Цифры математические: Цифры (математика, 5 класс) – виды и классы

Всего публикаций Scopus      

632

312

320

Plenary

Lie Theory and Generalizations

Mathematical education

Десятки

Единицы

14

76

40

52

89

Десятки

Единицы

14

1

4

76

7

6

40

4

0

52

5

2

89

8

9

Вопросы к экзамену по математике 6 класс: назовите все цифры.

задан 12 Май ’13 7:35

3

А в чём смысл вопроса? В том, чтобы не забыли про 0, или чтобы умели отличать понятие цифры от понятия числа?

@falcao, и то и другое, ведь вопрос задал 6-ник;

@IvanLife: здесь дело не в элементарности задаваемого вопроса, а в другом. Если бы было спрошено, например, является ли 0 цифрой, или является ли 0 чётной цифрой, или можно ли 13 называть цифрой, то здесь можно дать чёткие и ясные ответы. В той форме, как было спрошено, есть много вариантов ответа, в зависимости от того, как “положено” отвечать. Последнее определяет учитель. Это не научный вопрос, а учебный. Здесь надо знать, следует ли упоминать о римских цифрах, или по умолчанию система счисления считается позиционной и десятичной. Один учитель требует так, а другой этак. Здесь нет “истины”.

Вот вы копья ломаете, а по-моему автор просто не дописал вопрос и пропал!

@DocentI: если бы не заголовок, я бы подумал, что вопрос не дописан до конца. А тут, судя по всему, был какой-то один из пунктов длинного списка вопросов, на которые надо уметь отвечать на экзамене. Вчера ещё кто-то задавал вопрос из двух слов: “независимая переменная”, который не содержал вопроса. 2 + 3 = 0.

Но не так быстро… Пи может быть одним из самых известных чисел, но для людей, которым платят за то, чтобы думать о числах весь день, постоянная круга может быть немного утомительна. На самом деле бесчисленное множество чисел потенциально даже круче, чем пи. Мы спросили нескольких математиков, какие числа пост-пи им нравятся больше всего; вот некоторые из их ответов.

Tau

Вы знаете, что круче, чем ОДИН пирог? … ДВА пирога. Другими словами, дважды пи или число тау, что примерно равно 6.28.

«Использование тау делает каждую формулу более ясной и логичной, чем использование числа Пи», – сказал Джон Баэз, математик из Калифорнийского университета в Риверсайде. «Наш фокус на пи, а не на 2пи – историческая случайность».

Тау – это то, что проявляется в самых важных формулах, сказал он.

В то время как пи связывает длину окружности круга с его диаметром, тау связывает длину окружности с его радиусом – и многие математики утверждают, что это соотношение гораздо важнее.Тау также делает, казалось бы, несвязанные уравнения красиво симметричными, например уравнение для площади круга и уравнение, описывающее кинетическую и упругую энергию.

Но в день Пи тау не забудут! По традиции Массачусетский технологический институт отправит решения в 18:28. Cегодня. Через несколько месяцев, 28 июня, у тау будет свой день.

Основание натурального логарифма

Основание натурального логарифма, написанное буквой «е» в честь своего тезки, швейцарского математика 18-го века Леонарда Эйлера, возможно, не так знаменито, как число Пи, но оно также есть свой праздник.x имеет наклон, равный ее значению в каждой точке », – сказал Live Science Кейт Девлин, директор Проекта по математике в Высшей школе образования Стэнфордского университета. Другими словами, если значение функции равно 7,5 в определенный момент его наклон, или производная, в этой точке также равен 7,5. И, «подобно пи, оно постоянно встречается в математике, физике и технике».

