Эйлер круги: круги Эйлера – Основы логики и логические основы компьютера – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

круги Эйлера – Основы логики и логические основы компьютера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 – количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции “ИЛИ” используется символ “|”, а для логической операции “И” – символ “&”.

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги = А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800

Задача 3

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка	5100
Пироженое	9700
Пироженое \| Выпечка	14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка?

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка = А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти секторВ, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно Выпечка = Б + В = 4500+5100 =9600

Задача 4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” используется символ “|”, а для логической операции “И” – символ “&”.

1	спаниели \| (терьеры & овчарки)
2	спаниели \| овчарки
3	спаниели \| терьеры \| овчарки
4	терьеры & овчарки

Решение

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” используется символ “|”, а для логической операции “И” – символ “&”.

1	барокко \| классицизм \| ампир
2	барокко \| (классицизм & ампир)
3	классицизм & ампир
4	барокко \| классицизм

Решение

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Задача 6
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции “ИЛИ” используется символ “|”, а для логической операции “И” – символ “&”.

1	канарейки \| щеглы \| содержание
2	канарейки & содержание
3	канарейки & щеглы & содержание
4	разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K – канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

канарейки \| терьеры \| содержание	канарейки & содержание	канарейки & щеглы & содержание	разведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Фрегат \| Эсминец	3400
Фрегат & Эсминец	900
Фрегат	2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 2200

Решение: Запрос “Фрегат” обозначим символом “Ф”, “Эсминец” – символом “Э”.

Э=(Ф|Э)-Ф+(Ф&Э)=3400-2100+900=2200.

Разбор задачи B12 (демо ЕГЭ 2012)

Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Шахматы \| Теннис	7770
Теннис	5500
Шахматы & Теннис	1000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 3270

Решение: Изобразим запросы в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Запрос “Шахматы” обозначим символом “Ш”, “Теннис” – символом “Т”.

Ш=(Ш|Т)-Т+(Ш&Т)=7770-5500+1000=3270.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

1	принтеры & сканеры & продажа
2	принтеры & продажа
3	принтеры \| продажа
4	принтеры \| сканеры \| продажа

Задача 2

1	физкультура
2	физкультура & подтягивания & отжимания
3	физкультура & подтягивания
4	физкультура \| фитнесс

Круги Эйлера – это… Что такое Круги Эйлера?

Круги́ Э́йлера^[1] — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера — диаграммы Эйлера — Венна, изображающие все комбинаций свойств, то есть конечную булеву алгебру. При диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

[2]

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера — Венна.

Множества А и B

См. также

Примечания

↑ «Круги…» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые многомерные фигуры, иерархически расположенные в пространстве, то есть одни фигуры поглощают либо часть других фигур, либо полностью.
↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.

Логика
Формальная	Логические операции с понятиями Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление Изменение объёма понятия: сложение • умножение • вычитание Типы: Многозначная логика • Бинарная логика Законы: Закон обратного отношения между содержанием и объёмом понятия
Математическая (теоретическая, символическая)	Логические связки (операции) над высказываниями Высказывание – построение над множеством {B, , , , 0, 1} В – непустое множество, над элементами которого определены три операции: конъюнкция ( или &,бинарная) • дизъюнкция (,бинарная) • отрицание (,унарная) 2 константы: импликация () • Круги Эйлера/Диаграмма Венна • Теория множеств

Логика

Формальная

Логические операции с понятиями

Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление
Изменение объёма понятия: сложение • умножение • вычитание
Типы: Многозначная логика • Бинарная логика

Законы: Закон обратного отношения между содержанием и объёмом понятия

Математическая
(теоретическая,
символическая)

Логические связки (операции) над высказываниями

Высказывание – построение над множеством {B, , , , 0, 1}
В – непустое множество, над элементами которого определены три операции: конъюнкция ( или &,бинарная) • дизъюнкция (,бинарная) • отрицание (,унарная)

2 константы: импликация () • Круги Эйлера/Диаграмма Венна • Теория множеств

В кругах Эйлера | SKVOT

Работа креатора — это не только генерить идеи. Но и вовремя включить критическое мышление — чтобы найти в концепциях противоречия и отбросить то, что не выживет.

Инструменты есть не только для креативного, но и для логического мышления. И круги Эйлера — как раз из этого списка. Рассказываем, что это, и на примере креативных проектах показываем принцип работы кругов.

Рисовать, чтобы думать

Круги Эйлера — это шесть простых геометрических схем, которые помогают разобраться в соотношении понятий. Математик Леонард Эйлер придумал их еще в XVIII веке и предположил, что этот инструмент упростит размышления любому, кто мыслит.

Эйлер предложил шесть типов отношений: равнозначность, подчинение, соподчинение, пересечение, противоречие, противоположность. Вот как они объясняются с помощью окружностей:

По сути, круги Эйлера — способ визуализировать отношения между любыми объектами, группами объектов и даже абстрактными понятиями. Например, чтобы искать точки пересечения между любителями «Звездных войн», жителями швейцарских горных сел и посетителями музыкального фестиваля Sziget.

Чем больше понятий, тем сложнее представить их связи мысленно, цифрами, списками — и тем эффективнее делать схему. Например, в сериале «Теория большого взрыва» Говард при помощи кругов Эйлера объясняет Леонарду, почему ему стоит забить на поиски идеальной женщины:

Круги Эйлера используют для решения логических задач уже в средней школе. Но схемы универсальны — и действительно пригодятся любому, кто размышляет.

Нарисуй, распечатай, запомни круги Эйлера — и используй, если нужно:

— Разработать стратегию и проверять, как идея/проект с ней соотносятся.
— Анализировать контент конкурентов, кампании каннских победителей, рекламу Superbowl — и понять ключевые схемы.
— Выбрать tone of voice, героя истории, стиль вижуала, маскот для бренда, месседж для слогана.
— Найти противоречия и логические ямы в брифе, сценарии, посте для соцсетей.
— Освоить новый скил, но с направлением определиться трудно.

Эйлер на кейсах

Самый надежный способ разобраться в механизме системы, которую придумал Эйлер, — найти примеры в готовых кейсах. Увидишь, как работает равнозначность в стратегии бренда или пересечение в поисках героя для рекламного ролика, — поймешь, как использовать этот подход в своих целях.

#1. Равнозначность

У Эйлера этот тип взаимодействия понятий выглядит как два круга, которые полностью совпадают. Одно равно другому, как ни назови. Стивен Хокинг = автор книги «Краткая история времени». Или «Пираты Карибского моря: на странных берегах» = самый дорогой фильм в истории (пока).

Один рекламный ролик не сможет за минуту убедить пользователей, что пиво = Guinness, мыло = Dove, а детское масло = Johnson’s Baby. Нужна эффективная (часто многолетняя) маркетинговая стратегия, которая приведет к этому убеждению.

В идеале название бренда будет однозначно ассоциироваться с целой индустрией или продуктом. Слышишь «мебель для самостоятельной сборки» — сразу понимаешь, что это IKEA. Видишь пошаговый гайд по сборке — точно IKEA. А с помощью этих прочных связей бренд может говорить на самые разные темы: экологичность, ресайклинг, домашний уют и социальная ответственность.

#2. Подчинение

Допустим, общее понятие — это большой круг. Внутри него находится другой, маленький, и это — частность большого. Зимних олимпийских видов спорта много, и бобслей, например, один из них.

Такой тип отношений — мощный инструмент для рекламного месседжа. Особенно если его целью оказывается инклюзия: включение незаметной, неожиданной, уязвимой группы в сообщество. Nike на протяжении нескольких лет топит за спорт как удовольствие, независимо от телосложения, опыта, целей и происхождения. И на уровне продукта, и на уровне рекламных кампаний.

Коллекцию Victory Swim разработали для спортсменок-мусульманок — и Nike промит ее идеальным роликом, где женщины в хиджабах участвуют в соревнованиях, серфят, занимаются дайвингом и учат дочек плавать. И становятся частью сообщества Nike:

#3. Соподчинение

Графический ключ к этому соотношению — большой круг, внутри которого помещаются несколько маленьких. Маленькие понятия на равных и полностью включены в какое-то общее. Например, актеры, получившие Оскар, — Хоакин Феникс, Гэри Олдман, Леонардо Ди Каприо.

Если поместишь ключевое понятие в не самую очевидную область и будешь искать соподчинение в ней, выйдет крутой экспириенс. Например, очевидно было с началом пандемии находить параллели в прошлом — в частности, с эпидемией «испанки».

Креаторы латвийского агентства Nord DDB во время весеннего локдауна разработали серию принтов о бедах, которые мы уже пережили (а значит, есть все шансы пережить и жесткий карантин). Среди самых страшных событий прошлого: шлепанцы на носки и кроксы с платформой. Реально страшно:

#4. Пересечение

Эта диаграмма Эйлера — самая культовая и попсовая: ее растащили в коуч-пособия и мемы. Суть в том, что объем одного понятия частично совпадает с объемом другого — у них есть что-то общее.

Это крутой визуальный инструмент для поиска инсайта. Если представить бренд как исходный круг и строить вокруг него пересечения с ценностями и потребностями ЦА, попадешь в область, где совпадение будет максимальным.

Например, у Starbucks есть фишка: писать имя посетителя на кофейном стаканчике. Этот факт даже не про кофе, он — маленькая деталь в общем объеме информации о бренде. Но среди посетителей кофеен точно есть те, кто хочет сказать свое имя — и услышать его от бариста. Значит, нужно найти героя, который только в Starbucks может назвать себя как угодно, а не так, как написано в паспорте.

#5. Противоречие

В отличие от противоположности, противоречие держится на конфликте. Круг разделен пополам. Одна его часть утверждает, что не является второй частью. И наоборот.

На этом принципе строятся самые остроумные рекламные войны между брендами: Audi vs BMW, Pepsi vs Coca Cola, Old Spice vs Axe. Чаще это противостояние скрытое — борьба стратегий, разделение целевых аудиторий, — но иногда начинается прямой троллинг конкурента.

Рекламная борьба между McDonald’s и Burger King — самая долгая и зрелищная. Клоун, маскот Мака, шифруется и приходит в Burger King за воппером. Потом Burger King показывает, что весь год снимал рекламу вопперов, заслоняя ими бигмаки. Конкуренты меряются вкусом и размером бургеров, близостью ресторанов уже больше 20 лет.

А зарывают топор войны только ради социально важных поступков, но и тогда это соревнование в благородстве. В начале осеннего локдауна французский Burger King опубликовал в медиа призыв покупать в McDonald’s и других сетях фастфуда — чтобы индустрия выжила. Конечно, воппер будет лучшим решением, но и бигмак сойдет.

#6. Противоположность

Понятия с противоположными характеристиками Эйлер представляет как две части круга, между которыми остается свободное пространство — это все остальное. Проза и поэзия — две противоположности, а между ними: верлибр и ритмическая проза, например.

Противоположности — это мирные антонимы, которые не вступают в конфликт и не строят свою идентичность на отрицании друг друга. Это холодное, а это горячее. Это промышленное, а это DIY.

Wunderman Thompson построили на противоположности крутую кампанию для West Australian Ballet. В качестве промо новой постановки «Дракула» на стенах общественных туалетов разместили необычные принты. Изображение вампира в зеркале не отражается — постер пустой. Тут Дракула есть — там нет:

Логический вывод

В системе Эйлера — шесть простых геометрических схем, которые нарисует от руки даже ребенок. По отдельности каждая из них определяет только одно взаимодействие. Но если берешься за большую тему, в твоей схеме могут сочетаться сразу несколько типов соотношений.

Например, целевая аудитория бренда — подростки от 13 до 18. Среди них есть те, кто использует инстаграм, и те, кто использует тикток. Тиктокеры и инста-teens входят в целевую по принципу соподчинения. Но есть небольшая группа, которая зависает в обеих соцсетях — и между собой они взаимодействуют по принципу пересечения.

Тестить мир на противоречия и связи — суперполезно и суперувлекательно. Хорошие новости: ты не сможешь остановиться. Плохие новости: ты не сможешь остановиться.

почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.

Происхождение термина

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода – ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.

До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте – http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще давайте рассмотрим задачу, которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник – http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер \| Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
Крейсер: 1 + 2 = 4800
Линкор: 2 + 3 = 4500

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 – количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

Круги Эйлера в информатике

Сегодня разберём задачи на круги Эйлера в информатике.

Леонард Эйлер – швейцарский, немецкий и российский математик и механик, сыгравший огромную роль в развитии этих наук.

Задача (Простая)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Пушкин	3500
Лермонтов	2000
Пушкин \| Лермонтов	4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Пушкин & Лермонтов? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

Видим, что по запросу “Пушкин” в поисковике нашлось 3500 страниц. По запросу “Лермонтов” – 2000 страниц.

Запрос “Пушкин | Лермонтов” обозначает, что поисковик выдаст страницы, где есть слова про “Пушкина”, и страницы, где есть слова про “Лермонтова”, а так же могут быть страницы, где написано и про “Пушкина”, и про “Лермонтова” одновременно.

Если сложить страницы, в которых написано про “Пушкина” и про “Лермонтова” получается 3500 + 2000 = 5500 страниц. Но почему же при запросе “Пушкин | Лермонтов” получается меньше страниц, всего 4500 ?

Этот факт обозначает то, что когда мы подсчитывали страницы про “Пушкина” (3500 страниц), мы подсчитали и те страницы, где было написано и про “Пушкина”, и про “Лермонтова” одновременно.

Тоже самое и для количества страниц, где написано про “Лермонтова” (2000 страниц). В этом числе находятся и те, в которых одновременно упоминается и про “Пушкина”, и про “Лермонтова”.

В вопросе спрашивается, сколько страниц будет по запросу “Пушкин & Лермонтов“. Это обозначает, что как раз нужно найти количество страниц, где будет одновременно написано и про “Пушкина”, и про “Лермонтова”.

Отсюда получается:

Пушкин & Лермонтов = (3500 + 2000) – 4500 = 5500 – 4500 = 1000 страниц.

Это и будет ответ!

Теперь решим эту задачу с помощью Кругов Эйлера!

У нас всего есть две сущности: “Пушкин” и “Лермонтов”. Поэтому рисуем два пересекающихся круга, желательно разными цветами.

Объединение двух кругов в общую фигуру (показано фиолетовым цветом), показывает операцию “Пушкин | Лермонтов”. Эта операция всегда стремится увеличить площадь, объединить площади других фигур!

Обратите внимание, что круги пересекаются, из-за этого сумма площадей двух кругов по отдельности (3500 + 2000 = 5500) больше чем у фигуры, которая характеризует логическую операцию «ИЛИ» “Пушкин | Лермонтов” (4500).

Нужно найти площадь фигуры Пушкин & Лермонтов, которая закрашена золотистым цветом. Данная логическая операция «И» стремится уменьшить площадь. Она обозначает общую площадь других фигур.

Найдём сначала заштрихованную часть синего круга. Она равна: площадь фиолетовой фигуры (4500) минус площадь красного круга (3500).

Теперь легко найти площадь золотистой фигуры. Для этого нужно от площади синего круга вычесть площадь заштрихованной части. Получается:

Пушкин & Лермонтов (Количество страниц) = 2000 – 1000 = 1000

Получается, что по запросу Пушкин & Лермонтов будет найдено 1000 страниц.

Ответ: 1000

Рассмотрим ещё одну не сложную разминочную задачу.

Задача (Разминочная)

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Кокос \| Ананас	3400
Кокос & Ананас	900
Кокос	2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Ананас?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

У нас две сущности: Кокос и Ананас. Нарисуем два круга Эйлера, которые пересекаются между собой. Так же отменим все имеющееся данные.

Найдём заштрихованную часть красного круга.

Весь красный круг 2100. Золотистая область равна 900. Заштрихованная часть равна 2100 – 900 = 1200.

После того, как нашли заштрихованную часть (такой полумесяц), можно найти уже площадь синего круга. Для этого нужно от площади фиолетовой фигуры отнять площадь заштрихованной части!

Ананас (Количество страниц) = 3400 – 1200 = 2200
Ответ: 2200

Разберём классическую задачу из информатики по кругам Эйлера.

Задача (Классическая)

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
(Космос & Звезда) \| (Космос & Планета)	1100
Космос & Планета	600
Космос & Планета & Звезда	50

Какое количество страниц (в тыс.) будет найдено по запросу Космос & Звезда?

Решение:

В этой задаче у нас три сущности: Космос, Планета, Звезда. Поэтому рисуем три круга Эйлера, которые пересекаются между собой.

Могут ли круги не пересекаться ? Могут! Если мы докажем, что площади по отдельности двух кругов в сумме дают площадь фигуры, которая получается при применении операции логического “ИЛИ”.

Теперь отметим на нашем рисунке запрос (Космос & Звезда) | (Космос & Планета).

Сначала отменим для себя то, что находится в скобках. Первое Космос & Звезда

Теперь отметим вторую скобку Космос & Планета.

В выражении (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) две скобки соединяет знак логического “ИЛИ”. Значит, эти две области нужно объединить! Область (Космос & Звезда) | (Космос & Планета) отмечена фиолетовым цветом!

Отметим Космос & Планета ещё раз, т.к. для этого выражения известно количество страниц.

Площадь фигуры для выражения Космос & Планета & Звезда будет очень маленькая. Это общая часть для всех трёх кругов. Отметим её оранжевым цветом! Каждая точка этой фигуры должна одновременно быть в трёх кругах!

Найти нужно Космос & Звезда. Отменим на рисунке чёрным цветом ту область, которую нужно найти. Мы эту область уже отмечали салатовым цветом.

Теперь у нас есть все компоненты, чтобы решить эту задачу.

Найдём заштрихованную область.

Вся область Космос & Планета равна 600. А заштрихованная часть равна: область Космос & Планета (600) минус оранжевая область (50).

Количество страниц в заштрихованной части = 600 – 50 = 550

Тогда черная область легко находится: фиолетовая область (1100) минус заштрихованная область (550).

Количество страниц (при запросе Космос & Звезда) = 1100 – 550 = 550
Ответ: 550

Закрепляем материал по задачам на Круги Эйлера.

Задача (На закрепление)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Море & Солнце	290
Море & Пляж	355
Море & (Пляж \| Солнце)	465

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Море & Пляж & Солнце? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

В задаче используются три сущности: Море, Пляж, Солнце. Поэтому нарисуем три пересекающихся круга Эйлера.

Отметим все области для которых нам даны количество страниц.

В начале отметим Море & (Пляж | Солнце). Для начало нарисуем область, которая в скобках (Пляж | Солнце)

Теперь нужно очертить общую часть фиолетовой области и зелёного круга и получится Море & (Пляж | Солнце). Отметим оранжевым цветом.

Теперь отметим Море & Пляж.

Теперь отметим Море & Солнце.

Найти нужно ту область, которая получается в результате выделения общей части для всех трёх кругов! Обозначим её чёрным цветом!

Найдём заштрихованную область!

Количество страниц (в заштрихованной области) =
= Количество страниц (В оранжевой области) – Море & Солнце =
= 465 – 290 = 175

Чтобы найти искомую чёрную область, нужно из Море & Пляж (355) вычесть заштрихованную область (175).

Количество страниц (Море & Пляж & Солнце) =
= Море & Пляж (355) – Количество страниц (в заштрихованной области) 175 =
= 355 – 175 = 180
Ответ: 180

Решим ещё одну тренировочную задачу из информатики на Круги Эйлера.

Задача (с 4 сущностями)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Англия & (Уэльс & Шотландия \| Ирландия)	450
Англия & Уэльс & Шотландия	213
Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия	87

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Англия & Ирландия?

Решение:

Нужно нарисовать 4 пересекающихся круга. Сначала нарисуем три круга, как обычно, оставив немного места для четвёртого круга.

Четвёртый круг для Ирландии нужно нарисовать так, чтобы он проходил через область (Англия & Уэльс & Шотландия). Это нам подсказывает сама таблица, где есть количество страниц для Англия & Уэльс & Шотландия, а так же для Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия.

Нужно отметить на рисунке Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Это будем делать, как всегда поэтапно.

Область Уэльс & Шотландия выглядит так:

Добавим к этой области Ирландию через логическое “ИЛИ”. Получается область (Уэльс & Шотландия | Ирландия). Произошло объединение серой области и жёлтого круга!

Теперь нужно сделать операцию логического “И” получившийся области с “Англией”. Тогда область Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) примет вид:

Т.е. это общее между предыдущем серым контуром и красным кругом!

Отметим Англия & Уэльс & Шотландия – это общая территория трёх кругов: Красного, Синего и Зелёного. Отмечено оранжевым цветом.

Отметим Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия – это общая территория четырёх кругов. Область получается ещё меньше. Если взять точку в этой области, то мы будем находится сразу в четырёх кругах одновременно. Отмечено фиолетовым цветом.

Отметим то, что нужно найти Англия & Ирландия чёрным цветом.

Искомую чёрную область легко найти, если из серой области вычесть кусочек, окрашенный в бирюзовый цвет!

Найдём, сколько страниц приходится на бирюзовый кусочек:

Количество страниц (для бирюзового кусочка) =
= Англия & Уэльс & Шотландия (213) – Англия & Уэльс & Шотландия & Ирландия (87) =
= 213 – 87 = 126

Найдём искомую чёрную область.

Количество станиц (для чёрной области) =
= Англия & (Уэльс & Шотландия | Ирландия) (450) – Количество (для бирюзового кусочка) =
450 – 126 = 324

Это и будет ответ!

Ответ: 324.

Разберём задачу из реального экзамена по информатике, которая была в 2019 году в Москве! (Сейчас в 2021 задачи не встречаются на Круги Эйлера)

Задача (ЕГЭ по информатике, 2019, Москва)

В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашёл поисковый сервер по этим запросам в некоторым сегменте Интернета:

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Суфле	450
Корзина	200
Эклер	490
Суфле & Корзина	70
Суфле & Эклер	160
Корзина & Эклер	0

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Суфле | Корзина | Эклер
Решение:

Видим, что у нас три поисковых разных слова, поэтому будет три разных круга Эйлера!

Так же видим, что логическое “И” между словами Корзина и Эклер даёт 0 страниц. Это значит, что эти круги не пересекаются! Так же круги бы не пересекались, если бы операция логического “ИЛИ” совпадала бы с суммой этих кругов.

Видим, что Суфле имеет с двумя кругами пересечения, а Корзина и Эклер не пересекаются.

Отметим всё, что нам дано в условии.

Жёлтым цветом отмечено Суфле | Корзина | Эклер . Объединение всех трёх кругов. Это то, что нужно найти.

Искомая жёлтая фигура складывается из заштрихованных областей и красного круга! Площадь красного круга мы знаем. Нужно найти площади заштрихованных частей.

Левая заштрихованная область находится просто:

Количество страниц (лев. заштрих. область) =
= Эклер (490) – Суфле & Эклер (160) = 330

Так же найдём площадь правой заштрихованной области:

Количество страниц (прав. заштрих. область) =
= Корзина (200) – Суфле & Корзина (70) = 130

Теперь можно найти искомую жёлтую область

Количество страниц (Суфле | Корзина | Эклер) =
= Красный круг (450) + лев. заштрих. область (310) + прав. заштрих. область (130) =
= 450 + 330 + 130 = 910

Задача решена, можно писать ответ.

Ответ: 910

Разберём ещё одну задачу из реального ЕГЭ уже 2020 года

Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Аврора	50
Крейсер	45
Заря	23
Аврора & Заря	9
Заря & Крейсер	0
Заря \| Крейсер \| Аврора	93

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Аврора & Крейсер
Решение:

Количество страниц при запросе Заря & Крейсер равно нулю. Значит, эти два круга не будут пересекаться.

Нарисуем все данные на рисунке.

Нужно найти для начала заштрихованную правую часть.

Количество страниц (для двух заштрих. частей) =
З | К | А (93) – Красный круг (50) = 43

Левую заштрихованную область легко найти.

Количество страниц (для левой заштрих. части) =
Синий круг (23) – А & З (9) = 14

Тогда для правой заштрихованной области получается:

Колич. страниц (для правой заштрих. части) =
Колич. страниц (для двух заштрих. частей) (43) – Колич. страниц (для лев. заштрих. части) (14) =
= 43 – 14 = 29

Тогда искомую область легко найти:

Колич. страниц (А & K) =
Зелёный круг (45) – Колич. страниц (для правой заштрих. части) (29) =
45 – 29 = 16
Ответ: 16

На этом всё! Надеюсь, вы теперь будете с удовольствием решать задачи по информатике с помощью Кругов Эйлера.

Круги Эйлера – Учусь математике

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716).

В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Задача №1. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3?

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.

Задача №2. С помощью кругов Эйлера можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи.

Пусть круг А изображает всех учащихся, говорящих по-английски, круг Н – говорящих на немецком языке, Круг Ф – говорящих по-французски. Сколько учащихся говорит: а) на всех трех языках? б) по-английски и по-немецки? в) по-французски? Сколько всего учащихся, говорящих на иностранном языке? Сколько из них не говорит по-французски? Сколько из них не говорит по-немецки? Сколько из них не говорит на иностранном языке?

Ответ: а) На всех трех языках говорят 3 ученика; б) По-английски и по-немецки – 15 человек; в) только по-французски – 8 учащихся. Всего 100 (40+7+3+15+5+22+8) ребят, говорящих на иностранных языках. По-французски не говорят 77учащихся (100-(8+5+7+3) .Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.

Реши самостоятельно

Задача № 3. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение

Задача № 4. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом – 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение.

Круги Эйлера – презентация онлайн

КРУГИ ЭЙЛЕРА
Автор: Макеенко Вадим, 5б кл.
Руководитель: Венжик Т.Д.

2. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

ИДЕАЛЬНЫЙ
МАТЕМАТИК
XVIII ВЕКА,
который ввел понятие
объединения и
пересечения
множеств
• Эйлер писал, что «круги очень
подходят для того, чтобы
облегчить наши размышления».
• При решении целого ряда задач
Леонард Эйлер использовал
идею изображения множеств с
помощью кругов и они получили
название «круги Эйлера».

4. Круги Эйлера

Эйлеровы круги — принятый в
логике способ моделирования,
наглядного
изображения
отношений между объемами
понятий с помощью кругов.
Круги Эйлера
Смысл логических связок становится более понятным, если
проиллюстрировать их с помощью кругов Эйлера
Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает
находить и/или делать более наглядными логические связи
между явлениями и понятиями. А также помогает
изобразить отношения между каким-либо множеством и его
частью.
9-ые классы
5-ые классы
Школа
9 «А» класс
Круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга
в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает
быстрее и проще получить ответ.
Метод Эйлера является незаменимым при решении
некоторых задач.
Задача 1.
“Обитаемый остров” и “Стиляги”
Некоторые ребята из нашего класса любят
ходить в кино. Известно, что 15 ребят
смотрели фильм «Обитаемый остров»
11 человек смотрели фильм «Стиляги», из
них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и
«Стиляги».
Сколько человек смотрели только
фильм «Стиляги»?
Решение:
Чертим два множества таким образом:
«Обитаемый
остров»
«Стиляги»
6
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и
«Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый
остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
«Обитаемый
остров»
9
6
5
«Стиляги»
Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».
Задача 2.
«Гарри Поттер, Рон и Гермиона»
На полке стояло 26 волшебных книг по
заклинаниям, все они были прочитаны.
Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон.
Гермиона прочитала 7 книг, которых не
читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги,
которые читал Гарри Поттер.
Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг.
Сколько книг прочитал только Рон?
Решение:
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Гарри Поттер
11
Гермиона
7
2
4
8
Рон
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги
читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг
прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ.
8 книг прочитал только Рон.

10. ВЫВОД:

Применение кругов Эйлера
(диаграмм Эйлера-Венна)
позволяет легко решить
задачи, которые обычным
путем разрешимы лишь при
составлении системы трех
уравнений с тремя
неизвестными
Источники информации:
1. http://f1.mylove.ru/0AkEJdLeQl.jpg
2. http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html
3. http://inf.reshuege.ru/test?theme=256
Диаграмма Эйлера

: как нарисовать ее простыми шагами

Вероятность и статистика> Вероятность> Как создать диаграмму Эйлера

Диаграмма Эйлера: Обзор

Диаграмма Эйлера похожа, но не идентична диаграмме Венна. Хотя оба они используют круги для создания диаграмм, есть существенное различие: диаграммы Венна представляют всего набора , а диаграммы Эйлера могут представлять часть набора. На диаграмме Венна может быть заштрихованная область, показывающая пустой набор.Эта область на диаграмме Эйлера могла просто отсутствовать на диаграмме вообще. Диаграммы Эйлера сложно нарисовать вручную (простая схема описана ниже). Вам, вероятно, лучше использовать программное обеспечение для его создания, например Smart Draw или Venn Master.

Диаграмма Эйлера: Шаги

Пример вопроса: Нарисуйте диаграмму Эйлера для представления следующих утверждений:
Все волшебники могут творить магию.
Ящерицы не умеют колдовать.
Ни один волшебник не ящерица.

Шаг 1: Нарисуйте три круга, представляющих три категории (волшебник, ящерица, магия).Совместите их все (используйте карандаш или программное обеспечение, чтобы потом можно было перемещать круги):

Шаг 2: Прочтите первое утверждение и переместите соответствующий кружок соответственно . «Все волшебники могут творить магию» должно означать, что весь волшебный круг должен находиться внутри магического круга.

Шаг 2: Прочтите второй оператор и переместите соответствующий кружок соответственно . «Никакие ящерицы не могут творить магию» должно означать, что весь круг ящерицы должен находиться на за пределами магического круга.

Шаг 3: Прочтите третье утверждение и переместите соответствующий кружок соответственно . «Волшебники не являются ящерицами» должно означать, что весь круг ящерицы должен быть на за пределами круга волшебника. В этом случае на графике круг ящерицы уже находится за пределами круга волшебника, так что все готово!

Ссылка:
Кентский университет. Проверено 19 октября, 2015.

. ————————————————– —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Обзор диаграмм Эйлера

Диаграммы Эйлера 2004

Брайтон, Великобритания

сентябрь 22-23

Что такое диаграммы Эйлера?

Леонард Эйлер (произносится как «Масленка») был одним из величайших математиков всех времен. время.Многие утверждают, что он был величайшим. Одно из его малоизвестных изобретений это диаграммы Эйлера, которые он использовал для иллюстрации рассуждений.

Диаграмма Эйлера показана выше. Одна из распространенных интерпретаций Эйлера диаграмм является то из множества пересечений. При такой интерпретации вышеупомянутое На диаграмме используются области для представления наборов A, B и C. Диаграмма также включает площади для перекрестков AB, AC и ABC. Никакая область не представляет набор (не A) C, поэтому множество C целиком содержится в A.

Визуально диаграммы Эйлера состоят из контуров нарисованных как простые замкнутые кривые. Контуры разделяют плоскость на зон . Зона можно определить по содержащим контурам. На диаграмме выше контуры помечены A, B и C, а зоны A, B, AB, AC и ABC присутствуют в диаграмма (а также внешняя зона, не содержащая контуров). Мы тут свяжите с каждой зоной метку, образованную контурами, внутри которых она находится содержится.

Диаграммы Венна, диаграммы Эйлера и Лейбница

Термины диаграмма Эйлера и диаграмма Венна часто путают. Диаграммы Венна можно рассматривать как частный случай диаграмм Эйлера, поскольку диаграммы Венна должны содержать все возможные зоны, тогда как диаграммы Эйлера могут содержать подмножество всех возможных зон. На диаграммах Венна заштрихованная зона представляет собой пустое множество, тогда как на диаграмме Эйлера соответствующая зона может отсутствовать на диаграмме. Этот означает, что по мере увеличения числа контуров диаграммы Эйлера обычно меньше визуально сложнее, чем эквивалентная диаграмма Венна, особенно если количество непустой пересечений мало.

Барон [Bar69] отмечает, что Лейбниц произвел аналогичные диаграмм до Эйлера, однако, многие из них не были опубликованы. Она также наблюдает еще более ранние диаграммы типа Эйлера Рамона Лулля в 13 веке.

Примечания к конкурирующим типам диаграмм можно найти по адресу: Wikipedia, Interactive Сборник математики и головоломок и Венн Фрэнка Рски Диаграмма обзора.

Области применения

В этом разделе показано несколько примеров использования диаграмм Эйлера.Часто, Диаграммы Эйлера дополняются дополнительными структурами, такими как точки, метки или графики, показывающие информацию о том, что содержится в различных зонах.

Одной из важных особенностей диаграмм Эйлера является их способность визуализировать сложные иерархии. На рисунке выше показано, что некоторые животные относятся к более чем одной классификации, например «собака» и «кошка», которые являются домашними животными. и млекопитающие. Нелегко показать такие отношения с более обычными людьми. древовидная иерархическая визуализация классификаций.VENNFS [CES03] использует этот подход диаграммы Эйлера для визуализации организации файловой системы. Это позволяет файлам располагаться более чем в одном каталоге файловой системы компьютера. [VV04] предлагают использовать диаграммы Эйлера для визуализации больших баз данных с использованием нескольких классификации.

Первоначальное применение диаграмм Эйлера как способ схематического представления демонстрируя логику, широко используются в школах, где они являются большим подспорьем для теория обучающих множеств.Другие академические работы включают Hammer [Ham95], который представил здоровую и законченную логическую систему, основанную на диаграммах Эйлера. Более выразительных рассуждений можно добиться, дополнив диаграммы графиками. Шин [Shi94] разработал первую такую формальную систему. Это было расширено до Spider [HMTKG01] и диаграммы ограничений [GHK01] группой визуального моделирования Университета Брайтона и другими. Пример диаграммы ограничений показан выше. Эти расширенные диаграммы Эйлера можно рассматривать как гиперграфы, и как таковые должна быть возможность применить методы визуализации для улучшенного Эйлера диаграммы в более общем смысле для приложений, использующих гиперграфы.

Построение диаграмм Эйлера

Большая часть недавних исследований посвящена встраиванию Эйлера диаграммы в плоскости из текстового описания зон, которые должны появиться в диаграмма. Эту работу делает более интересной наличие хорошего воспитания. условия. Хорошая форма ограничивает внешний вид диаграмм Эйлера, и поэтому в некоторой степени, чем лучше построена, тем лучше понимается диаграмма. Однако некоторые диаграммы Эйлера невозможно нарисовать при некоторой хорошей форме. условия.Общие условия оздоровления:

Форма контуров может быть ограничена определенными формами, такими как круглая, овальная, прямоугольная или выпуклая.
Тройные точки не могут быть разрешены, так что только два контура могут пересекаться в любой заданной точке.
Допускаются только поперечные пересечения контуров, так что линии не могут касаться без пересечения.
Параллельные контуры не могут быть разрешены, поэтому сегмент линии не может представлять границу 2 или более контуров.
Отключенные зоны не могут быть разрешены, поэтому зоны не могут появляться на диаграмме более одного раза
Контуры должны быть простыми кривыми, чтобы контуры не пересекались сами собой

Ослабление этих ограничений позволяет рисовать все диаграммы Эйлера. Сам Эйлер рисовал только диаграммы с кружками, не нарушая ни одной из схем. условия благополучия.

Некоторые примеры благополучия:

1.Эта диаграмма Венна 4 (Диаграмма Венна с 4 контуры), нарисованные с невыпуклыми контурами. Эту диаграмму можно нарисовать с помощью выпуклые формы.
2. На этой диаграмме представлены зоны A, B, C, AB, AC и BC (но не ABC) получил тройную точку. Эту диаграмму невозможно нарисовать без нарушение правил благополучия 2, 5 или 6.
3.Это пример непересечной диаграммы. представляющие зоны A и B.
4. Это диаграмма, представляющая зоны AB, AC. В для визуализации требуются общие сегменты кривой.
5. На этих диаграммах области одного цвета представляют та же зона. На диаграмме слева есть отключенные зоны. Диаграмма справа имеет ту же семантику, что и слева, но хорошо сформирован.Отключенные зоны особенно неприятны там, где предметы предназначены группироваться по зонам. Если бы использовались диаграммы, подобные приведенным слева, тогда два элемента, которые должны были быть сгруппированы вместе, могли появиться в различные разделы диаграммы, даже если семантика диаграмма будет правильной.
6. Это диаграмма зон A и B, представленных непростые кривые.

Первую работу по автоматическому построению диаграмм Эйлера сделали Флауэр и Howse [FH02], кто предложил и реализовал метод рисования подмножества диаграмм поддержание всех условий благополучия, кроме 1, внизу слева диаграмма, созданная этим методом. Дальнейшая работа Чоу и Руски [CR03], описал реализованный метод встраивания небольших диаграмм с ограничениями по форме контуров, включая фигуры, построенные из прямоугольников.Verroust и Виуд [VV04] предложили систему рисования всех диаграмм Эйлера до 8 контуров, расслабляющую правила оздоровления 1,2,3 и 4.

Схема диаграмм Эйлера

Это относится к рисованию диаграмм Эйлера с учетом их эстетичный вид. Методы генерации, описанные в предыдущем разделе часто создают сложные для понимания диаграммы Эйлера. Наше недавнее исследование [FRM03] взял диаграммы Эйлера, порожденные [FH02] и применил эстетические метрики к контурам, пытаясь сделать диаграммы более понятный, см. выше изображение до и после.Это было тогда расширен для рисования графиков в диаграммах Эйлера [MRF04].

Контакт

Если вы заметили ошибку или хотите что-то добавить на эту страницу, свяжитесь с Питером Роджерсом.

Ссылки

Стэнфорд Энциклопедия философии имеет подробное резюме и сравнение диаграммы. типы
Примеры использование диаграмм Эйлера в логических рассуждениях
Википедия: статья Венна и Эйлера диаграммы
Venn Сравнение Эйлера
Диаграмма Венна Обзор Фрэнка Руски

Список литературы

[Bar69] M.Э. Барон. Примечание о Историческое развитие логических диаграмм. Математический вестник: Журнал математической ассоциации. Том LIII, вып. 383 May 1969.
[CES03] Р. Де Кьяра, У Эрра и В. Скарано. VENNFS: файловый менеджер диаграммы Венна. Proc. Визуализация информации IEEE (IV03). С. 120-126. 2003.
[CR03] С. Чоу и Ф. Руски. Построение пропорциональных площадей диаграмм Венна и Эйлера. Proc. GD2003. LNCS 2912. Springer Verlag.
[Eul61] Л. Эйлер. Lettres a Une Princesse d’Allemagne, vol 2. 1761. Letters No. 102–108.
[FH02] J. Flower and J. Howse. Создание Диаграммы Эйлера, Proc. Диаграммы 2002, Springer Verlag, 61-75.
[FRM03] Дж. Флауэр, П. Роджерс и П. Маттон. Показатели макета для диаграмм Эйлера. Proc. Визуализация информации IEEE (IV03). С. 272-280. 2003.
, [GHK01] Дж. Гил, Дж. Хоуз и С. Кент. К формализации диаграмм ограничений, Труды человекоцентрических Вычислительная техника (HCC 2001) Стреза, Италия, IEEE Computer Society Press, 72-79.2001.
, [Ham95] E. M. Hammer. Логика и визуализация Информация, публикации CSLI. 1995.
[HMTKG01] Дж. Хоуз, Ф. Молина, Дж. Тейлор, С. Кент и Дж. Гил. Диаграммы паука: A Диаграммная система рассуждений, Журнал визуальных языков и вычислений 12, 299-324. 2001
[MRF04] П. Маттон, П. Роджерс и Дж. Цветок. Рисование графиков в диаграммах Эйлера. Proc. Диаграммы 2004. LNAI 2980. Springer Verlag. 66-81.
[Shi94] S-J Shin.В Логический статус диаграмм. ЧАШКА. 1994.
[Ven80] J. Венн, О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждения, Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и журнал наук, 9 (1880) 1-18.
[VV04] А. Верруст и М.-Л. Viaud. Обеспечение возможности рисования расширенных диаграмм Эйлера до 8 Наборы. Proc. Диаграммы 2004. LNAI 2980. Springer Verlag. 128-141.

Диаграммы Венна и Эйлера | Давайте поговорим о науке

Диаграммы Венна

Иногда мы используем картинки для рисования наборов.Один тип изображения называется Диаграмма Венна . Диаграммы Венна помогают визуально показать отношения между наборами. Обычно диаграммы Венна имеют два перекрывающихся круга. Но вы можете нарисовать диаграммы Венна с тремя или более перекрывающимися замкнутыми кривыми. Диаграммы Венна не всегда показывают, что конкретно входит в набор. Например, на картинке ниже показаны наборы K и L:

Каждый кружок представляет все элементы набора.Имея только картинку, вы можете задать вопросы о подмножествах , пересечении и соединении .

K ⊆ L (находится ли K внутри L)? НЕТ.

L ⊆ K (находится ли L внутри K)? НЕТ.

Вопросы 1: Что такое K ∩ L? (Какая область внутри обоих наборов?) Нарисуйте изображение, а затем закрасьте его. Ответы даны внизу страницы.

Вопросы 2: Что такое K ∪ L? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Попробуйте это с наборами:

E = {1, 3, 8, 9, 14, 17}

F = {0, 14, 3, 5, 10, 20}

Вопросы 3: Используйте диаграмму Венна, чтобы показать наборы E и F .

Что такое E ∩ F ?

Что такое E ∪ F ?

Кем был Венн?

Джон Венн (1834-1923) был английским логиком . Логик – это тот, кто изучает способы логического мышления. Его помнят за изобретение диаграммы, названной в его честь – диаграммы Венна.

Венн был воспитан его отцом, который был преподобным англиканской церкви. Его мать умерла, когда он был очень молод.Он поступил в Кембриджский университет, где на втором курсе получил стипендию по математике. Несмотря на то, что в школе он действительно хорошо разбирался в математике, после ее окончания он стал преподобным, как его отец и дед.

Венн никогда не переставал думать о математике. После нескольких лет религиозной работы он вернулся в Кембридж, где преподавал логику и вероятность. В 1867 году он женился, и у него родился сын – Джон. Его сын Джон в конце концов стал президентом Королевского колледжа Кембриджского университета, где вместе со своим отцом выполнял важные исследовательские проекты.

Диаграммы Венна были впервые опубликованы в 1880 году в статье под названием «О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений». в “Философском журнале и научном журнале”.

Диаграммы Эйлера

Другой способ показать множества и их отношения – использовать диаграмму Эйлера . Эти диаграммы похожи на диаграммы Венна, но имеют тенденцию быть более сложными. Они часто показывают подмножества, а также пересечение и объединение. В диаграмме Эйлера размер и форма кругов / овалов не важны.Важно то, как они перекрываются или не перекрываются.

Вопрос 4:

Является ли какой-либо набор подмножеством (⊆) другого?

Если да, то какой?

Вопрос 5:

A) Цвет в N ∪ Q

B) Тень в M ∩ R

C) Цвет в P ∩ N ∩ Q

D) Тень в M ∪ P ∪ R

Возможно ли N ∩ R ? Нет! N и R не перекрываются. В теории множеств мы называем это пустым набором или пустым набором , потому что он ничего не содержит. Символ для нулевого набора – ∅ .Вот еще один пример нулевого набора:

G – количество жирафов в классе миссис Браун. B = {} = ∅

Приложения диаграмм Венна и Эйлера

Диаграммы Венна и Эйлера полезны в самых разных контекстах. Оба типа диаграмм помогают нам визуализировать концепции и отношения. Это может помочь нам легче понять сложную информацию. Эти диаграммы используют одну и ту же структуру для представления различных типов контента.

Например, диаграммы Венна часто используются для решения математических задач.Представление вопроса в виде диаграммы Венна часто упрощает понимание и решение. Компании часто используют диаграммы Венна для сравнения продуктов, анализа конкурентов и принятия решений. Диаграммы Венна представляют собой множество других видов практической информации, от химии до географии. Их можно использовать даже для юмора или для представления сложных философских вопросов. Диаграммы Венна и Эйлера – простой способ представить все виды информации.

ОТВЕТОВ

Вопрос 1:

Что такое K ∩ L? (Какая область внутри обоих наборов?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Вопрос 2:

Что такое K ∪ L? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Вопрос 3:

Используйте диаграмму Венна, чтобы показать наборы E и F .

E ∩ F = {3, 14}

E ∪ F = {0, 1, 3, 5, 8, 9, 10, 14, 17, 20}

Вопрос 4:

Является ли какой-либо набор подмножеством (⊆) другого?

Если да, то какой?

Да, R является подмножеством P ( R ⊆ P )

Вопрос 5:

A) Цвет в N ∪ Q

B) Тень в M ∩ R

C) Цвет в P ∩ N ∩ Q

D) Тень в M ∪ P ∪ R

Представляем eulerr

Мотивация

eulerr генерирует пропорциональные площади диаграммы Эйлера, которые отображают отношения множества (пересечения, объединения и разъединения) с кругами или эллипсами.Диаграммы Эйлера – это диаграммы Венна без требования наличия всех взаимодействий множеств (независимо от того, пусты они или нет). То есть, в зависимости от ввода, eulerr иногда создает диаграммы Венна, а иногда – нет.

R включает несколько пакетов, которые создают диаграммы Эйлера; некоторые из наиболее заметных (на CRAN) –

Последний из них ( venneuler ) был основным источником вдохновения для этого пакета, наряду с уточнениями, которые Фредриксон представил в своем блоге и сделал доступными в его javascript venn.js. eulerAPE, первая программа, в которой использовались эллипсы вместо окружностей, также сыграла важную роль в разработке eulerr . Обратной стороной eulerAPE является то, что он обрабатывает только три набора, которые все должны пересекаться.

venneuler , с другой стороны, может принимать любое количество наборов (теоретически), но, как известно, дает несовершенные решения для конфигураций наборов, которые имеют идеальные таковые. И в отличие от eulerAPE , он ограничен кругами (как и venn.js ).

Введите eulerr

eulerr основан на усовершенствованиях venneuler, которые Бен Фредриксон представил в venn.js , но был запрограммирован с нуля, использует различные оптимизаторы и возвращает статистику, представленную в venneuler и eulerAPE , а также позволяет различных входов и согласование с дополнительными переменными. Более того, он может моделировать отношения наборов с помощью эллипсов для любого количества задействованных наборов.

Ввод

На момент написания можно предоставить ввод для eulerr как

именованный числовой вектор с комбинациями наборов в виде непересекающихся комбинаций наборов или объединений (в зависимости от того, как аргумент типа установлен в euler () ),
матрица или фрейм логических данных со столбцами, представляющими наборы, и строками, отношениями между наборами для каждого наблюдения,
список пробелов или
стол.

  библиотека (eulerr)

# Ввод в виде именованного числового вектора
fit1 <- euler (c ("A" = 25, "B" = 5, "C" = 5,
                «A&B» = 5, «A&C» = 5, «B&C» = 3,
                "A & B & C" = 3))

# Ввод в виде матрицы логических значений
set.seed (1)
мат <- cbind (
  A = образец (c (ИСТИНА, ИСТИНА, ЛОЖЬ), 50, ИСТИНА),
  B = образец (c (ИСТИНА; ЛОЖЬ); 50; ИСТИНА),
  C = образец (c (ИСТИНА, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ), 50, ИСТИНА)
)
fit2 <- euler (мат)

Мы проверяем наши результаты, печатая объект eulerr

  fit2
#> исходные подогнанные остатки regionError
#> А 13 13 0 0.008
#> В 4 4 0 0,002
#> С 0 0 0 0,000
#> A&B 17 17 0 0,010
#> A&C 5 5 0 0,003
#> B&C 1 0 1 0,024
#> A, B и C 2 2 0 0,001
#>
#> diagError: 0,024
#> напряжение: 0,002

или прямой доступ и нанесение на график остатков.

  # Кливлендская точечная диаграмма остатков
библиотека (решетка)
точечная диаграмма (остаток (fit2), xlab = "",
        панель = функция (...) {
          panel.abline (v = 0, lty = 2)
          panel.dotplot (...)
        })

Остатки для диаграммы подгонки.

Мы также можем использовать функцию eulerr , встроенную в функцию error_plot () , для диагностики соответствия.

График из error_plot () .

Это показывает нам, что пересечение несколько чрезмерно представлено в. Однако, учитывая, что эти остатки находятся в масштабе исходных значений, остатки, вероятно, не вызывают особого беспокойства.

В качестве альтернативы мы могли бы построить круги в другой программе, извлекая их координаты и радиусы. 2} \]

, где \ (\ hat {y} _i \) - обычная оценка методом наименьших квадратов из регрессии подобранных площадей на исходных областях, которая исследуется во время оптимизации,

и статистика diagError из eulerAPE (Micallef and Rodgers 2014):

\ [ \ max_ {i = 1, 2, \ dots, n} \ left | \ frac {y_i} {\ sum y_i} - \ frac {\ hat {y} _i} {\ sum \ hat {y} _i} \ right | \]

В нашем примере это diagError, а наше напряжение - 0.002, что свидетельствует о точной подгонке.

Теперь мы можем быть уверены, что eulerr обеспечивает разумное представление нашего ввода с помощью кругов. В противном случае мы могли бы попробовать использовать вместо них эллипсы. (Wilkinson 2012) представляет собой сложную комбинацию, которую удается сопоставить с достаточно небольшой ошибкой; с eulerr , однако, мы можем полностью избавиться от этой ошибки.

  wilkinson2012 <- c (A = 4, B = 6, C = 3, D = 2, E = 7, F = 3,
                    «A&B» = 2, «A&F» = 2, «B&C» = 2, «B&D» = 1,
                    «B&F» = 2, «C&D» = 1, «D&E» = 1, «E&F» = 1,
                    «A & B & F» = 1, «B & C & D» = 1)
fit3 <- euler (wilkinson2012, shape = "эллипс")
участок (fit3)

Сложная комбинация из Уилкинсона 2012.

Если после того, как мы попробовали использовать эллипсы, нам все еще не хватает хорошей совместимости, мы сделаем все возможное, чтобы остановиться на этом и поискать другой способ визуализировать наши данные. (Я предлагаю отличный пакет UpSetR.)

Визуализация

Нет, мы переходим к самой интересной части: построению нашей диаграммы. Это легко и легко настраивается с eulerr . Параметры по умолчанию можно легко настроить под любые нужды.

Настройка графиков Эйлера в Eulerr очень проста.

 
# Удалять заливки, изменять границы, отображать количество и менять шрифт.сюжет (fit2,
     количества = ИСТИНА,
     fill = "прозрачный",
     lty = 1: 3,
     label = list (font = 4))

Настройка графиков Эйлера в Eulerr очень проста.

Построение графиков обеспечивается с помощью специального метода построения графиков, основанного на превосходных возможностях, предоставляемых базовым пакетом R grid . Цветовая палитра eulerr по умолчанию выбрана с учетом дефицита цветов.

12.2: Использование диаграмм Венна-Эйлера для проверки на недействительность

В логике классов мы можем создавать диаграммы, которые помогают нам проверять аргументы на валидность.Однако, прежде чем мы это сделаем, давайте улучшим наши навыки рассуждений с помощью дополнения классов, то есть набора всего, что не входит в класс. Если вы американец, то как нас зовут неамериканцы? Это «иностранец». Чем больше путешествуют американцы, тем чаще они встречаются с неамериканцами.

Предполагая, что никто не может быть одновременно евреем и христианином, было бы верно сказать, что все евреи не христиане, и верно сказать, что некоторые неевреи не являются христианами, но было бы неверно утверждать, что все нехристиане. -Христиане - евреи, и ложно говорить, что все нехристиане неевреи.Ух! Поздравления и комплименты, если вы смогли понять всю сложность этих дополнений к занятиям. Если бы вы могли, вы можете правильно выполнить эту проверку концепции.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Мартин (на фото выше) не белый мужчина, если Мартину

а. белый не мужчина.
г. кобель небелого цвета,
г. не белый, не мужчина.
г. любой из вышеперечисленных.

Ответ: Ответ (d).Ответить на подобные вопросы было бы намного проще, если бы у нас был какой-то метод изображения или диаграммы, который бы показал нам, что происходит. Может, тебе удастся изобрести такой. Эйлер пытался сделать это еще в XVIII веке в Швейцарии.

Умение отрицать члены необходимо для построения диаграмм Венна-Эйлера. Этот метод построения диаграмм - полезный способ быстро оценить дедуктивную достоверность аргументов в логике класса. Он может подсказать вам правильную оценку, когда аргумент слишком сложен для анализа в вашей голове.Представляя этот метод, мы сначала представим диаграммы для классов, затем обобщим метод, чтобы его можно было использовать для отображения того, являются ли предложения о классах истинными или ложными, а затем снова обобщим метод, чтобы его можно было использовать, чтобы показать, являются ли предложения о классах истинными или ложными. аргументы, использующие эти предложения, дедуктивно верны.

Кружок ниже - диаграмма Эйлера класса яблок.

На этой двумерной диаграмме любая точка внутри круга представляет яблоко, а любая точка за пределами круга представляет собой не яблоко, например мусульманина или карандаш.Обычно для маркировки используется заглавная буква для начала имени региона (класса) и строчная буква для имени конкретного члена региона (класса). Маленькая буква «r» обозначает точку справа от круга, которая представляет конкретное не яблоко, скажем, Томаса Эдисона, американского изобретателя и основателя General Electric Corporation. В форме региона нет ничего важного. Эллипс или прямоугольник подойдут, если ясно, что находится в области, а что нет, то есть что входит в класс, а что нет.Размер круга тоже не важен. Мы также не обращаем внимания на перемещение диаграммы влево, вправо, вверх или вниз. Все эти изменения приведут к одной и той же диаграмме, что касается логики классов.

Ниже приводится более сложная диаграмма, которая представляет как класс яблок, так и класс фруктов. В реальном мире класс яблок полностью входит в более крупный класс фруктов. На диаграмме представлена картина этих отношений в реальном мире:

Приведенная выше диаграмма отражает истинность предложения «Все яблоки - плоды», но вы можете рисовать диаграммы, которые не отражают наш мир.

Любая метка для региона может находиться внутри или вне его, при условии, что нет двусмысленности в том, какая метка соответствует какому региону. Иногда мы будем называть овальные области «кругами», поскольку не обращаем внимания на разницу между кругом и эллипсом.

Вот диаграмма Эйлера, в которой верны утверждения вида «Нет А есть Б»:

Что важно в этой диаграмме, так это то, что две окружности не пересекаются (перекрываются). Круги также не должны касаться друг друга, потому что в этом случае будет сложно определить, есть ли у двух классов общий член.

Вот диаграмма Венна, показывающая ту же информацию, но менее интуитивно:

На диаграмме Венна все круги должны взаимно перекрываться. Для диаграмм Эйлера этого не требуется. Рассмотрим точки x, y и z на следующей диаграмме. Классы A и B пересекаются, т. Е. Имеют общие члены. Один из этих участников - y.

Пункт x не входит ни в класс A, ни в класс B. Он входит в дополнение к каждому из них. Точка y находится как в A, так и в B.Точка z находится в B, но не в A. Просматривая диаграмму, вы можете видеть, что некоторые члены B находятся в A, а некоторые нет. Однако вы не можете сказать, имеет ли A больше членов, чем B. Если область A больше, чем B на диаграмме, вы не можете сказать, имеет ли A больше членов, чем B. есть вообще какие-либо участники. Однако на всех диаграммах с этого момента мы будем предполагать, что мы начинаем с классов, которые не пусты.

Вот диаграмма, представляющая реальные отношения между яблоками, фруктами, апельсинами, яблоками в Париже, яблоками в ресторанах в Париже и фруктами, принадлежащими нашему другу Хуану:

Для ясности, мы всегда будем использовать заглавные буквы или прописные слова для классов вещей.Если мы хотим добавить информацию о том, что какой-то конкретный объект является членом одного из классов, мы будем использовать строчную букву для представления члена. На предыдущей диаграмме строчная буква a представляет одно яблоко в моем холодильнике. Вы можете видеть, что буква а находится за пределами круга P; это показывает, что яблоко в моем холодильнике не в Париже. Обратите внимание, что сам Хуан не входит ни в один из классов на приведенной выше диаграмме; информация о Хуане заложена в определение Дж.Изучив диаграмму, вы можете сказать, что Хуану не принадлежат парижские яблоки (потому что J и P не пересекаются), но он владеет яблоками (потому что J пересекает A), владеет апельсинами (потому что J пересекает O) и имеет владеть каким-то другим неуказанным фруктом (потому что J находится в F, но не все J в A или O).

Пусть A = граждане США, которые живут в Нью-Йорке, B = горожане, C = американцы. Вот диаграмма Эйлера, отображающая их отношения в реальном мире.

Вот как отобразить те же отношения с диаграммой Венна:

На диаграммах Венна заштрихованные области представляют собой пустое множество; они ничего не содержат.При применении техники Венна к трем множествам, три окружности должны пересекаться друг с другом, в отличие от диаграмм Эйлера.

Как бы вы нарисовали диаграмму, на которой утверждение, что некоторые яблоки из Канады, а некоторые нет, верно? Это поможет:

C = класс вещей из Канады

А = сорт яблок

Шаблон предложения «Все А не-Б» верен на следующей диаграмме:

Обратите внимание, что это та же диаграмма, которую вы нарисовали для «Нет А есть Б.«Логически эквивалентные предложения имеют одинаковые виды диаграмм. Это ключевая идея классовой логики.

Приведенная выше диаграмма представляла бы ложное предложение «Техасцы не американцы», если бы использовался следующий словарь:

A = техасцы
B = американцы

Хотя это предложение неверно в реальном мире, диаграмма показывает, каким был бы мир, если бы предложение было истинным. То же самое можно сказать и о том, что диаграмма - это картина того, что истинно в определенном «возможном мире», который не является реальным миром.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Сделайте утверждение «Все техасцы не американцы» верным на диаграмме, используя приведенный выше словарь для A и B.

Ответ: Обратите внимание, что на этой диаграмме каждый техасец A находится за пределами Америки B и, следовательно, не является американцем. Итак, этот возможный мир - не реальный мир.

Пусть A будет классом яблок. На двух диаграммах ниже предложение «Все яблоки - бананы» верно (даже если это предложение неверно в реальном мире):

Но обратите внимание на разницу в двух диаграммах.В том, что слева, несколько бананов не могут быть яблоками. На диаграмме справа это не так. На второй диаграмме класс яблок и класс бананов - это один и тот же класс. Диаграмма реальных отношений между яблоками и бананами будет выглядеть так:

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Нарисуйте диаграмму для яблок и фруктов, в которой следующее предложение на диаграмме неверно: «Все яблоки - плоды». Предложение верно в реальном мире, но его не будет в возможном мире, представленном на вашей диаграмме.

Ответ: Есть несколько типов диаграмм, которые будут работать.

С таким предложением, как «Все яблоки - плоды», аналитик может рассматривать его в логике классов или в логике предложений. В логике классов это логически эквивалентно «Все вещи в классе яблок являются также вещами в классе фруктов». Это устанавливает отношения между двумя классами. В сентенциальной логике это предложение логически эквивалентно «Если это яблоко, то это фрукт."Это устанавливает условную связь между двумя вложенными предложениями.

Теперь мы можем обобщить метод диаграмм на метод оценки дедуктивной достоверности аргументов при условии, что предложения, составляющие аргумент, описывают, как классы объектов связаны друг с другом. Диаграмма Венна-Эйлера метод оценки аргументов работает только для дедуктивных аргументов в логике классов. Он показывает, что аргумент действителен, если нет диаграммы контрпримера к аргументу. По определению, контрпример к аргументу - это возможная ситуация или интерпретация аргумента, показывающая, как у него могут быть истинные посылки и ложный вывод.

Более конкретно, вот , как применить метод проверки действительности в логике класса:

Переведите посылки и заключение аргумента в соответствующие предложения классовой логики. Найдите контрпример. То есть попытайтесь изобразить эти предложения в логике классов так, чтобы посылки оказались верными на диаграмме, а вывод на диаграмме оказался ложным. Если есть диаграмма, подобная этой, то эта диаграмма контрпримера показывает, что аргумент дедуктивно неверен.Однако, если все возможные диаграммы не дают контрпримера, аргумент объявляется дедуктивно действительным.

Этот метод никогда не даст неправильного ответа, если вы действительно правильно изучили все возможные схемы. Аргумент допустим, если не существует контрпримера, а не просто если вы не можете его найти. Может быть, вы не можете его найти, потому что не присмотрелись. Итак, применение метода диаграмм Венна-Эйлера рискованно, поскольку его ответ зависит от того, правильно ли вы говорите, что смотрели, и уверены в том, что контрпримера не существует.

Чтобы увидеть эту технику в действии, давайте опробуем ее на следующем шаблоне аргумента:

Нет A - B.
Нет C - B.
Итак, нет A - C.

Вот диаграмма, которая подтверждает все предпосылки:

Ни один из кругов не пересекается и не содержится внутри другого. На этой диаграмме вывод верный. Можем ли мы сделать вывод, что шаблон аргумента действителен? Нет, не из этой информации. Вместо этого нам следовало бы поискать, чтобы убедиться, что нет диаграммы, которая делает предположения верными, а заключение ложным.На самом деле есть такая диаграмма:

Здесь вывод неверен, когда посылки верны, что является явным признаком недействительности. Поэтому метод диаграммы объявляет шаблон аргумента недопустимым.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте метод диаграммы, чтобы показать действительность этого шаблона аргумента:

Все A - B.
Все B - C.
Итак, все A - C.

Ответ

Вот способ нарисовать схему, на которой оба предположения верны

Могут быть и другие схемы помещений: разрешить окружность A равной окружности B, или для B равной C.Однако на всех возможных схемах помещений вывод на схеме оказывается верным. Итак, контрпример не может быть приведен. Следовательно, метод Венна-Эйлера объявляет этот шаблон аргумента действительным.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте технику диаграмм, чтобы оценить достоверность или несостоятельность этого аргумента. Некоторые интерпретируйте как «по крайней мере, один, а может быть, и все».

Некоторые кошки относятся к кошачьим.
Некоторые животные относятся к кошачьим.
Итак, некоторые животные - кошки.

Ответ

Аргумент недопустимый; следующая диаграмма служит контрпримером:

Некоторые C являются F.
Некоторые A являются F.
Некоторые A являются C

Пытаясь найти логическую форму аргумента, не всегда можно сказать, следует ли искать его форму в логике класса или в логике предложений. Поэкспериментируйте, чтобы увидеть, что сработает.Некоторые аргументы имеют логические формы, которые не могут быть адекватно выражены в любом случае, и тогда для аргументации необходимо использовать более мощные логики, такие как логика предикатов.

Кроме того, некоторые аргументы являются дедуктивно действительными, хотя их достоверность не зависит от логической формы с использованием какой-либо формальной логики. Вот пример:

Джон - холостяк.
Значит, он не женат.

Действительность обусловлена не только формой, но и содержанием - в частности, тем фактом, что определение холостяка подразумевает, что все холостяки не состоят в браке.Мы могли бы заставить этот аргумент быть действительным из-за его логической формы в логике класса, если бы мы могли закодировать идею о том, что все холостяки не объединены в логику класса, и мы можем. Просто добавьте предпосылку: все холостяки не женаты. Допустимые аргументы, для которых не требуется вставка определений, называются формально действительными. Все формально верные аргументы дедуктивно действительны, но обратное неверно. Однако в нашем курсе мы не будем обращать внимания на это тонкое различие. Если вы видите, что определение необходимо для того, чтобы аргумент был действительным, вставьте его и не беспокойтесь о том, что это показывает, что ваш аргумент дедуктивно действителен, но не формально действителен.

Венна-Эйлера используются не только для проверки достоверности. Если два предложения могут иметь одну и ту же диаграмму, тогда они будут логически эквивалентны в логике классов. Диаграммы также можно использовать для проверки согласованности. Если есть диаграмма, на которой каждое предложение в наборе предложений оказывается истинным, тогда набор составляет логически непротиворечивых .

VennDiagram: пакет для создания настраиваемых диаграмм Венна и Эйлера в R | BMC Bioinformatics

Почти все графические параметры в пакете VennDiagram параметризованы и сделаны настраиваемыми.Для создания разумных диаграмм были выбраны значения по умолчанию, поэтому в простых случаях высокий уровень настройки не требуется. На рисунке 1 показано разнообразие доступных параметризаций. Существуют четыре основные группы графических параметров: заливка фигуры, линии формы, метки и заголовки. Заливка формы относится к цветам внутри каждого круга или эллипса. Могут использоваться все цвета, доступные в среде R, и альфа-смешивание можно регулировать для каждой формы. Фигурные линии - это линии, окружающие каждый круг или эллипс.Они могут быть полностью отсутствующими (рисунок 1C), сплошными (рисунки 1A и 1B) или иметь любой другой доступный R-образный тип (рисунок 1D). Их цвет можно менять, и каждая форма может иметь отдельный набор параметров. Ярлыки относятся как к заголовкам, описывающим каждый круг или эллипс, так и к числам внутри них. Опять же, их можно настроить с точки зрения цвета, типа шрифта и размера шрифта с любым доступным параметром R. Положение меток подписи также можно настроить. Заголовки, которые включают в себя основной заголовок и подзаголовок, как показано на рисунке 1D, также могут быть настроены таким же образом, как и метки.

Рисунок 1

Четыре типа диаграмм Венна, нарисованные пакетом VennDiagram . A) Единая диаграмма Венна, показывающая элементарные настраиваемые функции, такие как размер шрифта метки, начертание шрифта метки и заливка формы. Б) Диаграмма Венна с двумя наборами, показывающая более продвинутые функции, такие как масштабирование, индивидуальные характеристики заливки формы и размещение индивидуальных подписей. C) Трехкомпонентная диаграмма Венна, показывающая другой тип фигурных линий («прозрачный») и «текстовый» вариант размещения меток подписи, где подписи прикрепляются к меткам областей.D) Диаграмма Венна с четырьмя наборами, показывающая комбинацию всех предыдущих функций плюс возможность настраивать заголовки. Код для создания всех диаграмм, показанных здесь, включен в Дополнительный файл 3.

Помимо этих конкретных графических элементов, VennDiagram также предлагает множество общих опций, таких как масштабирование, поворот или инверсия диаграмм. Масштабирование диаграмм было реализовано с целью отображения диаграмм Венна, где графические размеры частичных областей (областей, ограниченных со всех сторон кривыми, которые не могут быть далее подразделены) фактически соответствуют числовым значениям количества элементов в каждой области.Возможно масштабирование диаграмм Венна с двумя наборами и выбранное количество диаграмм Венна с тремя наборами - ниже мы обсудим проблемы, связанные с тем, как сделать это возможным для всех случаев с тремя наборами. Использование масштабирования может иногда приводить к тому, что перекрывающиеся области становятся слишком маленькими для числовых меток. На рис. 2, строка 1, столбец 1 показана программно сгенерированная соединительная линия, позволяющая обрабатывать этот случай отдельно. Реализовано автоматическое распознавание большого количества диаграмм Эйлера, но этот режим можно отключить с помощью параметра вызова функции, чтобы вместо этого построить стандартные диаграммы Венна.На рис. 2, строка 1, столбцы 2 и 3 показаны два примера двухмножественных диаграмм Эйлера. В строках 2 и 3 показано подмножество реализованных диаграмм Эйлера с тремя наборами, а в строке 3 показаны диаграммы масштабируемого разнообразия. Мы отмечаем, что рисунок 2 представлен черным и белым, чтобы подчеркнуть различия в составе диаграмм, но графические параметры и настройки, использованные на рисунке 1, полностью доступны. Хотя VennDiagram по умолчанию записывает графику в файлы TIFF с высоким разрешением, если для параметра filename задано значение NULL, необработанный объект сетки может быть возвращен и использован в любом графическом режиме, доступном в R.Код для генерации всех фигур приведен в дополнительном файле 3, а пример всех доступных параметризаций показан в дополнительном файле 4.

Рисунок 2
Частные случаи выбранных диаграмм Венна и диаграммы Эйлера, нарисованные диаграммой Венна Диаграмма Венна посылка . Строка 1, столбец 1: автоматически нарисованные настраиваемые линии, которые оптимизируют отображение частичных областей, когда отдельные частичные области становятся слишком маленькими на диаграммах Венна с двумя наборами. Строка 1, столбец 2: диаграмма Эйлера с двумя наборами, показывающая полное включение одного из наборов.Строка 1, столбец 3: диаграмма Эйлера с двумя наборами, показывающая два различных набора. Строка 2, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя наборами, в которой один набор не имеет дискретных элементов. Строка 2, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя наборами, в которой один набор не имеет дискретных элементов, полностью включается в один из двух других наборов. Строка 2, столбец 3: диаграмма Эйлера с тремя наборами, где два набора не имеют дискретных элементов и включены в больший третий набор. Строка 3, столбец 1: диаграмма Эйлера с тремя наборами, показывающая полное включение двух наборов, отличных от третьего набора.Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя наборами, где один набор полностью включен в другой набор, который сам полностью включен в третий набор. Строка 3, столбец 2: диаграмма Эйлера с тремя наборами, показывающая три различных набора. Код для создания всех диаграмм, показанных здесь, включен в Дополнительный файл 3.
Обсуждение
Во время разработки пакета VennDiagram было обнаружено, что невозможно нарисовать точные масштабированные диаграммы Венна с тремя наборами с использованием кругов.Эта загадка проиллюстрирована в следующем сценарии. В системе двух окружностей A и B расстояния между центрами окружностей, d _AB, могут быть определены как площади (A _A и A _B соответственно) и площадь пересечения (A _A ∩ A _B) оба известны. Это возможно, потому что в системе с двумя кругами один A _A ∩ A _B соответствует уникальному значению для d _AB. Следовательно, система из трех окружностей A, B и C, d _AB, d _BC, d _AC может быть вычислена до тех пор, пока A _A, A _B, A _C, A _A ∩ A _B, A _A ∩ A _C, A _B ∩ A _C все известны.Однако d _AB, d _BC, d _AC образуют уникальный треугольник, подразумевая, что диаграмму Венна можно нарисовать, даже не зная общего пересечения A _A ∩ A _B ∩ A _C. Другими словами, размер перекрытия между всеми тремя кругами не влияет на представление масштабированных диаграмм Венна - площадь остается неизменной, даже если одна система имеет нулевое общее пересечение (например, A _A ∩ A _B ∩ A _C = 0)! Эта загадка возникает из-за (произвольного) выбора кругов для обозначения размера набора, что уменьшает степень свободы на единицу.Уникальные решения можно найти с помощью эллипсов или многоугольников для рисования диаграмм Венна, но полученные диаграммы потеряют мгновенную узнаваемость и привычность, присущую круговым диаграммам Венна, что лишает нас возможности удобного отображения информации. Некруглые диаграммы также потребуют итерационных алгоритмов для вычисления положений и размеров фигур, что значительно увеличивает вычислительную нагрузку, как это обсуждалось другими [10]. Следовательно, масштабирование трех наборов диаграмм Венна отключено в пакете VennDiagram .Точно так же диаграммы Венна, содержащие более четырех наборов [11, 12], не были реализованы в пакете VennDiagram , потому что они стали слишком сложными для интуитивной визуализации.
Общее предостережение при использовании диаграмм Эйлера заключается в том, что, хотя они уменьшают графическую сложность некоторых диаграмм Венна, их нетрадиционные формы также могут быть менее узнаваемыми в некоторых случаях. Когда присутствуют пустые области, пользователю необходимо выбирать между привычностью диаграмм Венна и повышенной точностью диаграмм Эйлера.На рисунке 3 показана ситуация, в которой может быть подходящей диаграмма Венна или Эйлера в зависимости от предпочтений пользователя.
Рисунок 3
Параллельное сравнение диаграммы Эйлера и диаграммы Венна для одних и тех же гипотетических множеств . A) Диаграмма Эйлера показывает только ненулевые области и поэтому может быть более точной графически. Б) Диаграмма Венна показывает несуществующую область как область с нулевым содержанием. Хотя это не является графически точным, он сохраняет узнаваемость диаграммы Венна.
Пакет VennDiagram обрабатывает все диаграммы Эйлера с двумя наборами и большинство всех мыслимых диаграмм Эйлера с тремя наборами. Диаграммы Эйлера с тремя наборами, которые нельзя было нарисовать с помощью кругов или эллипсов, не поддерживаются. Например, диаграмма Эйлера для случая, когда два непересекающихся множества составляют третий набор, не может быть нарисована с использованием кругов и эллипсов, хотя ее можно нарисовать с использованием многоугольников. Этот тип фигур не имеет готового аналитического макета и требует итеративной подгонки; диаграмм Эйлера, требующих многоугольника, нет, но для этих нескольких неподдерживаемых случаев доступны стандартные диаграммы Венна.
По сравнению с другими программами, способными генерировать диаграммы Венна (Таблица 1), преимущества пакета VennDiagram включают:
Рисование диаграмм Эйлера с использованием окружностей и / или эллипсов с двумя или тремя наборами
Предлагает большую настраиваемость для создания более элегантных диаграмм
Доступность в широко используемой статистической среде R
Создание файлов TIFF с высоким разрешением, которые являются стандартными в публикациях
Таблица 1 Сравнение возможностей различных программ, способных генерировать диаграммы Венна.
(PDF) Круг Эйлера - это символ или значок?
614 Амируш Моктей
Эйлер, Леонард 1833. Письма Эйлера по различным вопросам естественной философии, адресованные
немецкой принцессе. Vol. 1. Нью-Йорк: Дж. И Дж. Харпер.
Герхард, Карл I. (ред.) 1890. Die Philosophischen Schri en von Gottfried Wilhelm Leibniz.
Том. 7. Берлин: Вайдманн.
Джардино, Валерия; Гринберг, Габриэль 2015. Введение: разновидности иконичности.Обзор
Философия и Психология 6: 1–25.
Гольдштейн, Екатерина 1989. L’un est l’autre: Pour une histoire du cercle. In: Serres, Michel (ed.),
Eléments d’Histoire des Sciences. Париж: Борда, 129–149.
Граттан-Гиннесс, Айвор 1997. Пирс между логикой и математикой. В: Хаузер, Натан;
Roberts, Don D .; Ван Эвра, Джеймс (ред.), Исследования по логике Чарльза Сандерса Пирса.
Блумингтон: издательство Индианского университета, 23–42.
Хит, Томас Л. (ред.) 1908. Эфиртнадцать Книг Элементов Евклида. Vol. 1. Кембридж:
Издательство Кембриджского университета.
Кейнс, Джон Невилл 1906. Исследования и упражнения по формальной логике. Лондон: Макмиллан.
Ламберт, Иоганн Генрих 1764. Neues Organon. Vol. 1. Лейпциг: Вендлер.
Mokte, Amirouche 2013. Визуальное представление классов самолетов. Видимый 10: 153–164.
Моктеш, Амируш; Беллуччи, Франческо; Пиетаринен, Ахти-Вейкко 2014.Непрерывность, связность
Непрерывность и регулярность пространственных диаграмм для N членов. В: Бертон, Джим; Чоудхури, Лопамудра
(ред.), DLAC 2013: Диаграммы, логика и познание (Материалы семинара CEUR 1132),
31–35.
Моктеш, Амируш; Шин, Сун-Джу 2012. История логических диаграмм. В: Габбай, Дов. М .;
Pelletier, Francis J .; Вудс, Джон (ред.), Логика: история ее центральных концепций. (Справочник
истории логики 11.) Амстердам: Северная Голландия, 611–682.
Мур, Эдвард С; Fisch, Max H .; Kloesel, Christian J. W .; Робертс, Дон Д.; Зиглер, Линн А.
(ред.) 1984. Сочинения Чарльза С. Пирса: хронологическое издание, Vol. 2. Блумингтон:
Издательство Индианского университета.
Морганьи, Симоне; Chevalier, Jean-Marie 2012. Iconicité et ressemblance: une remontée
sémiotique aux sources de la knowledge. Интеллектика 58 (2): 91–171.
CP = Пирс, Чарльз С. 1931–1933 гг. Сборник статей Чарльза Сандерса Пирса.Тт. 2–4.
(Хартшорн, Чарльз; Вайс, Пол, ред.) Кембридж: Издательство Гарвардского университета. [В тексте
ссылки на CP, за которыми следуют номера томов и абзацев]
Пиетаринен, Ахти-Вейкко, 2006. Признаки логики: Пирсеан Фемес о философии языка,
Игры и общение. Дордрехт: Спрингер.
Roux, Sophie 2011. Pour une étude des formes de la mathématisation. В: Chabot, Hugues;
Ру, Софи (ред.), La Mathématisation Com Problème.Париж: Editions des Archives
Contemporaines, 3–38.
Ширман, Артур Т.

1	спаниели \| (терьеры & овчарки)
2	спаниели \| овчарки
3	спаниели \| терьеры \| овчарки
4	терьеры & овчарки

1	барокко \| классицизм \| ампир
2	барокко \| (классицизм & ампир)
3	классицизм & ампир
4	барокко \| классицизм

круги Эйлера – Основы логики и логические основы компьютера

Разбор задачи B12 (демо ЕГЭ 2012)

Круги Эйлера – это… Что такое Круги Эйлера?

См. также

Примечания

В кругах Эйлера | SKVOT

Рисовать, чтобы думать

Эйлер на кейсах

Логический вывод

почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать

Происхождение термина

Зачем нужны круги Эйлера?

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Заключение

Круги Эйлера в информатике

Теперь решим эту задачу с помощью Кругов Эйлера!

Круги Эйлера – Учусь математике

Круги Эйлера – презентация онлайн

2. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

4. Круги Эйлера

10. ВЫВОД:

: как нарисовать ее простыми шагами

Диаграмма Эйлера: Обзор

Диаграмма Эйлера: Шаги

Обзор диаграмм Эйлера

Что такое диаграммы Эйлера?

Диаграммы Венна, диаграммы Эйлера и Лейбница

Области применения

Построение диаграмм Эйлера

Схема диаграмм Эйлера

Контакт

Ссылки

Список литературы

Диаграммы Венна и Эйлера | Давайте поговорим о науке

Диаграммы Венна

Диаграммы Эйлера

Приложения диаграмм Венна и Эйлера

Представляем eulerr

Мотивация

Введите eulerr

Ввод

Визуализация

12.2: Использование диаграмм Венна-Эйлера для проверки на недействительность

VennDiagram: пакет для создания настраиваемых диаграмм Венна и Эйлера в R | BMC Bioinformatics

Обсуждение

(PDF) Круг Эйлера - это символ или значок?

Добавить комментарий Отменить ответ