Разное

Цифры математические: Цифры (математика, 5 класс) – виды и классы

Содержание

Цифры и факты – Факультет математики – Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

                                                                    Данные на 01.10.2020 г.

Ср. баллы, Москва

Образовательная программа 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Математика 84,52 86,69 90,7 90,27 94,1 95,4 97,74 98,3 97,5
Совместный бакалавриат ВШЭ и ЦПМ                84,58 91,08 93,52 94,7

Число студентов и аспирантов

Обучающиеся на всех курсах в 2020/2021 учебном году  Первокурсники 2020/2021 учебного года

  Данные на 01. 10.2020 г.

Численность иностранных студентов, обучающихся на бюджетных и платных местах в бакалавриате и магистратуре

Бакалавриат Магистратура

  2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Бюджетные места 7 8 6 8 11 7 13
Платные места 0 1 1 3 2 6 11
  2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Бюджетные места 12 9 10 8 4 10 8
Платные места 0 0 0 1 1 5 5

Выпускники факультета 2012-2020 гг.

Выпускники бакалавриата

Выпускники магистратуры

Выпускники факультета продолжают обучение в ведущих университетах, в том числе:

 

Численность персонала факультета, чел. 

Научно-педагогические работники* 138
Зарубежные профессора, преподаватели и исследователи, включая российских граждан — обладателей степени PhD зарубежных университетов  29

* Включая работающих на условиях совместительства, без учета работающих по договорам гражданско-правового характера

Данные на 31.10.2020 г.

Публикации сотрудников факультета за 2017-2020 гг.* 

Всего публикаций Scopus      

632

Из них в Q1 (Scopus)             

312

Из них с SNIP > 1 

320

Из них с SNIP > 1.5 109

*Данные базы портала на 27.11.2020 

Все публикации сотрудников факультета

 приглашенных докладчиков (17 докладов)
международного конгресса математиков

Среди сотрудников факультета и ассоциированных лабораторий

 

Докладчик Год Секция
1. Федор Богомолов 1978 Algebraic Geometry
2. Алексей Бондал 2002 Algebra
3. Виктор Васильев 1994 Plenary
4. Михаил Вербицкий 2014 Algebraic and Complex Geometry
5. Юлий Ильяшенко 1978,1990 Ordinary Differential Equations & Dynamical Systems
6. Дмитрий Каледин 2010 Algebraic Geometry
7. Игорь Кричевер 1990 Mathematical Physics
8. Александр Кузнецов 2014 Algebraic and Complex Geometry
9. Сергей Ландо 2010 Combinatorics
10. Андрей Окуньков 2006, 2018 Probability and Statistics, plenary
11. Григорий Ольшанский 2014 Combinatorics
12. Борис Фейгин 1990

Plenary

13. Михаил Финкельберг 2018

Lie Theory and Generalizations

14. Иван Ященко 2002, 2010

Mathematical education

(В скобках - данные из бенчмаркинга QS, не вошедшие в рейтинги)

Mathematics 2017: 100-150   2018: 76-100   2019: 76-100   2020: 101-150   2021: 76-100

Урок 4. поместное значение цифр в записи числа - Математика - 2 класс

Математика, 2 класс

Урок № 4. Поместное значение цифр в записи числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- Как же образуются числа от 21 до 99?

- Как определять поместное значение цифр в записи числа?

Глоссарий по теме:

Разряд (позиция, место). Разряд является «рабочим местом» цифры в числе.

Десятки, единицы – это разрядные единицы.

Единицы – это наименьший разряд в записи любого числа.

Десяток – это второй разряд в записи числа. Один десяток содержит 10 единиц.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.–8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.8

2. Волкова А. Д. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017, – с. 4-8

3. Волкова С. И. Математика. Устные упражнения. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2018. – с.9

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомним, как образовывались числа второго десятка?

Присчитыванием по одному.

Оказывается, этот закон действует и для образования других чисел.

Возьмем два пучка палочек.

Это – 2 десятка, или 20.

Будем присчитывать по одному:

2 дес. 1 ед. – двадцать один, 21  

2 дес. 2 ед. – двадцать два, 22  

2 дес. 3 ед. – двадцать три, 23

2 дес. 4 ед. – двадцать четыре, 24         2 дес. 5 ед. – двадцать пять, 25           2 дес. 6 ед. – двадцать шесть, 26           2 дес. 7 ед. – двадцать семь, 27 2 дес. 8 ед. – двадцать восемь, 28

2 дес. 9 ед. – двадцать девять, 29

2 дес. 10 ед. – тридцать, 30

Число десятков, кроме последнего – одинаковое, а единицы постоянно увеличиваются на 1.

Считать десятками мы уже с вами умеем.

10 единиц – 1 десяток, а 2 десятка, да ещё 1 десяток – 3 десятка или 30 и т.д.

Вывод: числа третьего десятка образуются точно так же, как числа от 11 до 20.

Двузначные числа содержат в своём составе разряд десятков и разряд единиц. Разряды считают слева направо. На первом месте справа стоят

единицы. В двузначном числе на первом месте слева стоят десятки.

Однозначные числа содержат только разряд единиц.

Поучимся записывать числа от 21 до 99.

Посмотрим на числа 54, 36, 70.

У них на первом месте слева записана цифра, которая обозначает десятки. А на первом месте справа цифра, которая обозначает единицы.

В числе 70 отсутствуют отдельные единицы. Поэтому пишем на месте единиц нуль.

Вывод: двузначные числа содержат в своём составе разряд десятков и разряд единиц. Значение цифры зависит от ее места в записи числа.

Тренировочные задания.

1.Укажите разрядный состав чисел

Десятки

Единицы

14

76

40

52

89

Правильный ответ:

Десятки

Единицы

14

1

4

76

7

6

40

4

0

52

5

2

89

8

9

2 . Запишите пропущенные элементы

16 – это 1 _____ и ___ единиц

60 – это 6 _______

49 – это ____ десятка и 9 _______

51- это 1 _____ и ____ десятков

Правильный ответ:

16 – это 1 десяток и 6 единиц

60 – это 6 десятков

49- это 4 десятка и 9 единиц

51- это 1 единица 5 десятков

Тактильные цифры и математические знаки ИА22902

Набор служит для знакомства с цифрами и математическими знаками, выполняет образовательную функцию посредством зрительного и тактильного восприятия. Набор состоит из 29 элементов, с помощью которых происходит знакомство ребенка с основами математики (цифрами, счетом, сложением и вычитанием). Элементы изготовлены из окрашенной березовой фанеры. Может применяться также при обучении детей с ДЦП и нарушением зрения. Размер каждой деревянной панели: 7 х 5 х 0,4 см

Техническое задание:

  • Длина пластины: не менее 65 мм
  • Ширина пластины: не менее 45 мм
  • Толщина пластины: не более 4 мм
  • Глубина фрезеровки: менее 4 мм
  • Толщина символов: не менее 5 мм
  • Ширина фаски: не более 2 мм
  • Наличие на пластинах маркера: наличие    
  • Диаметр маркера: не менее 6 мм
  • Цвет пластин с цифрами: зеленый    
  • Цвет пластин с математическими знаками: синий    
  • Количество пластин с цифрами: не менее 20 шт.
  • Количество пластин с математическими знаками не менее 6 шт.
  • Пластины с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: наличие    
  • Количество пластин с каждой цифрой: не менее 2 шт.
  • Количество пластин с цифрой «0»: не менее 4 шт.
  • Математические знаки на пластинах различные: наличие    
  • Материал пластин: фанера

Технические характристики:

  • Длина пластины: 70 мм
  • Ширина пластины: 50 мм
  • Толщина пластины: 4 мм
  • Глубина фрезеровки: 2 мм
  • Толщина символов: 3 мм
  • Ширина фаски: 1 мм
  • Наличие на пластинах маркера  
  • Диаметр маркера: 5 мм
  • Цвет пластин с цифрами: зеленый    
  • Цвет пластин с математическими знаками: синий    
  • Количество пластин с цифрами: 22 шт.
  • Количество пластин с математическими знаками: 7 шт.
  • Пластины с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: наличие    
  • Количество пластин с каждой цифрой: 2 шт.
  • Количество пластин с цифрой «0»: 4 шт.
  • Математические знаки на пластинах различные 
  • Материал пластин: фанера

Про то, как поспорили цифры — математическая сказка для детей — Сказки. Рассказы. Стихи

  

Математическая сказка для детей.

 
Однажды собрались цифры: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 и начали спорить, кто из них главнее. Один сказал:
 
— Я у вас буду номер 1-господин!
 
Двойка ответила:
 
— Нет! Неправда! Не верьте ему! У него одна голова, а у меня две! А две головы лучше, чем одна! Я самая умная! Значит, я самая главная!
 