Мнимое число i

Выньте из “пи” букву “р”, и что вы получите? Правильно, цифру i.Нет, это не совсем то, как это работает, но я довольно крутой номер. Это квадратный корень из -1, что означает нарушение правил, поскольку вы не должны извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

«Тем не менее, если мы нарушим это правило, мы сможем изобрести мнимые числа, а значит и комплексные числа, которые одновременно красивы и полезны», – сказала Live Наука по электронной почте. (Комплексные числа могут быть выражены как сумма действительных и мнимых частей.)

i – исключительно странное число, потому что -1 имеет два квадратных корня: i и -i, – сказал Ченг. “Но мы не можем сказать, какой из них какой!” Математикам нужно просто выбрать один квадратный корень и назвать его i, а другой – i.

«Это странно и чудесно», – сказал Ченг.

i в силе i

Вы не поверите, но есть способы сделать меня еще более странным. Например, вы можете возвести i в степень i – другими словами, взять квадратный корень из -1 в степени квадратного корня из отрицательной единицы.

«На первый взгляд это выглядит как наиболее мнимое возможное число – мнимое число, возведенное в мнимую степень», – сказал Дэвид Ричсон, профессор математики в колледже Дикинсон в Пенсильвании и автор будущей книги «Рассказы о невозможности: 2000-летние поиски решения математических проблем древности », – говорится в сообщении издательства Princeton University Press. «Но на самом деле, как писал Леонард Эйлер в письме 1746 года, это реальное число!»

Нахождение значения i в степени i включает преобразование формулы Эйлера, связывающей иррациональное число e, мнимое число i, а также синус и косинус заданного угла.При решении формулы для угла 90 градусов (который может быть выражен как число пи вместо 2) уравнение можно упростить, чтобы показать, что i в степени i равно e в степени отрицательного числа пи более 2.

It звучит сбивающе с толку (вот полный расчет, если вы осмелитесь его прочитать), но результат равен примерно 0,207 – очень реальное число. По крайней мере, в случае угла 90 градусов.

«Как указал Эйлер, i в степени i не имеет единственного значения», – сказал Ричсон, а скорее принимает «бесконечно много» значений в зависимости от угла, который вы решаете.(Из-за этого маловероятно, что мы когда-нибудь увидим празднование «дня i в силе i» как календарного праздника.)

Простое число Бельфегора

Простое число Бельфегора Число – это простое палиндромное число, в котором 666 прячется между 13 нулями и единицей с обеих сторон. Зловещее число можно сократить до 1 0 (13) 666 0 (13) 1, где (13) обозначает количество нулей между 1 и 666.

Хотя он не «открыл» это число, ученый и Автор Клифф Пиковер прославил зловещее число, назвав его в честь Бельфегора (или Билфегора), одного из семи принцев-демонов ада.{\ aleph_0} довольно особенный. “

Другими словами, всегда есть что-то большее: бесконечные кардинальные числа бесконечны, поэтому не существует такого понятия, как” наибольшее кардинальное число “.

Константа Апери

«Если назвать фаворит, то это константа Апери (дзета (3)), потому что с ней все еще связана некоторая загадка», – сказал в интервью Live Science гарвардский математик Оливер Книлл.

В 1979 году, французский математик Роджер Апери доказал, что значение, которое впоследствии станет известно как постоянная Апери, является иррациональным числом.(Она начинается с 1.2020569 и продолжается бесконечно.) Константа также записывается как дзета (3), где «дзета (3)» – это дзета-функция Римана, когда вы вставляете число 3.

Одна из самых больших нерешенных проблем в математике. , гипотеза Римана, делает предсказание о том, когда дзета-функция Римана равна нулю, и, если она будет доказана, позволит математикам лучше предсказать, как распределяются простые числа.

Говоря о гипотезе Римана, известный математик 20-го века Давид Гильберт однажды сказал: «Если бы я проснулся после тысячелетнего сна, мой первый вопрос был бы:« Доказана ли гипотеза Римана? »»

Итак. что такого крутого в этой константе? Оказывается, постоянная Апери встречается в увлекательных местах в физике, в том числе в уравнениях, определяющих магнитную силу электрона и ориентацию на его угловой момент.

Номер 1

Эд Летцтер, математик из Темплского университета в Филадельфии (и, полное раскрытие, отец штатного писателя Live Science Рафи Летцтера), дал практический ответ:

” Я полагаю, что это скучный ответ, но я должен был бы выбрать 1 в качестве своего любимого, как числа, так и его различных ролей во многих различных, более абстрактных контекстах », – сказал он Live Science.

Один – единственное число, на которое все остальные числа делятся на целые числа.Это единственное число, которое делится ровно на одно положительное целое число (само это 1). Это единственное положительное целое число, которое не является ни простым, ни составным.

Как в математике, так и в инженерии, значения часто представлены в диапазоне от 0 до 1. {i * Pi} + 1 = 0», – сказал Девлин.

Подробнее об идентичности Эйлера можно прочитать здесь.

Первоначально опубликовано на Live Science .

Типы чисел – различие и классификация

Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

Числа – это цепочки цифр, используемые для представления количества.Величина числа указывает размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. Д.

Типы чисел в математике

Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. . Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел. Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.

Натуральные числа

Натуральные числа или счетные числа – это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве. Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

{1, 2, 3, 4, 5,…}

Натуральные числа представлены символом N .

Целые числа

Целые числа – это набор натуральных чисел, включая ноль.Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и так далее, т.е.

{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Целые числа представлены символом W .

Целые числа

Целые числа – это совокупность всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме. Целые числа могут быть записаны в виде набора как

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа – это натуральные или целые числа.

Символ Z представляет собой целые числа.

Дроби

Дробь представляет собой части целого куска. Его можно записать в виде a / b , где a и b – целые числа, а b никогда не может быть равно 0. Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями. .

Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби – это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е.е., знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 – неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

Рациональные числа

Можно записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа – это отношения двух целых чисел.Например, 0,7 – рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.

Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q – два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, тогда дробь является целым числом.

Символ Q представляет рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не могут быть записаны в форме дробей, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Символ Q представляет иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа – это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме.Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.

Символ R представляет действительные числа.

Мнимые числа

Числа, отличные от действительных, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5.Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

i = √-1

Пример 1

Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в виде мнимого числа i .

Решение

• Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.

√ (-16)

√ (16 × -1)

• Шаг 3. Разделите квадратные корни.

√ (16) × √ (-1)

• Шаг 4: Найдите квадратный корень.

4 × √ (-1)

• Шаг 5: Запишите в форме i.

4 i

Иногда вы получаете мнимое решение уравнений.

Пример 2

Решите уравнение,

x ² + 2 = 0

Решение

• Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.

x ² = -2

• Шаг 2. Извлеките квадратный корень с обеих сторон.

√ x ² = + √-2 или -√-2

x = √ (2) × √ (-1)

x = + √2 i или -√2 i

• Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.

x ² + 2

(+ √2 i ) ² + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

(-√2 i ) ² + 2 = – 2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

То, что их имя «воображаемое» не означает, что они бесполезны.У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел – их использование в электрических цепях. Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .

Комплексные числа

Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа.Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные числа – на двумерной плоскости.

Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

Простые числа и составные числа

Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа – это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д.Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Аналогично, 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Следовательно, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

Трансцендентные числа

Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

Классификация чисел

Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.

Дискретные и непрерывные числа

Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами.Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

Наборы номеров

Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа.Например, натуральные числа – это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа – это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа. Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:

Натуральные числа могут быть далее сокращены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.

9X = 9,9999 -0,9999 9,9999 -0,9999

Делим на 9

X = 1

Странно, да?

Любое число, вычитаемое из самого себя, даст ноль. Но бесконечность – это не число. Следовательно, давайте попробуем тест:

∞ – ∞ = 0

∞ – ∞ + 1 = 0 + 1 # Добавление 1 к обеим сторонам

∞ – ∞ = 1 # Зная, что ∞ + 1 = ∞, мы можем упростить уравнение

У нас остался совсем другой результат.С помощью этого метода мы можем получить бесконечность минус бесконечность, равную любому числу, которое мы хотим. Таким образом, ответ на ∞ – ∞ не определен.

Наконец, нас также учат, что мы не можем делить на 0. Нас учат, что 1/0 = Undefined, однако это не ложь, но не охватывает всей истории. Подумайте об этом интуитивно: если вы разделите 1 яблоко на 0 человек, сколько человек вам понадобится, чтобы покрыть все яблоко? Естественно, это форма бесконечности, которая никогда не сжимается .

Итак, изначально 1/0 = ∞ . Почему нас учат, что результат не определен? Просто, когда у нас есть 1 / маленькие положительные числа, которые стремятся к нулю, просто предположить, что 1/0 = ∞ . Дело в том, что бесконечность – это положительная бесконечность. И если мы сделаем 1 / маленькие отрицательные числа, которые стремятся к нулю, мы также можем предположить, что 1/0 = – ∞ . Итак, что это такое? 1/0 = ∞ или 1/0 = – ∞ ? Ответ: undefined .

Итоговая таблица для операций на бесконечности:

∞ + ∞ = ∞
-∞ + -∞ = -∞
∞ × ∞ = ∞
-∞ × -∞ = ∞
-∞ × ∞ = -∞

Буква i обозначает мнимое число. Определение мнимого числа состоит в том, что возведение его в квадрат дает отрицательный результат. Это не то, о чем мы обычно думаем при возведении чисел в квадрат, потому что мы знаем, что умножение двух одинаковых символов всегда дает положительный результат. Но это не мешает нам создать аксиому, запрещающую существование таких чисел.Мы называем их воображаемыми, потому что их не должно быть. Каков квадратный корень из -6? Мы не знаем. Калькулятор выдаст вам неверную ошибку ввода, потому что какие два числа вы умножаете вместе, чтобы получить отрицательное число? Но прелесть математики в том, что в отличие от других научных инструментов, вы можете предполагать, что вещи существуют, и настраивать их на существование, если они вам не подходят.

Концепция мнимых чисел проста. Мы можем предположить (или представить), что они существуют. Чем они полезны? Что ж, мы можем решать уравнения, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.Вот пример:

• Что такое √4? Просто, это 2.
• Что такое √-4? Немного сложнее, но ответ – 2i.

Мы добавляем i, чтобы представить мнимое число, чтобы сделать 2 в степени 2 равной -4. Давайте рассмотрим очень простое уравнение, которое обычно не имеет решения, и посмотрим, как оно решается с использованием мнимых чисел:

Очевидно, что x, возведенный в степень 2, никогда не может дать отрицательное число (-1 в нашем случае), поэтому мы просто предполагаем, что ответ (как мы делали выше) умножается на i.

Вы можете представить себе квадратный корень из -1 (√-1) как исходное мнимое число. Как в цифре 1 для действительных чисел. Другое использование мнимых чисел – объединение их с натуральными числами для получения комплексных чисел (например, 7i + 12) и в электричестве через согласованные токи.

Гугол равен 10, за которым следуют 100 нулей, поэтому, чтобы представить ситуацию в перспективе, подумайте о следующем числе: 10, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 , 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, , или вы можете просто быть нормальным и думать об этом так:

Это примерно 70! (Факториал).что составляет 70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59… x 1

Чтобы еще больше усложнить наш разум, существует число, называемое Googol plex, которое просто 10 в степени Googol, записанное как:

Интересно отметить, что компания Google является неправильным написанием названия Googol. Это действительно умный способ назвать свою поисковую систему. Число в основном используется в астрономических исследованиях, таких как большое замораживание Вселенной.

Это мое любимое число, вероятно, по торговым причинам, но я также считаю его красивым визуально и математически.В геометрии мы обычно находим его спрятанным во многих местах, например:

• Круг. Он имеет 360 градусов (3 + 6 + 0 = 9 )
• Круг разрезан пополам. Каждая половина равна 180 градусам (1 + 8 + 0 = 9 )
• Круг разрезан на четверти. Каждая четверть равна 90 градусам (9 + 0 = 9 )
• Круг разрезан на 8 частей. Каждая часть 45 градусов (4 + 5 + 0 = 9 )
• Круг разрезан на 16 частей. Каждая часть составляет 22,5 градуса (2 + 2 + 5 = 9 )
• Круг разрезан на 32 части.Каждая часть составляет 11,25 градуса (1 + 1 + 2 +5 = 9 )
• Правильный многоугольник внутри круга. Каждый угол равен 60 x 3 (180 = 1 + 8 = 9 )
• Квадрат. Каждый угол равен 90 x 4 (360 = 3 + 6 + 0 = 9 )

Следующие рисунки и их углы.

Число – открытая математическая ссылка

Счетные числа, натуральные числа

Они используются для подсчета количества объектов. Это положительные целые числа без дробных частей. Например 12 машин, 45 студентов, 3 дома. Подробнее об этом см. Подсчет чисел и натуральных чисел.

Скаляры

Это числа, используемые для измерения некоторого количества с любой желаемой степенью точности.Например, высота здания 12,388 метра, или скорость самолета – 810,31 километра в час. Они могут иметь десятичные знаки или дробные части. Смотрите также Скалярное определение. В этой категории есть несколько типов номеров:

• Реальные числа

  Действительные числа – это числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, и могут иметь десятичные знаки или дробные части. Это наиболее распространенные числа, используемые для измерения величин. Пример 31,88 сантиметра.У них обычно есть единицы. Для получения дополнительной информации см. Определение действительного числа.

• Целые числа

  Целые числа Целые числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, но не имеют десятичных знаков или дробных частей. Они похожи на счетные числа, но могут быть отрицательными. Для получения дополнительной информации см. Целочисленное определение.

• Положительные и отрицательные числа

  Положительные числа – это числа, которые считаются больше нуля. Большое положительное число больше меньшего, например, +12 больше, чем +2.Для получения дополнительной информации см. Определение положительного числа.

  Отрицательные числа считаются меньше нуля. Их можно рассматривать как долг или дефицит. Например, если ваш кошелек пуст и вы должны кому-то 12 долларов, тогда вы можете думать о своем кошельке как о отрицательных 12 долларах. В каком-то смысле у вас меньше нуля долларов. Подробнее об этом см. Определение отрицательного числа.

• Рациональные и иррациональные числа

  Рациональные числа – это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел.
  Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение». Например, число 0,5 является рациональным, потому что его можно записать как отношение & half ;. Для получения дополнительной информации см. Определение рационального числа.

  Иррациональные числа – это числа, которые не являются рациональными, то есть числа, которые нельзя записать как отношение двух целых чисел. Подробнее см. Определение иррационального числа.

• Мнимые числа

  Мнимые числа нужны для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел, что обычно невозможно.Так, например, квадратный корень из -16 будет записан как 4i , где i – это символ квадратного корня из отрицательного числа. Подробнее об этом см. Определение мнимого числа.

• Комплексные числа

  Напомним, что настоящие числа – это числа, расположенные на числовой прямой. Комплексные числа распространяют эту идею на числа, лежащие на двумерной плоской плоскости. Комплексные числа состоят из двух компонентов, называемых действительной и мнимой частями. См. Определение комплексного числа.

• Простые и составные числа

  Простое число – это целое число, не имеющее делителей (целые числа, которые делят данное число без остатка). кроме одного и самого себя. Другими словами, его можно разделить только на единицу и само число. 17 – простое число. 16 не потому, что его можно разделить на 2, 4 и 8.

  Составное число – это непростое число. У есть множители у , и это противоположность простого числа.См. Определение составного числа.

Обозначение

Числа можно записывать или изобразить разными способами.

