Четные и нечетные числа таблица до 100: Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000
| | Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица простых чисел от 1 до 10000. Таблица простых чисел от 1 до 1000
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
“>Реклама, сотрудничество: [email protected]
Четные и нечетные числа таблица до 100 – Telegraph
Четные и нечетные числа таблица до 100Скачать файл – Четные и нечетные числа таблица до 100
Мы предполагаем, что вам понравилась эта презентация. Чтобы скачать ее, порекомендуйте, пожалуйста, эту презентацию своим друзьям в любой соц. Кнопочки находятся чуть ниже. Презентация была опубликована 2 года назад пользователем Алексей Залыгин. Умножение и деление продолжение Автор презентации Татузова Анна Васильевна учитель начальных классов г. Москва Некоторые задания можно выполнять интерактивно: Например, продолжить ряд, сравнить или вставить пропущенные числа. Презентация к уроку составлена на основе заданий, расположенных в учебнике. Как узнать частное, пользуясь таблицей умножения на. В каждую чашку положили по 2 куска сахара. Говорят, что число 8 делится на 2 без остатка. По рисунку видно, что на 4 чашки 8 кусков сахара хватило и ни одного куска сахара не осталось. Говорят, что число 9 не делится на 2 без остатка. По рисунку видно, что 9 кусков сахара хватит на 4 чашки и один кусок останется. Запиши по порядку числа от 10 до Обведи кружками чётные числа, подчеркни нечётные. Данное задание можно выполнять интерактивно. Во время демонстрации навести курсор на нужное число до появления ладошки. Обведи кружками чётные числа, подчеркни нечётные а Выбери чётные числа. Умножь на 2 каждое нечётное число от 1 до 9. Какие получились числа — чётные или нечётные? В столовую привезли 3 ящика с огурцами. В каждом ящике было по 6 кг огурцов. Сколько всего кг огурцов привезли в столовую? Составь две задачи, обратные данной. Сколько метров проволоки было сначала? Данное задание выполняется интерактивно в режиме редактирования. Некоторые задания можно выполнять интерактивно: Например, продолжить ряд, сравнить. Презентация к уроку по математике 1 класс на тему: Математика 2 класс Тема урока: Математика 2 класс Некоторые задания можно выполнять интерактивно: Например, продолжить ряд, сравнить или вставить пропущенные. Еще похожие презентации в нашем архиве:. Мои презентации Профиль Сообщения Выход. Войти с помощью социльных сетей Забыли пароль? Главная Школьные презентации Математика 3 класс. Презентация 3 класса по предмету ‘Математика’ на тему: Умножение и деление продолжение ‘. Скачать бесплатно и без регистрации. Скачать бесплатно презентацию на тему ‘Тема урока: Умножение и деление продолжение ‘ в формате. Еще похожие презентации в нашем архиве: Загружай и скачивай презентации бесплатно! Умножение и деление продолжение. Обратная связь Правообладателям Политика конфеденциальности Условия использования.
Как вывести четные и нечетные числа от 1 до 100 в Pascal ABC
Где находится минск арена
Камни легкобетонные технические характеристики
все нечётные числа до 100
Православные истории видео
Мне выбора по счастью не дано текст
Трещины на руках отзывы
Право выбора транспорта
Чётные и нечётные числа
Книги о маньяках на реальных событиях
Аскорбинка сколько дней можно давать
Сколько времени на поезде до москвы
Список простых чисел от 1 до 100 000
Гепа ново инструкция
30 квт это сколько
Настройка ссд диска
Урок 3. простые и составные числа. разложение натурального числа на множители – Алгебра – 7 класс
Алгебра
7 класс
Урок № 3
Простые и составные числа. Разложение натурального числа на множители
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Определения простого и составного числа, примеры простых и составных чисел.
- Разложение числа на простые множители.
- Таблица простых чисел.
Тезаурус:
Делителем натурального числа n называют натуральное число, на которое n делится без остатка
Натуральное число называют простым, если оно имеет ровно два делителя: единицу и само это число.
Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.
Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число, большее единицы, можно разложить на произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Теорема 1.
Каждое отличное от единицы натуральное число имеет делитель – простое число.
Теорема 2. (теорема Евклида)
Простых чисел бесконечно много.
Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
На уроке будем формулировать определения, конструировать несложные определения самостоятельно. Сформулируем определения простого и составного числа, приведём примеры простых и составных чисел. Выполним разложение числа на простые множители. Выясним, является ли число составным. Будем использовать таблицу простых чисел.
Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.
Пример:
числа 2; 3; 5; 7; 11 – простые, т. к. делятся только на 1 и сами на себя, т. е. имеют ровно два делителя.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.
Пример:
числа 4; 6; 8; 10 – составные, т. к. делятся не только на 1 и сами на себя, а ещё, например, на 2, т. е. имеют более двух делителей.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.
Простых чисел бесконечно много.
Основная теорема арифметики.
Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, причём единственным способом.
Рассмотрим, как раскладывать составные числа на простые множители.
Число 57 – составное, т. к. кроме 1 и 57 оно делится, например, ещё на 3.
Покажем это.
Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверяем:
5 + 7 = 12,
12 : 3 = 4.
Число 57 можно представить в виде произведения простых чисел.
При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.
Получаем:
57 = 3 · 12.
Рассмотрим разложение еще одного составного числа на простые множители.
120.
120 – чётное число, значит, делится на 2.
120 : 2 = 60.
60 – чётное число
60 : 2 = 30.
30 – чётное число.
30 : 2 = 15.
15 – нечётное число,
Следовательно, не делится на 2,
но делится на 3.
15 : 3 = 5.
5 – простое число.
Получаем:
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5.
При выполнении задания по определению простых и составных чисел удобно использовать таблицу простых чисел.
Выясним, является ли число 337 простым или составным.
Будем считать, что каждое простое число уже разложено на множители.
Например, простое число 13 равно произведению само числа 13 и единицы.
13 = 13 · 1.
Рассмотрим задачу.
Определите самое маленькое натуральное число, которое не имеет простых делителей кроме 2 и 3.
Решение.
Не имеет простых делителей кроме 2 и 3 – это означает, что в разложении может быть 2 в любой степени и 3 любой степени.
Самое маленькое натуральное число, не является ни простым не сложным.
2, 3, 5 – натуральные числа, они есть в таблице простых чисел.
4 – составное число, которое делится на 2, но не делится на 3. Нам не подходит.
6 – составное число, которое делится на 2 и на 3. Оно удовлетворяет нашему условию.
Ответ: 6.
Итак, мы с вами узнали, какие числа называют простыми и составными.
Узнали основную теорему арифметики.
Узнали, как разложить натуральное число на простые множители.
Углубим наши знания.
Делимость на 3.
Докажем, что одно из трёх последовательных чётных чисел делится на 3
Доказательство.
Чётные числа должны делиться на 2.
Предположим противное не делиться на 3.
Тогда получаем:
первое чётное число представим в виде:
2 · 3n + 2,
тогда второе чётное число представим в виде:
2 · 3n + 4
а третье чётное число представим в виде:
2 · 3n + 6
Видим первое и второе не делятся на 3, а третье делится, так как
(2 · 3n) делится на 3 и 6 делится на 3, значит и сумма 2 · 3n + 6.
Делится на 3, по свойствам делимости.
Значит, предположение неверно и из трёх последовательных чётных чисел одно обязательно будет делиться на 3.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Выберите правильный ответ.
Сколько чисел в ряду от 1 до 100 одновременно не делятся ни на 2, ни на 7?
Варианты ответа:
40
43
57
67
Решение.
Для решения задачи нужно вспомнить признаки делимости на 2.
Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
То есть делятся на 2 чётные числа. Таких чисел в ряду от 1 до 100 – 50 штук.
Значит, из 100 вычитаем 50 чётных чисел, которые нам не подходят.
Далее рассматриваем в ряду числа от 1 до 100, которые делятся на 7 и являются нечётными. Это: 7, 21, 35, 49, 63, 77, 91. Всего их 7 штук. Вычтем их из 50 и получим 43.
Ответ: 43.
2. Впишите правильный ответ.
Определите, какую цифру, являющуюся простым числом, нужно подставить вместо звёздочки, чтобы число f делилось на число k без остатка, если:
f = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5
и
k = 3 * 5.
Решение.
Для того чтобы одно число делилось без остатка на другое, необходимо, чтобы они имели в разложении общие множители. Чтобы число k делилось без остатка на f , необходимо, чтобы оно было меньше f и содержало только делители f. Значит, нам подходит только 2.
Ответ: 2.
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2Вопрос: что такое признаки делимости чисел ?
Ответ: признаки делимости чисел – это особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое.
Знать эти признаки необходимо при решении многих арифметических задач.
Признак делимости на 10
Рассмотрим несколько чисел, запись которых оканчивается цифрой 0, например,
60, 130, 2340
Каждое из этих чисел делится без остатка на 10
Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0.
60 : 10 = 6
130 : 10 = 13
2340 : 10 = 234
Вывод: любое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10
Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10
Проверим это утверждение, например, на числе 234
234 : 10 = 23 целых в остатке 4
(неполное частное 23 и остаток 4 – последняя цифра в записи числа 234)
Вывод: если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10.
Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Остаток в этом случае равен последней цифре в записи числа.
Обратим внимание на то, что число 10 = 2 · 5 (число 10 делится без остатка и на 2, и на 5).
Вывод: число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2.
Например, 70 = 7 · 10 = 7 · (2 · 5) = (7 · 2) · 5 = 14 · 5, значит, 70 : 5 = 14.
А из того что 70 = 7 · (5 · 2) = (7 · 5) · 2 = 35 · 2, получаем, что 70 : 2 = 35.
Полные десятки
Существует такое понятие, как “круглое” число – это целое число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями.
Такие числа принято называть “круглыми” (“полными“) десятками.
Например, числа 40, 530, 3270, 3200 являются полными десятками.
40 – четыре десятка
530 – пятьдесят три десятка
3270 – триста двадцать семь десятков
3200 – триста двадцать десятков
Полные десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например,
46 = 40 + 6, 539 = 530 + 9, 3278 = 3270 + 8.
Так как полные десятки делятся на 5, то и всё число делится на 5 лишь в том случае, когда на 5 делится число единиц.
Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра 0 или 5.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5.
Например, числа 270 и 275 делятся без остатка на 5
Если же запись числа оканчивается другой цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 272 и 273 на 5 без остатка не делятся.
Четные и нечетные числа
Определение
Числа, делящиеся без остатка на 2, называют чётными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечётными.
Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётные
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными.
Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чётны).
Вывод: любое натуральное число чётно, когда в разряде единиц стоит чётная цифра, и нечётно, когда в разряде единиц стоит нечётная цифра.
Определение
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Например, числа 2, 30, 74, 56, 108 чётные, а числа 3, 31, 75, 57, 109 нечётные.
Это интересно
Древнегреческий философ (профессиональный мыслитель), математик и мистик (верил в существование сверхъестественных сил) Пифагор Самосский, чётные числа считал женскими, а нечётные – мужскими
На рисунке числа от 1 до 100 (чётные и нечётные числа разного цвета)
В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечётными цифрами, а плохое – с чётными. Поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечётное количество блюд. Люди верили, что нечётные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А чётные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения.
Таблица признаков делимости чиселЧетные числа определение: Что такое четное число? Ответ на webmath.ru — ЭкоДом: Дом своими руками
Четные и Нечетные числа в Математике
Четные и нечетные числа: что, как, зачем, почему
Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.
Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.
Четное число — это целое число, которое делится на 2.
Целые числа — это натуральные числа, нуль, а также числа, противоположные натуральным.
4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.
Нечетное число — это целое число, которое не делится на 2.
5 : 2 = 2,5
Это значит, что 5 — нечетное число, так как в результате деления не получается целое число.
Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное. Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное. Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т. д. — четные числа. |
Свойства четных и нечетных чисел
- если сложить два четных числа, получится четное число
8 + 8 = 16
16 : 2 = 8 - если сложить два нечетных числа, получится четное число
3 + 3 = 6
6 : 2 = 3 - если сложить четное число с нечетным, получится нечетное число
4 + 5 = 9
9 : 2 = 4,5 - если четное число умножить на четное число, получится четное число
2 * 2 = 4
4 : 2 = 2 - если четное число умножить на нечетное число, получится четное число
4 * 3 = 12
12 : 6 = 2 - если нечетное число умножить на нечетное, получится нечетное.
3 * 3 = 9
Четные и нечетные числа чередуются друг с другом
1 — нечетное
2 — четное
3 — нечетное
4 — четное
5 — нечетное
6 — четное
7 — нечетное
8 — четное
9 — нечетное
Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.
| 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81 | 91 |
| 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 | 82 | 92 |
| 3 | 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 | 73 | 83 | 93 |
| 4 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | 94 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
| 6 | 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 | 76 | 86 | 96 |
| 7 | 17 | 27 | 37 | 47 | 57 | 67 | 77 | 87 | 97 |
| 8 | 18 | 28 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 | 98 |
| 9 | 19 | 29 | 39 | 49 | 59 | 69 | 79 | 89 | 99 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Чтобы быстро разобраться в теме, послушайте песню-считалочку про четность и нечетность.
Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах.
|
Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четные и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.
Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?
| 1 | ♥ | 17 |
| 2 | 10 | ♥ |
| ♥ | 11 | 19 |
| 4 | ♥ | 20 |
| 5 | 13 | ♥ |
| ♥ | 14 | 22 |
| 7 | 15 | 23 |
| 8 | ♥ | ♥ |
Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа.
| X | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| X * 2 | |||||
| X : 2 |
| X | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| X * 2 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| X : 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Как решаем:
2 * 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 * 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 * 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 * 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 * 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное
Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?
Как решаем:
всего 44 конфеты — 15 — 12 = 17 (конфет).
17 — нечетное.
Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом.
Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у маши изначально было фотографий?
Как решаем:
Всего 51 фотография — 5 = 46.
46 — четное.
Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.
Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.
| 1 | ☆ | 3 | ☆ | 5 |
| 6 | ☆ | ☆ | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | ☆ | 15 |
| 16 | ☆ | ☆ | 19 | 20 |
| ☆ | 22 | 23 | ☆ | 25 |
Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.
Как решаем:
Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70
Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
126 : 2 = 63
Ответ: 126 — четное.
Тебе стоит повторить тему — знаки больше, меньше или равно!
Научиться быстро считать ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.
Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.
Урок 6. чётные и нечётные числа. таблица умножения и деления с числом 2 — Математика — 3 класс
Математика, 3 класс
Урок №6. Чётные и нечётные числа. Таблица умножения и деления с числом 2
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- По какому правилу составлена таблица умножения с числом 2.
- Какие числа называются чётными, какие – нечётными.
Глоссарий по теме:
В основе таблицы умножения с числом 2 лежит то, что произведение увеличивается на 2.
Чётные числа – числа, которые делятся на 2.
Нечётные числа – числа, которые не делятся на 2.
Обязательная и дополнительная литература к уроку:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 20.
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 3 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с. 9-11.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вспомним, что такое умножение?
Про это математическое действие есть стихотворение.
Это умное сложение.
Ведь умней – умножить раз.
Чем слагать всё целый час.
Умножения таблица
Всем нам в жизни пригодится
И недаром названа
УМНО жением она!
Умножение – сложение одинаковых чисел.
Попробуем:
— прибавлять по 2 пока не получится 20.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
— убавлять по 2 от 18, пока не получится 2
18 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 2
— за 1 минуту решить примеры: 2 ∙ 7; 6 ∙ 9; 8 ∙ 8
За такое короткое время трудно решить эти примеры. Как быть?
Нам поможет таблица умножения, именно таблица умножения поможет быстро решить примеры.
Выучить всю таблицу умножения непросто. Учить её надо постепенно.
Начнём с числа 2.
Найдём значение следующего выражения:
2 ∙ 2
Число 2 нужно взять 2 раза: 2 + 2 = 4. Значить 2 ∙ 2 = 4
Рассмотрим другие примеры из таблицы умножения на 2.
2 ∙ 3 = 6
2 ∙ 4 = 8
2 ∙ 5 = 10
2 ∙ 6 = 12
2 ∙ 7 = 14
2 ∙ 8 = 16
2 ∙ 9 = 18
Первый множитель не меняется, второй множитель увеличивается на 1. Произведение увеличивается на 2, потому что число 2 в каждом следующем примере прибавляется на один раз больше.
Зная правило: «Если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель» – можем составить примеры на деление.
2 ∙ 2 = 4;
4 : 2 = 2;
2 ∙ 3 = 6;
6 : 2 = 3;
6 : 3 = 2;
2 ∙ 4 = 8;
8 : 2 = 4;
8 : 4 = 2;
2 ∙ 5 = 10;
10 : 2 = 5;
10 : 5 = 2;
2 ∙ 6 = 12;
12 : 2 = 6;
12 : 6 = 2;
2 ∙ 8 = 16;
16 : 2 = 8;
16 : 8 = 2;
2 ∙ 9 = 18;
18 : 2 = 9;
18 : 9 = 2.
Выпишем числа из второго столбика, которые разделили на 2:
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.
Числа, которые делятся на 2, называются чётными.
Числа, которые не делятся на 2, называются нечётными. Например, такие числа: 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19.
При делении на 2 мы получаем половину числа (вторую часть).
Рассмотрим четырёхугольник и посчитаем разными способами, на сколько квадратов он разделён.
3 + 3 = 6; 3 ∙ 2 = 6.
2 + 2 + 2 = 6; 2 ∙ 3 = 6.
Посмотрим на примеры второго столбика:
Множители поменяли местами, но значение произведения не изменилось.
Можно сделать вывод: от перестановки множителей произведение не изменяется.
Выполним тренировочные упражнения.
1. Выберите выражения к рисунку.
2 ∙ 5;
5 + 2;
5 + 5;
2 + 2 + 2 + 2 + 2;
10 : 2.
Правильный ответ:
2 ∙ 5;
10 : 2;
5 + 5;
2 + 2 + 2 + 2 + 2.
2. Вставьте в таблицу пропущенные числа.
Правильный ответ:
В таблицу нужно вставить числа:
Вывод: чтобы выполнить эти задания, необходимо знать таблицу умножения с числом 2.
Четные числа — это… Что такое Четные числа?
Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. [1]
Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2: …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…
Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2: …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…
Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.
Признак чётности
Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.
Арифметика
- Сложение и вычитание:
- Чётное ± Чётное = Чётное
- Чётное ± Нечётное = Нечётное
- Нечётное ± Чётное = Нечётное
- Нечётное ± Нечётное = Чётное
- Умножение:
- Чётное × Чётное = Чётное
- Чётное × Нечётное = Чётное
- Нечётное × Нечётное = Нечётное
- Деление:
- Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
- Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
- Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
- Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное
История и культура
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.
Примечания
- ↑ «Чётные числа» в БСЭ.
Wikimedia Foundation.
2010.
Определить чётное или нечётное число онлайн
Чтобы определить, является ли число чётным или нечётным, воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн определителем:
Просто введите целое число и получите ответ.
Сколько чётных и нечётных чисел между…
Теория
Чётное ли число
Чётным является целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело).
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 или 8, являются чётными числами:
10 , 12, 134, 2786, 6389246858 и др.
Примеры
Чётное ли число 10?
10 ÷ 2 = 5
Десять разделилось на два без остатка, следовательно 10 является чётным числом.
Чётное ли число 1?
1 ÷ 2 = 0.5
После деления единицы на два мы получаем нецелое число, следовательно 1 не является чётным числом.
Чётность нуля
Чётное ли число 0?
Ноль (0) является чётным числом.
Ноль чётное число, так как оно делится на два без остатка: 0 ÷ 2 = 0
В числовом ряду с обоих сторон от чётного числа стоят нечётные числа, и ноль тут не исключение, так как -1 это нечётное число:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Нечётные числа
Нечетным является целое число, которое не делится на 2 без остатка.
Все многозначные числа, оканчивающиеся на 1,3,5,7 или 9, являются нечётными числами:
11 , 113, 1245, 43547, 63563469 и др.
Пример
Для примера рассмотрим число 67. Так как оно заканчивается цифрой 7 (нечётной), уже можно утверждать, что оно нечётное. Для пущей уверенности разделим 67 на два:
67 ÷ 2 = 33.5, то есть 33 и остаток 1 (67 = 33 ⋅ 2 + 1)
Окончательно делаем вывод, что число 67 является нечётным числом.
Сколько чётных и нечётных чисел в ряду
Сколько чётных и нечётных чисел находится в ряду между n и m?
Если n и m разные по чётности
Если n и m разные по чётности числа, то есть одно из них четное, а второе нечётное, то количество чётных и нечётных чисел в ряду одинаковое:
Кол чёт/нечёт = (m — n +1) ÷ 2, m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 22 и m = 31:
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Так как 22 и 31 являются числами разной чётности делаем вывод, что чётных и нечётных чисел в данном ряду поровну:
Кол чёт/нечёт = (31 — 22 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5
5 чётных и 5 нечётных
| 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | |||||
| 23 | 25 | 27 | 29 | 31 |
Если n и m чётные
Если n и m чётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно больше, чем нечётных:
Кол чёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n
Кол нечёт = (m — n) ÷ 2 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 10 и m = 20:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Кол чёт = (20 — 10) ÷ 2 + 1 = 6
Кол нечёт = (20 — 10) ÷ 2 = 5
6 чётных и 5 нечётных
| 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
Если n и m нечётные
Если n и m нечётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно меньше, чем нечётных:
Кол чёт = (m — n) ÷ 2 , m > n
Кол нечёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n
Пример
Возьмём ряд чисел между n = 11 и m = 19:
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.
Кол чёт = (19 — 11) ÷ 2 = 4
Кол нечёт = (19 — 11) ÷ 2 + 1 = 5
4 чётных и 5 нечётных
| 12 | 14 | 16 | 18 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
Натуральные числа /qualihelpy
Числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами.
Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.
Над натуральными числами можно производить арифметические действия:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Если число кратно числу , то записывают: .5. Число делится на , если его запись оканчивается цифрой . Например, число делится на .
Деление с остатком
Если же остаток равен нулю, то говорят, что число делится нацело на число .
Простые и составные числа
Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число 1), называют простыми.
Например, простыми являются числа , , , , , , , , , …. .
Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
Например, число составное, так как . Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа . Например, числа и взаимно простые;
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Общим делителем нескольких чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).
Общим кратным нескольких чисел называют число, которое является кратным каждого из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НOК).
Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях всех чисел.
Чтобы найти НOК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел.
Как определить, является ли число нечетным или четным без мод-или-побитовых операций? [закрыто]
питон
Поскольку я не совсем уверен, каковы критерии оценки, вот несколько решений, которые я предложил для развлечения. Большинство из них используют abs(n)для поддержки отрицательных чисел. Большинство из них, если не все, никогда не должны использоваться для реальных расчетов.
Этот скучный
from __future__ import division
def parity(n):
"""An even number is divisible by 2 without remainder."""
return "Even" if n/2 == int(n/2) else "Odd"
def parity(n):
"""In base-10, an odd number's last digit is one of 1, 3, 5, 7, 9."""
return "Odd" if str(n)[-1] in ('1', '3', '5', '7', '9') else "Even"
def parity(n):
"""An even number can be expressed as the sum of an integer with itself.
Grossly, even absurdly inefficient.
"""
n = abs(n)
for i in range(n):
if i + i == n:
return "Even"
return "Odd"
def parity(n):
"""An even number can be split into two equal groups. "
g1 = []
g2 = []
for i in range(abs(n)):
g1.append(None) if len(g1) == len(g2) else g2.append(None)
return "Even" if len(g1) == len(g2) else "Odd"
import ent # Download from: http://wstein.org/ent/ent_py
def parity(n):
"""An even number has 2 as a factor."""
# This also uses modulo indirectly
return "Even" if ent.factor(n)[0][0] == 2 else "Odd"
И это мой фаворит, хотя, к сожалению, он не работает (как указывает март Хо ниже: только то, что все четные числа являются суммой двух простых чисел, не означает, что все нечетные числа не являются).
import itertools
import ent # Download from: http://wstein.org/ent/ent_py
def parity(n)
"""Assume Goldbach's Conjecture: all even numbers greater than 2 can
be expressed as the sum of two primes.
Not guaranteed to be efficient, or even succeed, for large n.
"""
# A few quick checks
if n in (-2, 0, 2): return "Even"
elif n in (-1, 1): return "Odd"
if n < 0: n = -n # a bit faster than abs(n)
# The primes generator uses the Sieve of Eratosthenes
# and thus modulo, so this is a little bit cheating
primes_to_n = ent. primes(n)
# Still one more easy way out
if primes_to_n[-1] == n: return "Odd"
# Brutish!
elif n in (p1+p2 for (p1, p2) in itertools.product(primes_to_n, primes_to_n)):
return "Even"
else:
return "Odd"
Функция ЕЧЁТН — Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции Е.В.ВОВ
в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает значение ИСТИНА, если число четное, и значение ЛОЖЬ, если число нечетное.
Синтаксис
ЕЧЁТН(число)
Аргументы функции ЕЧЁТН описаны ниже.
Замечания
Если число не является числом, то ЕСЕН возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
|
|
|---|---|---|
|
=ЕЧЁТН(-1) |
Проверяет, является ли число -1 четным |
ЛОЖЬ |
|
=ЕЧЁТН(2,5) |
Проверяет, является ли число 2,5 четным. Дробная часть (0,5) усекается, поэтому проверяется число 2. |
ИСТИНА |
|
=ЕЧЁТН(5) |
Проверяет, является ли число 5 четным. |
ЛОЖЬ |
|
=ЕЧЁТН(0) |
Нуль (0) считается четным. |
ИСТИНА |
|
23.12.2011 |
Проверяет дату в ячейке A6. Десятичное представление даты 23.12.2011 — 40900. |
ИСТИНА |
Что такое четные и нечетные числа?
Четные и нечетные числа
Число, которое делится на 2 и дает остаток от 0, называется четным числом. Нечетное число — это число, которое не делится на 2. Остаток в случае нечетного числа всегда равен «1».
Свойство, по которому мы классифицируем целое число в математике как четное или нечетное, также известно как четность.
Идентификационное четное или нечетное число
1. Понимая число на месте «единиц»
В этом подходе мы анализируем число в разряде «единиц» целого числа, чтобы проверить, является ли число четным или нечетным.
Все числа, заканчивающиеся на 1,3,5,7 и 9, являются нечетными. Например, такие числа, как 11, 23, 35, 47 и т. Д., Являются нечетными числами.
Все числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 и 8, являются четными числами. Например, такие числа, как 14, 26, 32, 40 и 88, являются четными числами.
| 25, 32, 38, 87, 95, 64, 76, 53 | |
| Четный | Нечетный |
| 32, 38, 64, 76 | 25, 87, 95, 53 |
2. По группировке
Если мы разделим число на две группы с равным количеством элементов в каждой, то это будет четное число. В случае нечетных чисел при группировке мы получаем остаток 1.
- Группами по два в каждой
Для числа, если оно образует несколько групп по два без остатка, это четное число. В случае остатка число является нечетным числом.
Данная таблица объясняет результат, когда мы применяем разные операции к набору двух чисел.
Заявка
Элементарные навыки распознавания чисел полезны в старших классах для изучения математики, естественных наук и систем коммуникации. Мы применяем эту концепцию при проектировании схем с использованием логических вентилей и двоичных кодов. В древней математике изучение геометрических фигур началось с разделения фигур на четные и нечетные по количеству сторон.
Интересные факты
|
Четные числа — ChiliMath
Четное число — это целое число, которое можно точно или равномерно разделить на \ color {red} 2. Если число точно делится на \ color {red} 2, это означает, что у рассматриваемого числа есть остаток \ color {blue} 0 после деления \ color {red} 2.
Проведя в уме математические вычисления, становится очевидным, что приведенные ниже числа, включая отрицательные числа, равны, потому что все они делятся на 2 .
Кроме того, я хочу отметить, что многие студенты думают, что ноль не является ни четным, ни нечетным.
Поверьте, ноль считается четным числом по той же простой причине, что он также является целым числом, которое делится на 2, поэтому при делении на 2 не остается остатка. То есть 0 \ div 2 = 0.
Наблюдение: Из приведенных выше примеров мы можем легко обобщить, что четные числа всегда заканчиваются цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
Однако есть способ лучше определить четное число, поскольку он более точен с математической точки зрения. Вот!
Общая форма четного числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число \ large {n} является четным числом, если мы можем выразить его как \ large {2k}, где \ large {k} — это просто еще одно целое число. Это означает, что \ large {n} даже если \ large {n = 2k} такое, что \ large {k} является целым числом.
Примеры четных чисел, представленных в общей форме
Давайте проверим общую форму четного числа.Какую бы математическую концепцию нам ни представили, очень важно ее проверить. Прежде чем включать его в наш «набор математических инструментов», он должен иметь для нас какой-то смысл.
Ниже приведены несколько примеров, демонстрирующих концепцию четного числа как n = 2 \, k, где k — целое число.
\ color {красный} \ LARGE {n = 2k}
- 0 \ to 0 = 2 \ left (0 \ right)
- 14 \ to 14 = 2 \ left (7 \ right)
- — 32 \ to — 32 = 2 \ left ({- 16 } \ right)
- 50 \ to 50 = 2 \ left ({25} \ right)
- — 78 \ to — 78 = 2 \ left ({- 39} \ right)
Константа Появление 2 как одного из множителей четного числа предполагает, что любые четные числа действительно являются кратными 2 .
Возможно, вас заинтересует:
Что такое нечетное число?
Список четных чисел
Список нечетных чисел
четных и нечетных чисел | Блестящая вики по математике и науке
Четное число имеет четность 000, потому что остаток при делении на 222 равен 000, а нечетное число имеет четность 111, потому что остаток при делении на 222 равен 111. Например, 0,2,4,10, −60,2, 4,10, -60,2,4,10, −6 — все четные числа, потому что они оставляют остаток 0 при делении на 222.Целые числа 1,3,5,11, −71,3,5,11, -71,3,5,11, −7 — все нечетные числа, потому что они оставляют остаток 1 при делении на 222.
Каждое целое число может быть четным или нечетным, и ни одно целое число не может быть четным или нечетным. Это включает 0, что является четным.
Выясните, является ли 1729 четным или нечетным числом.
Поскольку остаток, полученный при делении 1729 на 2, равен 1, 1729 является нечетным числом.
ИЛИ \ text {ИЛИ} ИЛИ
Число 1729 оканчивается цифрой «9».»Таким образом, это нечетное число. □ _ \ square □
Выясните, является ли 1000 четным или нечетным числом.
Поскольку остаток, полученный при делении 1000 на 2, равен 0, 1000 — четное число.
ИЛИ \ text {ИЛИ} ИЛИ
Число 1000 заканчивается цифрой «0». Таким образом, это четное число. □ _ \ квадрат □
а)
(б)
(c)
Ни один из вышеперечисленных
Какое из утверждений относительно числа −163? -163? −163 верно?
(а) Это нечетное число.
(b) Это четное число.
(c) Это не четное и нечетное число.
Отправьте свой ответ
Сколько из следующих 10 чисел являются четными целыми числами?
0,1, −2,3, −1,5.0, −2,4,2 × 2, −2 × 3,5,22 \ begin {array} {rrrrr} 0, && 1, && — 2, && 3, && — 1, \\ 5.0, && — 2.4, && 2 \ times 2 , && — 2 \ times 3.5, && \ frac {2} {2} \ end {array} 0,5.0, 1, −2.4, −2,2 × 2, 3, −2 × 3.5 , −1,22
Число 2222452122 четное или нечетное?
Последняя цифра — 2, а 2 — четное число. Итак, 2222452122 — четное число. □ _ \ квадрат □
Четных и нечетных чисел
Четные и нечетные числа — простые понятия.Я начну легко, но я постараюсь немного оспорить эту тему.
Что такое четные числа?
Четное число — это любое число, которое дает остаток от нуля при делении на 2. Например, 12 дает остаток от 0 при делении на 2, поэтому 12 является четным.
Мы видели в правилах делимости
что число делится на 2 или дает остаток от нуля, если его последняя цифра 0,2,4,6 или 8.
Следовательно, любое число, последняя цифра которого равна 0, 2, 4, 6 или 8, является четное число.
Другие примеры четных чисел: 58, 44884, 998632, 98, 48 и 10000000.
Формальное определение четного числа:
Число n даже если существует число k, такое что n = 2k, где k — целое число.
Это формальный способ сказать, что если n делится на 2, мы всегда получаем частное k без остатка. Отсутствие остатка означает, что фактически n можно разделить на 2.
Что такое нечетные числа?
Нечетное число — это любое число, которое дает остаток 1 при делении на 2. Например, 25 дает остаток 1 при делении на 2, поэтому 25 является нечетным.
Опять же, мы видели в правилах делимости
что число делится на 2 или дает остаток от нуля, если его последняя цифра 0,2,4,6 или 8.
Следовательно, любое число, последняя цифра которого равна , а не 0, 2, 4, 6 или 8 — нечетное число.
Другие примеры нечетных чисел: 53, 881, 238637, 99, 45 и 100000023
Формальное определение нечетного числа:
Число n является нечетным, если существует число k, такое, что n = 2k + 1, где k — целое число.
Это формальный способ сказать, что если n делится на 2, мы всегда получаем частное k с остатком 1. Наличие остатка 1 означает, что на самом деле n не может делиться на 2.
Основные операции с четными и нечетными числами
Сложение
четное + четное = четное
4 + 2 = 6
четное + нечетное = нечетное
6 + 3 = 9
нечетное + нечетное = четное
13 + 13 = 26
Умножение
четное × четное = четное
2 × 6 = 12
четное × нечетное = четное
8 × 3 = 24
нечетное × нечетное = нечетное
3 × 5 = 15
Вычитание
четное — четное = четное
8 — 4 = 4
четное — нечетное = нечетное
6 — 3 = 3
нечетное — нечетное = четное
13 — 3 = 10
Если у вас есть какие-либо вопросы об этом четном и нечетном урок чисел, просто свяжитесь со мной.
Графики количественных данных
18 мая, 21 06:54
Графики количественных данных, также называемые сгруппированными данными, могут отображаться с помощью гистограммы или многоугольника. Узнайте, как строить гистограммы, используя необработанные данные
Подробнее
Любое целое число, которое можно точно разделить на 2 , известно как четных чисел , тогда как целое число, которое точно не делится на 2 , известно как нечетных чисел .Примером четных чисел является 2, 4, 6, 8, 10, и т. Д. В этой статье мы обсудим четные числа, способы их проверки и их свойства. Что такое четное число?Любое целое число, полностью разделенное на 2 , называется четным числом . Четные числа всегда заканчиваются последней цифрой 0, 2, 4, 6 и 8 . Все четные числа необходимо разделить на 2 , а наименьшее положительное натуральное четное число равно 2 . Как проверить, четное или нечетное число?Чтобы проверить, является ли данное целое число нечетным или четным числом, мы должны проверить последнюю цифру числа. Последняя цифра числа говорит о том, что число четное или нечетное. Нижеследующие пункты объясняют это более ясно:
Свойства четных чиселЧетные числа в основном имеют три следующих свойства:
Свойства дополнения1. Если сложить четное число с нечетным числом , получится всегда нечетное число . Пример: 14 + 7 = 21 2. Если сложить четное число с другим четным числом , получится всегда четное число . Пример: 22 + 8 = 30 3.Если сложить нечетное число с другим нечетным числом , получится всегда четное число . Пример: 17 + 7 = 24 Свойства вычитания1. Вычитая четное число из нечетного числа , полученное число всегда будет нечетным числом . Пример: 18-5 = 13 2. Вычитая четное число из другого четного числа , в результате всегда получается четное число . Пример: 28 — 12 = 16 3. Вычитая нечетное число из другого нечетного числа , полученное число всегда будет четным числом . Пример: 19-15 = 4 Свойства умноженияУмножение четного числа на другое четное число , в результате всегда получается четное число . Пример: 4 * 8 = 32 Умножение четного числа на нечетное число , в результате всегда получается четное число . Пример: 12 * 5 = 60 Умножение нечетного числа на другое нечетное число , в результате всегда получается нечетное число . Пример: 13 * 3 = 39 Список четных чисел (от 1 до 100)В таблице ниже показан список четных чисел от 1 до 100:
| |||||||||
Что такое четные и нечетные числа? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока
Даже Стивен
Класс работает так, потому что 4 — четное число.Четное число представляет группу элементов, которые могут быть равномерно объединены в пары, не пропуская ни одного элемента. Другими словами, четные числа делятся на 2 без остатка.
В предыдущем примере, например, 4 ученика в группе репетиторства г-на Домингеса могут быть разделены на пары поровну, без исключения ни одного ученика. Но что, если директор добавит в группу еще одного ученика? Этот студент будет исключен:
Нам пришлось бы добавить еще одного студента в группу, чтобы снова получить четное число:
Итак, чтобы класс оставался равномерным, нам нужно было добавлять студентов по два за раз.Таким образом, у поступающих студентов всегда будет с кем поработать. Итак, чтобы сгенерировать четные числа, нам нужно добавить 2 к уже четному числу. Поскольку мы только что определили, что 6 — четное число, мы должны добавить 2, чтобы найти следующее четное число. 6 + 2 = 8, поэтому 8 — следующее четное число после 6.
Пока что у нас есть четные числа 4, 6 и 8. Но 2 также является четным числом, потому что если бы у нас было 2 ученика, они бы образовали пара. Очевидно, что мы могли бы добавлять 2 бесконечно, поэтому существует бесконечное количество четных чисел, начиная с 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и т. Д.Вы уловили идею.
Odd One Out
Давайте вернемся к трем первоначальным студентам-репетиторам. В этом классе был исключен один ученик, поэтому 3 — нечетное число. Нечетное число представляет собой группу парных элементов, одна из которых не указана. Другими словами, нечетные числа не делятся на 2 без остатка.
Когда мы добавили в класс еще одного ученика, мы получили четное количество учеников. Но добавьте еще один, и мы вернемся к одному пропущенному студенту:
Итак, как и четные числа, мы можем сгенерировать нечетные числа, добавив 2 к уже нечетному числу.Мы просто добавили 2 к нечетному числу 3. Это дало нам нечетное число 5. Мы могли добавить еще два, и мы получили бы 7, следующее нечетное число после 5.
Хотя мы начали с 3, 1 — первое нечетное число, потому что, если бы у мистера Домингеса был только один ученик, этому ученику не с кем было бы объединиться. Пока что у нас есть нечетные числа 1, 3, 5 и 7. Но, как и в случае с четными числами, существует бесконечное количество нечетных чисел, потому что мы можем добавлять 2 бесконечно.
Переменные числа
Давайте поместим наши нечетные и четные числа рядом друг с другом, чтобы увидеть взаимосвязь между ними:
Как видно из этой диаграммы, четные и нечетные числа чередуются.1 — нечетное, 2 — четное, 3 — нечетное, 4 — четное и т. Д. Этот шаблон, как и сами нечетные и четные числа, существует бесконечно.
Странный ноль
Четный 0 или нет, зависит от того, кого вы спрашиваете. На этот вопрос есть разные ответы. Мы могли бы сказать, что 0 является четным, потому что он предшествует 1 (нечетное число), а четные числа всегда идут до и после нечетного числа, потому что они чередуются.
Мы могли бы также сказать, что 0 является четным, потому что 0 + 2 = 2 (четное число), и мы добавляем 2 к уже четным числам, чтобы определить следующее четное число.Но мы могли бы сказать, что 0 не является даже потому, что он не представляет пару элементов. На самом деле ноль означает полное отсутствие каких-либо предметов, поэтому некоторые могут сказать, что это ни чётно, ни чётно.
Однако нет аргументов в пользу того, что утверждение 0 является нечетным числом, поэтому вы обнаружите, что некоторые говорят, что 0 является четным, в то время как другие говорят, что 0 не является ни нечетным, ни четным. Однако мы все можем согласиться с тем, что 0 не является нечетным числом.
Важные окончания
Простой способ определить, является ли большое число четным или нечетным, — это посмотреть на его последнюю цифру.Если число заканчивается нечетной цифрой (1, 3, 5, 7 или 9), то оно нечетное. С другой стороны, если число заканчивается четной цифрой или 0 (0, 2, 4, 6 или 8), то оно четное.
Чтобы определить, является ли 35 258 364 578 нечетным или четным, нам не нужно считать до него, чередуя четные и нечетные на этом пути. Поскольку число заканчивается четным числом (8), оно четное.
Аналогично, поскольку 73 789 246 233 оканчиваются нечетной цифрой (3), это нечетное число. Не имеет значения, насколько велико число и четны или нечетны другие его цифры.Последняя цифра числа определяет его нечетность или четность.
Давайте еще раз проверим мистера Домингеса. Его группа дополнительного обучения была настолько успешной, что в конечном итоге она выросла до 20 учеников. Поскольку 20 заканчивается на 0, это четное число. Итак, у каждого ученика в группе был еще один ученик, с которым можно было сотрудничать, что значительно облегчило жизнь мистеру Домингесу.
Краткое содержание урока
Вот несколько важных моментов, которые следует запомнить:
- Нечетное число представляет собой количество элементов, которые нельзя разделить поровну, потому что один из них отсутствует.Оно не делится на 2 без остатка. Например, из группы из трех учеников мы можем составить одну пару, исключив одного ученика, поэтому 3 — нечетное число.
- Четное число представляет собой количество элементов, которые могут быть равномерно объединены в пары. Оно делится на 2 без остатка. Например, из группы из четырех учеников мы можем составить две пары, и ни один ученик не останется один, поэтому 4 — четное число.
- Чтобы создать нечетные числа, мы просто добавляем 2 к существующему нечетному числу.
- Чтобы создать четные числа, мы просто добавляем 2 к существующему четному числу.
- Чередуются нечетные и четные числа.
- Существует бесконечное количество как нечетных, так и четных чисел.
- Четные числа заканчиваются либо 0, либо четной цифрой, а нечетные числа — нечетной цифрой.
Результаты обучения
Когда вы закончите, вы сможете:
- Объяснять, что такое четные и нечетные числа
- Определить четные и нечетные числа
- Создать четные и нечетные числа
Является ли ноль четным числом?
Прежде чем ответить на этот вопрос, мне кажется удобным уточнить понимание четного числа.На самом деле определение четного числа может применяться только к целым числам. Таким образом, число есть даже тогда, когда оно делится на число два, и в результате получается целое число. Если мы предпочитаем использовать математический язык, лучше сказать, что «четное число означает число, которое может быть записано как« 2n », где« n »принадлежит набору целых чисел.
Но в конце концов, является ли ноль четным числом?
После выяснения, что такое четное число, на этот вопрос будет легче ответить.И ответ — «да, это так». Нулевое число равно , поскольку если мы разделим ноль на два, результатом будет целое число, это «0: 2 = 0». Кроме того, если мы имеем в виду предыдущее определение того, что такое четное число, мы можем записать нулевое число как «2n», поскольку «2 xx 0 = 0».
Ну, я не уверен. Не могли бы вы дать мне другое объяснение?
На самом деле, возможна и другая мысль: внутри множества, состоящего из всех целых чисел, перед нечетным числом мы всегда находим четное.
Как найти все простые числа
Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.
Какие числа называют английским словом “симпл”?
Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других — с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа — это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей — это данное число, а второй – единица. Например, три — это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.
Составные числа
Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите – это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” – четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.
Последовательность
Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть – делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных – только “два”. Сами десятки (10, 20. 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.
Теории о свойствах простых чисел
Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.
Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел
В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса – факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, “блоками” для построения натуральных чисел.
Поиск простых чисел. Тесты простоты
Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.
Имеет ли множество простых чисел предел?
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
Какое наибольшее простое число?
Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2 31 – 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел – 2 57885161 – 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а , то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.
Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 b 1 b было выполнено.
Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 b 1 b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .
Простых чисел бесконечно много.
Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.
Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .
Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n ,получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.
Решето Эратосфена
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:
Далее вычеркиваем все числа, кратные 3 . Получаем таблицу вида:
Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:
Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид
Перейдем к формулировке теоремы.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.
Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а . Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .
Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .
Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.
Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.
Определить составное или простое число 11723 .
Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .
Отсюда видим, что 11723 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 11 723 109 2 . Отсюда следует, что 11723 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:
Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .
Ответ: 11723 является составным числом.
Простые числа – это натуральные числа, большие единицы, которые имеют только два делителя: единицу и само это число.
Примеры простых чисел: 2 , 3, 5, 7, 11, 13…
(Единица не является простым числом!)
Существует множество задач, связанных с простыми числами, и хотя формулируются они достаточно просто, решить их бывает очень трудно. Некоторые свойства простых чисел еще не открыты. Это побудило немецкого математика Германа Вейля (Wayl, 1885-1955) так охарактеризовать простые числа: «Простые числа – это такие существа, которые всегда склонны прятаться от исследователя».
Во все времена люди хотели найти как можно большее простое число. Пока люди считали только при помощи карандаша и бумаги, им нечасто удавалось обнаружить новые простые числа. До 1952 г. самое большое известное простое число состояло из 39 цифр. Теперь поиском все больших простых чисел занимаются компьютеры. Это может представлять интерес для любителей рекордов.
Не будем гнаться за рекордами, а рассмотрим несколько алгоритмов нахождения простых чисел.
Задача 1. Определение простого числа.Составить программу, которая будет проверять, является ли введенное число простым.
Самый простой путь решения этой задачи – проверить, имеет ли данное число n (n >= 2) делители в интервале [2; n-1]. Если делители есть, число n – составное, если – нет, то – простое. При реализации алгоритма разумно делать проверку на четность введенного числа, поскольку все четные числа делятся на 2 и являются составными числами, то, очевидно, что нет необходимости искать делители для этих чисел. Логическая переменная flag в программе выступает в роли “флаговой” переменной и повышает наглядность программы, так, если flag = true, то n –простое число; если у числа n есть делители, то “флаг выключаем” с помощью оператора присваивания flag:= false, таким образом, если flag = false, то n – составное число.
Задача 2. Нахождение простых чисел в заданном интервале.Составить программу, которая напечатает все простые числа в заданном интервале [2, m], для m>3 и подсчитает их количество.
Для реализации данного алгоритма необходимо проверить каждое число, находящееся в данном интервале, — простое оно или нет. Однако для этого машине пришлось бы потратить много времени. Поэтому подумаем, каким образом можно оптимизировать алгоритм, описанный в задаче 1, применительно к задаче 2?
Будем использовать следующие приемы оптимизации алгоритма:
- рассматривать только нечетные числа;
- использовать свойство: наименьшее число, на которое делится натуральное число n, не превышает целой части квадратного корня из числа n;
- прерывать работу цикла, реализующего поиск делителей числа, при нахождении первого же делителя с помощью процедуры Break, которая реализует немедленный выход из цикла и передает управление оператору, стоящему сразу за оператором цикла.
Как правило, учащиеся сами догадываются о приемах №1 и №3, но не всегда знают, как реализовать в программе досрочное завершение цикла, прием же №2 для них не очевиден, поэтому, возможно, учителю следует остановиться на нем более подробно или же привести полное доказательство этого утверждения.
Счетчик чисел будет находиться в переменной k. Когда очередное простое число найдено, он увеличивается на 1. Простые числа выводятся по 10 в строке, как только значение счетчика становится кратным 10, курсор переводится на новую строку.
Близнецы
Два нечетных простых числа, разнящихся на два, называются близнецами. Близнецами являются, например, числа 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. В начале натурального ряда такие пары чисел встречаются достаточно часто, но, по мере того как мы продвигаемся в область больших чисел, их становится все меньше и меньше. Известно, что в первой сотне имеется целых 8 близнецов, дальше они расположены очень неравномерно, их можно обнаружить все реже и реже, гораздо реже, нежели сами простые числа. До сих пор неясно, конечно ли число близнецов. Более того, еще не найден способ, посредством которого можно было бы разрешить эту проблему.
Задача 3. Поиск пар чисел близнецов.Написать программу, которая будет находить все числа близнецы в интервале [2; 1000] и подсчитывать количество пар чисел близнецов.
Фактически будем использовать алгоритм и программу Задачи 2. В этом алгоритме нужно использовать дополнительные переменные для хранения двух “последних” простых чисел и проверять условие наличия близнецов – их разность должна быть равна двум.
Задача 4. Нахождение простых чисел в заданном интервале с выводом в выходной файл.Реализовать алгоритм задачи 2 с выводом простых чисел в выходной файл по 10 в строке. Последняя строка файла должна содержать информацию о количестве простых чисел в заданном интервале.
Задача 5. Приемы оптимизации алгоритма задачи 4.Оптимизировать алгоритм задачи 4 следующим образом: найденные простые числа записывать в файл, делимость очередного кандидата проверять только на числа из этого файла.
Словесное описание алгоритма:
- Вводим правую границу диапазона – m;
- Записываем двойку и тройку в файл;
- Пока очередное нечетное число i m ), вывести в файл количество простых чисел.
Эратосфеново решето
Греческий математик Эратосфен (275-194 гг. до н.э.) предложил интересный метод нахождения простых чисел в интервале [2; n]. Он написал на папирусе, натянутом на рамку, все числа от 2 до 10000 и прокалывал составные числа. Папирус стал, как решето, которое “просеивает” составные числа, а простые оставляет. Поэтому такой метод называется Эратосфеновым решетом. Рассмотрим подробнее этот метод.
Пусть написаны числа от 2 до n:
Первое неперечеркнутое число в строке является простым. Таким образом, 2 – простое число. Начинаем “просеивание” с него, перечеркивая все числа, которые делятся на 2:
Далее берем следующее по порядку неперечеркнутое число и перечеркиваем все числа, кратные ему и т. д. Таким образом, мы перечеркнем все составные числа, а простые останутся неперечеркнутыми:
Все числа указанного интервала можно рассматривать как множество и в дальнейшем из этого множества будем исключать (отсеивать) все составные числа.
Задача 6. Нахождение простых чисел с помощью решета Эратосфена.Реализовать алгоритм решета Эратосфена с помощью организации работы с множествами.
Словесное описание алгоритма:
- Выделим из первых n натуральных чисел все простые числа (решето Эратосфена).
- Вначале формируем множество BeginSet, состоящее из всех целых чисел в диапазоне от 2 до n. Множество PrimerSet будет содержать искомые простые числа.
- Затем циклически повторим действия:
- взять из BeginSet первое входящее в него число next и поместить его в PrimerSet;
- удалить из BeginSet число next и все другие числа, кратные ему, т. е. 2* next, 3* next и т. д.
Цикл повторяется до тех пор, пока множество BeginSet не станет пустым. Программу нельзя использовать для произвольного n, т. к. в любом множестве не может быть больше 256 элементов. (Для расширения интервала простых чисел можно разбить одно большое множество на несколько маленьких, т. е. представить большое множество в виде массива малых множеств. Этот случай рассматривать не будем. Можно предложить наиболее заинтересованным учащимся самостоятельно рассмотреть этот вариант.)
Литература:
- Е.В. Андреева Методика обучения основам программирования на уроках информатики. Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
- В.А. Дагене, Г.К. Григас, А.Ф. Аугутис 100 задач по программированию. – М.: Просвещение, 1993. — 255 с.
- В.В. Фаронов Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: «Нолидж», 1999. — 616 с.
Конспект урока математики Чётные и нечётные числа
Класс: 3
Учебный предмет: математика.
Тема урока: «Чётные и нечётные числа».
УМК: «Школа России»
Используемая образовательная технология: технологии проблемно-диалогового обучения.
Обоснование выбора данной технологии для данного урока:
Данная технология способствует достижению цели и задач урока. Обучающиеся овладевают новыми знаниями, способами действия в процессе работы на уроке при помощи специально организованного учителем диалога. Такие диалоги организую на уроках в классах для учащихся с ограниченными возможностями здоровья, обучающихся по образовательной программе для детей с задержкой психического развития, с учётом того, что проблема должна быть доступной, посильной, интересной для обучающихся.
Цели урока: создать условия для представления понятий «четные» и «нечетные» числа; совершенствовать вычислительные навыки; развивать внимание и логическое мышление.
Оборудование: раздаточный материал для работы в парах, карточки с цифрами, со словами, материал для устного счета, рисунок с изображением домиков.
Ход урока
I. Мотивация (самоопределение к учебной деятельности)
1.Организация учащихся
Со звонком дети под мелодичную музыку выполняют 2-3 физ.упражнения для рук, ног, туловища, вдох (спокойный, полный, глубокий) и выдох (интенсивный, резкий).
Учитель предлагает сесть детям, в имени которых 4буквы,6 букв, 8 букв, затем детям, в имени которых 3буквы,5букв.
Проверьте порядок на своих рабочих местах.
Проверка наличия учебных принадлежностей.
Психологический настрой:
Всем известно, то у нас
Самый лучший в мире класс!
Мальчики здесь? (здесь)
Девочки здесь? (Здесь)
Руки (на месте)
Ноги? (На месте)
Локти? (У края)
Спинка? (Прямая)
Прикройте глаза и мысленно скажите: «Я внимателен, я хорошо думаю, я уверен в себе».
II. Актуализация знаний
Проверка домашнего задания
Учитель проверяет наличие домашней работы в тетрадях, задаёт 1-2 вопроса.
Урок математики мы начинаем,
Тайны ее открывать продолжаем.
Какие задачи вы поставите перед собой на уроке?
Мы будем развивать внимание.
Мы будем тренировать память.
На уроке мы будем учиться думать.
Устный счёт
1) Работа с таблицей
Упражнение на логическое мышление и математические операции. Специальный прием на формирование пространственной ориентировки и математические операции.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
41 | 50 | ||||||||
51 | 60 | ||||||||
61 | 70 | ||||||||
71 | 80 | ||||||||
81 | 90 | ||||||||
91 | 100 |
Счет круглыми десятками.
Назовите числа от 24 от 32.
Чем похожи числа в 3-ем столбике?(3 единицы)
в 5-ой строчке? (4 десятка)
в 1-ом столбике…
Назовите число, в котором 6 десятков 3 единицы, 8 десятков 2 единицы и т.д., 5 десятков 7 единиц.
2) Кто быстрей решит задачу?
Задача: 6 гусей летят над нами,
6 других за облаками,
2 спустились на ручей.
Сколько было всех гусей?
(Ответ говорится учителю шепотом).
Итог устного счета.
Пальчиковая гимнастика
Утро настало. Солнышко встало.
– Эй, братец Федя,
Разбуди соседей!
– Вставай, Большак!
– Вставай, Указка!
– Вставай, Середка!
– Вставай, Сиротка!
– И Крошка-Митрошка!
-Привет, Ладошка!
Все пальчики проснулись и потянулись.
Взяли ручку. По музыку делаем круговые движения кистью, затем наклоны.
Запись числа, наименования работы.
Минутка чистописания
Отгадайте загадку.
Если ДВА перевернуть
И внимательно взглянуть,
Так и сяк взглянуть опять,
То получим цифру. (Пять.)
Запись цифры 2 и цифры 5.
III. «Открытие» нового знания. Введение терминов «чётные числа» и «нечётные числа»
Что вам известно о числах? (Их можно складывать, вычитать, они бывают однозначные, двузначные…) Сегодня на уроке мы сделаем еще одно открытие о числах.
У цифры 2 есть свой секрет,
Она гордится этим.
А Знайка знает тот секрет,
О нём расскажет детям.
Практическая работа
Разбить заданные группы предметов на группы по два; установить, что есть такие числа, которые делятся по 2 без остатка и есть такие числа, которые делятся по 2 с остатком. На каждую парту раскладывается счетный материал.
А сейчас работаем в парах.
Что значит «в парах»?
Каждая пара получает фигурки и раскладывает их парами.
Возьмите пакет под номером 1. Достаньте цветы.
Разложите по два цветка, т.е. парами 1 ряд – 4 розы; 2 ряд – 6 роз; 3 ряд – 10 роз.
Проверим!
Сколько всего цветов раскладывали?
Сколько пар получилось?
Какое количество цветов удалось разложить парами? (4, 6, 10)
Что можете сказать про эти числа? (Они делятся на два.)
Уберите цветы в пакет № 1.
Возьмите пакет под № 2. Достаньте цветы.
Разложите по два цветка, т.е. парами 1 ряд – 5 ромашек; 2 ряд – 7 ромашек; 3 ряд – 9 ромашек.
Проверим!
Сколько всего цветов раскладывали?
Сколько пар получилось?
Какое количество цветов не удалось разложить парами? (5, 7, 9)
Какой вывод можно сделать?
Есть такие числа, которые делятся по 2 без остатка и есть такие числа, которые делятся по 2 с остатком.
Как называются эти числа? Где можно найти информацию о числах?
Работа с учебником
Найдите страницу в учебнике, число которой состоит из 2 десятков.
Учитель организует работу учащихся с учебником. Проводит беседу по вопросам задания №1 на странице 20.
В каждую чашку положили по 2 куску сахару.
1)На сколько чашек хватило 8 кусков сахару?
-Рассмотрим верхний рисунок, 8 кусков сахара разложили на чашки, по 2 куска в каждую чашку. На сколько чашек хватило 8 кусков сахара? (8:2=4, на 4 чашки)
Прочтем сведение под рисунком.
2)На сколько чашек хватит 9 кусков сахару?
-Рассмотрим нижний рисунок, 9 кусков сахара разложили на 4 чашки, по 2 куска в каждую чашку. Сколько кусков сахара осталось? (9:2=4, 1 остался)
Прочтем сведение под рисунком.
3)Какие из чисел 3, 5, 6, 7, 10 делятся на 2, а какие не делятся на 2?
3 не делится на 2 без остатка
5 не делится на 2 без остатка
6 делится на 2
7 не делится на 2 без остатка
10 делится на 2
Прочтем правило.
Как вы поняли, что 8 делится на 2 без остатка?
Как называются числа, которые делятся на 2 без остатка?
Какие числа называют нечетными?
Формулирование темы и цели урока
Сформулируйте тему нашего урока. (На доске – тема.)
Чему будем учиться на уроке?
Какую цель поставим перед собой? (Научимся различать чётные и нечётные числа.)
Работа по теме урока
Прочитайте числовой ряд
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …18
Что заметили в числовом ряду? (Чётные и нечётные числа в числовом ряду чередуются.)
Однажды в королевстве Математика произошла удивительная история. Числа были очень дружные. Они собирались вместе и придумывали различные игры. Один раз они решили поиграть в такую игру: каждое число должно было разделиться на 2. Но в итоге все числа повздорили и стали жить на разных сторонах улицы.
Что же произошло? (дети высказывают свои предположения)
Те числа, которые смогли разделиться на 2, стали жить на одной стороне улицы (рисунок с изображением домиков). Как назвать все числа, стоящие на той стороне, где числа делятся на 2? (надпись на доске: чётные). Запишите чётные числа в тетрадь.
Те числа, которые не смогли разделиться на 2 без остатка, стали жить на другой стороне улицы (рисунок с изображением домиков, надпись на доске: чётные). Запишите нечётные числа в тетрадь.
Точно так же расположены номера домов и на наших улицах.
Как вы думаете, зачем? (Легче и быстрее найти нужный дом). Для удобства нумерацию домов располагают в определённом порядке: чётные числа – на одной стороне улицы, а нечётные – на другой.
Физминутка
Чётные числа любили заниматься физкультурой.
Мы руками хлопаем 1-2-3
Мы ногами топаем 1-2-3
Руки поднимаем, руки опускаем
Головой качаем
Плечи пожимаем
Приседаем 1-2
А теперь мы повернёмся
И друг другу улыбнёмся.
Гимнастика для глаз
А нечётные любили музыку.
В игре «Дирижер» ученики представляют себя знаменитыми дирижерами. Они встают, берут в руку «дирижерскую палочку» (карандаш, ручку) и в такт звукам музыки начинают дирижировать. При этом они не отрывают глаз от кончика палочки, т.е. сопровождают глазами все ее движения в течение музыкального фрагмента. Движения палочки должны быть плавными, чтобы взгляд не соскальзывал с выбранной точки фиксации.
Работа в группе. Разделимся на группы.
Группа1 пойдёмте на улицу чётных чисел. Группа 2 пойдёмте на улицу нечётных чисел. Узнаем какие числа чётные или нечётные получаются при умножении числа на число два.
План работы в группе
1.В столбик запишите 1 группа (2, 4, 6, 10, 14, 18), 2 группа нечётные числа (1,3,5,7,9,11)
2.Умножьте их на число два.
3. Решите все примеры. Первый ученик читает пример вслух, все слушают, находят решение, и ученик записывает его в листок. Потом он передаёт листок следующему члену группы – и тот записывает и читает пример. И так – по кругу.
2х2=6
4х2=8
6х2=12
8х2=16
10х2=20
12х2=24
4. Пронаблюдайте за результатами – какие числа получились: чётные или нечётные.
5. Что было общего в примерах? Почему у вас получились такие числа?
6. Подумайте, как вы расскажите об этом одноклассникам.
Учитель раздаёт детям листки с заготовкой для вывода, дети вписывают пропущённые слова. Учитель координирует деятельность групп.
Дети озвучивают свои выводы. Что делали? К какому выводу вы пришли?
Вывод. 1 группа. При умножении чётного числа на 2 получается всегда чётное число.
Вывод. 2 группа. При умножении нечётного числа на 2 получается всегда чётное число.
Физминутка
Сегодня я хотела проветрить кабинет, открыла окно. Вдруг поднялся ветер, ворвался в кабинет и сдул со стола все приготовленные карточки с числами. Ребята, пожалуйста, помогите мне их найти. (Карточки распечатаны на цветной бумаге).
А сейчас посмотрите на числа, написанные на карточках , и определите четное оно или нечетное и займите место у подходящего условного знака. □,∆
Дети подходят к условным обозначениям четного □ и нечетного чисел ∆.
Работа по теме урока
Каждому ученику раздаются таблицы с числами от 1 до 100.
В таблице найдите первый десяток. Кто помнит, какие числа в пределах 10 четные? (2, 4, 6, 8, 10)
Взяли синий карандаш и аккуратно закрасили числа 2, 4, 6, 8, 10. Сейчас каждый из вас цепочкой читает столбики чисел под одним из этих чисел.
Теперь закрасьте весь столбик синим карандашом. (Закрашивают)
Такая же работа проводится со столбиками под числами 4, 6, 8, 10. После закрашивания каждого столбика дети делают вывод о том, какой цифрой оканчиваются числа каждого столбика, учитель записывает вывод.
Вывод: Четные числа оканчиваются цифрами 2, 4, 6, 8, 0.
Вывод записывается в тетрадь.
IV. Первичное закрепление
(У каждого ученика карточка).
Задание1. Определить, в какой таблице числа распределены на группы правильно. Слева таблицы поставить знак «+»
чётные не чётные
1, 2, 3, 5, 12 5, 6 , 7, 9, 4
2, 4, 6, 8, 11 3, 4, 5, 7
2, 4, 6, 8, 10 3, 5, 7, 9,11
+
Задание 2. Запишите по порядку числа от 10 до 19. Обведите кружками чётные числа. Подчеркните нечётные числа.
Выполняют задание, сверяют с эталоном. Оценивают свою работу.
Кто выполнил верно, поставьте на полях синим карандашом восклицательный знак.
Кто допустил ошибки, какие трудности возникли?
Задача. Составление задачи по практическому действию.
1. Начертить отрезок, длина которого любое четное число. А второй на 4 см длиннее.
Как вы думаете, длина второго отрезка будет четное или нечетное число?
Упражнение на развитие механической зрительной памяти.
Предлагается 4 геометрические фигуры На каждой фигуре изображена цифра. Время для запоминания 10 – 15 секунд.
Какие фигуры вы запомнили?
На какой фигуре располагалась каждая цифра? Назовите чётные. Назовите нечётные.
V. Подведение итогов. Назовите тему нашего урока. Какие числа являются чётными, а какие – нечётными? Как это определить?
Мы познакомились с четными и нечетными числами, научились из различать, проверили свои знания.
VII. Рефлексия. Кому было легко работать в группе? Кому сложно? Почему?
– Те ребята, кто чувствуют себя уверенно и хорошо научились определять чётное и нечётное число, кому это хорошо понятно, нарисуйте зелёный кружок (в тетради на полях). Те ребята, у кого не всё получилось и вам ещё надо тренироваться, нарисуйте жёлтый кружок. Кто закончил урок с хорошим настроением похвалите себя и своего соседа.
Домашнее задание. Стр. 20, № 5, 6 и индивидуальное задание по карточкам.
Нечетных чисел от 1 до 100
Нечетные числа от 1 до 100 включают все нечетные числа от 1 до 100. Нечетные числа – это счетные числа, последняя цифра или разряд которых равен 1, 3, 5, 7 или 9. Другими словами, эти числа не могут быть равномерно разделены на пары, или числа, которые не являются четными числами, являются нечетными числами. Например, 51, 23, 67, 89 – это несколько чисел, которые относятся к категории нечетных чисел от 1 до 100. Всего существует 50 нечетных чисел, которые находятся в диапазоне от 1 до 100. Давайте подробно разберемся с этой концепцией.
Нечетные числа от 1 до 100 Диаграмма
Таблица нечетных чисел от 1 до 100 поможет вам перечислить все нечетные числа от 1 до 100. Это делается с помощью простой формулы, в которой мы добавляем 2 к предыдущему нечетному числу, чтобы получить следующее нечетное число. . Например, если мы добавим 2 к первому нечетному числу, то есть 1, мы получим 1 + 2 = 3, что является следующим нечетным числом в данной таблице. Аналогично 3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9 и так далее. Последнее число в приведенной ниже таблице нечетных чисел от 1 до 100 – 99, так как, если мы прибавим 2 к 99, мы получим 101, что больше 100.Итак, 99 – это последнее нечетное число в списке нечетных чисел от 1 до 100.
Сумма всех нечетных чисел от 1 до 100
Сумму всех нечетных чисел от 1 до 100 можно найти по формуле S = n / 2 (первое нечетное число + последнее нечетное число), где n – общее количество нечетных чисел от 1 до 100. Есть всего 50 нечетных чисел, поэтому n = 50. Итак, подставляя значения, получаем
S = 50/2 (1 + 99)
S = 25 × 100
S = 2500
Итак, сумма всех нечетных чисел от 1 до 100 равна 2500.
Важные примечания:
- 99 – наибольшее двузначное нечетное число.
- Всего 50 нечетных чисел от 1 до 100.
- 1 – наименьшее нечетное число.
- Нечетные числа являются нечетными числами.
- Сумма нечетных чисел от 1 до 100 равна 2500.
- Среднее значение всех нечетных чисел от 1 до 100 равно 50.
Темы, связанные с нечетными числами от 1 до 100
Проверьте эти статьи, связанные с концепцией нечетных чисел от 1 до 100.
Часто задаваемые вопросы о нечетных числах от 1 до 100
Какие нечетные числа от 1 до 100?
Нечетные числа от 1 до 100 – это все числа в этом диапазоне, которые не делятся на 2. Нечетные числа от 1 до 100: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. , 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69 , 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.
Как найти сумму нечетных чисел от 1 до 100?
Сумма всех нечетных чисел от 1 до 100 равна 2500.Общее количество всех чисел в этом диапазоне составляет 50, из которых 1 – наименьшее, а 99 – наибольшее нечетное число. Итак, применяя эти значения в формуле: S = n / 2 (первое нечетное число + последнее нечетное число), мы получаем S = 2500.
Каково среднее значение нечетных чисел от 1 до 100?
Среднее значение нечетных чисел от 1 до 100 равно 50. Оно рассчитывается с использованием формулы среднего, которая гласит, что Среднее = Сумма всех значений / Общее количество значений. Здесь сумма значений 2500, а общее количество нечетных чисел от 1 до 100 равно 50.Итак, среднее значение = 2500/50 = 50. Следовательно, 50 – это среднее значение нечетных чисел от 1 до 100.
Как найти нечетные числа от 1 до 100?
Чтобы найти нечетные числа, мы используем формулу 2n-1, где n – количество нечетных чисел. Например, первое нечетное число 2 × 1-1 = 1, второе нечетное число 2 × 2-1 = 3, а последнее нечетное число будет 2 × 50-1 = 99.
Какое наибольшее нечетное число в списке нечетных чисел от 1 до 100?
99 – это наибольшее нечетное число в списке нечетных чисел от 1 до 100.Следующим нечетным числом будет 101, что больше 100. Итак, 99 – это наибольшее двузначное нечетное число.
Real Number System – Другие типы действительных чисел
Помимо основных типов действительных чисел, рассмотренных ранее, эти числа также можно классифицировать по их свойствам и представлению.
Вот некоторые из них:
Положительные и отрицательные числа
Положительные числа – это числа больше нуля.
Примеры положительных чисел:`1 / 2,98455, 1, 0,1673 …, sqrt5`
Отрицательные числа – это числа меньше нуля.
`-3, -sqrt7, -0.45612, -1 / 5, -19`
Четные и нечетные числа
Четные числа – целые числа, которые делятся на 2.
Они заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6 или 8.
Примеры четных чисел:`2, 4, 6, 100, -8, -20`
Нечетные числа – целые числа, не делимые на 2.
Они заканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9.
Примеры нечетных чисел:`1,5,3,99, -7, -41`
В числовой строке поочередно располагаются нечетные и четные числа.
Вот результаты сложения (или вычитания) нечетных или четных чисел:
Тот же результат, если используется операция вычитания (-).
Результат – четное число, если добавленные числа являются как четными, так и нечетными числами. В противном случае результат – нечетное число.
Вот результаты, когда умножает нечетных или четных чисел:
Результат – четное число, если одно умножаемое число является четным.В противном случае результат – нечетное число.
Простые и составные числа
Простые числа – натуральные числа, делители которых равны только самому себе и 1.
2 – единственное четное простое число. Это также наименьшее простое число.
Примеры простых чисел:`2,3,5,7,11,13,17,19`
Составные числа – это натуральные числа, имеющие по крайней мере один множитель, кроме него самого и 1.
4 – наименьшее составное число.
Примеры составных чисел:`4,6,8,9,10,38,250,1700`
В таблице ниже показаны простые и составные числа от 1 до 100.
* Простые числа – синие квадраты
* Составные числа – белые квадраты
* 1 не является ни простым, ни составным числом.
Ответ:
`(а) 23`
Больше 0 и не имеет знака.Так что это положительное число.
Он заканчивается цифрой «3», так что это нечетное число.
Его множитель равен «1», а само число – простое.
`(b) sqrt7`
Он меньше «0» и имеет отрицательный знак (-).Значит, это отрицательное число.
Это не целое число, поэтому оно не является ни нечетным, ни четным числом.
Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
`(c) 0`
Это ни положительное, ни отрицательное число.
Он заканчивается цифрой «0», так что это четное число.
Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
`(d) -59`
Оно меньше «0» и имеет отрицательный знак (-), поэтому это отрицательное число.
Он заканчивается цифрой «9», так что это нечетное число.
Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
`(e) 1`
Оно больше «0» и не имеет знака, поэтому является положительным числом.
Он заканчивается цифрой 1, так что это нечетное число.
«2» – наименьшее простое число, а «4» – наименьшее составное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
% PDF-1.5 % 1519 0 объект > эндобдж xref 1519 79 0000000016 00000 н. 0000003010 00000 н. 0000003137 00000 п. 0000003900 00000 н. 0000004123 00000 п. 0000004333 00000 п. 0000004551 00000 н. 0000004768 00000 н. 0000004974 00000 н. 0000005201 00000 н. 0000005409 00000 н. 0000005638 00000 п. 0000005868 00000 н. 0000006096 00000 н. 0000006325 00000 н. 0000006537 00000 н. 0000006756 00000 н. 0000006964 00000 н. 0000007193 00000 н. 0000007403 00000 н. 0000007634 00000 н. 0000007866 00000 н. 0000008095 00000 н. 0000008324 00000 н. 0000008536 00000 н. 0000008755 00000 н. 0000008993 00000 н. 0000009222 00000 п. 0000009432 00000 н. 0000009663 00000 н. 0000009895 00000 н. 0000010124 00000 п. 0000010353 00000 п. 0000010565 00000 п. 0000010784 00000 п. 0000011003 00000 п. 0000011232 00000 п. 0000011442 00000 п. 0000011671 00000 п. 0000011900 00000 п. 0000012112 00000 п. 0000012331 00000 п. 0000012550 00000 п. 0000012760 00000 п. 0000012989 00000 п. 0000013218 00000 п. O + MW] qqN? O \ +} IXz {s.OrhC6l_˄n l2Q_sV $ kEYe
Как умножить нечетные числа
Пояснение:Допустим, у нас есть два числа, и их единичные цифры – это и B, соответственно. Если мы хотим узнать единичные цифры произведения и, все, что нам нужно сделать, это посмотреть на единичную цифру произведения и. Например, если мы умножим 137 и 219, то цифра единиц будет такой же, как цифра единиц. Поскольку единичная цифра 63 равна 3, единичная цифра 137 x 219 также будет 3. Короче говоря, нам действительно нужно беспокоиться только о единичных цифрах чисел, которые мы умножаем, когда мы пытаемся найти единичную цифру их произведения. .
Мы хотим найти единственную цифру. По сути, показатель степени – это всего лишь короткая стрелка для повторного умножения. Давайте посмотрим на разряды первых нескольких показателей 2013 года.
– единица цифры 3.
Чтобы найти единичную цифру 2013 года во второй степени, нам нужно думать об этом как о произведении 2013 и 2013 годов. Как обсуждалось ранее, если мы хотим, чтобы единичные цифры двух чисел умножались вместе, нам просто нужно умножить их единичные цифры. Таким образом, если умножить 2013 год на 2013 год, то цифра из единиц будет такой же, как.
– единица цифра 9.
Далее мы хотим найти единичную цифру 2013 года в третьей степени. Для этого мы умножим квадрат 2013 года на 2013 год. Не имеет значения, что мы не знаем точно, чему равен 2013 год в квадрате, потому что нам нужно беспокоиться только о единичной цифре, которая равна 9. Другими словами, 2013 в третьей степени будет иметь единичную цифру, равную единичной цифре произведения 9 (которая была единицей в квадрате 2013 года) и 3 (которая является единицей цифры 2013 года).Когда мы умножаем 9 на 3, мы получаем 27, так что единица 2013 года в третьей степени равна 7.
– одна цифра 7.
Чтобы найти единичную цифру 2013 года в четвертой степени, нам нужно только позаботиться о том, чтобы умножить единичную цифру 2013 года в третьей степени (то есть 7) на единичную цифру 2013 года. Когда мы умножаем 7 и 3, мы получаем 21, что означает, что цифра 2013 в четвертой степени равна 1.
– одна цифра 1.
Чтобы найти единственную цифру 2013 года в пятой степени, мы умножим 1 на 3, что даст нам 3.
– одна цифра 3.
Обратите внимание, что мы вернулись к цифре из единиц с 3. Если мы умножим это на 2013 год, мы получим цифру из единиц 9. Другими словами, цифры из единиц повторяются в каждой четвертой степени.
Значение разряда степеней 2013 года следующее (с 2013 года в первой степени):
3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ….
По сути, мы хотим найти 2013-й член приведенной выше последовательности. Обратите внимание, что каждый четвертый член равен 1, т.е.е. последовательность повторяется каждые четыре члена. Если позиция терминов в последовательности кратна 4, тогда термин будет 1. Короче говоря, 4-й, 8-й, 12-й, 16-й члены и так далее будут равны 1. Поскольку 2012 кратно 4, 2012-й член в последовательности будет равен 1. (Мы можем определить, кратно ли число 4, посмотрев на его последние две цифры.) Это означает, что 2013-й член будет 3. Таким образом, 2013 год в степени 2013 имеет одна цифра 3.
Ответ 3.
python – Разделение списка целых чисел на чередующиеся группы четных и нечетных сумм
После нескольких сбоев я думаю, что наконец понял проблему, и я думаю, что она у меня есть.Существуют неразрешимые случаи для списков короче 4 элементов, поэтому приведенный ниже код проверяет только случаи с 4 элементами и выше.
Первые два тестовых примера представлены в верхней части вопроса. Следующие два тестируют два тривиально вырожденных случая … более длинные списки всех четных или всех нечетных значений. Затем я провожу несколько случайных тестов.
Для случайных тестов я пробую один список каждой длины от 4 до 14. Это не обязательно проверяет все возможные случаи, потому что каждый случай зависит от смеси четных нечетных чисел, но у него есть хороший шанс.Кроме того, вы можете запускать это снова и снова, и каждый раз вы получаете разные результаты, но результаты всегда кажутся правильными.
импорт случайный
def do_it (ввод):
print (input, ": \ n", end = "")
r = []
# Разделить ввод на две группы, шансы и эвенты
odds = [n вместо n на входе, если n% 2]
evens = [n вместо n на входе, если не n% 2]
# Сначала складываем все тривиальные пары одного четного и одного нечетного, пока мы
# все еще есть по одному каждого вида
в то время как len (шансы) и len (равны):
р.добавить ([evens.pop (0)])
r.append ([odds.pop (0)])
если len (коэффициент):
# Если бы у нас теперь были только нечетные числа ...
# Добавляем тривиальные пары четных и нечетных сумм, пока у нас есть 3 или более значений
в то время как len (шансы)> 2:
r.append ([odds.pop (0), odds.pop (0)])
r.append ([odds.pop (0)])
если len (коэффициент) == 2:
# Если у нас осталось два оставшихся значения, все в порядке, просто создайте последнюю пару, которая будет четной
r.append ([odds.pop (0), odds.pop (0)])
элиф лен (шансы):
# У нас есть только один лишний.Это странный случай. Здесь мы сворачиваем вторую и третью
# до последней записи, что мы можем сделать, потому что одна из них четная, и поэтому результат останется нечетным
r [-3] .extend (r.pop (-2))
# Теперь последняя запись неверна, потому что она четная, но теперь должна быть нечетной. Но эй, у нас есть один
# последний нечет, который мы можем добавить к нему, чтобы изменить его с четного на нечетное! Так что мы просто делаем это.
r [-1] .append (odds.pop (0))
элиф лен (эвенс):
# Если бы у нас теперь были только четные числа...
# Добавить последнее четное значение в конец списка
r.append ([evens.pop (0)])
# Теперь добавляем оставшиеся эвены в последний список. Мы могли бы добавить их к любому из
# списков (или нескольких списков), но последний вариант будет таким же хорошим выбором, как и любой другой.
в то время как len (даже):
r [-1] .append (evens.pop (0))
print (r, "(", len (r), ")")
вернуть г
print ("Заданные тестовые примеры ...")
do_it ([1, 3, 5, 7, 9, 11, 13])
do_it ([11, 2, 17, 13, 1, 15, 3])
Распечатать()
print ("Тривиально вырожденные случаи... ")
do_it ([1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35])
do_it ([2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30])
Распечатать()
print ("Случайные случаи увеличения длины списка ...")
для i в диапазоне (4, 15):
do_it (random.sample (диапазон (1, 100), я))
Результаты пробного прогона:
Заданные тестовые примеры ...
[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13]:
[[1, 3], [5, 7, 9], [11, 13]] (3)
[11, 2, 17, 13, 1, 15, 3]:
[[2], [11], [17, 13], [1], [15, 3]] (5)
Тривиально вырожденные случаи...
[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35]:
[[1, 3], [5], [7, 9], [11], [13, 15], [17], [19, 21], [23], [25, 27], [29] » , [31, 33], [35]] (12)
[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30]:
[[2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30]] (1)
Случайные случаи увеличения длины списка ...
[14, 61, 88, 92]:
[[14], [61], [88, 92]] (3)
[38, 98, 77, 87, 76]:
[[38], [77], [98], [87], [76]] (5)
[71, 51, 45, 86, 56, 22]:
[[86], [71], [56], [51], [22], [45]] (6)
[87, 16, 27, 52, 65, 77, 45]:
[[16], [87], [52], [27], [65, 77], [45]] (6)
[84, 27, 13, 51, 58, 12, 46, 7]:
[[84], [27], [58], [13], [12], [51], [46], [7]] (8)
[1, 65, 22, 41, 56, 18, 38, 69, 75]:
[[22], [1], [56], [65], [18], [41, 38], [69, 75]] (7)
[34, 57, 18, 35, 40, 50, 43, 26, 44, 27]:
[[34], [57], [18], [35], [40], [43], [50], [27] », [26, 44]] (9)
[53, 47, 18, 17, 79, 36, 42, 31, 73, 92, 25]:
[[18], [53], [36], [47], [42], [17], [92], [79], [31, 73], [25]] (10) »
[19, 95, 35, 76, 60, 57, 58, 98, 46, 77, 26, 85]:
[[76], [19], [60], [95], [58], [35], [98], [57], [46], [77], [26], [85]] »( 12)
[23, 86, 98, 56, 92, 82, 37, 36, 85, 12, 89, 94, 81]:
[[86], [23], [98], [37], [56], [85], [92], [89], [82], [81], [36, 12, 94]] ( 11)
[86, 79, 74, 42, 50, 80, 75, 40, 97, 54, 66, 70, 60, 39]:
[[86], [79], [74], [75], [42], [97], [50], [39], [80, 40, 54, 66, 70, 60]] (9)
Правила операций с нечетными и четными числами
Сформулируем правила сложения, вычитания, умножения и деления четных и нечетных чисел.
Вот правила сложения / вычитания четных и нечетных чисел:
Четное ± Четное = Четное (например, 2 + 2 = 4; -4-2 = -6)
Нечетный ± Нечетный = Четный (например, 1 + 1 = 2; -31-1 = -32)
Четное ± Нечетное = Нечетное (например, 2 + 1 = 3; -12-1 = -13)
Здесь есть несколько очень важных наблюдений.
Если вы добавите или вычтете любое количество четных чисел, результат всегда будет четным.
Например,
-2 + 8 + 20 – 16 = 10 (четное)
-2 + 8 + 20 – 16 + 8 – 18 – 2 = -2 (четное)
Это можно обобщить как
Четный ± Четный ± Четный….± Даже…. ± Четный = Всегда Четный
Если вы сложите или вычтите нечетное «количество» нечетных чисел, результат всегда будет нечетным.
Например,
Если сложить или вычесть пять (нечетное «количество») нечетных чисел, например 3 + 11 – 19 + 7 + 9 = 11, ответ будет нечетным
.Аналогичным образом, если вы сложите или вычтите три (нечетное «количество») нечетных чисел, например 3 + 5 – 17 = -9, ответ будет нечетным
.Однако, если вы сложите или вычтите четное «количество» нечетных чисел, результат всегда будет четным.
Например,
Если вы сложите или вычтите шесть (четное «количество») нечетных чисел, например 3 + 11 – 19 + 7 + 3 +1 = 6, то ответ будет четным.
Если вы сложите или вычтите четыре (четных “количества”) нечетных чисел, например 3 + 5 – 17 + 7 = -2, ответ будет четным.
Это можно обобщить как
Нечетный ± Нечетный ± Нечетный…. ± Нечетный…. ± Нечетный = Нечетный или Четный (зависит от «количества» нечетных чисел, добавляемых или вычитаемых)
Вот правила умножения четных и нечетных чисел:
Четное × Четное = Четное (например,грамм. 2 × 2 = 4)
Четное × Нечетное = Четное (например, -2 × 3 = -6)
Нечетное × Нечетное = Нечетное (например, 5 × 3 = 15)
Опять же, есть несколько очень важных наблюдений.
Даже если любое другое целое число (нечетное или четное) всегда получается четным. Единственный способ сделать произведение чисел нечетным – это если все эти числа нечетные.
Например,
-2 × 9 × 3 = -54 (четное)
4 × 1 × 3 × 15 × 21 × 33 = 124740 (четное)
Это можно обобщить как
Четное × Любое целое × Любое целое × Любое целое….× Любое целое число = Всегда четное
Нечетный × Нечетный × Нечетный × Нечетный…. × Нечетное ×…. Нечетный = Всегда Нечетный
Вот правила деления четных и нечетных чисел:
Четный ÷ Четный = Четный или Нечетный или дробный (например, 100 ÷ 2 = 50, -14 ÷ 2 = -7, 2 ÷ 10 = 0,2)
Четный ÷ Нечетный = Четный или дробный (например, 10 ÷ 5 = 2, -20 ÷ 3 = -6,6)
Нечетный ÷ Нечетный = Нечетный или дробный (например, 15 ÷ 5 = 3, 9 ÷ 5 = 1,8)
Нечетный ÷ Четный = дробная часть (например, 15 ÷ 2 = 7,5, 21 ÷ 4 = 5,25)
Это подводит нас к следующим правилам относительно деления четных и нечетных чисел:
Существует несколько возможностей деления четных и нечетных чисел.
Если есть одно общее правило, которое можно использовать для конкретного случая деления, то оно следующее:
Нечетный / Четный = Дробь
15 блестящих способов использования диаграммы сотен
Сотня диаграмм – прекрасный инструмент для обучения всевозможным математическим навыкам: счету, сложению, умножению, решению задач, счету пропусков и многому другому. Эти сто диаграмм – подарок, который не перестает дарить!
Возьмите приведенную ниже таблицу бесплатных сотен и попробуйте наши 15 любимых способов ее использования! Ищете больше математической практики? Попробуйте наше мероприятие по прикрытию стоимости места в нашем магазине!
Почему 120 вместо 100?
Прежде чем продолжить, я лучше остановлюсь и объясню, почему наша диаграмма сотен включает числа до 120.Обещаю, это не ошибка!
Спросите первоклассника, какое число стоит после 100, и вы, вероятно, услышите что-то вроде «110» или «200». Новых математиков может сбить с толку понимание закономерностей, возникающих после числа 100, если они их не видят.
Итак, Общие основные математические стандарты теперь поощряют детей практиковать числа до 120 вместо того, чтобы останавливаться на 100.
Подготовка
Распечатайте приведенную ниже таблицу и ламинируйте ее для большей прочности.Эти занятия настолько хороши, что вам захочется использовать таблицу снова и снова!
Есть еще идея добавить в список? Пожалуйста, поделитесь этим в комментариях ниже. Я всегда люблю открывать для себя новые занятия!
Как пользоваться диаграммой сотен
1. Дайте детям точечный маркер или мелок и пусть они раскрашивают числа, когда они пропускают счет. Они могут считать по десяткам (10, 20, 30…), двойкам (2, 4, 6, 8…) и т. Д. Вы можете попросить их начать с числа, отличного от 1, чтобы усложнить задачу.
2.Напечатайте две копии таблицы сотен – одну на белом картоне и одну на цветном. Цветную копию разрезать на полоски вдоль. Беря по одной полоске за раз, попросите детей положить цветную полоску на соответствующую белую колонку.
3. Распечатайте копию пустой таблицы сотен. Введите несколько цифр, а затем попросите детей ввести остальные. Чем больше чисел вы напишете в первую очередь, тем легче будет упражнение, поэтому его легко отличить для разных уровней способностей.
4. Разрежьте диаграмму сотен на куски, как пазл.Затем попросите учащихся снова собрать его воедино.
5. Научите детей считать десять центов, положив их на таблицу сотен. Например, первая десятицентовая монета уйдет на 10. Следующие десять центов будут на 20 и так далее.
6. Попрактикуйтесь в раскраске – красный, оранжевый, желтый, красный, оранжевый, желтый…
7. Пусть пары учеников соревнуются друг с другом до 100. Например, Первый Игрок бросает кубик и перемещает свою игровую фишку на такое количество делений. Затем наступает очередь второго игрока бросить и двигаться.Игрок, первым набравший 120 очков, становится победителем.
8. Гонка вниз с 120. Начиная с 120, два игрока по очереди бросают кубик и перемещают свою фишку вниз на определенное количество клеток. Побеждает тот, кто первым сделает ноль!
9. Сделайте откидные створки с цифрами, используя эти бесплатные печатные формы. // По одному уроку
10. Попросите детей раскрасить все четные числа 0, 2, 4, 6 и так далее, а затем раскрасить все нечетные числа. Кроме того, обратите внимание, как четные и нечетные числа выровнены по столбцам.// Обучение основам
11. Предложите детям найти загадочную картинку, например, в бесплатном задании на снежную тематику от «Сделано учителями».
12. Предложите детям раскрасить кратные и найти узоры (3, 6, 9, 12…)
13. Играйте слишком широко, слишком мало или просто правильно. Скажите детям, что вы думаете о числе от 1 до 120, и им нужно выяснить, что это такое. Каждый раз, когда они угадают, поделитесь, является ли число слишком большим, слишком маленьким или подходящим. Основываясь на подсказке, которую вы им даете, маленькие детективы могут вычеркнуть на своей таблице сотен числа, которые не используются.
Дети продолжают угадывать и сокращать свой список возможностей, пока не выяснят число.
14. Практикуйте округление до ближайших десяти. Назовите число и попросите детей сосчитать до ближайшего десяти, чтобы определить, к какому десяти оно ближе всего. Числа, заканчивающиеся на 1–4, округляются в меньшую сторону, числа, заканчивающиеся на 6–9, округляются в большую сторону, а числа, заканчивающиеся на 5, могут быть любым способом.