В спор вмешалась Тройка:
 
— Вы на меня посмотрите! Самый главный – самый красивый. Вы в зеркало хотя бы смотритесь? И вообще, Бог любит Тройку!

 
Четыре только и могла, что возмутиться:
 
— А меня разве нет?
 
Тут закричала Пять:
 
— Важнее всех – Пять. Это потому что меня школьники любят. Значит, я, всеми любимая, буду вашей императрицей!!!
 
Высокомерная Шесть возмутилась:
 
— Только Шесть тут и есть! Падайте передо мной на колени, ничтожные цифры!
 
Стройная красивая Семерка сказала:
 
— Всех вас сейчас съем, никого не оставлю. Я буду царствовать!
 
Толстая Восьмерка стала насмехаться над Семеркой(она ей завидовала, что та была моделью):
 
— Ну и над кем ты будешь царствовать, если всех съешь? Потолстеешь и тебя с работы выгонят. Я буду королевой!
 
И тут что-то такое придумала Девятка, такое, что даже подпрыгнула на 999 метров. Успокоившись, она встала в лужу(Девятка – водяная цифра и поэтому любит воду) и сказала:
 
— К кому Ноль подбежит, тот всех нас победит! Так давайте он и будет королем!
 
Цифры одобрили такое решение. Только Шестерка сперва упрямилась, но, еще немного подумав, согласилась.
 
Ноль был очень скромным и никогда ни с кем не спорил. Он вообще был самым молодым среди цифр. Когда Ноль услышал, что его хотят сделать королем, то страшно испугался! Но Ноль был умным. И он решил остаться. Ноль очень любил своих старших цифр и не хотел, чтобы они постоянно ссорились, поэтому установил такой закон: «Если все цифры будут дружить, то все будут главными, потому что дружба – самое главное в жизни!» И все цифры сочинили такой стишок:
 
— Вышли цифры как-то раз

Поглядеть, который час.

Раз, два, три, четыре, пять…

Будем весело считать!
 

Читать другие математические сказки  

Цифры и числа - далекие друг от друга понятия — Российская газета

Один вопрос из разряда "вечных": слова "число" и "цифра". Можно ли ставить между ними знак равенства? Равноценны ли они, равнозначны ли? Можно ли считать их синонимами?

Осмелюсь заметить, противники отождествления числа и цифры ведут себя яростно. Поэтому обращаться буду не к ним, а ко всем остальным - к тем, кто не считает зазорным сказать, к примеру, что "у нас получилась солидная цифра"!

Во-первых, и в главных: всегда надо помнить, что многие слова в языке употребляются в разных сферах, в разных ситуациях, в разных "регистрах". Одно и то же слово могут использовать ученые в своих трудах, а могут и люди, весьма далекие от науки. Ситуация может быть официальной, а может - бытовой. Если вы откроете словари, то увидите, что для таких случаев в словарных статьях есть специальные пометы: профессиональное, разговорное, шутливое, официальное, высокое и т.п.

Исходя из этого, вчитаемся в словарные статьи наших многострадальных числа и цифры.

Если ограничиться лишь пунктом 1 в статьях обоих слов, а дальше не заглядывать, безусловно, правы будут те, кто настаивает: число и цифра - разные, совсем разные слова! Действительно, число - основное понятие математики - величина, при помощи которой ведется счет. Величина. А цифра (внимание!) - знак, обозначающий число. Знак.

Величина - и знак, ее обозначающий. Любой математик скажет вам, что это РАЗНЫЕ понятия. И ни один математик, конечно же, не заменит одно слово другим в своей речи или в своей статье. Да для него это смерти подобно!

Ни один математик. А вот так называемый обычный человек не побоится дочитать до конца словарные статьи числа и цифры. Вот здесь-то он и выяснит, что зря знакомый математик так стыдил его, когда он при нем произносил ту самую фразу: "У нас получилась солидная цифра!" Зря, потому что второе значение слова цифра - это (снова внимание!) "сумма, число". Рядом с этим значением вы увидите скромную, но все объясняющую помету: разговорное.

Что это означает? Только то, что в обычном, бытовом, а не терминологическом смысле слова "число" и "цифра" выступают как синонимы. Кстати, подтверждает это и соответствующий словарь - Словарь синонимов. Среди синонимов к слову "цифра" - кроме "знака", еще и "количество", и "число"! Да-да, число.

Мне жаль расстраивать математиков. Я знаю, их ранит такая небрежность.

Но я просто вынуждена их расстроить. В нашем общечеловеческом, не математическом смысле, число и цифра в некоторых ситуациях вполне могут друг друга заменять.

Страх перед математикой – откуда он?

  • Дэвид Робсон
  • BBC Future

Автор фото, Thinkstock

Устный счет… Для многих людей - это с детства источник стресса, из-за которого в их душах на всю жизнь поселяется страх перед математикой. Что именно заставляет мозг цепенеть при решении трудных задачек? Ответ пытался вычислить корреспондент BBC Future.

Потные ладони, бешеный пульс, ком в горле. Ничто не повергает меня в такой ужас, как необходимость производить математические подсчеты на людях. Даже такая простая задача, как деление на всех участников застолья суммы счета в ресторане, заставляет меня обливаться холодным потом. Как бы я ни пытался сосредоточиться, мой разум не способен удержать ускользающие цифры.

Вам знакомы сновидения, в которых вы внезапно осознаете, что забыли всю свою одежду? Ощущения примерно такие же. Моя маленькая постыдная тайна еще хуже, если учесть, что я – обладатель университетского диплома… по математике. И тем не менее, самые сложные вычисления в тиши и уединении моей комнаты – это ничто по сравнению простейшими арифметическими действиями под пристальными взорами других людей, не говоря уже о том, чтобы попытаться запомнить код входной двери моего дома.

Школьный кошмар

С немалым чувством облегчения я узнал, что не одинок в своем страхе перед математикой. К собственному удивлению я узнал, что этот психологический феномен хорошо изучен. И это именно страх перед числами.

К счастью для меня, мой страх по большей части ограничивался боязнью выполнять арифметические действия в конкретный момент на людях. И когда математика перестала сводиться к цифрам, и нужно было оперировать буквами и формулами, для меня все встало на свои места. Однако школьные годы многих людей омрачены странной фобией перед числами, причины и последствия которой сейчас изучают психологи.

Автор фото, Thinkstock

Подпись к фото,

Хотя математика и не представляет собой никакой реальной угрозы, она вызывает совершенно реальную физическую реакцию, в том числе выброс гормонов стресса

Начнем с того, что специалисты могут измерить уровень "математической тревожности" только с помощью анкет, где просят участников опросов оценить ощущения, которые те испытывают, подступаясь к выполнению различного рода заданий, связанных с математикой, - от чтения учебника по математике до участия в важном экзамене.

Хотя исследования проводились в основном среди детей, надо полагать, что проявляющиеся у них симптомы могут быть присущи студентам университетов и взрослым людям. Некоторым достаточно взглянуть на чек из магазина, чтобы их охватила паника.

Не так давно, впрочем, появилась возможность заняться изучением еще и физиологических реакций. Ученые обнаружили, что хотя математика и не представляет собой никакой реальной угрозы, она вызывает совершенно реальную физическую реакцию, в том числе выброс гормонов стресса, вроде кортизола, что характерно для таких реакций, как "бей или беги". В результате одного исследования даже выяснилось, что математические тесты активируют в мозгу "матрицу боли" - это те участки, которые вспыхивают, когда вы поранитесь.

Проблема в голове

Пока остается непонятным, почему математика вызывает такой страх по сравнению, скажем, с географией. Однако тот факт, что есть только два варианта ответа, правильный или неверный, и невозможно блефовать, заставляет нас сильнее беспокоиться из-за перспективы показать плохие результаты.

Но даже в этом случае страх перед математикой очень часто не имеет под собой оснований и может подорвать ваши шансы на хороший результат. Проведенное в 2012 году в США сканирование мозга детей в возрасте от семи до девяти лет показало, что у тех ребятишек, которые особенно сильно боялись математики, не только повышалась активность в миндалевидных областях мозга, отвечающих за эмоции и реагирующих на грозящую опасность. Страх оказывал воздействие также на префронтальную кору – лобные доли полушарий головного мозга, расположенные позади глаз, - то есть тот отдел, который отвечает за абстрактное мышление и вообще управляет мыслительной деятельностью. Как полагают, это приводит к снижению объема рабочей (краткосрочной) памяти, и детям трудно сосредоточиться и думать над решением предложенной задачи.

Автор фото, Thinkstock

Подпись к фото,

Чем тревожнее вы будете себя чувствовать, тем хуже будут ваши результаты

Страх может возникать из многих источников. Одна из теорий заключается в том, что молодому поколению собственные страхи и тревоги могут передавать учителя. Дети чувствуют нервозность взрослых и начинают думать, что им тоже следует быть настороже перед лицом возможной угрозы. Таким образом, у тех учителей, которые нервничают из-за собственных математических способностей, и ученики, как правило, сильнее подвержены чувству тревоги.

Повинны в этом могут быть и гендерные ожидания: девочки чаще испытывают чувство математической тревожности (особенно если учителя – женщины). Видимо, это - следствие стереотипных представлений, согласно которым девочки от природы якобы не очень способны к математике. Гены также могут предопределять вашу подверженность тревоге в более общем смысле. В результате вы, скорее всего, так же враждебно будете реагировать на математику, как на любую другую "угрозу".

Каким бы ни было происхождение страха, как только его семя пустит корни, оно может расти дальше уже само по себе: чем тревожнее вы будете себя чувствовать, тем хуже будут ваши результаты, чем упорнее вы будете избегать математических задач, тем сильнее вы будете волноваться, столкнувшись с ними снова.

Психологи полагают, что это может иметь серьезные последствия. Люди, подверженные страху перед математикой, хуже способны понять, например, статистические данные, которые касаются различных рисков для здоровья. Можно представить, как этот страх способен привести к серьезной недооценке реальных угроз - таких как курение или неумеренность в еде.

От противного

Психологи в лечении тревожных состояний часто прибегают к аверсивной терапии: пациента заставляют обратиться к собственным страхам лицом к лицу и постараться преодолеть тревожное состояние.

К сожалению, дальнейшие уроки математики не помогают преодолеть боязнь. Но существуют другие решения. Один из простых способов – "самовыражение на письме". Многие исследования показали, что если четко назвать то, чего ты боишься, страх ослабит хватку и потеряет власть над тобой. Ученикам одного класса предложили написать о своих страхах перед экзаменом. В итоге они получили в среднем более высокие оценки (от B- до B+ при высшем балле А).

Другой метод состоит в том, чтобы мягко переформатировать страх: подвести детей к тому, чтобы они воспринимали экзамен скорее как возможность проявить себя, а не как угрозу. В этом случае ученикам старались объяснить, что их страх совсем ничего не говорит об их природных способностях.

Поможет ли мне переформатирование страха в следующий раз, когда меня попросят поделить на всех сумму счета в ресторане? Безусловно, я попробую. А если нет, у меня всегда под рукой моя палочка-выручалочка – калькулятор в смартфоне.

математика / Назвать все цифры / Математика

Вопросы к экзамену по математике 6 класс: назовите все цифры.

задан 12 Май '13 7:35

3

А в чём смысл вопроса? В том, чтобы не забыли про 0, или чтобы умели отличать понятие цифры от понятия числа?

@falcao, и то и другое, ведь вопрос задал 6-ник;

@IvanLife: здесь дело не в элементарности задаваемого вопроса, а в другом. Если бы было спрошено, например, является ли 0 цифрой, или является ли 0 чётной цифрой, или можно ли 13 называть цифрой, то здесь можно дать чёткие и ясные ответы. В той форме, как было спрошено, есть много вариантов ответа, в зависимости от того, как "положено" отвечать. Последнее определяет учитель. Это не научный вопрос, а учебный. Здесь надо знать, следует ли упоминать о римских цифрах, или по умолчанию система счисления считается позиционной и десятичной. Один учитель требует так, а другой этак. Здесь нет "истины".

Вот вы копья ломаете, а по-моему автор просто не дописал вопрос и пропал!

@DocentI: если бы не заголовок, я бы подумал, что вопрос не дописан до конца. А тут, судя по всему, был какой-то один из пунктов длинного списка вопросов, на которые надо уметь отвечать на экзамене. Вчера ещё кто-то задавал вопрос из двух слов: "независимая переменная", который не содержал вопроса. 2 + 3 = 0.

Но не так быстро… Пи может быть одним из самых известных чисел, но для людей, которым платят за то, чтобы думать о числах весь день, постоянная круга может быть немного утомительна. На самом деле бесчисленное множество чисел потенциально даже круче, чем пи. Мы спросили нескольких математиков, какие числа пост-пи им нравятся больше всего; вот некоторые из их ответов.

Tau

(Изображение предоставлено Shutterstock)

Вы знаете, что круче, чем ОДИН пирог? … ДВА пирога. Другими словами, дважды пи или число тау, что примерно равно 6.28.

«Использование тау делает каждую формулу более ясной и логичной, чем использование числа Пи», - сказал Джон Баэз, математик из Калифорнийского университета в Риверсайде. «Наш фокус на пи, а не на 2пи - историческая случайность».

Тау - это то, что проявляется в самых важных формулах, сказал он.

В то время как пи связывает длину окружности круга с его диаметром, тау связывает длину окружности с его радиусом - и многие математики утверждают, что это соотношение гораздо важнее.Тау также делает, казалось бы, несвязанные уравнения красиво симметричными, например уравнение для площади круга и уравнение, описывающее кинетическую и упругую энергию.

Но в день Пи тау не забудут! По традиции Массачусетский технологический институт отправит решения в 18:28. Cегодня. Через несколько месяцев, 28 июня, у тау будет свой день.

Основание натурального логарифма

(Изображение предоставлено Shutterstock)

Основание натурального логарифма, написанное буквой «е» в честь своего тезки, швейцарского математика 18-го века Леонарда Эйлера, возможно, не так знаменито, как число Пи, но оно также есть свой праздник.x имеет наклон, равный ее значению в каждой точке », - сказал Live Science Кейт Девлин, директор Проекта по математике в Высшей школе образования Стэнфордского университета. Другими словами, если значение функции равно 7,5 в определенный момент его наклон, или производная, в этой точке также равен 7,5. И, «подобно пи, оно постоянно встречается в математике, физике и технике».

Мнимое число i

(Изображение предоставлено : Shutterstock)

Выньте из "пи" букву "р", и что вы получите? Правильно, цифру i.Нет, это не совсем то, как это работает, но я довольно крутой номер. Это квадратный корень из -1, что означает нарушение правил, поскольку вы не должны извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

«Тем не менее, если мы нарушим это правило, мы сможем изобрести мнимые числа, а значит и комплексные числа, которые одновременно красивы и полезны», - сказала Live Наука по электронной почте. (Комплексные числа могут быть выражены как сумма действительных и мнимых частей.)

i - исключительно странное число, потому что -1 имеет два квадратных корня: i и -i, - сказал Ченг. "Но мы не можем сказать, какой из них какой!" Математикам нужно просто выбрать один квадратный корень и назвать его i, а другой - i.

«Это странно и чудесно», - сказал Ченг.

i в силе i

(Изображение предоставлено Shutterstock)

Вы не поверите, но есть способы сделать меня еще более странным. Например, вы можете возвести i в степень i - другими словами, взять квадратный корень из -1 в степени квадратного корня из отрицательной единицы.

«На первый взгляд это выглядит как наиболее мнимое возможное число - мнимое число, возведенное в мнимую степень», - сказал Дэвид Ричсон, профессор математики в колледже Дикинсон в Пенсильвании и автор будущей книги «Рассказы о невозможности: 2000-летние поиски решения математических проблем древности », - говорится в сообщении издательства Princeton University Press. «Но на самом деле, как писал Леонард Эйлер в письме 1746 года, это реальное число!»

Нахождение значения i в степени i включает преобразование формулы Эйлера, связывающей иррациональное число e, мнимое число i, а также синус и косинус заданного угла.При решении формулы для угла 90 градусов (который может быть выражен как число пи вместо 2) уравнение можно упростить, чтобы показать, что i в степени i равно e в степени отрицательного числа пи более 2.

It звучит сбивающе с толку (вот полный расчет, если вы осмелитесь его прочитать), но результат равен примерно 0,207 - очень реальное число. По крайней мере, в случае угла 90 градусов.

«Как указал Эйлер, i в степени i не имеет единственного значения», - сказал Ричсон, а скорее принимает «бесконечно много» значений в зависимости от угла, который вы решаете.(Из-за этого маловероятно, что мы когда-нибудь увидим празднование «дня i в силе i» как календарного праздника.)

Простое число Бельфегора

(Изображение предоставлено Луи Ле Бретон / Dictionnaire Infernal)

Простое число Бельфегора Число - это простое палиндромное число, в котором 666 прячется между 13 нулями и единицей с обеих сторон. Зловещее число можно сократить до 1 0 (13) 666 0 (13) 1, где (13) обозначает количество нулей между 1 и 666.

Хотя он не «открыл» это число, ученый и Автор Клифф Пиковер прославил зловещее число, назвав его в честь Бельфегора (или Билфегора), одного из семи принцев-демонов ада.{\ aleph_0} довольно особенный. "

Другими словами, всегда есть что-то большее: бесконечные кардинальные числа бесконечны, поэтому не существует такого понятия, как" наибольшее кардинальное число ".

Константа Апери

(Изображение предоставлено : Ian Cuming / Getty Images)

«Если назвать фаворит, то это константа Апери (дзета (3)), потому что с ней все еще связана некоторая загадка», - сказал в интервью Live Science гарвардский математик Оливер Книлл.

В 1979 году, французский математик Роджер Апери доказал, что значение, которое впоследствии станет известно как постоянная Апери, является иррациональным числом.(Она начинается с 1.2020569 и продолжается бесконечно.) Константа также записывается как дзета (3), где «дзета (3)» - это дзета-функция Римана, когда вы вставляете число 3.

Одна из самых больших нерешенных проблем в математике. , гипотеза Римана, делает предсказание о том, когда дзета-функция Римана равна нулю, и, если она будет доказана, позволит математикам лучше предсказать, как распределяются простые числа.

Говоря о гипотезе Римана, известный математик 20-го века Давид Гильберт однажды сказал: «Если бы я проснулся после тысячелетнего сна, мой первый вопрос был бы:« Доказана ли гипотеза Римана? »»

Итак. что такого крутого в этой константе? Оказывается, постоянная Апери встречается в увлекательных местах в физике, в том числе в уравнениях, определяющих магнитную силу электрона и ориентацию на его угловой момент.

Номер 1

(Изображение предоставлено Shutterstock)

Эд Летцтер, математик из Темплского университета в Филадельфии (и, полное раскрытие, отец штатного писателя Live Science Рафи Летцтера), дал практический ответ:

" Я полагаю, что это скучный ответ, но я должен был бы выбрать 1 в качестве своего любимого, как числа, так и его различных ролей во многих различных, более абстрактных контекстах », - сказал он Live Science.

Один - единственное число, на которое все остальные числа делятся на целые числа.Это единственное число, которое делится ровно на одно положительное целое число (само это 1). Это единственное положительное целое число, которое не является ни простым, ни составным.

Как в математике, так и в инженерии, значения часто представлены в диапазоне от 0 до 1. {i * Pi} + 1 = 0», - сказал Девлин.

Подробнее об идентичности Эйлера можно прочитать здесь.

Первоначально опубликовано на Live Science .

Типы чисел - различие и классификация

Можете ли вы представить, какой была бы ваша жизнь, если бы у вас не было возможности представить возраст, вес, дни рождения, время, результаты, банковские счета и номера телефонов? Десять математических цифр (от 0 до 9) используются для определения всех этих величин.

Числа - это цепочки цифр, используемые для представления количества.Величина числа указывает размер количества. Он может быть как большим, так и маленьким. Они существуют в разных формах, таких как 3, 999, 0,351, 2/5 и т. Д.

Типы чисел в математике

Так же, как разные члены семьи живут в разных домах, разные числа принадлежат к одной семье, но имеют разные типы. . Со временем различные комбинации десяти цифр были классифицированы на множество типов чисел. Эти шаблоны чисел отличаются друг от друга из-за разных представлений и свойств.

Натуральные числа

Натуральные числа или счетные числа - это самые основные типы чисел, которые вы впервые выучили в раннем детстве. Они начинаются с 1 и уходят в бесконечность, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. Их также называют положительными целыми числами. В установленной форме они могут быть записаны как:

{1, 2, 3, 4, 5,…}

Натуральные числа представлены символом N .

Целые числа

Целые числа - это набор натуральных чисел, включая ноль.Это означает, что они начинаются с 0 и увеличиваются до 1, 2, 3 и так далее, т.е.

{0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Целые числа представлены символом W .

Целые числа

Целые числа - это совокупность всех целых чисел и отрицательных чисел натуральных чисел. Они содержат все числа, лежащие между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью. Они могут быть положительными, нулевыми или отрицательными, но не могут быть записаны в десятичной или дробной форме. Целые числа могут быть записаны в виде набора как

{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Мы можем сказать, что все целые числа и натуральные числа являются целыми, но не все целые числа - это натуральные или целые числа.

Символ Z представляет собой целые числа.

Дроби

Дробь представляет собой части целого куска. Его можно записать в виде a / b , где a и b - целые числа, а b никогда не может быть равно 0. Все дроби являются рациональными числами, но не все рациональные числа являются дробями. .

Далее дроби сокращаются до правильных и неправильных дробей. Неправильные дроби - это дроби, в которых числитель больше знаменателя, в то время как для правильных функций верно обратное, т.е.е., знаменатель больше числителя. Примеры правильных дробей: 3/7 и 99/101, а 7/3 и 101/99 - неправильные дроби. Это означает, что неправильные дроби всегда больше 1.

Все завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби могут быть записаны как дроби. Вы можете записать завершающую десятичную дробь 1,25 как 125/100 = 5/4. Повторяющееся десятичное число 0,3333 можно записать как 1/3.

Рациональные числа

Можно записывать рациональные числа в форме дробей. Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение», поскольку рациональные числа - это отношения двух целых чисел.Например, 0,7 - рациональное число, потому что его можно записать как 7/10. Другими примерами рациональных чисел являются -1/3, 2/5, 99/100, 1,57 и т. Д.

Рассмотрим рациональное число p / q , где p и q - два целых числа. Здесь числитель p может быть любым целым числом (положительным или отрицательным), но знаменатель q никогда не может быть 0, поскольку дробь не определена. Кроме того, если q = 1, тогда дробь является целым числом.

Символ Q представляет рациональные числа.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не могут быть записаны в форме дробей, т.е.они не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Вот несколько примеров иррациональных чисел: √2, √5, 0,353535…, π и так далее. Вы можете видеть, что цифры в иррациональных числах продолжаются до бесконечности без повторяющегося шаблона.

Символ Q представляет иррациональные числа.

Действительные числа

Действительные числа - это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Сюда входят все числа, которые можно записать в десятичной форме.Все целые числа являются действительными числами, но не все действительные числа являются целыми числами. Действительные числа включают в себя все целые числа, целые числа, дроби, повторяющиеся десятичные дроби, завершающие десятичные дроби и т. Д.

Символ R представляет действительные числа.

Мнимые числа

Числа, отличные от действительных, являются мнимыми или комплексными числами. Когда мы возводим в квадрат мнимое число, это дает отрицательный результат, что означает, что это квадратный корень из отрицательного числа, например, √-2 и √-5. Когда мы возводим эти числа в квадрат, получаем -2 и -5.Квадратный корень из отрицательной единицы представлен буквой i , т.е.

i = √-1

Пример 1

Что такое квадратный корень из -16? Запишите свой ответ в виде мнимого числа i .

Решение

  • Шаг 1. Запишите форму квадратного корня.

√ (-16)

√ (16 × -1)

  • Шаг 3. Разделите квадратные корни.

√ (16) × √ (-1)

  • Шаг 4: Найдите квадратный корень.

4 × √ (-1)

  • Шаг 5: Запишите в форме i.

4 i

Иногда вы получаете мнимое решение уравнений.

Пример 2

Решите уравнение,

x 2 + 2 = 0

Решение

  • Шаг 1. Возьмите постоянный член с другой стороны уравнения.

x 2 = -2

  • Шаг 2. Извлеките квадратный корень с обеих сторон.

x 2 = + √-2 или -√-2

x = √ (2) × √ (-1)

x = + √2 i или -√2 i

  • Шаг 4. Проверьте ответы, подставив значения в исходное уравнение, и посмотрите, получим ли мы 0.

x 2 + 2

(+ √2 i ) 2 + 2 = -2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

(-√2 i ) 2 + 2 = - 2 + 2 = 0 (поскольку i = √-1 и квадрат i равен -1)

То, что их имя «воображаемое» не означает, что они бесполезны.У них много приложений. Одно из самых больших применений мнимых чисел - их использование в электрических цепях. Вычисления силы тока и напряжения производятся в виде мнимых чисел. Эти числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. В некоторых местах мнимое число также обозначается буквой j .

Комплексные числа

Мнимое число комбинируется с действительным числом, чтобы получить комплексное число. Оно представлено как a + bi , где действительная часть и b являются комплексной частью комплексного числа.Действительные числа лежат на числовой прямой, а комплексные числа - на двумерной плоскости.

Как и мнимые числа, комплексные числа тоже не бесполезны. Они используются во многих приложениях, таких как «Сигналы и системы» и «Преобразование Фурье».

Простые числа и составные числа

Простые и составные числа противоположны друг другу. Простые числа - это целые числа без факторов, кроме них самих и 1, например 2, 3, 5, 7 и т. Д.Число 4 не является простым числом, потому что оно делится на 2. Аналогично, 12 также не является простым числом, потому что оно делится на 2, 3 и 4. Следовательно, 4 и 12 являются примерами составных чисел.

Трансцендентные числа

Числа, которые никогда не могут быть нулем (или корнем) полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, называются трансцендентными числами. Не все иррациональные числа являются трансцендентными числами, но все трансцендентные числа являются иррациональными числами.

Классификация чисел

Семейство чисел, которое мы видели выше, также можно разделить на разные категории. Это похоже на то, что в семье 20 человек, но они живут в двух совместных семейных домах по 10 человек в каждом, что означает, что 10 человек живут в одном доме. Мы можем сказать, что два или более типа чисел могут подпадать под одну категорию.

Дискретные и непрерывные числа

Типы счетных чисел называются дискретными числами, а типы чисел, которые не могут быть подсчитаны, называются непрерывными числами.Все натуральные, целые, целые и рациональные числа дискретны. Это потому, что каждый их набор является счетным. Набор действительных чисел слишком велик и не может быть посчитан, поэтому классифицируется как непрерывные числа. Если мы случайным образом возьмем два ближайших действительных числа, между ними все равно будет существовать бесконечно больше вещественных чисел; следовательно, их нельзя сосчитать.

Наборы номеров

Номера также можно классифицировать в виде наборов. Каждый тип числа является подмножеством другого типа числа.Например, натуральные числа - это подмножество целых чисел. Точно так же целые числа - это подмножество целых чисел. Набор рациональных чисел содержит все числа и дроби. Наборы рациональных чисел и иррациональных чисел образуют действительные числа. Действительные числа относятся к комплексным числам с мнимой частью как 0. Мы можем классифицировать эти числа в иерархической диаграмме, как показано ниже:

Натуральные числа могут быть далее сокращены до четных, нечетных, простых, простых, составных и точных квадратов. числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок. Вот семь чисел, которые мы любим так же, как пи.

1. 1

1 может быть самым одиноким числом, но это наименьшее возможное число - первое ненулевое целое число, которое демонстрирует замечательные свойства самодостаточности.100)) - вы все равно получите 1. Это первое и второе число в последовательности Фибоначчи. Это ни составное число, ни простое число (математики отвергли эту идею, поскольку она усложняет фундаментальные теоремы арифметики). Однако это единица (например, -1). И это единственное положительное число, которое делится ровно на одно положительное число.

2.
i

Любое число, которое на самом деле не существует, но по-прежнему полезно, следует считать крутым. Также называется мнимой единицей , i является квадратным корнем из -1 ( i 2 = -1).Это число не может существовать, потому что никакое число, умноженное само на себя, не может равняться отрицательному числу.

G / O Media может получить комиссию

Сначала мнимых чисел считались бесполезными (мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат; например, 5i = -25). Но к эпохе Просвещения мыслители начали демонстрировать его ценность в математике и геометрии, включая Леонарда Эйлера, Карла Гаусса и Каспара Весселя (которые использовали его при работе со сложными плоскостями).Они полезны тем, что с их помощью можно найти квадратный корень из действительного отрицательного числа.

Сегодня i используется в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике, картографии и анализе вибрации. В этих полях часто подставляется цифра j , которая используется для обозначения тока электрического поля. Мнимое число также фигурирует в нескольких формулах, включая тождество Эйлера.

Кстати, в рассказе Айзека Азимова «Воображаемое» (1942) рассказывается эксцентричный психолог Тан Порус, который объяснил поведение загадочного вида кальмаров, используя воображаемые числа в уравнениях, описывающих его психологию.

3. Число Грэма

Проще говоря, это наибольшее полезное (т.е. непроизвольное) число, известное математикам. Но это поразительно большое число . Названный в честь Рональда Грэма, это верхняя граница определенного вопроса, связанного с теорией Рамсея (раздел математики, изучающий условия, при которых должен появляться порядок). Следовательно, это наибольшее число, используемое для серьезного математического доказательства.

«Корень» этого числа возникает в результате экстремального сложения, умножения и увеличения троек.Следовательно, это очень большая степень тройки, а само число значительно больше, чем гуголплекс. На самом деле число Грэма настолько огромно, что его невозможно выразить с помощью обычных обозначений степеней и даже степеней силы. Оно настолько велико, что если бы весь материал во Вселенной превратить в перо и чернила, этого было бы недостаточно, чтобы записать это число. Следовательно, математики используют специальные обозначения, разработанные Дональдом Кнутом, чтобы выразить это.

Он настолько велик, что наш мозг физически не может его понять.Теоретик искусственного интеллекта Элиэзер Юдковски сформулировал это так:

Число Грэма намного выше моих возможностей. Я могу это описать, но не могу правильно оценить ... Мое чувство благоговения, когда я впервые встретила это число, было не передать словами. Это было ощущение, что я смотрю на что-то настолько большее, чем мир в моей голове, что мое представление о Вселенной было разбито и перестроено, чтобы соответствовать. Все теологи должны столкнуться с таким числом, чтобы они могли должным образом оценить то, к чему они призывают, говоря о «бесконечном» разуме Бога.

Интересно, если не по иронии судьбы, нижняя граница проблемы Рамсея, которая породила это число, а не верхняя граница, вероятно, равна шести. Примечание: читатель обратил внимание меня на это исследование , в котором предлагается поднять нижнюю границу до 11, а затем до 13.

4. 0

Число 0 считается само собой разумеющимся, что при рассмотрении То, что он ничего не представляет, отчасти понятно. Но он действительно выполняет некоторые важные функции, в том числе как пустое значение в нашей десятичной системе счисления.0, математика снова идет очень быстро, и ответ будет практически любым («неопределенная форма»).

Наконец, сумма 0 чисел равна 0, но произведение 0 чисел равно 1. И 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Это не простое число и не единица измерения, а четное число.

5.
e

Да, есть число под названием « e », но оно также известно как число Эйлера . Как и пи, это важная математическая константа, иррациональное число, которое выглядит так: 2.71828182845

3536 ...

Названный в честь Леонарда Эйлера (1707-1783), это основание натуральных логарифмов Джона Напьера - логарифм с основанием e , где e - иррациональное и неалгебраическое число (так называемое a трансцендентная константа , очень похоже на пи). Некоторые называют его естественной основой. Эйлер разработал следующую формулу для вычисления e:

e = 1+ 1/1 + 1/2 + 1 / (2 x 3) + 1 / (2 x 3 x 4) + 1 / (2 x 3 x 4 х 5) +. . . (поочередно: 1 + 1/1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!)

Математики вычислили e с точностью до триллиона цифр.

Процент Эйлера в e возник при начислении непрерывно начисляемых процентов на денежную сумму. Фактически, предел сложного процента может быть выражен константой e . Итак, если вы инвестируете 1 доллар под процентную ставку 100% в год, а проценты начисляются постоянно, у вас будет 2,71828 долларов (или около того) в конце года.

e также встречается в теории вероятностей и в процессе испытаний Бернулли (что полезно для расчета таких вещей, как вероятности в азартных играх).К другим приложениям относятся расстройства (так называемая проблема проверки шляпы), асимптотика (при описании ограничивающего поведения, полезная концепция в информатике) и исчисление.

6. Тау

Тау - это просто 2pi , или константа, которая равна отношению длины окружности к ее радиусу. Таким образом, тау записывается как 6,283185 ...

Тау - 19-я буква греческого алфавита и была выбрана в качестве символа для 2pi Майклом Хартлом, физиком, математиком и автором «Манифеста Тау», а также Питер Харремоэс, датский теоретик информации (кто знал, что математика может стать настолько политической?).

Некоторые считают, что тау более полезно, чем пи для измерения окружностей, потому что математики склонны использовать радианы вместо градусов. По словам Кевина Хьюстона из Университета Лидса, наиболее убедительным аргументом в пользу тау является то, что это гораздо более естественное число для использования в областях математики, связанных с кругами, таких как геометрия, тригонометрия и даже продвинутое исчисление.

Это, конечно же, означает, что День Тау следует отмечать 28 июня (28 июня).

7.Фи (φ)

Также называемое золотым числом , Фи (рифмуется со словом «муха») - это важная математическая цифра, которая записывается как 1.6180339887 ...

