Арифметические ребусы: ‎App Store: Арифметические ребусы

iMath // Математические этюды

iMath // Математические этюды

Математические этюды

На главную

Математические приложения для iPhone и iPad

В уме

При­ве­дены задачи из книги С. А. Рачин­ского «1001 задача для умствен­ного счёта».

Арифме­ти­че­ские ребусы

Раз­га­ды­ва­ние арифме­ти­че­ских ребу­сов тре­бует лишь уме­ния скла­ды­вать числа и логи­че­ски мыс­лить.

Четыре краски

Можно ли карту Рос­сии рас­кра­сить в четыре цвета так, чтобы ника­кие два сосед­них реги­она не были покрашены в один цвет?

Пифагор HD

Увле­ка­тель­ная, позна­ва­тель­ная, кра­си­вая голо­во­ломка. И все это — дока­за­тельство знаме­ни­той Тео­ремы Пифагора без еди­ной формулы!

Cryptarithms

Раз­га­ды­ва­ние арифме­ти­че­ских ребу­сов тре­бует лишь уме­ния скла­ды­вать числа и логи­че­ски мыс­лить.

Four Colours

Можно ли карту Аме­рики рас­кра­сить в четыре цвета так, чтобы ника­кие два сосед­них реги­она не были покрашены в один цвет?

Пифагор

Увле­ка­тель­ная, позна­ва­тель­ная, кра­си­вая голо­во­ломка. И все это — дока­за­тельство знаме­ни­той Тео­ремы Пифагора без еди­ной формулы!

⁠

В уме⁠Для iPhone и iPad

Приведены задачи из книги С. А. Рачинского «1001 задача для умственного счёта». Работа в уме с числами оказывает очень благоприятное влияние на развитие мозга человека. Наличие в пути iГаджета и отсутствие листочка позволят Вам заняться умственной гимнастикой. В конце XIX века сельские школьники успешно решали эти задачи в уме. Попробуйте и Вы!

В~умеВ~умеВ~умеВ~уме⁠

Арифме­ти­че­ские ребусы⁠Для iPhone и iPad

Разгадывание арифметических ребусов требует лишь умения складывать числа и логически мыслить. При этом, их формулировка зачастую остроумна, а решать их интересно и не всегда легко. Пробуйте бесплатно!

Решение арифметических ребусов заключается в замене букв на цифры так, чтобы в итоге получилось верное равенство. Разным буквам должны соответствовать разные цифры.

Арифметические ребусыАрифметические ребусыАрифметические ребусы⁠

Четыре краски⁠Для iPhone и iPad

Можно ли карту России раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних региона не были покрашены в один цвет? Оказывается, так можно раскрасить любую карту — это утверждение стало первым компьютерным доказательством в науке. Пробуйте бесплатно!

Вы можете проверить это на карте России, подучить немного географию нашей страны, а также побывать в стране Мартина Гарднера.

Четыре краскиЧетыре краскиЧетыре краскиЧетыре краски⁠

Пифагор HD⁠Для iPad

Увлекательная, познавательная, красивая головоломка. И все это — доказательство знаменитой Теоремы Пифагора без единой формулы! Пробуйте!

Пифагор~HDПифагор~HDПифагор~HD⁠

Cryptarithms⁠Для iPhone и iPad

Разгадывание арифметических ребусов требует лишь умения складывать числа и логически мыслить. При этом, их формулировка зачастую остроумна, а решать их интересно и не всегда легко. Представлено (с переводами) 90 ребусов на 6 языках! Пробуйте!

Решение арифметических ребусов заключается в замене букв на цифры так, чтобы в итоге получилось верное равенство. Разным буквам должны соответствовать разные цифры.

CryptarithmsCryptarithmsCryptarithms⁠

Four Colours⁠Для iPhone и iPad

Можно ли карту Америки или Вашей страны раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних региона не были покрашены в один цвет? Оказывается, так можно раскрасить любую карту — это утверждение стало первым компьютерным доказательством в науке. Вы можете проверить это на картах разных стран, подучить немного географию, а также побывать в стране Мартина Гарднера. Пробуйте!

Список стран, представленных в первой версии: Австралийский Союз, Австрийская Республика, Французская Республика, Федеративная Республика Германия, Мексиканские Соединенные Штаты, Республика Польша, Португальская Республика, Королевство Испания, Королевство Швеция, Швейцарская Конфедерация, Соединённые Штаты Америки, Соединённое Королевство Великобритании и Северной Ирландии.

Four ColoursFour ColoursFour ColoursFour ColoursFour Colours⁠

Пифагор⁠Для iPhone

Увлекательная, познавательная, красивая головоломка. И все это — доказательство знаменитой Теоремы Пифагора без единой формулы! Пробуйте!

ПифагорПифагор

Математические этюды

Большая книга развлечений. Арифметические ребусы, занимательные задачи, живая математика, фокусы и р (Яков Перельман)

516 ₽

+ до 77 баллов

Бонусная программа

Итоговая сумма бонусов может отличаться от указанной, если к заказу будут применены скидки.

Офлайн

Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.

В наличии в 93 магазинах. Смотреть на карте

Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.

Научпоп

Арифметические ребусы. Занимательные задачи. Живая математика. Фокусы и развлечения. Для юных математиков. Ящик загадок и фокусов. Наука на досуге.
В сборник “Большая книга развлечений” вошли избранные задачи и головоломки из восьми самых популярных книг Якова Исидоровича Перельмана. Книга приобщает к миру научных знаний, помогает привить читателю вкус к изучению точных наук, вызывает интерес к самостоятельным творческим занятиям. Для школьников средних классов, студентов и учащихся техникумов, для всех желающих восполнить пробелы в своем образовании.

На товар пока нет отзывов

Поделитесь своим мнением раньше всех

Как получить бонусы за отзыв о товаре

1

Сделайте заказ в интернет-магазине

2

Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили

3

Дождитесь, пока отзыв опубликуют.

Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.

Правила начисления бонусов

Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.

Правила начисления бонусов

Книга «Большая книга развлечений. Арифметические ребусы, занимательные задачи, живая математика, фокусы и р» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене. Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу Яков Перельман «Большая книга развлечений. Арифметические ребусы, занимательные задачи, живая математика, фокусы и р» и выбрать удобный способ его получения: самовывоз, доставка курьером или отправка почтой. Чтобы покупать книги вам было ещё приятнее, мы регулярно проводим акции и конкурсы.

Арифметические головоломки – Заполните пропуски

Содержание

• Удовлетворение одному уравнению
• Удовлетворение массива уравнений
• Определение возможных результатов
• Длинный дивизион
• Смотрите также

Прежде чем приступить к решению уравнений FITB, мы должны сначала узнать, как интерпретировать эти прямоугольники/пробелы. В этом разделе мы научим вас двум вещам: как преобразовать заданные уравнения в то, с чем мы все знакомы, и как непосредственно интерпретировать эти квадраты математически.

1) Перефразируйте уравнение в более знакомую версию

Подобно решению криптограммы, поскольку математические выражения не принято записывать в прямоугольники, мы, новички, всегда должны пытаться перефразировать уравнение в более знакомую версию: формально-математическую обозначения.

Например, если в приведенных ниже полях представлены различные целые числа от 6 до 9, как нам правильно заполнить поля?

000−0=788 \boxed{\phantom0}\boxed{\phantom0}\boxed{\phantom0} – \boxed{\phantom0} = 788 0​0​0​−0​=788

Для начала, потому что есть 4 квадрата и 4 числа, которыми нужно их заполнить (по правилу произведения), мы могли бы попробовать все 4! = 244! = 244!=24 возможности выяснить, существует ли решение. Но это будет утомительно и утомительно. Тогда как мы систематически решим эту загадку? Просто преобразуйте его во что-то, с чем мы знакомы: алгебраические обозначения!

Если мы обозначим трехзначное целое число 000\boxed{\phantom0}\boxed{\phantom0}\boxed{\phantom0}0​0​0​ и однозначное целое число 0\boxed{\phantom0} 0​ как xxx и y,y,y соответственно, мы получаем уравнение x−y=788x-y= 788x−y=788.

Поскольку их 3!=63! = 63!=6 возможных значений xxx и 4 возможных значения yyy, намного проще работать со значением yyy, потому что меньше возможностей.

• Если y=6y = 6y=6, то x=788+y=788+6=794x = 788+ y = 788+ 6 = 794x=788+y=788+6=794, что означает 794−6=788. \boxed7\boxed9\boxed4-\boxed6= 788,7​9​4​−6​=788. Но это не удовлетворяет ограничению, состоящему в том, что прямоугольники представляют все целые числа от 6 до 9.
• Если y=7y = 7y=7, то x=788+y=788+7=795x = 788+ y = 788+ 7 = 795x=788+y=788+7=795, что означает 795−7=788. \boxed7\boxed9\boxed5-\boxed7= 788,7​9​5​−7​=788. Но это не удовлетворяет ограничению, состоящему в том, что прямоугольники представляют все целые числа от 6 до 9.
• Если y=8y = 8y=8, то x=788+y=788+8=796x = 788+ y = 788+ 8 = 796x=788+y=788+8=796, что означает 796−8=788. \boxed7\boxed9\boxed6-\boxed8= 788,7​9​6​−8​=788. Это удовлетворяет ограничению, состоящему в том, что прямоугольники представляют все целые числа от 6 до 9.
• Если y=9y = 9y=9, то x=788+y=788+9=797x = 788+ y = 788+ 9 = 797x=788+y=788+9=797, что означает 797−9=788. \boxed7\boxed9\boxed7-\boxed9= 788,7​9​7​−9​=788. Но это не удовлетворяет ограничению, состоящему в том, что прямоугольники представляют все целые числа от 6 до 9.

Следовательно, y=8y = 8y=8 — единственно возможное решение, поэтому мы знаем, как правильно заполнять поля! 92 = \color{#3D99F6}{\square}25 (□5)2=□25

Каждый квадрат выше представляет положительное целое число. Пусть mmm и nnn обозначают значения, которые заполняют зеленый и синий квадраты соответственно, удовлетворяя уравнению. Тогда какая связь между mm m и n?n?n?

Детали и предположения :

• Это арифметическая задача, где 1□ 1 \квадрат 1□ представляет собой двузначное число 19, если □=9 \квадрат = 9 □=9. Он не представляет собой алгебраическое выражение 1×□ 1 \times \square 1×□.

Теперь, когда мы знаем, как преобразовывать ячейки в правильные обозначения и наоборот, давайте попробуем кое-что новое: немедленное чтение чисел из предоставленных ячеек. Прочтите следующий раздел!

2) Непосредственно читать прямоугольники как числа, которыми они на самом деле являются. как трехзначное целое число с цифрой десятков 2. Так что да, может быть удобно или проще преобразовать уравнение FITB во что-то более знакомое, но иногда это не стоит усилий. В качестве примера рассмотрим следующее уравнение:

08÷30=2. \boxed{\phantom0}\boxed8 \div \boxed3 \boxed{\phantom0} = 2. 0​8​÷3​0​=2.

Нам действительно нужно преобразовать его в уравнение с правильными обозначениями, такими как (10p+8)÷(30+q)=2(10p+8) \div (30+q) = 2(10p+8)÷ (30+q)=2, чтобы решить? Не обязательно. Вот как мы это сделаем:

Умножая обе стороны на 30\boxed3 \boxed{\phantom0} 3​0​, мы получаем 08=2×30,\boxed{\phantom0}\boxed8 = 2\times \boxed3 \boxed{\phantom0},0​8​=2×3​0​, откуда следует, что 8\boxed88​ — это последняя цифра значения 2×0,2 \times \boxed{\phantom0}. 2×0​. Тогда у нас есть две возможности: 2×4=82\times \boxed4 =8 2×4​=8 или 2×9=18,2\times\boxed9 =18,2×9​=18, что эквивалентно 8÷4=28\div 4=28÷4=2 или 18÷9=2,18\div 9=2, 18÷9=2 соответственно.

Итак, теперь у нас есть 08÷34=2 \boxed{\phantom0}\boxed8 \div \boxed3 \boxed{4} = 2 0​8​÷3​4​=2 или 08÷39=2 \boxed{ \phantom0}\boxed8 \div \boxed3 \boxed{9} = 2 0​8​÷3​9​=2. Завершение дает желаемые числа:

68÷34=2,78÷39=2. \boxed{6}\boxed8 \div \boxed3 \boxed{4} = 2, \quad \boxed{7}\boxed8 \div \boxed3 \boxed{9} = 2 .6​8​÷3​4​= 2,7​8​÷3​9​=2.

93 х 3 х 37. 888=23×3×37. Поскольку 888 записывается как произведение двух двузначных целых чисел, мы знаем, что

• хотя бы одно из целых чисел 70 \boxed7\boxed{\phantom0}7​0​ и 02\boxed{\phantom0} \boxed 2 0​2​ делится на 37; (1)\qquad (1)(1)
• хотя бы одно из целых чисел 07 \boxed{\phantom0}\boxed70​7​ и 20\boxed 2 \boxed{\phantom0}2​0​ делится на 37. (2)\qquad (2)(2)

Единственными двузначными числами, кратными 37, являются 37×1=3737\times1=37 37×1=37 и 37×2=7437\times2=7437×2=74, поэтому

• одно из чисел в (1)(1)(1) равно 747474 и, следовательно, другое число равно 888÷74=12888\div74= 12 888÷74=12;
• одно из чисел в (2)(2)(2) равно 373737 и, следовательно, другое число равно 888÷37=24888\div37= 24 888÷37=24.

Следовательно, ответ

.

74×12=37×24=888. \boxed7 \boxed{4} \times \boxed{1} \boxed2 = \boxed{3} \boxed7 \times \boxed2 \boxed{4} = 888. 7​4​×1​2​=3​7​ ×2​4​=888.

Теперь вы достаточно уверены, чтобы напрямую интерпретировать все эти коробки? Попробуйте решить следующую проблему:

□+□□+□□□+□□□□ \большой\квадрат + \квадрат\квадрат+\квадрат\квадрат\квадрат+\квадрат\квадрат\квадрат\квадрат □+□□+□□□+□□□ □

Поместите все цифры от 0 до 9 без повторения в ячейки выше. Тогда какова максимальная возможная сумма ?

Детали и предположения :

• Это арифметическая задача, где 1□ 1 \квадрат 1□ представляет собой двузначное число 19, если □=9 \квадрат = 9 □=9. Он не представляет собой алгебраическое выражение 1×□ 1 \times \square 1×□.

В предыдущем разделе показано, как решить головоломку FITB для одного уравнения. А что, если нам дадут больше уравнений? Это усложняет задачу? Ну, не совсем. Это не так уж отличается от решения системы уравнений. Поскольку у нас уже есть все необходимые основы в предыдущем разделе, давайте начнем с примера:

.

Заполните поля ниже различными целыми числами от 1 до 5 так, чтобы массив уравнений был верен.

0−0+0×0=11÷0=1 \large{\begin{массив}{ccccccc} & & \boxed{\phantom0} & & & & \\ & & – & & & & \\ \boxed{\phantom0} &+& \boxed{\phantom0} & \times &\boxed{\phantom0} & = & 11 \\ & & \дел & & & & \\ & & \ в коробке {\ phantom0} & & & & \\ “=” & & 1 & & & & \\ \end{массив}} 0​+​0​−0​÷0​=1​×​0​​=​11​

---

Давайте начнем с двух полей непосредственно над и под знаком деления (÷\div÷) и назовем их XXX и Y,Y,Y соответственно. Поскольку все прямоугольники представляют собой целые числа, XXX должно делиться на Y.Y.Y. Кроме того, 1≤X,Y≤51\leq X,Y \leq 51≤X,Y≤5 и X≠Y.X\ne Y.X​=Y. Таким образом, возможности таковы: (X,Y)=(4,2),(5,1),(4,1),(3,1),(2,1)(X,Y) = (4,2 ),(5,1),(4,1),(3,1), (2,1) (X,Y)=(4,2),(5,1),(4,1),( 3,1),(2,1) только.

Пусть ZZZ будет числом в поле вверху, тогда мы можем проанализировать эти 5 возможностей следующим образом:

Если (X,Y)=(4,2)(X,Y) = (4,2) (X,Y)=(4,2), то Z−(X÷Y)=1⇒Z=3Z – (X\div Y) = 1 \Стрелка вправо Z = 3 Z−(X÷Y)=1⇒Z=3. Таким образом, два неиспользуемых целых числа — это 1 и 5, которые должны удовлетворять уравнению 0+4×0=11 \boxed{\phantom0} + \boxed4 \times \boxed{\phantom0} = 11 0​+4​×0​= 11. Метод проб и ошибок показывает, что решения нет, и поэтому (X,Y)=(4,2)(X,Y) = (4,2) (X,Y)=(4,2) не может быть решением.

Если (X,Y)=(5,1)(X,Y) = (5,1) (X,Y)=(5,1), то Z−(X÷Y)=1⇒Z=6Z – (X\div Y) = 1 \Стрелка вправо Z = 6 Z−(X÷Y)=1⇒Z=6. Но поскольку ZZZ должно быть целым числом от 1 до 5 включительно, (X,Y)=(5,1)(X,Y) = (5,1) (X,Y)=(5,1) не может быть решением .

Если (X,Y)=(4,1)(X,Y) = (4,1) (X,Y)=(4,1), то Z−(X÷Y)=1⇒Z=5Z – (X\div Y) = 1 \Стрелка вправо Z = 5 Z−(X÷Y)=1⇒Z=5. Таким образом, два неиспользуемых целых числа — это 2 и 3, которые должны удовлетворять уравнению 0+4×0=11 \boxed{\phantom0} + \boxed4 \times \boxed{\phantom0} = 11 0​+4​×0​= 11. Метод проб и ошибок показывает, что 3+4×2=11 \boxed{3} + \boxed4 \times \boxed{2} = 11 3​+4​×2​=11, и, следовательно, (X,Y)=(4 ,1)(X,Y) = (4,1) (X,Y)=(4,1) может быть решением.

Если (X,Y)=(3,1)(X,Y) = (3,1) (X,Y)=(3,1), то Z−(X÷Y)=1⇒Z=4Z – (X\div Y) = 1 \Стрелка вправо Z = 4 Z−(X÷Y)=1⇒Z=4. Таким образом, два неиспользуемых целых числа — это 2 и 5, которые должны удовлетворять уравнению 0+3×0=11 \boxed{\phantom0} + \boxed3 \times \boxed{\phantom0} = 11 0​+3​×0​= 11. Метод проб и ошибок показывает, что 5+3×2=11 \boxed{5} + \boxed3 \times \boxed{2} = 11 5​+3​×2​=11, и, следовательно, (X,Y)=(3 ,1)(X,Y) = (3,1) (X,Y)=(3,1) может быть решением.

Если (X,Y)=(2,1)(X,Y) = (2,1) (X,Y)=(2,1), то Z−(X÷Y)=1⇒Z=3Z – (X\div Y) = 1 \Стрелка вправо Z = 3 Z−(X÷Y)=1⇒Z=3. Таким образом, два неиспользуемых целых числа — это 4 и 5, которые должны удовлетворять уравнению 0+4×0=11 \boxed{\phantom0} + \boxed4 \times \boxed{\phantom0} = 11 0​+4​×0​= 11. Метод проб и ошибок показывает, что решения нет, и поэтому (X,Y)=(2,1)(X,Y) = (2,1) (X,Y)=(2,1) не может быть решением.

Следовательно, существует два решения, а именно

4−5+3×2=11and÷1=15−3+4×2=11.÷1=1 \large{\begin{array}{ccccccc} & & \boxed4 & & & & \\ & & – & & & & \\ \boxed5 &+& \boxed3 & \times &\boxed2 & = & 11 \quad \quad \text{and} \quad \quad \\ & & \дел & & & & \\ & & \в коробке 1 & & & & \\ “=” & & 1 & & & & \\ \конец{массив}} \ большой {\ начать {массив} {ccccccc} & & \boxed5 & & & & \\ & & – & & & & \\ \boxed3 &+& \boxed4 & \times &\boxed2 & = & 11. \\ & & \дел & & & & \\ & & \в коробке 1 & & & & \\ “=” & & 1 & & & & \\ \конец{массив}} 5​+​4​−3​÷1​=1​×​2​​=​11и​3​​+​5​−4​÷1​=1​×​2​​=​11.

Хотя приведенный выше пример требует больше работы, мы все же можем решить его разумным образом! Готовы ли вы попробовать еще один пример с массивом уравнений?

Используя цифры от 1 до 9 без повторения, заполните числовую сетку выше. Чему равно произведение чисел в четырех углах?

Примечание: Порядок расчета этой сетки: слева направо/сверху вниз в отличие от обычный порядок действий. Например, 1+2×3=(1+2)×3=9,1+2\умножить на 3 = (1+2)\умножить на 3=9,1+2×3=(1+2)×3=9.

Вопросы, связанные с максимизацией/минимизацией значения выражения, являются одними из самых распространенных и интересных задач в занимательной математике. Хотя для головоломок такого типа нет фиксированного правила, обычно чаще всего используются три типа техники, как показано ниже.

Техника	Краткое описание
1) Метод проб и ошибок	Этот метод практически не нуждается в представлении. По сути, мы перечисляем все возможные сценарии и проверяем, удовлетворяет ли каждый из них ограничению.
2) Использование свойств бинарных операций	Нет необходимости проверять все случаи, когда свойство коммутативности, свойство ассоциативности и свойство идемпотентности могут показать нам те же самые случаи.
3) Определение экстремальных точек	Хотя этот метод варьируется от случая к случаю, он, по сути, сводится к выяснению того, какие числа помещаются в какую ячейку, чтобы результирующее число было минимизировано/максимально.

Давайте рассмотрим следующие примеры, в которых применяются эти методы:

□ × □ + □ × □ \ большой {\ квадратный \ раз \ квадратный + \ квадратный \ раз \ квадратный} □ × □ + □ × □

Заполните поля всеми целыми числами 1, 2, 3 и 4 так, чтобы значение выражения было как можно больше.

---

Чтобы решить эту проблему, мы можем применить (1) Метод проб и ошибок , чтобы найти все возможные перестановки чисел в уравнении, а затем определить наибольшее значение среди них. Однако, поскольку всего имеется 4!=244!=244!=24 случая, этот метод может быть утомительным.

Заметив, что приведенное выше выражение представляет собой сумму умножений между двумя парами чисел, мы можем применить (2) Использование свойств бинарных операций : поскольку a×b=b×aa\times b = b\times aa× b=b×a обладает коммутативным свойством, нам не нужно перечислять все 24 случая. Теперь давайте начнем.

Пусть a,b,ca,b,ca,b,c и ddd обозначают числа, обозначающие блоки в указанном порядке, т. е. ab+cdab + cd ab+cd. Без ограничения общности можно считать, что a

• Если b=2b = 2b=2, то c=3c = 3c=3 и d=4d = 4d=4, поэтому мы имеем 1×2+3×4=14 \boxed { 1 } \times \boxed { 2 } +\boxed { 3 } \times \boxed { 4 } =141​×2​+3​×4​=14.
• Если b=3b = 3b=3, то c=2c = 2c=2 и d=4d = 4d=4, поэтому мы имеем 1×3+2×4=11 \boxed { 1 } \times \boxed { 3 } +\boxed { 2 } \times \boxed { 4 } =11 1​×3​+2​×4​=11.
• Если b=4b = 4b=4, то c=2c = 2c=2 и d=3d = 3d=3, поэтому мы имеем 1×4+2×3=10 \boxed { 1 } \times \boxed { 4 } +\boxed { 2 } \times \boxed { 3 } =10 1​×4​+2​×3​=10.

Поскольку мы использовали все комбинации чисел, мы можем быть уверены, что наибольшее возможное значение выражения равно 14:

1×2+3×4=14. \boxed { 1 } \times \boxed { 2 } +\boxed { 3 } \times \boxed { 4 } =14,1​×2​+3​×4​=14. 9\квадрат}}}□□□□

Заполните поля всеми целыми числами 1, 2, 3 и 4 так, чтобы значение выражения было как можно меньше.

---

Как и в предыдущем примере, мы можем применить (1) Метод проб и ошибок . Однако, поскольку всего имеется 4!=244!=244!=24 случая, этот метод снова может быть утомительным.

Поскольку функция тетрации не является ни коммутативной, ни ассоциативной и не имеет элемента идентичности, мы не можем применить (2) Использование свойств бинарных операций 9\квадрат}}}□□□□

Если мы допустим x=1x=1x=1, то для любой степени степени ответ всегда будет 1.
Но если мы допустим x=2,3x = 2,3x=2,3 или 444, то для любой степени степени power выражение всегда будет больше 11 1.
Таким образом, поскольку мы хотим минимизировать результирующее число, xxx должно быть равно 1.

Теперь, поскольку xxx, возведенное в степень любого конечного числа, дает 1, не имеет значения, как мы расположим оставшиеся числа (2,3,4). (2, 3, 4).(2,3,4). Таким образом, имеется 6 решений, а именно 93=24,23+23+23=24.

См. часть 1 и часть 3.

В этом разделе мы будем применять некоторые свойства простого деления в большую сторону. Если вы не знакомы с этой концепцией, сначала ознакомьтесь с основной статьей, длинным разделом.

Есть несколько повторяющихся методов, которые появляются при заполнении пробелов в длинном делении. Хотя некоторые методы более популярны, чем другие, всегда лучше использовать самый простой метод. Вот список некоторых из наиболее известных методов:

Метод	Краткое описание
1) Преобразование длинного деления в уравнение	Читателям более привычно преобразовывать длинное деление в уравнение.
2) Исключение по диапазону	Определите, какие числа сразу дают абсурдный результат.
3) Связывание	Связывание отношений между двумя или более пробелами.
4) Проверка на делимость	Если вам даны числа под делимым, вы знаете, что делитель должен его разделить, поэтому исключите те, на которые делитель не делится.
5) Метод проб и ошибок	Делайте это только после того, как вы считаете, что с помощью вышеуказанных методов вы максимально уменьшили количество. Это перечислит все оставшиеся комбинации, и попробуйте каждую из них, пока не получите ответ. Рекомендуется выполнять это только в качестве последнего шага/средства.

Давайте применим эти методы в следующем примере:

Найдите любую возможную сумму всех пропущенных цифр, которая удовлетворяет указанному выше делению в большую сторону.

---

Применим сначала (1) Преобразование деления в длинное в уравнение :

Обозначим XXX как частное деления в большую сторону и обозначим YYY как цифру единиц делимого.

Тогда у нас есть 9X+2=20+Y9X + 2 = 20 + Y 9X+2=20+Y, где XXX и YYY — однозначные неотрицательные целые числа.
При упрощении получаем 9X=18+Y 9X = 18 + Y 9X=18+Y.

Поскольку XXX — однозначное целое число, 9X9X9X делится на 9.
Таким образом, мы применяем (4) Проверка делимости : 18+Y18+ Y18+Y также должно делиться на 9.
Так как 0≤Y≤90\leq Y\leq9 0≤Y≤9, то Y=0Y= 0Y=0 или Y=9Y = 9Y=9 только.

Если Y=0Y = 0 Y=0, то 9X=20+Y=20+0⇒X=29X = 20 + Y = 20 + 0 \Стрелка вправо X = 2 9X=20+Y=20+0⇒X= 2.
Если Y=9Y = 9 Y=9, то 9X=20+7=27⇒X=39X = 20 + 7 = 27 \Стрелка вправо X = 3 9Х=20+7=27⇒Х=3.
Итак, у нас есть два возможных длинных деления:

Теперь мы можем заполнить два поля внизу: 9×2=189\times2 = 189×2=18 и 9×3=279\times 3 = 27 9×3=27.

Таким образом, возможные суммы всех пропущенных чисел равны 2+0+1+8=112+0+1+8=112+0+1+8=11 и 3+9+2+7=213+9+ 2 + 7 = 21 3+9+2+7=21. □_\квадрат□​

Считаете ли вы, что большее длинное деление усложняет задачу? Давайте посмотрим на эту немного более сложную задачу:

Заполните длинное деление ниже, где каждый пробел представляет однозначное положительное целое число.

---

Начнем снизу, потому что это единственное место, где даются целые числа.

Применяем (1) Преобразование длинного деления в уравнение : Между 13 и двузначным целым числом над ним разница равна 3. Таким образом, двузначное целое число равно 13+3=16,13 + 3= 16,13+ 3=16, что означает, что цифра единиц трехзначного делимого должна быть 6.

Далее обратите внимание, что для полей, выделенных ниже в длинном делении слева, мы применяем (3) Связывание: у нас есть □ □×□=1 3\color{#20A900}{ \square \, \square \times \ квадрат = \в коробках{1} \, \в коробках{3}} □□×□=1​3​. Поскольку 131313 — простое число, решение должно быть только 13×1=1313 \times1 = 13 13×1=13. Таким образом, мы можем заполнить соответствующие поля, как показано в длинном разделе справа.

Теперь осталось найти оставшиеся 4 пропущенные цифры. Преобразование соответствующих недостающих частей в уравнение дает 13 ×   □ + 1 = 50 + □ 13 \ раз \, \ квадрат + 1 = 50 + \ квадрат 13 × □ + 1 = 50 + □. Чтобы избежать путаницы, давайте перепишем это проще: 13X+1=50+Y, 13X+1=50+Y, 13X+1=50+Y, где XXX и YYY — однозначные неотрицательные целые числа. При упрощении получаем 13X=49+Y13X=49+Y 13X=49+Y. Согласно (4) Проверка на делимость , 49+Y49 + Y49+Y должны делиться на 13, что подразумевает Y=2Y = 2 только Y=2 и, таким образом, X=4X = 4 X=4. Следовательно, мы можем завершить длинное деление следующим образом:

Вы заметили, что мы вообще не использовали (5) Проб и ошибок ? Именно потому, что в этом не было необходимости. Мы должны применять его только после того, как исчерпали все наши усилия.

Теперь, когда вы научились решать арифметические задачи на деление в длину, попробуйте некоторые из них, созданные нашим сообществом!

4 3 2 1

Выше показано длинное деление между двумя целыми числами, причем последний квадрат внизу представляет ненулевой остаток от частного. Каждая ячейка представляет собой различных однозначных положительных целых чисел.

Из всех возможных решений есть только 1 возможное значение для остатка от этого длинного деления. Что это такое?

Выше показано длинное деление между двумя целыми числами, причем последний квадрат внизу представляет остаток от частного. Каждая ячейка представляет собой однозначное неотрицательное целое число.

Какова сумма всех пропущенных чисел?

Да, возможно Нет, это невозможно

Выше показано деление в длинную сторону, где делитель строго больше остатка, а частное представляет собой однозначное число.

Можно ли заполнить каждое поле отдельной неотрицательной одиночной цифрой?

---

Вдохновение.

• Арифметические головоломки – поиск оператора

• длинное деление Фейнмана

• Криптограмма

Цитировать как: Арифметические головоломки – Заполните пробелы. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/arithmetic-puzzles-fill-in-the-blanks/

математических головоломок, чтобы скоротать время |

Пожалуй, ничто так не портит вид на горы, как рассказ о человеке с лисой, гусем и мешком бобов.

В этом мире есть два типа людей: те, кто может только лгать, и те, кто может говорить только правду.

Вы могли бы узнать это как вводную часть многих задач о рыцарях и лжецах. Это классические логические головоломки, которыми я люблю мучить своих братьев и сестер каждое лето, когда мы ходим в походы. Что подводит меня к моей истинной точке зрения. В этом мире есть два типа людей: те, кто любит математические загадки, и те, кто их презирает.

К сожалению, мои братья и сестры относятся ко второму лагерю, но я надеюсь, что вы относитесь к первому.

Что делает математические головоломки такими заманчивыми, так это приятное сочетание элементарной математики и логики. Есть такие, которые требуют некоторого знания математики, например, знания геометрии или грамотного использования арифметики. И есть другие, которые просто требуют некоторой логики. Мне всегда нравится смотреть, как математики решают оба типа задач.

Недавно посетитель задал мне проблему с глазурью для торта. У вас есть праздничный торт со льдом, вы отрезаете кусок размером Θ (это центральный угол куска, как вы обычно разрезаете торт), переворачиваете его вверх дном и кладете обратно в торт. Если вы продолжите движение в одном направлении, отрезая и переворачивая кусочки размера Θ, вся глазурь когда-нибудь снова окажется наверху? Будет ли это когда-нибудь все на дне? Для определенных значений Θ ответ очевиден, но можете ли вы сказать что-то общее? Project Euler также предлагает несколько более сложную модификацию головоломки с тортом на день рождения.

Настоящей сокровищницей головоломок является Varsity Math, серия, совместно организованная блогами Wall Street Journal и Национальным музеем математики. Каждую неделю появляется новая пара проблем с решениями на следующей неделе. На прошлой неделе был особенно забавный рассказ о площадях квадратов, вписанных в квадраты.

Немного менее очевидная по своей математической природе, но не менее увлекательная, Popular Mechanics также проводит загадку недели. Задачей этой недели была задача о 7 зажженных свечах, расположенных по кругу. Если вы подуете на одну свечу, это изменит состояние двух соседних свечей (зажженная станет не зажженной, а незажженная станет зажженной). За какое минимальное количество ходов нужно погасить каждую свечу? Решение довольно простое и не требует глубоких математических знаний, но над ним приятно подумать.

Алекс Беллос, который публикует свою загадку по понедельникам каждые две недели, также написал о недавнем популярном интернет-меме, математической задаче для 5-летнего ребенка, которая ставит в тупик Интернет. Беллос пишет, что эти проблемы иногда интересны, но часто полностью искажены и неразрешимы. Он знакомит нас с одной конкретной вирусной проблемой, возникшей ранее в этом месяце.

Пока вы идете и наслаждаетесь этими головоломками, один совет: если вы поднимаетесь в гору со смешанной группой и чувствуете себя обязанным задать вопрос об глазури для торта, я рекомендую вам держаться подальше от края.