Разное

Математика россия решение 2 класс: ГДЗ по математике 2 класс учебник Моро 1, 2 часть

Содержание

ГДЗ по математике 2 класс учебник Моро, Волкова 1 часть

  • Тип: ГДЗ, Решебник.
  • Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бельтюкова Г. В.
  • Год: 2020.
  • Серия: Школа России (ФГОС).
  • Издательство: Просвещение.

Решебник – страница 83Готовое домашнее задание

Номер 1.

Составь по таблице уравнения и реши их устно.

Ответ:

10 + х = 14     х + 8 = 15 х = 4               х = 7
9 + х = 18       7 + х = 14 х = 9               х = 7
х + 9 = 17       х + 6 = 13 х = 8               х = 7
7 + х = 16       7 + х = 12 х = 9               х = 5

Номер 2.

Выпиши те уравнения, в которых значением х является число 10.

Ответ:

х + 8 = 18 х = 18 – 8 х = 10
у – 3 = 7 у = 7 + 3 у = 10

47 – х = 40 х = 47 – 40 х = 7
50 – х = 40 х = 50 – 40 х = 10
у – 8 = 2 у = 8 + 2 у = 10
х + 3 = 13 х = 13 – 3 х = 10
Значит, выписываем уравнения: х + 8 = 18 50 – х = 40 у – 8 = 2 у – 3 = 7 х + 3 = 13

Номер 3.

Во время игры в баскетбол команда нашей школы выиграла у команды соседней школы со счетом 80 : 63. На сколько больше очков набрала наша команда, чем команда соперников?

Ответ:


80 – 63 = 17 (оч.) Ответ: на 17 очков больше набрала наша команда, чем команда противника.

Номер 4.

Футбольный матч наша команда проиграла. Наши ребята забили на 2 гола меньше, чем их противники, которые забили 7 голов. Сколько всего голов забито в ворота в этой игре?

Ответ:


1) 7 – 2 = 5 (г.) – забила наша команда. 2) 5 + 7 = 12 (г.) – всего забито в этой игре. Ответ: 12 голов.

Номер 5.

Составь задачу по краткой записи и реши ее.

Ответ:

Задача 1: Мама купила помидоров 20 шт. Для приготовления салата она использовала 9 помидоров. Сколько помидоров осталось у мамы?
Купила – 20 п. Использовала – 9 п. Осталось – ? п.
20 − 9 = 11 (п.) – осталось у мамы. Ответ: 11 помидоров.
Задача 2: Из 9 помидоров мама приготовила салат, после чего осталось 11 помидоров. Сколько было помидоров?
Было – ? п. Использовала – 9 п. Осталось – 11 п.
11 + 9 = 20 (п.) – было у мамы. Ответ: 20 помидоров.

Общее в задачах то, что все значения одинаковые, но для каждой задачи свое неизвестное. Например, для первой задачи нужно найти разность, а для второй сумму.

Номер 6.

Продолжи ряды чисел:

Ответ:

1) 11, 15, 20, 24, 29, 33, 38, 42, 47, 51, 56, 60. 2) 12, 11, 13, 12, 14, 13, 15, 14, 16, 15, 17.

Задание внизу страницы

Начерти отрезок, длина которого равна длине этой ломаной. Вырази длину отрезка в миллиметрах.

Ответ:

2 + 3 + 5 = 10 (см) – длина ломаной. 10 см = 100 мм
Чертим отрезок длиной 10 см (100 мм).

Рейтинг

Выберите другую страницу

1 часть

Учебник Моро45678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182838485868788
89		909192939495

2 часть

456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536
37		38394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980 81828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111

Ваше сообщение отправлено!

+

ГДЗ по математике 2 класс учебник Моро, Волкова 1 часть

  • Тип: ГДЗ, Решебник.
  • Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бельтюкова Г. В.
  • Год: 2020.
  • Серия: Школа России (ФГОС).
  • Издательство: Просвещение.

Решебник – страница 31Готовое домашнее задание

Рейтинг

Выберите другую страницу

1 часть

Учебник Моро4567891011121314151617181920212223242526
27		2829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495

2 часть

456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111

Ваше сообщение отправлено!

+

Решение Леонардом Эйлером задачи Кенигсбергского моста

Автор(ы): 

Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси)

Примечание редактора 

Следующий студенческий исследовательский отчет был подготовлен для профессора Юдит Кардос на занятии по математике 255, проведенном в Колледже Нью-Джерси. Это был 3-кредитный вводный курс по истории математики. Этот отчет был засчитан в 30% итоговой оценки. Это пример того, какие исторические исследования студенты могут проводить с использованием вторичных источников.

