Решить умножение в столбик: Онлайн калькулятор. Умножение столбиком.

Калькулятор умножение в столбик онлайн

Не секрет, что знакомство с математикой начинается с важнейшей науки о числах — арифметики. Как утверждал великий ученый М. В. Ломоносов, с арифметикой мы входим «во врата учености», именно с нее начинается нелегкий, но заманчивый путь познания мира. Эта наука изучает числа и действия над ними. Одним из таких действий над цифрами является умножение столбиком. Без ясного понимания последовательности действий при совершении умножения двух чисел в математике нельзя двигаться дальше. Следует знать, что числа, которые умножаются, называются множителями, а полученный результат — произведением. В числах имеются разряды, самый маленький — единицы, затем десятки, после них сотни и т. д. Если вы умножаете в столбик, расположите оба множителя друг над другом, чтобы совпадали разряды чисел. Большее число расположите в верхней строке, меньшее — в нижней. Если оба множителя или один из них имеют на концах нули, то числа располагают так, чтобы цифры наименьшего разряда (кроме 0) находились в одном столбике. Нули в поле поэтапных операций не заносятся, они переносятся под черту в конечный результат. Это делается потому, что при умножении любого числа на 0, все равно получается 0. Слева от множителей ставим «х». Умножение в столбик — поразрядное умножение. Это значит, что каждый разряд 1-го множителя, начиная с последней цифры, умножается на последнюю цифру 2-го множителя. Следующей строкой будет результат умножения верхнего числа (1-го множителя) на следующую цифру нижнего числа (2-го множителя). Следует помнить, что полученный после умножения на вторую цифру результат, следует размещать под второй цифрой полученного результата от первого умножения. Поэтапные произведения (разрядные) складываются по разрядам, результат заносится под черту, начиная с самой правой стороны. Слева от полученных произведений, которые складываются, ставим «+».

Онлайн калькулятор поможет вам быстро и правильно выполнить умножение столбиком.

Умножение столбиком. Онлайн калькулятор | Математика

Как умножать столбиком

Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.

Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить  846  на  5:

Умножить  846  на  5  — значит, сложить  5  чисел, каждое из которых равно  846.  Для этого достаточно взять сначала  5  раз по  6  единиц, потом  5  раз по  4  десятка и наконец  5  раз по  8  сотен.

1.   5  раз по  6  единиц =  30  единиц, т. е.  3  десятка. Пишем  0  под чертой на месте единиц, а  3  десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать  3  над десятками множимого:

2.   5  раз по  4  десятка =  20  десятков, прибавляем к ним ещё  3  десятка =  23  десятка, т. е.  2  сотни и  3  десятка. Пишем  3  десятка под чертой на месте десятков, а  2  сотни запоминаем:

3.   5  раз по  8  сотен =  40  сотен, прибавляем к ним ещё  2  сотни =  42  сотни. Пишем под чертой  42  сотни, т. е.  4  тысячи и  2  сотни. Таким образом, произведение  846  на  5  оказывается равным  4230:

Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить  3826  на  472:

Умножить  3826  на  472  — значит, сложить  472  одинаковых числа, каждое из которых равно  3826.  Для этого надо сложить  3826  сначала  2  раза, потом  70  раз, потом  400  раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.

2  раза по  3826  =  7652.  Пишем полученное произведение под чертой:

Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением. Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.

Умножаем  3826  на  7.  Это будет второе частичное произведение  (26782):

Умножаем множимое на  4.  Это будет третье частичное произведение  (15304):

Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение  (1 805 872):

Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:

Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

Например, необходимо вычислить  23 000 · 4500.  Сначала умножим  23  на  45,  не обращая внимание на нули:

И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится  103 500 000.

Калькулятор умножения столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.

Умножение натуральных чисел столбиком: примеры, решения

Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется “умножение в столбик” (или “умножение столбиком”). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

В этом материале мы расскажем, как считать с помощью данного способа. Все пояснения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Основы умножения столбиком

Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a·0=0 (a – любое натуральное число).

Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

Как записывать множители при подсчете столбиком

Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

Пример 1

Например, чтобы вычислить и 71, 550·45 002 и 534 000·4 300, запишем такие столбики:

Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

Как умножить столбиком многозначное число на однозначное

Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

Пример 2

Условие: вычислить 45 027·3.

Решение

Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7·3=21. Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10, то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2·3, это будет 6. Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21, как мы помним): 6+2=8. Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

Здесь нужно умножить 3 на 0. Согласно правилам умножения, результат будет равен 0. Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10. Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

Осталось умножить 5·3 и получить 15. Результат больше 10, пишем пятерку и запоминаем десяток:

Нам осталось только перемножить 4·3, это будет 12. Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10, пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

Ответ: 45 027·3 = 135 081.

Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Условие: подсчитать, сколько будет 4 502 700·3.

Решение

Cначала запишем числа нужным способом.

После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

Ответ: 4 502 700·3 =13 508 100.

Как перемножить столбиком два многозначных натуральных числа

Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

Пример 4

Условие: вычислить, сколько будет 207·8 063.

Решение

Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063, а под ним 207. Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7. Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0, то сразу переходим к следующему этапу.

3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10, и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063·207 = 1 669 041.

Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

Пример 5

Условие: умножьте 297 на 321.

Решение

Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

1. Первый этап – умножаем 297 на 1, которая стоит в разряде единиц второго множителя.

2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2, что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение:

3. Далее умножаем на значения сотен, т.е. 297 на 3:

4. У нас получилось три неполных произведения, которые надо сложить (для этого желательно повторить, как правильно складывать столбиком три числа и более). Считаем:

Ответ: 297·321 = 95 337.

Еще один пример приведем без пояснений.

Пример 6

Условие: вычислите 210 627·30 105.

Решение

Весь процесс вычислений указан в записи ниже.

Ответ: 210 627·30 105 = 6 340 925 835.

В целом можно сказать, что если вы отлично владеете способностью умножать однозначные числа и умеете складывать столбиком, то процесс умножения многозначных натуральных чисел указанным методом не будет представлять для вас никакого труда.

У нас остался еще один момент, который мы хотели бы пояснить. Как быть, если один из множителей или оба сразу имеет в конце нуль (или несколько нулей)? Для наглядности возьмем такую задачу и решим ее.

Пример 7

Условие: вычислите 50 600·390.

Решение

Все, что нам надо сделать, – это записать множители так, чтобы друг под другом оказались цифры, отличные от нуля.

После этого мы можем просто провести все вычисления по указанному выше алгоритму, игнорируя нули. Т.е. в данном примере нам нужно просто умножить 506 на 39. Получаем два неполных произведения и складываем их:

Нам осталось все лишь дописать к результату оставшиеся нули. Мы добавляем их столько, сколько указано справа у обоих множителей. В нашем примере к готовому числу надо написать три нуля:

Это и будет корректный ответ.

Ответ: 50 600·390 = 19 734 000.

Умножение в столбик | Наука делать уроки

Самое главное правило, с которого мы начинаем изучать умножение в столбик:

Умножение в столбик на двузначное число

Пример: 46 умножить на 73

Этот пример  можно записать в столбик.

Под числом 46 записываем число 73 по правилу:

Единицы записываем под единицами, а десятки  под десятками

1Умножать начинаем с единиц.

3 умножим на 6. Получится 18.

• 18 единиц – это 1 десяток и 8 единиц.
• 8 единиц пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем  и прибавим к десяткам.

Теперь 3 умножим на 4 десятка. Получится 12.

12 десятков, да ещё 1, всего 13 десятков.

Сотен в этом примере нет, поэтому сразу на месте сотен пишем 1.

138 — это первое неполное произведение.

2 Умножаем десятки.

7 десятков  умножить на 6 единиц получится 42 десятка.

• 42 десятка это 4 сотни и 2 десятка.
• 2 десятка пишем под десятками. 4 запомним и прибавим  к сотням.

7 десятков умножить на 4 десятка получится 28 сотен. 28 сотен, да ещё 4 получится 32 сотни.

• 32 сотни  – это 3 тысячи и 2 сотни.
• 2 сотни пишем под сотнями, а 3 тысячи запомним и прибавим к тысячам.

Тысяч в этом примере нет, поэтому сразу на месте тысяч пишу 3.

3220 – это второе неполное произведение.

3Складываем первое и второе неполные произведения по правилу сложения в столбик.

138 плюс 3220  получится 3358.

 

Читаем ответ: 46 умножить на 73 получится 3358

Работаем в столбик

Образец записи

(Кликните по картинке)

Компоненты действия умножения

 

(Кликните по картинке)

Ваша Помощница

— умная и нужная
шпаргалка

Кликните, чтобы скачать и затем распечатать

Образец рассуждения

во время записи
умножения в столбик

 

 

Внимательно просмотрите и примените в своих действиях!

Какие ошибки при умножении

можно сделать и
как их избежать

[Видео]

Внимательно просмотрите,

чтобы не совершать ошибок!

Правила для других случаев умножения

Умножение в столбик на однозначное число

34 х 2

Этот пример  можно записать в столбик.

Под числом 34 записываем число 2 по правилу:

Единицы записываем под единицами, а десятки, если они будут под десятками

1Умножать начинаем с единиц.

2 умножим на 4. Получится 8.

2х4=8

8 пишем под единицами.

Теперь 2 умножим на 3десятка. Получится 6.

2х3=6

6 пишем под десятками.

Читаем ответ: 34 умножить на 2 получится 68.

Умножение в столбик на однозначное число с  переходом через десяток

38 х 2

Этот пример  можно записать в столбик.

Под числом 38 записываем число 2 по правилу:

 Единицы записываем под единицами, а десятки, если они будут под десятками

1Умножать начинаем с единиц.

2 умножим на 8. Получится 16.

• 16 единиц – это 1 десяток и 8 единиц.
• 8 единиц пишем под единицами. А 1 десяток запомним и прибавим к десяткам.

Теперь 2 умножим на 3 десятка. Получится 6.

6 десятков да ещё 1 всего 7 десятков.

7 пишем под десятками.

Читаем ответ: 38 умножить на 2 получится 76.

Умножение в столбик на однозначное число с  переходом через десятки

68 х 2

Этот пример  можно записать в столбик.

Под числом 68 записываем число 2 по правилу:

 Единицы записываем под единицами, а десятки, если они будут под десятками

1Умножать начинаем с единиц.

2 умножим на 8. Получится 16.

• 16 единиц – это 1 десяток и 6 единиц.
• 6 единиц пишем под единицами. А 1 десяток запомним и прибавим к десяткам.

Теперь 2 умножим на 6 десятков. Получится 12.

12 десятков да ещё 1 всего 13 десятков.

• 13 десятков – это 1 сотня да ещё 3 десятка.
• 3 десятка  пишу под десятками. А 1 сотню запомним и прибавим к сотням.

Сотен в этом примере нет, поэтому сразу на месте сотен напишем 1.

Читаем ответ: 68 умножить на 2 получится 136.

урок с примерами, карточками и видео

Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами. Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.

Как правильно умножать столбиком

Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.

Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 — внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.

Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд — сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».

Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5. Получается, что каждое последующее промежуточное число смещается на 1 разряд влево.

Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.

Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу — получается 9.

Таким образом, ответ: 936.

Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителей

Точно так же умножаются и другие многозначные числа.

Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.

Варианты карточек

Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности. Так детям будет проще запомнить принцип счёта. Примеры для практики можно использовать и при первом изучении умножения, и для повторения после каникул.

Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.

Фотогалерея: примеры карточек для урока

Видео: умножение чисел в столбик

Постоянная практика — залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

Математика. Умножение «в столбик» | Сайт Леонида Некина

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах 24 × 24. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от 2 × 2 до 9 × 9. Удобнее всего ее записать в таком виде:

 

	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом 3, и колонки, помеченной числом 5, стоит как раз произведение чисел 3∙5, то есть 15. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать на однозначное число. Пусть нам надо вычислить

6879∙7.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

6879∙7 =

(9	+	7∙10	+	8∙100	+	6∙1000)∙7	=
9∙7	+	7∙7∙10	+	8∙7∙100	+	6∙7∙1000	=
63	+	49∙10	+	56∙100	+	42∙1000	=

	6 3
+	4 9 0
+	5 6 0 0
+	4 2 0 0 0

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

 

×	6	8	7	9
				7
			6	3
		4	9
	5	6
4	2

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

 

×	6	8	7	9
				7
			6	3
		4	9
	5	6
4	2
	1	1
4	8	1	5	3

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили 6 и 9, то получили 15. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать 4 и 6, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число 11 тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

 

×	6	8	7	9
				7
4	5	4	6
	2	6	9	3
	1	1
4	8	1	5	3

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

 

×	6	8	7	9
				7

В разряде единиц умножим 9 на 7. Результат 63 запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

 

×	6	8	7	9
				7
			6
				3

Теперь умножим в разряде десятков 7 на 7. Получаем 49. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: 49 + 6 = 55. Этот результат опять записываем наискосок:

 

×	6	8	7	9
				7
		5	6
			5	3

Переходим к разряду сотен: 8∙7 + 5 = 61. Записываем:

 

×	6	8	7	9
				7
	6	5	6
		1	5	3

И, наконец, в разряде тысяч получаем 6∙7 + 6 = 48:

 

×	6	8	7	9
				7
4	6	5	6
4	8	1	5	3

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их прото некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

6879∙67.

Ну что ж, приступим.

6879∙67 =

6879∙(7 + 6∙10) =

6879∙7
+
6879∙6∙10 =

	6 3
+	4 9 0
+	5 6 0 0
+	4 2 0 0 0
	+
	5 4 0
+	4 2 0 0
+	4 8 0 0 0
+	3 6 0 0 0 0

Здесь при умножении на 6 мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на 7, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще 0 из-за дополнительного умножения на 10. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

 

	×	6	8	7	9
				6	7
	4	6	5	6
	4	8	1	5	3
4	5	4	5
4	1	2	7	4

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

 

	×	6	8	7	9
				6	7
	4	6	5	6
	4	8	1	5	3
4	5	4	5
4	1	2	7	4
	1
4	6	0	8	9	3

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

		×	6	8	7	9
				2	6	7
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
	4	5	4	5
	4	1	2	7	4
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1	1
1	8	3	6	6	9	3

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

		×	6	8	7	9
				2	0	7
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1
1	4	2	3	9	5	3

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

		×	6	8	7	9	0
				2	6	7	0	0
		4	6	5	6
		4	8	1	5	3
	4	5	4	5
	4	1	2	7	4
1	1	1	1
1	3	7	5	8
	1	1	1
1	8	3	6	6	9	3	0	0	0

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число

 

 

 

Решётчатое умножение | Наука и жизнь

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550—1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592—1635).

‹

›

Наследие индусов — способ решётки

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Палочки Непера

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора — палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней — число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие — с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Палочки Непера применялись и для более сложных операций — деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Машина Шиккарда

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

Калькулятор длинного умножения

Добро пожаловать в калькулятор длинного умножения – отличный инструмент, который поможет вам решить умножение самостоятельно. Если вы когда-нибудь спрашивали себя: Как умножить десятичные дроби? или Как умножать большие числа? , вот правильное место, чтобы найти ответ.

Знание основного алгоритма умножения позволяет решать более сложные задачи, такие как умножение дробей или матриц. Кроме того, если вы научитесь выполнять долгое умножение вместе с делением в столбик, это сделает математические упражнения с операциями над числами такими простыми, как никогда раньше!

Если вы хотите попробовать альтернативный подход к умножению больших чисел, воспользуйтесь калькулятором частичных произведений Omni!

Как умножить десятичные дроби?

Начнем с основ – умножение – это компактный способ записи сложения повторяющихся чисел.Если мы хотим решить задачу типа 6 * 2 , это будет то же самое, как если бы нам нужно было добавить 2 шесть раз, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . В этом смысле умножение чрезвычайно полезно, особенно для больших чисел.

Математики называют первое число при умножении множителем , а второе – множителем . Результатом умножения будет произведение .

💡 Умножение равно коммутативному .Это означает, что мы можем изменить множитель и множимое на , и результат не изменится.

С самого начала обучения мы все учимся умножать числа от одного до десяти – кошмар большинства учеников, не так ли? Но на самом деле это все, что вам нужно знать о том, как умножать большие числа или как долго работает умножение на десятичные дроби!

Итак, как умножить десятичные дроби? Короче говоря, забудьте о десятичной точке и произведите умножение на целые числа.Затем складывают десятичные знаки множителя и множимого . Сумма – это количество десятичных знаков в продукте. Мы подробно описываем весь процесс в специальном разделе ниже.

Кстати, знак “умножить” можно записать несколькими способами. В физике мы используем · для скалярного произведения, × для перекрестного произведения и * для умножения чисел. В нашем случае это не имеет большого значения, поэтому мы можем использовать их как взаимозаменяемые.

Как сделать длинное умножение?

Мы можем описать алгоритм длинного умножения за несколько шагов:

1. Установите оба числа одно под другим и выровняйте их по правому краю так, чтобы первые значащие цифры были первыми справа.

   💡 Рекомендуется устанавливать большее число в качестве множителя, а меньшее – в качестве множимого. Это не меняет продукт, но уменьшает количество шагов .

   
   

2. Начните умножать множитель на первую цифру (справа) множимого, цифру за цифрой. Каждый раз, когда вы заканчиваете с числом больше 9, запишите цифру единиц, и перенесет цифру десятков на следующий шаг (например, 7 * 5 = 35 , поэтому напишите 5 и перенесите 3 ).

3. Повторите эти действия для остальных цифр множителя. Каждый раз, когда у вас есть номер, добавляйте его к продукту (например,грамм. 1 * 5 и 3 , перенесенные с предыдущего шага, дают нам 8 ).

4. Когда вы закончите с первой цифрой множимого, вы получите первый промежуточный продукт .

5. Повторите ту же процедуру для остальных цифр множимого, каждый раз начиная с позиции справа (при умножении на десятки, сотни и т. Д.). Вы также можете написать нули в конце, если хотите.

   💡 Если вы столкнетесь с любыми цифрами 0 в множимом, вы можете пропустить шаг , так как произведение нуля и любого другого числа всегда равно нулю.

   
   

6. Когда вы закончите со всеми промежуточными продуктами, сложите их .

7. Результат – ваш конечный продукт. Теперь вы знаете, как делать длинное умножение!

Длинное умножение с десятичными знаками

Давайте перейдем на следующий уровень и узнаем, как умножать десятичные дроби с помощью метода длинного умножения.В качестве примера умножим 4,37 на 8,5 . Оказывается, мы можем рассматривать это как задачу умножения на 3 и 2 цифры. Чтобы получить ответ, мы можем выполнить следующие действия:

1. Подсчитайте количество десятичных цифр в обоих числах . В первом два десятичных знака, а во втором – один десятичный.

2. Сумма десятичных цифр множителя и множимого равна трем ( 2 + 1 ). У нас также будет с тремя десятичными знаками в произведении .

3. На этом этапе мы можем забыть о десятичных точках и выполнить умножение 437 * 85 .

4. Произведение 437 и 5 равно 2185 .

5. Произведение 437 и 8 равно 3496 . Не забудьте начать писать с места справа. В качестве альтернативы вы можете добавить один 0 в конце, так что продукт станет 34960 , и тогда оба числа будут выровнены по правому краю.

6. Оцените сумму этих двух промежуточных продуктов. 2185 + 34960 = 37145 .

7. Наконец, примените десятичную точку в произведении . Мы знаем, что должно быть из трех десятичных цифр , поэтому наш результат равен 37,145 .

Если вы сомневаетесь, заблудились в какой-то момент или просто хотите проверить ответ, вы всегда можете воспользоваться нашим калькулятором длинного умножения!

Как умножать большие числа? Алгоритм умножения на практике

Преимущество длинного умножения в том, что оно не усложняет задачу для больших чисел.Что имеет значение, так это длина чисел , а не сами значения. Более того, может быть еще проще умножать большие числа, если какое-либо из них (или оба) оканчивается несколькими конечными нулями. Почему?

Мы можем просто пропустить конечных нулей для умножения , так как любые промежуточные продукты будут равны нулю. Мы можем добавить нули в конце как из множителя, так и из множимого и записать их рядом с произведением . Процедура очень похожа на процедуру с десятичными знаками.

Давайте применим алгоритм длинного умножения для двух больших чисел, скажем 34000 и 2870 :

1. Подсчитать количество завершающих нулей в обоих случаях . В первом номере их три, а во втором – один ноль.

2. Теперь наши новые значения: 34 и 287 соответственно. Обратите внимание, что в этом случае первое число короче второго (в отличие от исходных чисел).Мы можем поменять местами и вычислить умножение 287 на 34 .

3. Первый промежуточный продукт – это 1148 , а второй – 861 (помните о смещении этого числа на одну цифру влево). Суммируя их, получаем 9758 .

4. Сейчас самое время для применить недостающие нули в конце к продукту . Всего их у нас четыре.

5. Конечный результат длинного умножения: 97 580 000 .Мы даже можем записать его как 9,758 * 10⁷ , используя научную нотацию.

Как (и когда) использовать калькулятор длинного умножения?

Вы когда-нибудь пробовали складывать или вычитать дроби? Если да, то вы, вероятно, знакомы с концепцией поиска наименьшего общего знаменателя. Проще говоря, все дело в поиске наименьшего общего кратного двух (или нескольких) чисел. Процесс предполагает определенный навык умножения. В этой ситуации наш калькулятор длинного умножения становится удобным, особенно для дробей, содержащих десятичные дроби или большие числа.

Хорошо то, что наш инструмент довольно прост в использовании. Поскольку вы уже знаете, как выполнить длинное умножение с десятичными дробями вручную из предыдущих разделов, давайте посмотрим, как сделать то же самое с помощью калькулятора длинного умножения:

• Введите первое число в качестве множителя, например 0,00367 .

• Введите второе число в качестве множимого, например, 449300 .

• И все! В результате вы получите ответ – 1648.931 . Кроме того, вы также получите объяснения и подсказки о том, как работать с умножением больших чисел и десятичных знаков.

Длинное умножение – определение, шаги, столбец и горизонтальный метод, десятичное число, примеры

Длинное умножение считается особым методом умножения больших чисел, состоящих из двух и более цифр. Метод умножения чисел больше 10 известен как метод длинного умножения. Для этого метода необходимо знание таблицы умножения от 1 до 10.В этом разделе мы узнаем о длинном умножении, понимая умножение больших чисел, метод умножения по столбцам и способы их применения при решении задач.

Что такое длинное умножение?

Длинное умножение – это метод умножения двух или более чисел. Учтите, что нам нужно умножить любые два числа больше 10 или 100, обычно мы выполняем длинное умножение. Другое название длинного умножения – это метод умножения по столбцу, поскольку числа также можно умножать в столбце.Обычно найти произведение двух чисел не может быть просто, это когда мы используем метод длинного умножения.

Давайте посмотрим на этот пример, рассмотрим 31 × 49. Здесь мы умножаем 31 на 49, записывая одно из этих чисел в развернутой форме, т.е. 31 = 30 + 1. 30 – это десятая часть, а 1 – единичная часть. Таким образом, 31 × 49 можно записать как 30 × 49 + 1 × 49. Сначала мы умножаем 49 на 30, а затем мы умножаем 49 на 1, а затем складываем их. Итак, вместо прямого умножения мы выполнили длинное умножение, что делает процесс простым и точным.

Метод длинных столбцов умножения

Метод умножения по столбцам почти такой же, как и метод длинного умножения, с той лишь разницей, что здесь в методе длинного умножения мы выполняем умножение по горизонтали, а в методе умножения по столбцам мы выполняем умножение по вертикали. Подобно длинному умножению, метод столбцов также имеет пошаговую процедуру. Их:

• Шаг 1. Расположите числа в формате столбца в соответствии с их разрядами.Обычно сверху пишется большее число.
• Шаг 2: После расстановки начните с умножения нижнего числа на месте единицы на верхнее число.
• Шаг 3: Всегда не забывайте двигаться справа налево, поэтому, когда результат будет получен, расположите его под двумя числами. Начните умножать десятки нижнего числа на верхнее. Поместите результат, оставив место пустым или поставив ноль.
• Шаг 4: Как только числа получены, используйте метод сложения для получения окончательного решения.

Давайте посмотрим на пример для лучшего понимания. Умножить 52 × 11.

Шаг 1: Расположите числа по вертикали, как показано ниже.

Шаг 2: Сначала умножьте 52 на 1.

Шаг 3: Теперь умножим 52 на 1 в десятом месте, здесь мы фактически умножаем 52 на 10.

Шаг 4: Теперь сложите 52 и 520.

Следовательно, 52 × 11 = 572.

Длинное умножение с десятичными знаками

Метод длинного умножения можно использовать и для десятичных чисел. Давайте посмотрим на пример: Умножение 4,1 × 2,7.

При умножении оставьте меньшее число справа.

Шаг 1: Удалите десятичную дробь и преобразуйте десятичное число в дробь.

4,1 × 2,7 = 41/10 × 27/10

Шаг 2: Теперь оставьте 10 в знаменателе.

41/10 × 27/10 = (41 × 27) / (10 × 10)

Шаг 3: Произведите долгое умножение числителей и отложите знаменатель на некоторое время.

Шаг 4: Теперь разделите результат умножения на знаменатель, который мы оставили в стороне. Чтобы получить десятичное число, мы преобразуем 1107, рассматривая два нуля в знаменателе и считая десятичную точку от последнего числа, то есть 7, до следующего числа, то есть 0. Следовательно, десятичная точка помещается через два числа после последнего числа.

(1107) / (10 × 10) = 1107/100 = 11,07

Следовательно, 4,1 × 2,7 = 11,07

Горизонтальный метод длинного умножения

В длинном умножении одним из методов, помимо метода столбцов, является метод горизонтального умножения.Этот метод в основном используется для однозначных и двузначных чисел. Рассмотрим пошаговую процедуру решения длинного умножения в горизонтальном методе:

• Шаг 1. Расположите числа по горизонтали рядом друг с другом в обычном формате умножения.
• Шаг 2: Начните с умножения первого числа на одном месте на другое число.
• Шаг 3: Всегда двигайтесь справа налево при длинном умножении. Как только первое число сделано, умножьте число в разряде десятков на другое число.
• Шаг 4: Как только результат получен и записан в формате столбца, используйте метод сложения, чтобы найти окончательное решение.

Давайте воспользуемся приведенным выше примером, чтобы лучше понять умножение двух цифр. Умножение 31 × 49

Шаг 1. Расположите числа по горизонтали и начните с умножения 49 на 1.

Шаг 2: Теперь умножьте 49 на 3 и поставьте крестик чуть ниже 9 (место единицы числа 49), этот крестик представляет 0.

Шаг 3: Напишите нули перед числом 49, чтобы оно занимало число 1 из 147, запишите числа сразу под другим числом, чтобы сложение было легким.

Шаг 4: Сложите эти два числа 0049 и 1470.

Следовательно, 31 × 49 = 1519. В длинном умножении крест представляет ноль. Кроме того, при умножении чисел до трехзначного числа мы должны складывать два крестика, а мы умножаем их на стозначное число.

Длинное умножение на отрицательные числа

Длинное умножение отрицательных чисел выполняется по тому же правилу, что и положительные числа, с той лишь разницей, что они используются в знаках.При умножении чисел мы должны помнить о знаках. Когда положительное число умножается на отрицательное, решением является отрицательное число. В то время как, когда два отрицательных числа умножаются друг на друга, решением является положительное число.

Часто задаваемые вопросы о длинном умножении

Что означает длинное умножение?

Длинное умножение – это метод умножения, используемый для умножения чисел до 2-х и более цифр.Произвести длинное умножение можно двумя способами: числа, записанные горизонтально, и числа, записанные в столбец. Большие числа, состоящие более чем из трех цифр, умножаются методом длинного умножения. Умножение двух чисел еще называют произведением двух чисел. Длинное умножение можно также назвать методом умножения по столбцам.

Каковы шаги для горизонтального метода длинного умножения?

Для выполнения длинного умножения больших чисел требуется 4 шага:

• Расположите числа по горизонтали.
• Начните с умножения первого числа на одном месте на другое число.
• Всегда двигайтесь справа налево при длинном умножении. Как только первое число будет набрано, умножьте число в разряде десятков на другое число.
• Как только результат получен и записан в формате столбца, используйте метод сложения, чтобы найти окончательное решение.

Каковы шаги для метода длинного столбца умножения?

Шаги длинного умножения по столбцам очень похожи на обычное длинное умножение.Метод столбцов выполняется вертикально и состоит из 4 шагов:

• Расположите числа в формате столбца в соответствии с их разрядами.
• Начните с умножения нижнего числа на месте единицы на верхнее число.
• После получения результата расположите его под двумя числами. Начните умножать десятки нижнего числа на верхнее.
• Как только числа получены, используйте метод сложения для получения окончательного решения.

Можно ли использовать длинное умножение для десятичных чисел?

Да, метод длинного умножения можно использовать и для десятичных чисел. При умножении десятичных чисел всегда оставляйте меньшее число в правой части. Для десятичных чисел можно использовать как горизонтальный, так и вертикальный методы длинного умножения.

Можно ли использовать длинное умножение для отрицательных чисел?

Да, метод длинного умножения можно использовать для отрицательных чисел с помощью нескольких правил, например:

• Положительное число, умноженное на положительное, дает положительное число.
• Отрицательное число, умноженное на положительное или наоборот, даст отрицательное число.
• Отрицательное число, умноженное на отрицательное, даст положительное число.

Как решить задачи длинного умножения?

Задачи длинного умножения можно решить двумя способами – методом длинного умножения и методом столбцов. Метод длинного умножения требует, чтобы числа записывались горизонтально, тогда как метод столбца требует, чтобы числа были написаны вертикально.Оба метода помогают в решении задач с большими числами.

Как легко сделать длинное умножение?

Метод длинного умножения может быть выполнен легко и быстро, если мы помним несколько вещей. Для умножения всегда лучше использовать сложение, поскольку оно используется для получения окончательного решения. Всегда помните таблицу умножения от чисел 1-10. При долгом умножении всегда полезно разбить проблему на шаги для лучшего понимания и более быстрого получения результата.

Мы нашли более быстрый способ умножения действительно больших чисел

Умножение двух чисел легко, не так ли?

В начальной школе мы учимся выполнять долгое умножение следующим образом:

Долгий путь к умножению. Дэвид Харви

Подобные методы существуют тысячи лет назад, по крайней мере, у древних шумеров и египтян.

Но действительно ли это лучший способ умножить два больших числа?

---

Подробнее: Шесть изображений показывают, как мы “видим” данные и фиксируем невидимую науку.

---

При длинном умножении мы должны умножить каждую цифру первого числа на каждую цифру второго числа.Если каждое из двух чисел состоит из N цифр, это всего N ² (или N x N ) умножений. В приведенном выше примере N равно 3, и нам пришлось сделать 3 ² = 9 умножений.

Примерно в 1956 году известный советский математик Андрей Колмогоров предположил, что это наилучший способ умножения двух чисел .

Другими словами, независимо от того, как вы устроите свои расчеты, объем работы, который вы должны сделать, будет пропорционален как минимум N ² .Двойное количество цифр означает , четыре – раза больше работы.

Колмогоров считал, что если бы кратчайший путь был возможен, то наверняка он уже был бы обнаружен. В конце концов, люди умножали числа на протяжении тысячелетий.

Это превосходный пример логической ошибки, известной как «аргумент от незнания».

Более быстрый путь

Всего несколько лет спустя гипотеза Колмогорова оказалась совершенно неверной.

В 1960 году Анатолий Карацуба, 23-летний студент-математик из России, открыл хитрый алгебраический трюк, который сокращает количество необходимых умножений.

Например, для умножения четырехзначных чисел вместо 4 ² = 16 умножений метод Карацубы обходится только девятью. При использовании его метода вдвое большее количество цифр означает всего три раза больше работы.

Это дает впечатляющее преимущество по мере того, как числа становятся больше. Для чисел с тысячей цифр метод Карацубы требует примерно в 17 раз меньше умножений, чем длинное умножение.

Но с какой стати кому-то захочется перемножать такие большие числа вместе?

На самом деле приложений огромное количество.Один из наиболее заметных и экономически значимых – это криптография.

Большие числа в жизни

Каждый раз, когда вы участвуете в зашифрованном общении в Интернете – например, заходите на свой банковский веб-сайт или выполняете поиск в Интернете – ваше устройство выполняет головокружительное число умножений, включая числа с сотнями или даже тысячами цифр.

Скорее всего, ваше устройство использует уловку Карацубы для этой арифметики. Все это часть удивительной программной экосистемы, которая обеспечивает максимально быструю загрузку наших веб-страниц.

Для некоторых более эзотерических приложений математикам приходится иметь дело с еще большими числами, состоящими из миллионов, миллиардов или даже триллионов цифр. Для таких огромных чисел даже алгоритм Карацубы слишком медленный.

Настоящий прорыв произошел в 1971 году с работами немецких математиков Арнольда Шёнхаге и Фолькера Штрассена. Они объяснили, как использовать недавно опубликованное быстрое преобразование Фурье (БПФ) для эффективного умножения огромных чисел. Их метод сегодня регулярно используется математиками для обработки миллиардов цифр.

БПФ – один из важнейших алгоритмов 20 века. Одно приложение, знакомое в повседневной жизни, – это цифровой звук: всякий раз, когда вы слушаете MP3, службы потоковой передачи музыки или цифровое радио, FFT обрабатывают декодирование звука за кулисами.

Еще более быстрый способ?

В своей статье 1971 года Шёнхаге и Штрассен также сделали поразительную гипотезу. Чтобы объяснить, мне нужно на мгновение остановиться на технических деталях.

Первая половина их гипотезы состоит в том, что должно быть возможно умножить N -значных чисел, используя ряд основных операций, которые пропорциональны не более чем N log ( N ) (это N раз больше натурального числа). логарифм N ).

Их собственный алгоритм не совсем достиг этой цели; они были слишком медленными на коэффициент log (log N ) (логарифм логарифма N ). Тем не менее, их интуиция заставила их подозревать, что они чего-то упускают, и что N log ( N ) должно быть возможным.

За десятилетия, прошедшие с 1971 года, несколько исследователей нашли улучшения в алгоритме Шёнхаге и Штрассена. Примечательно, что алгоритм, разработанный Мартином Фюрером в 2007 году, очень близко подошел к неуловимому логарифму N ( N ).

Вторая (и гораздо более сложная) часть их гипотезы состоит в том, что N log ( N ) должно быть основным пределом скорости – что ни один из возможных алгоритмов умножения не может работать лучше этого.

Звучит знакомо?

Мы достигли предела?

Несколько недель назад Йорис ван дер Ховен и я опубликовали исследовательскую работу, описывающую новый алгоритм умножения, который, наконец, достигает святого Грааля N ( N ), тем самым решая «легкую» часть гипотезы Шёнхаге-Штрассена. .

Работа еще не рецензировалась, поэтому следует соблюдать осторожность. Стандартной практикой в ​​математике является распространение результатов исследований до того, как они пройдут рецензирование.

Вместо использования одномерных БПФ – основного продукта всей работы над этой проблемой с 1971 года – наш алгоритм опирается на многомерных БПФ. В этих устройствах нет ничего нового: широко используемый формат изображений JPEG зависит от двумерного БПФ, а трехмерное БПФ имеет множество приложений в физике и технике.

В нашей статье мы используем БПФ с 1729 измерениями. Это сложно визуализировать, но математически не сложнее, чем в двухмерном случае.

Действительно большие числа

Новый алгоритм не совсем практичен в его нынешнем виде, потому что доказательство, приведенное в нашей статье, работает только для смехотворно больших чисел. Даже если бы каждая цифра была написана на атоме водорода, в наблюдаемой Вселенной не было бы достаточно места, чтобы записать их.

---

Подробнее: Почему нам нужно знать простые числа с миллионами цифр?

---

С другой стороны, мы надеемся, что при дальнейших усовершенствованиях алгоритм может стать практичным для чисел, состоящих всего из миллиардов или триллионов цифр. В таком случае он вполне может стать незаменимым инструментом в арсенале вычислительной математики.

Если полная гипотеза Шёнхаге – Штрассена верна, то с теоретической точки зрения новый алгоритм – это конец пути – невозможно сделать лучше.

Лично я был бы очень удивлен, если бы предположение оказалось неверным. Но нельзя забывать, что случилось с Колмогоровым. Математика иногда преподносит сюрпризы.

Как научить этому шаг за шагом

Метод длинного умножения может быть очень трудным в обучении в 5 и 6 классах, как это знает любой, кто раньше преподавал верхний KS2.

Несмотря на самые лучшие намерения, всегда найдутся ученики, которые либо не уверены в более простом подходе 4 на 1 цифру, либо не уверены в своих таблицах умножения.

Если этот учебный год будет вашим первым в шестом классе, у вас есть все, чего стоит ожидать, но не отчаивайтесь – это происходит каждый год.

Что такое длинное умножение?

Длинное умножение – это процесс умножения двух или трехзначных чисел на другое число , состоящее из двух или более цифр, с использованием письменного метода. Это часто называют умножением по столбцам

В 5-м и 6-м классе начальной школы длинное умножение означает умножение числа, состоящего не менее чем из трех цифр, на одно, состоящее из двух или более цифр.

Прежде чем приступить к длинному умножению на KS2, дети в идеале должны быть уверены в своей таблице умножения и понимать ключевые термины, такие как множимое и множитель.

• Множитель – это число, с которого вы начинаете умножение.
• Множитель – это то, сколько групп вам нужно; сколько раз вы собираетесь умножить множимое на.

Длинное умножение в национальной учебной программе

В Национальной учебной программе по математике для Англии формальный метод длинного умножения упоминается как для 5-го, так и для 6-го курса.

• В целях 5 класса для умножения и деления он устанавливает, что учеников должны быть обучены умножать числа до 4-х цифр на одно- или двузначные числа, используя формальный письменный метод, включая долгое умножение для двузначного числа. числа. ‘

• В целях 6 года для умножения и деления сказано, что ученики должны умножать многозначные числа до 4-х цифр на двузначное целое число, используя формальный письменный метод длинного умножения. .’

Приложение к групповым целям на конец года дает нам представление о том, как это выглядит:

Это красиво излагает модель прогресса для учителей после того, как класс привыкнет к умножению трех- или четырехзначных чисел на однозначное число.

Длинные вопросы на умножение в SAT

Беглый просмотр арифметической работы SAT 2019 показывает, что есть 4 оценки, которые можно взять за правильные ответы на длинные вопросы умножения, а также множество примеров учеников, которым необходимо выбрать этот метод в двух листах рассуждения так как это был бы наиболее эффективный по времени метод выбора, чтобы пройти через бумагу.

Поэтому очень важно, чтобы ученики свободно владели этим методом. Когда я говорю «беглый», я имею в виду:

«Беглость – это процесс извлечения информации из долговременной памяти без каких-либо усилий в нашей рабочей памяти, освобождение ценного места в нашей рабочей памяти, чтобы уделять внимание другим вещам. . ‘

Подробнее: Свободное владение языком, рассуждения и решение проблем

Что такое метод длинного умножения?

Формальный метод длинного умножения – это пошаговый метод, помогающий детям понять концептуально и практически, как умножить одно трех- или четырехзначное число на другое двухзначное число или больше.

Метод длинного умножения, шаг за шагом

Вот метод длинного умножения, разбитый шаг за шагом с использованием второго примера из Приложения к национальной учебной программе:

Как сделать длинное умножение шаг за шагом

Пример: 124 x 26

1. Задайте вопрос в формальном методе
2. Не забудьте начать процесс умножения с единиц
3. Умножьте 6 на 4
4. Запишите ответ правильно – включая любые несущие
5. Умножьте 6 на 2
6. Добавьте все, что вы перенесли из предыдущего умножения.
7. Умножьте 6 на 2
8. Запишите ответ правильно
9. Отбросьте ноль, так как мы теперь умножаем на 10
10. Умножаем 2 на 4
11. Запишите ответ правильно
12. Умножьте 2 на 2
13. Запишите ответ
14. Умножьте 2 на 1
15. Напишите ответ правильно
16. Правильно сложите два ответа

Это в общей сложности 16 шагов, которые детям необходимо свободно освоить, изучая этот новый процесс, чтобы прийти к окончательному ответу.Принимая во внимание ограничения нашей рабочей памяти, это требует больших усилий, и они могут довольно легко перегрузить ее и предотвратить кодирование этой информации.

Итак, ответ на вопрос: как сделать длинное умножение? просто следуйте инструкциям!

Но здесь упускается важный этап обучения – переход от процедурного к концептуальному пониманию того, что происходит.

Остальная часть этой статьи объясняет, как научить долгому умножению иметь наибольшее влияние на ваш класс.Он включает ссылки на длинные таблицы умножения, чтобы дать вам много практики.

Как когнитивная наука повлияла на мое учение о длинном умножении

Два урока когнитивной науки сильно изменили мой подход к обучению методу длинного умножения.

1.

Долговременная и краткосрочная память

Первым было понимание того, что у нас есть долговременная память, которая почти безгранична в информации, которую она может хранить; и рабочая память, где мы делаем наши сознательные мысли.

Важно отметить, что пространство в нашей рабочей памяти ограничено, многие исследователи полагают, что оно составляет от 4 до 7 элементов. Оливер Кавилиоли любезно нарисовал замечательный плакат, демонстрирующий этот процесс.

Из https://www.olicav.com/#/diagrams/

Из модели мы видим, что человек использует свое внимание, чтобы переносить вещи из окружающей среды в рабочую память. Затем мы пытаемся закодировать эту информацию в нашей долговременной памяти, но некоторая информация может быть забыта по множеству причин.

Когда эта информация находится в нашей долговременной памяти, мы можем вернуть ее на передний план нашей рабочей памяти, чтобы использовать ее. Однако, если эти воспоминания остаются бездействующими слишком долго (то есть мы не вспоминаем эти воспоминания в течение длительного периода времени), они тоже могут быть забыты.

Подробнее: Обучение и память в классе

2. Теория когнитивной нагрузки

Еще один урок когнитивной науки, который повлиял на мое обучение, касался теории когнитивной нагрузки.Теория когнитивной нагрузки пытается объяснить, почему мы не можем закодировать новую информацию из нашей рабочей памяти в нашу долговременную память.

Это могло быть вызвано многими причинами, такими как: слишком сложная работа; покрывается слишком быстро; слишком много отвлекающих факторов в окружении; не имея предварительных знаний по теме (мы вернемся к этому позже) и т. д.

Как это помогает нам обучать методу длинного умножения? Что ж, давайте сначала проясним кое-что.

Мой результат на первом или двух уроках должен дать моим ученикам уверенность в изучении метода.Только после этого мы перейдем к остальным

Как обучить методу длинного умножения

Основные знания об умножении-предшественнике

Перед тем, как мы начнем работать над долгим умножением, я всегда проверю, какие члены моего класса уже боролись с умножением на третьем году обучения или 4.

Если ребенок не уверен в своих фактах умножения, вам необходимо организовать вмешательство, чтобы ускорить его – вопреки мнению, изучение фактов умножения важно, и хотя вы можете научить таблицу умножения на мгновение Вспомните, в более раннем возрасте, по верхнему KS2 очень сложно найти время.

Вам также могут понравиться: 35-кратные настольные игры, подходящие для дома и школы – выбирайте одну или две игры в неделю для домашнего обучения, если вашим ученикам все еще нужно развивать последовательность.

Как упростить длинное умножение

Я определенно убедился в том, что ученики, которые знают свое умножение 3 или 4 на 1 цифру, легче работают с этими большими числами.

Это имеет смысл, поскольку, если они свободно владеют этими областями, они эффективно сокращают объем работы своей рабочей памяти.Предполагая, что они свободно владеют этими двумя вещами, то, что им нужно выучить, сокращается с 16 до 4-6 вещей.

Ребенок, который не уверен в умножении, вероятно, будет использовать так много своей рабочей памяти для решения части вопроса, связанной с умножением, что все остальные шаги, как мы видели в модели ранее, будут забыты.

Это важный момент, который учителя должны осознать: дело не в том, что один ребенок имеет врожденную способность выполнять долгое умножение, а один – нет. Дело в том, что один ребенок просто сохранил важные знания, необходимые для достижения успеха, и поэтому может установить связь с предыдущими знаниями, чтобы резко сократить то, что ему нужно для активной работы.

Как сказал Осубель: «Самый важный фактор, влияющий на обучение, – это то, что ученик уже знает. Убедитесь в этом и обучите их соответствующим образом »

KS2 Рабочие листы для длинного умножения

Дайте вашим ученикам фору в практике их навыков длительного умножения с помощью этого бесплатного пакета рабочих листов для умножения.

Метод длинного умножения: Урок 1

Независимо от того, с чего ученики исходят, в классе есть вещи, которые мы можем сделать, чтобы помочь им освоить процедуру длинного умножения.Как я упоминал ранее, моя цель на первых уроках – укрепить уверенность в методе.

Для этого я гарантирую, что наш первый множитель равен 11. Сделав второй множитель равным 11, все, что здесь требуется, – это умножить на единицу. Мне еще предстоит встретить ребенка, который может бороться с умножением и не знает таблицу умножения на 1.

Это значительно снижает когнитивную нагрузку и помогает освободить всю рабочую память для изучения процедуры длительного умножения.Конечно, этим ученикам все равно придется усвоить факты умножения, но это просто помогает сломать эти барьеры и помогает им добиться успеха.

Внезапно процедура выглядит так:

Пошаговый процесс решения проблемы такой же, как в примере выше, но мы резко снизили нагрузку на рабочую память.

Это увеличивает вероятность того, что процедуру запомнят, поскольку ученики могут сосредоточить все свое внимание на понимании процедуры, а не на умножении.Опять же, я хотел бы подчеркнуть, что цель этого состоит в том, чтобы ученики могли освоить процедуру, чтобы ее можно было усвоить.

Шаг 1 – Установление предварительных знаний об умножении

Для начала урока у меня было несколько вопросов 4 на 1 цифру на доске, чтобы класс мог пройти их самостоятельно, убедившись, что я дойду до всех учеников, которые Я считаю, что можно бороться с этим и выяснить, с чем они борются – это умножение или процедура? Если бы это было первое, я бы помог им с их таблицами умножения, а если бы второе, я бы провел с ними пример.

Пример серии вопросов умножения 4 × 1 из онлайн-класса Third Space Learning.

По прошествии достаточного количества времени я просматривал вопросы на доске, чтобы проверить понимание как процедуры, так и их знания «умножения»:

• Что такое множимое и множитель? (т.е. «верхнее число» и «нижнее число»)
• Как мне записать это в метод столбца?
• Каков результат умножения ___ на ____?
• Что произойдет, если произведение больше одной цифры?
• С какого разряда мне начать умножение?

Ответы учеников на эти вопросы помогут спланировать будущие мероприятия.По моему опыту, я не встречал многих учеников, чьи предварительные достижения означают, что они не могут правильно изложить метод умножения по столбцам.

Если вам действительно нужно проследить путь назад, чтобы создать более прочную основу для умножения, тогда есть учебный курс для 5-го и 6-го классов умножения или более подробное руководство по обучению умножению для каждой годовой группы на протяжении KS2. Если родители хотят поддержать своих детей умножением, тогда в этой статье дается простое резюме: Что такое долгое умножение?

Шаг 2 – Знакомство с новой идеей длинного умножения

В этой следующей части урока я бы показал пример типа вопроса, на который они должны будут ответить к концу урока – в данном случае это будет умножение 4 на 2 цифры на любую цифру с использованием метода длинного умножения.

Я бы очень быстро попросил их потратить 30 секунд на обсуждение друг с другом, чтобы увидеть, чем отличается этот вопрос от того, который они задали в начале урока.

Как только они поймут, что в качестве множителя используется двузначное число, я решал это молча в обычном темпе – причина этого в том, чтобы показать, насколько легко это может быть, и вселить в них уверенность в том, что это то, что с ними не нужно бороться.

Затем я бы показал им другой пример, на этот раз с множителем 11 – он будет на том же слайде, что и предыдущий пример.

Тогда я бы спросил: «Большой палец вверх – за да, большой палец вниз – за нет. Изменился ли способ, которым я представил расчет в методе столбцов, когда множитель состоит из двух цифр? »

Тогда я бы надеялся увидеть все «пальцы вниз». Если ребенок поднял палец вверх, я бы участвовал в диалоге со всем классом, чтобы понять, почему это так, и сослаться на пример на доске.

Шаг 3 – Определение метода длинного умножения

Мой следующий шаг – записать вычисление в метод столбца для длинного умножения.

Моя следующая инструкция для класса: «Для начала мы рассмотрели примеры, в которых множитель представлял собой однозначное число. Это число будет в значении “единицы”. Так что с числом, которое находится в «единицах» в этом двузначном числе, мы поступаем точно так же ».

Чтобы убедиться, что все участвуют, я бы попросил их показать мне пальцами или мини-доской ответ на умножение. вопросы – не потому, что я думаю, что они этого не знают, а для того, чтобы твердо держать рабочую память на математике под рукой.

На доске у меня теперь:

Теперь мы переходим к новой информации, которую мы хотим, чтобы ученики усвоили, поэтому я бы замедлился и объяснил, что здесь происходит, снова используя этот момент, чтобы усилить значение места.

«Пока все, что происходило раньше, для нас не ново. Теперь у нас новый шаг. Чтобы понять, что происходит, нам нужно активизировать наши знания о числовой стоимости. Первая цифра множителя – единицы, и она равна единице.

Вторая цифра находится в разряде десятков, поэтому она равна 10.Это означает, что мы умножаем 10 на 3. Чтобы показать, что мы умножаем на 10, мы можем поставить ноль вместо единиц, чтобы он действовал как заполнитель. ”

Тогда я бы написал ноль в правильном месте.

«Затем мы можем умножить числа в множимом, как если бы мы умножали их на 1.»

Затем я бы призвал всех учеников решить умножение, снова показывая мне на пальцах, чтобы гарантировать участие.

Наконец, я бы попросил учеников взглянуть на другой проработанный пример на доске и рассказать своему партнеру, каким будет последний шаг – добавление двух продуктов.Класс делал это со мной, показывая ответы пальцами / мини-доской.

В результате мы получим готовый продукт:

Шаг 4 – Повторяющиеся примеры метода длинного умножения

Повторите описанный выше процесс с еще двумя примерами.

По мере прохождения каждого примера попросите учеников больше объяснять, особенно когда дело доходит до отбрасывания нуля и напоминания друг другу о необходимости сложить два произведения.Если вы обнаружите, что дети борются, остановитесь и порепетируйте это, чтобы убедиться, что язык правильный.

Настаивайте на правильных ответах в полных предложениях и на правильном языке. Когда ученики не могут это сделать, я прошу выбранного мной добровольца, который может это сделать, , чтобы дать типовой ответ, а затем предлагаю исходным ученикам, которые сначала не смогли ответить, повторить сказанное.

Шаг 5 – очередь учеников с методом длинного умножения

Затем я бы предложил два длинных вопроса умножения, которые я попросил бы учеников ответить самостоятельно.В течение этого времени я буду наблюдать и поддерживать по мере необходимости.

В предыдущих блогах я упоминал, что нужно осознавать важность обучения и выполнения, и это ничем не отличается. Несмотря на то, что ученики слышат действительно четко сформулированные ответы на шаге 2 или правильно отвечают на оба вопроса на шаге 3, я все же очень хорошо осознаю, что, хотя эти ученики хорошо успевают, в их долговременной памяти ничего не изменилось, поскольку они просто повторяют то, что было показал им.

В зависимости от результата шага 3 мне нужно будет либо: просмотреть больше примеров и изменить свои пояснения, либо перейти к шагу 4.

Шаг 6 – Повторяющаяся практика учеников длинного умножения

Счастлив, что ученики могут копировать процесс и понимать его, теперь я предоставлю им длинный рабочий лист умножения для заполнения.

Нет необходимости различать рабочий лист; каждый ребенок будет иметь равный доступ к работе.

Дифференциация рабочего листа приведет только к увеличению разрыва в достижениях. Дифференциация будет происходить из дополнительных инструкций, которые я могу дать в это время.

В рабочем листе, который я бы дал, не будет 20 вопросов на одну и ту же тему. Здесь я бы использовал чередование. 10 вопросов из того, чему я учил, будут на листе в случайном порядке, остальные 10 вопросов будут составлены из ранее преподаваемого содержания.

Подробнее: 8 стратегий дифференциации для вашего класса, которые можно использовать для преодоления разрыва в успеваемости

Опять же, они будут распределяться в случайном порядке, так что ученики должны переключаться между тем, чему учили в данный момент, и усилением поиска ранее изученный контент.Это непрерывное переключение помогает процессу кодирования.

Там, где это возможно, сделайте содержание относящимся к тому, чему учили; например, поскольку я учил умножению, у меня были бы некоторые вопросы о делении из целей предыдущего года, чтобы укрепить то, что деление – это обратное умножению.

Чередование связанного содержимого, например разделение может быть отличным способом встраивания обучения.

При пересмотре SAT вы можете захотеть чередовать задачи длинного умножения с проблемами длинного деления, чтобы еще больше укрепить взаимосвязь между ними.

Последний вопрос умножения также будет иметь множитель, отличный от 11, чтобы увидеть, могут ли ученики применить этот процесс, когда потребность в рабочей памяти больше.

По мере того, как это происходит, я бы разошелся по аудитории, чтобы оценить, как идут дела у учеников – не только по вопросам из этого урока, но и по предыдущему содержанию. Ученики могут пропускать вопросы, в которых они не уверены.

Шаг 7 – Совместное выставление оценок

На этом шаге учеников попросят дать ответы, и весь класс сможет ставить отметки, когда они слышат ответ.Если некоторые из них не согласны с ответом, мы можем обсудить его в классе, пока не будет найден правильный ответ.

Шаг 8 – Диагностический вопрос s

Диагностические вопросы и диагностическая оценка в целом – невероятно эффективный способ оценить понимание учениками концепции. Они работают, задавая вопрос и давая 4 возможных ответа.

Хотя один ответ правильный, три других отвлекающих фактора будут тщательно спланированы, чтобы показать конкретное заблуждение.

Ниже приведен пример того, что я использовал в этом уроке.

Пример диагностического вопроса с длинным умножением

Какой вопрос с длинным умножением показывает правильный ответ?

В этом примере каждый неправильный ответ показывает действующее заблуждение.

• A правильный , но вы можете видеть, как ответ друг друга может быть ошибкой, которую может сделать ребенок:
• В B они потеряли ноль при умножении на единицы.
• В C они забыли отбросить ноль при умножении на столбец десятков.
• В D они забыли прибавить тот, который был перенесен при добавлении 8 к 6.

Именно выбор неправильных ответов делает диагностические вопросы настолько мощными; они четко определяют, о чем думает ученик, и могут незамедлительно предоставить вам обратную связь об успеваемости, которую вы можете исправить на основе полученного ответа.

Делая это на уроках, я присваиваю каждой букве номер, таким образом, A = 1, B = 2 и т. Д., Что соответствует количеству пальцев, которые я хочу, чтобы они держали. Затем я даю команду «подумай». Ученики задумаются о правильном ответе.

Затем я скажу «спрячься», и они закроют пальцы, которые они хотят показать на одной руке, другой. Наконец, я говорю «покажите», и ученики показывают мне соответствующий палец, и я могу быстро осмотреть класс, чтобы увидеть ответы, которые они дали.

Еще одно преимущество диагностических вопросов заключается в том, чтобы обсудить неправильные ответы и понять, почему они ошибочны. Они создают фантастические темы для обсуждения и действительно заставляют класс задуматься и попытаться найти ошибки.

Если вы хотите попробовать больше диагностических вопросов, вы можете загрузить бесплатный набор диагностических тестов по математике для 5-го и 6-го классов или посетить Третий центр космического обучения математике, где вы найдете большую коллекцию диагностических тестов по каждой теме учебной программы KS2. .

Завершение вашего первого длительного урока умножения!

Будем надеяться, что постепенная прогрессивная структура урока – или может быть два или три, в зависимости от вашего класса – показывает, как можно уверенно преподавать метод длинного умножения и усвоить его большинством учеников 5 и 6 классов.

Стоит повторить еще раз, что основная цель первого урока – вызвать у учеников уверенность и начать изучать этот метод умножения.

По мере роста их уверенности и дальнейшего внедрения процесса множитель может быть изменен, а вопросы рассуждений и решения проблем могут быть введены и даны ответы с большей независимостью.

Примеры длинного умножения

Если вам нужны более длинные примеры умножения, слайды и рабочие листы урока «Белая роза» от Third Space Learning для 6-го класса. Четыре операции дают вам больше возможностей для проработки этапов шаг за шагом.

Вот два примера длинного умножения.

Пример 1: 6321 x 15 = 94,815

Пример 2: 6321 x 25 = 158,025

Длинные вопросы на умножение

Вот несколько длинных вопросов на умножение и ответы, чтобы вы начали:

1. 1543 x 11 = 16,973
2. 2374 x 13 = 30,862
3. 4,537 x 27 = 122,499
4. 8,983 x 37 = 332,371
5. 9,452 x 48 = 453,696

Если вы Если вам нужны дополнительные вопросы и длинные листы для умножения, зарегистрируйтесь, чтобы получить здесь дополнительные ресурсы по первичной математике.

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Каждую неделю репетиторы-специалисты по математике Third Space Learning поддерживают тысячи учеников в сотнях школ, проводя еженедельные индивидуальные уроки онлайн и участвуя в математических мероприятиях, призванных восполнить пробелы и ускорить успеваемость.

С 2013 года мы помогли более 80 000 учеников начальной и средней школы стать более уверенными и способными математиками. Узнайте больше или запросите индивидуальное предложение для вашей школы, чтобы рассказать нам о потребностях вашей школы и о том, как мы можем помочь.

2 простых способа выполнить длинное умножение

Длинное умножение пугает, особенно когда вы умножаете большие числа. Вот два простых способа проделать долгое умножение.

Метод 1: метод быстрого доступа

Допустим, вы умножаете 425 на 15.

Запишите одно число рядом с другим.

Разделите меньшее число на десятки и единицы. В данном случае это будет 10 и 5.

Умножьте большое число на десятки.В данном случае это 10.

Умножьте большое число на число в единицах. В данном случае это 5. Вы можете даже разбить это число – 400 x 5 = 2000 и 25 x 5 = 125. Если сложить 2000 и 125, получится 2125.

Сложите две суммы: 4250 и 2125. Вы можете сделать это традиционным способом.

Метод 2: стандартное длинное умножение

Запишите большое число над меньшим.Убедитесь, что они выровнены так, чтобы единицы совпадали, десятки – выстраивались, а сотня – слева.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде единиц верхнего числа.

5 x 5 равно 25. Запишите единичную цифру под линией. В данном случае это 5. И у вас будет 2. Напишите цифру 2 вместо десятков. В данном случае это будет 2.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде десятков верхнего числа.В данном случае это 5 x 2, что равно 10. Сложите перенесенные 2, чтобы получилась сумма 12. Напишите 2 рядом с пятью и перенесите 1 над числом сотен, что составляет 4.

Умножьте число в разряде единиц нижнего числа на число в разряде сотен верхнего числа. Итак, умножьте 5 на 4. И прибавьте 1, что у вас есть, и получится 21.

Теперь пора перейти к столбцу десятков. Сначала напишите ноль в столбце единиц.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде единиц верхнего числа. Умножьте 1 на 5, получится 5.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде десятков верхнего числа. Умножьте 1 на 2, что равно 2.

Умножьте число в разряде десятков нижнего числа на число в разряде сотен верхнего числа.Умножьте 1 на 4, что равно 4.

Отсюда простое дополнение.

Длинное умножение (ключевой этап 2)

Что такое длинное умножение? (Интерактивный виджет)

Используйте этот интерактивный виджет , чтобы увидеть пошаговое объяснение длинного умножения.

Вот случайно сгенерированная сумма длинного умножения. Решить сейчас Пройти пошагово Сгенерировать новую сумму

Посмотрите похожие виджеты на длинное сложение, длинное вычитание и длинное деление.

Что такое длинное умножение?

Длинное умножение – это метод умножения чисел.

Длинное умножение включает в себя запись чисел, которые нужно перемножить, одно под другим, чтобы цифры располагались в столбцах. Таким способом можно умножить множество чисел любой длины.

Реальный пример того, как произвести длинное умножение

Произвести долгое умножение легко. Умножьте числа ниже.

Пошаговая инструкция:

Напишите числа, которые хотите умножить, одно под другим.

Найдите крайнюю правую цифру нижнего числа (в столбце единиц).

Найдите крайнюю правую цифру верхнего числа (в столбце единиц).

Умножьте нижнюю цифру (4) на верхнюю цифру (5).

5 × 4 = 20

Проверьте, соответствует ли ответ Step 4 9 или меньше: № . 20 – это , а не 9 или меньше.

• Если Нет , ответ будет состоять из двух цифр.

• Напишите цифру справа под столбцом (под линией).

• Перенесите левую цифру в столбец слева.

Переместите цифру влево в верхнем числе.

• Умножьте нижнюю цифру (4) на верхнюю цифру (2).

  2 × 4 = 8

• К ответу прибавьте любые из цифр.

  8 + 2 = 10

Проверьте, соответствует ли ответ Step 7 9 или меньше: № . 10 – это , а не 9 или меньше.

• Если Нет , ответ будет состоять из двух цифр.

• Напишите цифру справа под столбцом (под линией).

• Перенесите левую цифру в столбец слева.

Переместите цифру влево в верхнем числе.

Слева больше нет цифр.

Напишите переносимую цифру под линией.

Напишите 0 справа в новой строке под строкой.

Переместите цифру влево в нижнем числе (в столбце десятков).

Найдите крайнюю правую цифру верхнего числа (в столбце единиц).

Умножьте нижнюю цифру (1) на верхнюю цифру (5).

5 × 1 = 5

Проверьте, соответствует ли ответ Step 4 9 или меньше: Есть . 5 – 9 или меньше.

• Если Да , напишите число под строкой слева от 0.

Переместите цифру влево в верхнем числе.

Умножьте нижнюю цифру (1) на верхнюю цифру (2).

2 × 1 = 2

Проверьте, соответствует ли ответ Step 17 9 или меньше: Есть . 2 – 9 или меньше.

• Если Да , напишите число ниже под линией.

Переместите цифру влево в верхнем числе.

Слева больше нет цифр.

Ответ:

Решение 25 × 14 равно 350.

Части умножения

• Числа, которые вы умножаете, составляют , множители .
• Результатом умножения чисел является произведение .

Порядок умножения

Порядок умножения чисел не имеет значения.Например:

2 × 3 = 6

Если поменять местами 2 и 3, продукт будет таким же:

3 × 2 = 6

Это коммутативное свойство умножения – изменение порядка не меняет результат.

Цифры и значение разряда

Цифры состоят из цифр. В десятичном формате цифры могут принимать значения от 0 до 9. Ценность цифр зависит от их разряда. Разрядное значение – это место в числе, где находится цифра.Разрядные значения включают сотни, десятки и единицы. Например,

123 состоит из:

То есть:

Каждая позиция в 10 раз больше, чем справа. Сотня – это 10 умножить на десять, десятка – это 10 умножить на единицу. Та же система применяется к правой части десятичной точки:

Разместите значение и столбцы в длинном умножении

Долгое умножение зависит от числовой стоимости. Цифры верхнего числа умножаются на цифры нижнего числа.Сначала используется крайняя правая цифра нижнего числа, затем единица слева, затем следующая слева. Из-за разряда каждая цифра слева в 10 раз больше, чем цифра справа. Когда используется цифра слева от нижнего числа, каждый ответ будет в 10 раз больше, чем ответы, полученные с помощью самой правой цифры нижнего числа. Для обозначения этого в конце ответа необходимо добавить 0 :

Добавление 0 делает каждый ответ в 10 раз больше разряда (10 в 10 раз больше 1, 200 в 10 раз больше 20 и т. Д.) Когда используется следующая левая цифра нижнего числа, необходимо добавить два нуля:

Place Value и Carrying

Цифры в десятичной системе могут быть от 0 до 9. Числа от 0 до 9 могут быть записаны просто с использованием разряда единиц.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Чтобы писать числа после 10, необходимо использовать разряд десятков:

10, 11, 12 …

1 в разряде десятков в 10 раз больше, чем 1 в столбце единиц.Точно так же числа до 99 используют разрядные значения десятков и единиц. После 100 также следует использовать значение сотен:

100, 101, 102 …

где 100 – 10 десятков. В каком бы числовом значении мы ни находились, как только цифра в этом разрядном значении становится больше 9, нам нужно представить большее число, разместив цифры в числовом значении слева.

Вот почему при длинном умножении, если числа в любом столбце умножаются до значения больше 9, под столбцом слева от него помещается цифра:

Помогите нам улучшить математику Monster

• Вы не согласны с чем-то на этой странице?
• Вы заметили опечатку?

Сообщите нам, используя эту форму

См. Также

Как добавить числовую строку Основы сложения Длинное добавление Как вычесть на числовой прямой Основы вычитания Длинное вычитание Основы умножения Длинное умножение с десятичными знаками Более пристальный взгляд на умножение Основы деления Длинное деление Деление в столбик с остатком Деление в столбик с десятичными знаками Что такое размещенная стоимость? Что такое числовая линия?

iDevBooks – Длинное умножение

для iPad, iPhone, Mac и ПК с Windows 10

Приложение “Длинное умножение” позволяет решать задачи произвольного и произвольного умножения с использованием метода длинного умножения.Этот метод также известен как метод умножения столбцов.

Подходит для нескольких возрастных групп

Приложение имеет настройки, которые делают его простым для детей или достаточно сложным даже для взрослых.

Простота использования

Числа выравниваются автоматически, так что вы можете сосредоточиться на решении операций для каждого столбца.

После того, как вы решите операцию для каждого столбца, правильный ответ полетит в нужное место.Если пользователь нажмет не ту кнопку, ответ появится над клавиатурой, но не будет двигаться.

Настройки

• Верхнее число может содержать до 5 цифр
• Младший номер может содержать до 4 цифр
• Вы можете использовать случайные задачи или ввести свои собственные
• Текущая операция для каждого столбца может быть скрыта
• Можно выделить операнды для текущей операции
• Есть 3 разных темы оформления: черная, серая и золотая
• Скорость анимации можно установить
• Пользовательские интерфейсы для iPhone и iPad

Видео с длинным умножением

Длинное умножение с двузначными числами 54 х 73

Длинное умножение с четырех- и пятизначными числами 5661 х 66439

Длинное умножение в Apple VPP Store для образования

Программа оптовых закупок позволяет участвующим образовательным учреждениям приобретать математические приложения iDevBooks в больших количествах и распространять их среди студентов.