Как определить знак меньше и больше: Больше, меньше, равно — урок. Математика, 1 класс.

Метод интервалов – Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.  

Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни? Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства. Например, возьмем известную игру “Камень, ножницы, бумага”. Правила игры говорят нам, что камень всегда побеждает ножницы, а бумага побеждает камень. Если перенести это на язык неравенства, то получится: Теперь зайдем в магазин цифровой техники и попробуем выбрать себе новый мобильный телефон. Задачка непростая, не так ли? Две разные модели могут настолько незначительно отличаться друг от друга своими характеристиками, что будут казаться почти одинаковыми. Тогда мы можем сказать, что они практически равны между собой, то есть неравенство нестрогое. Но один из них всё-таки понравился нам больше. И каждый наш выбор, каждый шаг – это расстановка знака неравенства в настоящей жизни. Просто по бокам от него не цифры и переменные, а существующие ситуации и вещи.

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.  

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами. 

Алгоритм решения неравенств методом интервалов 1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0.   2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.  3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.  4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки.  

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Как быстро определить верное обозначение точки на прямой? В случае сомнений мы всегда можем проверить себя по простой схеме. Вывод: — если знак неравенства строгий, то все точки будут выколотыми; — если знак неравенства нестрогий, то точки будут закрашенными, кроме тех точек, которые нельзя взять в ответ (например, они не удовлетворяют ОДЗ).

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

Как правильно чередовать знаки на числовой прямой? Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и  убедиться в правильности расстановки знаков на прямой.   Но при расстановке можно пользоваться следующим алгоритмом, что значительно сократит время расстановки знаков.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0. 

1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 2 ((-3) + 2)} = \frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = \frac{10}{-9}\)

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка.  
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

«Полностью собственноручных работ Рубенса большого формата не существует» | Статьи

У российских коллекционеров есть вещи великих западных художников, которые прежде не демонстрировались широкой публике; в отношении искусства XVII века, хранящегося в РФ, по-прежнему совершаются важные открытия; а политическая ситуация не повлияла на сложность подготовки выставки внутри страны. Об этом «Известиям» рассказал Вадим Садков — доктор искусствоведения, профессор, куратор крупной экспозиции фламандской живописи «Под знаком Рубенса», открывшейся в музее «Новый Иерусалим» и имеющей все основания стать одним из главных хитов зимнего сезона.

«Первые фламандские картины появились в России в эпоху Петра Великого»

— Чем новая выставка интересна для широкой публики и чем — для специалистов?

— Этот проект стал важным и по-своему показательным результатом совместной деятельности научных сотрудников ряда региональных музеев нашей страны, а также хранителей частных коллекций. Мы соединили в одном пространстве картины выдающихся фламандских художников XVII века, разбросанные по разным городам нашей необъятной страны.

Где-то их больше, где-то меньше, где-то вообще нет, но, только собранные воедино, они позволяют достичь требуемого качественного уровня, дающего представление об основных тенденциях фламандской школы, с одной стороны, и показать своеобразие и историю русского коллекционирования западной живописи — с другой.

На выставке представлен «джентльменский набор» главных имен фламандских живописцев XVII века во главе с великим Питером Паулем Рубенсом. Помимо него, это Антонис Ван Дейк, Якоб Йорданс, Франс Снайдерс, Ян Фейт, Ян Брейгель Бархатный, Давид Тенирс — младший. .. Конечно, в Эрмитаже и ГМИИ имени Пушкина они представлены лучше. Но мы показываем произведения, которые зритель не всегда хорошо знает. Некоторые демонстрируются впервые, многие получили новые атрибуции — уточнение авторства, сюжетов, датировок.

Полностью собственноручных работ_3

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Мы знаем, что в региональных музеях очень ярко представлены русский авангард, передвижники. А что с фламандцами XVII века?

— По сравнению с русским авангардом и вообще любым русским искусством фламандская живопись представлена в регионах, конечно, гораздо слабее и неравномерно с точки зрения репрезентативности. Это связано с историей русского коллекционирования. Первые фламандские картины появились в России вместе с голландским искусством в эпоху Петра Великого, но это были работы малого размера. Петр не только в силу ограниченности финансовых возможностей не покупал больших произведений, но и потому, что их попросту негде было размещать.