Решение Леонардом Эйлером проблемы Кенигсбергского моста

Кенигсберг

Наша история начинается в 18 веке в причудливом городке Кенигсберг, Пруссия, на берегу реки Прегель. В 1254 году тевтонские рыцари основали город Кенигсберг под предводительством чешского короля Оттокера II после своего второго крестового похода против пруссаков. В средние века Кенигсберг стал очень важным городом и торговым центром благодаря своему расположению на берегу реки. Произведения искусства восемнадцатого века изображают Кенигсберг как процветающий город, где флотилии кораблей заполняют Прегель, а их торговля обеспечивает комфортный образ жизни как для местных купцов, так и для их семей. Здоровая экономика позволила горожанам построить семь мостов через реку, большинство из которых соединялись с островом Кнайпхоф; их расположение можно увидеть на прилагаемой картинке [источник: MacTutor History of Mathematics Archive].

Поскольку река текла вокруг Кнайпхофа, что буквально означает паб, и другого острова, она разделяла город на четыре отдельных района. Семь мостов назывались Мост Кузнеца, Соединительный мост, Зеленый мост, Купеческий мост, Деревянный мост, Высокий мост и Медовый мост. Согласно преданиям, жители Кенигсберга проводили воскресные дни, гуляя по своему прекрасному городу. Во время прогулки жители города решили создать для себя игру, их цель состояла в том, чтобы придумать способ, которым они могли бы ходить по городу, пересекая каждый из семи мостов только один раз. Хотя никто из жителей Кенигсберга не мог придумать маршрут, который позволил бы им пересечь каждый из мостов только один раз, но они не могли доказать, что это невозможно. К счастью для них, Кенигсберг находился недалеко от Санкт-Петербурга, где жил знаменитый математик Леонард Эйлер.

Эйлер и проблема моста

Зачем Эйлеру заниматься проблемой, столь не связанной с областью математики? Зачем такому выдающемуся математику тратить много времени на решение тривиальной задачи вроде проблемы Кенигсбергского моста? Эйлер, очевидно, был занятым человеком, опубликовавшим за свою жизнь более 500 книг и статей. Только в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью в неделю, а в течение своей жизни он писал на множество тем, помимо математики, включая механику, оптику, астрономию, навигацию и гидродинамику. Неудивительно, что Эйлер считал эту проблему тривиальной, заявив в письме 1736 года Карлу Леонхарду Готлибу Элеру, мэру Данцига, который попросил его решить проблему [цитируется по Hopkins, 2]:

. . . Таким образом, вы видите, благороднейший сэр, как этот тип решения имеет мало отношения к математике, и я не понимаю, почему вы ожидаете, что его даст математик, а не кто-либо другой, ибо решение основано только на разуме, и его открытие не зависит ни от какого математического принципа. Из-за этого я не знаю, почему даже вопросы, имеющие столь малое отношение к математике, математики решают быстрее, чем другие.

Несмотря на то, что Эйлер нашел проблему тривиальной, он все равно был заинтригован ею. В письме, написанном в том же году Джованни Маринони, итальянскому математику и инженеру, Эйлер сказал [цитируется по Хопкинсу, 2],

Этот вопрос так банален, но показался мне достойным внимания тем, что [ни] геометрии, ни алгебры, ни даже искусства счета не было достаточно для его решения.

Эйлер полагал, что эта проблема связана с темой, которую Готфрид Вильгельм Лейбниц когда-то обсуждал и над которой очень хотел поработать, то, что Лейбниц называл geometria situs , или геометрия положения. Эта так называемая геометрия положения — это то, что теперь называется теорией графов, которую Эйлер вводит и использует при решении этой знаменитой проблемы.

Доказательство Эйлера

26 августа 1735 года Эйлер представил статью, содержащую решение проблемы Кенигсбергского моста. Он обращается как к этой конкретной проблеме, так и к общему решению с любым количеством участков суши и любым количеством мостов. Эта статья под названием «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis» была позже опубликована в 1741 г. [Hopkins, 2]. Статья Эйлера разделена на двадцать один пронумерованный абзац, и далее будет представлена ​​упрощенная версия абзацев Эйлера.

В первых двух абзацах доказательства Эйлера он вводит проблему Кенигсбергского моста. В параграфе 1 Эйлер заявляет, что, по его мнению, эта проблема касается геометрии, но не той геометрии, которая хорошо известна его современникам и включает в себя измерения и расчеты, а нового вида геометрии, которую Лейбниц называл геометрией положения. Затем в параграфе 2 Эйлер объясняет своей аудитории, как работает проблема Кенигсберга. Эйлер набросал проблему (см. 9).0043 Рисунок Эйлера 1 ), и назвал семь различных мостов: a, b, c, d, e, f и, g. В этом абзаце он формулирует общий вопрос задачи: «Можно ли узнать, можно ли пересечь каждый мост ровно один раз?»

