Учить математику: Основные операции

Основные операции

Основные операции, которые используются в математике это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций существуют ещё и операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Вообще, операции можно разделить на два вида:

1. операции действия;
2. операции отношения.

Операции действия это:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (×)
• деление ( ÷ ).

Операции отношения это:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠).

Операции отношения

Начнем с операций отношения. Слово «отношение» говорит само за себя. Примеры из жизни: что-то имеет отношение к чему-то. Папа имеет отношение к маме. Это отношение называют браком:

Примеров отношений множество.

Можно сказать, что наш красивый мир, который развивается гармонично, тоже состоит из отношений.

Если пятёрка больше тройки, то мы говорим, что «пятерка больше по отношению к тройке» и записываем как 5 > 3 (читается: пять больше, чем три). Острый угол знака отношения должен быть направлен в сторону меньшего числá. В нашем примере число 3 было меньше, чем число 5, поэтому острый угол знака отношения был направлен в сторону числа 3.

Ещё пример. Число 11 меньше, чем число 15. Эту фразу можно записать так:

11 < 15

В математике с помощью отношений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Можно записать, что одно выражение равно другому, либо какое-то действие недопустимо по отношению к какому-нибудь объекту, числу, закону.

Например, знаменитая фраза «на ноль делить нельзя» записывается следующим образом:

Не будем опережать события и забегать вперёд. Просто скажем, что в этом выражении вместо

a и b могут стоять любые числа. Но потом говорится, что b не должно быть равным нулю.

Знак равенства = стáвится между величинами и говорит о том, что эти величины равны между собой.

Например, «пять равно пять» записывается как 5 = 5. Понятно, что две пятерки равны между собой. Помимо простых чисел, знаком равенства могут соединяться более сложные выражения, например: 9 + x + y = 4 + 5 + x + y.

Ещё пример: если один большой арбуз весит 20 кг, а два маленьких арбуза весят по 10 кг каждый, то между арбузом в 20 кг и двумя арбузами по 10 кг можно поставить знак равенства. Это отношение можно прочитать так: «один арбуз весом в 20 килограмм равен весу двух арбузов, каждый из которых весит 10 кг»

. Ведь 20 кг = 10 кг + 10 кг.

 

Знак не равно ≠ ставится между величинами тогда, когда они не равны между собой.

Например, 5 ≠ 7. Ясно, что пятёрка не равна семёрке. Ещё примеры: отличник не равен двоечнику, собака не равна кошке, мандарин это не апельсин:

отличник  ≠  двоечник

собака  ≠  кошка

мандарин  ≠  апельсин

Вы можете осмотреться вокруг себя и найти множество примеров отношений, которые можно истолковать с точки зрения математики.

---

Операция сложения

Операция сложения обозначается знаком «плюс» (+) и используется, когда складывают числа.

Числа, которые складывают называются слагаемыми. Число, которое получается в результате их сложения, называется суммой.

Например, сложим числа 3 и 2.

Записываем 3 + 2 = 5

В этом примере 3 − это слагаемое, 2 − второе слагаемое, 5 − сумма.

В будущем придётся складывать довольно большие числа. Но сложение этих больших чисел в конечном итоге будет сводиться к тому, чтобы сложить маленькие.

Поэтому нужно научиться складывать маленькие числа в диапазоне от 0 до 9. Например:

2 + 2 = 4

3 + 4 = 7

7 + 2 = 9

0 + 7 = 7

Можете потренироваться, записав в тетради несколько простых примеров. Поверьте, ничего в этом постыдного нет.

---

Операция вычитания

Операция вычитания обозначается знаком «минус» (−) и используется тогда, когда из одного числа вычитают другое.

Число, из которого вычитают другое число, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают из уменьшаемого числа, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате, называется

разностью.

Например, вычтем из числа 10 число 2.

10 − 2 = 8

В этом примере число 10 − это уменьшаемое, число 2 − вычитаемое, а число 8 − разность.

---

Операция умножения

Обозначается знаком умножения (×) и используется, когда одно число умножается на другое. Слово умножение говорит само за себя — какое-то число увеличивается в определенное количество раз, то есть множится.

Например, запись 4 × 3 означает, что четверка в ходе операции умножения будет увеличена в три раза.

Число, которое увеличивают, называется множимым. Число, которое показывает во сколько раз нужно увеличить множимое, называется множителем. Число, которое получается в результате называется произведением.

Например, умножим число 4 на 3.

4 × 3 = 12

В этом примере 4 − это множимое, 3 − множитель, 12 − произведение.

Запись 4 × 3 можно понимать как «повторить число 4 три раза». Например, если у нас имеются четыре конфеты и мы повторим их три раза, то полýчится двенадцать конфет:

Другими словами, умножение 4 на 3 можно представить как сумму трёх четвёрок. Схематически это выглядит следующим образом:

Умножение можно понимать и другим образом, а именно как взятие чего-то определенное количество раз. Допустим, в вазе лежат конфеты. Возьмём четыре конфеты один раз:

4 конф. × 1 = 4 конф.

У нас в руках окажется четыре конфеты.

Попробуем взять четыре конфеты 2 раза:

4 конф × 2 = 8 конф.

У нас в руках окажется восемь конфет.

Попробуем взять четыре конфеты ноль раз, то есть ни разу:

4 × 0 = 0

У нас на руках не окажется конфет, поскольку мы ни разу их не взяли. Поэтому умножение любого числа на ноль даёт в ответе ноль.

В некоторых книгах множимое и множитель называют одним общим словом — сомножители. Например, в записи 4 × 3 множимым является 4, а множителем 3, но эти два числа ещё можно назвать сомножителями. Ошибкой это не будет.

В будущем мы будем умножать довольно большие числа. Но умножение больших чисел свóдится к тому, чтобы умножить маленькие. Поэтому сначала нужно научиться умножать маленькие числа. Благо, они уже перемножены и записаны в специальную таблицу, которую называют таблицей умножения. Если вы живёте в России или в странах бывшего СССР, то наверняка знаете эту таблицу наизусть. Если не знаете, обязательно выучите!

---

Операция деления

Обозначается знаком деления (÷ или : ) и используется тогда, когда делят числа.

Число, которое делят называют делимым. Число, которое указывает на сколько частей делят делимое, называется делителем. Число, которое получается в результате, называется

частным.

Например, разделим число 10 на 2.

10 :­ 2 = 5

В этом примере число 10 − это делимое, число 2 − делитель, число 5 − частное.

Если у нас имеются десять конфет и мы разделим их на две равные части, то в каждой части полýчится по пять конфет:

Так можно понять смысл записи 10 :­ 2 = 5.

---

Задания для самостоятельного решения

Большинство людей решат эти задания в уме что конечно похвально. Однако, рекомендуется выполнить эти задания именно в тетради, взяв в руку карандаш. К математике следует привыкать посредством решения простых примеров.

Задание 1. Запишите в тетради, что 2 больше, чем 1

Задание 2. Запишите в тетради, что 2 меньше, чем 3

Задание 3. Запишите в тетради, что 5 больше, чем 2

Задание 4. Запишите в тетради, что 8 больше, чем 5

Задание 5. Запишите в тетради, что 10 больше, чем 8

Задание 6. Запишите в тетради, что 1 равно 1

Задание 7. Запишите в тетради, что 10 равно 10

Задание 8. Запишите в тетради, что 7 не равно 8

Задание 9. Запишите в тетради, что 15 не равно 12

Задание 10. Запишите в тетради, что 3 не равно 2

Задание 11. Сложите числа 2 и 3

Задание 12. Сложите числа 7 и 2

Задание 13. Сложите числа 4 и 3

Задание 14. Сложите числа 10 и 5

Задание 15. Сложите числа 12 и 8

Задание 16. Вычесть из числа 5 число 2

Задание 17. Вычесть из числа 9 число 4

Задание 18. Вычесть из числа 10 число 8

Задание 19. Вычесть из числа 12 число 4

Задание 20. Вычесть из числа 20 число 12

Задание 21. Умножьте 2 на 3

Задание 22. Умножьте 3 на 4

Задание 23. Умножьте 5 на 3

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Выражения

Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.

Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.

Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:

Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются

переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.

Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы  и способность понимать, что там написано. А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.

Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:

a + 5

Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5

a = 5 

Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.

Значение переменной a подставляется в исходное выражение.

В результате имеем: 5 + 5 = 10

Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.

В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.

Значение переменной x подставляется в выражение x + 10

Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.

Вспомните второй урок «Основные операции». Чтобы понять, что такое сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7, и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но мы могли бы понять эту тему и без примера, если бы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с. Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и мы бы сказали, что a и b — это слагаемые, c — сумма.

И вот, имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того, какие числа мы подставим вместо a и b

В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.

Решение:

a + b = c

10 + 6 = 16

Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.

---

Значение выражения

Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия. В учебниках младших классов часто можно встретить задания следующего содержания: выполнить действия, и далее перечисляются примеры, которые нужно решить. Когда перед вами подобное задание, вы сразу должны понимать, что от вас требуют решить пример. В народе это звучит как «решить пример«, но если быть более  грамотным, то надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.

Например, дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения. Это означает, что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:

10 + 6 = 16

Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.

Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.

Рассмотрим еще примеры:

• 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
• 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
• 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4

Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7

Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10

Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20

Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Дроби

Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.

Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.

Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.

А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.

Что такое дробь?

Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.

Рассмотрим пример из жизни. Мы купили себе пиццу, чтобы съесть её в течении дня. Допустим мы решили разделить её на четыре части, чтобы съедать постепенно по одному кусочку.

Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.

Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:

Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:

А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:

Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.

Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби.

Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.

В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.

Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?

Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):

Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».

Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.

Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?

Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».

Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:

Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:

Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?

Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:

Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».

Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.

Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя. Десятичные дроби рассмотрим немного позже.

Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.

На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.

Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.

С помощью переменных дробь можно записать так:

где a — это числитель, b — знаменатель.

Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:

Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём (одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.

С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:

Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.

Теперь возьмём к примеру неправильную дробь  и применим её к нашей пицце. В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.

Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:

Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.

Допустим, мы хотим съестьпиццы.  В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.

---

Дробь означает деление

Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление. Она говорит, что числитель можно разделить на знаменатель.

Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:

Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:

Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».

---

Выделение целой части дроби

Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.

Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом. Причём поделиться по-честному, чтобы каждому досталось поровну. Как разделить эти 5 яблок?

Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:

Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.

Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:

Схематически это выглядит так:

Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.

В нашем примере мы выделили целую часть дроби  и получили новую дробь .  Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.

В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это

Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.

Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:

Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:

После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.

В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.

Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.

Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби 

Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:

Получили:

---

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается

Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:

2 × 3 = 6

Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:

6 + 1 = 7

Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:

Подробное решение выглядит так:

А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:

---

Пример 2. Перевести смешанное число в неправильную дробь.

Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:

---

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.

Например, рассмотрим дробь .  Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь .  Если верить основному свойству дроби, то дроби   и  равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.

Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2

Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби  и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим,  нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:

Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь  (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.

Поэтому между дробями  и  можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:

Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.

Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!

---

Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .

Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1. Сократить дробь

Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби  надо разделить на 2

В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.

На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.

---

Пример 2. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.

НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20

---

Пример 3. Сократим дробь

Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.

НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4

Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.

---

Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ . Получится следующее выражение:

Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.

Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби  на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 6. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:

Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:

Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части

Задание 10. Сократите следующую дробь на 3

Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом

Задание 12. Сократите следующую дробь на 5

Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом

Задание 14. Сократите следующие дроби:

Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:

Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 20. Запишите в виде дроби следующий рисунок:

Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Как изучать математику | Фоксфорд.

Медиа

Слово «математика» происходит от греческого «матема» — знание, познание. Математика, как и шахматы — это способ научиться думать логически, рационально. Особенность математики в том, что её методы служат другим наукам. Например, в социологии и психологии данные опросов обрабатываются статистически. В генетике анализируют распределение признаков с помощью сложных моделей расчёта.

Одни называют математику точной наукой, другие — искусством. Каждый даёт определение в силу своего математического опыта и фантазии. Если человек научился складывать целые положительные числа в пределах сотни, то он будет считать математику точной наукой. При этом те, кто знаком с комплексными числами и неевклидовой геометрией, с ним не согласятся.

Определение математики зависит от отношения к ней. Для тех, кому на уроках было сложно и скучно, она сухая и точная. Влюблённые в математику воспринимают её как искусство. Хорошая новость в том, что строить хорошие отношения с математикой никогда не поздно, если ученик хочет в ней разбираться.

Зачем нужна математика и что значит «знать» её

Кое-что из математики используется в повседневной жизни: когда нужно поделить пиццу на 8 равных частей, посчитать стоимость товара со скидкой 20%, выбрать сумку к новым туфлям и брюкам. По мнению математика и педагога Марис Сегинёвой, обычному человеку для жизни достаточно изучить математику в объёме 5—7 класса школьной программы:

«Всё зависит от того, в какой момент в учебнике появляются отрицательные числа. Конечно, можно увидеть на термометре значение минус 10 градусов Цельсия, но вот в США пользуются шкалой Фаренгейта, а вообще кроме погоды в быту эти знания не пригодятся».

Для наглядности — в чём разница между шкалой Цельсия и Фаренгейта

В математике выделяют несколько областей знания, и то, что изучается в большинстве начальных школ правильнее называть арифметикой. Это раздел математики, который изучает числа и действия с ними: сложение, вычитание, умножение и деление целых и дробных чисел.

«Если школьник знает математику, у него и с другими предметами будет хорошо. Он научился думать, он научился видеть целое и собирать его из частей. Обратно этот принцип не работает: если ученик успешен в других предметах, нет гарантий, что он поймёт и математику», — Марис Сегинёва.

Редко в начальном курсе математики встречаются задачи на комбинаторику, логику и теорию вероятностей. Поэтому для большинства людей «знать математику» — значит уметь применить расчёты для решения житейских задач: сколько нужно продуктов, чтобы приготовить в два раза больше окрошки; какую сумму нужно сдать на общий подарок имениннику; во сколько выезжать из дома, чтобы приехать к началу спектакля.

Для чего изучают математику в старших классах

По замыслу разработчиков образовательной программы выпускники школы поступают в вузы. В вузах они осваивают профессии для того, чтобы стать практиками или исследователями в различных областях. Специалистам технических и естественнонаучных областей математика полезна, а учёным — необходима.

Марис Сегинёва: «Современная наука основана на математических методах. Когда абитуриент думает, что будет заниматься микробиологией, генетикой, психологией, социологией, лингвистикой или экономикой, в конечном счёте ему придётся заниматься и математикой тоже».

Авторы школьных учебников не знают, кто именно из выпускников станет учителем литературы, кто музейным работником, а кто программистом, поэтому на всякий случай все старшеклассники знакомятся с алгеброй и началами математического анализа.

Решать задачи с логарифмами и брать производные будет полезно любому ученику общеобразовательной школы. Будущим инженерам и математикам уроки будут подспорьем, поскольку школьная алгебра — мостик от арифметики к высшей математике, которую изучают в вузе.

Тем, кто выбрал сдавать профильный ЕГЭ по математике, лучше не останавливаться и решать задачи при каждом удобном случае. Будущим историкам, художникам и музыкантам стоит как можно скорее изучить демовариант базового ЕГЭ по математике, чтобы знать, какие темы изучать пристально, а какими можно будет пренебречь.

С чего начать отношения с математикой

Древнеегипетские жрецы умели умножать только на два, и считались очень продвинутыми. А в Средние века математики собирались в городе Пиза на конкурс деления чисел, записанных римскими цифрами. Соревновались, например, кто быстрее правильно поделит число LXXIV пополам.

Сейчас, благодаря десятичной системе счисления и приёмам работы с числами, обычный третьеклассник даст фору средневековым преподавателям. Но когда-то не было большей части того, что сегодня называется математикой.

Отношения с математикой можно начать в любой момент.

1. Самый простой способ — найти учителя или курс, который поможет поверить в свои силы и заняться интересными вещами из области математики: олимпиадный кружок для ребят более младшего возраста, онлайн-курс, журнал или заочная математическая школа.
2. Полезно смотреть видеоролики популяризаторов математики на русском и английском языке.
3. Можно отыскать вдохновение в книгах. Биографии известных учёных, рассказы, написанные математиками и пособия для начинающих.

Список вдохновляющих ресурсов преподавателя математики Марис Сегинёвой

• Ютьюб-каналы Алексея Савватеева и Артура Шарифова, англоязычный канал Numberphile.
• Статья «Плач математика» Пола Локхарта.
• Ученикам младшей и средней школы: произведения «Нолик-мореход», «Три дня в Карликании» В. А. Лёвшина, «Островитянка» , «Научные сказки» Ника Горькавого, «Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы», пособие «Наглядная геометрия» И. Ф. Шарыгина. А также книга и рабочая тетрадь «Наглядная геометрия» В. А. Смирновой, И. М. Смирновой и И. В. Ященко.
• На сайте Центра непрерывного математического образования можно скачивать задания и брошюры, а также узнавать о математических конкурсах и мероприятиях для школьников.
• Журналы «Лучик», «Квантик» и «Квант».
• Банк задач разного уровня сложности problems.ru для школьников и учителей.
• Заочная математическая школа петербургского образовательного центра: присылают задания каждую неделю и дают комментарии в ответ на решения учеников.

Понять математику может любой. Если ученику трудно освоить какую-то тему или раздел, нужно спуститься на ступеньку ниже. С математикой никогда не стоит торопиться, ею следует заниматься в своём темпе и с удовольствием.

Как самому выучить математику? — Хабр Q&A

Изучать школьную математику, значит уметь решать задачи. Берешь любой задачник и решаешь. Сначала будет тяжко, но потом мозг включится. Начинай с самого начала. С первых классов. В математике знания накладываются одни на другие и буз базы ничего не получится. Хороший сайт: interneturok.ru, и подобные. Отличные сайты на английском. Здесь учебники www.alleng.ru/.
Школьная математика, всего лишь запоминание правил и определений и потом их быстрое применение при решении задач. Ничего сложного. Но она основа, для всего остального. Вот здесь хорошо расписано: viripit.ru/index.htm . Купи старую книгу типа “Энциклопедия юного математика”. Читай для удовольствия. Вообще процесс должен занять несколько месяцев, чтобы осилить школьную программу.

Натыкайся на те задачи которые не можешь решить и уделяй им время. Потом пойдет все быстрее и быстрее. Не слушай никого, кто говорит, что учить поздно. У каждого своя судьба, и свои стартовые условия. Но каждый в итоге получает то, что он действительно хочет. Осилить школьную математику, нармально любому человеку. Это общий культурный багаж, без понимания которого, человек будет ограничен. На самом деле все школьные предметы, развивают разные способности мышления. Потом неплохо повторить и физику – чтобы понимать, почему вокруг все так происходит.

Математика программисту в большинстве случаев не нужна. Но нужно знание основ, чтобы быстро разобраться в новом. Обязательно знание некоторых важных разделов:, типа логики и др. Без математики ты не сможешь зазкончить нормальное обучение по ComputerScience.
И самое главное, мозг должен уметь думать и решать задачи. Именно это и развивает в чистом виде – математика.

Но в реальности программисту, кроме умения думать, нужно и воображение, и абстрактное мышление, отличная память, знание английского, и умение общаться; еще умение постоянно учиться, хорошая общая эрудированность и вкус и тд. А так же крепкое здоровье. Так- что не циклись на математике, это всего лишь часть большого целого.

PS: Забудь про криптографию. Ты это не осилишь. Разберись, сейчас – как делить столбиком 🙂

13 ресурсов, чтобы выучить математику

Среди разработчиков часто возникают споры о том, необходимо ли изучать математику. Если вас мучает ее незнание, то скорее читайте нашу статью.

Одни утверждают, что знать математику совсем не нужно и что и без нее все будет прекрасно. Другие же напротив считают, что фундаментальные знания математики – основа осваивания ремесла программиста.

Как бы то ни было, некоторые области ИТ требуют определённых опыта и навыков. Например, криптография. Ее изучение будет максимально сложным и практически невозможным, если вы не имеете никакого представления о царице наук.
Теперь возникает другой вопрос: как учить то, чего не знаешь? С чего лучше начать? Пользователи toster.ru ответили на этот вопрос, а мы собрали все воедино в нашей статье.

Курсы по математике от Khan academy помогут вам изучить математику, даже если у вас нет никаких, даже базовых знаний.

Курсы по школьной программе математики.

1. Наращивайте мощность постепенно. Начните с элементарных, базовых вещей. Например, научитесь оперировать простыми числами, изучите способы вычисления суммы натуральных чисел, разберитесь с тем как находятся степени чисел и прочее.
2. Подберите для себя связку: теория, справочник, задачник. Теория поможет вам обрести знания, справочник – освежить информацию, найти нужную формулу, задачник поможет отработать все то, что вы уже изучили.
3. Не бойтесь если что-то не ясно. Эта ситуация абсолютно естественна. Если вы не понимаете какое-то предложение, формулировку, то постарайтесь ее перечитать, разбить на части. Можно так же перейти к чему-то другому, но затем обязательно вернитесь назад. В случае, если ничего не поможет, задайте вопрос на форуме или портале подходящей тематики.
4. Применяйте приобретенные знания на практике. Так уж устроен наш мозг, что некоторые вещи мы постепенно забываем. Поэтому следует закреплять определенные темы после того, как вы их прошли. Придумывайте для себя задачи, пытайтесь доказывать какие-либо теоремы самостоятельно.
5. Производите вычисления самостоятельно, без помощи калькулятора. Конечно звучит немного нецелесообразно, но поверьте, вам это обязательно поможет.
6. Делайте перерывы. После окончания темы, главы, раздела делайте паузу и проверяйте себя.

Как понять, что вы на верном пути? Если вы при виде задачи можете легко определить алгоритм ее решения, то все идет как надо.

Книга от одного из самых лучших преподавателей мира об основах математики. После прочтения вы начнете видеть математику не только в учебниках, но и во всем что вас окружает.

Автор, увлеченный красотой математики, погрузит вас в этот мир с головой. Самое главное, что вам это понравится и вы узнаете, что математика окружает нас абсолютно везде.

В этой книге легко и понятно рассказано как об элементарных понятиях математики, так и о важных, сложных областях науки.

Книги Владимира Левшина

Книги выдающегося математика и педагога, которые написаны в стиле «математических сказок» расскажет о математике совершено, с другой стороны.

Книги Якова Перельмана

Еще один выдающийся математик, который внес свою лепту в популяризацию точных наук. Его работы пробудили любовь к математике ни у одного поколения.

Книги Мартина Гарднера

После прочтения книг Гарднера вы перестанете думать, что математика — это скучно.
Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, Леонард Млодинов
Вас ожидает путешествие в тысячелетнюю историю математической мысли. Вы узнаете о том, как устроено пространство, о том, как от камешков и палочек на теплом песке люди добрались до энтропии черных дыр

Книга о величайших математических задачах, которые до сих пор терзают величайшие умы человечества.

Великий математик откроет вам дверь в мир, который позволит вам понять законы Вселенной.

Книга расскажет о том, как в математике появляются новые идеи. Большое внимание уделено анализу задач.

Эта книга прольет свет на процесс математического творчества. Расскажет о том, как появляются новые теории и гипотезы и о том, как их принимать.

Книга откроет новые миры, где музыка Баха, картины Эшера, физика математика, биология психология, нейропсихология и дзен буддизм связаны между собой.

Другие материалы для того, чтобы изучить математику

4 книги, которые разбудят в вас математика

Можно ли изучать математику самому? — Образование на vc.ru

Приветствую! Думаю, стоит согласиться, что математика нужна в различных сферах жизни: строительстве, IT, физике и так далее. Скорее всего, если Вы заинтересованы в изучении математики, то уже знаете, зачем она Вам.

2567 просмотров

По своему опыту могу сказать, что самостоятельное изучение математики – это довольно сложно, но более чем возможно. Необходимо иметь большое желание.

Могу ли я не тратить деньги на курсы?

Да, конечно. Сейчас мы живём в такое время, когда многое можно добыть в интернете, причём абсолютно бесплатно.

Сколько времени нужно для изучения математики?

Вообще это довольно размытый вопрос, это зависит от нескольких факторов: как часто Вы занимаетесь, насколько глубоко Вы хотите изучить математику (например, только школьный курс или ещё высшую математику).

Могу сказать, что для того, чтобы повторить весь школьный курс, то на это нужно ориентировочно полгода. Весьма долго, не правда ли? Никто не говорил, что всё будет быстро.

Где мне изучать математику?

Если Вы не очень любите пользоваться учебниками, то можно и во многом обойтись без них. Однако, всё же иногда придётся их почитать.

В этой статье я не буду конкретизировать, какими сайтами пользоваться и какие книги читать, об этом я буду писать в своём телеграм канале(@become_datascientist).

Настоятельно рекомендую популярные курсы математики на английском, потому что там, как правило, объясняют понятнее, а ещё это очень часто бесплатно. Да, знание английского не будет лишним. Существует много уроков на ютубе и сайтов.

Для практики можно найти задачи так же в интернете, или купить любой учебник/сборник задач, тоже подойдёт.

Топ советов

1. Не бойтесь, если не будете что то понимать, это нормально. Если что-то непонятно, то перечитайте/переслушайте материал несколько раз, и/или обратитесь к другому ресурсу.

2. Решайте трудные задачи и много практикуйтесь. Только так вы сможете лучше всего понять тему. Если не можете решить задачу, то попробуйте отдохнуть, и попробовать снова.

3. Занимайтесь каждый день, хотя бы по часу. Изучение математики должно стать привычкой, как, например, чистка зубов.

4. Не забывайте про отдых, но помните, что у всего есть границы.

5. Не зубрите материал, а старайтесь понять его. Важно именно понимать математику, то есть уметь выводить формулы и применять их, доказывать теоремы и так далее. Очень полезным будет постоянно задавать вопросы в стиле “а почему именно так?” и отвечать на них. Переходите к следующей теме только тогда, когда будете уверены, что вы точно поняли предыдущую и отработали её на практике.

6. Найдите себе наставника. Это не всегда бывает легко, но если Вы сможете, то будет очень круто. Наставник будет всегда подбадривать Вас.

7. Не бойтесь менять ресурсы для изучения математики, очень важно найти тот, который подходит именно Вам.

Итак, математику можно изучать самостоятельно, главное иметь большое желание. Это были мысли, которыми я хотел поделиться. Желаю удачи в изучении математики. Не сдавайтесь, и у Вас всё получится.

уроков алгебры – School Yourself

1. Сложение и вычитание.

2. Умножение и деление

Умножение положительных чисел в любом порядке

Узнайте, что происходит при умножении на 1 и 0

Деление положительных чисел и способы осмысления этого

Операция, которую вы просто не можете выполнить…

Есть несколько способов оценить выражение?

Избавление от скобок при сложении и умножении

Что произойдет, если вы умножите негативы вместе?

Что происходит при делении отрицательных чисел?

Раздача негативных знаков

Что делать, если у вас слишком много скобок!

Узнайте, как найти «среднее» чисел

3.Факторинг

При делении на множитель всегда получается целое число

Их единственные факторы – 1 и сами

Выделение общих факторов с помощью закона распределения

Переверните знаки, когда вы выносите отрицательные числа

Самый большой общий фактор чисел

Когда два числа не имеют общих делителей

Метод расчета GCF

, существующий уже 2000 лет.

Что вы получите, если умножить числа на целые

Общее наименьшее кратное число

4.Фракции

Нарисуйте, сравните дроби и преобразуйте в десятичные числа

Сколько 1/2 умножить на 3/5? Изучите трюк на этом уроке!

Как узнать, когда дроби равны, а какая больше

Упрощение дробей путем удаления общих множителей

Сложить и вычесть дроби, используя общие знаменатели

Деление на дробь – это действительно умножение на обратную величину!

Множитель обратного числа равен 1 над числом

.

Переключение между смешанной и неправильной дробью

Закон распределения работает для умножения, но также и для деления

Вычисление дробей чисел (например, 5/7 из 210)

5.Силы и корни

Умножение числа на само

Возведение в квадрат, кубирование, возведение в четвертое и т. Д.

Двигайтесь в обратном направлении, чтобы найти число, которое было возведено в квадрат

Как найти корни чисел, НЕ являющихся квадратами

Есть ли у отрицательных чисел квадратные корни?

Кубический корень, четвертый корень, пятый корень и так далее…

Порядок операций, теперь с показателями!

6. Правила полномочий

Правило умножения одной степени на другую

Правило деления одной власти на другую

Правило возведения одной степени в другую

Это работает на умножение и деление, но это все!

Что произойдет, если возвести число в ноль?

Что значит поднять до ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ экспоненты?

Взятие рута на самом деле то же самое, что и возведение в степень

Что значит возвести в степень 2/3?

Корни также являются показателями, поэтому применяются те же правила!

Получение меньших номеров под корень

7.Решение уравнений

Найдите неизвестные значения, используя числовую строку

Узнайте, как оценивать выражения с переменными

Сложение или вычитание обеих частей уравнений

Умножение или деление с обеих сторон уравнений

Быстрый способ решения уравнений с дробями

Числа перед переменными

Сложение / вычитание членов с соответствующими переменными

Иногда для решения требуется больше одного шага!

Решение уравнений, когда они имеют более одной переменной

У одних уравнений нет решений, у других их много!

8.Неравенства и одновременные уравнения

Нанесение неравенств на числовую прямую

Решение и построение многошаговых неравенств

Что произойдет, если умножить на минус

Решите для обеих переменных, если у вас есть два уравнения

Иногда два уравнения не имеют решений или их много!

9.Координаты

Построение точек и определение их координат

Четыре квадранта и содержащиеся в них координаты

Учитывая две точки, какая точка находится точно посередине между ними?

10. Наклон

Число, указывающее крутизну линии

Как рассчитать уклон между любыми двумя точками

Узнайте, что означает отрицательный наклон

Каков уклон горизонтальных и вертикальных линий?

Два шага, которые всегда дадут вам правильный уклон

Узнайте, почему параллельные прямые имеют одинаковый наклон

Узнайте, как связаны наклоны перпендикулярных линий

11.Линии

Превратите уравнение в свой самый первый график!

Превращение уравнения в строку и наоборот

Формула для определения угла наклона и координат

Забудьте об уравнениях, давайте просто посмотрим на графики!

Определение пересечения линий с осями x и y

Можете ли вы определить, где пересекаются две линии?

Изучение графика, который не является линией

Упростите неравенства с двумя переменными и тестовыми решениями

Графические неравенства на координатной плоскости

12.Полиномы

Узнайте об общем типе алгебраических выражений

Вычисление сумм и разностей многочленов

Умножение и деление многочленов с одним членом

Умножение биномов вместе с помощью FOIL

Как умножить многочлены с множеством членов

Изящный трюк для упрощения некоторых биномов

13.Квадратики

Иногда уравнения могут иметь два решения

На графике начертите свою самую первую параболу

Каждый квадратичный график сводится к этим 3 числам

Чрезвычайно полезный прием для решения некоторых уравнений

Метод решения ЛЮБОГО квадратного уравнения!

Быстрый способ узнать, сколько решений у квадратичной

---

Уроки геометрии – School Yourself

1.Линии и углы

Узнайте о линиях, лучах и сегментах

Узнайте, что такое углы и как их измерить

Узнать названия уголков всех размеров

Линии, которые никогда не пересекаются

Линии, которые пересекаются, образуя прямые углы

С этими правилами вы знаете, какой угол вы имеете в виду.

Эквидистантные точки также разрезают сегменты на две части

2.Связанные углы

Сложение и вычитание смежных углов

Узнайте о дополнительных и дополнительных углах

А как насчет углов больше 360 градусов?

Углы на противоположных сторонах пересекающихся линий

Параллельные линии образуют совпадающие углы в совпадающих местах

Конгруэнтные углы ВНУТРИ параллельных прямых

Конгруэнтные углы ВНЕ параллельных прямых

3.Треугольники

Причудливое название для форм с прямыми сторонами

Когда отрезки, углы или формы совпадают

Представляем треугольники и три их разных типа

Посмотри, правда ли это, а потом докажи!

Узнайте о правильных, острых и тупых треугольниках

Сегменты перпендикулярных прямых в треугольниках

Сегменты линии, соединяющие вершины и середины

У них две равные стороны, но как насчет их углов?

Правила, согласно которым длина сторон треугольника всегда соответствует

В треугольниках стороны и их противоположные углы связаны!

4.Соответствие и сходство треугольников

Когда они имеют одинаковую форму, но разные размеры

Используйте подобие, чтобы найти неизвестную длину стороны!

Использование сторон для проверки совпадения треугольников

Проверка конгруэнтности с использованием двух сторон и угла между

Проверка совпадения с использованием двух углов и стороны между

Окончательная проверка на конгруэнтность треугольников

Треугольники похожи, если у них совпадают углы

В зависимости от сторон у вас может быть 0, 1 или 2 треугольника!

5.Многоугольники и четырехугольники

Узнайте о прямоугольниках, ромбах и многом другом!

Многоугольники с равными сторонами и углами

Уловки для определения расстояния вокруг фигуры

Найдите формулу суммы углов в любом многоугольнике

Противоположные углы совпадают в параллелограммах

Противоположные стороны равны параллелограммам

В параллелограммах диагонали всегда делят друг друга пополам

Прямоугольники всегда имеют две совпадающие диагонали

В ромбах диагонали всегда перпендикулярны

Дополнительные пары углов в трапеции

6.Площадь полигонов

Измерение пространства внутри фигуры

Найдите формулу площади прямоугольника

Найдите формулу площади параллелограмма

Найдите формулу площади любого треугольника

Узнайте формулу площади трапеции

Найдите область ромба по диагоналям

7.Теорема Пифагора

Как связаны стороны прямоугольных треугольников

Когда целые числа являются сторонами прямоугольных треугольников

Способы выписать каждую последнюю тройку Пифагора

Найдите расстояние между любыми двумя точками

Определение площади равностороннего и равнобедренного треугольников

Другой способ найти площадь треугольника

Вы могли знать формулу, но откуда она взялась?

8.Круги, эллипсы и их площади

Введение в окружности, радиусы, диаметры и хорды

Найдите расстояние по кругу (а затем съешьте немного пи)

Используйте тени, чтобы измерить окружность Земли!

Что получается, если «растягивать» круг

Определение площади круга по окружности

Сравнивая формы, чтобы найти необычные области

Подсчитайте, сколько людей поместится на Эллипсе в DC

.

Складывайте и вычитайте площади более простых форм!

9.Углы в кругах

Как вы увидите, в каждом круге 360 градусов

Узнайте, как вписанные углы связаны с центральными углами!

Докажите, что вписанные углы, проведенные к диаметрам, являются прямыми

Нахождение формулы длины любой дуги

Как найти площадь любого кусочка круга

10.Линии в кругах

Некоторые линии пересекают круги дважды, другие касаются их только один раз

Докажите, что касательные из одной и той же точки совпадают

Узнайте, как углы между касательными связаны с дугами

Докажите, что дуги между ними всегда совпадают

Откройте для себя правило того, как пересекающиеся аккорды соотносятся

Посмотрите, как связаны их противоположные углы!

Подобно аккордам, пересекающиеся секущие тоже связаны!

Вычислить радиус любой вписанной окружности

11.Объем

Узнайте названия и особенности трехмерных фигур

Узнайте, как найти объем любого ящика!

Найдите объем призм и цилиндров

Вместо согласования ширины вы будете согласовывать области!

Начав с куба, откройте формулу объема пирамиды

Найдите объем любого конуса и узнайте высоту наклона

Используйте принцип Кавальери, чтобы найти объем сферы

12.Площадь поверхности

Узнайте, почему лед обычно формируют в кубики

Найдите площадь поверхности пирамиды, используя квадраты и треугольники

Разверните любой цилиндр, чтобы найти его площадь!

Откройте для себя и используйте формулу площади поверхности конуса!

Найдите общую площадь изогнутой поверхности сферы

Какое расстояние между противоположными углами куба?

13.Трансформации

Перемещение точек и фигур в координатной плоскости

Вращающиеся точки и формы вокруг исходной точки

Перемещение по разным осям (и исходной точке)

Растяжение фигур в одном или двух направлениях

Посмотрите, какие преобразования сохраняют конгруэнтность

Когда отражение или вращение ничего не меняют

14.Геометрическая оптика

Использование принципа Ферма для понимания рефракции

Используйте преломление, чтобы понять радугу и ее особенности

---

Изучение математики

Зачем изучать математику?

Технологии повсюду вокруг нас, и вам нужна математика, чтобы овладеть ими!

На самом деле для большинства высокооплачиваемых должностей требуются хорошие математические навыки: Врачи Ветеринары Инженеры Ученые Разработчики программного обеспечения Маркетинговые аналитики Финансовые сотрудники Менеджеры по инвестициям и другие…

И математика – это не только числа, это еще и модели!

Таким образом, работа, связанная с модой и дизайном интерьеров, требует математических навыков.

Математика пригодится и в повседневной жизни:

• Вложение денег (процентные ставки, прибыль и т. Д.)
• Сметная стоимость
• Покупки (действительно ли выгодно?)
• Общие сведения о компьютерах
• Проектирование комнат и садов
• Планирование поездок

Математика также улучшает наши умственные способности, поскольку учит нас логическому мышлению.

И вообще, это просто развлечение: какой еще предмет о решении головоломок?

Как быть экспертом

Есть два основных этапа:

Получите информацию … прочтите, послушайте учителя, посмотрите видео. Используйте информацию … набросайте ее, подумайте, ответьте на вопросы.

Использование – это так важно! Ответы на вопросы помогут вам систематизировать идеи в уме *.

Постарайтесь выполнять около 1 часа практики самостоятельно каждый день *

Как читать по математике

Математика говорит о многом в коротком пространстве .

Пример на английском языке: «Мы не знаем, сколько стоят степлеры или лотки, но знаем, что офис-менеджер купил 15 степлеров и 11 лотков на общую сумму 73 доллара».

А по математике: 15с + 11т = 73

Так что хорошо перечитывать, ходить взад и вперед и играть с идеями.

Чтение математики отличается от чтения английского

Прочтите это, подумайте об этом, прочтите еще раз, запишите или набросайте, а затем используйте (отвечая на вопросы), все это помогает проникнуть в идеи.

Пример: преобразование Цельсия в Фаренгейт

° F = (° C × ⁹ / ₅ ) + 32

• Прочтите его сначала, чтобы увидеть, что с одной стороны ° F (что означает по Фаренгейту), а с другой – ° C (Цельсия), с некоторыми вычислениями.
• Теперь просмотрите это еще раз и увидите, что ° C умножить на 9/5 и подумайте: «Интересно, почему это делается? Почему 9/5?»
• Тогда обратите внимание, что добавлено 32 … почему это так?
• Может быть, вы могли бы сделать набросок (как показано ниже)
• Затем используйте его сами, сделайте несколько преобразований и посмотрите, как это работает

Сделать эскизы

Когда вы набрасываете то, что изучаете, это действительно помогает понять *. Делайте большие и смелые наброски с большим количеством этикеток и пометок. Как этот набросок о градусах Цельсия и Фаренгейта:

Наброски также очень полезны при ответе на вопросы.

Работайте аккуратно

Аккуратная работа помогает яснее мыслить , а также дает хорошие умственные привычки.

Сохраняйте гордости за свою работу, даже если ее никто не увидит.

Не торопитесь!

Математика – это не чтение страниц … это построение концепций в уме.

Так что не думайте: «Я прочитал 2 страницы сегодня», вместо этого думайте: «Теперь я лучше понимаю графики».

Важно изучать одну идею за раз, убедиться, что вы ее понимаете, и выполнять множество упражнений, чтобы стать экспертом.

Важно: если вы пропустите раздел, остальное может не иметь смысла.

Вы запутаетесь, расстроитесь и начнете ненавидеть эту тему.

Лекарство?

• Вернуться туда, где это имело смысл,
• , затем снова плавно двигайтесь вперед,
• делать много практических вещей например решать вопросы и делать наброски

И вы скоро “вернетесь в нужное русло”

Практика, Практика, Практика

У меня много вопросов.

Именно поэтому мы разработали базу данных вопросов по математике.

Если вам нужно сдать экзамен, найдите прошлые экзамены и выполните их *.

Читать лот

Возьмите несколько книг и прочтите их. Проводите время на математических сайтах (например, на этом!) И присоединяйтесь к форуму (например, Math is Fun Forum).

Придумывайте свои собственные способы

У вас есть свой собственный стиль обучения .

Не просто следуйте инструкциям, которые вам показывают, попробуйте свои собственные идеи!

Играйте с идеями, которые вы изучаете.

И попробуйте прочитать на одну и ту же тему из разных мест, вы можете найти такие, которые имеют для вас гораздо больше смысла.

Ваш разум – удивительный и уникальный инструмент, и вы хотите использовать его наилучшим образом.

И изучение математики – хороший способ улучшить ее!

Все об идеях

Знать идеи важнее, чем запоминать формулы.

Если вы знаете, как работает , вы всегда можете воссоздать формулы, когда они вам понадобятся.И вы также можете делать более умные вещи, используя свои идеи.

* Библиография:

• Рисование «неотъемлемая часть» обучения естествознанию https://www.nottingham.ac.uk/news/pressreleases/2011/august/drawing-integral-to-science-learning.aspx
• Практика поиска дает больше знаний, чем тщательное изучение с концептуальным картированием (Джеффри Д. Карпике и Дженелл Р. Блант) Наука 20 января 2011 г .: 1199327
• Тестирование улучшает память https: // www.ologicalscience.org/index.php/news/releases/testing-improves-memory.html
• Практическое тестирование защищает память от стресса
  https://now.tufts.edu/news-releases/practice-testing-protects-memory-against-stress
• Насколько много домашнего задания по математике, естествознанию – это слишком много?
  https://www.apa.org/news/press/releases/2015/03/math-science-homework.aspx
• Худшие и лучшие советы и привычки учебы на основе психологических исследований
  https: // cognitiontoday.ru / 2019/04 / худшие-и-лучшие-советы-привычки-исследования-от-психологического-исследования-с практическими рекомендациями /
• Х. Зигмундссон, Р. К. Дж. Полман и Х. Лорос (2013) Изучение индивидуальных различий в математических навыках детей: корреляционный и размерный подход . Психологические отчеты: том 113, выпуск, стр. 23-30. DOI: 10.2466 / 04.10.PR0.113x12z2 https://www.eurekalert.org/pub_releases/2013-12/nuos-nmg121313.php

Как изучать математику: для студентов

Часть 1: Мозг и обучение математике.

1. Разрушая мифы о математике.

Каждый может хорошо выучить математику. Не существует такого понятия, как «математик». Это занятие предоставит новые потрясающие доказательства роста мозга и рассмотрит, что это значит для изучающих математику.

2. Математика и образ мышления

Когда люди меняют свое мышление с фиксированного на рост, их потенциал обучения резко возрастает. На этом занятии участникам будет предложено развить установку на рост в математике.

3.Ошибки и скорость

Недавние исследования мозга показывают ценность студентов, работающих над сложной работой и даже совершающих ошибки. Но многие студенты боятся ошибок и думают, что это означает, что они не математики. Это занятие побудит студентов положительно относиться к ошибкам. Это также поможет развенчать мифы о математике и скорости.

Часть 2: Стратегии успеха.

1. Гибкость чисел, математические рассуждения и связи

На этом занятии участники будут участвовать в «разговоре о числах» и увидят различные решения числовых задач, чтобы понять и узнать, как действовать в соответствии с гибкостью чисел.Чувство чисел имеет решающее значение для всех уровней математики, а его отсутствие является причиной того, что многие студенты не проходят курсы по алгебре и не только. Участники также узнают о ценности разговоров, рассуждений и установления связей в математике.

2. Числовые модели и представления

На этом занятии участники увидят, что математика – это предмет, состоящий из связанных больших идей. Они узнают о ценности осмысления, интуиции и математического рисования. Специальный раздел, посвященный дробям, поможет учащимся усвоить важные идеи в дробях и важность понимания больших идей в математике в целом.

3. Математика в жизни, природе и работе

На этом занятии участники будут рассматривать математику как нечто ценное, увлекательное и актуальное на протяжении всей жизни. Они увидят математические закономерности в природе и в различных видах спорта, углубленно изучая математику в танцах и жонглировании. На этом занятии будут рассмотрены ключевые идеи курса и участники помогут применить важные стратегии и идеи, которые они усвоили, в свое будущее.

Изучай математику бесплатно – Mathplanet

Math planet – это онлайн-ресурс, где можно бесплатно изучать математику.Пройдите наши курсы математики в старших классах по преалгебре, алгебре 1, алгебре 2 и геометрии. Мы также подготовили практические тесты для SAT и ACT.

Учебный материал ориентирован на математику средней школы США . Однако, поскольку математика одинакова во всем мире, мы приглашаем всех изучать математику с нами бесплатно.

Mattecentrum – шведская некоммерческая членская организация, основанная в 2008 году в Швеции. С тех пор центр оказывает бесплатную помощь по математике всем, кто изучает математику.Целью Mattecentrum является содействие получению равных знаний и повышение уровня знаний и интереса к математике и другим предметам, связанным с STEM. Возраст участников колеблется от 6 до 26 лет.

Центр предлагает БЕСПЛАТНЫЕ математические лаборатории в Швеции в школах, библиотеках и других помещениях в 34 городах.
Более 5000 студентов по всей стране ежемесячно получают индивидуальную помощь в учебе от 500 активных волонтеров Mattecentrum. В 2019 году ок. 30 000 студентов приняли участие в наших математических лабораториях, летних лагерях и математическом съезде.

Mattecentrum также предлагает БЕСПЛАТНУЮ онлайн-справку помимо Mathplanet:

• Mathplanet – это онлайн-книга на английском языке по математике с теорией, видеоуроками и упражнениями на счет для школьных курсов математики. В 2019 году у сайта было 8,4 млн уникальных пользователей.
• Matteboken.se – это полный учебник по шведской математике с теорией, видеоуроками и упражнениями на счет. Matteboken.se доступен на шведской и арабской версиях. В 2019 году сайт посетили более 2,9 млн уникальных пользователей.
• Arabiska.matteboken.se содержит те же теоретические упражнения и упражнения по счету, что и выше, но в настоящее время отсутствуют видеоуроки (для чего мы ищем финансирование). Материал охватывает начальные классы 3–9 и маты 1, 2 и 3 для старших классов средней школы. В 2019 году на сайте было 413,1 трлн уникальных пользователей.
• Pluggakuten.se – это шведский форум, где вы можете задавать вопросы по математике, STEM или другим школьным предметам, чтобы получить помощь или помочь кому-то другому.В 2019 году у сайта было 781,8 трлн уникальных пользователей.
• Formelsamlingen.se содержит все необходимые формулы по математике, физике и химии. На Formelsamlingen.se было оказано 68 452 помощи. В течение 2019 года на сайте было 348,8 трлн уникальных пользователей.

Для получения дополнительной информации о нас посетите mattecentrum.se.

Присоединяйтесь к нам в Facebook @mathplanet, Twitter @mathplanet или Instagram @our_mathplanet.

Чтобы связаться с Mattecentrum, отправьте электронное письмо по адресу: mathplanet @ mattecentrum.se

---

Поддерживая Mattecentrum, вы помогаете нам повышать уровень знаний и интереса к математике среди детей и молодежи. Нажмите на кнопку пожертвования и поддержите Mattecentrum!

---

Простых занятий, которые тайно развивают у малышей математические навыки

Когда дело доходит до обучения математике малышей, родители могут почувствовать, что они слишком молоды, чтобы усвоить эти понятия. Таким образом, они не затрагивают тему математики, вместо этого сосредотачиваясь на других концепциях обучения.Однако есть простые упражнения, которые тайно развивают математические навыки малыша, и, поскольку это похоже на игру, малыш не прочь поучаствовать.

Когда дело доходит до создания основы для математики, эта основа не начинается с уравнений или каких-либо других сложных концепций. Все начинается с основ, многие из которых даже не связаны с математикой.Этим концепциям можно научить малышей с помощью игр и игр, заложив основу для математических знаний малышей в будущем, и все потому, что родители поддерживали обучение.

СВЯЗАННЫЙ: 8 творческих способов научить малышей письму

Вот простые упражнения, которые тайно развивают у малышей математические навыки.

7 игр с совпадающими числами

через Pexels / Keira Burton

Прежде чем малыш узнает порядок, в котором идут числа, он может начать узнавать, что такое числа, с помощью простой игры сопоставления чисел друг с другом.

Согласно , утвержденному для малышей , совпадение чисел подтверждает то, как каждое число выглядит для малыша . Это потому, что он должен изучить число, чтобы найти совпадение при их соединении.

Дополнительное подкрепление может быть выполнено при попытке сопоставления чисел, если малыш громко заявляет, какое имя числа произносится, либо при попытке найти совпадение, либо при объединении чисел в пары.

Это можно сделать, просто составив пары игральных карт, сделав вырезы для прикрепления к листу чисел, прикрепив числа к спичке на фетровой доске и многое другое. Возможности безграничны.

6 Счетных песен

через Pexels / cottonbro

Пение песен-счет – отличный способ для малышей запоминать числа. Согласно 4 родителей и учителей , чем больше малышей повторяют концепцию через песню, тем сильнее становится память.

Таким образом, будут запоминаться не только названия чисел, но и порядок, в котором числа идут в хронологическом порядке. И знание этой информации является ключевым строительным блоком, когда дело доходит до изучения математики.

5 шаблонных игр

через Pexels / cottonbro

Обучая малышей шаблонам, они учатся делать прогнозы и «логические связи» о том, что будет дальше, согласно Michigan State University .

Шаблоны обучения помогают развивать навыки рассуждения , которые могут помочь в будущем при выборе правильного метода решения математической задачи, расстановке чисел в определенном порядке для применения математического правила и даже в том, как комбинировать математические правила, чтобы прийти к исправлению. выводы и ответы.

Обучение малышей простым образцам AB, AB с помощью складывания блоков, рисования пальцами или даже совмещения рисунка на листе бумаги с вырезами – это простые способы привить малышу, что такое рисунок.

4 номера для отслеживания

через Flickr / Марта В. Маккуэйд

Один из способов познакомить малышей с числами – попросить их записать числа. Согласно Zero To Three , фундамент не только начнет закладываться путем отслеживания и изучения чисел, но и одновременно развивает мелкую моторику.

Отслеживание номеров может быть выполнено несколькими способами. Карандашом или мелком можно обвести пунктирные линии, открывая номер после того, как начертание будет завершено.

Если малышу трудно правильно держать карандаш, можно использовать такие вещи, как рисование доббер-красок, чтобы нарисовать круги, чтобы начертить число, или даже приклеить к нему такие вещи, как ватные шарики, чтобы помочь в обучении. какие числа.

3 формы обучения

через Pexels / Digital Buggu

Формы – одно из первых вещей, которым родители учат своих малышей. И хотя они могут этого не осознавать, согласно Team Cartwright , родители закладывают фундамент геометрии.

Как только дети смогут различать свои формы и словесно описывать различия между этими формами, это сделает изучение геометрии более легким для понимания концепцией по мере взросления.

Фигуры также можно использовать для укрепления навыков решения проблем . Один из самых простых способов отработать эти навыки – использовать сортировщики форм, когда малыш должен манипулировать формой, чтобы она соответствовала правильному отверстию.

2 Выпечка

через Pexels / Михаил Нилов

Выпечка с малышом – отличный способ не только связать на кухне, но и помочь с подсчетом и началом основы для дробей , согласно Motherly .

Для младших школьников, когда они подсчитывают, сколько чашек с ингредиентом им нужно, по-прежнему помогает распознавать числа. А для тех, кто немного старше, использование части ингредиента помогает малышам понять, сколько частей этого ингредиента необходимо для выполнения рецепта.

Делая эти простые вещи с малышами, они не осознают, что у них развиваются математические навыки. Чем чаще выпекаются и готовятся вместе, тем проще будет дробиться по мере того, как малыши подойдут к школьному возрасту.

1 Упорядочить элементы по размеру

через Пекселс / Тара Уинстед

Когда малыши расставляют предметы по размеру, родители преподают им серию , согласно Childcare Extension .Закладывая этот фундамент на раннем этапе, малыши начнут понимать концепцию о том, как числа идут в порядке от маленького к большому .

В конце концов, согласно публикации, дети смогут видеть два числа, а не в последовательном порядке, и смогут автоматически распознавать, какое из них больше другого, только визуально.

Можно использовать все, что угодно, чтобы навести порядок от мала до велика. Будь то высота, использование груды предметов и многое другое, может помочь развить математические навыки малыша на всю жизнь.

NEXT: Как научить вашего малыша концепции времени

Источник: Одобрено для малышей, Материнство, Расширение по уходу за детьми, Команда Картрайт, С нуля до трех, Университет штата Мичиган, 4 родителей и учителя

Следующий 20 западных детских имен для вашего маленького ковбоя

Об авторе Джессика Такер (Опубликовано 1234 статей)

Джессика – писательница из Калифорнии.Она мама двух отчаянно независимых, веселых девушек и жена человека, который помогает ей найти баланс в жизни. Джессика – заядлая бегунья, потребительница действительно отличных чашек кофе и, когда это возможно, любит приключения в глуши. Семья для Джессики номер один, и именно поэтому эта сумасшедшая, беспокойная и красивая жизнь стоит того.

Ещё от Jessica Tucker

Учебная программа по математике в Калифорнии вызывает новые споры об ускоренном обучении

Кредит: Эллисон Шелли, американское образование,

Кредит: Эллисон Шелли, американское образование,

В Калифорнии есть математическая проблема.

Спустя почти десять лет после того, как в Калифорнии были приняты стандарты математики Common Core, большинство школьников K-12 еще не соответствуют критериям своего класса, а черные и латиноамериканские ученики недостаточно представлены в строгих ускоренных программах. Теперь рекомендация государства пересмотреть математические методы встречает сопротивление.

В среду Комиссия штата по качеству обучения столкнулась с шквалом комментариев от родителей и учителей, возражающих против спорного переписывания California Mathematics Framework, добровольного руководства, которое направлено на то, чтобы помочь школам, учителям и компаниям, выпускающим учебники, внедрить общепринятые стандарты математики штата.

Комиссия проголосовала за внесение одобренных изменений, в том числе определение руководства для округов по ускоренным математическим курсам и удаление ссылок на спорное исследование. В настоящее время структура направляется на второй публичный обзор в июне, и комиссия рассмотрит дополнительные изменения, если Совет штата по образованию потребует этого. Рамки будут представлены в Государственный совет по образованию в ноябре.

В проекте документа особое внимание уделяется альтернативным математическим курсам, таким как наука о данных и моделирование, и математические темы структурируются по классам, а не по отдельным курсам.Но горячей точкой в ​​дебатах является рекомендация, чтобы учащиеся посещали одни и те же классы математики в средней школе и на втором курсе старшей школы, а не помещали учащихся на продвинутые или традиционные курсы математики, начиная с шестого класса.

Рекомендации также ставят под сомнение концепцию одаренности учащихся, утверждая, что это понятие «привело к значительной несправедливости в математическом образовании. Особенно вредна идея «математического мозга» – что люди рождаются с мозгом, который подходит (или не подходит) для математики », – говорится в документе.

В среду члены комиссии поделились опытом, который, по их словам, заставил цели концепции резонировать с ними.

«Меня перевели на углубленный курс математики, и я изучал алгебру в восьмом классе», – сказал председатель комиссии и учитель истории средней школы Мануэль Растин. «Я бегал по математике, как и другие студенты, которые полны решимости попасть в систему UC. Но со временем математика стала чем-то, с чем я больше не мог отождествляться. Это было похоже на крысиные бега за запоминанием процедур и формул.… Видя, что у нас здесь, я видел себя повсюду ».

Группы

, включая Калифорнийскую ассоциацию учителей, Education Trust-West и California STEM Network, выразили поддержку проекту концепции. Но другие, такие как Калифорнийская ассоциация одаренных, заявили, что это ограничивает возможности для студентов, и отдельные учителя и десятки родителей вызвали встречу, чтобы выступить против изменений на виртуальном слушании в среду.

Некоторые, включая сенатора штата Бена Аллена из Санта-Моники, указали на проблемы с дифференцированным преподаванием для класса, в котором учащиеся находятся на совершенно разных уровнях, особенно в связи с нехваткой профессионалов в Калифорнии, решивших стать учителями математики.Многие родители ссылались на опасения по поводу того, что уникальные способности их ребенка будут недооценены для учащихся, признанных одаренными.

«Меня беспокоят предложения по упразднению продвинутых классов математики в средней школе», – сказала Венди Маркус, родитель троих учениц из Moorpark Unified в округе Вентура, включая дочь, которую она назвала одаренной. «Помещение продвинутых учеников со средним и ниже среднего в один класс не работает. Часто они просто отбрасывают этих детей в сторону и дают им дополнительную работу.”

Родитель и выпускник Объединенного университета Лос-Анджелеса по имени Виктор сказал, что он поддерживает некоторые части системы, но отверг идею «ограничения доступа к ускоренной математике в государственных школах», – сказал он. «Продвинутая математика – это путь, по которому многие студенты первого поколения, такие как я, достигли среднего класса».

Система не требует от округов отмены программ по математике с отличием, а также не предписывает школам удерживать учащихся от прохождения строгих математических курсов. Округа, которые решили отменить ускоренные курсы в средней школе, могут по-прежнему предлагать курсы математического анализа и другие продвинутые курсы математики, необходимые для программ STEM для младших и старших классов.

Многие сторонники нового предложения указывают на такие примеры, как организация San Francisco Unified, которая в 2014 году проголосовала за отмену ускоренных классов математики в средней школе.

Через пять лет после изменения политики в выпускном классе Объединенного университета Сан-Франциско в 2018–1919 годах процент повторных экзаменов по Алгебре 1 снизился с 40% до 8%, а 30% учеников старших классов изучали курсы, выходящие за рамки Алгебры 2.

Однако в среду двое родителей заявили, что усилия по «отказу от отслеживания» в их округах не привели к заметным улучшениям для учащихся из малообеспеченных семей, а вместо этого лишили учащихся возможности преуспевать.

«Если у нас нет здесь четких указаний о том, как ускорить обучение тех студентов, которым нужно больше или нужно двигаться быстрее, у вас будут округа, которые не внедряют рамки», – сказала член комиссии Линси Готанда, заместитель суперинтенданта Палос Вердес. Объединенный школьный округ полуострова. «Это не то, что мы хотим как комиссия».

Вслед за ожесточенными дебатами по поводу учебной программы по этническим исследованиям в штате государственные служащие образования теперь пытаются устранить как дезинформацию, так и очень реальные опасения, которые родители испытывают по поводу будущего своих детей с математикой.Заголовки, такие как «Калифорнийские левые пытаются отменить математику» в Wall Street Journal, уже разжигают опасения.

«Дезинформация – это своего рода реальность сегодняшнего дня и будущего. Мы занимались этим и с учебной программой по этническим исследованиям », – сказал Растин. «Но проблема равенства, расы и расизма в классах никуда не денется».

Некоторые оппоненты утверждают, что эта структура пытается ввести в математику критическую расовую теорию, академический подход, который утверждает, что история рабства и сегрегации живет в нынешних законах и социальных структурах, увековечивая расизм в Соединенном Королевстве.С.

Не упоминая прямо критическую теорию рас, структура указывает на исследования, которые поддерживают преподавание математики через призму социальной справедливости. Он также предлагает использовать примеры из реальной жизни, чтобы уроки математики более соответствовали жизненному опыту учащихся, поощряя различные способы показать ответ. И это показывает, как раса, класс и пол играют роль в сообщениях учащихся о своем месте в классе математики.

Несколько комментариев из последнего публичного обзора отвергают, в частности, отчет, цитируемый в структуре под названием «Путь к справедливому обучению математике», который призывает к демонтажу расизма и превосходства белых, которые проявляются в математике, путем отслеживания, выбора курса и списки вмешательств, а также поиск только одного «правильного» ответа.

Комиссия согласилась удалить ссылки на исследование из проекта рамок в среду, заявив, что оно несовместимо с обучением стандартам.

Тем не менее, некоторые родители обеспокоены тем, что, по их мнению, живет вне сферы расы и политики.

«Эта математическая структура – гигантский шаг назад и пропаганда против заслуг», – сказал один из родителей из Сан-Диего. «Не превращайте математику в поле идеологической битвы».

Как и все руководящие принципы штата по предметам, математическая структура регулярно пересматривается с семилетним циклом.Обновленная структура находится в разработке с 2019 года, и она будет представлена ​​на утверждение в Государственный совет по образованию в ноябре 2021 года. Наряду с 60-дневным периодом общественного обсуждения с февраля по апрель 2021 года, исходные данные, направляющие документ, поступили от четырех организаций. группы учителей вместе с фокус-группой студентов, чтобы поделиться своим опытом с математикой и курсами.

Предложение еще предстоит получить, чтобы заслужить общественное одобрение: около 53% тех, кто предоставил комментарии во время публичного обзора, оценили руководство системы для обучения всех учащихся как «неудовлетворительное».”

После периода общественного обсуждения член комиссии Кимберли Янг добавила, что студенты, не имеющие возможности посещать курсы ускоренного обучения, в основном не участвовали в обсуждении.

«Мы не получали известий от людей, пострадавших в результате отслеживания. Мы должны быть уверены, что представляем разных учащихся, у которых нет людей, которые могли бы говорить за них », – сказал Янг. «Я действительно смотрю этот документ, чтобы сделать это».

Чтобы получать больше отчетов, подобных этому, нажмите здесь, чтобы подписаться на бесплатную ежедневную рассылку EdSource о последних событиях в сфере образования.