Действительно, значительные произведения фламандских мастеров появились в России в эпоху Елизаветы Петровны, когда были построены дворцы Растрелли.

Для провинциальных городов же эта проблема оставалась актуальной и позже. Поэтому там нет больших картин, за редкими исключениями, которые только подтверждают правило, — я имею в виду передачи из фондов Эрмитажа и Пушкинского музея в 1920-е и 1930-е годы. Поэтому так драгоценны жемчужины, которые удалось найти. Многие картины были отреставрированы специально для нашей выставки. Показ их вместе — важное событие для нашей науки, культуры, музейного строительства.

Полностью собственноручных работ_2

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Можно сказать, что вам удалось привезти по крайней мере большинство вещей, которые вы хотели?

— Да. В процессе подготовки выставки нам не удалось получить отдельные картины из региональных музеев в силу разных причин.

Как правило, это сохранность произведений: состояние их не всегда удовлетворительное, и реставрация порой требует нескольких лет.

«Произведений старых мастеров больше не становится, только меньше»

— Не было ли у вас ощущения, когда вы делали эту выставку, что работать стало сильно сложнее из-за обстоятельств, в которых мы все оказались в этом году?

— Я бы не сказал, что дело именно в этих обстоятельствах. Скорее, здесь есть некоторые несовершенства законодательства. «Новый Иерусалим» — музей государственный. Поэтому организация логистики осуществляется через госзакупки. В тендере побеждает тот, кто предлагает меньшую стоимость. Из-за этого часто выигрывают компании, которые не имеют соответствующего опыта в этой области, элементарно не могут предоставить специальных фур с пневмоподвеской, которая гасит вибрации. Приходится с ними воевать.

Политическая ситуация влияет на привоз произведений искусства из-за рубежа или, наоборот, отправку туда, но, если экспонаты находятся внутри нашей страны, никаких препятствий нет.

Полностью собственноручных работ_4

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Можете ли рассказать, как осуществляется сегодня транспортировка старинных картин?

— Существуют очень жесткие требования к страховке и транспортировке произведений старых мастеров, особенно когда речь идет о старых досках, которые необычайно хрупки с точки зрения температурно-влажностного режима. И необходимы специальные антивибрационные ящики. Это похоже на матрешку: ящик в ящике, и между ними нечто вроде пружин, автомобильных рессор. Нужно исключить возможность вибрации, поскольку живопись на дереве очень чувствительна к такого рода внешним воздействиям. Мы отказались от услуг авиаперевозок, только фурами всё везли. Картину упаковывали соответствующим образом в ящик сотрудники музея, грузили в фургон. Вне

зависимости от того, находится это в 20 км от «Нового Иерусалима» — в Архангельском — или за несколько тысяч километров в Екатеринбурге, везли только по земле.

— Почему не самолетом?

— По условиям безопасности у нас ограничен доступ в аэропорту на погрузку и на разгрузку. Раньше представители транспортных фирм имели специальные пропуска, их пускали на летное поле, и они присутствовали при всех действиях с ценными грузами. Сейчас лишних людей стараются на летное поле не пускать, и мы не можем контролировать процесс. Он механизирован, но, если что-то не проходит, могут и подтолкнуть, и резко сдвинуть с места.

Полностью собственноручных работ_5

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Подорожала ли страховка?

— Она всегда дорожает, если говорить о классическом искусстве. Произведений старых мастеров больше не становится, только меньше. Поэтому цены на них растут, плюс инфляция. Страховая премия считается так: берется сумма, за которую эта картина гипотетически могла бы быть продана, исходя из текущих рыночных реалий. Зачастую эту сумму умножают на 1,5 или на 2, и дальше уже определенный процент становится стоимостью страховки. Это астрономические цифры.