 

Рисунок Эйлера 1 из «Solutio Problematis ad geometriam situs pertinentis», Eneström 53 [источник: архив MAA Euler] нахождения решения. В параграфе 3 Эйлер говорит читателю, что для решения этой конкретной проблемы он мог бы записать все возможные пути, но этот метод занял бы много времени и не работал бы для более крупных конфигураций с большим количеством мостов и участков суши. Из-за этих проблем Эйлер решил выбрать другой метод решения этой проблемы.

В параграфе 4 он начинает упростить задачу, изобретая удобную систему для представления пересечения моста. Эйлер решает, что вместо того, чтобы использовать строчные буквы для обозначения пересечения моста, он будет писать заглавными буквами, обозначающими массивы суши. Например, ссылаясь на его Рисунок 1 , AB будет означать путешествие, которое началось с суши A и закончилось в B. Более того, если после путешествия с суши A на B кто-то решит переместиться на сушу D, это будет просто обозначено , АБД. В параграфе 5 Эйлер продолжает свое обсуждение этого процесса, объясняя, что в ABDC, хотя есть четыре заглавных буквы, было пересечено только три моста. Эйлер объясняет, что сколько бы ни было мостов, будет еще одна буква для обозначения необходимого перехода. Из-за этого вся проблема Кенигсбергского моста требовала пересечения семи мостов и, следовательно, восьми заглавных букв.

В параграфе 6 Эйлер продолжает объяснять детали своего метода. Он говорит читателю, что если есть более одного моста, который можно пересечь при переходе с одного участка суши на другой, не имеет значения, какой мост используется. Например, даже если есть два моста, a и b, которые могут привести путешественника из A в B, в системе обозначений Эйлера не имеет значения, какой мост будет взят. В этом абзаце Эйлер также обсуждает конкретную проблему, с которой он имеет дело. Он объясняет, используя свой исходный рисунок, что в задаче Кёнигсберга требуется ровно восемь букв, где пары (A, B) и (A, C) должны стоять рядом друг с другом ровно два раза, независимо от того, какая буква появляется первой. Кроме того, пары (A,D), (B,D) и (C,D) должны встречаться вместе ровно один раз, чтобы путь, пересекающий каждый мост один и только один раз, существовал.

Рисунки Эйлера 2 и 3. последовательность букв, которая удовлетворяет задаче, или ему нужно доказать, что такой последовательности не существует. Прежде чем сделать это для проблемы Кенигсбергского моста, он решает найти правило, чтобы выяснить, существует ли путь для более общей задачи. Он делает это в параграфе 8, рассматривая гораздо более простой пример массивов суши и мостов. Эйлер рисует Рисунок 2 , и он начинает оценивать ситуации, в которых проходит область А. Эйлер утверждает, что если мост а пройден один раз, то путь А либо начинался, либо заканчивался, и поэтому использовался только один раз. Если все мосты a, b и c пройдены один раз, A используется ровно дважды, независимо от того, является ли он начальным или конечным местом. Точно так же, если пять мостов ведут к А, участок суши А будет встречаться на пути ровно три раза. Эйлер утверждает, что «в общем случае, если количество мостов равно любому нечетному числу и если его увеличить на единицу, то количество вхождений A составляет половину результата». Другими словами, если существует нечетное количество мостов, соединяющих A с другими массивами суши, добавьте один к количеству мостов и разделите его на два, чтобы узнать, сколько всего раз A должно быть использовано на пути, где каждый мост используется один и только один раз (т. е. Общее количество вхождений A, где A имеет нечетное количество мостов = (количество мостов + 1) / 2 ).

Используя этот факт, Эйлер решает задачу Кенигсбергского моста в параграфе 9. В этом случае, поскольку существует пять мостов, ведущих к А, это должно произойти три раза (см. его рис. 1 выше). Точно так же B, C и D должны появиться дважды, так как все они имеют три моста, ведущих к ним. Следовательно, 3 (для A) + 2 (для B) + 2 (для C) + 2 (для D) = 9, но Эйлер уже заявил, что для семи мостов должно быть только восемь вхождений. Это противоречие! Поэтому по мостам в городе Кёнигсберг нельзя проехать один и только один раз. Конец или нет? В то время как жители Кенигсберга могут быть довольны этим решением, великий математик Леонард Эйлер не был удовлетворен. Эйлер продолжает свое доказательство, чтобы иметь дело с более общими ситуациями.

Обобщение Эйлера

В параграфе 10 Эйлер продолжает свое обсуждение, отмечая, что если ситуация включает все массивы суши с нечетным числом мостов, то можно определить, можно ли совершить путешествие по каждому мосту только один раз. Эйлер утверждает, что если сумма количества раз, которое должна появиться каждая буква, на единицу больше, чем общее количество мостов, путешествие можно совершить. Однако, если количество вхождений более чем на один больше, чем количество мостов, путешествие невозможно, как в задаче о Кенигсбергском мосту. Это потому, что правило, которое Эйлер дает для нечетного числа мостов, используя свой рисунок 2, верно для общей ситуации, есть ли только один другой массив суши или более одного.

В абзацах 11 и 12 Эйлер рассматривает ситуацию, когда к региону прикреплено четное число мостов. Эта ситуация не возникает в кенигсбергской задаче и поэтому до сих пор игнорировалась. В ситуации с массивом суши X с четным числом мостов могут возникнуть два случая. Первый случай, когда X является отправной точкой путешествия. В этом случае X появится дважды, один раз как начальная точка и еще раз как конечная точка. В другом случае X не является отправной точкой. Если бы это произошло, X появился бы только один раз, так как путешествие должно было бы начинаться через один мост и немедленно выходить через единственный другой доступный мост. Точно так же, если к X подключено четыре моста, количество вхождений X зависит от того, является ли он начальной точкой. Если путешествие начинается в X, оно должно появиться три раза, но если оно не начинается в X, оно появится только дважды. Таким образом, в общем, если к X подключено четное количество мостов, то, если путешествие не начинается в X, X появляется в половине случаев как мосты (т.е. Вхождения X, где X четное, а не начальная точка = (# мостов) / 2). Если путешествие действительно начинается в X, то X появляется в половине случаев в виде мостов плюс один (т. е. число вхождений X, где X четно, а начальная точка = ((количество мостов) / 2) + 1).

В абзацах с 13 по 15 Эйлер объясняет, как выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз, и представляет свой собственный пример, чтобы показать, как это работает. Эйлер сначала объясняет свой простой шестишаговый метод решения любой общей ситуации с массивами суши, разделенными реками и соединенными мостами. Первый Эйлер обозначает каждый массив суши с заглавной буквы. Во-вторых, он берет общее количество мостов, добавляет один и записывает это над таблицей, которую собирается составить. Далее он берет заглавные буквы, ставит их в столбик, а рядом пишет количество мостов. В-четвертых, он указывает звездочками участки суши, на которых имеется четное число мостов. Затем рядом с каждым четным числом он пишет ½ числа, а рядом с каждым нечетным числом ставит ½ числа плюс один. Наконец, Эйлер складывает числа, записанные в крайнем правом столбце, и если сумма на единицу меньше или равна количеству мостов плюс один, то требуемое путешествие возможно. Однако важно отметить, что если сумма на один меньше, чем количество мостов плюс один, то путешествие должно начинаться с одного из участков суши, отмеченных звездочкой. Если сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться в регионе, не отмеченном звездочкой.

Примеры

Использование задачи Конигсберга, поскольку его первый пример Эйлер показан следующим образом:

Количество мостов = 7, количество мостов плюс один = 8

Региональные мосты. 2

                      C             3                                    2

                       D             3                                     2

Однако 3 + 2 + 2 + 2 = 9, что больше 8, поэтому путешествие невозможно.

Поскольку этот пример довольно простой, Эйлер решает создать свою собственную ситуацию с двумя островами, четырьмя реками и пятнадцатью мостами. Ситуацию, созданную Эйлером, можно увидеть на его рис. 3 выше. Теперь Эйлер пытается выяснить, существует ли путь, позволяющий пройти по каждому мосту один и только один раз. Эйлер следует тем же шагам, что и выше, называя пять различных областей заглавными буквами и создавая таблицу, чтобы проверить это, если это возможно, например:0003

Количество мостов = 15, количество мостов, плюс один = 16

Региональная область времена должна появиться

A*8 4

B*4 2

C*4 2

D 3 2

E 5 3

F*6 3

Кроме того . Поскольку сумма равна количеству мостов плюс один, путешествие должно начинаться либо в D, либо в E. Теперь, когда Эйлер знает, что путешествие возможно, все, что ему нужно сделать, это указать, каким будет путь. Эйлер выбирает путь EaFbBcFdAeFfCgAhCiDkAmenApBoElD, где он указывает, какие мосты пересекаются между буквами, представляющими массивы суши. Хотя эта информация является лишней, поскольку точный мост не имеет значения для понимания того, что путешествие возможно, она полезна при выборе пути. Это хороший пример, показывающий метод, которым воспользовался бы Эйлер при решении любой задачи такого рода.

Выводы Эйлера

В следующих нескольких абзацах Эйлер предлагает еще один способ выяснить, можно ли совершить путешествие по любому набору участков суши, мостов и рек. В параграфе 16 Эйлер указывает, что сумма чисел, перечисленных непосредственно справа от суши, в сумме в два раза превышает общее количество мостов. Позже этот факт станет известен как лемма о рукопожатии. По сути, лемма о рукопожатии утверждает, что каждый мост считается дважды, по одному разу для каждого участка суши, к которому он прикреплен. В параграфе 17 Эйлер продолжает утверждать, что сумма всех мостов, ведущих в каждую область, четна, поскольку половина этого числа равна общему количеству мостов. Однако это невозможно, если есть нечетное количество участков суши с нечетным количеством мостов. Таким образом, Эйлер доказывает, что если есть нечетные числа, связанные с массивами суши, то должно быть четное количество этих массивов суши.

Однако этого недостаточно для доказательства того, что существует путь, на котором каждый мост используется один и только один раз, поскольку в задаче о Кенигсбергском мосту имеется четное количество массивов суши с нечетным числом мостов, ведущих к ним. Из-за этого Эйлер добавляет дополнительные ограничения в параграфах 18 и 19. Эйлер объясняет, что, поскольку общее количество мостов, прикрепленных к каждому массиву суши, равно удвоенному количеству мостов (как видно из леммы о рукопожатии), поэтому, если вы добавьте два к этой сумме, а затем разделите на два, вы получите общее количество мостов плюс один. Этот номер такой же, как тот, который использовался ранее, и используется, чтобы сказать, возможен ли путь. Если все числа четные, то сумма в третьем столбце таблицы будет на единицу меньше, чем общее количество мостов плюс один.

Затем Эйлер объясняет, что очевидно, что если есть два массива суши с нечетным числом мостов, то путешествие всегда будет возможно, если путешествие начинается в одном из регионов с нечетным числом мостов. Это потому, что если четные числа разделить пополам, а каждое из нечетных увеличить на единицу и разделить пополам, то сумма этих половинок будет на единицу больше, чем общее количество мостов. Однако если имеется четыре или более массивов суши с нечетным числом мостов, то пути быть не может. Это потому, что сумма половин нечетных чисел плюс один вместе с суммой всех половинок четных чисел сделает сумму третьего столбца больше, чем общее количество мостов плюс один. Следовательно, Эйлер только что доказал, что может быть не более двух участков суши с нечетным числом мостов.

После этого Эйлер может сделать выводы относительно более общих форм проблемы Кенигсбергского моста. В параграфе 20 Эйлер дает три рекомендации, которые можно использовать, чтобы выяснить, существует ли путь, использующий каждый мост один и только один раз. Во-первых, он утверждал, что если существует более двух участков суши с нечетным числом мостов, то такое путешествие невозможно. Во-вторых, если количество мостов нечетно ровно для двух участков суши, то путешествие возможно, если оно начинается на одном из двух участков суши с нечетными номерами. Наконец, Эйлер утверждает, что если нет регионов с нечетным количеством суши, то путешествие можно совершить, начав с любого региона. Установив эти три факта, Эйлер завершает свое доказательство параграфом 21, в котором просто говорится, что после того, как кто-то выяснил, что путь существует, он все равно должен приложить усилия, чтобы написать работающий путь. Эйлер считал, что метод достижения этого тривиален, и не хотел тратить на него много времени. Однако Эйлер действительно предлагал сконцентрироваться на том, как добраться с одного массива суши на другой, вместо того, чтобы сначала концентрироваться на конкретных мостах.

Доказательство Эйлера и теория графов

Читая оригинальное доказательство Эйлера, можно обнаружить относительно простую и понятную математическую работу; однако не фактическое доказательство, а промежуточные шаги делают эту проблему известной. Великое нововведение Эйлера заключалось в том, что он рассматривал проблему Кенигсбергского моста абстрактно, используя линии и буквы для представления более крупной ситуации с массивами суши и мостами. Он использовал заглавные буквы для обозначения массивов суши и строчные буквы для обозначения мостов. Это был совершенно новый тип мышления для того времени, и в своей статье Эйлер случайно запустил новую область математики, названную теорией графов, где граф — это просто набор вершин и ребер. Сегодня путь в графе, который содержит каждое ребро графа один и только один раз, называется эйлеровым путем из-за этой проблемы. С тех пор, как Эйлер решил эту проблему, и до сегодняшнего дня теория графов стала важным разделом математики, лежащим в основе наших представлений о сетях.

Проблема Кенигсбергского моста — вот почему Биггс заявляет [Biggs, 1],

Истоки теории графов скромны, даже легкомысленны… Проблемы, которые привели к развитию теории графов, часто были не более чем головоломками, предназначенными для проверки изобретательности, а не для стимулирования воображения. Но, несмотря на кажущуюся тривиальность таких головоломок, они привлекли внимание математиков, в результате чего теория графов стала предметом, богатым теоретическими результатами удивительного разнообразия и глубины.

Как следует из заявления Биггса, эта проблема настолько важна, что упоминается в первой главе каждой книги по теории графов, которую просматривали в библиотеке.

После открытия Эйлера (или изобретения, в зависимости от того, как на это смотрит читатель) теория графов бурно развивалась благодаря значительным вкладам, внесенным такими великими математиками, как Огюстен Коши, Уильям Гамильтон, Артур Кейли, Густав Кирхгоф и Джордж Полиа. Все эти люди внесли свой вклад в раскрытие «практически всего, что известно о больших, но упорядоченных графах, таких как решетка, образованная атомами в кристалле, или гексагональная решетка, созданная пчелами в улье [9].0035 ScienceWeek, 2]. Другие известные задачи теории графов включают в себя поиск способа выхода из лабиринта или лабиринта или поиск порядка ходов коня на шахматной доске, при котором каждое поле попадает только один раз, а конь возвращается на место, с которого он начал. [ ScienceWeek, 2]. Некоторые другие проблемы теории графов оставались нерешенными на протяжении столетий [ ScienceWeek, 2].

Судьба Кенигсберга

В то время как теория графов расцвела после того, как Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста, у города Кенигсберга была совсем другая судьба. В 1875 году жители Кенигсберга решили построить новый мост между узлами B и C, увеличив количество соединений этих двух массивов суши до четырех. Это означало, что только два массива суши имели нечетное количество связей, что давало довольно простое решение проблемы. Создание дополнительного моста могло быть или не быть подсознательно вызвано желанием найти путь, чтобы решить известную проблему города.

Однако новый мост не решил всех будущих проблем Кенигсберга, так как город не ожидал еще в девятнадцатом веке «печальной и истерзанной войной судьбы, которая ожидала его как место проведения одного из самых ожесточенных сражений Второй мировой войны. ” В течение четырех дней августа 1944 года британские бомбардировщики уничтожили как старый город, так и северную часть Кенигсберга. В январе и феврале 1945 года район Кенигсберга окружен русскими войсками. Немецкое гражданское население начинает эвакуацию из города, но слишком поздно. Тысячи людей гибнут, пытаясь бежать на лодках и пешком по ледяным водам Куршского залива. 19 апреля45 года Красная Армия захватывает Кенигсберг, около девяноста процентов старого города лежат в руинах.

Текущая карта улиц Кенигсберга представлена ​​ниже [источник: MacTutor History of Mathematics Archive]. Эта карта показывает, насколько сильно изменился город. Многие мосты были разрушены во время бомбардировок, и город больше не может задавать тот же интригующий вопрос, что и в восемнадцатом веке. Наряду с принципиально иной планировкой город Кенигсберг носит новое название Калининград, а река Прегель переименована в Преголю [Гопкинс, 6]. В то время как судьба Кенигсберга ужасна, старая кофейная проблема горожан пройти каждый из своих старых семи мостов ровно по одному разу привела к формированию совершенно нового раздела математики, теории графов.

 

Ссылки

Биггс, Норман Л., Э. К. Ллойд и Робин Дж. Уилсон. Теория графов: 1736-1936 . Оксфорд: Clarendon Press, 1976.

Данэм, Уильям. Эйлер: Повелитель всех нас . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки, 1999.

Эйлер, Леонхард, «Solutio Problematis ad Geometriam situs pertinentis» (1741), Eneström 53, MAA Euler Archive.

«История математики: о Леонарде Эйлере (1707–1783)». ScienceWeek (2003). 6 ноября 2005 г.

Хопкинс, Брайан и Робин Уилсон. «Правда о Кенигсберге». College Mathematics Journal (2004), 35, 198-207.

«Кенигсбергские мосты». Архив истории математики MacTutor:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/other_links/Konigsberg.html

Примечание редактора: Эта статья была первоначально опубликована в Конвергенция, Том 3 (2006 г.).

Тео Паолетти (Колледж Нью-Джерси), «Решение Леонардом Эйлером проблемы Кенигсбергского моста», Convergence (май 2011 г.)

Домашняя страница Александра ГИВЕНТАЛЯ

Домашняя страница Александра ГИВЕНТАЛЯ

Письмо, которое я отправил 7 марта , 2022 г. в канцелярию ректора МГУ, математика В. А. Садовничего, в связи с одобрением им вторжения России в Украину

Знаете ли вы: В загробной жизни, человек обречен искать контрпримеры всем ложным заявления, сделанные в жизни?
Отсюда совет: начинайте пораньше!

От В. Х. Аумера:

Два тысячелетия назад / Евклид основал науку о данных.
Две строчки в Википедии / — это все, чего он заслуживает на сегодняшний день.

Офис: 701 Evans Hall
Номер телефона: 510-642-3660
Адрес электронной почты: [email protected]
Почтовый адрес:
Факультет математики
Калифорнийский университет Беркли
Беркли, Калифорния, 94720

Владимир Арнольд (мой учитель)
12 июня 1937 г. — 3 июня 2010 г.
Как вопрос мысли &nbsp (английский) &nbsp (Русский)
Ссылки (на MCCME) &nbsp Фото (любезно предоставлено С. Третьяковой)
Утка с утятами

Классы

Математика 140. Метрическая дифференциальная геометрия. Весна’05.
Математика 214. Дифференциальные многообразия. Осень’07.
Математика 104. Введение в анализ. Осень’11.
Математика 123. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Осень’11.
Math377. Формулы Римана-Роха в теории Громова-Виттена. Весна’13. ОТМЕНЕН
Математика 104. Введение в анализ. Весна’15
Математика 53. Многомерное исчисление, Fall’15.
Математика h210. Линейная алгебра с отличием. Осень’16.
Математика 185. Введение в комплексный анализ. Весна’17.
Математика 115. Введение в теорию чисел. Весна’18
Математика 141. Элементарная дифференциальная топология. Осень’18
Math49A (семинар для первокурсников/второкурсников). Онегин на английском. Весна’19
Математика 215А. Алгебраическая топология. Осень’19
Математика 215Б. Алгебраическая топология. Весна’20
Математика 189. Математические методы классической и квантовой механики. Осень’20
Математика 191. Семинар Патнэма. Осень’20
Математика h285. Комплексный анализ. Весна’21
Математика 242. Симплектическая геометрия. Осень’21
Математика h210.
Линейная алгебра с отличием. Осень’22
Математика h213, Введение в абстрактную алгебру с отличием. Осень’22
Математика 191: Семинар Патнэма. Осень’22

К-12

Книга Лорана Лафорга “Почему государственные школы?”
ДНЕВНАЯ ШКОЛА ТЕХИЯ
Три точки на плоскости
Теорема Пифагора: о чем она?
Учебники по математике в Сингапуре и Калифорнии
Есть ли математика на Марсе? (для дневной школы Техия Информационный бюллетень)
Невежество в лучшем виде
Хелмский университет
Почему Джонни не сможет сосчитать
Некомпетентный просвещает невежественного
Наука для четвертого класса: острые и яркие
Геометрия поверхностей

Линейная алгебра

После нескольких итераций этого текста в Math h210,


Я, наконец, выпустил ее в виде электронной книги, доступной в Сумиздате
вместе с примерно 100 страницами-образцами.

Лекции о группах, кольцах и полях

Это мой новый электронный учебник по математике h213.


Есть в Сумиздате. Вот примеры лекций,
которые включают в себя весь материал по группам.

Введение в квантовую механику


Вот несколько примеров глав в формате PDF.
Теперь в комплекте с упражнениями и некоторыми решениями,
эта книга больше не находится в стадии разработки,
и полностью доступна в виде электронной книги.

Сумиздат

Геометрия Киселева. Книга I: Планиметрия. Книга 2 Стереометрия Опубликовано СУМИЗДАТ – издатель, продвигающий математику и науку без ерунды учебная программа.
Это английская адаптация классического учебника на плоская геометрия который хорошо послужил нескольким поколениям учащихся средних и старших классов в России. Доступна с Сумиздат, Amazon.
com (Книга I) и Amazon.com (Книга II)
Пожалуйста, посетите Главная страница Сумиздата, изучите книгу, и если она вам понравится, сделать ссылку с вашего сайта на www.sumizdat.org, чтобы сделать книгу ближе к учащимся и их учителя.

Рон Аарони.

Арифметика для родителей.
Книга для взрослых по детской математике
Несколько лет назад Рон Аарони, Технион, принял приглашение своего друга преподавать математику в начальной школе. С тех пор он посвятил много времени начальному математическому образованию.

Аарони сыграл важную роль в успешной борьбе с «нечеткой математикой». в своей стране и в реализации грамотной учебной программы без излишеств (на основе Начальная математика из Сингапура).
В этой книге он делится с читателем — родитель или учитель — понимание, которое он получил относительно элементарных математика и математическое образование.
В наличии в Сумиздате, Amazon.com и SingaporeMath. com.

Марина Цветаева.

Тебе — через 10 десятилетий
Избранная русская поэзия на английском языке
Это новое поступление (доступно на Sumizdat.org и Amazon.com) — совместная работа Александра Гивенталя и Элиси Уилсон-Эгольф. В него вошли стихи Марины Цветаевой, с участием Беллы Ахмадулиной и Арсения Тарковского и комментариями на английском языке.

Ее поэзия – плод страсти. Так же и эта книга параллельных переводов с податливого русского языка на английский. язык. Мы старались не просто сохранить музыку, рифму, ритм, размер, суть или жемчужины, но все вышеперечисленное, отказываясь компромисс – позиция, проистекающая из любви к проявлениям того завораживающего акта Природы по имени М. Цветаева. Эта любовь, вместе с чувством величия рассматриваемого явления, вот что мы надеемся зажечь в вас.


Математический кружок у залива. Темы для 1–5 классов


Лауры Гивенталь, Марии Немировской и Ильи Захаревича
На основе многолетнего преподавания математических кружков в Калифорнийском университете в Беркли и Стэнфорде
Доступно в книжном магазине AMS и на Amazon, com

Математические кружки для учащихся начальной школы


Книга автора Наташа Рожковская (КГУ)
на основе ее преподавания в 2009 г.
в математическом кружке Беркли
Доступно на русском языке по адресу Amazon.com
и в английском переводе
в книжном магазине AMS и на Amazon.com.

Конспект лекций

Линейная алгебра и дифференциальные уравнения &nbsp Опубликовано AMS
Темы по перечислительной алгебраической геометрии Доступно здесь (ps и pdf)
Дискретная математика &nbsp Короткий 40-страничный всеобъемлющий учебник для второкурсника колледжа, автор
Александр Борисович Кстати, автор попросил нас поблагодарить Э. Уилсона-Эгольфа за редактирование его рукописи.

Исследовательские статьи доступны онлайн (pdf)

Квантовая K-теория грассманианов и неабелева локализация (с Сяохан Яном)
Перестановочно-эквивариантная квантовая K-теория I–XI
Ограничения Вирасоро для торических расслоений (с Томом Коутсом и Сянь-Хуа Цзэном)
Законы Кеплера и конические сечения . Ирина Бояджиева из Университета штата Огайо представила следующую визуализацию для этой статьи.
Явная реконструкция в квантовом когомологии и K-теория
теорема в истинной квантовой K-теории рода 0 (совместно с Валентином Тонитой)
Солитонные уравнения, вершинные операторы и простые сингулярности (совместно с Эдвардом Френкелем и Тодором Милановым)
Квантовые кобордизмы и формальные групповые законы (с Томом Коутсом)
Кандидатская диссертация (2003 г.) Тома Коутса (без А.Г.): Теоремы Римана-Роха в теории Громова-Виттена”
Симплектическая геометрия структур Фробениуса
Простые особенности и интегрируемые иерархии (совместно с Тодором Милановым)
A_{n-1}-особенности и иерархии нКдФ
Квант Римана-Роха, Лефшеца и Серра (с Томом Коутсом)
Инварианты Громова-Виттена и квантование квадратичных гамильтонианов
Полупростые структуры Фробениуса высшего рода
Введение в симплектическую теорию поля (совместно с Яковом Элиашбергом и Гельмутом Хофером)
Квантовая K-теория на многообразиях флагов, конечно-разностных цепочках Тоды и квантовые группы (с Юань-Пин Ли)
Об ВДВВ-уравнении в квантовой К-теории
Теория особенностей и симплектика топология
Учебник по квантовым когомологиям
Стационарные фазовые интегралы, квантовые решетки Тоды, флаг многообразия и гипотеза о зеркале
Зеркальная формула квинтики тройной
Эллиптические инварианты Громова-Виттена и обобщенная гипотеза зеркала
Теорема о зеркале для торических полных пересечений
Эквивариантные инварианты Громова-Виттена
Гомологическая геометрия и зеркальная симметрия
Гомологическая геометрия I.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *