Клетка математика шаблон: Шаблон клетка математика – фото и картинки abrakadabra.fun

Беренд Ян ван дер Цвааг и Джозеф Де Винсентис обнаружили бесконечный набор паттернов, которые порождают сколь угодно долгую жизнь. Это показывает, что L(n) ≥ 3n–3:

Филипп Фонданаиш нашел аналогичную конструкцию. Борис Бух и Джон Хоффман нашли последовательность паттернов, которая показывает L(n) ≥ 3n–2:

Затем Беренд Ян ван дер Цвааг улучшил эту модель, чтобы показать L(n) ≥ (7n–5)/2:

Брендан Оуэн обнаружил небольшие конфигурации с наибольшим сроком службы. Подключенные конфигурации были результатом полного поиска, но отключенные конфигурации могли быть улучшены.

Клинтон Уивер, Клаудио Байокки, Филипп Фонданаиш и Джозеф Де Винсентис также прислали несколько решений, не все из которых были оптимальными.

Брендан Оуэн также обнаружил небольшие конфигурации с наибольшим временем жизни, если правила были изменены на меньшее количество соседей или другую решетку:

напишите мне. Щелкните здесь, чтобы вернуться к математической магии. Последнее обновление 12.09.02.

Чудеса математики — игра жизни

Об авторах
Пол Каллахан – текст
Страница Пола Сборник Conway’s Life – Выкройки, как создать свою выкройку файлы и ссылки на другие страницы Life.

Алан Хенсел – апплет
Страница Алана Хенселя – больше об апплете и больше шаблонов.

Другие чудеса математики

Больше чудес ·  Fractals ·  Spirograph ·  Conway’s Game of Life ·  Roman Numeral Calculator ·  Chaos ·  Knots ·  Mazes ·  Tessellations ·  Oragami · Лаборатория Лиссажу   Ресурсы ·  ·  ·  ·  ·  ·    9000 Поиск

Что такое игра жизни? Пола Каллахана Игра «Жизнь» (или просто «Жизнь») — это не игра в обычном смысл. Нет игроков, нет ни побед, ни проигрышей. Как только “кусочки” находятся в исходной позиции, правила определяют все это происходит позже. Тем не менее, Жизнь полна сюрпризов! В большинстве случаях невозможно посмотреть исходное положение (или образец ) и посмотреть, что будет в будущем. Единственный способ узнать это соблюдать правила игры. Играй в жизнь прямо сейчас! [нет кнопки] Нарисуйте узор на сетке и нажмите “Перейти”. Справка по апплету Апплет от Алана Хенселя Правила игры в жизнь В жизнь играют на сетке квадратных ячеек — как на шахматной доске, но простирается бесконечно во всех направлениях. Ячейка может быть живой или мертвых . Показана живая клетка поставив маркер на его квадрат. Мертвая клетка показана выходом из квадрат пустой. Каждая ячейка сетки имеет окрестность, состоящую из восемь клеток в каждом направлении, включая диагонали. Для применения одного шага правил считаем количество живых соседей для каждой ячейки. Что будет дальше, зависит от этого числа. Мертвая ячейка с ровно тремя живыми соседями становится живой клеткой (рождение). Живая клетка с двумя-тремя живыми соседями остается в живых (выживание). Во всех остальных случаях клетка погибает или остается мертвой (перенаселенность или одиночество). Примечание: Количество живых соседей всегда основано на ячейки до правило был применен. Другими словами, мы должны сначала найти все клетки, которые изменить перед изменением любой из них. Звучит как работа для компьютера! Фон Жизнь была изобретена математиком Джоном Конвеем в 1970 году. Он выбрал правила тщательно после того, как попробовал много других возможностей, некоторые из которых вызывали слишком быструю гибель клеток, а другие вызывали слишком много клеток, чтобы родиться. Жизнь уравновешивает эти тенденции, делая трудно сказать, исчезнет ли узор полностью, форма стабильное население, или расти навсегда. Life — это всего лишь один пример сотовой связи . автомат , то есть любая система, в которой правила применяется к ячейкам и их соседям в регулярной сетке. В последнее время наблюдается большой интерес к клеточным автоматам, области математических исследований. Жизнь — один из простейших клеточных автоматов были изучены, но многие другие были изобретены, часто для имитации систем в реальном мире. Помимо первоначальных правил, в Life можно играть на других виды сеток с более сложными узорами. Есть правила игры на шестиугольниках, расположенных в виде сот, и играх, где клетки может иметь более двух состояний (представьте себе живые клетки с разными цвета). Жизнь, вероятно, самая часто программируемая компьютерная игра из существующих. В сети много разных вариаций и информации. (См. книгу Пола Каллахана домашняя страница для получения дополнительной информации.)   Кто такой Джон Конвей? Джон Конвей — профессор конечной математики. в Принстоне Университет. А ток профиль в журнале Scientific American. Доктор Джон Конвей Список книг, статей и веб-страниц о жизни и других работах Джона Конвея. Джон Конвей впервые сыграл в Life вручную доска для игры в го с использованием фишек го в качестве живых клеток. Его ранние открытия были опубликованы Мартином Гарднером в серия колонок Scientific American. Другое игры, изобретенные Джоном Конвеем.   Почему жизнь так интересна? Жизнь — один из простейших примеров того, что иногда называют «эмерджентная сложность» или «самоорганизующиеся системы». Эта предметная область привлек внимание ученых и математиков в различных поля. Это изучение того, как сложные паттерны и модели поведения могут возникают из очень простых правил. Это помогает нам понять, например, как лепестки на розе или полоски на зебре могут возникнуть из ткань живых клеток, сросшихся вместе. Это может даже помочь нам понять разнообразия жизни, возникшей на Земле. Художественная жизнь Люди создали всевозможные узоры в жизни. Некоторые произведения искусства! [нет кнопки] [нет кнопки] [нет кнопки] Используйте кнопку Открыть на апплет, чтобы увидеть больше этих шаблонов. В жизни, как и в природе, мы наблюдаем множество удивительных явлений. Природа, однако это сложно, и мы не уверены во всех правилах. Игра Жизни позволяет нам наблюдать систему, в которой мы знаем все правила. Как мы можем изучать простых животных (например, червей), чтобы узнать больше о сложные животные (например, люди), люди могут изучать игру Жизни, чтобы научиться о закономерностях и поведении в более сложных системах. Описанные выше правила — это все, что нужно для обнаружения чего-либо. нужно знать о Жизни, и мы увидим, что это включает в себя большое иметь дело. В отличие от большинства компьютерных игр правила сами создают шаблоны, а не программисты, создающие сложный набор игровых ситуаций. Узоры жизни Хороший способ начать жизнь — попробовать разные схемы и увидеть что случается. Даже совершенно случайные стартовые схемы быстро превращаются в Объекты жизни узнаваемы для любого человека с небольшим опытом. В этой секции, мы следуем простой схеме, называемой R-пентамино. Это начинается всего с пятью ячейками, но очень быстро усложняется. Мы можем видеть многие из ранние открытия в Жизни, просто запустив этот шаблон в апплете. (нажмите Нажмите , чтобы запустить шаблон, см. справку апплета к пошаговому и другим функциям управления) [нет кнопки] R-пентамино — первый обнаруженный Конвеем паттерн, который бросил вызов его попыткам для имитации вручную. На самом деле паттерн со временем становится «стабильным». или легко предсказать, но этого не происходит, пока не пройдено 1103 шага. Некоторые из первых компьютерных программ для Life были написаны для определения судьба этого маленького узора. Это была трудная задача для многих компьютеры того времени, но современный ПК может запустить всю последовательность шагов много раз за одну секунду. Даже апплет может запустить этот шаблон очень быстро, но вы должны замедлить его достаточно, чтобы внимательно следить за ним. Попробовать рисуя свои собственные узоры на сетке, чтобы увидеть, что происходит. (помощь апплета) Какие объекты возникают в жизни? Предметы натюрморта Некоторые из наиболее распространенных объектов в Жизни остаются неизменными от шага к шагу. Живые клетки не умирают и новые клетки не рождаются. Конвей, который любит делать каламбуры, называл такого рода предмет «натюрмортом». Вы можете наблюдать несколько этих объектов, запустив R-пентамино в апплете. Для объекта чтобы быть натюрмортом, каждая живая клетка чаще всего имеет 2 или 3 живых соседа, и каждая мертвая ячейка может иметь любое количество соседей кроме 3. Самый распространенный натюрморт называется блоком. Это просто квадрат 2×2 живых клеток: Вы увидите, что он появляется много раз, когда вы запускаете R-pentomino. Каждый живая клетка имеет ровно трех соседей, но ни одна мертвая клетка не имеет более два соседа. Некоторые другие натюрморты, которые вы увидите: улей лодка корабль буханка Найдите их в апплете и попытайтесь понять, почему эти объекты оставаться прежним. Вы можете рисовать натюрморты вручную, и это интересно. головоломка. Некоторые люди с большим опытом все еще хороши в проектировании. жизней, но обычно для поиска новых используется компьютерный поиск. Все еще таким образом было подсчитано количество жизней до 20 живых клеток. Осцилляторы Осцилляторы — это объекты, которые изменяются от шага к шагу, но в конечном итоге повторяются. Самыми простыми являются осцилляторы с периодом 2 или те, что которые повторяются через два шага. Наиболее распространенным является поворотник, который состоит из трех ячеек: Вы увидите много таких, когда будете смотреть R-pentomino. Еще один распространенный осциллятор с периодом 2 — жаба: Вы можете увидеть это в R-pentomino, но вы должны смотреть внимательно! После 737 шагов в крайнем правом углу паттерна ненадолго появляется жаба. Он уничтожен ближайшим взрывом всего через 14 шагов. Планеры Если вы следили за R-пентамино в апплете, вы, вероятно, заметил, что некоторые объекты движутся. Это был один из самых захватывающих ранние открытия в жизни. Эти общие модели движения, называемые планерами, состоят всего из 5 ячеек: [нет кнопки] (Нажмите Перейти , чтобы запустить шаблон) Следуйте этому шаблону для четыре шага в апплете. Или, чтобы действительно понять, что происходит, подайте заявку правила от руки, как это делал Конвей. Вы увидите, что после четырех шагов выглядит так же, как это было, когда это началось. Единственная разница в том, что это смещается по диагонали. Повторите этот процесс, и вы получите движущийся Жизненный объект, который мы обычно называем космическим кораблем. Помните, правила ничего не сказал о движении; просто появляются движущиеся узоры. это просто но убедительная демонстрация возникающей сложности. Шаттл пчелиной матки После запуска R-пентамино ненадолго появляется очень важный паттерн. для 774 шагов: Это ненадолго в этой бурной среде, но вы можете войти его в апплет отдельно и смотреть, что он делает. Сначала он перемещается в справа, но через несколько шагов получается натюрморт под названием улей и поворачивает обратно налево. Затем он производит еще один улей для налево и снова поворачивает направо. Конвей назвал этот образец пчелиной маткой. трансфер по этой причине. К сожалению, в следующий раз он вылетает в первый созданный им улей. Но мы можем избавиться от нежелательных ульев с помощью блока: Если вы запустите это в апплете, вы увидите, что улей исчезает а блок остался. Поставив блок по обе стороны от ферзя пчела, мы можем заставить его летать туда-сюда бесконечно. Это осциллятор с периодом 30, так как челнок перемещается на 15 шагов в каждом направлении. Позже мы увидим, как этот шаблон использовался для ответа на важный вопрос. про жизнь. Другие интересные объекты Есть некоторые ранние открытия, которые не отражены в R-пентамино. но которые иногда появляются из случайных начальных состояний. Ортогональные космические корабли движутся влево, вправо, вверх или вниз, а не на диагонали, как планеры. Они встречаются гораздо реже, чем планеры, но очень важно в некоторых типах узоров. Они бывают трех размеров: легкий вес средний вес тяжелый вес Наконец, вот несколько простых начальных паттернов, которые превращаются в осцилляторы. Ряд из 10 живых ячеек становится осциллятором с периодом 15, называемым пятиборьем: Следующий паттерн становится очень красивым осциллятором с периодом 3, называемым пульсар: Все ли шаблоны в конце концов стабилизируются? Мы говорим, что модель стабилизировалась, когда становится очевидным, что население перестал расти. Например, мы говорим, что R-пентамино стабилизируется при шаг 1103, потому что на данный момент он состоит только из планеров и осцилляторов, и понятно, что планеры никогда не столкнутся друг с другом или с любыми осцилляторами. Уже в начале изучения жизни было замечено, что все случайные начальные состояния, похоже, со временем стабилизируются. Конвей предложил приз за любой образец узоров, которые растут вечно. приз Конвея был собран вскоре после его анонса, когда два разных пути были обнаружен для создания узора, который будет расти вечно. Первым из этих образцов является планерная пушка периода-30, которая основана на о взаимодействии двух маток-челноков. Где эти шаттлы сталкиваются, вместо того, чтобы производить ульи, они производят новый планер. Этот планер уходит вовремя, чтобы процесс повторился через 30 шагов. [нет кнопки] (нажмите Перейти , чтобы запустить шаблон) Еще один тип узора, который растет вечно, называется фугу. в отличие планерная пушка, которая остается неподвижной и производит движущиеся объекты, фугу двигаются, создавая объекты, которые могут быть как движущимися, так и стационарными. Вот один из самых простых и ранних фугу. [нет кнопки] (нажмите Перейти , чтобы запустить шаблон) В последние годы было открыто или изобретено много новых пуговиц и ружей. Наконец, вот образец, называемый заполнителем пространства, который растет так же быстро, как насколько позволяют правила Жизни. Это совсем не похоже на виды Жизни паттерны, возникающие в результате случайных начальных состояний, и никогда не были обнаружены без помощи компьютерного поиска. это совсем недавно открытие по сравнению с моделями, описанными выше, и не было известно до 1993. [нет кнопки] (нажмите Перейти , чтобы запустить шаблон) Насколько сложной может быть жизнь? Внутри «вселенной» Жизни можно построить компьютер. Пространство не позволяет подробное описание, но вы можете найти гораздо больше информации в некоторых из ссылки, приведенные внизу. Короче, потоки планеров и космических кораблей могут использоваться для передачи информации так же, как электрические сигналы используются для передачи информации на физическом компьютере. Эти потоки планеров могут реагировать в способ выполнять все логические функции, на которых работает современный компьютер. основано. Было бы очень непрактично собирать компьютер таким образом, но при наличии достаточно большого паттерна Жизни и достаточного времени мы могли бы запустить любую программу. который работает на компьютере. Несколько интересных компьютеров специального назначения был построен как Life, в том числе тот, который выводит простые числа. Можно даже построить универсальный конструктор. Это шаблон, который может взять чертеж какого-то другого образца Жизни (или своего собственного) и построить его. шаблон. Такого еще никто не строил, так как он был бы очень большим, но было показано, что это возможно. Это означает, что модели Жизни могут существуют, которые воспроизводят себя. Они могли даже изменить свои чертежи точно так же, как живые существа комбинируют и мутируют свои гены. Кто что может сказать разовьется в достаточно большой вселенной воспроизводящих моделей Жизни? Для чего нужна жизнь? Изучение закономерностей Жизни может привести к открытиям в других областях. математики и естественных наук. Поведение клеток или животных можно лучше понять с помощью простых правила. Поведение, которое кажется разумным, как мы наблюдаем в муравьиных колониях могут быть просто простые правила, которые мы еще не понимаем. Взгляни на это симуляция термитов, собирающих щепу. (нажмите здесь) В этой системе всего 2 правила, и тем не менее, вроде бы возникает «интеллектуальный» образ. Что это говорит о характере интеллект? Проблемы с дорожным движением можно решить, проанализировав их с помощью математических инструменты, извлеченные из этих типов моделирования. (Распаковка Трафик с компьютерами) Компьютерные вирусы также являются примерами клеточных автоматов. Нахождение лекарство от компьютерных вирусов может быть скрыто в схемах этого простого игра. Болезни человека можно было бы вылечить, если бы мы могли лучше понять, почему клетки жить и умереть. Исследование галактик было бы проще, если бы можно было изобрести машины которые могли построить сами. Представьте себе отправку зонда на Марс, который мог бы создать копию самого себя. Хотя теоретически это возможно, еще не придумали! Жизнь жива? Будут ли живые существа развиваться в достаточно большой вселенной Жизни, если мы ждали достаточно долго? Мы видим, что Жизнь, как бы просто ни было ее описать, демонстрирует большую часть сложности нашей собственной вселенной. это интригует спросить, что произойдет в бесконечно большом пространстве Жизни, засеянном случайные узоры. Кажется вероятным, что сложность возникнет за пределами что мы можем увидеть, когда смотрим Лайф на компьютере. Даже в нашей собственной вселенной, существует огромная разница между тем, что мы знаем о естественной истории и что мы можем наблюдать в человеческих временных рамках. С другой стороны, Жизнь имеет только два измерения, в отличие от нашей вселенной, и это жесткое ограничение. Есть и другие свойства Жизни — склонность к локальной стабилизации в осцилляторы – это может сделать его маловероятное место для развития живых существ. Ответ на этот вопрос остается неизвестным, но Жизнь иллюстрирует на упрощенном уровне виды эволюционных сил, которые мы наблюдаем в нашей собственной вселенной. Библиография Берлекэмп, Конвей и Гай : Winning Ways (для вашего математического Pl ays), том 2, (с) 1982 г. ISBN 0-12-0

Справка апплета

[нет кнопки]

Эта кнопка запускает апплет с шаблоном. Вы можете запустить шаблон, нажав кнопку Go . Создавать свой собственный узор, нажмите кнопку Очистить , и вы можете рисовать на сетке, чтобы создать узор, или выберите один из предустановленных узоров нажав кнопку Открыть . Нажмите Перейти , чтобы начать.

Кнопки

Открыть	Открывает список шаблонов для запуска из.
Перейти (Стоп)	Нажмите, чтобы начать, сделать шаг или остановиться Игра жизни.
Ступенчатое управление Навсегда (+1, -1)	Установка «Навсегда» приведет к тому, что игра шагать по шаблонам. +1 позволяет вам видеть шаг за шагом. Нажмите Перейти , чтобы перейти к следующему шагу. -1 занимает один шаг назад.
Прозрачный	Очищает сетку.
Скорость	Устанавливает скорость генерации шаблона в кадрах в секунду. Вы также можете настроить его на пропуск поколений. Нажмите Нажмите , чтобы снова начать шаблон.
Опции	Позволяет изменить How-Far для пропуска. Это появится в раскрывающемся списке Step Control .
Зум	5 ближе всего можно увеличить в, используйте это для небольших узоров. 0 – это самое дальнее, что вы можете уменьшите масштаб, чтобы увидеть большие узоры.
Выход	Закрыть окно апплета.
Счетчик генерации	Крайний справа номер количество поколений, через которые прошла модель.

Поиск и устранение неисправностей

 
Связаться с нами | Реклама и спонсорство | Товарищество | Ссылка на нас

© 2000-2005 Math.com. Все права защищены. Юридический Уведомления. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Конфиденциальностью Политика.

Виньетки из области математической биологии: применение математики в биологии и медицине

Интерфейс Фокус. 2012 6 августа; 2(4): 397–406.

Опубликовано в сети 1 февраля 2012 г. doi: 10.1098/rsfs.2011.0102

Информация об авторе Примечания к статье Информация об авторских правах и лицензиях Отказ от ответственности

Применение математических моделей в биологии и медицине имеет долгую историю. Из небольшого количества статей в первой половине двадцатого века с несколькими учеными, работающими в этой области, оно превратилось в огромное количество с тысячами активных исследователей. Мы даем краткую и далеко не окончательную историю того, как развивались некоторые части этой области и как менялся тип исследования. Мы опишем более подробно только два примера конкретных моделей, которые имеют непосредственное отношение к реальным биологическим проблемам, а именно: узоры шерсти животных и рост и улучшение изображения глиобластомных опухолей головного мозга.

Ключевые слова: математика, биология, медицина

Несколько человек в далеком прошлом предложили математические модели для решения множества биологических и медицинских задач. Один из первых, Леонардо Пизанский (1202 г.), был не очень серьезным; это было упражнение в его книге по арифметике Liber abbaci . Проблема состоит в том, чтобы начать с пары неполовозрелых кроликов самца и самки в начале сезона размножения. Через один сезон они могут размножаться и производить две пары неполовозрелых кроликов. Затем родители перестают производить потомство, но еще через один сезон неполовозрелые кролики производят по две пары каждый, а затем прекращают. Процесс продолжается точно так же. Вопрос состоит в том, чтобы определить количество пар кроликов в каждый репродуктивный период. Ответ: 1 1 2 3 5 8 13 … : каждое число равно сумме двух предыдущих. Этот хорошо известный ряд теперь известен как ряд Фибоначчи: Леонардо Пизанский был переименован в Фибоначчи в семнадцатом веке. Эта серия возникает в удивительно широком диапазоне ситуаций. Например, если вы посчитаете количество спиралей на сосновой шишке или на головке подсолнуха, это число будет числом Фибоначчи. Это и другие, где наблюдается ряд Фибоначчи, до сих пор остается загадкой, почему.

С ограничением количества статей в этом тематическом выпуске можно кратко описать лишь очень немногие из многочисленных ранних вкладов в развитие этой области. Возможно, первый серьезный пример математической модели медицинской проблемы был у Бернулли [1]. Он предложил модель (модель дифференциального уравнения) для количественной оценки влияния прививки коровьей оспы на распространение оспы. В этой статье приведены некоторые интересные данные о детской смертности, которые используются для оценки практических преимуществ программы контроля вакцинации. Концепция приобретения иммунитета при контакте с болезнью намного старше. Существует древний китайский обычай, согласно которому детей заставляли вдыхать порошок, приготовленный из корок поражений кожи людей, выздоравливающих от оспы. Если бы статья Бернулли была опубликована в первой половине двадцатого века, она считалась бы одной из великих классиков в этой области наравне, например, с работой Лотки [2] и Вольтерры [3] по моделированию двухпопуляционного взаимодействие хищник-жертва, Фишер [4] о генетике естественного отбора, статья Кермака и Маккендрика [5] о моделировании эпидемий, а также Фишер [6] и Колмогоров и др. [7], которые внесли диффузию в свои математические модели некоторых биологических явлений.

Монументальная книга Д’Арси Томпсона «О росте и форме», , впервые опубликованная в 1917 г. [8], не посвящена математическому моделированию как таковому, но математические концепции, связанные с морфологическими паттернами, играли главную роль. Интерес к ней был уже давно. Классическая работа Сент-Илера [9] является замечательным основополагающим примером. Сент-Илер особенно интересовался тератологией и, вероятно, был первым, кто ввел важное понятие ограничения развития, к которому мы вернемся в дальнейшем обсуждении. Д’Арси Томпсон специально отметил отсутствие конкретных форм, что подразумевает осознание ограничений развития. Он подчеркивал параллели между изучением формы в физических системах и изучением биологической формы, что предвещало более поздние работы в этой области. В статье Тьюринга [10] о химических основах морфогенеза имеется всего шесть ссылок, одна из которых относится ко второму изданию книги Д’Арси Томпсона (19). 42).

Хотя это специально не упоминается как отдельная дисциплина, исследования по применению математического моделирования в биомедицинских науках проводились небольшим числом ученых. Признание его важности медленно росло в 1950-х годах, например, благодаря классической Нобелевской премии по нервной проводимости и возбуждению Ходжкина и Хаксли [11]. Набег Тьюринга [10] на биологию в первую очередь практический, но по существу математический: он ничего не говорит о реальной биологии или морфогенезе. Важно, однако, то, что он показал, как модельная система реагирующих и диффундирующих химических веществ в ограниченной области может привести к стационарному пространственному структурированию химических концентраций. Мы вернемся к этому ниже, когда будем обсуждать некоторые приложения моделей формирования паттернов.

В конце 1960-х и в большей степени в 1970-х годах резко возрос интерес к этой области, включая системы реакции-диффузии, в основном изучаемые теоретически, такие как работа Пригожина и Николиса [12], которые повторно представили теорию Тьюринга [10] бумаги, по существу игнорировавшейся до тех пор. Они предложили более простую (математически) модельную систему. Другая влиятельная система реакции-диффузии активатор-ингибитор была предложена Gierer & Meinhardt [13] также на основе концепции химического паттернирования Тьюринга.

Помимо вышеперечисленного, исследования, непосредственно связанные с экспериментом, проводились реже. Мюррей [14] представил модель кинетики ферментов, основанную на диффузии кислорода в клубеньки гороха. Важность миоглобина и гемоглобина в обеспечении кислорода в различных физиологических ситуациях была смоделирована и связана с экспериментом Мюррея [15,16] и Мюррея и Ваймана [17]. Большое влияние на эту область оказала практическая работа Уинфри [18–21] по биологическим часам. Среди его многочисленных оригинальных результатов есть практический метод переустановки биологических часов после длительных перелетов через несколько часовых поясов. Краткий обзор лишь некоторых ранних работ в этой междисциплинарной области, известной сейчас как математическая биология или теоретическая биология, а в последнее время — системная биология, и ее заметный рост с начала XIX века. 70-х годов включен в книгу Мюррея [22]. Исследования теоретических моделей в экологии и эпидемиологии также росли с 1950-х годов: см. основную обзорную статью Левина [23, 24], которая уделяет особое внимание закономерностям и масштабам в экологии. В математическом моделировании термины «реакция» моделируют рост популяции и взаимодействие или, в эпидемиологии, вирулентность и распространение болезни: см., например, Grenfell et al. [25].

С постоянно растущим числом людей, вовлеченных в эту область, росло количество действительно практических примеров, равно как и количество по существу математических статей, в которых основной интерес представляет математика, слабо связанная с какой-либо реальной биологией. К середине 19В 80-е годы все более широко признавалось, что любой реальный вклад моделирования в биологические науки должен быть действительно междисциплинарным и, следовательно, связанным с реальной биологией. Лучшим исследованием было то, которое предлагало модели для конкретных биологических ситуаций и с помощью которых его предсказания подтверждались или иным образом экспериментально и, что важно, помогало нам понять реальные биологические проблемы. Можно упомянуть лишь очень немногие из ныне многочисленных успешных междисциплинарных коллабораций. Тем не менее, существует множество книг с главами, написанными авторами, и протоколами различных собраний, которые дают хорошее представление о том, как развивалась эта область, например книги Бреннера 9.0748 и др. . [26], Jäger & Murray [27], Левин [28], капеллан и др. . [29] и Майни и Отмер [30]. Одна относительно недавняя и важная область развития находится в физиологии, окончательный текст которой написан Кинером и Снейдом [31].

Несмотря на огромное количество исследований и взрывной рост генетики, развитие пространственного паттерна и формы по-прежнему остается одной из центральных проблем эмбриологии. За последние 20–30 лет он породил захватывающие, важные и подлинные междисциплинарные исследования между теоретиками и экспериментаторами, общей целью которых является выяснение основных механизмов, задействованных в эмбриологии и медицине; большинство из этих механизмов по существу до сих пор неизвестны.

В качестве иллюстрации опишем некоторые конкретные биологические проблемы и их моделирование. Мы укажем на некоторые ограничения механизмов реакции-диффузии тьюринговского типа, которые потребовали нового и более поддающегося экспериментальной проверке подхода к формированию биологических паттернов, известного как механическая теория формирования биологических паттернов, предложенная Остером и др. . [32], Мюррей и др. . [33] и Мюррей и Остер [34]. Был проведен большой объем исследований роста опухолей, таких как опухоли головного мозга (см. обзор [36]): в настоящее время они используются в медицине для количественной оценки эффективности индивидуальных сценариев лечения пациентов 9.0748 до для их использования.

Первая подлинная экспериментально обоснованная система реакции-диффузии, которая создавала стационарные химические пространственные структуры в соответствии с предсказаниями Тьюринга, была разработана Томасом [37]. Интересно, что когда вы берете все эти модельные системы и смотрите на диапазоны параметров, которые могут генерировать пространственные паттерны [38], самые большие диапазоны — это диапазоны практической системы, предложенной Томасом [37]. Существует множество обзорных статей и книг, например, «9 книг Мюррея».0748 Mathematical Biology [35,36,39] — которые описывают, среди многих других тем, теорию морфогенеза Тьюринга и ее влияние на моделирование биологического паттерна и формы в деталях и, более конкретно, теорию Тьюринга в обзорной статье [40]. Майни [41] в своем обзоре специально рассматривает паттерн и форму.

С конца 1990-х годов постоянно растет число действительно междисциплинарных исследований, которые охватывают удивительно широкий спектр тем, таких как заживление ран и рак, если упомянуть только две (см. обзор [35,36]). Многое из этого включает моделирование явлений во многих различных масштабах. Одним из примеров является основополагающая работа Гейтенби 9.0748 и др. . [42]. Предположение здесь заключалось в том, что опухолевые клетки создают среду, которая позволяет выбирать определенные мутации и, следовательно, эволюцию популяций мутантных клеток в организме; это называется соматической эволюцией. Авторы проанализировали соматическую эволюцию в этом контексте и показали ряд эволюционных путей в протоковой карциноме in situ . Коллеги предположили, что различные мутантные клоны будут появляться в четко определенной временной последовательности, в то время как математическое моделирование показало, что это маловероятно. Моделирование предсказало, что гипоксия (недостаток кислорода) должна способствовать появлению узелков различного размера мутантного клона определенного типа, окруженных другими типами клеток, и что со временем эти узелки будут расти и сливаться. Это побудило их коллег провести эксперименты, подтвердившие это предсказание. В другом исследовании подчеркивается клеточная адаптация раковых клеток при колоректальном раке [43].

Основная концепция, которую Тьюринг продемонстрировал математически, заключалась в том, что если у вас есть два химических вещества, которые в более поздних исследованиях (таких как [13]) называются активатором и ингибитором, которые реагируют вместе и в то же время диффундируют, решающим образом при при разных скоростях с ингибитором, имеющим больший коэффициент диффузии, такая связанная система уравнений реакции-диффузии может создавать стационарные пространственные закономерности в химических концентрациях реагентов. В начале-середине 19Статья Тьюринга 70-х годов была заново открыта большим количеством теоретиков, и количество публикаций начало увеличиваться. Тесно связана, но не конкретно с работой Тьюринга, основополагающая экспериментальная работа Вольперта [44] о важности химических градиентов в эмбриональном развитии, которая ввела понятие «позиционной информации», когда клетки в химическом градиенте реагируют на химическое воздействие. концентрации, с которой они связаны. Его работа инициировала огромное количество экспериментальных и теоретических работ, часто спорных, которые продолжаются до сих пор. Обзор его работ и взглядов на развитие см. в книге Вольперта [45] о принципах развития.

Чтобы получить интуитивное представление о том, как работает паттерн реакции-диффузии, рассмотрим следующий, хотя и нереалистичный, сценарий поля сухой травы, на котором есть большое количество кузнечиков, которые могут выделять много влаги, потея, если они Согреться. Теперь предположим, что трава подожжена в нескольких случайных точках, и от каждой из них начинает распространяться фронт пламени. Мы можем думать о кузнечике как о ингибиторе, а об огне как активаторе. Если бы не было влаги для тушения пламени, пожары просто распространились бы по всему полю, в результате чего образовался бы однородный обугленный участок. Предположим, однако, что когда кузнечики достаточно согреются, они смогут произвести достаточно влаги, чтобы смочить траву, так что, когда пламя достигнет таких предварительно увлажненных участков, трава не сгорит. Сценарий для неоднородного пространственного распределения участков обгоревшей и необожженной травы выглядит следующим образом. Огонь начинает распространяться; они представляют собой один из «реагентов», активатор, с коэффициентом «диффузии» огня, который количественно определяет, насколько быстро распространяется огонь. Когда кузнечики, ингибитор «реагент», впереди фронтов пламени чувствуют его приближение, они быстро движутся впереди него; то есть они имеют коэффициент «диффузии», который намного больше, чем у фронтов огня. Затем кузнечики обильно потеют и выделяют достаточно влаги, чтобы предотвратить распространение огня на увлажненную территорию. Таким образом, обугленные области ограничены конечными областями, которые зависят от коэффициентов «диффузии» реагентов — огня и кузнечиков — и различных параметров «реакции». Если бы кузнечики и фронты пламени «распространялись» с одинаковой скоростью, такой пространственный паттерн не мог бы развиться.

Мюррей [46] изучал, как формируются узоры шерсти животных, и использовал практический механизм реакции-диффузии Томаса [37] для их изучения. Мюррей показал, что единый механизм предварительного паттерна способен генерировать геометрию рисунка шерсти млекопитающих, от мыши до барсука, жирафа, слона и почти всех промежуточных звеньев, при этом конечный рисунок определяется просто размером и формой шерсти. эмбриона в момент начала процесса формирования паттерна. При решении системы реакция-диффузия решающее значение имеют размер и форма домена. Для данного механизма, если вы попытаетесь смоделировать решения в очень маленькой области с граничными условиями нулевого потока, невозможно получить стационарные пространственные картины. Минимальный размер необходим для управления любым устойчивым пространственным паттерном. Если, например, это длинный тонкий домен, вы можете генерировать только полосы. Вы можете думать об этом интуитивно. Рассмотрим длинный тонкий резервуар, в который вы бросаете камень с одного конца: единственные волны, которые остаются, являются одномерными вдоль резервуара. Если резервуар и длинный, и широкий, например, пруд, а поверхность нарушена, можно получить более сложные двухмерные картины поверхностных волн.

В расчетах был выбран набор параметров реакции и диффузии для системы Томаса [37], который мог вызвать диффузионную неустойчивость и сохранить их фиксированными для всех расчетов. Только менялись масштаб и геометрия домена. На рисунках ниже полученные паттерны окрашены в темный и светлый цвета в областях, где концентрация одного из морфогенов больше или меньше, чем концентрация в гомогенном устойчивом состоянии. Даже при таких ограничениях параметров разнообразие возможных паттернов впечатляет. Для данного размера домена и геометрии каждый набор начальных условий давал похожий, но, что особенно важно, уникальный шаблон.

Предположим, что поверхность, соответствующая области реакции-диффузии, представляет собой прямоугольник. Как уже упоминалось, если поверхность очень мала, она не может иметь какой-либо пространственной структуры: поэтому необходим минимальный размер, чтобы показать пространственную неоднородность. По мере увеличения размера прямоугольника возникает ряд все более сложных пространственных паттернов.

Концепция, лежащая в основе модели, заключается в том, что смоделированные пространственно структурированные решения механизма реакции-диффузии отражают окончательный ландшафт меланина морфогена, наблюдаемый на шерсти животных [36,39].,46–48]. При таком сценарии клетки реагируют на заданный уровень концентрации морфогена, продуцируя таким образом меланин (или, скорее, становясь меланоцитами — клетками, вырабатывающими меланин). На рисунках и и и черные области представляют высокие уровни концентрации меланина. Следует подчеркнуть, что эта модель является гипотетической, проверенной не экспериментально, а косвенно. Основная цель – показать, как масштаб и форма играют важную роль в окраске шерсти животных, как и в других процессах развития. Такой подход также применялся для исследования крыльев чешуекрылых [39].,47,49]. Важно отметить, что последняя работа представляет собой экспериментальное подтверждение их теоретических предсказаний.

Открыть в отдельном окне

( a ) Примеры ограничения развития. Пятнистые животные могут иметь полосатые хвосты, но не наоборот. Слева направо: типичные рисунки хвоста леопарда, гепарда и генета вместе с решениями из системы реакции-диффузии, которые могут генерировать стационарные пространственные паттерны. Геометрия и масштаб при активации механизма рисунка играют решающую роль в получаемых рисунках шерсти. Темные области представляют области высокой концентрации морфогена. (Работа на хвосте воспроизведена с разрешения Патрисии Винн. ) ( b ) Гепард ( Acinonyx jubatus ) в Серенгети: пример ограничения развития, описанного в ( a ). (Фотография предоставлена ​​профессором Эндрю Добсоном.)

Открыть в отдельном окне

( a ) На них показаны результаты численного моделирования модели реакции-диффузии, предложенной для образования отметин на шерсти животных; это тот же механизм, который используется в . Параметры модели также были одинаковыми; менялся только масштабный параметр. Размеры доменов были уменьшены, чтобы соответствовать одной фигуре, но при моделировании была разница в масштабе 1000 между самой маленькой и самой большой фигурой. ( b ) Пример первой бифуркации: валезская черношейная коза. (Фотография предоставлена ​​Б. С. Тернером Хофом, Wikimedia Commons.)

Примером того, как геометрия ограничивает возможные режимы паттерна, является случай, когда область настолько узка, что могут существовать только простые, по существу одномерные, режимы. Двумерные шаблоны требуют, чтобы домен имел достаточную ширину, а также длину. Рассмотрим сужающийся цилиндр. Если радиус на одном конце достаточно велик, на поверхности могут существовать двумерные узоры. Таким образом, такой сужающийся цилиндр может демонстрировать градацию от двухмерного узора до простых полос, как в 9.0748 и .

Сначала были вычислены решения системы реакция-диффузия в областях, показанных на рис. Все эти домены сужаются, как показано. Это показывает, что коническая область требует, чтобы не было хвоста с пятнами на кончике и полосами у основания, а только наоборот: показаны некоторые примеры конкретных хвостов животных. Это подлинный пример ограничения развития . Яркими примерами этого являются гепарды, а также другие пятнистые животные. Кот Джеффри ( Leopardus geoffroyi ), названный в честь Жоффруа Сент-Илера, который много путешествовал по югу и востоку Южной Америки, места обитания этого животного, является менее известным примером пятнистой кошки, у которой выставлены и хвост, и ноги. ограничение развития. Если пороговый уровень морфогена немного отличается, то будет развиваться качественно сходный паттерн. Таким образом, могут образовываться совершенно разные, но в целом схожие узоры, которые могут служить объяснением различных типов узоров у разных видов одного и того же животного жанра, таких как жираф.

Толкование заключается в том, что если размер кожи животного слишком мал, когда активируется механизм формирования паттерна, как у мыши, или слишком велик, как у гиппопотама и слона, то не будет наблюдаться четкого паттерна, и эти животные по существу однородный по цвету. Между ними наблюдается все более сложный узор по мере увеличения размера: первые два бифуркации показаны на более крупных животных, все еще демонстрирующих рисунок шерсти, но выглядящих постепенно однородными по цвету, как показано на 9.0748 и .

Обратите внимание на место соединения задней ноги с корпусом в b . Это типично для модельного моделирования [36,39,48]. Поскольку окончательный рисунок зависит от того, когда активируется механизм формирования рисунка, а также от случайных начальных условий, рисунок шерсти каждого животного уникален. Более широкие и меньшее количество полос у зебры , Equus burchelli , является результатом другого времени начала формирования паттерна, как подробно описано Мюрреем [36,39]. Хотя редко, но встречаются аберрации, такие как полосатая черная овца, черная зебра с белыми полосами и т. д. [36]: они, вероятно, являются результатом генетической мутации. Возможное выживание этих двух конкретных видов зебр совершенно различно и подробно обсуждается в интересной статье Рубинштейна [50].

Открыть в отдельном окне

Фотографии животных, демонстрирующих последовательные схемы бифуркации: ( a ) коровы Галлоуэй с поясом. (Фотография предоставлена ​​Алланом Райтом.) ( b ) Типичные полосы на лопатке зебры Греви ( Equus grevyi ). (Фотография любезно предоставлена ​​профессором Даниэлем Рубинштейном. )

Произошли многочисленные разработки и возросло понимание того, как узор шерсти животных, рыб и бабочек, например, формируется с добавлением и комбинацией других формирующих узор механизмов, таких как хемотаксис, при котором происходит движение клеток вверх по химическому градиенту. Существует множество обзорных статей и книг. Например, Бейкер и др. [51] обсуждают формирование сомитов, Painter et al. [52] рассматривают образование полосок у рыб за счет хемотаксиса, Camazine et al. [53], Maini [41,54], Suzuki и др. [55] и Кондо и др. [56] обсуждают эволюцию узоров рыб и других видов с узорами.

В интересной статье Allen et al . [57] отмечают, что понимание разнообразия рисунков шерсти животных требует понимания как механизмов, которые их создают, так и их адаптивной ценности. Среди прочего они обсуждают преимущества конкретных паттернов в разных средах. Они используют модель реакции-диффузии, но их выводы носят общий характер и не опираются на конкретные модели реакции-диффузии. Они убедительно показывают, как различные маркировки связаны с конкретными природными средами для конкретных полей.

Практическое применение математического моделирования, которое, как оказалось, имеет важное медицинское значение, заключается в росте и контроле глиобластом, наиболее агрессивных опухолей головного мозга, которые всегда приводят к летальному исходу, независимо от любого из существующих методов лечения. Траки и др. . [58] и Cruywagen и др. . [59] были первыми, кто предложил базовую модель, анализ которой оказался полезным для медицины. Вудворд и др. . [60] показали поведение хирургически леченных глиом высокой степени злокачественности с точностью, которая была невозможна in vivo со статистически значимой вероятностью даже при группах более 50 реальных пациентов [61]. Берджесс и др. . [62] разработали трехмерную модель, которая является основой для последующих трехмерных моделей, используемых в настоящее время. Эта статья подтвердила ограничения существующих методов визуализации, ограничения которых все еще существуют. Берджесс и др. . [62] также были первыми, кто продемонстрировал, что диффузия раковых клеток, в основном игнорировавшаяся до того времени, является основным компонентом роста глиомы. Они показали, что только те опухоли с низкой скоростью диффузии могут выиграть от широкой хирургической резекции, хотя в конечном итоге всегда будет многоочаговый рецидив, как было ясно показано в их исследовании.

Практическая базовая математическая модель (полный обзор дан Мюрреем [36]) охватывает два ключевых элемента роста опухолей, а именно инвазивные диффузионные свойства раковых клеток и скорость их роста. Качественно модель записывается как

5,1

, математическая форма которой имеет вид

5,2

, где c ( x , t ) — плотность клеток глиомы, измеренная в клетках, при положение, x , в мозгу в момент времени, t , измеренное в месяцах, D ( x ) представляет собой клеточную диффузию (инвазию), измеренную в мм ² в месяц, которая количественно определяет инвазивность раковых клеток в положении x в головном мозге и ρ — чистая скорость пролиферации (в месяц) раковых клеток, которая дает время оборота клеток как log 2/ ρ (месяцев).

Используя модель, сканирование мозга двух отдельных пациентов позволяет определить ключевые параметры модели, а именно диффузию, D , а рост клеток ρ необходимо рассчитать [63,64]. С этими значениями параметров мы можем предсказать рост таких опухолей головного мозга и, что важно, оценить ключевые аспекты роста опухоли и реакцию отдельных пациентов на различные протоколы лечения до на их использование. представляет собой расчетное решение уравнения (5.2) в анатомически правильном мозге: оно показывает обнаруживаемую опухоль при смерти и распространение опухолевых клеток за пределы того, что может быть обнаружено с помощью наиболее точной современной компьютерной томографии (КТ) или магнитно-резонансной томографии (МРТ). ) техники. Таким образом, моделирование модели значительно улучшает существующие методы визуализации для любого требуемого уровня плотности раковых клеток. Модельный анализ показывает, как быстро растет опухоль и, что важно, в какой части головного мозга [64,65].

Открыть в отдельном окне

Расчетные решения уравнения (5.2) в трехмерном анатомически точном мозге. На них показан горизонтальный разрез виртуального человеческого мозга через место исходной опухоли («плюс» в ( a ), «звездочка» в ( b )). Левое изображение в каждом из них — это опухоль при постановке диагноза, а правое изображение — та же опухоль в момент смерти. Толстый черный контур определяет край опухоли, который можно обнаружить при усиленной КТ. Синие контуры за пределами этой черной линии представляют собой линии с постоянной плотностью раковых клеток на периферии границ визуализации. ( a ) Опухоль в сером веществе: время от постановки диагноза до смерти составляет примерно 8 месяцев. ( b ) Опухоль белого вещества: время от постановки диагноза до смерти составляет примерно 5 месяцев. (Рисунки адаптированы из [64].)

При обнаружении глиомы она росла в течение многих месяцев. По сканам анатомически правильного мозга пациента рассчитывают объем эквивалентной сферы радиусом х . Для большого времени, t , решение (5.2) дает (см. [35,36]) примерный радиус обнаруживаемой опухоли и скорость роста v , примерно как

5,3

То есть эквивалентный радиальный рост является линейным во времени, что было подтверждено Mandonnet et al . [66].

Если принять во внимание, что обнаружение происходит, когда эквивалентный объем сферической опухоли обычно имеет радиус 15 мм, а смерть наступает при радиусе 30 мм [64,65], приблизительное время выживания после обнаружения при отсутствии какого-либо лечения составляет дано из (5.3) по

5,4

Типичные скорости роста варьируют в широких пределах, примерно от 1 до 5/мес, а скорости диффузии от 1 до 8 мм ² /мес.

Однако время выживания зависит от того, где в основном расположена опухоль. Если это, например, прежде всего серая область таламуса, диффузия меньше и, следовательно, время выживания больше, как ясно из выражения (5.4).

Математический анализ уравнения модели показывает, что примерный эквивалентный диаметр опухоли и крутизна плотности раковых клеток у ее примерного края, определяющая площадь хирургического удаления (резекции), равны

5,5

Чем меньше коэффициент диффузии, тем круче край опухоли и меньше ее толщина, а это означает, что больший объем опухоли можно удалить хирургическим путем. Хирургия, никогда не приводившая к успеху, может быть непосредственно включена в модель (5.2), как это первоначально было сделано Woodward и др. . [60]. Точно так же может быть включено и излучение, а также возможно более точное излучение. Оба они приводят к увеличению ожидаемой продолжительности жизни, чем при больших коэффициентах диффузии, поскольку требуется больше времени для возникновения рецидива из оставшихся раковых клеток за пределами объема резекции. Анализ этой базовой модели предоставляет подлинную медицинскую информацию, которая повышает эффективность современных методов лечения и, что особенно важно, позволяет проводить их количественную оценку для отдельных пациентов до для их использования (например, [65]). Помимо прочего, также наглядно показано, почему повторный рост опухоли неизбежно многоочаговый после операции.

Это был очень короткий и личный выбор из обширной литературы, связанной с применением математических моделей в биомедицинских науках. В 1980-х годах, когда большинство выводов исследований были спекулятивными, количество новых применений моделей реакции-диффузии уменьшилось, поскольку демонстрация существования специфических морфогенов оказалась неуловимой. Это привело к новой механохимической теории биологического паттерна и формы, упомянутой выше, которая была основана на экспериментальных данных о реальных клетках и силах, которые они могли проявлять при порождении паттерна и формы. С середины 19В 90-х годах практическое использование моделей реакции-диффузии снова увеличилось, как и исследования и разработки механо-химической теории формирования паттернов Остера-Мюррея, поскольку было обнаружено больше экспериментальных данных и подтверждений предсказаний моделирования.

Эти механо-химические модели предполагают, что клетки двигаются в ответ на внешние физические и химические сигналы и формируют пространственные паттерны: полное обсуждение см. в Murray [36,39]. Механо-химический подход Остера и Мюррея напрямую привнес силы и известные измеримые свойства биологической ткани в процесс формирования морфогенетического паттерна. Механизмы начинаются с известных экспериментальных фактов о эмбриональных клетках и тканях, участвующих в развитии. Они использовались для построения модельных механизмов, отражающих эти физические факты. В основном они придерживались точки зрения, что механические морфогенетические движения сами создают рисунок и форму. Модели количественно определяют скоординированное движение и формирование паттернов популяций клеток. Модели основаны на экспериментальных наблюдениях за тем, что ранние эмбриональные дермальные клетки способны к независимому движению и обладают способностью генерировать тяговые силы посредством длинных пальцевидных выступов, называемых филоподиями. Они могут прикрепляться к адгезивным участкам внеклеточного матрикса ткани (ECM) и, таким образом, тянуться за собой; в то же время они деформируют ECM. Этому натяжению клеток противодействует вязкоупругость ВКМ. Оркестровка различных физических эффектов может генерировать пространственные паттерны агрегации в плотности числа клеток, а модели показывают, как параметры влияют на размер и форму паттернов и когда они могут формироваться. Здесь происходит формирование паттерна и морфогенез одновременно как единый процесс. Работа над этими моделями привела к пониманию и предложению многочисленных примеров ограничений развития и морфогенетических правил, которые были подтверждены экспериментом и предложили новые направления исследований: см., например, Alberch [67,68], Alberch & Gale [ 69] и Шубина и Альберха [70].

Несмотря на важные разработки за последние 20 лет, хотя теперь мы знаем гораздо больше о разработке паттернов, большинство механизмов до сих пор до конца не изучены. Мы не знаем, например, полных механизмов формирования хрящевых узоров в развивающихся конечностях, или специализированных структур кожи, таких как перья, чешуя, железы и волосы, или множества широко наблюдаемых узоров. Многие из богатого спектра пространственных паттернов, наблюдаемых в процессе развития, возникают из однородной массы клеток, управляемых генами, которые инициируют и контролируют механизмы формирования паттернов: сами гены не участвуют в фактическом физическом процессе генерации паттернов. Основная философия практического моделирования в биологии состоит в том, чтобы попытаться включить физико-химические явления, которые, согласно наблюдениям и экспериментам, происходят во время развития, в модельную механистическую структуру, которую затем можно изучать математически, и, что важно, результаты, связанные с вернемся к биологии. Эти морфогенетические модели предоставляют эмбриологу возможные сценарии того, как и когда закладывается паттерн, как могут создаваться элементы в эмбрионе и какие ограничения на возможные паттерны накладываются различными моделями. Многие ссылки в этой статье значительно расширили наше понимание биологии.

И механо-химические модели, и модели реакции-диффузии были плодотворно применены к широкому кругу биологических проблем в морфогенезе и в других областях, включая расположение зачатков перьев, заживление ран, рубцевание ран, образование хрящей, структуры раковин и моллюсков и многие другие. . Почти наверняка оба механизма участвуют в развитии, и хотя они в некотором смысле являются конкурирующими теориями, мы не думаем о них как о таковых, а скорее о механизмах, дополняющих друг друга. Возможно, самое фундаментальное различие между теориями состоит в том, что все элементы, вовлеченные непосредственно в механическую теорию, являются реальными биологическими величинами, а именно клетками, тканями и силами, создаваемыми клетками. Все задействованные количества поддаются измерению. В конце концов, однако, ключевым аспектом этих механизмов является их способность предсказывать последующую форму и структуру, что можно проверить экспериментально.

Окончательный арбитр правильности и полезности модели заключается не в том, какие биологические паттерны она генерирует (хотя первым необходимым условием для любой такой модели является то, что она должна быть способна генерировать биологически наблюдаемые паттерны), а в том, насколько последовательной она выглядит в в свете последующих экспериментов и наблюдений.

Взрыв биохимических методов за последние несколько десятилетий привел к еще большему увеличению наших биологических знаний, но частично затмил изучение промежуточных механизмов, которые переводят влияние генов в химические вещества, в градиенты, в структуру и форму. В результате в этой области еще многое предстоит сделать как экспериментально, так и теоретически.

Как видно из многих статей, упомянутых здесь, модели и их биологические предсказания обнадеживающе послужили основным стимулом для проведения критических экспериментов, которые привели к значительным открытиям. Это, конечно, должно быть целью любого математического биологического моделирования, а именно стимулировать каким-либо образом любые усилия, которые приводят к дальнейшему пониманию биологии.

Очевидно, мы коснулись только поверхности огромного, важного и постоянно расширяющегося междисциплинарного мира. Биология в самом широком смысле, несомненно, является наукой обозримого будущего. Ясно то, что применение математического моделирования в биологических, медицинских, экологических и психологических науках будет играть все более важную роль в будущих крупных открытиях и стратегиях контроля. Постоянно растет число областей, в которых важно теоретическое моделирование, таких как социальное поведение, сохранение животных при изменении окружающей среды в результате землепользования человеком, изменение климата и так далее. Например, в случае с зебрами Рубенштейн [50] показывает, выясняя, как виды приспосабливаются к конкретным изменениям окружающей среды, таким как землепользование, почему зебра Греви ( Equus grevyi : см. b ) находится на грани исчезновения, в то время как другой ( Equus burchelli ) адаптировал свое поведение, чтобы выжить. Поведенческая экология – еще одна важная расширяющаяся область исследований. Как стаи насекомых, стаи птиц, косяки рыб, животные и т. д. влияют на решения сообщества — это еще одна захватывающая, относительно новая, быстро развивающаяся область: см., например, Simpson et al . [71], Buhl и др. . [72] и Набет и др. . [73].

В настоящее время математическая биология насчитывает тысячи активных исследователей практически во всех биомедицинских науках. Математическое моделирование в социальных науках — еще одна область роста в будущем. Одним из примеров их участия является теоретическая модель, разработанная для крупного исследования супружеских отношений и предсказания разводов. Базовая модель и ее практическое применение основаны на модели, впервые предложенной Куком 9.0748 и др. . [74], разработано и использовано в крупном исследовании 700 молодоженов: см. Gottman et al . [75,76] и книгу Мюррея [35] для краткого обзора. Предсказание стабильности брака в будущем оказалось на удивление точным, с точностью 94%. Его использование в супружеской терапии оказалось очень успешным.

Другим положительным моментом, хотя он все еще находится в зачаточном состоянии и не является общепринятым, является осознание того, что в медицинской подготовке, медицинских испытаниях и т. д. часто отсутствует подлинный научный процесс: текущий (2011 г.) спор о использование тестов на специфический антиген простаты (PSA) и рак предстательной железы являются лишь одним из примеров. Суонсон объяснил серьезную аномалию тестов на ПСА 9.0748 и др. . [77].

Важнейшим аспектом всех математических или теоретических биологических исследований такого рода является их подлинное междисциплинарное содержание. Невозможно, чтобы математическое моделирование само по себе могло решить основные биологические проблемы. С другой стороны, крайне маловероятно, чтобы даже достаточно полное понимание могло прийти исключительно из эксперимента.

1. Бернулли Д. 1760. Essai d’une nouvelle analysis de la death causée par la petite vérole, et des avantages de l’inoculation pour la prévenir. История Академии. Рой. науч. (Париж) с Mém. де Матем. и физ. и Мем. 1–45 [Google Академия]

2. Лотка А.Ю. 1925 г. Элементы физической биологии. Балтимор, Мэриленд: Уильямс и Уилкинс [Google Scholar]

3. Вольтерра В. 1926 год. Variazionie fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi. [Перевод Р. Н. Чепмена. В: Экология животных , стр. 409–448. McGraw Hill, Нью-Йорк, 1931], мем. акад. Линчеи. 2, 31–113 [Google Scholar]

4. Фишер Р. А. 1930. Генетическая теория естественного отбора. (Перепечатано в 1958 г.) Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр [Google Scholar]

5. Кермак В. О., МакКендрик А. Г. 1932 год. Вклад в математическую теорию эпидемий. проц. Р. Соц. Лонд. А 138, 55–83 [Google Scholar]

6. Фишер Р. А. 1937 год. Волна продвижения выгодных генов. Анна. Евгеника 7, 353–369 [Google Scholar]

7. Колмогоров А., Петровский И., Пискунов Н. 1937 год. Исследование оценки диффузии с круассансом количественного определения материи и его приложение к биологической проблеме. Московский университет, Бюлл. Мат. 1, 1–25 [Google Scholar]

8. Д’Арси Томпсон В. 1917. По росту и форме. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета [Google Scholar]

9. Сент-Илер Г. 1836. Traité de Tératologie, тома 1–3 Париж, Франция: Baillière [Google Scholar]

10. Тьюринг А. М. 1952. Химическая основа морфогенеза. Фил. Транс. Р. Соц. Лонд. Б 237, 37–72 10.1098/rstb.1952.0012 (doi:10.1098/rstb.1952.0012) [CrossRef] [Google Scholar]

11. Ходжкин А. Л., Хаксли А. Ф. 1952. Количественное описание мембранного тока и его приложение к проводимости и возбуждению в нерве. Дж. Физиол. (Лонд.) 117, 500–544 [бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

12. Пригожин И., Николис Г. 1967. О неустойчивостях нарушения симметрии в диссипативных системах. Дж. Хим. физ. 46, 3542–3551 [Google Scholar]

13. Gierer A., ​​Meinhardt H. 1972. Теория формирования биологического паттерна. Кибернетик 12, 30–39 10.1007/BF00289234 (doi:10.1007/BF00289234) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

14. Мюррей Дж. Д. 1968 год. Простой метод получения приближенных решений для класса диффузионно-кинетических ферментативных задач. I. Общий класс и иллюстративные примеры. Мат. Бионауч. 2, 379–411 10.1016/0025-5564(68)

-4 (doi:10.1016/0025-5564(68)
-4) [CrossRef] [Google Scholar]

15. Мюррей Дж. Д. 1971. О молекулярном механизме облегченной диффузии кислорода гемоглобином и миоглобином. проц. Р. Соц. Лонд. Б 178, 95–110 10.1098/rspb.1971.0054 (doi:10.1098/rspb.1971.0054) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

16. Мюррей Дж. Д. 1974. О роли миоглобина в мышечном дыхании. Дж. Теор. Биол 47, 115–126 10.1016/0022-5193(74)

-7 (doi:10.1016/0022-5193(74)
-7) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

17. Мюррей Дж. Д., Вайман Дж. 1971. Облегченная диффузия: случай монооксида углерода. Дж. Биол. хим. 246, 5903–5906 [PubMed] [Google Scholar]

18. Winfree A. T. 1970. Интегрированный взгляд на сброс циркадных часов. Дж. Теор. биол. 28, 327–374 10.1016/0022-5193(70)

-5 (doi:10.1016/0022-5193(70)

-5) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

19. Winfree A. T. 1975 год. Сброс биологических часов. физ. Сегодня 28, 34–3910.1063/1.3068875 (doi:10.1063/1.3068875) [CrossRef] [Google Scholar]

20. Уинфри А. Т. 1987. Ход биологических часов. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Scientific American Books [Google Scholar]

21. Уинфри А. Т. 2000. Геометрия биологического времени, 2-е изд. Берлин, Германия: Springer [Google Scholar]

22. Мюррей Дж. Д. 1977. Модели нелинейных дифференциальных уравнений в биологии. Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press [Google Scholar]

23. Левин С. А. 1992. Проблема закономерности и масштаба в экологии. Экология 73, 1943–1967 10.2307/1941447 (doi:10.2307/1941447) [CrossRef] [Google Scholar]

24. Левин С.А. (ред.) 1994. Границы математической биологии. Берлин, Германия: Springer [Google Scholar]

25. Гренфелл Б. Т., Пибус О. Г., Гог Дж. Р., Вуд Дж. Л. Н., Дейли Дж. М., Мамфорд Дж. А., Холмс Э. К. 2004. Объединение эпидемиологической и эволюционной динамики возбудителей. Наука 303, 327–332 10.1126/science.10 (doi:10.1126/science.10) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

26. Бреннер С., Мюррей Дж. Д., Вулперт Л. (редакторы) 1981. Теории формирования биологических моделей. Лондон, Великобритания: Королевское общество [Google Scholar]

27. Jäger W., Murray JD (eds) 1984. Моделирование закономерностей в пространстве и времени. В проц. Семинар по моделированию закономерностей в пространстве и времени, Гейдельберг, Германия, 4–8 июля 1983 г. Конспект лекций по биоматематике, том. 55. Берлин, Германия: Springer-Verlag. [Google Scholar]

28. Левин С. А. 1994. Границы в науке об экосистемах. В Frontiers в математической биологии (под ред. Левин С.А.), стр. 381–389.. Конспект лекций по биоматематике, том. 100. Берлин, Германия: Springer-Verlag. [Google Scholar]

29. Капеллан М. А. Дж., Сингх Г. Д., Маклахлан Дж. К. 1999. О росте и формообразовании пространственно-временных закономерностей в биологии. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley [Google Scholar]

30. Майни П. К., Отмер Х. Г. (редакторы) 2001. Математические модели для математики формирования биологических моделей и ее приложений. ИМА , том. 121 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer [Google Scholar]

31. Кинер Дж., Снейд Дж. 2008. Математическая физиология, 2-е изд. Берлин, Германия: Springer [Google Scholar]

32. Остер Г. Ф., Мюррей Дж. Д., Харрис А. К. 1983. Механические аспекты мезенхимального морфогенеза. Дж. Эмбриол. Эксп. Превращаться. 78, 83–125 [PubMed] [Google Scholar]

33. Мюррей Дж. Д., Остер Г. Ф., Харрис А. К. 1983. Механическая модель мезенхимального морфогенеза. Дж. Матем. биол. 17, 125–129 [PubMed] [Google Scholar]

34. Мюррей Дж. Д., Остер Г. Ф. 1984. Генерация биологического паттерна и формы. ИМА Дж. Матем. заявл. Мед. биол. 1, 51–75 10.1093/imammb/1.1.51 (doi:10.1093/imammb/1.1.51) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

35. Мюррей Дж. Д. 2002. Математическая биология. I. Введение, 3-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer [Google Scholar]

36. Мюррей Дж. Д. 2003. Математическая биология. II. Пространственные модели и биомедицинские приложения, 3-е изд. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. [Google Scholar]

37. Томас Д. 1975 год. Искусственные ферментные мембраны, транспорт, память и колебательные явления. В Анализе и контроле систем иммобилизованных ферментов (ред. Томас Д., Керневез Дж.-П.), стр. 115–150. Берлин, Германия: Springer [Google Scholar]

38. Мюррей Дж. Д. 1982. Пространство параметров неустойчивости Тьюринга в механизмах реакции-диффузии: сравнение моделей. Дж. Теор. биол. 98, 143–163 10.1016/0022-5193(82)

-7 (doi:10.1016/0022-5193(82)

-7) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

39. Мюррей Дж. Д. 1989. Математическая биология. Гейдельберг, Германия: Springer [Google Scholar]

40. Мюррей Дж. Д. 1990. Теория морфогенеза Тьюринга — ее влияние на моделирование биологического паттерна и формы. Бык. Мат. биол. 52, 119–152 10.1016/S0092-8240(05)80007-2 (doi:10.1016/S0092-8240(05)80007-2) [CrossRef] [Google Scholar]

41. Майни П.К. 2004. Использование математических моделей для понимания формирования биологического паттерна. CR Biol. 327, 225–234 10.1016/j.crvi.2003.05.006 (doi:10.1016/j.crvi.2003.05.006) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

42. Gatenby R. A., Smallbone K., Maini P. K. , Роуз Ф., Аверилл Дж., Нэгл Р. Б., Уорролл Л., Гиллис Р. Дж. 2007. Адаптация клеток к гипоксии и ацидозу при соматической эволюции рака молочной железы. бр. Дж. Рак 97, 646–653 10.1038/sj.bjc.6603922 (doi:10.1038/sj.bjc.6603922) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

43. Johnston M.D., Edwards C.M., Bodmer W.F. , Майни П.К., Чепмен С.Дж. 2007. Математическое моделирование динамики клеточных популяций в криптах толстой кишки и колоректальном раке. проц. Натл акад. науч. США 104, 4008–4013 10.1073/pnas.0611179104 (doi:10.1073/pnas.0611179104) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

44. Wolpert L. 1969. Позиционная информация и пространственный паттерн клеточной дифференцировки. Дж. Теор. биол. 25, 1–47 10.1016/S0022-5193(69)80016-0 (doi:10.1016/S0022-5193(69)80016-0) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

45. Вольперт Л. 2006. Принципы развития. Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press [Google Scholar]

46. Мюррей Дж. Д. 1981. Механизм формирования предварительного рисунка для отметин на шерсти животных. Дж. Теор. биол. 88, 161–199 10.1016/0022-5193(81)-9 (doi:10.1016/0022-5193(81)-9) [CrossRef] [Google Scholar]

47. Murray J.D. 1981. О механизмах формирования рисунков крыльев чешуекрылых и отметин на шерсти млекопитающих. Фил. Транс. Р. Соц. Лонд. Б 295, 473–496 10.1098/rstb.1981.0155 (doi:10.1098/rstb.1981.0155) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

48. Мюррей Дж. Д. 1988 год. Узоры шерсти млекопитающих: откуда у леопарда появляются пятна. науч. Являюсь. 256, 80–87 10.1038/scientificamerican0388-80 (doi:10.1038/scientificamerican0388-80) [CrossRef] [Google Scholar]

2003. Формирование рисунка пигментации у бабочек: эксперименты и модели. CR Biol. 326, 717–727 10.1016/j.crvi.2003.08.004 (doi:10.1016/j.crvi.2003.08.004) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

50. Рубенштейн Д. И. 2010. Экология, социальное поведение и сохранение зебр. В Достижениях в изучении поведения: поведенческая экология тропических животных, том. 42 (изд. Маседо Р.), стр. 231–258. Оксфорд, Великобритания: Elsevier Press [Google Scholar]

51. Бейкер Р. Э., Шнелл С., Майни П. К. 2006. Механизм часов и волнового фронта для формирования сомитов. Дев. биол. 293, 116–126 10.1016/j.ydbio.2006.01.018 (doi:10.1016/j. ydbio.2006.01.018) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

52. Painter K.J., Maini P.K., Othmer H.G. 1999. Образование полос у молоди Pomacanthus объясняется обобщенным механизмом Тьюринга с хемотаксисом. проц. Натл акад. науч. США 96, 5549–5554 10.1073/pnas.96.10.5549 (doi:10.1073/pnas.96.10.5549) [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

53. Camazine S., Deneubourg J.- Л., Фрэнкс Дж., Снейд Дж., Тераулаз Г., Бонабо Э. 2001. Самоорганизация в биологических системах. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press [Google Scholar]

54. Майни П.К. 2003. Как у мыши появились полосы. проц. Натл акад. науч. США 100, 9656–9657 10.1073/pnas.1734061100 (doi:10.1073/pnas.1734061100) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

55. Судзуки Н., Хирата М., Кондо С. 2003. Передвижные полосы на коже мыши-мутанта. проц. Натл акад. науч. США 100, 9680–9685 ​​10.1073/pnas.1731184100 (doi:10.1073/pnas.1731184100) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

56. Kondo S., Iwashita M., Yamaguchi M. 2009. Как у животных получаются узоры на коже: рисунок рыбьего пигмента как живая волна Тьюринга. Инст. Дж. Дев. биол. 53, 851–856 10.1387/ijdb.072502sk (doi:10.1387/ijdb.072502sk) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

57. Аллен В. Л., Катхилл И. К., Скотт-Самуэль Н. Э., Баддели Р. 2011. Почему у леопарда появились пятна: связь развития рисунка с экологией у кошачьих. проц. Р. Соц. Б 278, 1373–1380 10.1098/rspb.2010.1734 (doi:10.1098/rspb.2010.1734) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

58. Tracqui P., Cruywagen G.C., Woodardo D.E., Barto. , Мюррей Дж. Д., Алворд Э. К., мл. 1995. Математическая модель роста глиомы: влияние химиотерапии на пространственно-временной рост. Селл Пролиф. 28, 17–31 10.1111/j.1365-2184.1995.tb00036.x (doi:10.1111/j.1365-2184.1995.tb00036.x) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

Алворд Э.К., младший 1995. Моделирование диффузных опухолей. Дж. Биол. Сист. 3, 937–945 10.1142/S02183300836 (doi:10. 1142/S02183300836) [CrossRef] [Google Scholar]

60. Woodward D. E., Cook J., Tracqui P., Cruywagen G. C., Alvord J. D. 1996. Математическая модель роста глиомы: влияние объема хирургической резекции. Селл Пролиф. 29, 269–288 10.1111/j.1365-2184.1996.tb01580.x (doi:10.1111/j.1365-2184.1996.tb01580.x) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

61. Kelly P. J., et al. 1987. Стереотаксическая серийная биопсия на основе изображений при нелеченых внутричерепных глиальных новообразованиях. Дж. Нейрохирург. 66, 865–874 10.3171/jns.1987.66.6.0865 (doi:10.3171/jns.1987.66.6.0865) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

62. Берджесс П. К., Кулеса П. М., Мюррей Дж. Д., Алворд 1997. Взаимодействие скоростей роста и коэффициентов диффузии в трехмерной математической модели глиом. Дж. Нейропатол. Эксп. Нейрол. 56, 704–713 [PubMed] [Google Scholar]

63. Суонсон К.Р., Алворд Э.К., мл., Мюррей Дж.Д. 2000. Количественная модель дифференциальной подвижности глиом в сером и белом веществе. Селл Пролиф. 33, 317–329 10.1046/j.1365-2184.2000.00177.x (doi:10.1046/j.1365-2184.2000.00177.x) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

64. Суонсон К.Р., Алворд Э.С., мл., Мюррей Дж.Д. 2002. Виртуальные опухоли головного мозга (глиомы) улучшают реальность медицинской визуализации и подчеркивают неадекватность современной терапии. бр. Дж. Рак 86, 14–18 10.1038/sj.bjc.6600021 (doi:10.1038/sj.bjc.6600021) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

65. Суонсон К.Р., Алворд Э.К., мл., Мюррей Дж.Д. 2002. Количественная оценка эффективности химиотерапии опухолей головного мозга с гомогенной и гетерогенной доставкой лекарств. Акта Биотеор. 50, 223–237 10.1023/A:1022644031905 (doi:10.1023/A:1022644031905) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

, Капель Л. 2003. Непрерывный рост среднего диаметра опухоли в подмножестве глиом II степени ВОЗ. Анна. Нейрол. 53, 524–528 10.1002/ana.10528 (doi:10.1002/ana.10528) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

67. Альберх П. 1982. Ограничения развития в эволюционных процессах. В разделе «Эволюция и развитие», отчет конференции Далема, том. 20 (изд. Боннер Дж. Т.), стр. 313–332. Берлин, Германия: Springer [Google Scholar]

68. Альберх П. 1989. Логика монстров: свидетельство внутренней ограниченности в развитии и эволюции. Геобиос 12, 21–57 10.1016/S0016-6995(89)80006-3 (doi:10.1016/S0016-6995(89)80006-3) [CrossRef] [Google Scholar]

69. Alberch P., Gale E. 1983. Размерная зависимость при развитии стопы земноводных. Колхицин вызывал потерю и редукцию пальцев. Дж. Эмбриол. Эксп. Морфол. 76, 177–197 [PubMed] [Google Scholar]

70. Шубин Н., Альберч П. 1986 год. Морфогенетический подход к происхождению и базовой организации конечностей четвероногих. В «Эволюционной биологии», том. 20 (ред. Хехт М., Уоллес Б., Стир В.), стр. 319–387. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Plenum [Google Scholar]

71. Симпсон С. Дж., Деспланд Э., Хегеле Б. Ф., Доджсон Т. 2001. Стайное поведение пустынной саранчи вызывается прикосновением к ее задним ногам. проц. Натл акад. науч. США 98, 3895–3897 ​​10.1073/pnas.071527998 (doi:10.1073/pnas.071527998) [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

72. Buhl J., Sumpter D.J.T., Couzin I.C., Hale J., Despland E., Miller E., Simpson S.J. 2006. От беспорядка к порядку в походной саранче. Наука 213, 1402–1406 10.1126/science.1125142 (doi:10.1126/science.1125142) [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

73. Набет Б., Леонард Н., Кузин И. Д., Левин С. А. 2009. Динамика принятия решений в групповом движении животных. J. Нелинейные науки. 19, 399–435 10.1007/s00332-008-9038-6 (doi:10.1007/s00332-008-9038-6) [CrossRef] [Google Scholar]

74. Кук Дж., Тайсон Р., Уайт К. А. Дж., Раше Р., Готтман Дж., Мюррей Дж. Д. 1995. Математика супружеского конфликта: Качественное динамическое математическое моделирование супружеского взаимодействия. Дж. Фам. Психол. 9, 110–130 10.1037/0893-3200.9.2.110 (doi:10.1037/0893-3200.9.2.110) [CrossRef] [Google Scholar]

75. Gottman J. M., Murray J. D., Swanson C., Tyson R., Swanson K. 2002. Математика брака: динамические нелинейные модели. Кембридж, Массачусетс: MIT Press [Google Scholar]

76. Готтман Дж. М., Суонсон С. Б., Мюррей Дж. Д. 1999. Математика супружеского конфликта: динамическое математическое нелинейное моделирование супружеского взаимодействия молодоженов. Дж. Фам. Психол. 13, 3–19 10.1037/0893-3200.13.1.3 (doi:10.1037/0893-3200.13.1.3) [CrossRef] [Google Scholar]

., Васселла Р. 2001. Количественная модель динамики сывороточного специфического антигена простаты как маркера ракового роста: объяснение медицинской аномалии. Являюсь. Дж. Патол. 158, 2195–2199 10.1016/S0002-9440(10)64691-3 (doi:10.1016/S0002-9440(10)64691-3) [бесплатная статья PMC] [PubMed] [CrossRef] [Google Scholar]

Дикий мир Cellular Automata – Math ∩ Programming

До сих пор в этом блоге мы использовали математику, чтобы писать интересные и полезные программы. В этом посте (и, надеюсь, в будущем) мы используем интересную программу для изучения его как математического объекта. Для неосведомленного читателя я планирую предоставить дополнительный учебник по теории вычислений, но по очевидной причине мне больше интересно сначала написать об их приложениях. Так что, хотя этот пост не потребует слишком больших математических знаний, следующий, который мы планируем написать, потребует.

Клеточные автоматы

Математические модели для вычислений имеют долгую историю. Одной из очень важных является машина Тьюринга, которая сегодня является основой наших реализаций реальных компьютеров. С другой стороны, одна из самых простых моделей вычислений (часто называемая просто системой ) — это клеточный автомат . Удивительно, но между ними существует глубокая связь. Но прежде чем забегать вперед, давайте посмотрим, на что способны эти автоматы.

Клеточный автомат — это пространство ячеек, где каждая ячейка имеет фиксированное количество возможных состояний и набор правил перехода из одного состояния в другое. В каждом состоянии все ячейки обновляются одновременно в соответствии с правилами перехода. После педантичного, но интересного примера, мы будем придерживаться специального двумерного автомата ($ n \times n$ сеток ячеек), где доступны состояния 1 или 0. Мы будем свободно чередовать фразы «1 и 0». », «включается и выключается» и «живой и мертвый».

Рассмотрим одномерную сетку ячеек, которая имеет бесконечную длину в любом направлении (вспоминая машины Тьюринга, бесконечную ленту), где каждая ячейка может содержать либо 0, либо 1. Для наборов правил мы говорим, что если ячейка имеет любого непосредственно соседнего соседа, который включен, то в следующем поколении ячейка включена. В противном случае ячейка выключена. Мы можем подытожить этот набор правил следующей картинкой (благодаря Wolfram MathWorld):

Правило перехода между состояниями для нашего простого клеточного автомата.

Первая строка представляет возможные предпереходные состояния, а вторая строка — результирующее состояние центральной ячейки в следующем поколении. Интуитивно мы можем думать о них как о бактериях, размножающихся в чашке Петри, где существуют строгие правила относительно того, когда бактерия умирает или рождается. Если мы начнем с одной включенной ячейки и отобразим каждое последующее поколение в виде строки в двумерной сетке, мы получим следующий упорядоченный шаблон (опять же, спасибо Wolfram MathWorld за график):0014

Образец, полученный в нашем простом клеточном автомате.

Хотя этот шаблон относительно скучен, есть много интересных шаблонов, возникающих из других правил перехода (которые столь же лаконичны). Чтобы увидеть список всех таких элементарных клеточных автоматов , см. страницу Wolfram MathWorld по этой теме. Действительно, Стивен Вольфрам был первым, кто классифицировал эти паттерны, так что ссылка уместна.

Поскольку персонификация этой симуляции напоминает соревнование, эти клеточные автоматы иногда называют играми с нулевым игроком. Хотя он заимствует терминологию из области теории игр, мы не анализируем какую-либо стратегию, а скорее наблюдаем паттерны, возникающие из различных начальных конфигураций. Часто существуют хорошие локальные или глобальные равновесия; это сокровища, которые нужно открыть.

По мере того, как мы усложняем правила, увеличивается и сложность получаемых шаблонов. (Хотя правило 30 элементарных автоматов достаточно сложное, даже демонстрирует настоящий математический хаос, я с трудом верю, что кто-то еще изучает элементарные автоматы) Жизнь.

Что за жизнь из того автоматона ломается!

Для Life наш автомат имеет следующие параметры: бесконечную двумерную сетку ячеек, состояния, которые либо включены, либо выключены, и некоторую начальную конфигурацию ячеек, называемую 9семена 0748.  Существует три правила перехода:

1. Любая живая клетка с менее чем двумя или более чем тремя живыми соседями умирает.
2. Любая мертвая клетка с ровно тремя живыми соседями становится живой.
3. В любом другом случае ячейка остается прежней.

Первоначально сформулированная Джоном Конвеем примерно в 1970 году, эта игра изначально была просто математическим любопытством. Прежде чем мы углубимся в подробности математических открытий, сделавших эту конкретную игру знаменитой, давайте напишем ее и исследуем некоторые модели, которые она создает.

Примечание: это именно тот математический объект, который восхищает математиков. Человек создает в уме идеальный математический объект, дает ему жизнь (без каламбура), и вскоре творение начинает говорить со своим создателем, проявляя свойства, намного превосходящие его первоначальную концепцию. Именно этот процесс мы увидим в Игре Жизни.

Правила Жизни не так уж сложны в исполнении. Мы сделали это в системе Mathematica, чтобы использовать ее возможности для простого создания анимации. Вот основная рабочая лошадка нашей реализации. Мы предоставляем весь код, используемый здесь, в записной книжке Mathematica на странице Github этого блога.

 (* Мы сокращаем 'nbhd' для соседства *)
getNbhd[A_, i_, j_] := A[[i - 1 ;; я + 1, j - 1;; j + 1]];

оценить ячейку [A_, i_, j_] :=
  Module[{nbhd, ячейка = A[[i, j]], numNeighbors},

   (*Стратегия «Ничья земля»*)
   Если[i == 1 || j == 1 || я == Длина[A] || j == Длина[A[[1]]],
    Возврат[0]];

   nbhd = getNbhd[A, i, j];
   numNeighbors = Применить[Плюс, Сгладить[nbhd]];

   Если[ячейка == 1 && (числососедей - 1 < 2 || числососедей - 1 > 3),
    Возврат[0]];
   Если [ячейка == 0 && numNeighbors == 3, Возврат[1]];
   Возврат[ячейка];
   ];

оценить все [A_] := Таблица [оценить ячейку [A, i, j],
   {i, 1, длина[A]}, {j, 1, длина[A[[1]]]}]; 

Эта реализация создает несколько существенных ограничений для нашего исследования этой системы. Во-первых, у нас есть фиксированный размер массива вместо бесконечной сетки. Это означает, что нам нужен какой-то случай для обработки живых ячеек, достигающих края системы. К счастью, на этом вводном этапе нашего исследования мы можем игнорировать паттерны, возникающие слишком близко к границе нашего массива, признавая, что краевая стратегия вмешивается в эволюцию системы. Следовательно, мы принимаем ничейную землю стратегия края, которая просто не позволяет ни одной ячейке родиться на границе нашего массива. Одна интересная альтернатива состоит в том, чтобы завернуть края, таким образом рассматривая квадратную сетку как поверхность тора. Для небольших сеток эта стратегия может фактически изменить наши центральные паттерны, но для больших фиксированных сеток это жизнеспособная стратегия.

Во-вторых, мы не оптимизируем операции с массивами, чтобы использовать преимущества разреженных матриц. Так как большинство ячеек, как правило, будут мертвыми, нам действительно нужно проверить окрестности живых ячеек и мертвых ячеек, у которых есть хотя бы один живой сосед. Мы могли бы отслеживать позиции живых ячеек в хеш-наборе, проверяя на каждом шаге только их и их непосредственных соседей. Для этого не потребуется много модифицировать приведенный выше код, но для краткости и педантизма мы его исключим, оставив оптимизацию в качестве упражнения читателю.

Наконец, чтобы отобразить этот код, мы комбинируем функции Mathematica ArrayPlot и NestList для получения списка кадров, который затем анимируем:

 makeFrames[A_, n_] := Map[
  ArrayPlot[#, Mesh -> True]&, NestList[evaluateAll, A, n]];

animate[frames_] := ListAnimate[frames, 8, ControlPlacement -> Top];

randomLife = makeFrames[RandomInteger[1, {20, 20}], 200];
animate[randomLife] 

Отбрасывая на ветер любые математические мысли, мы просто запускаем их! Вот результаты нашей первой попытки:

Какая красота. Начальный хаос почти полностью стабилизируется всего за несколько итераций. Мы видим, что существуют стационарные паттерны: квадрат 2×2 внизу слева и космический захватчик вверху справа. Наконец, после того, как кризис идентичности в правом нижнем углу некоторое время барахтается, мы получаем колебательный паттерн!

Теперь подождите, потому что мы понимаем, что этот осциллятор (который мы в дальнейшем называем пламенем ) упирается в нейтральную полосу. Таким образом, он может быть ненастоящим и колебаться только потому, что край позволяет ему это. Однако мы замечаем, что один из паттернов, предшествующих пламени, представляет собой живой квадрат 3×3 с мертвой точкой. Давайте попробуем положить этот квадрат отдельно, чтобы посмотреть, что произойдет. Для этого у нас есть несколько дополнительных строк кода для преобразования списка локальных координат в шаблон, центрированный в более крупной сетке.

 шаблонToGrid[pts_List, n_] :=
  With[{xOff = Floor[n/2] - Floor[Max[Map[#[[2]] &, pts]]/2],
        yOff = Floor[n/2] - Floor[Max[Map[#[[1]] &, pts]]/2]},
   SparseArray[Map[# + {yOff, xOff} -> 1 &, pts], {n, n}, 0]];
квадрат = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3},
  {3, 1}, {3, 2}, {3, 3}}; 

Объединив получившиеся две строки с более ранним кодом для анимации, мы получим следующий шаблон:

Хотя мы и не восстановили наше заветное пламя, мы, по крайней мере, убедились, что естественные осцилляторы существуют. Нетрудно заметить, что одна из четырех вышеперечисленных частей представляет собой наименьший осциллятор, поскольку для любого осциллятора требуется по крайней мере три живых клетки в каждом поколении, а здесь их ровно три в каждом поколении. Никакой менее населенный (статический или движущийся) паттерн не мог бы существовать бесконечно долго.

Прежде чем мы вернемся к нашей попытке воссоздать пламя, давайте персонифицируем эту анимацию. Если мы думаем об исходном квадрате как о плотно упакованном сообществе, мы могли бы интерпретировать этот образец как миграцию. Сплоченное население распадается и мигрирует, образуя четыре отдельных сообщества, каждое из которых как раз подходит по размеру, чтобы поддерживать себя на неопределенный срок. Проницательный читатель может спросить, всегда ли это так: каждый ли паттерн распадается на устойчивый паттерн? Действительно, это был первоначальный вопрос Джона Конвея, и мы вернемся к нему через минуту.

Сейчас мы замечаем, что первоначальный квадрат перед пламенем рос, пока его сторона не уперлась в стену. Теперь мы понимаем, что стена была существенна в своих колебаниях. Итак, давайте воспользуемся симметрией в узоре, чтобы искусственно создать «стену» в виде другого исходного квадрата. После небольшой настройки, чтобы получить правильный интервал (три ячейки, разделяющие квадраты), мы получаем следующую неожиданную анимацию:

Мы признаем, что с четырьмя симметрично колеблющимися языками пламени это больше похоже на медузу, чем на огонь. Но хотя мы хотели создать два пламени, у нас получилось четыре! Довольно чудесно. Вот еще один красивый брак, который мы получили, разместив два квадрата на расстоянии одной клетки. К сожалению, он довольно быстро испаряется. Мы называем это мимолетная бабочка .

Мы воздерживаемся от экспериментов с другими возмущениями начальной конфигурации двух квадратов, чтобы завершить этот пост к концу года. Если читатель случайно найдет интересный шаблон, он не должен стесняться оставлять комментарии!

Теперь, прежде чем вернуться к вопросу о стабилизации, рассмотрим еще одно явление: движущиеся паттерны. Рассмотрим следующую исходную конфигурацию:

Несколько приземленных вычислений показывают, что через четыре поколения эта схема повторяется, но на несколько клеток юго-восточнее. это 9Планер 0748 модели будет летать бесконечно, пока не погибнет на ничейной земле, как мы видим ниже.

Потрясающе. И ясно, что мы можем использовать симметрию этого объекта, чтобы стрелять по планеру во всех четырех направлениях. Посмотрим, что произойдет, когда они столкнутся!

Ну это было глупо. Наверное, слишком симметрично. Мы оставляем читателю в качестве упражнения немного изменить начальное положение (данное в записной книжке Mathematica на странице Github этого блога) и стать свидетелем, как мы надеемся, последующего хаоса.

Возможно, вы заметили, что эти дизайны очень красивые. Действительно, до пост-антракта (еще много чего предстоит изучить) мы быстренько разберемся с этой идеей.

Автоматы в дизайне

Использование автоматов в дизайне может показаться довольно надуманным, и, конечно же, его трудно реализовать (если вообще возможно) в такой среде, как Photoshop или с помощью CSS. Но, вспоминая наш пост о случайности в дизайне, уместно показать только реальный пример дизайна, основанного на клеточном автомате (в частности, кажется, что он использует что-то похожее на правило 30 элементарных автоматов). Ярким примером под рукой является Конус  морская ракушка.

A Конусная оболочка.

У Конуса есть клетки, которые выделяют пигмент в соответствии с каким-то неизвестным набором правил. То, что этот процесс является клеточным автоматом, заявлено, но не подтверждено в Википедии. Как это ни прискорбно, мы все же можем оценить, что окончательный результат выглядит так, как будто он был сгенерирован клеточным автоматом, и мы можем воспроизвести такие проекты с его помощью. Если бы у меня был более быстрый доступ к графической библиотеке и немного больше опыта работы с текстурами, я бы с удовольствием что-то сделал. Если когда-нибудь в будущем я получу такой опыт, я хотел бы вернуться к этой теме и посмотреть, что я могу сделать. Однако на данный момент мы просто восхищаемся очевидной связью.

Дразнящий взгляд

Нам еще предстоит решить вопрос стабилизации. На самом деле, хотя мы и начали говорить о моделях для вычислений, на самом деле мы еще ничего не вычислили, кроме красивых картинок! Мы умоляем читателя набраться терпения и прозорливо утверждаем, что вопрос о стабилизации стоит на первом месте.

С одной стороны, мы можем доказать, что при любой начальной конфигурации Жизнь всегда стабилизируется, достигая состояния, при котором рост клеточной популяции не может продолжаться. В качестве альтернативы мы могли бы обнаружить начальную конфигурацию, вызывающую неограниченный рост популяции. Незрелый читатель заметит, что этот математический объект не был бы очень интересен, если бы имело место первое, и поэтому, вероятно, второе. Действительно, без неограниченного роста мы не смогли бы много вычислить! Прежде чем мы действительно найдем такую ​​закономерность, мы понимаем, что неограниченный рост возможен двумя разными способами. Во-первых, движущийся паттерн (например, планер) может оставлять за собой ячейки, которые не исчезают.