписывание его из учебника в тетрадь, проверяя по десять раз верность переписанного. Все это существенно ускоряет процесс обучения, уделяя внимание именно самому главному – решению самих примеров по математике!

Зачем нужен навык решения примеров по математике?

Несомненно, не всем в жизни нужно быть живым компьютером с развитым навыком устного счета. Однако очень часто происходят ситуации, когда этот навык выручает. Ведь в современном мире, где всё вокруг строится на основе математических законов, иметь такой приятный для себя бонус как хорошее умение быстро что-либо просчитывать очень круто! Никогда не знаешь на перед что и когда тебе понадобится, так почему бы не уделить немного времени этому сейчас, чтобы по жизни не попадать в неловкие ситуации, к тому же научиться этому делу довольно легко!

Очень многие ошибочно полагают, что стоит начинать учиться только тогда, когда они столкнуться с этими проблемами и это будет необходимым по жизни. Однако наш совет: освоить базовые навыки решения математических примеров и устного счета стоит как можно раньше, пока ум молод, свеж и гибок в плане обучения, а человек не занят взрослыми надоедливыми делами.

Научно доказано, если регулярно решать арифметические примеры, то:

  • Сохраняется ясность ума
  • Развивается логическое мышление
  • Улучшается мозговая активность
  • Повышается внимательность и концентрация
  • Проявляется терпение и трудолюбие
  • Развивается креативность

Как развить навык решения примеров по математике?

Надо понимать, что навык решения напрямую связан и количеством решаемых примеров. Чем больше примеров Вы прорешиваете, тем лучше начинает работать и справляться с ними мозг. Конечно же, это не означает, что надо убить все свое время только на решение примеров по математике. Очень важное значение тут имеет регулярность!

Каждый день практикуясь в небольшое выделенное для себя время, можно быстро развить свой навык устного счета до приличных возможностей. Необходимо также уделять внимание разнообразию примеров (их видам) – то есть постепенно решать все более сложные и интересные примеры, не останавливаясь на простых!

Также о навыках решения примеров по математике можно прочитать в статье «Как научиться считать в уме».

Как заставить себя решать примеры по математике?

Зачастую очень тяжело заставить себя заниматься делом, всё больше хочется отдохнуть, не утруждать себя надоедливым занятием, даже осознавая, что это нужно и необходимо. Немногие дети стремятся самостоятельно поучаствовать в своем развитии или хотя бы выполнить домашнее задание.

Поэтому в приложение «Тренажер устного счета» был добавлен игровой соревновательный момент. Возможно это изменит подход к скучному обучению, сделав этот процесс более интересным и завлекающим. Предлагаем самостоятельно опробовать данное приложение и оценить его.

Желаем успехов в решении!

Ученые назвали правильный ответ в спорном примере из школьного курса математики - Общество

МОСКВА, 1 августа. /Корр. ТАСС Олеся Кулинчик, Александра Рыжкова/. Правильный ответ в примере из школьной математики с делением и умножением, породившем споры в социальных сетях, - "16". Об этом ТАСС заявили известные российские математики.

28 июля один из пользователей опубликовал в Twitter пример из школьной программы по математике: "8:2(2+2)=?". Обсуждение примера вызвало широкий резонанс, и перешло на международный уровень, пользователи разных стран получали ответ "16" или "1".

Российский математик, доктор физико-математических наук, первый декан факультета математики Высшей школы экономики Сергей Ландо рассказал ТАСС, что правильный ответ в России будет 16. "На территории Российской Федерации деление и умножение имеют равные приоритеты. В США или Англии может быть другой порядок. В России сначала выполняется операция в скобках, потом деление на эту сумму, а потом результат умножается на следующий множитель. Правильный ответ - 16", - сказал он. Ландо добавил, что в подобных спорных случаях специалисты стараются обозначить порядок операций скобками.

Заведующий кафедры высшей математики Национального исследовательского университета "Московский институт электронной техники" (НИУ МИЭТ) Александр Прокофьев подтвердил ТАСС, что правильный ответ - 16, и объяснил, почему пример вызвал столько споров.

"Ошибаются, как я полагаю, преимущественно взрослые. У школьников вопросов быть не должно. Первой выполняется операция в скобках, затем, согласно приоритету арифметических действий, деление и умножение - они являются равноправными и выполняются слева направо. Студенты привыкают отделять косой чертой числитель от знаменателя, поэтому путаются в данном примере, полагая, что умножение двойки на скобку расположено в знаменателе", - сказал Прокофьев.

С ними согласилась и заведующая кафедры "Математика" Российского университета транспорта Людмила Кочнева. "Если бы стояла скобка после знака деление, то правильным ответом была бы единица. Если бы после восьмерки была горизонтальная черта - знак дробного деления - а внизу 2(2+2), это была бы единица. А раз все это в строчку, вы должны делать операции в том порядке, в котором они написаны. Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного - чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример", - пояснила она.  

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

""

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Русский язык 7 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Русский язык 5 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Математика 5 класс
    • Математика 6 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / - гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Деление и дроби
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / - гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

3000 примеров по математике. Нескучные задачи и нелегкие примеры. С ответами и пояснениями. 4 класс | Узорова Ольга Васильевна | ISBN 9785171352851

Пособие содержит задания по всем темам курса математики для 4 класса. В него включены нестандартные задания, расширяющие базовую систему знаний четвероклассников. Материал пособия поможет ученикам закрепить изученное, потренировать память, развить логическое мышление, умение находить правильные решения непростых задач. При выполнении нестандартных заданий учащиеся тренируются в установлении причинно-следственных связей, конструировании способа решения, демонстрируя не дополнительный объём знаний, а уровень своей самостоятельности. Уровень сложности всех заданий выше базового, именно поэтому они станут хорошим тренингом для тех, кто захочет участвовать в школьных олимпиадах по математике.Учителю пособие также поможет на уроке занять учеников, которые быстрее других в классе выполняют все виды заданий.Для удобства работы в конце книги даны ответы и пояснения к заданиям, которые могут вызвать затруднения.Пособие можно использовать на уроках в школе и для самостоятельных занятий дома.

Posobie soderzhit zadanija po vsem temam kursa matematiki dlja 4 klassa. V nego vkljucheny nestandartnye zadanija, rasshirjajuschie bazovuju sistemu znanij chetveroklassnikov. Material posobija pomozhet uchenikam zakrepit izuchennoe, potrenirovat pamjat, razvit logicheskoe myshlenie, umenie nakhodit pravilnye reshenija neprostykh zadach. Pri vypolnenii nestandartnykh zadanij uchaschiesja trenirujutsja v ustanovlenii prichinno-sledstvennykh svjazej, konstruirovanii sposoba reshenija, demonstriruja ne dopolnitelnyj objom znanij, a uroven svoej samostojatelnosti. Uroven slozhnosti vsekh zadanij vyshe bazovogo, imenno poetomu oni stanut khoroshim treningom dlja tekh, kto zakhochet uchastvovat v shkolnykh olimpiadakh po matematike.Uchitelju posobie takzhe pomozhet na uroke zanjat uchenikov, kotorye bystree drugikh v klasse vypolnjajut vse vidy zadanij.Dlja udobstva raboty v kontse knigi dany otvety i pojasnenija k zadanijam, kotorye mogut vyzvat zatrudnenija.Posobie mozhno ispolzovat na urokakh v shkole i dlja samostojatelnykh zanjatij doma.

FindHow.org - Найди как - инфопортал

Сообщение № 12 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность -)

23-24 апреля в Туркестанской области местами ожидается пыльная буря. Ветер северо-восточный 15-20 м/с, днем 23 апреля порывы 25 м/с. г. Туркестан: утром и днем 23 апреля ожидается ветер северо-восточный порывы 15-20 м/с.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность %)

Днем 23 апреля в Кызылординской области ожидается пыльная буря. Ветер восточный, юго-восточный ночью местами 15-20 м/с, днем 15-20, местами 23 м/с. г. Кызылорда: днем 23 апреля ожидается пыльная буря. Ветер восточный, юго-восточный днем 15-20 м/с.

Сообщение № 7 от 22.04.2021

Опасные явления (ОЯ) (вероятность -)

23-25 апреля в Жамбылской области местами ожидается туман. 23-25 апреля ожидается ветер северо-восточный местами 15-20 м/с, 23-24 апреля порывы 23-28 м/с. Ночью 23-24 апреля местами сохраняются заморозки до 3 градусов. г.Тараз: 23-25 апреля временами ожидается туман. Днем 23 апреля ветер северо-восточный порывы 15-20 м/с.

Сообщение № 6 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов. г.Тараз: 21 апреля временами ожидаются сильные осадки (дождь, снег). 21-22 апреля ожидается туман. Днем 20, сутки 21 апреля ветер юго-западный с переходом на северо-восточный порывы 15-20, временами 25 м/с. Днем 20, ночью и утром 21 апреля ожидаются гроза, град, днем 21, ночью 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-9 тепла, ночью 22-23 апреля заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Сообщение № 17 от 19.04.2021

Резкое изменение погоды (РИП) (вероятность -)

Днем 20 апреля в Туркестанской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град. Ночью 21-22 апреля местами ожидаются заморозки до 3 градусов.
Днем 20 апреля в Жамбылской области ожидается дождь, местами сильный дождь, сутки 21 апреля осадки, местами сильные (дождь, снег). 20-22 апреля местами ожидаются туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный местами 15-20 м/с, днем 20, сутки 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля гроза, шквал, град, днем 21, ночью и утром 22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.
21 апреля в Алматинской области ожидаются осадки, местами сильные осадки (дождь, снег). 20-22 апреля местами туман. Ветер юго-западный с переходом на северо-восточный 15-20 м/с, 21 апреля порывы 23-28 м/с. 20-21 апреля местами гроза, шквал, град, 21-22 апреля гололед. Резкое понижение температуры воздуха днем 21 апреля до 7-12 тепла, ночью 21-23 апреля местами заморозки до 3 градусов.

Арифметических прогрессий: проблемы с решениями

Проблема 1

В чем общее отличие арифметической прогрессии 10, 5, 0, -5?

Задача 2

Образуют ли числа 2, 6, 10, 12, 16 ... арифметическую прогрессию?
Ответьте да или нет .

Задача 3, присланная Роем К. Бехананом

Найдите 10-й член арифметической прогрессии 1, 3.5, 6, 8.5, ...

Задача 4

Найдите сумму первых 10 натуральных чисел.

Задача 5 прислала Таз

Сумма пяти последовательных чисел равна 100. Найдите первое число.

Задача 6

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией. Если [текс] а_1 = 4 [/ текс] и [текс] а_2 = 7 [/ текс], определить [текс] а_ {11} [/ текс]

Задача 7

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] d = 12 [/ tex] и [tex] a_3 = 43 [/ tex]. Найдите [tex] a_1 [/ tex]

.

Задача 8

Пусть [tex] a_n [/ tex] будет арифметической прогрессией.Если [текс] а_1 = 15 [/ текс] и [текс] а_2 = 8 [/ текс], определить [текс] а_ {19} [/ текс].

Задача 9

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой первый член [tex] a_1 = 1 [/ tex] и общая разность [tex] d = 1 [/ tex]. Найдите [tex] a_ {1083} [/ tex]

.

Задача 10

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] a_2 = 5 [/ tex] и [tex] a_1 = -11 [/ tex]. Найдите разницу в прогрессии.


Задача 11

Определить разницу арифметической прогрессии [текс] {a_n} [/ текс], если [текс] а_5 = 18 [/ текс] и [текс] а_2 = 9 [/ текс]

Задача 12

Пусть [текс] {a_n} [/ текс] будет арифметической прогрессией, для которой [текс] а_3 = 13 [/ текс] и [текс] а_ {11} = 25 [/ текс].Найдите [tex] a_7 [/ tex]

.

Задача 13

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex] a_1 = 15 [/ tex] и [tex] d = 3 [/ tex]. Найдите сумму первых 10 элементов.

Задача 14

Каково общее отношение геометрической прогрессии 3, -6, 12, -24, 48 ...?

Задача 15

Пусть [tex] {a_n} [/ tex] будет арифметической прогрессией. Если [tex] a_1 = 7 [/ tex] и [tex] d = 4 [/ tex], определить сумму первых 6 элементов с четными индексами.

Задачи и решения по математическим словам

Проблема 1 Днем продавец продал в два раза больше груш, чем утром. Если он продал в тот день 360 килограммов груш, сколько? килограммов он продал утром, а сколько днем?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет килограммами, которые он продал утром. Затем днем ​​он продал 2 доллара за килограммы. Итак итого $ x + 2x = 3x $. Это должно быть равно 360.
$ 3x = 360 $
$ x = \ frac {360} {3}
$ x = 120 $
Таким образом, продавец продал 120 кг утром и 2 \ cdot 120 = 240 $ кг днем.

Задача 2 Мэри, Питер и Люси собирали каштаны. Мэри собрала в два раза больше каштанов, чем Питер. Люси выбрала На 2 кг больше Питера. Вместе они собрали 26 кг каштанов. Сколько килограммов набрал каждый из них?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранной Питером суммой.Затем Мэри и Люси выбрали $ 2x $ и $ x + 2 $ соответственно. Итак,
$ x + 2x + x + 2 = 26 $
$ 4x = 24 $
$ x = 6 9000 $ 9 Таким образом, Питер, Мэри и Люси выбрали 6, 12 и 8 кг соответственно.

Задача 3
София закончила $ \ frac {2} {3} $ книги. Она подсчитала, что закончила на 90 страниц больше, чем еще не прочитала. Как долго ее книга?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет общим количеством страниц в книге, тогда она закончила $ \ frac {2} {3} \ cdot x $ страниц.
Тогда у нее осталось $ x- \ frac {2} {3} \ cdot x = \ frac {1} {3} \ cdot x $ страниц.
$ \ frac {2} {3} \ cdot x- \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ \ frac {1} {3} \ cdot x = 90 $
$ x = 270 $
Итак, в книге 270 страниц.

Задача 4
Поле можно вспахать 6 тракторами за 4 дня. Когда 6 тракторов работают вместе, каждый из них пашет. 120 га в сутки. Если два трактора были перенесены на другое поле, тогда оставшиеся 4 трактора могут вспахать то же поле за 5 дней.Сколько гектаров в день будет обрабатывать один трактор?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Если каждый из тракторов за 6 долларов обрабатывает 120 гектаров в день, и они завершают работу за 4 доллара дней, то все поле будет: 120 $ \ cdot 6 \ cdot 4 = 720 \ cdot 4 = 2880 $ га. Давайте предположим, что каждый из четырех тракторов обрабатывал $ x $ гектаров в день. Таким образом, за 5 дней вспахано
$ 5 \ cdot 4 \ cdot x = 20 \ cdot x $ га, что равняется площади всего поля 2880 га.
Итак, получаем $ 20x = 2880 $
$ x = \ frac {2880} {20} = 144 $. Таким образом, каждый из четырех тракторов будет обрабатывать 144 гектара в день.

Задача 5
Студент выбрал число, умножил его на 2, затем вычел 138 из результата и получил 102. Какое число он выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным им числом, тогда
$ 2 \ cdot x - 138 = 102 $
$ 2x = 240 $
$ x = 120 $

Задача 6
Я выбрал число и разделил его на 5.Затем я вычел из результата 154 и получил 6. Какое число я выбрал?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет выбранным мной числом, тогда
$ \ frac {x} {5} -154 = 6 $
$ \ frac {x} {5} = 160 $ ​​
$ x = 800 $

Задача 7
Расстояние между двумя городами 380 км. В этот же момент легковой автомобиль и грузовик начинают движение навстречу друг другу из разные города. Они встречаются через 4 часа. Если автомобиль движется на 5 км / ч быстрее грузовика, какова их скорость?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Основная идея, используемая в задачах такого типа, заключается в том, что расстояние равно скорости, умноженной на время $ S = V \ cdot t $.
В (км / ч) т (час) S (км)
Автомобиль х + 5 4 4 (х +5)
Грузовик Х 4 4x
4 (x + 5) + 4x = 380
$ 4x + 4x = 380 - 20
$ 8x = 360
$ x = \ frac {360} {8}
$ x = 45
$ Следовательно, скорость грузовика составляет 45 долларов за км / час, а скорость автомобиля - 50 долларов за км / час.

Задача 8
Одна сторона прямоугольника на 3 см короче другой стороны. Если увеличить длину каждой стороны на 1 см, то площадь прямоугольника увеличится на 18 см 2 . Найдите длины всех сторон.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет длиной большей стороны $ x \ gt 3 $, тогда длина другой стороны будет $ x-3 $ см. Тогда площадь S 1 = x (x - 3) см 2 . После увеличения длины сторон они станут $ (x +1) $ и $ (x - 3 + 1) = (x - 2) $ см в длину.2 + x - 2x - 2 $
$ 2x = 20 $
$ x = 10 $. Итак, стороны прямоугольника равны $ 10 $ см и $ (10 - 3) = 7 $ см в длину.

Задача 9
В первый год две коровы дали 8100 литров молока. Второй год их производство увеличилось. на 15% и 10% соответственно, а общее количество молока увеличилось до 9100 литров в год. Сколько литров молока давалось от каждой коровы за год?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x будет количеством молока первой коровы произведен в течение первого года.Затем вторая корова в тот год произвела (8100 - x) литров молока. На второй год каждая корова произвела столько же молока, сколько в первый год плюс прибавка на 15 \% $ или 10 \% $.
Итак, $ 8100 + \ frac {15} {100} \ cdot x + \ frac {10} {100} \ cdot (8100 - x) = 9100 $
Следовательно, $ 8100 + \ frac {3} {20} x + \ frac {1} {10} (8100 - x) = 9100 $
$ \ frac {1} {20} x = 190 $
$ x = 3800 $
Следовательно, коровы дали 3800 и 4300 литров молока в первый год и 4370 долларов и 4730 долларов за литр молока во второй год, соответственно.

Проблема 10
расстояние между станциями A и B - 148 км. Экспресс отправился со станции A в сторону станции B со скоростью 80 км / ч. В то же В это время товарный поезд покинул станцию ​​B в сторону станции A со скоростью 36 км / час. Они встретились на станции C в 12 часов, и к тому времени экспресс остановился на промежуточной станции на 10 мин, а грузовой поезд остановился на 5 мин. Находим:
a) Расстояние между станциями C и B.
b) Время, когда грузовой поезд покинул станцию ​​B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение
a) Пусть x будет расстоянием между станции B и C. Тогда расстояние от станции C до станции A составляет $ (148 - x) $ км. К моменту встречи на станции C экспресс ехал $ \ frac {148-x} {80} + \ frac {10} {60} $ часов, а грузовой поезд ехал $ \ frac {x} {36} + \ frac {5} {60} $ часов . Поезда ушли одновременно, так что: $ \ frac {148 - x} {80} + \ frac {1} {6} = \ frac {x} {36} + \ frac {1} {12} $. Общий знаменатель чисел 6, 12, 36, 80 равен 720.Тогда
$ 9 (148 - x) +120 = 20x + 60 $
$ 1332 - 9x + 120 = 20x + 60 $
$ 29x = 1392 $
$ x = 48 $. Следовательно, расстояние между станциями B и C составляет 48 км.
б) К моменту встречи на станции С фрахт поезд ехал $ \ frac {48} {36} + \ frac {5} {60} $ часов, то есть 1 доллар в час и 25 долларов в минуту.
Следовательно, он покинул станцию ​​B на отметке $ 12 - (1 + \ frac {25} {60}) = 10 + \ frac {35} {60} $ часов, то есть в 10:35.

Задача 11
Сьюзен едет из города А в город Б.После двух часов езды она заметила, что она преодолела 80 км и подсчитала, что если она двигаясь с той же скоростью, она опаздывала на 15 минут. Так она увеличила скорость на 10 км / ч и прибыла в город B на 36 минут раньше чем она планировала.
Найдите расстояние между городами A и B.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет расстоянием между точками A и B. Поскольку Сьюзен преодолела 80 км за 2 часа, ее скорость составила $ V = \ frac {80} {2} = 40 $ км / час.
Если бы она продолжила движение с той же скоростью, то опоздала бы на 15 $ минут, т.е. запланированное время в пути составляет $ \ frac {x} {40} - \ frac {15} {60} $ hr. Остальное расстояние $ (x - 80) $ км. $ V = 40 + 10 = 50 $ км / час.
Итак, она преодолела расстояние между A и B за $ 2 + \ frac {x - 80} {50} $ hr, и это оказалось на 36 минут меньше, чем планировалось. Таким образом, запланированное время было $ 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $.
Когда мы выравниваем выражения для запланированного времени, мы получаем уравнение:
$ \ frac {x} {40} - \ frac {15} {60} = 2 + \ frac {x -80} {50} + \ frac {36} {60} $
$ \ frac {x - 10} {40} = \ frac {100 + x - 80 + 30} {50} $
$ \ frac {x - 10} {4} = \ frac {x +50} {5} $
$ 5x - 50 = 4x + 200 $
$ x = 250 $
Итак, расстояние между городами A и B составляет 250 км.

Задача 12
Чтобы доставить заказ вовремя, компания должна производить 25 деталей в день. После изготовления 25 частей в день по 3 дней компания начала производить на 5 деталей больше в день, а к последнему дню работы было произведено на 100 деталей больше, чем планировалось. Узнайте, сколько деталей изготовила компания и сколько дней это заняло.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней, в течение которых компания проработала. Тогда 25x - это количество деталей, которые они планировали сделать.При новом уровне добычи они сделано:
$ 3 \ cdot 25 + (x - 3) \ cdot 30 = 75 + 30 (x - 3)
$ Следовательно: 25 $ x = 75 + 30 (x -3) - 100 $
$ 25x = 75 + 30x -90 - 100 $
$ 190 -75 = 30x -25 $
$ 115 = 5x $
$ x = 23 $
Итак, компания проработала 23 дня и заработала 23 $ \ cdot 25 + 100 = 675 $ штук.

Задача 13
В седьмом классе 24 ученика. Решили посадить на заднем дворе школы березы и розы. Пока каждая девочка посадила по 3 роз, каждые три мальчика посадили по 1 берёзе.К концу дня они посадили растения за 24 доллара. Сколько берез и роз было посажено?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством роз. Тогда количество берез составляет 24 $ - x $, а количество мальчиков - $ 3 \ times (24-x) $. Если каждая девочка посадила 3 роз, в классе $ \ frac {x} {3} $ девочек.
Мы знаем, что в классе 24 ученика. Следовательно, $ \ frac {x} {3} + 3 (24 - x) = 24 $
$ x + 9 (24 - x) = 3 \ cdot 24 $
$ x +216 - 9x = 72 $
$ 216 - 72 = 8x $
$ \ frac {144} {8} = x 9000 $ 9 $ x = 18 9000 $ 9 Итак, ученики посадили 18 роз и 24 - x = 24 - 18 = 6 берез.

Задача 14
Автомобиль выехал из города A в сторону города B, двигаясь со скоростью V = 32 км / час. После 3 часов в пути водитель остановился на 15 минут в городе C. на закрытой дороге ему пришлось изменить маршрут, увеличив поездку на 28 км. Он увеличил скорость до V = 40 км / час, но все равно опоздал на 30 минут. Находим:
а) Расстояние, которое преодолела машина.
б) Время, которое потребовалось, чтобы добраться от пункта C до пункта B.
Щелкните, чтобы увидеть решение

Решение:
Из постановки задачи мы не знаем, была ли 15-минутная остановка в городе C запланирована или она была запланирована. непредвиденный.Итак, мы должны рассмотреть оба случая.

A
Остановка была запланирована. Рассмотрим только поездку из C в B, и пусть $ x $ будет количеством часов, в течение которых водитель потратил на эту поездку.
Тогда расстояние от C до B равно $ S = 40 \ cdot x $ км. Если бы водитель мог использовать первоначальный маршрут, ему потребовалось бы $ x - \ frac {30} {60} = x - \ frac {1} {2} $ часов, чтобы проехать от C до B. Расстояние от C до B. согласно первоначальному маршруту $ (x - \ frac {1} {2}) \ cdot 32 $ км, и это расстояние на $ 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $ км.Тогда у нас есть уравнение
$ (x - 1/2) \ cdot 32 + 28 = 40x $
$ 32x -16 +28 = 40x $
$ -8x = -12 $
$ 8x = 12 $.
$ x = \ frac {12} {8} $
$ x = 1 \ frac {4} {8} = 1 \ frac {1} {2} = 1 \ frac {30} {60} = 1 час. 30 минут.
Итак, автомобиль преодолел расстояние от C до B за 1 час 30 минут.
Расстояние от A до B составляет $ 3 \ cdot 32 + \ frac {12} {8} \ cdot 40 = 96 + 60 = 156 $ км.

B
Предположим, ему потребовалось $ x $ часов чтобы добраться из C в B. Тогда расстояние $ S = 40 \ cdot x $ км.
Водитель не планировал остановку на C. Допустим, он остановился, потому что ему пришлось изменить маршрут.
Потребовалось $ x - \ frac {30} {60} + \ frac {15} {60} = x - \ frac {15} {60} = x - \ frac {1} {4} $ h, чтобы проехать от С к Б. расстояние от C до B составляет 32 (x - \ frac {1} {4}) $ км, что на 28 $ км короче, чем $ 40 \ cdot x $, то есть
$ 32 (x - \ frac {1} {4}) + 28 = 40x $
$ 32x - 8 +28 = 40x $
$ 20 = 8x $
$ x = \ frac {20} {8} = \ frac {5} {2} = 2 \ text {hr} 30 \ text {min}. $
Пройденное расстояние равно $ 40 \ умноженное на 2.5 = 110 км $.

Задача 15
Если фермер хочет вовремя вспахивать сельскохозяйственное поле, он должен вспахивать 120 гектаров в день. По техническим причинам он пахал всего 85 гектаров в день, следовательно, ему пришлось пахать на 2 дня больше, чем планировалось, и он осталось еще 40 га. Какова площадь фермерского поля и сколько дней фермер изначально планировал работать?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством дней в первоначальном плане.Таким образом, все поле составляет 120 $ \ cdot x $ га. Фермеру приходилось работать x + 2 доллара в день, и он вспахали 85 долларов (x + 2) гектаров, оставив 40 гектаров невыпаханными. Тогда у нас есть уравнение:
$ 120x = 85 (x + 2) + 40 $
$ 35x = 210 $
$ x = 6 $.
Таким образом, фермер планировал завершить работу за 6 дней, а площадь фермерского поля составляет 120 $ \ cdot 6 = 720 $ га.

Задача 16
Столяр обычно делает определенное количество запчасти за 24 дня. Но он смог увеличить свою производительность на 5 деталей в день, и поэтому он не только закончил работу всего за 22 дня, но и сделал 80 дополнительных деталей.Сколько частей плотник обычно делает в день, а сколько штук он делает за 24 дня?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет количеством деталей, которые плотник обычно изготавливает ежедневно. За 24 дня он заработал $ 24 \ cdot x $ штук. Его новая дневная норма производства составляет x + 5 долларов за штуку и в $ 22 $ дней он сделал $ 22 \ cdot (x + 5) $ деталей. Это на 80 больше, чем $ 24 \ cdot x $. Следовательно уравнение:
$ 24 \ cdot x + 80 = 22 (x +5) $
$ 30 = 2x $
$ x = 15 $
Обычно он делает 15 частей в день, а за 24 дня он зарабатывает 15 $ \ cdot 24 = 360 $ частей.

Задача 17
Байкер преодолел половину расстояния между двумя городами за 2 часа 30 минут. После этого он увеличил скорость на 2 км / час. Вторую половину дистанции он преодолел за 2 часа 20 минут. Найдите расстояние между двумя городами и начальная скорость байкера.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть x км / ч будет начальной скоростью байкером, то его скорость во второй части поездки составляет x + 2 км / час. Половина расстояния между двумя городами равна $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x $ км и $ 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ км.Из уравнения: $ 2 \ frac {30} {60} \ cdot x = 2 \ frac {20} {60} \ cdot (x + 2) $ получаем $ x = 28 $ км / час.
Начальная скорость байкера 28 км / ч.
Половина расстояния между двумя городами составляет
$ 2 ч 30 мин \ умножить на 28 = 2,5 \ умножить на 28 = 70 $.
Таким образом, расстояние равно 2 \ умножить на 70 = 140 $ км.

Задача 18
Поезд преодолел половину расстояния между станциями A и B со скоростью 48 км / час, но затем ему пришлось остановиться на 15 мин. Составить из-за задержки он увеличил свою скорость на $ \ frac {5} {3} $ м / сек и прибыл на станцию ​​B вовремя.Найдите расстояние между двумя станциями и скорость поезда после остановки.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Для начала определим скорость поезда после остановки. Скорость было увеличено на $ \ frac {5} {3} $ м / сек $ = \ frac {5 \ cdot 60 \ cdot 60} {\ frac {3} {1000}} $ км / час = $ 6 $ км / час. Следовательно новая скорость 48 $ + 6 = 54 $ км / час. Если на покрытие первого половины расстояния, то на преодоление расстояния требуется $ x - \ frac {15} {60} = x - 0,25 $ ч. вторая часть.
Итак, уравнение: $ 48 \ cdot x = 54 \ cdot (x - 0,25) $
$ 48 \ cdot x = 54 \ cdot x - 54 \ cdot 0,25 $
$ 48 \ cdot x - 54 \ cdot x = - 13,5 $
$ -6x = - 13,5 $
$ x = 2,25 $ ч.
Все расстояние
$ 2 \ умножить на 48 \ умножить на 2,25 = 216 $ км.

Задача 19
Элизабет может выполнить определенную работу за 15 дней, а Тони - только 75%. эта работа в одно и то же время. Тони работал один в течение нескольких дней, а затем к нему присоединилась Элизабет, так что они закончили остаток работы. работа за 6 дней, работаем вместе.
Сколько дней проработал каждый из них и какой процент работы каждый из них выполнил?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала мы определим дневную производительность каждого рабочего. Если мы рассмотрим всю работу как единицу (1), Элизабет выполняет $ \ frac {1} {15} $ работы в день, а Тони выполняет 75 \% $ из $ \ frac {1} {15} $, т.е.
$ \ frac { 75} {100} \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {1} {20} $. Предположим, что Тони работал один за $ x $ дней. Затем он в одиночку выполнил $ \ frac {x} {20} $ всей работы.За работой вместе в течение 6 дней двое рабочих закончили $ 6 \ cdot (\ frac {1} {15} + \ frac {1} {20}) = 6 \ cdot \ frac {7} {60} = \ frac {7} { 10} $ работы.
Сумма $ \ frac {x} {20} $ и $ \ frac {7} {10} $ дает нам всю работу, т.е. $ 1 $. Таким образом, мы получаем уравнение:
$ \ frac {x} {20} + \ frac {7} {10} = 1 $
$ \ frac {x} {20} = \ frac {3} {10} $
$. х = 6 $. Тони проработал 6 + 6 = 12 дней и Элизабет работала за 6 долларов в день. Часть работы сделана это $ 12 \ cdot \ frac {1} {20} = \ frac {60} {100} = 60 \% $ для Тони и $ 6 \ cdot \ frac {1} {15} = \ frac {40} {100} = 40 \% $ для Элизабет.

Задача 20
Фермер планировал вспахать поле, выполнив 120 га в сутки. После двух дней работы он увеличил свою дневную производительность на 25% и закончил работу на два дня раньше срока.
а) Какова площадь поля?
б) За сколько дней фермер выполнил свою работу?
c) Через сколько дней фермер планировал выполнить работу?
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Прежде всего мы найдем новую суточную производительность фермер в гектарах в сутки: 25% от 120 гектаров $ \ frac {25} {100} \ cdot 120 = 30 $ га, поэтому 120 $ + 30 = 150 $ га новая ежедневная продуктивность.Пусть x будет запланированным количеством дней, отведенных на работу. Тогда хозяйство будет 120 \ cdot x $ га. На с другой стороны, мы получим ту же площадь, если добавим 120 $ \ cdot 2 $ гектаров к 150 $ (х -4) $ га. Тогда мы получаем уравнение
$ 120x = 120 \ cdot 2 + 150 (x -4) $
$ x = 12 $
Итак, изначально работа должна была занять 12 дней, но на самом деле поле было вспахано за 12-2. = 10 дней. Площадь поля 120 $ \ cdot 12 = 1440 $ га.

Задача 21
Чтобы покосить травяное поле, бригада косилок планировала обрабатывать 15 гектаров в день.Через 4 рабочих дня они увеличили дневную производительность на $ 33 \ times \ frac {1} {3} \% $ и закончил работу на 1 день раньше запланированного срока.
А) Какова площадь травяного поля?
B) Сколько дней понадобилось, чтобы косить все поле?
C) Сколько дней изначально было запланировано для этой работы?
Подсказка : Взгляните на проблему 20 и решите ее сами.
Ответ: А) 120 га; Б) 7 дней; В) 8 дней.

Задача 22
Поезд идет от станции A до станции B.Если поезд отправляется со станции А со скоростью 75 км / час, прибывает на станцию ​​B на 48 минут раньше запланированного. Если бы он двигался со скоростью 50 км / час, то к запланированному времени прибытия бы осталось еще 40 км до станции B. Найти:
A) Расстояние между двумя станциями;
B) Время, за которое поезд следует из пункта А в пункт Б по расписанию;
C) Скорость поезда по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть $ x $ будет запланированным временем поездки из пункта А в пункт Б.Тогда расстояние между A и B можно найти двумя способами. С одной стороны, это расстояние составляет $ 75 (x - \ frac {48} {60}) $ км. С другой стороны, это 50 $ + 40 $ км. Таким образом, мы получаем уравнение:
$ 75 (x - \ frac {48} {60}) = 50x + 40 $
$ x = 4 $ час - это запланированное время в пути. В расстояние между двумя станциями 50 $ \ cdot 4 + 40 = 240 $ км. Тогда скорость, которую поезд должен поддерживать, чтобы идти по расписанию, составляет $ \ frac {240} {4} = 60 $ км / час.

Задача 23
Расстояние между городами A и B составляет 300 км.Один поезд отправляется из города А, а другой - из города. город B, оба уезжают в один и тот же момент времени и направляются друг к другу. Мы знаем, что один из них на 10 км / час быстрее другого. Находить скорости обоих поездов, если через 2 часа после отправления расстояние между ними составляет 40 км.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Пусть скорость более медленного поезда будет $ x $ км / час. Тогда скорость более быстрый поезд стоит (x + 10) $ км / час. За 2 часа они преодолевают 2x $ км и 2 (x +10) $ км соответственно.Поэтому, если они еще не встретились, весь расстояние от A до B составляет $ 2x + 2 (x +10) +40 = 4x + 60 $ км. Однако если они уже встретились и продолжили движение, расстояние будет $ 2x + 2 (x + 10) - 40 = 4x - 20 $ км. Таким образом, мы получаем следующие уравнения:
$ 4x + 60 = 300 $
$ 4x = 240 $
$ x = 60 $ или
$ 4x - 20 = 300 $
$ 4x = 320 $
$ x = 80 $
Отсюда скорость более медленного поезда составляет 60 долларов США км / час или 80 долларов США км / час, а скорость более быстрый поезд стоит 70 долларов за км / час или 90 долларов за км / час.

Задача 24
Автобус едет из города А в город Б.Если скорость автобуса составляет 50 км / час, он прибудет в город B на 42 минуты позже запланированного срока. Если автобус увеличивается его скорость составляет $ \ frac {50} {9} $ м / сек, он прибудет в город B на 30 минут раньше запланированного срока. Находим:
A) Расстояние между двумя городами;
B) Планируемое время прибытия автобуса в B;
C) Скорость автобуса по расписанию.
Нажмите, чтобы увидеть решение

Решение:
Сначала определим скорость автобуса после ее увеличения. Скорость увеличено на $ \ frac {50} {9} $ м / сек $ = \ frac {50 \ cdot60 \ cdot60} {\ frac {9} {1000}} $ км / час $ = 20 $ км / час.Следовательно, новая скорость составляет $ V = 50 + 20 = 70 $ км / час. Если $ x $ - количество часов по расписанию, то со скоростью 50 км / ч автобус едет из пункта A в пункт B за $ (x + \ frac {42} {60}) $ час. Когда скорость автобуса составляет $ V = 70 $ км / час, время в пути составляет $ x - \ frac {30} {60} $ час. потом
$ 50 (x + \ frac {42} {60}) = 70 (x- \ frac {30} {60}) $
$ 5 (x + \ frac {7} {10}) = 7 (x- \ frac { 1} {2}) $
$ \ frac {7} {2} + \ frac {7} {2} = 7x -5x $
$ 2x = 7 $
$ x = \ frac {7} {2} $ час.
Итак, автобус должен сделать поездку за 3 доллара за час 30 долларов за минуту.
Расстояние между двумя городами составляет 70 долларов США (\ frac {7} {2} - \ frac {1} {2}) = 70 \ cdot 3 = 210 $ км, а запланированная скорость составляет $ \ frac {210} {\ гидроразрыв {7} {2}} = 60 $ км / час.

Математические задачи с решениями

Задачи

  1. Самолет летит против ветра из пункта А в пункт Б за 8 часов. Тот же самолет возвращается из B в A в том же направлении, что и ветер, через 7 часов. Найдите отношение скорости самолета (в неподвижном воздухе) к скорости ветра.
  2. Найдите область между двумя концентрическими кругами, определяемую
    x 2 + y 2 -2x + 4y + 1 = 0
    x 2 + y 2 -2x + 4y - 11 = 0
  3. Найдите все значения параметра m (действительное число) так, чтобы уравнение 2x 2 - m x + m = 0 не имело реальных решений.
  4. Сумма целого числа N и его обратной величины равна 78/15. Какое значение N?
  5. m и n - целые числа, так что 4 m /125 = 5 n /64. Найдите значения для m и n.
  6. Упростить: 3 n + 4001 + 3 n + 4001 + 3 n + 4001
  7. P - многочлен такой, что P (x 2 + 1) = - 2 x 4 + 5 x 2 + 6. Найдите P (- x 2 + 3)
  8. При каких значениях r прямая x + y = r касалась бы окружности x 2 + y 2 = 4?

Решения вышеуказанных проблем


  1. Пусть x = скорость самолета в неподвижном воздухе, y = скорость ветра и D расстояние между A и B.Найдите отношение x / y
    Против ветра: D = 8 (x - y), с ветром: D = 7 (x + y)
    8x - 8y = 7x + 7y, следовательно, x / y = 15

  2. Перепишите уравнения окружностей в стандартной форме. Следовательно, уравнение x 2 + y 2 -2x + 4y + 1 = 0 может быть записано как
    (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 = 2 2
    и уравнение x 2 + y 2 -2x + 4y - 11 = 0 как
    (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 16 = 4 2
    Зная радиусы, площадь кольца равна π (4) 2 - π (2) 2 = 12 π

  3. Данное уравнение является квадратным уравнением и не имеет решений, если его дискриминант D меньше нуля.
    D = (-м) 2 -4 (2) (м) = м 2 -8 м
    Мы решаем неравенство m 2 -8 m <0
    Множество решений указанного неравенства: (0, 8)
    Любое значение m в интервале (0, 8) делает дискриминант D отрицательным, и поэтому уравнение не имеет реальных решений.

  4. Запишите уравнение в N следующим образом
    N + 1 / N = 78/15
    Умножьте все члены на N, получите квадратное уравнение и решите, чтобы получить N = 5.

  5. 4 m /125 = 5 n /64

    Перекрестное умножение: 64 4 m = 125 5 n
    Обратите внимание, что 64 = 4 3 и 125 = 5 3
    Приведенное выше уравнение может можно записать как: 4 m + 3 = 5 n + 3
    Единственные значения показателей, которые делают два экспоненциальных выражения равными: m + 3 = 0 и n + 3 = 0, что дает m = - 3 и n = - 3.


  6. 3 n + 4001 + 3 n + 4001 + 3 n + 4001 = 3 (3 n + 4001 ) = 3 n + 4002

  7. P (x 2 + 1) = - 2 x 4 + 5 x 2 + 6
    Пусть t = x 2 + 1, что также дает x 2 = t - 1
    Заменим x 2 на t - 1 в P, чтобы получить: P (t) = - 2 (t - 1) 2 + 5 (t - 1) + 6 = -2 t 2 + 9t - 1
    Теперь пусть t = - x 2 + 3 и подставим в P (t) выше, чтобы получить
    P (- x 2 + 3) = -2 (- x 2 + 3) 2 + 9 (- x 2 + 3) - 1 = -2 x 4 + 3 x 2 + 8

  8. Решите x + y = r относительно y: y = r - x
    Подставить в уравнение круга:
    х 2 + (г - х) 2 = 4
    Развернуть: 2 x 2 -2 r x + r 2 -4 = 0
    Если мы решим вышеупомянутое квадратное уравнение (по x), мы получим координаты x точек пересечения прямой и окружности.Две точки пересечения «становятся одной», и, следовательно, прямая и окружность становятся касательными, если дискриминант D квадратного уравнения равен нулю. Следовательно
    D = (-2r) 2 -4 (2) (r 2 -4) = 4 (8 - r 2 ) = 0
    Решите относительно r, чтобы получить: r = 2 √2 и r = - 2√2

Задачи со словами - Полный курс алгебры

10

Примеры

Проблемы

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ требует практики в переводе словесного языка на алгебраический язык.См. Урок 1, Задача 8. Тем не менее, проблемы со словами делятся на разные типы. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1. ax ± b = c . Все проблемы, подобные следующей, в конечном итоге приводят к уравнению в такой простой форме.

Джейн потратила 42 доллара на обувь. Это было на 14 долларов меньше, чем вдвое, чем она потратила на блузку. Сколько была кофточка?

Решение. У каждой проблемы со словом неизвестный номер.В этой проблеме цена кофточки. Всегда позволяйте x представлять неизвестное число. То есть пусть на вопрос ответит x .

Пусть тогда x будет тем, сколько она потратила на блузку. В задаче говорится, что «Это», то есть 42 доллара, было на 14 долларов меньше, чем в два раза больше, чем x .

Вот уравнение:

2 x -14 = 42.
2 x = 42 + 14 (Урок 9)
= 56.
x = 56
2
= 28.

Блузка стоила 28 долларов.

Пример 2. Всего в классе b мальчиков. Это в три раза больше, чем в четыре раза девушек. Сколько девочек в классе?

Решение. Опять же, пусть x представляет неизвестное число, которое вас просят найти: Пусть x будет количеством девушек.

(Хотя b неизвестно - это произвольная константа - это не то, что вас просят найти.)

В задаче указано, что «Это» - b - на три больше, чем в четыре раза x :

4 x + 3 = б .
Следовательно,
4 x = б - 3
x = б - 3
4
.

Решение здесь не число, потому что оно будет зависеть от значения b . Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.

Пример 3. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа?

Решение. В этой задаче нам предлагается найти два числа.Следовательно, мы должны сделать x одним из них. Пусть тогда x будет первым числом.

Нам говорят, что другое число - еще 12, x + 12.

В задаче указано, что их сумма равна 84:

= 84

Линия над x + 12 - это символ группировки, который называется vinculum . Это избавляет нас от написания скобок.

У нас:

2 x = 84–12
= 72.
x = 72
2
= 36.

Это первый номер. Следовательно, другой номер -

.

х + 12 = 36 + 12 = 48.

Сумма 36 + 48 дает 84.

Пример 4.Сумма двух последовательных чисел составляет 37. Какие они?

Решение . Два последовательных числа равны 8 и 9 или 51 и 52.

Пусть тогда x будет первым числом. Тогда число после него будет x + 1.

В задаче указано, что их сумма равна 37:

= 37

2 x = 37 - 1
= 36.
x = 36
2
= 18.

Два числа - 18 и 19.

Пример 5. Одно число на 10 больше другого. Сумма, состоящая из удвоенного меньшего и трехкратного большего, равна 55.Какие два числа?

Решение. Пусть x будет меньшим числом.

Тогда большее число на 10 больше: x + 10.

Состояние проблемы:

.
2 x + 3 ( x + 10) = 55.
Это означает
2 x + 3 x + 30 = 55.Урок 14.
5 x = 55 - 30 = 25.
x = 5.

Это меньшее число. Чем больше число, тем больше на 10: 15.

Пример 6. Разделите 80 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было вдвое больше, чем у первого, а у третьего было на 5 долларов меньше, чем у второго.

Решение . Опять же, нас просят найти более одного числа. Мы должны начать с того, что допустим, что x будет тем, сколько получит первый человек.

Затем второй получает вдвое больше, 2 x .

А третий получает на 5 долларов меньше, 2 x - 5.

Их сумма 80 $:

5 x = 80 + 5
x = 85
5
= 17.

Вот сколько получает первый человек. Следовательно, второй получает

2 x = 34.
А третий получает
2 x - 5 = 29.

Сумма 17, 34 и 29 фактически равна 80.

Пример 7.Нечетные числа. Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 52. Какие два нечетных числа?

Решение . Во-первых, четное число кратно 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. В алгебре принято представлять четное число как 2 n , где, вызывая переменную « n », понимается, что n будет принимать целочисленные значения: n = 0, 1, 2 , 3, 4 и т. Д.

Нечетное число на 1 больше (или на 1 меньше) четного.Итак, мы представляем нечетное число как 2 n + 1.

Пусть 2 n + 1 будет первым нечетным числом. Далее будет еще 2 - это будет 2 n + 3. Задача утверждает, что их сумма 52:

2 n + 1 + 2 n + 3 = 52.

Теперь мы решим это уравнение для n , а затем заменим решение в 2 n + 1, чтобы найти первое нечетное число.Нас:

4 n + 4 = 52
4 n = 48
n = 12.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 12 + 1 = 25.Итак, следующее 27. Их сумма 52.

Проблемы

Задача 1. У Джули 50 долларов, что на восемь долларов больше, чем у Джона. Сколько у Джона? (Сравните Пример 1.)

Во-первых, что вы позволите изображать x ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Неизвестный номер - сколько у Джона.

Что такое уравнение?

2 х + 8 = 50.

Вот решение:

x = 21

долларов США

Проблема 2. Карлотта потратила на рынке 35 долларов. Это было на семь долларов меньше, чем в три раза больше, чем она потратила в книжном магазине; сколько она там потратила?

Вот уравнение.

3 x - 7 = 35

Вот решение:

x = 14

долларов США

Проблема 3.Есть b черных шариков. Это на четыре больше, чем в два раза больше красных шариков. Сколько там красных шариков? (Сравните Пример 2.)

Вот уравнение.

2 x + 4 = b

Вот решение:

Проблема 4. Джанет потратила 100 долларов на книги. Это было на тыс. доллара меньше, чем в пять раз больше, чем она потратила на обед.Сколько она потратила на обед?

Вот уравнение.

5 x - к = 100

Вот решение:

Задача 5. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 99, и одно из них на 17 больше другого. Какие два числа? (Сравните Пример 3.)

Вот уравнение.

Вот решение:

Задача 6. Класс из 50 учеников делится на две группы; в одной группе на восемь меньше, чем в другой; сколько в каждой группе?

Вот уравнение.

Вот решение:

Проблема 7.Сумма двух чисел равна 72, и одно из них в пять раз больше другого; какие два числа?

Вот уравнение.

х + 5 х = 72.

Вот решение:

x = 12,5 x = 60,

Задача 8. Сумма трех последовательных чисел равна 87; кто они такие? (Сравните Пример 4.)

Вот уравнение.

Вот решение:

28, 29, 30.

Задача 9. Группа из 266 человек состоит из мужчин, женщин и детей. Мужчин в четыре раза больше, чем детей, а женщин в два раза больше, чем детей. Сколько их там?

(Чему вы приравняете x - количеству мужчин, женщин или детей?)

Пусть x = Количество детей.Тогда
4 x = Количество мужчин. И
2 x = Количество женщин.
Вот уравнение:

x + 4 x + 2 x = 266

Вот решение:

х = 38.4 x = 152. 2 x = 76.

Задача 10. Разделите 79 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было в три раза больше, чем у первого, а у третьего было на два доллара больше, чем у второго. (Сравните Пример 6.)

Вот уравнение.

Вот решение:

11, 33, 35 долларов.

Задача 11. Разделите 15,20 доллара между тремя людьми так, чтобы у второго было на доллар больше, чем у первого, а у третьего - на 2,70 доллара больше, чем у второго.

Вот уравнение.

Вот решение:

3,50 доллара США, 4,50 доллара США, 7,20 доллара США.

Задача 12. Два последовательных нечетных числа таковы, что три раза первое будет на 5 больше, чем в два раза больше второго.Что это за два нечетных числа?

(см. Пример 7, где мы представляем нечетное число как 2 n + 1.)

Решение . Пусть первое нечетное число будет 2 n + 1.

Тогда следующий 2 n + 3 - потому что будет еще 2.

Задача состоит в следующем:

3 (2 n + 1) = 2 (2 n + 3) + 5.
Это означает:
6 n + 3 = 4 n + 6 + 5.
2 n = 8.
n = 4.

Следовательно, первое нечетное число - 2 · 4 + 1 = 9. Следующее - 11.

И это верное решение, потому что в соответствии с проблемой:

3 · 9 = 2 · 11 + 5.

Следующий урок: Неравенство

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Устранение неравенств - объяснения и примеры

Что такое неравенство в математике?

Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу. По сути, неравенство сравнивает любые два значения и показывает, что одно значение меньше, больше или равно значению на другой стороне уравнения.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Символы неравенства

Эти символы неравенства: меньше ( <), больше (> ), меньше или равно (), больше или равно () и символ неравенства () .

Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Операции с неравенствами

Операции с линейными неравенствами включают сложение, вычитание, умножение и деление.Общие правила этих операций показаны ниже.

Хотя мы использовали символ <для иллюстрации, следует отметить, что те же правила применяются к>, ≤ и ≥.

  • Символ неравенства не меняется при добавлении одного и того же числа к обеим сторонам неравенства. Например, если a
  • Вычитание обеих частей неравенства на одно и то же число не меняет знака неравенства. Например, если a
  • Умножение обеих частей неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Например, если a
  • Разделение обеих сторон неравенства на положительное число не меняет знака неравенства. Если a
  • Умножение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например, если a b *
  • Аналогичным образом, разделение обеих сторон уравнения неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.Если a b / c

Как решить неравенства?

Подобно линейным уравнениям, неравенства можно решить, применяя аналогичные правила и шаги, за некоторыми исключениями. Единственная разница при решении линейных уравнений - это операция умножения или деления на отрицательное число. Умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет символ неравенства.

Линейные неравенства могут быть решены с помощью следующих операций:

  • Сложение
  • Вычитание
  • Умножение
  • Деление
  • Распределение собственности

Решение линейных неравенств с помощью сложения Давайте разберемся с примерами

ниже это понятие.

Пример 1

Решите 3x - 5 ≤ 3 - x.

Решение

Начнем с добавления обеих сторон неравенства на 5

3x - 5 + 5 ≤ 3 + 5 - x

3x ≤ 8 - x

Затем сложим обе стороны на x.

3x + x ≤ 8 - x + x

4x ≤ 8

Наконец, разделите обе части неравенства на 4, чтобы получить;

x ≤ 2

Пример 2

Вычислите диапазон значений y, который удовлетворяет неравенству: y - 4 <2y + 5.

Решение

Сложите обе части неравенства на 4.

y - 4 + 4 <2y + 5 + 4

y <2y + 9

Вычтите обе части на 2y.

y - 2y <2y - 2y + 9

Y <9 Умножьте обе части неравенства на -1 и измените направление символа неравенства. y> - 9

Решение линейных неравенств с вычитанием

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите x + 8> 5.

Решение

Изолируйте переменную x, вычтя 8 из обеих сторон неравенства.

x + 8-8> 5-8 => x> −3

Следовательно, x> −3.

Пример 4

Решите 5x + 10> 3x + 24.

Решение

Вычтите 10 из обеих сторон неравенства.

5x + 10-10> 3x + 24-10

5x> 3x + 14.

Теперь вычтем обе части неравенства на 3x.

5x - 3x> 3x - 3x + 14

2x> 14

x> 7

Решение линейных неравенств с умножением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 5

Решить x / 4> 5

Решение:

Умножить обе стороны неравенства на знаменатель дроби

4 (x / 4)> 5 x 4

x> 20

Пример 6

Решите -x / 4 ≥ 10

Решение:

Умножьте обе стороны неравенства на 4.

4 (-x / 4) ≥ 10 x 4

-x ≥ 40

Умножьте обе стороны неравенства на -1 и измените направление символа неравенства на противоположное.

x ≤ - 40

Решение линейных неравенств с делением

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 7

Решите неравенство: 8x - 2> 0.

Решение

Прежде всего, сложите обе стороны неравенства на 2

8x - 2 + 2> 0 + 2

8x> 2

Теперь решите, разделив обе части неравенства на 8, чтобы получить;

x> 2/8

x> 1/4

Пример 8

Решите следующее неравенство:

−5x> 100

Решение

Divide both сторон неравенства на -5 и измените направление символа неравенства

= −5x / -5 <100 / -5

= x <- 20

Решение линейных неравенств с использованием свойства распределения

Давайте посмотрим на несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 9

Решить: 2 (x - 4) ≥ 3x - 5

Решение

2 (x - 4) ≥ 3x - 5

Примените свойство распределения, чтобы удалить скобки.

⟹ 2x - 8 ≥ 3x - 5

Сложить обе стороны на 8.

⟹ 2x - 8 + 8 ≥ 3x - 5 + 8

⟹ 2x ≥ 3x + 3

Вычесть обе стороны на 3.

⟹ 2x - 3x ≥ 3x + 3 - 3x

⟹ -x ≥ 3

⟹ x ≤ - 3

Пример 10

Студент набрал 60 баллов за первый тест и 45 баллов во втором тесте заключительного экзамена.Сколько минимальных баллов должен набрать ученик в третьем тесте, получив в среднем не менее 62 баллов?

Решение

Пусть в третьем тесте будет получено х баллов.

(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
105 + x ≥ 196
x ≥ 93
Таким образом, учащийся должен набрать 93 балла, чтобы поддерживать среднее значение не менее 62 баллов.

Пример 11

Джастину требуется не менее 500 долларов, чтобы провести день рождения.Если он уже накопил 150 долларов, до этой даты осталось 7 месяцев. Какую минимальную сумму он должен откладывать ежемесячно?

Решение

Пусть минимальная ежемесячная экономия = x

150 + 7x ≥ 500

Решить для x

150-150 + 7x ≥ 500-150

x ≥ 50

Следовательно, Джастин должен экономить 50 долларов и более

Пример 12

Найдите два последовательных нечетных числа, которые больше 10 и имеют сумму меньше 40.

Решение

Пусть меньшее нечетное число = x

Следовательно, следующее число будет x + 2

x> 10 ………. больше 10

x + (x + 2) <40 …… сумма меньше 40

Решите уравнения.

2x + 2 <40

x + 1 <20

x <19

Объедините два выражения.

10

Следовательно, последовательные нечетные числа - 11 и 13, 13 и 15, 15 и 17, 17 и 19.

Неравенства и числовая линия

Лучшим инструментом для представления и визуализации чисел является числовая линия. Числовая линия определяется как прямая горизонтальная линия с числами, расположенными на равных отрезках или интервалах. У числовой прямой есть нейтральная точка в середине, известная как начало координат. Справа от начала координат на числовой прямой находятся положительные числа, а слева от начала координат - отрицательные числа.

Линейные уравнения также можно решить графическим методом с использованием числовой прямой.Например, чтобы построить x> 1 на числовой прямой, вы обведите цифру 1 на числовой прямой и проведете линию, идущую от круга в направлении чисел, которые удовлетворяют утверждению о неравенстве.

Пример 13

Если символ неравенства больше или равен или меньше или равен знаку (≥ или ≤), нарисуйте круг над числовым числом и заполните или заштрихуйте круг.Наконец, проведите линию, идущую от заштрихованного круга в направлении чисел, которая удовлетворяет уравнению неравенства.

Пример 14

x ≥ 1

Та же процедура используется для решения уравнений, включающих интервалы.

Пример 15

–2 < x <2

Пример 16

–1 ≤ x

0002

Пример 17

–1 < x ≤ 2

Практические вопросы

Решите следующие неравенства и представьте свой ответ на числовой прямой.

  1. 2x> 9
  2. x + 5> 13
  3. −3x <4
  4. 7x + 11> 2x + 5
  5. 2 (x + 3)
  6. - 5 ≤ 2x - 7 ≤ 1
  7. 4x - 8 ≤ 12

Ответы

  1. x> 9/2
  2. x> 8
  3. x> −4/3
  4. x> −6/5
  5. x <−5.
  6. 1 ≤ x ≤ 4.
  7. x ≤ 5
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

От ЗАКРЫТЫХ математических задач (с одним ответом) к ОТКРЫТЫМ

Что значит изменить математическую задачу с ЗАКРЫТО на ОТКРЫТУЮ? По сути, проблема меняется с одного правильного ответа на несколько.Также я привожу несколько примеров того, как изменить проблемы.

Во-первых, я хочу, чтобы вы посмотрели это короткое видео Джо Булера. Шутки в сторону. Выделите несколько минут. Это недолго, и я думаю, вы будете рады, что сделали это!

Джо упомянул простую задачу - найти периметр прямоугольника, когда указаны его стороны, и преобразовать ее в задачу, в которой учащихся просят дать два разных прямоугольника с заданным периметром.

То есть преобразование задачи из «закрытого» формата или простой задачи производительности в «открытый» формат и тип задачи ОБУЧЕНИЕ / РАЗВИТИЕ.По сути, это означает, что теперь у задачи есть множества возможных ответов вместо одного. И это было очень простое изменение!

(Это также помогает учащимся развить установку на рост.)

Планируя уроки математики, проверьте, можно ли ИЗМЕНИТЬ некоторые из задач, которые вы будете давать своим детям / ученикам, в открытых задачи .

Чаще можно взять задачу из учебника и сделать это. И я не имею в виду, что вам нужно делать это для каждой задачи в книге, но сделайте это для НЕКОТОРЫХ, чтобы ваши дети / ученики имели возможность увидеть , что математика может быть ПРИКЛЮЧЕННОЙ - вы можете быть ЛЮБОПЫТНЫМИ в математический класс - и это даже может быть УДОВОЛЬСТВИЕ! Дело не только в правильных ответах на задачи с расчетами !!

Примеры "открытых" математических задач

  1. Вычислить 25 × 42. (4 класс)

    Изменить на:

    Вычислите 25 × 42 двумя разными способами. Сравните свои пути с путями своего друга.

    Мне просто нужно вмешаться и показать вам, как это можно вычислить. 25 особенный, потому что он равномерно входит в 100. Итак, вместо 25 × 42 я вычисляю в голове 100 × 42 ... это 4200. Настоящий ответ - всего лишь 1/4 от этого. И ... найти 1/4 любого числа НАСТОЛЬКО просто, все, что вам нужно сделать, это разделить его вдвое и снова вдвое.Итак, 1/2 от 4200 - это 2100, а 1/2 от этого числа - 1050. Вот и ответ, и это самый быстрый из известных мне способов найти его. Но есть и другие способы! Идея здесь НЕ в том, чтобы соревноваться с самым быстрым способом расчета, а в том, чтобы найти несколько разных способов и позволить ученикам / детям сравнить методы.

  2. Найдите 3 + 4 и 5 + 4 и 3 + 7 и 1 + 6 и т. Д. И т. Д. (1-й класс)

    Изменить на:

    Найдите способ сделать 7 из двух чисел.Также запишите их по шаблону!

    Конечно, я использую это в Math Mammoth (см. «Суммы с 9 » и аналогичные уроки в материалах 1-го класса).

    РАСШИРЕНИЕ. Дети могут написать образец одним из способов:

    0 + 7
    1 + 6
    2 + 5
    3 + 4
    4 + 3
    5 + 2
    6 + 1
    7 + 0

    Затем вы могли бы спросить, могут ли они по-прежнему продолжить свою модель.)

    0 + 7
    1 + 6
    2 + 5
    3 + 4
    4 + 3
    5 + 2
    6 + 1
    7 + 0
    8 + (-1)
    9 + (-2)
    ...

  3. Найдите объем прямоугольной призмы высотой 2,1 м, глубиной 4,5 м и шириной 3,8 м. (6 класс).

    Изменить на:

    Составьте задачу со словом, в которой нужно вычислить объем прямоугольной призмы, чтобы ее решить.(Одна из идей - использовать, например, пул.)

    Я уверен, что студенты придумают множество задач со словами! А теперь продолжение: что делать, если пол в бассейне постепенно наклоняется? Как вам тогда объем ????


  4. Найди 5 -2 (8 класс)

    Опять же, я чувствую, что создание выкройки - это лучший способ.

    Изменить на:

    Напишите образец, используя положительные, нулевые и отрицательные показатели степени, используя выбранную основу.Попробуйте разные виды баз! (целое число, ноль, один, отрицательное число, дробное основание ...)

    Я уже писал об отрицательных показателях с паттерном раньше, поэтому я просто отсылаю вас к этой странице.


См. Также

Решение проблем: открытие проблем
Эта статья дает отличный пример создания МНОГИХ открытых задач из закрытой задачи « Сколько 5 пенсов необходимо для получения 45 пенсов? », с точки зрения того, что известно (предоставлена ​​информация), что неизвестно (что нужно найти out) и какие ограничения накладываются на его решения.


Мария Миллер

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. У него будет знак равенства "=", например:

.

Это уравнение говорит: то, что слева (x - 2) равно тому, что справа (4)

Таким образом, уравнение похоже на оператор ", это равно , что "

Что такое решение?

Решение - это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .


Пример: x - 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

6–2 = 4

, что соответствует действительности

Итак, x = 6 - решение.

Как насчет других значений x?

  • Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
  • Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что неверно , поэтому x = 9 не является решением .
  • и т. Д.

В этом случае x = 6 - единственное решение.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Более одного решения

Может быть более одного решения .

Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

Когда x равно 3, получаем:

(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

, что соответствует действительности

И когда x равно 2, получаем:

(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также является истинным

Итак, решения:

x = 3 или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

Пример:

sin (−θ) = −sin (θ) является одним из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30 °:

sin (-30 °) = -0.5 и

−sin (30 °) = −0,5

Значит, истинно для θ = 30 °

Попробуем θ = 90 °:

sin (-90 °) = -1 и

−sin (90 °) = −1

Так же истинно для θ = 90 °

Верны ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

Как решить уравнение

Не существует "единого идеального способа" решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель - получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас x = что-то ,

и короткий расчет показывает, что x = 5

Как пазл

На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки.И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решить √ (x / 2) = 3

Начать с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с обеих сторон: x / 2 = 3 2

Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9

Умножьте обе стороны на 2: x = 18

И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как ...

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно - это решение.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x - 3 + 3 = 6 x - 3 (x ≠ 3)

Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x - 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Переместите 6 влево:

2x + 3 (x − 3) - 6 = 0

Разверните и решите:

2x + 3x - 9-6 = 0

5x - 15 = 0

5 (х - 3) = 0

х - 3 = 0

Это можно решить, если x = 3

Проверим:

2 × 3 3–3 + 3 = 6 3–3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что...

x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

Есть Нет Решение!

Это было интересно ... мы, , думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

Подсказки

  • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
  • Покажите все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *