Задачи на умножение 3 класс решение что первым множителем а что вторым: О проблемах перестановки множителей в младшей школе: oshanbo — LiveJournal

О проблемах перестановки множителей в младшей школе: oshanbo — LiveJournal

Сразу говорю, что этот пост, во-первых, просто мои размышления над прочитанным, а во-вторых, он не столько о математике, сколько о философии и психологии что ли. И еще – то что я объяснить попытаюсь, я буду объяснять взрослым, которые не понимают этих проблем с некоммутативностью умножения, в первую очередь себе, а не детям-второклассникам.

Вообще вопрос о перемене мест множителей при обучении начальной школы возникает очень часто. Последнее время так мне регулярно попадаются обсуждения о том, что учителя запрещают менять порядок множителей при решении текстовых задач, снижают за это оценки. Последнее, чо мне попалось – это вот эта статья в Дзене:

https://zen.yandex.ru/media/begomvshkolu/ot-peremeny-mest-mnojitelei-proizvedenie-ne-meniaetsia-5c8f8359fbd60d00b4cff879

Внимание, задача!

Мама разложила по 3 сырника своим детям Тане и Ване на 2 тарелки. Сколько всего сырников получили на завтрак дети?

И дальше рассуждения из статьи, очень большая цитата, но не все пойдут по ссылке, а эти рассуждения разобрать надо!

Для этого нам нужно умножить тарелки на сырники. Или сырники на тарелки. Вы скажете — «какая разница? ведь от перемены мест множителей произведение не меняется!»
Но, 9 учителей начальной школы из 10 снизят оценку, если ребенок запишет в тетради:
2 х 3 = 6
Почему? Ведь задача решена правильно. Оказывается, с точки зрения учителя начальной школы, нет. Чтобы получить искомые сырники в ответе нужно начинать умножать именно с них, и никак иначе. То есть, правильная запись решения этой задачи выглядит так:
3 (сырника) х 2 (тарелки) = 6 (сырников).
В чем смысл? Если буквально через несколько страниц учебника дети учат правило о том:
Что от перемены мест множителей произведение не меняется.
Однако, применяют это правило только при решении примеров. В задачах правило «первого места» для искомого предмета остается нерушимым, а если ученик его забывает, это считается грубой ошибкой.
…
Учителя, в свою, очередь, ссылаются на необходимость объяснить детям, что если они будут умножать сырники на тарелки, то получат сырники. А если тарелки на сырники, то, увы, тарелки. </i>

Здесь (с моей точки зрения, конечно) есть очень грубая ошибка, но зато можно попытаться понять, почему все это городится.

Как видно из приведенного поста, проблема возникает только в текстовых задачах, в примере можно переставлять множители сколько угодно. А что такого появляется в текстовых задачах, чего нет в примерах? Как заметила в комментарии к моему небольшому предварительному посту rusia_12c – физический объект. Или, если это перевести для тех, кто успел закончить школу и даже институт – размерность.

Тут, КМК, надо рассмотреть, как вводится в школе умножения, а также какие задачи решают дети на самом первом этапе постижения этого действия. Пойдем по очереди

1. Откуда вообще проблема возникает. Представим себе, что мы вообще не знаем умножения. Не проходили еще. Можем ли мы решить эту задачу? Конечно. С помощью сложения. Надо взять три сырника с одной тарелки и прибавить к ним три сырника с другой тарелки. То есть правильное решение это:
3 сырника + 3 сырника = 6 сырников
Ура, мы получили ответ. Если лень писать слово «сырники» то можно написать
3+3 = 6
А вот если мы напишем
2+2+2 = 6
То ответ-то мы правильный получим, но способ решения справедливо вызовет недоумение – это с чего это мы так стали складывать? Кажется, что-то такое начинает брезжить во мгле.

2. Современных учебников для второго класса у меня под рукой нет, но в сети нашел выложенную книжку «Руководство к арифметике» Бугаева, аж 1898 года. Но это даже интереснее

http://maths-public.ru/arithmetic/multiplication

Опять очень длинная цитата, но жутко интересная!

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.
Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.
Умножение есть сложение равных слагаемых.
Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.
В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.
Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.
Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.
Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.
Множимое и множитель вместе называются производителями.

Блин, а я и вообще не встречал такого слово «производитель» (то есть, в таком контексте не встречал)! Всегда встречал только «множитель»!

Но что важно, в таком определении умножения два участника умножения различаются по своей сути. Один является множимым – то что умножают, а второй – множителем, то на что умножают. Примерно как делимое и делитель. И тут надо посмотреть на текстовые задачи, что же все-таки приходится решать детям.

2. А задачи на умножение им придется решать в одно действие (ну, в самом начале-то!). При этом умножать надо будет как раз что-то, что является физическим объектом, множимым из приведенного определения, и что безусловно имеет какую-то размерность. На что-то, что физически никакой размерности не имеет, а обозначает просто сколько раз берется одинаковое слагаемое, тот самый множитель (в понимании учебника Бугаева 1898 года).
Для нашей главной задачи множимым будут три сырника, а множителем 2. Просто 2. 2 раза. В итоге решение должно выглядеть вот так:
3 сырника * 2 = 6 сырников
А умножать 2 тарелки на 3 – неправильно, потому что тогда действительно получатся 6 тарелок!
И ученик при решении задачи должен понять, что речь в задаче идет о сырниках. Что в ответе должны получиться именно сырники. А тарелки тут так, для антуражу. Мама могла с таким же успехом разложить детям сырники по чашечкам, в ладошки ссыпать, по карманам распихать, да просто в рот засунуть. Все равно придется 3 сырника умножать на 2.
И это тоже непросто поначалу понимать, находить в текстовой запутанной задаче. И этому надо учиться. И тренироваться.

Вроде бы школьники будут решать такие простые задачи довольно долго. По-моему, только в конце четвертого класса появятся задачи на движение, с их километрами в час и прочим, (а еще метры в рулоне, вот!) то есть там уже обе величины в умножении будут иметь какую-то размерность. Но тогда и определение умножения как-то измениться должно, там же и дроби когда-нибудь появятся, то есть числа перестанут быть целыми…

3. И вот тут и встает вопрос, который и является ключевым для решения проблемы порядка множителей в начальной школе:
А почему в начальной школе требуют писать множимое на первом месте?
То есть, почему надо писать 3 сырника * 2, но нельзя писать 2 * на 3 сырника? В конце концов, потом ведь безразмерный коэффициент всегда будут писать в начале выражения, вспомните хотя бы многочлены какие-то? И как в комментах к статье писали – какая разница – взять три сырника дважды или взять дважды три сырника?
У меня нет на него ответа. Я думаю, что тут ответ будет скорее исторический какой-нибудь. Что-то типа, вот в старых учебниках множимое на первом месте писали, первым определение давали, а потом уж определение множителя, вот так и повелось. Ну, или по аналогии с делимым и делителем. Их, конечно, менять местами совсем нельзя, ну, до тех пор, пока не начнешь их воспринимать как те же множители…
А дальше все уже забыли о причине, а просто затвердили, что вот на первом месте пиши и все. И, похоже, сами учителя не очень понимают сути того, чему учат, потому что в той же статье в Дзене, на которую я сослался вначале, и цитату из которой приводил, есть грубейшая ошибка, за которую впору сразу двойку ставить.

4. Ошибка для меня заключается вот в этой записи из статьи:

3 (сырника) х 2 (тарелки) = 6 (сырников)

У нас не шесть сырников получится, а 6 сырникотарелок. Ну, или тарелкосырников. Я не очень могу представить, что это такое, но это опять-таки приколы размерности.
В будущем, в смысле, в старших классах, размерности станут одним из важных способов проверки – а правильно ли составлено уравнение? Да даже уже в четвертом классе это помогает, потому что если у тебя есть путь в км и время в ч, то для того чтобы получить скорость в км/ч делить надо! (Проверено!)
Но и в таком простом примере с сырниками это действует. Если справа у тебя только сырники, то и слева у тебя должны быть только сырники, и никаких тарелок! А если уж так хочется поумножать на тарелки, то слева сырники должны исчезнуть и замениться на величину «сырники на тарелку», сырник/тарелка. Это не что иное как плотность сырников в пространстве тарелок. Тарелка становится мерой объема, а сырники, которые получатся в результате – мерой массы. Запись должна выглядеть так

3 сырника/тарелка * 2 тарелки = 6 сырников

Тарелки сократятся, справа и слева размерность будет одинаковой, все правильно. Вот разве что методологически такой подход для второго класса – это слишком. Поэтому остается единственный вариант (в двух вариантах 🙂 )

3 сырника * 2 = 6 сырников
Или
2 * 3 сырника = 6 сырников

Можно, конечно, говорить, что и это слишком сложно… Но…
Во-первых, для новичков-малышей упрощать можно и нужно, но упрощение не должно приходить в противоречие с собственно математикой.
И во-вторых. Тарелки на сырники умножают не второклассники, а вроде как окончившие не только школу, но и институт (наверное) люди. Что говорит о том, что они не понимают сути задач, сути умножения. И вообще как-то грустно становится.

5. А что же делать?
По мне – так писать размерности в решении и справа и слева от знака равенства. Кстати, смутно вспоминаю, что в моем детстве нас так и заставляли делать.
За умножение сырников на тарелки снижать балл.
За простое как 3*2 так и 2*3 можно тоже снижать балл, просто за леность, раз уж поленился написать волшебное слово «сырник».
Да, нужно понять, что «тарелки» тут ни при чем, это сложно, но именно это и является целью обучения при решении текстовых задач. А иначе… Не, ну уж не надо держать детей сосем за идиотов. Задача на умножение, в задаче всего два числа, так что же с ними надо сделать? Они перемножат и – вау! – результат совпадет с ответом! Перемножат совершенно не вчитываясь в условия.
Но мы не знание таблицы умножения тут проверяем. На самом деле тут начинается правильное составление уравнений, то, что потом – в значительно более сложных вариантах – придется делать и в старшей школе, и в вузе, а кому-то и на работе.
Да это сложно. Но от этого нельзя избавиться, потому что это умение и есть в данном случае цель обучения. А не – повторюсь – знание таблицы умножения.

6. Ну, и просто некоторые замечания.
Понятно, почему нет таких проблем со сложением и перестановкой слагаемых. Как мне помнится, почти сразу всем объясняют главное правило арифметики: нельзя складывать яблоки с апельсинами! Никаких тебе проблем с размерностями, слагаемые совершенно равноправны…
А задачу с сырниками я бы немного развил для лучшего понимания.
Мама положила своим двум детям по три сырника на две тарелки, потом подумала и положила им еще по три сырника в две кастрюльки, потом подумала и спрятала три сырника в сервант. Потом нашла три подушки и под каждую положила по три сырника. А потом за ней приехала скорая психиатрическая помощь.
Тут прежде чем умножать надо сложить. Но как же так, ведь нельзя же складывать яблоки с апельсинами, а тут придется складывать тарелки с кастрюльками, сервантом и подушками? Нет не придется, потому что мы тут складываем не тарелки и подушки, а количество раз, которые мама раскладывала сырники. А потом уже эти разы (безразмерные) умножаем на три сырника. (Или три сырника умножаем на них, тут уже разницы нет)
Как-то так.

И в качестве заключения. На самом деле абсолютно все, что я тут написал есть в обсуждении к приведенной в начале моего повествования статье в Дзене. Разве что ссылки на учебник 1898 года нет. Я только все это собрал и немного систематизировал. Потому что какой-то маразм, что возникают споры о программе ВТОРОГО класса, которую вроде как все освоили, но вот никак не могут сообразить в чем проблема.

Не претендую ни на какую истинность, это все просто для себя написано, все это банально и совершенно неправильно, так что готов к полному разгрому. Ну и фиг с ним. Мне больше детей не учить, да и раньше не учил.

Восстановление чисел при умножении и делении

Умножение и деление
1. Таким же способом восстановите первоначальную запись в следующих примерах на умножение, рассматривая вначале выполняемое при этом сложение:

Решение:

 а) Ответ: 43×57 = 2451.

Легко заметить, что цифра единиц первого неполного произведения, то есть числа, стоящего в 3-ей строке, равна 1 (так как у произведения в разряде единиц стоит цифра 1), а цифра десятков этого числа равна 0, так как при сложении этой цифры с 5 получаем 5. Поэтому первый множитель равен 43 = 301 : 7. Цифра сотен числа, стоящего в 5-ой строке, равна 4, а цифра сотен числа, стоящего в 4-ой строке, равна 2 (так как при сложении замеченных цифр предыдущего разряда не было). Поэтому первая цифра второго множителя равна 5 (215 : 43 = 5).

б) Ответ: 358 х 48 = 17184.

Последняя цифра произведения равна 4. Последняя цифра числа, стоящего в 4-ой строке, равна 2 (6 + 2 = 8). Цифра сотен числа, стоящего в 3-ей строке, равна 8 (3 + 8 = 11). Цифра сотен числа, стоящего в 4-ой строке, равна 4 (2 + 4 = 6 и одна единица этого разряда была замечена). Тогда первая цифра числа, стоящего в 5-ой строке, равна 1. Таким образом, первый множитель равен 358 (2864 : 8 = 358), а первая цифра второго множителя равна 4 (1432 : 358 = = 4), то есть второй множитель равен 48.

в)    Ответ: 452 х 125 = 56500.

Цифра единиц числа, стоящего в 3-ей строке, равна 0 – она сносится при сложении. Цифра единиц числа, стоящего в 4-ой строке, равна 4 (6 + 4 = 10). Цифра сотен числа, стоящего в 6-ой строке, равна 5 (2+ 0 + 2 = 4 плюс замеченная единица этого разряда). Цифра десятков числа, стоящего в 5-ой строке, равна 5 (2 + 9 + 5 = 16), цифра же сотен числа этой строки равна 4, так как при сложении добавляется замеченная единица этого разряда. Таким образом, первый сомножитель равен 452 (452 : 1 = 452), тогда цифра единиц второго сомножителя равна 5 (2260 : : 452 = 5), а цифра десятков второго сомножителя равна 2 (904 : 452 = 2).

г)    Ответ: 254 х 237 = 60198.

Цифра единиц числа, стоящего в 3-ей строке, равна 8 (она сносится при сложении). Цифра десятков этого числа равна 7(7 + 2 = 9). Цифра сотен числа, стоящего в 6-ой строке, равна 1 (7 + 6 + 8 = 21). Цифра сотен числа, стоящего в 4-ой строке, равна 7, так как две единицы этого разряда были замечены и1 + 7 + 0 = 8. Цифра же сотен числа, стоящего в 5-ой строке равна 5, так как при сложении добавляется замеченная единица этого разряда. Таким образом, первый сомножитель равен 254 (762 : 3 = 254), тогда цифра единиц второго сомножителя равна 7 (1778 : 254 = 7), а цифра сотен второго сомножителя равна 2 (508 : 254 = 2).

д)    Ответ: 4503 х 367 = 1652601.

Цифра единиц числа, стоящего в 3-ей строке, равна 1 (она сносится при сложении). Цифра десятков этого числа равна 2 (8 + 2 = 10). Цифра сотен этого числа равна 5 (5+ 1 + 9 = 15 плюс одна замеченная единица этого разряда), а цифра тысяч этого числа равна 1, так как одна единица этого разряда была замечена и 1 + 0 + 0 = = 1. Наконец первая цифра этого числа равна 3, так как 3 + 7 + 5 = 15. Таким образом, первый сомножитель равен 4503 (31521 : 7 = 4503). Цифра десятков второго сомножителя равна 6, поскольку при умножении этой цифры на 3 произведение должно заканчиваться на 8. Поэтому число в 4-ой строке равно 27018 (27018 = 4503 х х 6). Цифра сотен второго сомножителя равна 3, ибо только при умножении 3 на 3 произведение заканчивается на 9. Число, стоящее в 5-ой строке, равно (13509 = 4503 х 3).

е)    Ответ: 6547 х 3208 = 21002776.

Из вида записи следует, что цифра десятков второго сомножителя равна 0. Цифра сотен числа в 6-ой строке 7(3 + 4 = 7). Цифра десятков числа в 4-ой строке равна 9, так как 2 + 9 + 1 = 12, а цифра сотен этого числа равна 0, так как 5 + 0 + + 4 = 9 и одна единица этого разряда была замечена. Цифра тысяч числа в 4-ой строке равна 3, так как 3 + 6 = 9 и одна единица этого разряда была замечена, а цифра десятков тысяч этого числа равна 1, так как 1 + 9 = 10 и одна единица этого разряда была замечена. Таким образом, первый сомножитель равен 6547 (13094 : 2 = = 6547). Цифра тысяч второго сомножителя равна 3, ибо при умножении этой цифры на 7 произведение должно заканчиваться на 1. Поэтому число в 5-ой строке равно 19641 (19641 = 6547 х х 3). Чтобы восстановить последнюю цифру второго сомножителя, рассмотрим число, стоящее в 3-ей строке. Это число имеет вид 523**, и, следовательно оно не менее 52300 и не более 52399. Поскольку 52300 : 6547 = 7 (остаток 6471) и 52399 : 6547 = 8 (остаток 23), то последняя цифра второго сомножителя больше 7 и не больше 8, то есть она равна 8. Итак, первый сомножитель равен 6547, а второй – 3208. Остальные пропущенные цифры теперь восстанавливаются легко.

Цифровые карточки с заданиями для Google Multiplication Missing Factors

Цифровые карточки с самопроверкой — отличный способ помочь вашим учащимся учиться и практиковать свои навыки. Этот набор фокусируется на умножении, давая один множитель и произведение. Студенты должны выбрать другой правильный фактор из 4 вариантов. В этой колоде представлены вопросы с несколькими вариантами ответов.

Подготовка к экзамену для 3-го класса

Соответствует стандартам для 3-го класса

В комплект входит:

-30 карточек для самостоятельной проверки (2 версии)

-Указания по использованию/настройке

Используйте эти карточки с заданиями для независимого просмотра или в качестве основного занятия. Используйте для обзора всего класса, проецируя для класса. Студенты взаимодействуют со слайдами Google с помощью текстовых полей.

2 версии:

1. Цифровые карточки с заданиями: запишите свой ответ – Учащиеся будут решать задачи и записывать свои ответы в текстовое поле путем перемещения/перетаскивания/бросания. Вы можете попросить учащихся «сдать» или «поделиться» своей работой с вами, чтобы проверить, когда они закончат.

2. Цифровые карточки с заданиями: Самопроверка – Учащиеся будут решать задачи самостоятельно, а затем сами немедленно проверят свою работу, перемещая рисунок поверх правильного ответа.

Альтернативная идея :

Весь класс Повторение . Используйте это задание для повторения всей группой,

проецируя карточки на доску и предлагая учащимся ответить на бумаге

или на белой доске.

Навыки включены:

-Факты умножения

-Выберите недостающий множитель

НЕ печатать, не ламинировать и не резать!

Используется для:

• Математическая практика для всего класса

• Время математического центра

• Инструктаж для небольшой группы под руководством учителя

• Домашняя практика

• Самостоятельная практика

• Также доступны в виде карточек

3 для учащихся

3

Математика

Вычисление площади

Вычисление периметра

Умножение 0, 1, 2, 5, 10

Умножение с использованием повторного сложения

Умножение с отсутствующими коэффициентами

Умножение Какое уравнение?

Раздел Какое уравнение?

Недостающие делители деления

Умножение и деление

Решение задач на умножение и деление

Набор умножения и деления

Геометрия: определение многоугольников

Геометрия: многоугольники, четырехугольники и параллелограммы

Умножение и дивизионные факты семей Семейства

Меню MATH с добавлением математики без перегруппировки

MENU MEMATION ADDICE с перегрупкой

Время до ближайшей минутной загадочной головоломки

Фракции
Врастали на фракции

Фракции NAMING

. Дроби без знаменателей

Дроби без числителей и знаменателей

Практика работы с дробями

Дроби в числовой строке

Сопоставление дробей

Соответствие карт дробей 3

Разбиение числовой строки на дроби

Дроби Точки на числовой строке

Решение задач на дроби: часть набора

Решение задач на дроби: часть от 0 до 3 целого 90 Одно целое

Дроби, равные одной половине

Связка дробей

Задачи на рассказы о дробях

Сравнение дробей с картинками

Сравнение дробей с единицей в числителе

Сравнение фракций с тем же знаменателем (нет изображений)

Сравнение фракций с тем же знаменателем (с изображениями)

График

Графики

Графики 2

Графики

Пиктограф

Line Plots

Графики

Line Plots

Графики

Line

Графики

Line

Графики Обзор

Графический пакет

Округление

Округление до ближайших 10

Округление до ближайших 10 (3 цифры)

Округление до ближайших 10 (выберите несколько правильных ответов)

Округление до ближайших 100

Округление до ближайших 100 (4 цифры)

Округление до ближайших 100 (выберите несколько правильных ответов)

Пакет округления

ELA

90 Прилагательные 3, Глаголы, Грамматика: Существительные

Черты характера

Особенности документального текста (пингвины)

Разделение массивов

Автор: 

Джен Вибер

В этом исследовательском задании для 1-4 классов учащиеся будут применять разделы по распределению свойств.

Разбиение массивов на части — еще одна эффективная стратегия для учащихся, изучающих умножение, и помогает моделировать распределительное свойство. Например: учащиеся обычно изучают свои двойки и пятерки раньше, чем большие таблицы умножения, поэтому, сталкиваясь с такой проблемой, как 6 X 7, учащиеся вместо этого могут рассматривать 7 как (5 + 2). Например: 6 X (5+2) ИЛИ (6 X 2) + (6 X 5) = 12 + 30 = 42.  

Также важно, чтобы учащиеся знали, что могут разбить задачу на умножение (массив) по порядку. чтобы упростить решение проблемы.

• Вы можете начать с того, что задайте учащимся простой вопрос, развлеките ответы и открыто обсудите их всем классом или в небольших группах.
• Отобразите массив 6X6, чтобы его могли видеть все учащиеся. Вы можете сделать это, нарисовав это на доске, раздав фишки или лего, и учащиеся сформируют их, или дайте учащимся миллиметровку и попросите их сделать набросок.
• Затем я задавал студентам следующий вопрос:  Как можно представить эту проблему по-другому, но при этом прийти к тому же ответу? Это может быть очень ценным временем для группового обсуждения и совместной работы! Сейчас самое время показать вашим учащимся следующую модель, показанную ниже, и убедиться, что учащиеся знают, что это только одно из многих возможных решений. Если учащиеся более независимы или если вы хотите использовать это в качестве сидячей работы, просто распечатайте это руководство в формате PDF для каждого учащегося. (Это также можно найти на первой странице в пакете Array Break Apart Worksheet.)

• Вы также можете показать им, как это выглядит в виде уравнения: 6 X (2 + 4) = 36 ИЛИ (6 X 2) + (6 X 4) = 36.  
• Теперь продолжим запрос попросить студентов перечислить другие способы отображения этого массива 6 X 6. Посмотрите, сколько каждый студент/группа может найти!
• Попросите добровольцев подойти и показать другие способы разделения массива.

Вот лишь несколько из множества способов, которыми его можно разбить:

 

• Спросите: Какими еще способами учащиеся могут разбить этот массив на части? Могут ли учащиеся правильно написать свойство распределения?
• После проверки понимания дайте учащимся следующие страницы рабочего листа 2 и 3, чтобы они могли попрактиковаться в разбиении массивов самостоятельно или в группах. Вы также можете распечатать страницу с учебным пособием, чтобы учащиеся поместили ее в свои математические тетради. Я также включил Array Break Apart Page 4 для более продвинутых учащихся, а также цветную версию всего набора.

Учебное пособие по разрыву массивов. Страница 4 (для продвинутых учащихся)       Разрыв массива Страница 4, цвет (для продвинутых учащихся)

Этот бесплатный пакет рабочих листов в формате PDF является идеальным дополнением к математическим центрам. Его идеально выполнять в одиночку или в парах, и он может стать началом интересного разговора, поскольку у каждого массива есть несколько разных способов разделения.

Обеспечьте учащимся достаточное количество счетчиков, миллиметровой бумаги и других манипулятивных материалов, чтобы помочь учащимся понять свойство распределения!

Когда закончите, соберите всех учащихся в группу, чтобы обсудить их выводы. Обобщение математического опыта имеет решающее значение для урока математики, основанного на исследованиях.