Решение уравнений 3 класс онлайн: Онлайн-тест “Решение уравнений. Компоненты действия умножения” для 3 класса – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

Умножение уравнений онлайн. Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.

Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4

Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа – 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций – калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию:

plot(tan(x)),x=-360..360 .

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X – указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры – только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов – это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу “I” (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Клавиша	Символ	Операция
pi	pi	Постоянная pi
е	е	Число Эйлера
%	%	Процент
()	()	Открыть/Закрыть скобки
,	,	Запятая
sin	sin(?)	Синус угла
cos	cos(?)	Косинус
tan	tan(y)	Тангенс
sinh	sinh()	Гиперболический синус
cosh	cosh()	Гиперболический косинус
tanh	tanh()	Гиперболический тангенс
sin -1	asin()	Обратный синус
cos -1	acos()	Обратный косинус
tan -1	atan()	Обратный тангенс
sinh -1	asinh()	Обратный гиперболический синус
cosh -1	acosh()	Обратный гиперболический косинус
tanh -1	atanh()	Обратный гиперболический тангенс
x 2	^2	Возведение в квадрат
х 3	^3	Возведение в куб
x y	^	Возведение в степень
10 x	10^()	Возведение в степень по основанию 10
e x	exp()	Возведение в степень числа Эйлера
vx	sqrt(x)	Квадратный корень
3 vx	sqrt3(x)	Корень 3-ей степени
y vx	sqrt(x,y)	Извлечение корня
log 2 x	log2(x)	Двоичный логарифм
log	log(x)	Десятичный логарифм
ln	ln(x)	Натуральный логарифм
log y x	log(x,y)	Логарифм
I / II		Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit		Конвертер величин
Matrix		Матрицы
Solve		Уравнения и системы уравнений
		Построение графиков
Дополнительные функции (вызов клавишей II)
mod	mod	Деление с остатком
!	!	Факториал
i / j	i / j	Мнимая единица
Re	Re()	Выделение целой действительной части
Im	Im()	Исключение действительной части
\|x\|	abs()	Модуль числа
Arg	arg()	Аргумент функции
nCr	ncr()	Биноминальный коэффициент
gcd	gcd()	НОД
lcm	lcm()	НОК
sum	sum()	Суммарное значение всех решений
fac	factorize()	Разложение на простые множители
diff	diff()	Дифференцирование
Deg		Градусы
Rad		Радианы

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками. . Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения – задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение – это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус.

В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу.

Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо – найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом.

В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин.

Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида.

Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости.

В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера.

По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество.

Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ.

Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь.

Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям.

Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части.

Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения – это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения.

Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить.

В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. 2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.

Решение уравнений. Математика 3 класс | План-конспект урока по математике (3 класс):

Предмет: Математика

Класс: 3

Тема урока: Решение уравнений на основе знания связи между компонентами и результатами умножения и деления.

Цели урока: развивать умения решать уравнения; закреплять вычислительные навыки, умение решать задачи изученных видов.

Планируемые результаты:

Предметные:

научатся выполнять проверку умножения делением;
читать равенства, используя математическую терминологию;
решать уровнения, решать задачи изученных видов .

Личностные:

формируют способность к самооценке на основе наблюдения за собственной деятельностью;
учебно-познавательный интерес к новому учебному материалу и способам решения новой частной задачи.

Тип урока: открытие новых знаний.

Оборудование: Математика: 3 класс, 2 часть, М.И. Моро. Школа России. «Просвещение» 2017, презентация.

Этап урока. Методы и приемы

Хроно-метраж

Содержание урока.

Деятельность

Учителя

Деятельность ученика

Планируемые результаты (УУД)

Организационный момент
Словесный: слово учителя

1 мин

Ребята, сегодня я проведу у вас урок математики. Итак, давайте проверим готовность к уроку. У вас на парте должны быть учебник, рабочая тетрадь, тонкая тетрадь, линейка, карандаш, ручка.

Сейчас сядут те, кто готов к уроку и хочет научиться новому.

Откройте ваши тетради, отступите 4 клетки вниз и запишите число: сегодня 19февраля классная работа.

Приветствовать учителя

Проверять готовность к уроку
Садиться на места

Регулятивные: обеспечение учащимся организации их учебной деятельности.

Актуализация знаний

Практический: выполнение упражнений (устный счет)

3 мин

На слайде представлена таблица.

-Ребята, как вы думаете, что нужно сделать в этом задании? (Заполнить пропуски в таблице, устно) Верно, не забываем, что отвечаем по поднятой руке.

Теперь устно решим несколько задач.

Половину пути до школы Саша проходит за 12 минут. Сколько времени он потратит на весь путь?(24 мин).

Для игры 18 девочек и 12 мальчиков разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?(15 человек).

Заполнять таблицу

Устно решать задачи

Проверять свои знания

Регулятивные: осуществлять само- и взаимоконтроль учебной деятельности.

Постановка учебной задачи
Словесный: ответы на вопросы. Практический: решение выражения.

5 мин

-Ребята, перед вами равенства. Вставьте пропущенное число.

*6=72(12*6=72)

-Как проверить правильность ваших вычислений?(Произведения 72 разделить на множитель 6)

-Выполните вычисления(72:6=12)

-Совпал ли ваш ответ с числом в окошке?

-Какой вывод можно сделать?(Чтобы проверить ,правильно ли выполнено умножение,надо произведение разделить на один из можителей и посмотреть,получится ли в ответе второй множитель)

-Вставьте пропущенные числа и проверьте правильность вычислений.

: 5=15 36: =12

-Как проверить правильность выполнения деления?

1 равенство;надо частное умножить на делитель

2 равенство: надо делимое разделит на частное

-Замените в выражениях окошки на буквы. Что получится?

(уравнения)

-Как вы думаете, значит чем мы будем заниматься сегодня на уроке?(Сегодня на уроке мы будемпродолжать решать уравнения)

Искать пути решения выражения, учиться объяснять ход свои мыслей

Размышлять над темой урока и учебной деятельностью

Ставить перед собой цель урока

Регулятивные: обеспечение учащимся организации их учебной деятельности;

волевая саморегуляция в ситуации затруднения.

Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.

Решение частных задач

Словесный: ответы на вопросы

Практический: выполнение упражнений;

решение задач

Практический: физические упражнения

25 мин

3 мин

Ребята, открывайте учебник на странице 21 посмотрите на уравнения.

Что необходимо сделать в задании? (решаем у доски с объяснением)

А мы переходим к заданию № 2 , это задание вы будете выполнять в парах. Давайте проверим.

Ребята посмотрите на задачу под номер 6.

(Если будут трудности нарисовать схему)

– Что известно в задаче? (путб от дома до магазина ученик прошел за 12 мин).

– Что сказано о пути от магазина до аптеки? (на него потрачено 18 мин).

– Как будет выглядеть чертеж?

– Какой вопрос задачи?

– Можем сразу ответить на вопрос задачи? (да).

– Как узнать? (к 12 прибавить 18).

Запишем решение.

12+18=30 (мин) – затратил от дома до аптеки.

Ответ: 30 мин.

Физминутка

А сейчас ребята, мы с вами поработаем с задачей под номером 9.

-О чем говорится в задаче?

-Прочитайте вопрос задачи? (сколько часов экономит самолет для пассажира)

-Что это значит? (На самолете быстрее добраться от Москвы до Ставрополя)

-Как можно по-другому сформулировать главный вопрос? (На сколько меньше летит самолет, чем идет поезд?)

-Составим краткую запись.

-Что значит в 14 раз меньше? Какое действие нужно выполнить? (деление).

-Как узнать, на сколько часов в пути самолет был меньше? Каким действием (вычитанием.)

-Сколько в задаче будет действий? (2)

Запишите, пожалуйста, решение

1)28:14=2(ч) – летит самолет

2)28-2=26(ч)

Ответ : самолет экономит для пассажира 26 часов.

Решаем №4 на этой же странице с.р. в тетрадях.

Что нужно сделать в 5 номере, посмотрите. Как мы сравниваем такие примеры? (сначала решаем их, затем ставим знак больше, меньше или равно). Решаем два у доски, ост. в тетр.

Выводить правило

Пользоваться учебной литературой при возникновении затруднения

Выполнять физические упражнения

Самостоятельно выполнять упражнение

Осуществлять самоконтроль

Решать задачу 2 способами.

Объяснять решение.

Осуществлять самоконтроль и самооценку

Анализировать и решать задачу

Коммуникативные: участвуют в учебном диалоге.

Регулятивные: осуществлять самоконтроль за ходом выполнения работы и полученного результата;

контроль, коррекция, оценка; волевая саморегуляция в ситуации затруднения.

Личностные:

самооценка;

адекватное понимание причин успеха

Коммуникативные: участвуют в учебном диалоге.

Регулятивные: осуществлять самоконтроль за ходом выполнения работы и полученного результата;

контроль, коррекция, оценка;

Познавательные: рефлексия способов и условий действий;

контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Домашнее задание

Словесный: слово учителя

1 мин

Ребята, сейчас откройте ваши дневники и запишите домашнее задание:

Записывать домашнее задание

Итог урока. Рефлексия. Словесный: ответы на вопросы, самоанализ.

2 мин

Наш урок подходит к завершению. Давайте с вами подведем итоги. Чем мы сегодня занимались? Какую цель мы ставили? Достигли мы ее? Молодцы, я за вас рада!
А теперь возьмите в руки ваши карандаши: зеленый, желтый и красный. Поднимите ЗЕЛЕНЫЙ карандаш, если – вы довольны собой, вам понравился урок, у вас все получилось, во время урока не возникало трудностей. ЖЕЛТЫЙ, если – у вас не все получилось, что-то было непонятно, но вы постараетесь на следующем занятии.

И КРАСНЫЙ – вам ничего не понятно и сегодняшний урок не понравился.

Молодцы! Спасибо вам за урок!

Молодцы! Вы сегодня очень хорошо поработали. Спасибо за урок.

Подводить итог урока

Отвечать на вопросы

Оценивать свои достижения

Регулятивные: выделение и осознание того, что усвоено на уроке, осознание качества и уровня усвоенного.

Личностные: самооценка.

Тесты по математике для 3 класса – Тестирование

Алленг математика тесты

Попробуйте решить онлайн тесты для 3-го класса по математике от ЛогикЛайк. Наши тесты помогут проверить хорошо ли третьеклассник усвоил навыки устного счета до 1000, как он справляется с делением, умножением и простыми уравнениями.

На LogicLike. com дети учатся рассуждать, развивают логику и математические способности, память и внимание.

Сложение в пределах 1000

Тест проверит, насколько у школьника развиты навыки устных вычислений в пределах 1000.

Деление с остатком

Проверяем умение школьника находить компоненты при делении с остатком: делимое, делитель, неполное частное и остаток.

Таблица умножения на 7

Онлайн-тест на умножение – проверка и тренировка одновременно! Тест можно использовать в качестве онлайн — тренажера умножения на 7.

Решение уравнений сложение и вычитание

Проверяем и тренируем навыки решения заданий с уравнениями на сложение и вычитание.

Сложение в пределах 1000

Тест проверит, насколько у школьника развиты навыки устных вычислений в пределах 1000.

Тесты по математике для 3 класса.

Logiclike. com

28.02.2017 6:16:55

2017-02-28 06:16:55

Источники:

Https://logiclike. com/ru/testy/matematika/3-klass

Тесты по математике онлайн | Online Test Pad » /> » /> .keyword { color: red; }

Алленг математика тесты

Тест предназначен для учащихся 5 классов. Тест состоит из пяти вопросов.

4 сынып тест №1

Қазақ тілі, математика, әдебиеттік оқу пәндері бойынша тестте 30 сұрақ берілген

4 сынып ОЖСБ-ға дайындық математика, жаратылыстану, әдебиеттік оқу пәндері бойынша

4-сыныптар бойынша математикалық сауаттылық, жаратылыстану, оқу сауаттылығы пәндерінен дайындық түрінде жүргізіледі.

МОДО 4 класс

Тест по подготовке к МОДО. Состоит из заданий по математической грамотности, читательской грамотности, естественно-научной грамотности.

МОДО 4 класс

Тест для подготовки к МОДО в 4 классе. Тест по математической, читетнльской и естественно-научной грамотности.

ВПР 4 класс, математика. 22 вариант

Проверочная работа по МАТЕМАТИКЕ 4 КЛАСС. Постарайся выполнить правильно как можно больше заданий.

Тест по математике 4 класс

Проверочная работа по математике за курс начального общего образования

Таблица умножения

Тест предназначен для закрепления изученного материала и его повторения. Удачи в прохождении!

МОДО 4 класс

Тест по подготовке к МОДО в 4 классе вариант 2. Тест содержит вопросы по математике, естествознанию и читательской грамотности

Математика решение задач

Тест для учащихся 3-4 классов по математике задания не простые. Пожелаем удачи.

Математика 6 класс

Тест который поможет подготовиться к контрольной работе.

1 вариант ВПР 4 класс, математика.

При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими тетрадями, справочниками, калькулятором. Обязательные ответы на все вопросы теста.

Раскрытие скобок

Тест по математике: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

5 класс математика домашняя работа «Задачи на совместную работу»

Домашняя работу на тему Задаси на совместную работу». Состоит из пяти задач.

Таблица умножения от 2 до 15

13 заданий. Критерии: «5» — 13 баллов, «4» — 11-12 баллов, «3» — 9-10 баллов.

Математический диктант №7 4 класс

Арифметический диктант для учащихся 4 класса по программе «Школа России». 10 заданий, время выполнения ограничено

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Тест — тренинг на применение признаков равенства прямоугольных треугольников. Тест содержит 5 задач на готовых чертежах.

Тест по математике 1 класс

Тест по математике 1 класс. Тема: «Числа от 1 до 10.» Тест предназначен для проверки знаний первоклассников на уроках математики.

Тест по теме проценты для 5 класса по математике

Тест по математике с одним правильным вариантом ответа для 5 класса по теме проценты.

Самостоятельная работа №11. Нахождение части целого и целого по его части. 5 класс

Тест содержит 8 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 4-5 баллов, «4» 6-7 баллов, «5» 8 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

7 класс. Геометрия. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.»

ГЕОМЕТРИЯ выбор верных утверждений 9 класс

Тест содержит 35 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

4-SINF O’QUVCHILARI UCHUN MATEMATIKA FANIDAN ONLAYN OLIMPIADA

4-SINF O’QUVCHILARI UCHUN MATEMATIKA FANIDAN ONLAYN OLIMPIADA.

Что такое умножение № 1

Мультимедиа тест можно использовать при знакомстве с новым действием — умножением (на этапе закрепления)

Математика задание 3.8

Задание всего одно, но на странице математики по третьему классу вы найдете больше!

Десятичные дроби

Простой тест по математике для учащихся 5 класса из 10 вопросов. Данный тест поможет проверить свои навыки и умения выполнять тестовые задания, проверить знания учащихся по темам «Десятичная запись дробных чисел», «Сравнение десятичных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей».

Задания 1-5 ОГЭ «Бумага»

Тест содержит 5 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

8 класс. Геометрия. Центральные и вписанные углы.

Тест предназначен для учащихся 8 классов при отработке навыков решения задач по теме «Центральные и вписанные углы».

Бесконечные периодические десятичные дроби

Закрепление и проверка результатов по теме «Бесконечные периодические десятичные дроби

Подобные слагаемые. Коэффициент

Тест по математике: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

Итоговый тест по математике 3 класс

Тест позволяет проверить знания учащихся по математике за 3 класс, выявить пробелы.

Математическая грамотность 7 класс

Тест по математической грамотности для 7 класса. Возможность проверить свои знания.

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Данный тест будет полезен учителю для быстрого контроля знаий на уроке, а также для ребят желающих проверить свои знания по данной теме.

Олимпиада по математике 1 класс

Олимпиада по математике для 1 класса и детей дошкольного возраста. Развивает логическое мышление детей.

Тест по теме: Решение уравнений — МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС

Тест по теме: Решение уравнений — МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС Для того чтобы выполнить данный тест, вам необходимо ознакомиться с учебным материалом, который представлен здесь, либо открыть учебник на стр. 239-241 и прочитать параграф 41.

Реши примеры(деление, умножение) 3 класс

Тест предназначен для 3 класса обучающихся по адаптированной основной общеобразовательной программе начального общего образования

Сложение и вычитание десятичных дробей

Тест для учащихся 5 классов из 10 вопросов по теме курса «Сложение и вычитание десятичных дробей», выполняется при подготовке к контрольной работе.

8 класс. Геометрия. Соотношения в прямоугольном треугольнике

Тест предназначен для учащихся 8 классов при отработке навыков решения задач по теме «Соотношения в прямоугольном треугольнике».

Умножение и деление десятичных дробей

Тестовые задания для проверки знаний учащихся для 5 класса. В тесте проверяются темы: умножение и деление на десятичную дробь, на разрядную единицу, решение текстовых задач

Формулы сокращенного умножения. Часть 1. 7 класс.

Задания составлены в соответствии с заданиями в тестовой форме «Проверь себя» учебника «Алгебра. 7 класс» (авторы А. Г. Мерзляк и др.). Тест содержит 14 вопросов. Ко всем вопросам, кроме вопроса 13, требуется дать ОДИН правильный ответ. Вопрос 13 на соответствие : умение записать словесную запись в алгебраической форме. Каждый правильный ответ оценивается 1 или 2 баллами. Всего можно набрать 20 баллов. По мере прохождения теста тестируемый может видеть количество данных им правильных и неправильных ответов. После прохождения теста можно просмотреть, какие ответы были правильными.

Таблица умножения от 2 до 15

Тест предназначен для учащихся 8 классов при отработке навыков решения задач по теме Соотношения в прямоугольном треугольнике.

Onlinetestpad. com

16.02.2019 21:08:40

2019-02-16 21:08:40

Источники:

Https://onlinetestpad. com/ru/tests/math

Тесты по математике для 6 класса онлайн | Online Test Pad » /> » /> .keyword { color: red; }

Алленг математика тесты

Тест для учащихся 3-4 классов по математике задания не простые. Пожелаем удачи.

Математика 6 класс

Тест который поможет подготовиться к контрольной работе.

Раскрытие скобок

Тест по математике: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

Таблица умножения от 2 до 15

13 заданий. Критерии: «5» — 13 баллов, «4» — 11-12 баллов, «3» — 9-10 баллов.

Подобные слагаемые. Коэффициент

Тест по математике: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Тест по теме: Решение уравнений — МАТЕМАТИКА 6 КЛАСС

6-SINF MATEMATIKA FANIDAN ONLAYN OLIMPIADA

6-SINF O’QUVCHILARI UCHUN MATEMATIKA FANIDAN ONLAYN OLIMPIADA ОНЛАЙН ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Параллельные и перпендикулярные прямые

Тест для закрепления знаний по теме «Параллельность и перпендикульярность прямых»

Математика 6 класс ВПР 2020

Проверочная работа по математике Демоверсии ВПР 2020 года для 6 класса Образец

Самостоятельная работа по теме «Рациональные числа» 6 класс

Эта работа поможет Вам проверить ваши знания в теме «Рациональные числа»

Олимпиада по математике 6 класс

Тест содержит 8 олимпиадных заданий по математике.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

Тест по теме «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел». Тест может быть использован после изучения темы или для повторения, а так же для подготовки к контрольной работе.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Перпендикулярные и параллельные прямые». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи.

Сложение и вычитание чисел с разными знаками (целые числа)

Тест на сложение и вычитание целых чисел с разными знаками. Состоит из 15 вопросов с одним правильным ответом. Правильный ответ — 1 балл. Максимальное количество баллов — 15. Удачи!

Умножение чисел с разными знаками (целые числа)

Тест на умножение целых чисел с разными знаками. Состоит из 15 вопросов с одним правильным ответом. Правильный ответ — 1 балл. Максимальное количество баллов — 15. Удачи!

Координатная плоскость 6 класс.

Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Координатная плоскость». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи.

Десятичные дроби. Разряды. Запись обыкновенной дроби в виде десятичной.

Задания для устного счета на десятичные дроби. В тесте три группы заданий: (1)Разрядность десятичных дробей, (2)Перевод обыкновенной дроби со знаменателем 10,100,1000 в десятичную, и (3)перевод обыкновенной дроби со знаменателем 2 и 4 в десятичную. В тест выбираются по 2 задания из каждой группы случайным образом. Критерии: «3» от 50 до 69%, «4» от 70 до 90%, «5» от 91 до 100%.

Деление чисел с разными знаками (целые числа)

Решение уравнений. Задачи. 6 класс

Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Решение уравнений». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи.

Проценты. Решение задач

Тест по теме «Проценты. Решение задач» предназначен для обучающихся 5-6 классов, содержит текстовые задачи по теме «Процентные вычисления»

Текстовые задачи на проценты (с десятичными дробями)

Задачи для закрепления материала по теме «Проценты». В тест случайным образом выбираются 5 задач из общей базы задач по теме. За каждое верно выполненное задание начисляется 1 балл. По окончании теста сразу видны результат и оценка. Критерии: «3» — 3 балла, «4» — 4 балла, «5» — 5 баллов.

Рациональные числа

Тест предназначен для учащихся 6 класса. Тест можно использовать для проверки знаний по теме «Рациональные числа», после того, как учащиеся уже знают, как выполняются все действия с рациональными числами.

Математика 6. Подготовка к ВПР. Вариант 5.

Работа предназначена для подготовки к Всероссийской Проверочной Работе по математике за курс 6 класса. ВПР по математике-6 обычно включает в себя 13 заданий на проверку знаний, умений и навыков по темам «Действия с обыкновенными и десятичными дробями», «Действия с положительными и отрицательными числами», «Задачи на нахождение части от числа и числа по его части», «Сравнение дробей и смешанных чисел», «Текстовые задачи на проценты», «Модуль числа», «Выражения со скобками», «Задачи на анализ таблиц и диаграмм», «Оценка размеров реальных объектов», «Геометрические построения», «Решение логических задач».

Рационал сандарға амалдар қолдану

Рационал сандарға амалдар қолдануды орындаймыз. Теріс және оң сандарға амалдар қолдану тақырыбы бойынша есептер болады

Длина отрезка

Учебник: Математика 6 класс С. М. Никольский Тема: Длина отрезка Тест предназначен для учащихся 6 классов

Устный счёт «Сложение и вычитание в пределах 100»

Задания для устного счета на сложение и вычитание натуральных чисел с переходом через десяток. В тесте 20 заданий, которые выбираются случайным образом из базы заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

Округление десятичных дробей

В тест включены задания на округление десятичных дробей до тысяч, до сотен, до десятков, до единиц, до десятых, до сотых. В тест случайным образом выбираются 10 заданий из общей базы упражнений. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

Итоговая контрольная работа 6 класс

Переводная контрольная работа для 6 класса. Включает в себя действия с рациональными числами, дробями, решени задач, решение задач с помощью уравнений.

Десятичные дроби и проценты

Этот тест проверит ваши знания по теме: «Десятичные дроби и проценты». Также вы узнаете, как хорошо вы усвоили эту тему.

Функциональная грамотность

Решая практические задачи, разбираясь в непростых финансовых ситуациях, вы знакомитесь с широким кругом вопросов управления личными финансами: как сберечь и приумножить деньги; как обезопасить себя от финансовых потерь; как получить налоговые вычеты, и многих других. Именно сейчас, самое время задуматься над этими вопросами и начинать осваивать все премудрости финансовой грамотности. Знания, которые вы получите, пригодятся вам при обсуждении семейного бюджета, посещении магазинов, планировании семейного отдыха, организации школьного праздника и т. д.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Вариант 1

Тест предназначен для проверки знаний учащихся по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями».

Положительные и отрицательные числа

Тест на тему положительные и отрицательные числа. Тест содержит задания: с модулем, сравнение отрицательных чисел, все действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Вычисление процентов от числа (50, 100, 150, 200, 300)

Тренировка на вычисление процентов от заданного числа (50, 100, 150, 200 и 300). В тесте 11 заданий, которые выбираются случайным образом из общей базы — 100 заданий. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

Тест для классов ККО по теме «Все действия с обыкновенными дробями»

Тест по математике для учащихся 6 класса предназначен для проверки знаний по теме «Все действия с обыкновенными дробями». В каждом задании нужно ввести ответ, используя знак /.

Взаимно обратные числа. Деление

В тест включены вопросы по темам «Взаимно обратные числа», «Деление обыкновенных дробей». Задания составлены с учетом типичных ошибок, которые допускают учащиеся.

Решение уравнений-6 класс

Тест для проверки уровня знаний по теме Решение уравнений. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую.

Математика. Решение уравнений.

Тест поможет подготовиться к самостоятельной работе по решению уравнений. Прекрасно развивает навыки решения уравнений, а так же счеты и логики.

Действия с рациональными числами. 6 класс.

Тест содержит вопросы по математике для 6 класса из раздела «Рациональные числа и действия над ними». Необходимо ответить на все вопросы. Есть вопросы, содержащие один ответ, а также несколько ответов. Каждый правильный ответ оценивается в один балл. В тесте 15 вопросов.

Тест «Задачи на проценты» — Задание №16 ОГЭ

Тест на проверку знаний по теме «Проценты». Задания на нахождение числа по проценту, процента по числу и т. д. Тест содержит 12 вопросов с одним вариантом ответа. Правильный ответ — 1 балл. Максимальное количество баллов 12.

Математика 6 класс. Прямоугольная система координат.

Тест по математике для 6 класса. Тема «Прямоугольная система координат». Содержит 10 заданий. Время прохождения — 10 минут

5 класс. Математика. Сложение и вычитание десятичных дробей (устный счет) №6

Тест предназначен для учащихся 5, 6 классов при отработке навыков устного счёта по темам «Сложение и вычитание десятичных дробей».

Диагностический тест по математике 6 класс

С помощью данного теста можно повторить материал по математике за 5 класс и подготовиться к диагностической контрольной работе

Уравнения 1-7 классы

Тест по математике. Тема: уравнения. Содержит в себе уравнения с 1 по 7 классы. Удачи.

Проверочный тест «Длина окружности. Площадь круга» для 6-го класса

Тест составлен для проверки усвоенного материала темы «Длина окружности» в конце урока.

Десятичные дроби и проценты

Тест для учащихся 5-6 классов по теме «Десятичные дроби и проценты» предназначен для отработки практических навыков учащихся по данной теме

Модуль числа. 6 класс.

Тест по теме «Модуль числа» для учащихся 6 класса. Содержит 12 вопросов, в т. ч. задания ВПР.

Решение уравнений и решение задач с помощью уравнений

Контрольный тест по математике 6 класс по теме «Решение уравнений и задач с помощью уравнений» (Мерзляк и др)

Делимость чисел

Тест среднего уровня сложности. Проверяет базовые владения признаками делимости, а также их комбинациями. Подходит для программы 5 и 6 классов.

Нахождение НОД и НОК. 6 класс

Работа предназначенна для закрепления темы нод и нок натуральных чисел. Состоит из 5 заданий.

Пропорции, 6 класс

Тест по математике к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

Розподільний закон множення. Розкриття дужок. Тестовий контроль для 6-го класу

Тестове завдання для 6 класу Розподільний закон множення Тест дозволить отримати додаткові 20 мерітів

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Вариант 2.

Тест предназначен для проверки знаний учащихся по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателям».

Тест по математике. 6-8 классы

Тест по математике для 6-8 классов с выбором одного правильного ответа из 5-ти предложенных.

Распределительное свойство умножения

Тест на проверку навыков по применению распределительного свойства умножения

Тест по математике 6 класс

Тест по математике для 6 классов! В тесте есть уравнения с модулем, формулы площадей и т. д! Тест легкий и не составит труда пройти его на изи! Также после прохождения вы станете умнее на 50% доказано нашими ребятами из лаборатории Данисом и Тимуром! Также тест очень развлекательный и вам не будет скучно!

Математика — 6 класс, итоговый тест

Математика — 6 класс, итоговый тест. Учебник С. М. Никольский. Контроль знаний и умений за год.

Проценты, математика 6 класс

Тест содержит задачи на проценты повышенного и высокого уровня. Время прохождения теста ограниченно.

Действия с рациональными числами.6 класс

Действия с рациональными числами. В тест включены вопросы по математике за 6 класс. Есть задания с выбором одного ответа и с множественным выбором ответа. Необходимо ответить на все вопросы. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.

Задачи на дроби

Проверь, умеешь ли ты решать простейшие задачи на дроби. Тест содержит всего 6 задачек для решения которых нужно уметь находить часть от величины, величину по её части, какую часть составляет одна величина от другой. На этих задачах удобно «отрабатывать» применение моделей для решения задач где встречаются величины одного рода. Желаем удачи!

Простые и составные числа

Решето Эратосфена – просеивание натурального ряда в поисках простых чисел. Простые числа – это такие числа, которые делятся на себя и на единицу (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Те числа, которые делятся не только на себя и на единицу, имеют больше двух делителей, называются составными.

Масштаб

Тест по теме «Масштаб» для классов ККО предназначен для проверки знаний учащихся по данной теме.

Раскрытие скобок. Решение уравнений.

Работа предназначена для закрепления темы «Раскрытие скобок» Целая часть отделяется от дробной ТОЧКОЙ! Вводим только полученное число.

Тест Умножение дробей 6 класс

Тест по математике по теме «Умножение дробей». Данны тест поможет выявить пробелы в знаниях. Разработан для отработки навыков умножения дробей

Действия с отрицательными числами

Тест для проверки знаний учащихся 6 класса по математике по теме «Действия с отрицательными числами». Тест содержит 13 вопросов разных типов. Время для прохождения теста не ограничено.

Вычитание чисел с разными знаками (целые числа)

Тест на вычитание целых чисел с разными знаками. Состоит из 15 вопросов с одним правильным ответом. Правильный ответ — 1 балл. Максимальное количество баллов — 15. Удачи!

Дистанционная олимпиада по математике для учащихся 6-го класса.

Тест расчитан на учащихся 6 класса, так же может быть использован для повторения в 7 классе. Вопросы по теме «Числа. Отрицательные, целые. Десятичные дроби.»

Математика 6. Подготовка к ВПР. Вариант 2.

Математика 6. Подготовка к ВПР. Вариант 7.

Числа и точки на прямой

5 заданий на определение координат точки и 6 заданий на сравнение чисел с помощью координатной прямой. Оценка «5» — за 91-100%, «4» — за 70-90%, «3» — за 50-69% верных ответов.

Нахождение дроби от числа.

Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.

Круговые диаграммы — 6 класс

Тест по теме «Круговые диаграммы» содержит 10 вопросов. В тесте представлены вопросы двух типов: с выбором одного правильно ответа и с множественным выбором (более 1 правильного ответа). На прохождения теста дается 1 попытка. Тест не ограничен по времени. Расчитан на учащихся 6 класса.

Тест по математике для 6-го класса по теме: «Отношения и проценты»

Тест предназначен для самопроверки знаний по теме: «Отношения и проценты».

Положительные и отрицательные числа. Математика 6 класс

Тест контрольный. Тема:Положительные и отрицательные числа. Координатная плоскость. Модуль числа. Тест может быть использован после изучения названных тем или для повторения, а так же как подготовка к контрольной работе №9.

Тест по математике. Отношения 6 класс

При прохождении теста, пожалуйста, не нажимайте кнопку «назад» в браузере, не перезагружайте страницу и не открывайте тест на новой закладке браузера. Иначе тест начнётся сначала.

Итоговая контрольная работа по математике за курс 6 класса 2 вариант

Каждое задание части А оценивается в 1 балл, В – 2 балла, С – 3 балла. Таким образом, за работу обучающийся может набрать максимальное количество баллов – 17. шкала перевода набранных баллов в отметку: 0-4 балла – «2»; 5-8 баллов – «3»; 9-12 баллов – «4»; 13-17 баллов – «5». На выполнение контрольной работы отводится 45 минут.

Применение распределительного свойства умножения.

Математика 6 класс.

Это тест по математике 6 класс выполнять задания по порядку, возвратиться назад нельзя.

Делимость чисел. Признаки делимости

Тест для учащихся 6 классов из 10 вопросов по теме «Делимость чисел. Признаки делимости».

Длина окружности

Тест составлен для закрепления темы «Длина окружности». Используется при проведении мониторинга в конце урока.

Час веселой математики

Математический КВН. можно использовать при проведении недели математики.

Контрольный устный счет «Действия с десятичными дробями»

Тест содержит 12 заданий на все действия с десятичными дробями. Тест можно использовать для проверки навыков устного счета учащихся 5-6 классов. Для того, чтобы выполнить задание, нужно использовать ответ предыдущего задания. Об этом нужно сообщить учащимся до выполнения теста.

5 класс. Математика. Умножение на 10; 100; 1000. (устный счет) №2

Тест предназначен для учащихся 5, 6 классов при отработке навыков устного счёта по теме «Умножение на 10; 100; 1000. «.

7 класс. Алгебра. Степень с целым показателем. Степень числа 3.

Тест предназначен для учащихся 7 (6) классов при отработке навыков устного счета. Тема «Целая степень числа 2»

7 класс. Алгебра. Степень с целым показателем. Степени чисел 2; 3; 4; 5.

№2

Тест предназначен для учащихся 7 (6) классов при отработке навыков устного счета. Тема «Целая степень числа»

Математика 6 класс

Данный тест предназначен для определения знания предмета «Математика» за курс 6 класса.

Занимательная математика

Тест предназначен для учащихся 5-11 классов, интересующихся математикой и занимательными задачами

Математика 6. Подготовка к ВПР. Вариант 1.

Математика 6. Подготовка к ВПР. Вариант 3.

Тест по математике: к учебнику Н. Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс»

13 заданий. Критерии: «5» — 13 баллов, «4» — 11-12 баллов, «3» — 9-10 баллов.

Таблица умножения от 2 до 15

Содержит 12 вопросов, в т.

Onlinetestpad. com

18.08.2017 15:22:17

2017-08-18 15:22:17

Источники:

Https://onlinetestpad. com/ru/tests/math/6class

Решатель уравнений: Wolfram|Alpha

О, о! Wolfram|Alpha не работает без JavaScript.

Пожалуйста, включите JavaScript. Если вы не знаете, как это сделать, вы можете найти инструкции здесь. Как только вы это сделаете, обновите эту страницу, чтобы начать использовать Wolfram|Alpha.

WolframAlpha

Решение систем линейных, квадратичных и полиномиальных уравнений с помощью Wolfram|Alpha

Basic Math0024

Больше, чем просто онлайн-решатель уравнений

Wolfram|Alpha — отличный инструмент для поиска корней многочленов и решения систем уравнений. Он также факторизует полиномы, строит наборы полиномиальных решений и неравенств и многое другое.

Узнайте больше о:

Решение уравнений »

Советы по вводу запросов

Введите запросы на простом английском языке. Чтобы избежать двусмысленных запросов, обязательно используйте круглые скобки там, где это необходимо. Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как формулировать запросы. 92<=5

Посмотреть другие примеры »

Доступ к инструментам мгновенного обучения

Получите немедленную обратную связь и рекомендации с пошаговыми решениями и генератором проблем Wolfram

Узнайте больше о:

Шаг за шагом пошаговые решения »
Генератор задач Wolfram »

О решении уравнений

Значение называется корнем многочлена, если .

Наибольший показатель появления в называется степенью . Если имеет степень , то хорошо известно, что есть корни, если принять во внимание кратность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например, . Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3,9.0004

О «теореме о факторах» узнают обычно на втором курсе алгебры, как о способе нахождения всех корней, являющихся рациональными числами. Также учатся находить корни всех квадратных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (вытекающие из дискриминанта). Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и действительно, это область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются методом исключения Гаусса или подобными методами. Это также обычно встречается в учебных программах по математике средних школ или колледжей. Необходимы более совершенные методы для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений. Аналогичные замечания справедливы для работы с системами неравенств: линейный случай можно обрабатывать с помощью методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram|Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram|Alpha вызывает функции Solve and Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем. В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции основаны на теоремах и алгоритмах из теории чисел, абстрактной алгебры и других продвинутых областей для вычисления результатов. Эти методы тщательно разработаны и выбраны, чтобы позволить Wolfram|Alpha решать самые разнообразные задачи, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек решит ту же проблему. В результате, Wolfram|Alpha также имеет отдельные алгоритмы для пошаговой демонстрации алгебраических операций с использованием классических методов, которые люди легко распознают и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратичную формулу, правило Крамера и многое другое.

Использование моделей для решения уравнений

ВведениеИспользование весов для решения уравненийИспользование чашек и счетчиков для решения уравненийИспользование алгебраических плиток для решения уравненийКраткий обзор

Как вы уже видели в предыдущих классах, выражение представляет собой математическое утверждение, в котором используются числа, переменные и операции для отображения взаимосвязи между определенными величинами.

Это все примеры выражений, которые вы могли видеть.

Если два выражения равны, то результирующее математическое предложение является уравнением. Это примеры уравнений, которые вы, возможно, видели.

Поскольку два выражения с каждой стороны уравнения равны, вы увидите метафору сбалансированной шкалы, используемую для представления двух сторон уравнения.

Например, уравнение 5 = 3 + 2 показано на изображении ниже с использованием сбалансированной шкалы.

Используйте интерактивную ссылку на изображение ниже, чтобы изучить отношения между следующими парами выражений. Интерактив откроется в новой вкладке или окне браузера. Если шкала сбалансирована, то выражения равны, и вы можете написать уравнение, представляющее связь между двумя выражениями. Если шкала не уравновешена, то выражения не равны.

Нужны дополнительные указания?

3(4) и 24 ÷ 2
3(8 − 3) и 13 + 2
27 ÷ 3 и 3 х 3

Теперь, когда вы изучили идею баланса применительно к числовым выражениям, на этом уроке вы распространите эту идею на алгебраические уравнения. Вы будете использовать различные модели для представления и решения алгебраических уравнений, которые включают отношения между числами и переменными.

Во введении вы использовали весы для сравнения числовых выражений. В этом разделе вы будете использовать весы для моделирования и решения уравнений.

Рассмотрим приведенное ниже уравнение.

Для модели весов используйте следующие цифры для представления x и 1. Вы можете представить комбинации x и 1, используя комбинации цифр.

Уравнение 2 x + 3 = 7 можно составить на основе показанного ниже баланса.

После того, как уравнение построено на модели, единичные блоки или 1-блоки можно удалить с обеих сторон баланса, чтобы определить количество единичных блоков, необходимое для балансировки 2 х -блоки.

Каждый блок x должен уравновешивать одно и то же количество единичных блоков, поэтому в этом случае каждый блок x уравновешивает 2 единичных блока. Согласно модели, x = 2.

Посмотрите, как это уравнение решается с использованием балансовой модели.

Используйте интерактив ниже, чтобы создать как минимум 3 уравнения, которые будут вам даны. Интерактив откроется в новой вкладке или окне браузера. Если вам нужно, нажимайте «Новая проблема», пока не получите двухшаговое уравнение или уравнение вида 9.0131 ах + б = с . Используйте следующие шаги, чтобы помочь вам перемещаться по интерактивному интерфейсу, когда вы настраиваете и решаете данное уравнение.

Используйте блоки размером x и единичные блоки (1-блоки) для составления уравнения.
После правильной настройки уравнения нажмите «Продолжить», чтобы решить уравнение, используя модель весов.
Укажите операцию, которую необходимо выполнить, чтобы получить блоки x на балансе, щелкнув символ этой операции.
Введите количество блоков, которые необходимо сложить, вычесть, умножить или разделить.
При необходимости повторите для дополнительной операции.

На боковой панели есть указания, которые можно использовать для пошагового выполнения каждого уравнения. Если вам нужны дополнительные указания, см. ниже.

Нужны дополнительные указания по составлению уравнения?
Нужны дополнительные указания, чтобы решить уравнение?

Пауза и отражение

Уравнение вида ax + b = c , где a, b, и c — числа, а a не равно 0, называется двухшаговым уравнением.

Как вы думаете, почему эти уравнения называются двухшаговыми?
Как бы вы решили уравнение типа 3x − 5 = 10 , где b — отрицательное число?

Практика

Для вопросов 1–3 используйте весовую шкалу, чтобы определить значение x .

1. 3 x + 2 = 8

2. 2 x + 3 = 9

3. 4 x + 1 = 4 9 9000 модель для создания и решения двухшаговых уравнений. В этом разделе вы будете использовать другую модель, состоящую из чашек и прилавков.

В модели чашек и счетчиков чашка представляет собой переменную, обычно x, а счетчики используются для представления чисел.

Рассмотрим уравнение 3 x + 4 = 13. Это уравнение можно смоделировать с помощью чашек и прилавков с 3 чашками и 4 положительными счетчиками единиц слева от знака равенства и 13 положительными счетчиками справа от знака равенства.

Используйте интерактив ниже, чтобы увидеть, как Сэнди использовал чашки и счетчики для решения этого уравнения.

Пауза и размышление

Когда вы делите жетоны поровну между чашками, что вы делаете, если остался лишний?
Если у вас есть отрицательные счетчики вместо положительных, какие действия вам нужно предпринять вместо удаления счетчиков с обеих сторон модели?

Практика

Для вопросов 1–3 используйте модель чашек и прилавков, чтобы определить значение x .

1. 3 x + 2 = 17

2. 2 x + 1 = 13

3. 4 x + 1 = 10

На этом уроке вы уже видели две модели. решение уравнений: весы, чашки и счетчики. В этом разделе вы будете использовать и исследовать третью модель — плитки алгебры.

Для плиток алгебры прямоугольник представляет переменную, обычно x , а квадраты используются для представления чисел.

Рассмотрим уравнение 2 x − 3 = 5. Это уравнение можно смоделировать с помощью алгебраических плиток, используя 2 зеленых прямоугольника (положительные x – плитки) и 3 красных квадрата (отрицательные единичные плитки) с левой стороны равной знак и 5 желтых квадратов (положительные тайлы) с правой стороны.

Посмотрите, как это уравнение решается с использованием модели плитки алгебры.

Самостоятельно используйте интерактивный элемент, связанный с изображением ниже, чтобы создавать и решать уравнения с плитками алгебры.

Нажмите кнопку «Новое уравнение», лист бумаги на желтой панели, чтобы сгенерировать двухэтапное уравнение вида x + b = c .
Используйте инструменты для настройки уравнения и щелкните инструмент «Проверить», чтобы проверить свою модель.
После правильной настройки используйте нулевые пары и удаляйте плитки по мере необходимости, чтобы решить уравнение.
Введите свое решение в текстовое поле и щелкните инструмент «Проверить», чтобы проверить свой ответ.

Нужны дополнительные указания?

Пауза и размышление

Как мозаичная алгебраическая модель позволяет лучше визуализировать концепцию нулевых пар?
Как модель плитки алгебры сравнивается с моделью чашек и счетчика или моделью с весами?

Практика

Для вопросов 1–3 используйте модель плитки алгебры, чтобы определить значение x .

1. 4 х – 5 = 15

2. 2 x + 7 = 3

3. 3 x − 5 = 4

На этом уроке вы использовали три разные модели для представления и решения уравнений.

Модель 1: Весы баланса

Модель весов баланса использует метафору весов баланса для представления выражений с каждой стороны уравнения. Поскольку выражения должны иметь эквивалентные значения, шкала должна быть сбалансирована. Любые изменения, внесенные в одно выражение, также должны быть внесены в другое, чтобы сохранить баланс.

Модель 2: Чашки и счетчики

Модель стаканов и счетчиков использует стаканы для представления переменной и счетчики для представления чисел. Счетчики могут быть манипулятивными, такими как цветные плитки, двухцветные счетчики или объекты, такие как бобы. При решении уравнений с использованием модели чашек и прилавков цель состоит в том, чтобы определить количество фишек, которые входят в чашку, чтобы уравнение было верным.

Модель 3: плитки алгебры

Модель плиток алгебры использует квадраты для представления чисел (единиц) и прямоугольники для представления переменных ( х ). Зеленые или желтые плитки являются положительными, а красные плитки – отрицательными. Модель плитки алгебры позволяет визуализировать использование нулевых пар для решения уравнений и приводит к идее использования обратных операций для решения уравнений, о чем вы узнаете в следующем уроке.

Печать
Поделиться

Исчисление I

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Вот заметки к моему курсу исчисления I, который я преподаю здесь, в Ламарском университете. Несмотря на то, что это мои «классные заметки», они должны быть доступны для всех, кто хочет изучить исчисление I или нуждается в повторении некоторых из ранних тем по исчислению.

Я пытался сделать эти заметки как можно более автономными, чтобы вся информация, необходимая для их чтения, была получена либо из класса Algebra или Trig, либо содержалась в других разделах заметок.

Вот несколько предупреждений моим студентам, которые могут быть здесь, чтобы получить копию того, что произошло в день, который вы пропустили.

Поскольку я хотел сделать это довольно полным набором заметок для тех, кто хочет изучить математический анализ, я включил некоторые материалы, которые у меня обычно не хватает времени для изучения в классе, и поскольку они меняются от семестра к семестру, они здесь не указаны. . Вам нужно будет найти одного из своих одноклассников, чтобы узнать, есть ли в этих заметках что-то, что не было рассмотрено в классе.
Поскольку я хочу, чтобы эти заметки дали вам еще несколько примеров для прочтения, я не всегда решаю в классе те же задачи, что и в примечаниях. Точно так же, даже если я решу некоторые из задач здесь, я могу решить меньше задач в классе, чем представлено здесь.
Иногда вопросы в классе ведут по путям, которые здесь не рассматриваются. Я стараюсь предвидеть как можно больше вопросов, когда пишу их, но реальность такова, что я не могу предвидеть все вопросы. Иногда в классе задают очень хороший вопрос, который приводит к идеям, которые я здесь не включил. Вы всегда должны поговорить с кем-то, кто был в классе в тот день, когда вы пропустили, и сравнить эти записи с их заметками и посмотреть, в чем различия.
Это несколько связано с предыдущими тремя пунктами, но достаточно важно, чтобы заслужить отдельный пункт. ЭТИ ЗАПИСКИ НЕ ЗАМЕНЯЮТ ПОСЕЩЕНИЕ ЗАНЯТИЙ!! Использование этих заметок вместо урока может привести к неприятностям. Как уже отмечалось, не все в этих заметках освещается в классе, и часто материал или идеи, не указанные в этих заметках, рассматриваются в классе.

Вот список (и краткое описание) материалов, содержащихся в этом наборе заметок.

Обзор. В этой главе мы даем краткий обзор выбранных тем из Алгебры и Тригонометра, которые жизненно важны для прохождения курса исчисления. Включены функции, триггерные функции, решение триггерных уравнений и уравнений, экспоненциальные/логарифмические функции и решение экспоненциальных/логарифмических уравнений.

Функции. В этом разделе мы рассмотрим нотацию/вычисление функции, определение домена и диапазона функции и композиции функции.
Обратные функции. В этом разделе мы определим обратную функцию и обозначения, используемые для обратных функций. Мы также обсудим процесс нахождения обратной функции.
Триггерные функции. В этом разделе мы дадим краткий обзор триггерных функций. Мы рассмотрим основные обозначения, взаимосвязь между тригонометрическими функциями, определение прямоугольного треугольника тригонометрических функций. Мы также рассмотрим вычисление триггерных функций, а также единичный круг (одна из наиболее важных идей класса триггеров!) и то, как его можно использовать для вычисления тригонометрических функций.
Решение триггерных уравнений. В этом разделе мы обсудим, как решать триггерные уравнения. Все ответы на уравнения в этом разделе будут одним из «стандартных» углов, которые большинство студентов запомнили после урока тригонометрии. Однако используемый здесь процесс можно использовать для любого ответа, независимо от того, является ли он одним из стандартных углов или нет.
Решение уравнений триггера с помощью калькуляторов, часть I. В этом разделе мы обсудим решение уравнений триггера, когда ответ (как правило) требует использования калькулятора (, т.е. , они не являются одним из стандартных углов). Обратите внимание, однако, что используемый здесь процесс идентичен процессу, когда ответом является один из стандартных углов. Единственная разница в том, что ответы здесь могут быть немного запутанными из-за необходимости калькулятора. {x}\), а также свойства и графики показательных функций.
Логарифмические функции. В этом разделе мы обсудим логарифмические функции, вычисление логарифмов и их свойства. Мы обсудим многие из основных манипуляций с логарифмами, которые обычно встречаются на уроках исчисления (и выше). Включено обсуждение натурального (\(\ln(x)\)) и десятичного логарифма (\(\log(x)\)) а также изменения базовой формулы.
Экспоненциальные и логарифмические уравнения. В этом разделе мы обсудим различные методы решения уравнений, включающих экспоненциальные функции или логарифмические функции.
Общие графики. В этом разделе мы сделаем очень краткий обзор многих наиболее распространенных функций и их графиков, которые обычно появляются в классе исчисления.

Лимиты. В этой главе мы вводим понятие лимитов. Мы обсудим интерпретацию / значение предела, как оценивать пределы, определение и оценку односторонних пределов, оценку бесконечных пределов, оценку пределов на бесконечности, непрерывность и теорему о промежуточном значении. Мы также дадим краткое введение в точное определение предела и как его использовать для оценки пределов.

Касательные линии и скорости изменения. В этом разделе мы представим две проблемы, которые мы будем встречать снова и снова в этом курсе: скорость изменения функции и касательные линии к функциям. Обе эти проблемы будут использоваться для введения понятия пределов, хотя мы не будем давать формального определения или обозначения до следующего раздела.
Предел. В этом разделе мы введем обозначение предела. Мы также концептуально рассмотрим пределы и попытаемся понять, что они из себя представляют и что они могут нам сказать. В этом разделе мы будем оценивать значение ограничений, чтобы понять, что они нам говорят. На самом деле мы начнем вычислять ограничения в нескольких разделах.
Односторонние ограничения. В этом разделе мы познакомим вас с понятием односторонних ограничений. Мы обсудим различия между односторонними пределами и пределами, а также то, как они связаны друг с другом.
Свойства пределов. В этом разделе мы обсудим свойства пределов, которые нам нужно будет использовать при вычислении пределов (в отличие от их оценки, как мы делали до этого момента). В этом разделе мы также вычислим пару основных пределов.
Вычисление лимитов. В этом разделе мы рассмотрим несколько типов лимитов, которые требуют некоторой работы, прежде чем мы сможем использовать свойства лимита для их вычисления. Мы также рассмотрим вычисление пределов кусочных функций и использование теоремы сжатия для вычисления некоторых пределов.
Бесконечные пределы. В этом разделе мы рассмотрим пределы, которые имеют значение бесконечности или отрицательной бесконечности. Мы также кратко рассмотрим вертикальные асимптоты. Пределы
на бесконечности, часть I. В этом разделе мы начнем рассматривать пределы на бесконечности, , т.е. пределы, в которых переменная становится очень большой как в положительном, так и в отрицательном смысле. В этом разделе мы сосредоточимся на многочленах и рациональных выражениях. Мы также кратко рассмотрим горизонтальные асимптоты.
Пределы в бесконечности, часть II. В этом разделе мы продолжим рассмотрение пределов в бесконечности. В этом разделе мы рассмотрим экспоненты, логарифмы и арктангенсы.
Непрерывность. В этом разделе мы представим концепцию непрерывности и то, как она связана с ограничениями. В этом разделе мы также увидим теорему о промежуточном значении и то, как ее можно использовать для определения того, имеют ли функции решения в заданном интервале.
Определение предела. В этом разделе мы дадим точное определение нескольких пределов, рассматриваемых в этом разделе. Мы рассмотрим несколько основных примеров, иллюстрирующих, как использовать это точное определение для вычисления предела. Мы также дадим точное определение непрерывности.

Производные инструменты. В этой главе мы познакомимся с деривативами. Мы охватываем стандартные формулы производных, включая правило произведения, частное правило и цепное правило, а также производные полиномов, корней, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, гиперболических функций, экспоненциальных функций и функций логарифмов. Мы также охватываем неявное дифференцирование, связанные скорости, производные более высокого порядка и логарифмическое дифференцирование.

Определение производной. В этом разделе мы определяем производную, даем различные обозначения для производной и работаем над несколькими задачами, иллюстрирующими, как использовать определение производной для фактического вычисления производной функции.
Интерпретация производной – В этом разделе мы даем несколько наиболее важных интерпретаций производной. Мы обсуждаем скорость изменения функции, скорость движущегося объекта и наклон касательной к графику функции.
Формулы дифференцирования. В этом разделе мы даем большинство общих формул производных и свойств, используемых при нахождении производной функции. Примеры в этом разделе в основном сосредоточены на многочленах, корнях и, в более общем плане, переменных, возведенных в степень.
Правило произведения и частного. В этом разделе мы приведем две наиболее важные формулы для дифференцирования функций. Мы обсудим Правило произведения и Правило частного, позволяющие нам дифференцировать функции, которые до этого момента мы не могли дифференцировать.
Производные триггерных функций. В этом разделе мы обсудим дифференцирование триггерных функций. Даны производные всех шести тригонометрических функций, и мы показываем вывод производных от \(\sin(x)\) и \(\tan(x)\).
Производные экспоненциальной и логарифмической функций. В этом разделе мы выводим формулы для производных экспоненциальной и логарифмической функций.
Производные обратных триггерных функций. В этом разделе мы приводим производные всех шести обратных триггерных функций. Покажем вывод формул арксинуса, арккосинуса и арктангенса.
Производные гиперболических функций. В этом разделе мы определяем гиперболические функции, даем отношения между ними и некоторые основные факты, связанные с гиперболическими функциями. Мы также приводим производные каждой из шести гиперболических функций и показываем вывод формулы для гиперболического синуса.
Цепное правило. В этом разделе мы обсудим одну из наиболее полезных и важных формул дифференцирования — Цепное правило. Имея в руках цепное правило, мы сможем различать гораздо более широкий спектр функций. Как вы увидите на протяжении остальных курсов по математическому анализу, многие производные, которые вы будете использовать, будут включать цепное правило!
Неявное дифференцирование. В этом разделе мы обсудим неявное дифференцирование. Не каждую функцию можно явно записать в терминах независимой переменной, например. y = f(x), но нам все равно нужно знать, что такое f'(x). Неявное дифференцирование позволит найти производную в этих случаях. Знание неявной дифференциации позволит нам сделать одно из наиболее важных применений деривативов — относительные ставки (следующий раздел).
Связанные ставки – В этом разделе мы обсудим единственное применение деривативов в этом разделе, Связанные ставки. В задачах о связанных скоростях нам задают скорость изменения одной величины в задаче и просят определить скорость одной (или нескольких) величин в задаче. Часто это один из самых сложных разделов для студентов. В этом разделе мы работаем с несколькими задачами, поэтому, надеюсь, к концу этого раздела вы получите достаточное представление о том, как работают эти задачи.
Производные более высокого порядка. В этом разделе мы определяем понятие производных более высокого порядка, даем краткое описание производной второго порядка и показываем, как работает неявное дифференцирование для производных более высокого порядка.
Логарифмическое дифференцирование. В этом разделе мы обсудим логарифмическое дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование дает альтернативный метод дифференцирования произведений и частных (иногда более простой, чем использование правила произведения и частного). Более важным, однако, является тот факт, что логарифмическое дифференцирование позволяет нам дифференцировать функции, которые находятся в виде одной функции, возведенной в другую функцию, т.е. есть переменные как в основании, так и в показателе функции.

Применение деривативов. В этой главе мы рассмотрим многие основные области применения деривативов. Включенные приложения определяют абсолютные и относительные минимальные и максимальные значения функции (как с ограничениями, так и без них), набрасывают график функции без использования вычислительной помощи, определяют линейную аппроксимацию функции, правило Лопиталя (позволяющее нам вычислить некоторые пределы, которые мы не могли до этого), метод Ньютона (позволяющий нам аппроксимировать решения уравнений), а также несколько основных бизнес-приложений.

Скорость изменения. В этом разделе мы рассмотрим основное применение/интерпретацию производных из предыдущей главы (т. е. скорости изменения), которые мы будем использовать во многих приложениях в этой главе.
Критические точки. В этом разделе мы даем определение критических точек. Критические точки будут показаны в большинстве разделов этой главы, поэтому важно понимать их и то, как их найти. Мы будем работать с рядом примеров, иллюстрирующих, как найти их для самых разных функций.
Минимальные и максимальные значения. В этом разделе мы определяем абсолютные (или глобальные) минимальные и максимальные значения функции и относительные (или локальные) минимальные и максимальные значения функции. Важно понимать разницу между двумя типами минимальных и максимальных (вместе называемых экстремумами) значений для многих приложений в этой главе, поэтому мы используем различные примеры, чтобы помочь с этим. Мы также даем теорему об экстремальных значениях и теорему Ферма, которые очень важны во многих приложениях, которые мы увидим в этой главе.
Поиск абсолютных экстремумов. В этом разделе мы обсудим, как найти абсолютные (или глобальные) минимальное и максимальное значения функции. Другими словами, мы будем находить наибольшее и наименьшее значения, которые будет иметь функция.
Форма графика, часть I. В этом разделе мы обсудим, что первая производная функции может рассказать нам о графике функции. Первая производная позволит нам определить относительные (или локальные) минимальные и максимальные значения функции и где функция будет возрастать и уменьшаться. Мы также дадим критерий первой производной, который позволит нам классифицировать критические точки как относительные минимумы, относительные максимумы или ни минимум, ни максимум.
Форма графика, часть II. В этом разделе мы обсудим, что вторая производная функции может рассказать нам о графике функции. Вторая производная позволит нам определить, где график функции вогнут вверх и вогнут вниз. Вторая производная также позволит нам идентифицировать любые точки перегиба (т. е. места изменения вогнутости), которые может иметь функция. Мы также дадим тест второй производной, который даст альтернативный метод определения некоторых критических точек (но не всех) как относительных минимумов или относительных максимумов.
Теорема о среднем значении. В этом разделе мы приведем теорему Ролля и теорему о среднем значении. С помощью теоремы о среднем значении мы докажем пару очень хороших фактов, один из которых будет очень полезен в следующей главе.
Проблемы оптимизации. В этом разделе мы будем определять абсолютный минимум и/или максимум функции, которая зависит от двух переменных при заданном ограничении или соотношении, которым две переменные всегда должны удовлетворять. Мы обсудим несколько способов определения абсолютного минимума или максимума функции. Примеры в этом разделе, как правило, сосредоточены вокруг геометрических объектов, таких как квадраты, прямоугольники, цилиндры и т. д.
Другие проблемы оптимизации — В этом разделе мы продолжим работать над проблемами оптимизации. Примеры в этом разделе, как правило, немного сложнее и часто включают ситуации, которые легче описать с помощью эскиза, в отличие от «простых» геометрических объектов, которые мы рассматривали в предыдущем разделе.
Правило Лопиталя и неопределенные формы. В этом разделе мы вернемся к неопределенным формам и ограничениям и рассмотрим правило Лопиталя. Правило Лопиталя позволит нам оценить некоторые пределы, которые мы не могли установить ранее.
Линейные аппроксимации. В этом разделе мы обсудим использование производной для вычисления линейной аппроксимации функции. Мы можем использовать линейную аппроксимацию функции для аппроксимации значений функции в определенных точках. Хотя это может показаться бесполезным, когда у нас есть функция, на самом деле есть причины, по которым кто-то может захотеть это сделать. Мы даем два способа, которыми это может быть полезно в примерах.
Дифференциалы. В этом разделе мы вычислим дифференциал для функции. В этом разделе мы дадим применение дифференциалов. Однако одно из наиболее важных применений дифференциалов будет рассмотрено в следующей главе, и, к сожалению, мы не сможем обсудить его до тех пор.
Метод Ньютона. В этом разделе мы обсудим метод Ньютона. Метод Ньютона — это применение производных, которое позволяет нам аппроксимировать решения уравнения. Есть много уравнений, которые нельзя решить напрямую, и с помощью этого метода мы можем получить приближения к решениям многих из этих уравнений.
Бизнес-приложения. В этом разделе мы дадим беглое обсуждение некоторых основных приложений деривативов в сфере бизнеса. Мы вернемся к поиску максимального и/или минимального значения функции и определим функцию предельных издержек, средние издержки, функцию дохода, функцию предельного дохода и функцию предельной прибыли. Обратите внимание, что этот раздел предназначен только для ознакомления с этими понятиями, а не для того, чтобы рассказать вам о них все.

Интегралы. В этой главе мы познакомимся с определенными и неопределенными интегралами. Мы обсудим определение и свойства каждого типа интеграла, а также способы их вычисления, включая правило подстановки. Мы приведем основную теорему исчисления, показывающую связь между производными и интегралами. Мы также обсудим проблему площадей, важную интерпретацию определенного интеграла.

Неопределенные интегралы. В этом разделе мы начнем главу с определения и свойств неопределенных интегралов. В этом разделе мы не будем вычислять много неопределенных интегралов. Этот раздел посвящен простому определению того, что такое неопределенный интеграл, и описанию многих свойств неопределенного интеграла. Собственно вычисление неопределенных интегралов начнется в следующем разделе.
Вычисление неопределенных интегралов. В этом разделе мы вычислим некоторые неопределенные интегралы. Интегралы в этом разделе будут, как правило, такими, которые не требуют большого количества манипуляций с функцией, которую мы интегрируем, чтобы фактически вычислить интеграл. Как мы увидим в следующем разделе, многие интегралы требуют некоторых манипуляций с функцией, прежде чем мы сможем вычислить интеграл. Мы также кратко рассмотрим применение неопределенных интегралов.
Правило подстановки для неопределенных интегралов. В этом разделе мы начнем использовать один из наиболее распространенных и полезных методов интегрирования — правило подстановки. С помощью правила подстановки мы сможем интегрировать более широкий спектр функций. Все интегралы в этом разделе потребуют некоторых манипуляций с функцией перед интегрированием, в отличие от большинства интегралов из предыдущего раздела, где все, что нам действительно нужно, это основные формулы интегрирования.
Больше правила подстановки. В этом разделе мы продолжим рассмотрение правила подстановки. Проблемы в этом разделе, как правило, немного сложнее, чем в предыдущем разделе.
Площадная задача. В этом разделе мы начнем с обоснования определенных интегралов и дадим одну из интерпретаций определенных интегралов. Мы будем аппроксимировать площадь, лежащую между функцией и осью \(x\). Как мы увидим в следующем разделе, эта проблема приведет нас к определению определенного интеграла и будет одной из основных интерпретаций определенного интеграла, которые мы будем рассматривать в этом материале.
Определение определенного интеграла. В этом разделе мы дадим формальное определение определенного интеграла, дадим многие его свойства и обсудим пару интерпретаций определенного интеграла. Мы также рассмотрим первую часть основной теоремы исчисления, которая показывает очень тесную связь между производными и интегралами.
Вычисление определенных интегралов. В этом разделе мы рассмотрим вторую часть основной теоремы исчисления. Это покажет нам, как мы вычисляем определенные интегралы без использования (часто очень неприятного) определения. Все примеры в этом разделе можно выполнить с базовыми знаниями о неопределенных интегралах и не потребуют использования правила подстановки. В примеры этого раздела включены вычисления определенных интегралов кусочных и абсолютных функций.
Правило подстановки для определенных интегралов. В этом разделе мы вернемся к правилу подстановки применительно к определенным интегралам. Единственными реальными требованиями для выполнения примеров в этом разделе являются умение использовать правило подстановки для неопределенных интегралов и понимание того, как вообще вычислять определенные интегралы.

Применение интегралов. В этой главе мы рассмотрим некоторые применения интегралов. Мы рассмотрим среднее значение функции, площадь между кривыми, объем (как тела вращения, так и другие тела) и работу.

Среднее значение функции. В этом разделе мы рассмотрим использование определенных интегралов для определения среднего значения функции на интервале. Мы также дадим теорему о среднем значении для интегралов.
Площадь между кривыми. В этом разделе мы рассмотрим одно из основных применений определенных интегралов в этой главе. Определим площадь области, ограниченной двумя кривыми.
Объемы тел вращения / Метод колец. В этом разделе, первом из двух разделов, посвященных нахождению объема тела вращения, мы рассмотрим метод колец/дисков, чтобы найти объем полученного объекта. путем вращения области, ограниченной двумя кривыми (одна из которых может быть осью \(x\) или \(y\)) вокруг вертикальной или горизонтальной оси вращения.
Объемы тел вращения / Метод цилиндров. В этом разделе, втором из двух разделов, посвященных нахождению объема тела вращения, мы рассмотрим метод цилиндров/оболочек, чтобы найти объем объекта, который мы получаем. путем вращения области, ограниченной двумя кривыми (одна из которых может быть осью \(x\) или \(y\)) вокруг вертикальной или горизонтальной оси вращения.
Дополнительные задачи с объемом. В предыдущих двух разделах мы рассмотрели твердые тела, которые можно найти, рассматривая их как тела вращения. Не все тела можно рассматривать как тела вращения, и фактически не все тела вращения можно легко рассматривать с помощью методов из предыдущих двух разделов. Итак, в этом разделе мы рассмотрим нахождение объема некоторых тел, которые либо не являются телами вращения, либо которые нелегко сделать в качестве тел вращения.
Работа. В этом разделе мы рассмотрим определение количества работы, необходимой для перемещения объекта, на который действует сила, на заданное расстояние.

Extras – В этой главе приводятся доказательства многих фактов/свойств/теорем, изложенных в материале. Также включены краткий обзор обозначений суммирования, обсуждение различных «типов» бесконечности и обсуждение тонкостей, связанных с константой интегрирования от неопределенных интегралов.

Доказательство различных предельных свойств. В этом разделе мы докажем несколько предельных свойств и фактов, приведенных в различных разделах главы «Пределы».
Доказательство различных фактов/формул/свойств производных. В этом разделе мы докажем несколько правил/формул/свойств производных, которые мы видели в главе «Производные».

Доказательство триггерных пределов. В этом разделе мы приводим доказательства для двух пределов, необходимых для нахождения производной функции синуса и косинуса с использованием определения производной.
Доказательства фактов/формул о применении производных. В этом разделе мы докажем многие факты, которые мы видели в главе «Применение производных».
Доказательство различных интегральных фактов/формул/свойств. В этом разделе мы докажем некоторые факты и формулы из главы об интегралах, а также пару из главы «Приложения интегралов».
Формулы площади и объема.