• Номер строки

  Числовая линия – это графический способ визуализации чисел путем размещения их на прямой линии, обычно с нулем посередине, положительные числа справа и отрицательные числа слева.
  Подробнее см. Числовая строка.

• Десятичное представление

  Самый распространенный способ представления действительных чисел.Строка цифр и десятичная точка (точка). Цифры слева от точки – увеличивающие степени десяти, правые – увеличивающие отрицательные степени десяти. Пример 836.33, -45.009.

• Фракции

  Дробь – это две величины, написанные одна над другой, что показывает, сколько всего у нас есть. Например, у нас может быть три четверти пиццы:

  Подробнее см. Определение дроби.

• Нормальная форма (научная нотация)

  Для очень больших и очень маленьких чисел десятичная запись не самая удобная.число в нормальной форме состоит из двух частей: коэффициента и показателя степени (степень десяти). Например, расстояние до Солнца 93000000 миль. Это может быть более удобно записано как 93 × 10 ⁶ миль. 93 – коэффициент, а 6 – показатель степени. Подробнее см. Нормальная форма (научное обозначение).

Некоторые числа вообще не являются числами

Иногда числа используются как идентификаторы. Вместо того, чтобы измерять размер объекта или считать, они используются для обозначения объектов в реальном мире.Например, номер студенческого билета ни для чего не используется. Это просто строка цифр, которая идентифицирует одного конкретного студента.

Нет смысла пытаться делать с ними арифметические операции. Деление номера ученика на два или нахождение квадратного корня из телефонного номера не имеет смысла.

Другие числовые темы

Скалярные числа

Счетные числа

Числа с делителями

Особые значения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Математики нашли совершенно новый способ записать число 3

Донна Лу

Ian Payne / Getty

Третий раз – очарование: всего через несколько недель после решения неуловимой задачи с числом 42 математики нашли решение еще более сложной задачи для числа 3.

Эндрю Букер из Бристольского университета, Великобритания, и Эндрю Сазерленд из Массачусетского технологического института нашли большое решение математической задачи, известной как сумма трех кубов.

Задача спрашивает, может ли какое-либо целое число или целое число быть представлено в виде суммы трех чисел в кубе.

Уже было два известных решения для числа 3, оба из которых включают небольшие числа: 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ и 4 ³ + 4 ³ + (-5) ³ .

Но математики десятилетиями искали третью. Букер и Сазерленд нашли решение:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032) ³ = 3

Ранее в этом месяце пара также нашла решение той же проблемы для 42, которое было последним нерешенным числом меньше 100.

Чтобы найти эти решения, Букер и Сазерленд работали с программной фирмой Charity Engine, чтобы запустить алгоритм на бездействующих компьютерах полумиллиона добровольцев.

Для числа 3 время обработки было эквивалентно одному процессору компьютера, непрерывно работающему в течение 4 миллионов часов, или более 456 лет.

«Когда число может быть выражено как сумма трех кубиков, существует бесконечно много возможных решений», – говорит Букер. «Значит, для трех должно быть бесконечно много решений, и мы только что нашли третье», – говорит он.

Есть причина, по которой было так сложно найти третье решение для 3. «Если вы посмотрите только на решения для любого одного числа, они выглядят случайными», – говорит он. «Мы думаем, что если бы вы могли получить в свои руки кучу и множество решений – конечно, это невозможно, только потому, что цифры так быстро становятся огромными – но если бы вы могли, у них была своего рода общая тенденция: размеры цифр растут примерно линейно с количеством решений, которые вы найдете ».

Оказывается, эта скорость роста чрезвычайно мала для числа 3 – только 114, теперь наименьшее неразгаданное число, имеет меньшую скорость роста.Другими словами, числа с медленной скоростью роста имеют меньше решений с меньшим количеством цифр.

Дуэт также нашел решение проблемы для 906. Мы точно знаем, что некоторые числа, такие как 4, 5 и 13, не могут быть выражены как сумма трех кубиков.