В отличие от числа пи, которое является трансцендентным числом, решением является фи. к квадратному уравнению. Но, как и пи, фи - это отношение, определяемое геометрической конструкцией. Две величины попадают в золотое сечение, если отношение суммы количеств к большему количеству равно отношению большего количества к меньшему.Благодаря своим уникальным свойствам фи используется в математике, искусстве и архитектуре. Греки открыли его как разделительную линию в крайнем и среднем соотношении, а для художников эпохи Возрождения он представлял Божественную пропорцию.

Phi также имеет интересные эквивалентные отношения, когда вводится число один, например, φ: 1 равно φ + 1: φ или 1: φ-1. Кроме того, два последовательных числа Фибоначчи при делении дают число, близкое к фи. Чем дальше по серии, тем более точным (или подробным) становится фи.

Особая благодарность Кальвину Дворски за помощь в написании этой статьи!

Изображение вверху: Sashkin / Shutterstock.

Математическое доказательство того, что качающаяся теория чисел будет опубликована

Математик Шиничи Мотидзуки Фото: Университет Киото

После восьмилетней борьбы японский математик Шиничи Мочизуки, наконец, получил некоторое подтверждение. Его 600-страничное доказательство гипотезы abc , одной из самых больших открытых проблем в теории чисел, было принято к публикации.

Принятие работы в публикации Научно-исследовательского института математических наук (RIMS) - последнее достижение в долгой и яростной полемике по поводу доказательства математика. Журнал, главным редактором которого является Мотидзуки, издается Японским научно-исследовательским институтом математических наук (RIMS) при Киотском университете, где он работает.

Два других математика RIMS, Масаки Касивара и Акио Тамагава, говорящие по-японски, объявили об этой публикации на пресс-конференции в Киото 3 апреля.Газета «окажет большое влияние», - сказал Кашивара. На вопрос, как Мотидзуки отреагировал на известие о принятии газеты, Кашивара ответил: «Думаю, он почувствовал облегчение».

Мотидзуки, который на протяжении многих лет отказывал в просьбах об интервью, не появлялся на пресс-конференции и не предоставлялся репортерам.

Восемь лет назад Мотидзуки опубликовал в Интернете четыре огромных статьи, в которых утверждалось, что он решил гипотезу abc . Эта работа сбила с толку математиков, которые годами пытались ее понять.Затем, в 2018 году, два уважаемых математика заявили, что уверены в том, что обнаружили изъян в доказательстве Мотидзуки, что многие сочли смертельным ударом по его утверждениям.

Последнее сообщение вряд ли переместит многих исследователей в лагерь Мотидзуки. «Я думаю, можно с уверенностью сказать, что с 2018 года мнение сообщества не сильно изменилось», - говорит Киран Кедлая, теоретик чисел из Калифорнийского университета в Сан-Диего, который был среди экспертов, которые приложили значительные усилия, пытаясь для проверки заявленных доказательств Мотидзуки.Другой математик, Эдвард Френкель из Калифорнийского университета в Беркли, говорит: «Я воздержусь от своего суждения о публикации этой работы, пока это не произойдет, поскольку может появиться новая информация».

Нерешенная проблема

Гипотеза abc выражает глубокую связь между сложением и умножением целых чисел. Любое целое число можно разложить на простые числа, его «делители»: например, 60 = 5 x 3 x 2 x 2. Гипотеза примерно утверждает, что если много маленьких простых чисел делят два числа a, и b, , то тогда лишь немногие, большие делят свою сумму, на .

Доказательство, в случае его подтверждения, могло бы изменить облик теории чисел, например, предоставив новаторский подход к доказательству последней теоремы Ферма, легендарной проблемы, сформулированной Пьером де Ферма в 1637 году и решенной только в 1994 году. Сага началась, когда Мотидзуки, уважаемый теоретик чисел, тихо разместил свои препринты 30 августа 2012 года - не на arXiv.org, предпочитаемом математиками хранилище, а на своей собственной веб-странице в RIMS. Написанные в непонятном, своеобразном стиле, статьи, казалось, были полностью построены на математических концепциях, которые были совершенно незнакомы остальной части сообщества - «как будто вы читаете статью из будущего или из космоса», - писал Джордан Элленберг. , теоретик чисел из Университета Висконсин-Мэдисон, в своем блоге вскоре после появления статей.

Мотидзуки отклонил все приглашения поехать за границу и читать лекции о своей работе. Хотя в то время некоторые из его ближайших соратников заявили, что они нашли доказательство правильным, эксперты по всему миру изо всех сил пытались, часто неохотно, тщательно его проанализировать, не говоря уже о проверке. В последующие годы проводились конференции по этой теме, и участники сообщили о частичном прогрессе, но сказали, что, вероятно, потребуется много лет, чтобы прийти к заключению. Многие, в том числе собственный доктор Мотидзуки, Герд Фалтингс, открыто критиковали Мотидзуки за то, что он не пытался более четко изложить свои идеи.

Затем, 16 декабря 2017 года, Asahi Shimbun , японская ежедневная газета, заявила, что доказательство Мотидзуки было близко к тому, чтобы быть официально подтвержденным, достижение, которое будет на уровне решения 1994 года последней теоремы Ферма.

Между тем распространился слух, что Publications RIMS приняли четыре статьи Мотидзуки, что в то время отрицали ее редакторы. Но спор разгорелся снова, и некоторые математики сетовали на плохое восприятие Мотидзуки, якобы публикуемого в собственном журнале его института.

В декабре 2017 года Питер Войт, физик-математик из Колумбийского университета в Нью-Йорке, написал в своем блоге, что признание журнала создаст ситуацию, которая «исторически не имеет аналогов в математике: заявление уважаемого журнала о том, что они проверили доказательство чрезвычайно известной гипотезы, в то время как большинство экспертов в этой области, которые исследовали это, не смогли понять доказательство ».

Остерегайтесь пробела

Слух о скорой публикации оказался необоснованным.Затем, через несколько месяцев, положение Мотидзуки резко ухудшилось. Два немецких математика - Петер Шольце из Боннского университета и Якоб Стикс из Университета Гете во Франкфурте - в частном порядке распространили опровержение его доказательства abc , сосредоточившись на одном важном отрывке, который, по их мнению, был ошибочным. Шольце, в частности, считается авторитетом в теории чисел и в августе 2018 года получит медаль Филдса - высшую награду среди математиков. Эксклюзивная статья в математическом и физическом журнале Quanta , в которой говорится, что они обнаружили «серьезную, неустранимую брешь», как выразился Стикс.«Я думаю, что гипотеза abc все еще открыта», - сказал Шольце Quanta . «У каждого есть шанс это доказать».

В комментариях, размещенных на его веб-сайте в то время, Мотидзуки отбросил критику, намекнув, что два автора просто не смогли понять его работу. Но несколько экспертов сказали Nature , что большая часть математического сообщества считает, что на этом вопрос решен.

Официальное принятие документов сейчас вряд ли изменит эту позицию.«Мое мнение никоим образом не изменилось с тех пор, как я написал эту рукопись вместе с Якобом Стиксом», - сказал Шольце Nature по электронной почте. (В отдельном электронном письме Stix отклонил запрос на комментарий.)

На пресс-конференции Тамагава сказал, что само решение не изменилось в ответ на критику Шольце и Stix. Некоторые комментарии по этому поводу будут опубликованы в рукописи, но принципиальных изменений не будет, - сказал Тамагава.

Если редакция журнала «отмахнется от этой критики» и опубликует статью без серьезных изменений, это плохо отразится на них и на самом Мотидзуки, говорит Фолькер Мехрманн, президент Европейского математического общества (EMS), которое издает журнал от имени RIMS.(Мерманн говорит, что EMS не контролирует содержание журнала, и он не знал, что объявление неизбежно, пока не связались с агентством Nature ).

Но один математик, который предпочитает цитировать анонимно, говорит, что редакторы и рецензенты занимаются этим бумаги могли оказаться в почти безвыходной ситуации. «Если лучшие математики проводят время, пытаясь понять, что происходит, и терпят неудачу, как может один судья иметь хоть какой-то шанс?»

Долгий и извилистый путь к признанию

Математики часто публикуют статьи в журналах, редакторами которых они являются.Пока авторы отказываются от процесса рецензирования, «такой случай не является нарушением какого-либо правила и является обычным явлением», - говорит Хираку Накадзима, математик из Института физики и математики Вселенной им. Кавли. Токио, и ранее входил в состав редакционной коллегии журнала Publications of RIMS . Мерманн подтверждает, что это не нарушит директив EMS.

Кашивара сказал, что Мотидзуки отказался от процесса рецензирования и не присутствовал ни на одном из собраний редакционной коллегии по поводу статьи.По его словам, ранее в журнале публиковались статьи других членов редакционной коллегии.

Статья Мотидзуки была принята 5 февраля, но дата публикации не определена. «Это очень длинная рукопись и будет специальным выпуском, поэтому мы не можем сказать, сколько времени это займет», - сказал Кашивара.

В мире математики одобрение журнала часто не является концом процесса рецензирования. Важный результат действительно становится принятой теоремой только после того, как сообщество достигнет консенсуса в том, что он верен, а достижение этого может занять годы после официальной публикации статьи.

«Несмотря на все трудности, возникшие в течение многих лет, я все еще думаю, что было бы здорово, если бы идеи Мочизуки оказались правильными», - говорит Минхён Ким, математик из Оксфордского университета, Великобритания.

13 увлекательных чисел вокруг нас - когда красота встречается с математикой | Автор: Софиен Каабар

Aleph Null - прекрасная концепция. Это наименьшее бесконечное число. Я знаю, о чем вы думаете, бесконечность должна быть всего лишь одним понятием, а не множеством бесконечных чисел. В конце концов, , если есть бесконечность больше другой бесконечности, первая определенно не бесконечность .

Предположим, что у нас есть базовое представление о том, что такое бесконечность (обсуждается ниже, 12 в списке). Aleph null - количество натуральных чисел (0, 1, 2, 3 и т. Д.). Это понятие или число огромно по размеру и, в общем, бесконечно.

Что, если мы пересчитаем все натуральные числа два или три раза? После завершения первого набора у нас будут числа, выходящие за рамки натуральных чисел в порядке порядка . Итак, нам понадобится порядок чисел, иначе известный как порядковый номер.Следующее число после нулевого Алеф - это омега (ω), затем идет ω + 1. Эти два последних числа являются не кардинальными числами , а порядковыми числами , то есть они представляют их положение по сравнению с горизонтальной осью . График ниже является упрощенным представлением. Каждый набор может представлять набор существующих натуральных чисел, и каждый набор имеет мощность ℵ0. Добавление единицы после первого набора не меняет количество элементов (вы можете просто изменить порядок, и у вас все равно останется значение Aleph Null).

Это помогает рассматривать их как порядковые номера (порядок). Следовательно, первое порядковое трансфинитное число после набора - это то, что мы обсуждали выше «ω»

Представление спички. Источник изображения: Википедия.

У вас нет омега-яблок, но вы можете финишировать с омегой в гонке (если вы действительно плохи)

Интересно, что ω + 1 не обязательно больше ω, оно просто идет после него. Это слишком много для понимания, поэтому рассмотрение вещей в перспективе должно помочь.Вот что нам следует знать:

  • Infinity и Aleph Null - это разные вещи. Первый - это просто идея крайнего предела, лежащая на числовой оси, а вторая - просто размер набора (мощность).
  • Кардинальность - это размер набора, а кардинальные числа представляют количество (1, 2, 459, 1002 и т. Д.), В то время как Порядковый номер - это порядок набора, а порядковые числа представляют порядок (1-й, 2-й, 66-й и т. Д.) ).
  • Так же, как есть бесконечные кардиналы, существуют также бесконечные порядковые числа, и первое бесконечное (несчетное) порядковое число - это то, которое мы обсуждали выше, омега ω.
  • Следуя этой логике, Алеф единица является мощностью омеги ω.

Алеф Нулевой - только первый из огромного множества других «Алеф». Vsauce сделал потрясающее видео, обсуждающее эту концепцию, которое я настоятельно рекомендую.

Хорошо, это скорее идея или концепция , чем число. Этот символ часто называют лемнискатой . Прежде чем обсуждать характеристики и интересные факты о бесконечности, важно отметить, что число пи (обсуждается в конце списка) считается формой бесконечности.Конечно, под этим мы подразумеваем диапазон чисел после точки 3.14159… Вот почему бесконечность - это понятие, а не то, что мы можем выразить количественно. Другой пример - прекрасное поле фракталов. Возьмем, к примеру, простую снежинку Коха, которую можно разделить на бесконечно малые хлопья одинаковой формы.

https://tenor.com/view/koch-fractal-koch-curve-koch-snowflake-infinite-gif-13239066

Интересно, что когда мы думаем о бесконечности, мы представляем постоянно растущую меру, но она не расширяется. или становится больше.Это уже то, что есть.

Давайте обсудим две простые темы, связанные с бесконечностью (те, которые не требуют никакой мозговой активности, потому что мне на этом этапе нужно вздремнуть после разговоров Aleph Null и Infinity). Интересно, что Георг Кантор , отец теории множеств и исследований бесконечностей, был институционализирован на многих этапах своей жизни.) равно 1.Также возможно алгебраическое доказательство:

Если у нас X = 0,9999 , то

10X = 9,9999

Если мы вычтем X с каждой стороны, мы получим

9X = 9,9999 -0,9999 9,9999 -0,9999

9X = 9

Делим на 9

X = 1

Странно, да?

Любое число, вычитаемое из самого себя, даст ноль. Но бесконечность - это не число. Следовательно, давайте попробуем тест:

∞ - ∞ = 0

∞ - ∞ + 1 = 0 + 1 # Добавление 1 к обеим сторонам

∞ - ∞ = 1 # Зная, что ∞ + 1 = ∞, мы можем упростить уравнение

У нас остался совсем другой результат.С помощью этого метода мы можем получить бесконечность минус бесконечность, равную любому числу, которое мы хотим. Таким образом, ответ на ∞ - ∞ не определен.

Наконец, нас также учат, что мы не можем делить на 0. Нас учат, что 1/0 = Undefined, однако это не ложь, но не охватывает всей истории. Подумайте об этом интуитивно: если вы разделите 1 яблоко на 0 человек, сколько человек вам понадобится, чтобы покрыть все яблоко? Естественно, это форма бесконечности, которая никогда не сжимается .

Итак, изначально 1/0 = . Почему нас учат, что результат не определен? Просто, когда у нас есть 1 / маленькие положительные числа, которые стремятся к нулю, просто предположить, что 1/0 = . Дело в том, что бесконечность - это положительная бесконечность. И если мы сделаем 1 / маленькие отрицательные числа, которые стремятся к нулю, мы также можем предположить, что 1/0 = - . Итак, что это такое? 1/0 = или 1/0 = - ? Ответ: undefined .

Итоговая таблица для операций на бесконечности:

∞ + ∞ = ∞
-∞ + -∞ = -∞
∞ × ∞ = ∞
-∞ × -∞ = ∞
-∞ × ∞ = -∞

Буква i обозначает мнимое число. Определение мнимого числа состоит в том, что возведение его в квадрат дает отрицательный результат. Это не то, о чем мы обычно думаем при возведении чисел в квадрат, потому что мы знаем, что умножение двух одинаковых символов всегда дает положительный результат. Но это не мешает нам создать аксиому, запрещающую существование таких чисел.Мы называем их воображаемыми, потому что их не должно быть. Каков квадратный корень из -6? Мы не знаем. Калькулятор выдаст вам неверную ошибку ввода, потому что какие два числа вы умножаете вместе, чтобы получить отрицательное число? Но прелесть математики в том, что в отличие от других научных инструментов, вы можете предполагать, что вещи существуют, и настраивать их на существование, если они вам не подходят.

Концепция мнимых чисел проста. Мы можем предположить (или представить), что они существуют. Чем они полезны? Что ж, мы можем решать уравнения, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.Вот пример:

  • Что такое √4? Просто, это 2.
  • Что такое √-4? Немного сложнее, но ответ - 2i.

Мы добавляем i, чтобы представить мнимое число, чтобы сделать 2 в степени 2 равной -4. Давайте рассмотрим очень простое уравнение, которое обычно не имеет решения, и посмотрим, как оно решается с использованием мнимых чисел:

Очевидно, что x, возведенный в степень 2, никогда не может дать отрицательное число (-1 в нашем случае), поэтому мы просто предполагаем, что ответ (как мы делали выше) умножается на i.

Вы можете представить себе квадратный корень из -1 (√-1) как исходное мнимое число. Как в цифре 1 для действительных чисел. Другое использование мнимых чисел - объединение их с натуральными числами для получения комплексных чисел (например, 7i + 12) и в электричестве через согласованные токи.

Гугол равен 10, за которым следуют 100 нулей, поэтому, чтобы представить ситуацию в перспективе, подумайте о следующем числе: 10, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000 , 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, , или вы можете просто быть нормальным и думать об этом так:

Это примерно 70! (Факториал).что составляет 70 x 69 x 68 x 67 x 66 x 65 x 64 x 63 x 62 x 61 x 60 x 59… x 1

Чтобы еще больше усложнить наш разум, существует число, называемое Googol plex, которое просто 10 в степени Googol, записанное как:

Интересно отметить, что компания Google является неправильным написанием названия Googol. Это действительно умный способ назвать свою поисковую систему. Число в основном используется в астрономических исследованиях, таких как большое замораживание Вселенной.

Это мое любимое число, вероятно, по торговым причинам, но я также считаю его красивым визуально и математически.В геометрии мы обычно находим его спрятанным во многих местах, например:

  • Круг. Он имеет 360 градусов (3 + 6 + 0 = 9 )
  • Круг разрезан пополам. Каждая половина равна 180 градусам (1 + 8 + 0 = 9 )
  • Круг разрезан на четверти. Каждая четверть равна 90 градусам (9 + 0 = 9 )
  • Круг разрезан на 8 частей. Каждая часть 45 градусов (4 + 5 + 0 = 9 )
  • Круг разрезан на 16 частей. Каждая часть составляет 22,5 градуса (2 + 2 + 5 = 9 )
  • Круг разрезан на 32 части.Каждая часть составляет 11,25 градуса (1 + 1 + 2 +5 = 9 )
  • Правильный многоугольник внутри круга. Каждый угол равен 60 x 3 (180 = 1 + 8 = 9 )
  • Квадрат. Каждый угол равен 90 x 4 (360 = 3 + 6 + 0 = 9 )

Следующие рисунки и их углы.

Число - открытая математическая ссылка

Число - открытая математическая справка Числа - это цепочки цифр, используемые для обозначения величины. Они измеряют размер - насколько велико или мало количество.В математике есть несколько типов чисел, но они делятся на два основных класса: счетные числа и скаляры.

Счетные числа, натуральные числа

Они используются для подсчета количества объектов. Это положительные целые числа без дробных частей. Например 12 машин, 45 студентов, 3 дома. Подробнее об этом см. Подсчет чисел и натуральных чисел.

Скаляры

Это числа, используемые для измерения некоторого количества с любой желаемой степенью точности.Например, высота здания 12,388 метра, или скорость самолета - 810,31 километра в час. Они могут иметь десятичные знаки или дробные части. Смотрите также Скалярное определение. В этой категории есть несколько типов номеров:

  • Реальные числа

    Действительные числа - это числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, и могут иметь десятичные знаки или дробные части. Это наиболее распространенные числа, используемые для измерения величин. Пример 31,88 сантиметра.У них обычно есть единицы. Для получения дополнительной информации см. Определение действительного числа.

  • Целые числа

    Целые числа Целые числа, которые могут быть положительными, отрицательными или нулевыми, но не имеют десятичных знаков или дробных частей. Они похожи на счетные числа, но могут быть отрицательными. Для получения дополнительной информации см. Целочисленное определение.

  • Положительные и отрицательные числа

    Положительные числа - это числа, которые считаются больше нуля. Большое положительное число больше меньшего, например, +12 больше, чем +2.Для получения дополнительной информации см. Определение положительного числа.

    Отрицательные числа считаются меньше нуля. Их можно рассматривать как долг или дефицит. Например, если ваш кошелек пуст и вы должны кому-то 12 долларов, тогда вы можете думать о своем кошельке как о отрицательных 12 долларах. В каком-то смысле у вас меньше нуля долларов. Подробнее об этом см. Определение отрицательного числа.

  • Рациональные и иррациональные числа

    Рациональные числа - это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел.
    Слово «рациональный» происходит от слова «соотношение». Например, число 0,5 является рациональным, потому что его можно записать как отношение & half ;. Для получения дополнительной информации см. Определение рационального числа.

    Иррациональные числа - это числа, которые не являются рациональными, то есть числа, которые нельзя записать как отношение двух целых чисел. Подробнее см. Определение иррационального числа.

  • Мнимые числа

    Мнимые числа нужны для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел, что обычно невозможно.Так, например, квадратный корень из -16 будет записан как 4i , где i - это символ квадратного корня из отрицательного числа. Подробнее об этом см. Определение мнимого числа.

  • Комплексные числа

    Напомним, что настоящие числа - это числа, расположенные на числовой прямой. Комплексные числа распространяют эту идею на числа, лежащие на двумерной плоской плоскости. Комплексные числа состоят из двух компонентов, называемых действительной и мнимой частями. См. Определение комплексного числа.

  • Простые и составные числа

    Простое число - это целое число, не имеющее делителей (целые числа, которые делят данное число без остатка). кроме одного и самого себя. Другими словами, его можно разделить только на единицу и само число. 17 - простое число. 16 не потому, что его можно разделить на 2, 4 и 8.

    Составное число - это непростое число. У есть множители у , и это противоположность простого числа.См. Определение составного числа.

Обозначение

Числа можно записывать или изобразить разными способами.

  • Номер строки

    Числовая линия - это графический способ визуализации чисел путем размещения их на прямой линии, обычно с нулем посередине, положительные числа справа и отрицательные числа слева.
    Подробнее см. Числовая строка.

  • Десятичное представление

    Самый распространенный способ представления действительных чисел.Строка цифр и десятичная точка (точка). Цифры слева от точки - увеличивающие степени десяти, правые - увеличивающие отрицательные степени десяти. Пример 836.33, -45.009.

  • Фракции

    Дробь - это две величины, написанные одна над другой, что показывает, сколько всего у нас есть. Например, у нас может быть три четверти пиццы:

    Подробнее см. Определение дроби.

  • Нормальная форма (научная нотация)

    Для очень больших и очень маленьких чисел десятичная запись не самая удобная.число в нормальной форме состоит из двух частей: коэффициента и показателя степени (степень десяти). Например, расстояние до Солнца 93000000 миль. Это может быть более удобно записано как 93 × 10 6 миль. 93 - коэффициент, а 6 - показатель степени. Подробнее см. Нормальная форма (научное обозначение).

Некоторые числа вообще не являются числами

Иногда числа используются как идентификаторы. Вместо того, чтобы измерять размер объекта или считать, они используются для обозначения объектов в реальном мире.Например, номер студенческого билета ни для чего не используется. Это просто строка цифр, которая идентифицирует одного конкретного студента.

Нет смысла пытаться делать с ними арифметические операции. Деление номера ученика на два или нахождение квадратного корня из телефонного номера не имеет смысла.

Другие числовые темы

Скалярные числа

Счетные числа

Числа с делителями

Особые значения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Математики нашли совершенно новый способ записать число 3

Донна Лу

Ian Payne / Getty

Третий раз - очарование: всего через несколько недель после решения неуловимой задачи с числом 42 математики нашли решение еще более сложной задачи для числа 3.

Эндрю Букер из Бристольского университета, Великобритания, и Эндрю Сазерленд из Массачусетского технологического института нашли большое решение математической задачи, известной как сумма трех кубов.

Задача спрашивает, может ли какое-либо целое число или целое число быть представлено в виде суммы трех чисел в кубе.

Уже было два известных решения для числа 3, оба из которых включают небольшие числа: 1 3 + 1 3 + 1 3 и 4 3 + 4 3 + (-5) 3 .

Но математики десятилетиями искали третью. Букер и Сазерленд нашли решение:

.

569936821221962380720 3 + (-569936821113563493509) 3 + (-472715493453327032) 3 = 3

Ранее в этом месяце пара также нашла решение той же проблемы для 42, которое было последним нерешенным числом меньше 100.

Чтобы найти эти решения, Букер и Сазерленд работали с программной фирмой Charity Engine, чтобы запустить алгоритм на бездействующих компьютерах полумиллиона добровольцев.

Для числа 3 время обработки было эквивалентно одному процессору компьютера, непрерывно работающему в течение 4 миллионов часов, или более 456 лет.

«Когда число может быть выражено как сумма трех кубиков, существует бесконечно много возможных решений», - говорит Букер. «Значит, для трех должно быть бесконечно много решений, и мы только что нашли третье», - говорит он.

Есть причина, по которой было так сложно найти третье решение для 3. «Если вы посмотрите только на решения для любого одного числа, они выглядят случайными», - говорит он. «Мы думаем, что если бы вы могли получить в свои руки кучу и множество решений - конечно, это невозможно, только потому, что цифры так быстро становятся огромными - но если бы вы могли, у них была своего рода общая тенденция: размеры цифр растут примерно линейно с количеством решений, которые вы найдете ».

Оказывается, эта скорость роста чрезвычайно мала для числа 3 - только 114, теперь наименьшее неразгаданное число, имеет меньшую скорость роста.Другими словами, числа с медленной скоростью роста имеют меньше решений с меньшим количеством цифр.

Дуэт также нашел решение проблемы для 906. Мы точно знаем, что некоторые числа, такие как 4, 5 и 13, не могут быть выражены как сумма трех кубиков.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *