Фигуры плоскостные: Плоские геометрические фигуры — Все для детского сада

Плоские геометрические фигуры: свойства и основные формулы

В статье описываются геометрические фигуры: определение, основные свойства и формулы.

Плоские геометрические фигуры:

• Четырехугольник (общее для всех четырехугольников)

• Квадрат

• Прямоугольник

• Параллелограмм

• Ромб

• Трапеция

• Треугольник

• Окружность

Геометрические фигуры — это любое сочетание точек, линий и поверхностей. Геометрические фигуры разделяются на плоские и объемные.

Плоские геометрические фигуры — это фигуры, все точки которых лежат на одной плоскости. Объемные геометрические фигуры — это фигуры, не все точки которых лежат на одной плоскости.

 

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Основные свойства:

• Сумма углов четырёхугольника равна 360°
• Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
• Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.
• Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон.

В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны. Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырёхугольник можно описать окружностью, если сумма его противолежащих углов равна 180°.Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Квадрат

Квадрат —  правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4a, где P-периметр, a-сторона
Площадь: S=a²или S=d²/2
Сторона и диагональ связаны соотношениями: a=d/√2, d=a√2
Радиус описанной окружности: R=d или R=a/√(2)
Радиус вписанной окружности: r=a/2

где a-сторона, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(2) – корень квадратный из 2.

Свойства:

• Все стороны равны, все углы равны и составляют 90°;
• Диагонали квадрата равны и перпендикулярны;
• У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей;
• Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника

Калькулятор для квадрата поможет вычислить все характеристики квадрата по одной из известных величин. .

Прямоугольник

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые.

Основные формулы:

Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по сторонам: S = a*b
Площадь по диагонали и углу между ними: S =  d²* sin γ. / 2
Стороны и диагональ связаны соотношением: d=√(a²+b²)/2 (теорема Пифагора)
Радиус описанной окружности: R= √(a²+b²)/2 (теорема Пифагора)

где a, b — длины сторон прямоугольника, d-диагональ, P-периметр, S-площадь
γ – угол между диагоналями
*Корень квадратный вычисляется из всего, что стоит в скобках после знака √, например, √(a²+b²) – корень квадратный из (a²+b²).

Свойства:

• Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
• Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали.

.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Определения:

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к противоположной стороне.

Основные формулы:

Стороны и диагональ связаны соотношением: (d₁)²+(d₂)²=(a²+b²)*2
Периметр: P=(a+b)*2
Площадь по стороне и высоте:  S = a*h
S (Площадь) по двум сторонам и углу между ними: S=a*b*sin α
S (Площадь) по двум диагоналям и углу между ними:  S=(d₁*d₂)/2*sin γ

где a, b — длины сторон, d₁, d₂ –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h-высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма (острый).

Свойства:

• У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
• Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника (равны площади всех 4-х треугольников)
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
• Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Основные формулы:

Периметр: P=4*a
Площадь по стороне и высоте: S=a*h
Площадь по диагоналям: S = (d₁*d₂)/2
Радиус окружности, вписанной в ромб: r=h/2 или  r =(d₁*d₂)/4a
Площадь по стороне и радиусу вписанной окружности: S=2*a*r
Площадь по стороне и углу: S = a² · sin α

где a — длина стороны, d₁, d₂ –диагонали, P-периметр, S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
α — угол между сторонами ромба

Свойства:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
• В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей. Радиус окружности: r=h/2 или r = d₁*d₂/4a.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Определения:

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
• Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  
• Средняя линия (первая средняя линия) трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции.Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
• Средняя линия
  (вторая средняя линия) — отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей.
• Равнобокая трапеция – трапеция,у которой боковые стороны равны (c=d). У равнобокой трапеции:диагонали равны, углы при основании равны, сумма противолежащих углов равна 180°.Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c+d
Площадь определить: S=h*(a+b)/2
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: d² = ab+c²
Радиус вписанной окружности: r = h/2

где a,b — основания, c,d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая), d₁, d₂ –диагонали,
P-периметр, S-площадь, h -высота, проведенная к противоположной стороне

Свойства:

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

Треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Определения:

• Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.
• Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны
• Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
• Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне
• Равные треугольники – треугольники, у которых соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны
• Равнобедренный треугольник— треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.
• Равносторонний или правильный треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
• Прямоугольный треугольник
  — треугольник, у которого есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Основные формулы:

Периметр: P=a+b+c
Площадь по стороне и высоте: S=(a*h)/2
Площадь: по сторонам и углу между ними:  S=(a*b)/2* sin γ
                        по трем сторонам и радиусу описанной окружности: S=(a*b*c)/4R
                        по трем сторонам и радиусу вписанной окружности: S=(a+b+c)/2*r
Площадь прямоугольного треугольника: S=(a*b)/2
Стороны прямоугольного треугольника: c²=a²+b² (Теорема Пифагора)

где a,b, c — стороны (a,b –катеты , с – гипотенуза в случае прямоугольного треугольника)
d₁, d₂ –диагонали, h -высота, проведенная к противоположной стороне,
P-периметр, S-площадь, γ  — угол между сторонами a и b
r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности

Свойства:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
• Сумма углов треугольника равна 180°:
• Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: |a-b| <c<a+b
• Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой и высотой.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c²=a²+b² (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Окружность

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Определения:

• Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой её точкой.
• Хорда — отрезок, который соединяет какие-либо две точки окружности (AB).
• Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности(d).  Диаметр – наибольшая хорда окружности. Наименьшей хорды окружности не существует. 
• Касательная — прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку (E)
• Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Основные формулы:

Длина окружности: L = 2πR
Площадь круга: S = π*r² или S = π*d²/4

где π = 3,14 (3,1415926535) – величина постоянная,
где r-радиус, d –диаметр, L – длина окружности, S-площадь.

 

 

Калькулятор для окружности и круга поможет вычислить все характеристики круга по одной из известных величин.

В заключении

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте newlesson.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

 

Пространственные и плоскостные фигуры. Действия с многозначными числами

Цель: формирование представлений о пространственных и плоскостных фигурах и совершенствование вычислительных навыков через практическую исследовательскую деятельность.

Планируемые результаты образования.

Предметные:

• умеют различать пространственные и плоскостные фигуры, приводить примеры каждого вида;
• выполняют устные и письменные вычисления с многозначными числами;
• владеют компьютерным письмом, создают текстовые сообщения, оформляют и сохраняют их.

Метапредметные:

Регулятивные:

• планирование – определение промежуточных целей для достижения планируемого результата;
• саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии.

Коммуникативные:

• участвуют в диалоге, слушают и понимают других, высказывают свою точку зрения на события и поступки;
• отстаивают свою точку зрения, соблюдая правила речевого этикета, аргументируют свою точку зрения с помощью фактов;
• сотрудничать в совместном решении проблемы.

Познавательные:

• ориентируются в учебнике: определяют умения, которые будут сформированы на основе изучения данной темы;
• самостоятельно предполагают, какая дополнительная информация будет нужна для изучения незнакомого материала, отбирают необходимые источники информации среди предложенных;
• анализируют, сравнивают, группируют;
• делают выводы, перерабатывают информацию, преобразовывают её.

Личностные:

• ценят и принимают такие базовые ценности как “родина” и “природа”;
• умеют осознавать свои трудности и стремятся к их преодолению;
• осознают себя как индивидуальность и одновременно, как члена общества.

Оборудование : ноутбуки по 1 на парту, мультимедийная система, объёмные и плоскостные геометрические фигуры (по 1 фигуре на парте) и карточки с названиями фигур (по 1 на парте), атлас “Республика Хакасия” по 1 на парту, “Журнал исследователя” на каждого ученика, программа-тренажёр “Устный счёт” авт. Иваненко А. С.

Ход урока

1. Актуализация знаний.

– Ребята, сегодня на уроке нашему научному клубу (Презентация. Слайд 1) предстоит выполнить небольшое исследование с помощью математических знаний. А чтобы оно было точным, вам нужно стараться безошибочно выполнять действия с многозначными числами, преобразовывать единицы длины и правильно решать задачи.

– Фотографии края, который мы будем исследовать обозначены многозначными числами (Слайд 2).

– Среди предложенных чисел назовите многозначные.

– Что заметили общего в этих числах? (Одинаковая цифра в разряде десятков тысяч.)

– Запишите их в порядке возрастания.

– Проверим. (Ученик зачитывает 97831,98000, 99999) (Слайд 3)

– Какой край будем исследовать? (Республику Хакасия.)

– Настоящие исследователи должны быть упорными и сообразительными, чтобы узнать много интересного. Сейчас мы будем тренировать эти качества.

– 5 человек выполняют задания на индивидуальных карточках (сложение и вычитание многозначных чисел), а остальные в парах работают на ноутбуках. (Тренажёры.)

2. Изучение нового материала.

– Без новых знаний жизнь неинтересна,
об этом знает каждый ученик.

Откройте учебники на с.3. Тема нашего урока спрятана в № 244. [1, с.3].

– По каким признакам разделите фигуры на группы?

– Дайте название каждой группе. (Пространственные и плоскостные.)

– Определите тему урока? (Слайд 4)

– Чему будете учиться? (Распознавать пространственные и плоскостные фигуры.)

– Как отличить пространственную фигуру от плоскостной?

3. Осознание и осмысление учебного материала.

– На рабочем столе ваших ноутбуков откройте папку “Задания для 4 класса”. Я подготовила для вас задание, откройте документ “Фигуры”. (Слайд 5)

Вы видите названия геометрических фигур и сами фигуры. Распределите их в две группы – пространственные и плоскостные фигуры.

– Назовите пространственные фигуры; плоскостные. (Слайд 6)

– В какую группу вы отнесли гексаэдр?

– Где можно найти значение этого слова? (В “Большой Российской энциклопедии”.)

– Да, совершенно верно, куб по-другому называется “гексаэдр”. (Слайд 7)

Физкультминутка.

4. Применение знаний и умений.

– Теперь мы готовы приступить к исследованию. У каждого из вас есть журнал исследователя со специальными заданиями (см. Приложение2), которые помогут вам получить интересную информацию о Хакасии. После того, как вы его заполните, он станет вашим помощником не только на уроках, но и в обычной жизни.

– Познакомьтесь с первым заданием.

(Задание 1. Почти 2/3 территории республики Хакасии занято горами, всё остальное – степи. Узнайте, какую территорию занимают степи.)

– Что скажете? (Не хватает данных.)

– Где можно взять недостающую информацию? (В атласе.)

– Какой из атласов подойдёт? (Предлагается атлас “Материков и океанов”, атлас “Республика Хакасия”.)

– Правильно, вам понадобится атлас “Республика Хакасия”. Посмотрите внимательно на с.5 этого атласа и найдите нужные данные. [4, с. 5] (Слайд 8)

– Выполните задание. Решение записывайте в тетради, а результаты в журнал исследователя.

– Зачитайте решение задачи. (61875-61875:3х2= 20625 км² )

– Кто решил по-другому?

1) 3/3 – 2/3=1/3 (часть) занята степями.
2) 61875:3х1= 20625 (км²) занимают степи.

– Какой способ решения наиболее удобный? Докажите.

– Назовите пространственные и плоскостные объекты из этого задания. (Степь – плоскостной объект, гора – пространственный.)

– Какие знания вам потребуются для выполнения второго задания? (Масштаб 1см : 17500 м и расстояние между объектами в см.)

– Как найти по карте расстояние между объектами?

(1. Измерить расстояние между объектами при помощи линейки.
2. Умножить масштаб на полученное число.
3. Выразить полученное число в километрах.)

Задание 2. Узнайте расстояние:

• от Абакана до Черногорска (17500х1 = 17500м
  17500м = 17км 500м)
• от Абакана до Сорска (1 7500х5 = 87500м
  87500м = 87км 500м)

– Ребята, только что по электронной почте пришёл запрос от МЧС респ. Хакасия. Им нужна информация о расстоянии от Абакана до СШГЭС.

– В парах обсудите полученные данные, на рабочем столе откройте “блокнот”, создайте текстовое сообщение с вашими данными и отправьте его по сетевому окружению на головной компьютер. (17500х6 = 105000м
105000м = 105км)

– Пока я проверяю ваши данные на своём компьютере, выполните в группах 3 и 4 задания.

(Задание 3. В каких архитектурных ансамблях и памятниках в нашем родном городе Абакане использованы такие пространственные фигуры, как шар, цилиндр и параллелепипед.

Задание 4. Хакасия богата полезными ископаемыми. В республике располагаются крупные запасы высококачественных углей. Важной отраслью является добыча железных руд. А также Хакасия – один из старейших золотоносных районов. Вспомни плоскостные фигуры, которые обозначают эти ископаемые на карте: золото – ___, уголь –_____, железная руда – _____ )

– Проверим, что у вас получилось в заданиях по группам. (Задание 3. Пространственные фигуры шар, цилиндр и параллелепипед можно увидеть в строении памятника Петру и Февронии, Спасо-Преображенского собора, стелы Лора, стелы “Добрый ангел мира”.)

(Слайд 9)

– Дома выполните последнее задание, а правильность полученного данного проверьте, используя разные источники информации.

(Задание 5. Из Абакана и из Москвы навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного 50 км/ч, а другого 60 км/ч. Через 28 часов, до встречи поездов осталось 1138 км.

Узнайте расстояние от Абакана до Москвы.)

5. Рефлексия.

– Что на уроке было интересным?
– Когда было трудно?
– Дорисуйте смайлик, отражающий ваше настроение.

Приложение 2.

Список использованных источников

1. Аргинская И. И., Ивановская Е. И., Кормишина С.Н. Математика: Учебник для 4 класса: В 2 частях. – Самара: Издательство “Учебная литература”: Издательский дом “Фёдоров”, 2010. Часть II. – 144 с. – ISBN 978-5-9507-1086-5.
2. Лободина Н.В. Математика. 4 класс: поурочные планы по учебнику И. И. Аргинской. II полугодие. – Волгоград: Учитель, 2007. – 383 с. – ISBN 978-5-7057-1189-5.
3. Узорова О.В. Устный счёт и математические диктанты. 4 класс: / Пособие для начальной школы. – М.: Аквариум, 1998. – 240 с. – ISBN 5-85684-258-8.
4. Атлас республики Хакасия / составлен и подг. к изданию Восточно-Сибирским аэрогеодезическим предприятием в 1998 г.: отв. ред. Овчинникова Н.С. – 32 с.
5. Большая Российская энциклопедия: в 30 т./ Председатель Науч.– ред. совета Ю. С. Осипов. Отв. ред. С.Л. Кравец. Т.6.Восьмеричный путь. – Германцы. М.: Большая Российская энциклопедия. 2006. – 767 с.: ил.: карт. – ISBN 5-85270-33.

Плоские формы — 2D-формы, различные типы, свойства, примеры, часто задаваемые вопросы

LearnPracticeDownload

 

Форма может быть определена как граница или контур объекта. Плоская форма – это двумерная замкнутая фигура, не имеющая толщины. Плоскость в геометрии — это плоская поверхность, уходящая в бесконечность во всех направлениях. Он имеет бесконечную ширину и длину, нулевую толщину и нулевую кривизну. На самом деле сложно представить плоскость в реальной жизни, нет ничего, что мы могли бы использовать в качестве реального примера геометрической плоскости. Мы можем увидеть пример плоскости в координатной геометрии, где положение любой заданной точки на плоскости определяется с помощью упорядоченной пары чисел или координат. Координаты показывают правильное расположение точек на плоскости. Давайте узнаем о плоских формах подробно.

1.	Что такое открытые и закрытые формы?
2.	Стороны и углы фигур
3.	Какие есть разные 2D-фигуры?
4.	Что такое полигоны?
5.	Решенные примеры на плоских фигурах
6.	Практические вопросы по плоским формам
7.	Часто задаваемые вопросы о плоскостях

Что такое открытые и закрытые формы?

Замкнутая фигура может состоять из прямых или изогнутых линий. У него нет отверстия, тогда как открытая фигура состоит из прямых или изогнутых линий. Тем не менее, он имеет по крайней мере одно отверстие. Пример закрытых и открытых форм показан на изображении ниже.

      

Стороны и углы фигур

Мы узнали, что такое плоские формы и как они выглядят. Плоские формы двумерны, например, квадраты, треугольники и круги. Прямые линии, образующие плоскую фигуру, называются сторонами. Точки, в которых встречаются две стороны, называются углами.

Какие есть разные 2D-фигуры?

Посмотрите на лист бумаги. Вы можете видеть, насколько он длинный и широкий. Это два измерения – длина и ширина. Двумерная форма не имеет глубины. 2D-фигуры – это замкнутые фигуры, которые создаются путем соединения прямых и изогнутых линий.
Общие 2D-формы:

Имя формы	Количество сторон	Количество углов	Собственность
Квадрат	4	4	Квадрат – это четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.
Прямоугольник	4	4	Прямоугольник – это четырехугольник с двумя парами равных и параллельных противоположных сторон и четырьмя прямыми углами.
Круг	0	0	Окружность образована набором точек, находящихся на постоянном или фиксированном расстоянии (радиусе) от фиксированной точки (центра) на плоскости.
Треугольник	3	3	Треугольник — это замкнутая фигура или фигура с 3 сторонами, 3 углами и 3 вершинами.
Полигон	3 и более сторон	3 или более 3 углов	Многоугольник – это замкнутая двумерная фигура с тремя и более прямыми линиями.
Овальный	0	0	Овал не имеет ни прямой линии, ни угла, ни стороны. Это замкнутая форма, состоящая из изогнутых линий.

Давайте узнаем о полигонах.

Что такое многоугольники?

В геометрии многоугольник – это замкнутая двумерная фигура с тремя или более прямыми линиями. Греческое слово «многоугольник» состоит из «поли», означающего «много», и «гон», означающего «угол». Мы видим вокруг себя много разных многоугольников. Например, Вы когда-нибудь видели соты? Можете ли вы в идеале угадать, сколько сторон может быть у сот? Соты имеют шестиугольную форму. Вы можете очень хорошо связать форму 6-стороннего многоугольника с сотами.

Типы многоугольников подразделяются на три основные формы:

• Правильные или неправильные
• Вогнутая или выпуклая
• Простой или сложный

Посмотрите на несколько различных типов многоугольников, показанных на изображении ниже.

Важные примечания

• Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые фигуры, состоящие из прямых линий.
• Многоугольники — это замкнутые геометрические фигуры, состоящие из прямых линий. Они названы по количеству сторон, которые у них есть.

Темы, связанные с плоскими формами

• Прямоугольник
• Круги
• Треугольники
• Квадрат

 

1. Пример 1. Помогите Рут определить, сколько сторон у данной фигуры. Это закрытая или открытая форма?

   Раствор.

   Подсчитайте количество прямых линий в звезде. Есть 10 прямых линий.
   Мы можем проследить очертания этой звезды без каких-либо разрывов. Следовательно, это закрытая форма.
   Это замкнутая форма с 10 сторонами и 10 углами.

2. Пример 2. Анне нужна помощь в выборе единственных шестиугольных полигонов.

   У шестиугольника 6 сторон.
   Значит, Анна должна выбрать многоугольник только с 6 сторонами.
   6-сторонние полигоны:
   
   Теперь Анна выбрала все многоугольники шестиугольника.

3. Пример 3. Помогите Рут разобраться с формой многоугольника в вешалке
   

   Решение:  Вешалка выглядит как треугольник или трехсторонний многоугольник, потому что у нее три стороны. Его еще называют треугольником.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Пусть ваш ребенок решит задачи из реальной жизни, используя математику

Пусть ваш ребенок применит понятия, полученные в школе, в реальном мире с помощью наших экспертов.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о плоскостях

Является ли круг многоугольником?

Многоугольник представляет собой замкнутую форму, образованную прямыми линиями. Круг представляет собой круглую форму, образованную изогнутыми линиями. Следовательно, круг не является многоугольником.

В чем разница между 2D и 3D фигурами?

Двухмерная фигура имеет два измерения, тогда как трехмерная фигура имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Когда к 2D-форме добавляется глубина, она становится?

Когда глубина добавляется к 2D-форме с длиной и шириной, она становится 3D-фигурой.

Сколько треугольников в пятиугольнике?

Количество треугольников равно 35 в пятиугольнике, когда все диагонали образованы.

Какие бывают формы плоскостей?

Основные формы плоскостей: треугольник, квадрат, прямоугольник, овал, круг и многоугольники.

Какой формы транспортир?

Транспортир имеет форму полукруга с отметками углов от 0° до 180°. Есть еще один тип транспортира, с помощью которого мы можем измерять полные 360-градусные углы. Он известен как 360-градусный транспортир и имеет круглую форму.

Сфера имеет твердую или плоскую форму?

Сфера — это твердое тело, заданное в трехмерном пространстве. У него нет ни ребер, ни вершин (углов).

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы с фигурами

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Площадь плоских фигур: значение, примеры и типы ваш этаж? Пол вашей комнаты представляет собой плоскость, далее мы научимся вычислять его размер, также известный как площадь.

Что такое плоские фигуры?

Плоские фигуры — это двумерные поверхности, не имеющие высоты и толщины.

Площадь плоских фигур в математике

В математике задачи на площади плоских фигур могут решаться двумя способами. Во-первых, вам может быть просто дана форма плоскости, которая может быть правильной или неправильной, чтобы определить ее площади, например, найти площадь любого многоугольника, круга или креста.

Во-вторых, вас могут попросить найти площадь плоской поверхности, полученной из трехмерного твердого тела. Например, если вам нужно найти площадь основания треугольной призмы, это, безусловно, означает, что вас попросили найти площадь треугольной плоскости, поскольку основание этой призмы треугольное. Будьте бдительны, потому что ваш подход зависит от формата вопроса.

Типы площади плоских фигур

Плоские фигуры или плоские формы подразделяются на правильные и неправильные фигуры.

Правильные плоские фигуры

У нас есть правильные плоские фигуры, когда внутренние углы и длины сторон равны. Примерами правильных плоских форм являются, например, квадрат, равносторонний треугольник и правильный многоугольник (правильный пятиугольник, правильный шестиугольник, правильный семиугольник, правильный восьмиугольник и т. д.).

Изображение правильных плоских фигур, StudySmarter Originals

Неправильные плоские фигуры

Неправильные плоские фигуры встречаются , когда либо внутренние углы, либо длина их сторон не равны. Примерами неправильных плоских фигур являются прямоугольник, параллелограмм, неравносторонний треугольник (прямой, равнобедренный, разносторонний), неправильные четырехугольники, неправильные пятиугольники, неправильные шестиугольники и т. д.

Изображения неправильных плоских фигур, StudySmarter Originals

Как найти площадь плоской фигуры?

Мы рассмотрим нахождение площади нескольких плоских фигур. Важно отметить, что единицей площади являются квадратные единицы, т.е. ^{и т.д.}

Треугольники

Треугольник – это трехсторонняя плоская фигура. Общая формула, используемая для расчета площади треугольника, представляет собой произведение половины его основания на высоту:

Иллюстрация площади треугольника, StudySmarter Originals

Требуется расчистить газон треугольной формы с длиной основания 12 м и высотой 15 м. Вычислите время, необходимое для уборки газона, если на уборку квадратного метра газона уходит 4 минуты.

Решение:

Поскольку газон представляет собой треугольник, нам нужно найти его площадь. Напомним, что площадь треугольника равна

Здесь b=12 м, а h=15 м. Подставляя в формулу, имеем

Напомним, что газон очищается за 4 минуты, тогда потребуется

Но 1 час равен 60 минутам, поэтому 360 минут это 6 часов.

Наконец, одному человеку потребуется 6 часов, чтобы очистить газон.

Четырехугольники

Четырехугольник представляет собой четырехстороннюю плоскую фигуру, сумма внутренних углов которой равна 360 градусам. Четырехугольников несколько, у каждого есть формула вычисления его площади.

Прямоугольник

У прямоугольника все внутренние углы равны 90 градусов, а противоположные стороны равны.

Иллюстрация площади прямоугольника, StudySmarter Originals

Площадь прямоугольника определяется выражением,

Квадрат

У квадрата все внутренние углы равны 90 градусов. Кроме того, у него равны все стороны.

Иллюстрация площади квадрата, StudySmarter Originals

Площадь квадрата определяется по формуле,

Песчаный прямоугольный гараж длиной 16 м и шириной 18 м должен быть покрыт 2 м квадрата плитки в форме. Сколько плитки потребуется для укладки пола?

Решение:

Сначала нам нужно рассчитать размер прямоугольного гаража. Для этого мы вычисляем его площадь,

Далее, мы должны найти размер плитки, вычислив площадь квадрата,

Чтобы узнать, сколько плиток будет на полу гаража, мы имеем

Таким образом, для пола в гараже потребуется 72 плитки.

Ромб

Ромб также называют ромбом. У него тоже все стороны равны. Его противоположные стороны параллельны. Его площадь вычисляется путем умножения его диагоналей и деления на 2,9.0003

Иллюстрация площади ромба, StudySmarter Originals

Площадь ромба определяется по формуле,

Диагонали ромба равны 18 см и 6 см соответственно, найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба равна,

Параллелограмм

Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны. Его площадь вычисляется путем нахождения произведения основания и высоты параллелограмма.

Иллюстрация площади параллелограмма, StudySmarter Originals

Площадь параллелограмма определяется выражением,

Найдите площадь параллелограмма с основанием 12 см и высотой 30 см.

Решение:

Воздушный змей

У воздушного змея смежные стороны равны, а противоположные внутренние углы равны. Площадь воздушного змея вычисляется путем нахождения произведения двух его диагоналей и деления их на 2,9.0003

Иллюстрация площади воздушного змея, StudySmarter Originals

Площадь воздушного змея определяется выражением,

Трапеция

Трапеция представляет собой двумерную фигуру, две стороны которой параллельны и обычно называются основаниями. Его площадь получается путем получения суммы оснований и умножения на половину его высоты.

Иллюстрация площади трапеции, StudySmarter Originals

Площадь трапеции определяется по формуле, находится в комнате Финики. Найдите размер этажа, который он занимает.

Решение:

Нам нужно найти площадь трапециевидного шкафа по формуле

Пятиугольник

Пятиугольник – это плоская фигура с 5 сторонами. Он обладает апофемой, которая представляет собой перпендикулярное расстояние от середины любой из его сторон до центра пятиугольника. Сумма всех внутренних углов пятиугольника равна 540 градусов, а каждый внутренний угол равен 108 градусов для правильного пятиугольника.

Иллюстрация площади пятиугольника, StudySmarter Originals

Обозначим через b — длину стороны, a — апофему,

стороны 6 см.

Решение:

Площадь пятиугольника рассчитывается как

Но b равно 6 см, таким образом,

Шестиугольник

Шестиугольник – это а. Сумма всех внутренних углов шестиугольника равна 720 градусов, а каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Иллюстрация площади шестиугольника, StudySmarter Originals

Пусть b — длина каждой стороны, а a — апофема, мы имеем

В случае, если указана апофема, площадь принимает вид

Правильный шестиугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину, имеем

Найдите площадь правильного шестиугольника со стороной 3,17 м и апофемой 16,5 м.

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения площади шестиугольника с заданной апофемой,

, где a равно 16,5 м, а b равно 3,17 м, тогда

5 Окружность6 круглая плоская фигура, граница которой (окружность) состоит из точек, равноудалённых от неподвижной точки, называемой центром. Линия, которая проходит через окружность от одного конца окружности к другому через ее центр, называется диаметром. Линия, проведенная от любой части окружности круга к центру круга, называется радиусом.

Изображение, иллюстрирующее площадь круга с радиусом и диаметром, StudySmarter Originals

Площадь круга определяется по формуле,

Найдите площадь круга с радиусом 7 см. Возьмем

Решение:

Здесь r равно 7 см, а затем

Некоторые неправильные плоские фигуры

Площадь правильных фигур легко вычислить, потому что формула применяется напрямую. Однако, когда необходимо вычислить площадь неправильной формы, требуется нечто большее, чем просто применение формул.

Первое, что нужно сделать, это найти связь или сходство между неправильной формой и правильной формой. Это позволит определить, какую формулу можно использовать впоследствии.

Найдите площадь фигуры ниже,

Изображение крестообразной формы, StudySmarter Originals

Решение:

Площадь фигуры выше лучше всего получить, если фигуру разбить на правильные формы.

Иллюстрация расчета площади креста, StudySmarter Originals

Итак, фигура разбита на прямоугольники A, B и C.

Найдем площадь каждого из них. Напомним, что площадь прямоугольника равна

Таким образом,

.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника B, нам нужно сначала найти его длину.

Таким образом, площадь прямоугольника B равна,

Но

Следовательно, площадь исходной фигуры равна сумме площадей трех прямоугольников.

Найдите площадь незаштрихованной части на диаграмме ниже. Возьмем

Иллюстрация площади треугольника с вписанной окружностью, StudySmarter Originals

Решение:

Определим известные значения на приведенном выше рисунке, длина основания треугольника 16 см, высота длина треугольника 20 см, а радиус r равен 7 см.

Чтобы найти площадь незаштрихованной области, которая действительно неправильная, заметим, что форма состоит из большого треугольника с вписанным кругом. Площадь незаштрихованной области — это часть, не затронутая кругом. Следовательно,

Но мы помним, что площадь треугольника можно рассчитать по формуле

Площадь круга можно рассчитать по формуле

Наконец, площадь незаштрихованной области равна ,

Примеры на площади плоских фигур

Чтобы повысить свою компетентность в решении задач на площади плоских фигур, рекомендуется выполнять больше задач. Вот несколько, чтобы усилить вашу компетентность.

Если Прямоугольный блок имеет размер верхней поверхности 8 м на 5 м и высоту 12 см. Если покрытие батута используется для предотвращения загрязнения его верхней части птичьим пометом. Какой должна быть минимальная площадь батута, чтобы его верхняя поверхность была полностью закрыта.

Решение:

Будьте осторожны, чтобы не перепутать вопрос с общей площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда, поскольку вас попросили найти площадь поверхности вершины блока. По существу, батут должен иметь как минимум площадь верха. Следовательно, минимальная необходимая площадь батута составляет

Трапециевидная рама с расстоянием между верхом и основанием 4 м и 8 м соответственно и высотой 6 м должна быть изготовлена ​​из квадратной плитки со стороной 2 м. Сколько квадратных плиток нужно?

Решение:

Первым делом нужно найти площадь рамы, являющейся трапецией.

Затем найдите площадь квадратной плитки.

Теперь у нас есть площадь и рамки (трапеции), и плитки (квадрата), давайте найдем, сколько плиток можно использовать, чтобы сделать трапецию.

Площадь плоских фигур — основные выводы

• Плоские фигуры — это двумерные поверхности, не имеющие высоты и толщины.
• Плоские фигуры правильные, когда внутренние углы и длины сторон равны.

• Плоские фигуры неправильные , если внутренние углы или длины их сторон не равны.