«Эта картина как раз характерный образец творческой деятельности Рубенса и его мастерской»

— Вы упомянули, что количество произведений старых мастеров только сокращается. Но ведь бывают и находки, и переатрибуции. В частности, на вашей выставке демонстрируется полотно «Коронация Роксаны Александром Македонским», автором которого указан Рубенс, тогда как на аукционе нынешним владельцем оно было приобретено как работа мастерской Рубенса, а не его самого. Можете рассказать, что стало основанием для новой атрибуции?

— Атрибуция картины более сложная: «Рубенс и мастерская». Кстати, это одна из магистральных тем нашей выставки: взаимоотношения мастера и штата подмастерьев. Рубенс, опираясь на практику своих великих предшественников — Рафаэля, Джулио Романо, Тициана, — довел до совершенства, оптимизировал, как теперь модно говорить, творческий процесс при создании больших картин. Он делал эскиз, который потом переводили на холст уже в нужном размере его ассистенты. Они же работали одновременно над разными частями композиции, поскольку кто-то специализировался на изображении человеческих фигур, кому-то хорошо удавались драпировки, кому-то — пейзаж или натюрморт.

Итак, подмалевок сделан, краска просохла, потом прописываются детали — это второй слой. Сам мастер наблюдает за этим процессом, и, когда работа подмастерьев завершена, художник на окончательном — лессировочном — этапе сводит изображение воедино, корректирует части, которые, как ему кажется, сделаны были недостаточно качественно, то есть завершает это произведение.

У Рубенса, даже если мы возьмем его картины в крупных музеях, большеформатных (свыше двух метров) полностью собственноручных работ просто не существует. Картины меньшего размера, где Рубенс работал сам, можно пересчитать на пальцах двух рук. Даже в экспозиции Эрмитажа абсолютно собственноручных произведений без участия мастерской, может быть, четыре максимум.

Полностью собственноручных работ_1

Картина Рубенса «Коронация Роксаны Александром Македонским» на выставке «Под знаком Рубенса» в музее «Новый Иерусалим»

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Но как удалось определить, что Рубенс хотя бы приложил руку к «Коронации Роксаны Александром Македонским»?

— Эта картина связана с группой произведений.

Есть эскиз к ней, есть реплики работы чисто мастерской. Они хранятся в разных частях света. Но в случае с наследием Рубенса большое значение имеет провенанс (история владения картиной — «Известия»). Я люблю шутить, что Рубенс без провенанса как генерал в бане без мундира. Эта картина имеет происхождение из коллекции Ганноверского замка. Там жила знаменитая династия, которая затем возглавила Англию, и нынешние Виндзоры как раз от нее происходят, да и русские императоры находились в непосредственном родстве с ними. Когда эта коллекция распродавалась в 2000-е годы, русские активно поучаствовали в распродаже, в том числе была куплена «Коронации Роксаны Александром Македонским».

Ее реставрировали уже в России, и после удаления поздних записей, реставрационных тонировок более позднего времени, всего того, что не авторское, удалось выявить очень высокий качественный уровень живописи, с одной стороны, и его неравномерность — с другой. На этой картине студентам-искусствоведам очень удобно показывать, где заканчивается рука самого Рубенса и начинается деятельность его ассистентов.

Полностью собственноручных работ_6

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Какие критерии являются основой атрибуции, помимо провенанса?

— Прежде всего стилистический анализ и понимание качества живописи. Это тонкая материя. Художественное качество не чувствует ни один прибор, который используется в технологических экспертизах (химический анализ, рентген, макро- и микросъемки). Здесь требуется глаз специалиста. Эта картина как раз характерный образец творческой деятельности Рубенса и его мастерской.

«Наши современники как раз продолжили традиции коллекционирования XVIII–XIX веков»

— Ну а экспонат номер два на выставке — «Мелеагр и Аталанта» Якоба Йорданса. Причем я обратил внимание: на ней есть его подпись. Раньше ведь ее не было видно?

— Да, эта картина из музея в Екатеринбурге, ее туда передали из Эрмитажа как работу мастерской Йорданса. Во время Второй мировой войны значительная часть коллекция Эрмитажа была эвакуирована в Свердловск. В знак благодарности за хранение своих экспонатов Эрмитаж передал группу картин, в том числе эту. Но уже в наши дни ее реставрация не только выявила качество авторской живописи, но и собственноручную подпись Йорданса! Кстати, реставрация делалась исключительно местными силами.

«Мелеагр и Аталанта» показательна с точки зрения нашей темы — истории русского коллекционирования. Полотно происходит из собрания графов Шуваловых, которое было национализировано в 1920-е годы и отдано в Эрмитаж. Так что к императорской коллекции работа Йорданса прямого отношения не имела. Это именно частное аристократическое коллекционирование.

Полностью собственноручных работ_7

Фото: ИЗВЕСТИЯ/Андрей Эрштрем

— Вы вспоминаете про коллекционеров прошлых веков. На ваш взгляд, какова роль современных российских коллекционеров в этом процессе? Насколько активно они собирают фламандскую живопись XVII века? На выставке довольно много работ из частных собраний.

— Вы же и ответили на свой вопрос. Сегодня российские коллекционеры не теряют интереса к этой области западноевропейского искусства, и за последние два десятилетия им удалось собрать весьма впечатляющий корпус работ старых мастеров, в том числе фламандских. И в этом смысле наши современники как раз продолжили традиции коллекционирования XVIII–XIX веков.

Как написать символ больше (>) в LaTeX?

В этом уроке мы обсудим, как представить символы большего размера в документе с помощью латекса.

Так как на вашей клавиатуре присутствует символ больше. Таким образом, вам не нужно использовать какую-либо команду отдельно для этого.

Недвижимость	Значение
Символ	Больше
Упаковка	по умолчанию
Аргумент	№
Команда	>
Пример	>

Вы можете представить этот символ больше чем в латексном документе, набрав на клавиатуре.

 \documentclass{статья}
\начать{документ}
   $$ р > д $$
   $$ 8 > 5 $$
\end{document} 

Вывод:

Больше чем с равным или не равным символом

Вы заметили, что в большинстве случаев символ больше используется с равными и не равными символами.

 \documentclass{статья}
\начать{документ}
   $$ p \ge q $$
   $$ а \geq б $$
\end{document} 

Вывод:

Кроме того, вам необходимо установить пакет amssymb для остальных символов, указанных ниже.

 \documentclass{статья}
\usepackage{amssymb}
\начать{документ}
   $$ p \geqslant q $$
   $$ p \gneq $$
   $$ а \geqq б $$
   $$ а \gneqq б $$
\конец{документ} 

Вывод:

Символ «больше больше» в LaTeX

Математически символы «больше больше» обозначаются двумя, а иногда и тремя символами «больше».

 \documentclass{статья}
\usepackage{amssymb}
\начать{документ}
   $$ p \gg q $$
   $$ п \ggg д $$
   $$ а \gggtr б $$
\end{document} 

Вывод:

Вы заметили латексную программу выше, \ggg 9Команды 0037 и \gggtr используются для представления символа «больше больше», состоящего из трех символов «больше».

Больше чем с другими символами

Кроме того, различные типы символов используются с символами больше чем. Например, меньше, примерно, похоже и т. д.

Если вы определите все символы по-разному, учебник будет намного больше. Итак, воспользуемся помощью матрицы.

 \documentclass{статья}
\usepackage{amssymb}
\начать{документ}
$$
  \begin{матрица}
    \eqslantgtr & \gtrsim & \gtr приблизительно \\
    \gtreqqless и \gtreqless и \gtrless
  \end{матрица}
$$
\конец{документ} 

Вывод:

Вы можете добавить символ not к большинству символов, которые вы видели выше.

 \documentclass{статья}
\usepackage{amssymb}
\начать{документ}
$$
\begin{матрица}
   \ngtr & \ngeq & \ngeqslant \\[6pt]
   \ngeqq & \gnsim & \gn приблизительно
\end{матрица}
$$
\end{document} 

Вывод:

И эти символы выше используются гораздо реже, но вам полезно знать.

Статья о больше+символе из The Free Dictionary

Больше+символа | Статья The Free Dictionary о символе больше+чем+

Больше+символ | Статья о символе больше+чем+ от The Free Dictionary

---

Слово, не найденное в Словаре и Энциклопедии.