Раскраска примеры в пределах 10: Раскраска с примерами в пределах 10 распечатать бесплатно – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

Развивающие и математические раскраски – Сложение и вычитание в пределах 10

Сложение в пределах 10. Бетономешалка

Вычитание в пределах 8. (Два варианта) Единорог	Сложение и вычитание в пределах 10. Пожарная машина

Сложение и вычитание в пределах 10. Машина	Сложение и вычитание в пределах 10. Красная Шапочка

Нахождение неизвестного уменьшаемого. (2 варианта) Волк “Ну, погоди!”	Состав чисел первого десятка. (2 варианта) Баба Яга

Вычитание в пределах 10 (для малышей). Колокольчики новогодние	Сложение в пределах 10 (для малышей). Червячок

Нахождение неизвестного вычитаемого. (2 варианта) Попугай	Нахождение неизвестного уменьшаемого. (2 варианта) Золушка

Состав числа 9. (2 варианта) Ёлочные шары	Состав числа 8. (2 варианта) Дед Мороз

Состав чисел в пределах 7. (2 варианта) Снеговик	Выражение в несколько действий со скобками. Ракета

Нахождение неизвестного слагаемого. (2 варианта) Дед Мороз с мешком	Нахождение неизвестного вычитаемого. Мышь и крот

Нахождение неизвестного уменьшаемого. Мышонок	Нахождение неизвестного вычитаемого. Рак

Нахождение неизвестного слагаемого. Бельчонок	Выражения в 2-3 действия. Дракон

Нахождение неизвестного слагаемого. Жираф	Состав числа 6. Лисёнок

Состав числа 7. Черепаха	Состав числа 8. Обезьянка

Состав числа 9. Попугай Кеша	Состав числа 10. Карандаш

Нахождение неизвестного уменьшаемого. Лев.	Сложение и вычитание в пределах 6. Паровоз.

Нахождение неизвестного слагаемого. Санта Клаус и мальчик	Нахождение неизвестного вычитаемого. Гном

Раскраски Примеры В Пределах 10 Распечатать – Telegraph

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ, ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Раскраски Монстер Хай Распечатать
Девочка Разукрашка 4
Детские Раскраски Распечатать Формат А4

Распечатать Раскраску Свинку Пеппу Картинки
Раскраска Птички Клюют Зернышки

Весенняя Открытка Раскраска
Чудо Дом Раскраска
Раскраска 70 Лет Победы
Развивающие Раскраски Для Малышей
Раскраска Животных По Цифрам Играть Онлайн
Свинка Пеппа Раскраска Распечатать
Разукрашки 7 Лет Распечатать Бесплатно
Раскраски Во Время Карантина
Разукрашки Приложение
Раскраски Для Мальчиков Полиция
Матем Раскраска 3 Класс
Голова Крипера Раскраска
Раскраски Дымка Для Дошкольников
Месяцы Весны Раскраска
Картинка Раскраска Ракета Рисование 7 Класс
Раскраска На Тему Пожарной Безопасности Для Детей
Раскраски Про Камаз Вольво
Прикольные Картинки Раскраски Для Девочек
Картинки Раскраски Фнаф
Математический Кроссворд Раскраска
Математическая Раскраска Птицы
Раскраска Суши Кот
Раскраска Сгоревшие Аниматроники
Раскраски 11 Лет Девочки Няшные
Раскраска Свинки Пеппы Онлайн
Раскраска Черепашки Ниндзя Микки
Раскраски Для Девочек Смурфики
Эльза И Анна В Купальниках Раскраска

Пожарный Катер Раскраска
Раскраски В Пдф Формате
Раскраски Майнкрафт Зомби Апокалипсис Распечатать
Раскраски 10 12 Лет Сложные
Елка Раскраска На Прозрачном Фоне
Раскраска Бабочки Много
Раскраска Шурале Для Детей Распечатать
Раскраска Белый Ворон Из Бравл Старс
Раскраски Про Кукол Лол С Питомцами
Игра Разукрашки Для Девочек 3 Года
Танк Раскраска Для Детей Распечатать Для Малышей
Раскраска Звездное Небо
Раскраски Антистресс Кони
Раскраски Для Девочек 4 6 Лет
Игра Клубника Раскраска
Раскраски По Номерам Хоббарт
Раскраска Для Маленьких Машинки Самолетик
Раскраска Айпад Про
Раскраски Для Мальчиков Трансформеры
Раскраска Сердце С Днем Рождения
Одежда Римлян Раскраска
Первый Весенний Цветок Раскраска
Раскраски 4 На Одном Листе Распечатать
Раскраски Про Мальчиков
Раскраска Подбитый Танк
Витраж Раскраска Животные
Раскраска Жираф Распечатать Бесплатно
Раскраска Яйца Как Приручить Дракона 3

Раскраски Английского Алфавита Распечатать
Мерседес Полиция Раскраска
Раскраски Для Девочек Делать
Раскраски На Тему Гигиена
Раскраска Фнаф Фантайм Фокси
Раскраски Рыбы Для Детей 4 5 Лет
Разукрашка Старшая Сестренка Оэмджи Лол Разукрашка
Рисунок Ко Дню Космонавтики 2 Класс Раскраска
Картинки Раскраски Для Лд Черно Белые Распечатать
Раскраска Яйца Для Детей 3 4 Лет
Раскраска Для Детей 5 Лет Онлайн
Раскраска Скорая Помощь Распечатать
Картинки Раскраски Природа
Олаф Картинка Раскраска
Раскраска 3 Поросенка
Раскраски Русские Машины Бпан
Игры Рисовалки Раскраска
2kartinki Ru Раскраски По Номерам
Раскраска Пони Играть Онлайн Бесплатно
Детская Открытка Раскраска
Джеки Раскраска Браво
Раскраски Майнкрафт Блоки Из Бумаги
Джокер Картинки Раскраски
Наклейки Раскраски Для Ванной
Раскраска Цветка Календулы
Раскраска Аниме Друзья
Мини Тату Раскраска
Раскраска Лол 10 Серия

Раскраска Машины Для Мальчиков Распечатать 4 Года
Раскраски Для Детей Учим Цвета
Раскраска Леди Баг Маринет
Раскраски Крупные Онлайн
День Равноденствия В Марте Раскраска
Раскраска Инструменты
Волшебные Раскраски Раскраски По Номерам Мод
Раскраски Варкрафт 3
Книжный Магазин Раскраска
Раскраска Дракон Смутьян
Раскраска Бесплатно 2
Раскраска День Для Детей
Разукрашка Бравл Старс Леон Оборотень
Раскраска К Рассказу Честное Слово
Раскраски Примеры В Пределах 10 Распечатать

Примеры настроек цвета визуализации ‒ Qlik Sense для Windows

Можно использовать несколько различных методов для управления использованием цветов в визуализациях.

Вы можете вручную применять цвета к визуализациям, используя следующие методы:

Цвет одним цветом

Раскрашивание несколькими цветами
Цвет по размеру
Цвет по размеру
Цвет по выражению

В приведенном ниже примере панели инструментов каждый метод установки цветов имеет соответствующую визуализацию. В этом разделе описывается каждый пример, а также конкретные настройки, используемые на панели свойств.

Цвет одним цветом

Визуализации могут быть окрашены одним цветом, определяемым пользователем. Цвета можно выбирать из палитры или цветового круга или путем ввода шестнадцатеричного кода цвета.

В этом примере визуализации к линейной диаграмме применен один цвет.

Настройки панели свойств

Для этой визуализации следующие свойства были установлены на панели свойств в разделе Внешний вид > Цвета и условные обозначения:

Цвета: установите значение «Пользовательский» и «Один цвет». Цвет задается как шестнадцатеричное значение 4477aa.

Цвет несколькими цветами

Визуализации с несколькими мерами могут иметь разные цвета, применяемые к каждой мере. Когда визуализация раскрашивается с помощью многоцветного, автоматически применяются цвета из цветовой схемы по умолчанию, состоящей из 12 или 100 цветов.

В этом примере визуализации к показателям Сумма расходов и Бюджет на линейной диаграмме применено несколько цветов.

Настройки панели свойств

Цвета: установите значение «Пользовательский» и «Разноцветный».

Цветовая схема: 12 цветов.

Цвет по основной позиции

Цвета можно поддерживать согласованными в визуализациях для измерений или показателей, устанавливая цвета в основных элементах. Если задано использование цветов основного элемента, визуализации будут использовать все цвета, связанные с основными элементами в визуализации. Цвета основного элемента можно использовать, если для параметра «Цвет» установлено значение «Один цвет» или «Многоцветный».

В этих примерах визуализаций и гистограмма, и линейная диаграмма имеют общую основную меру Доход, окрашенную в оранжевый цвет. В каждой визуализации один и тот же назначенный цвет используется для каждого экземпляра Revenue. Линейная диаграмма окрашена второй основной мерой, Сумма расходов, которая окрашена в синий цвет.

Настройки основного показателя

Для этой визуализации к основным показателям в разделе «Редактировать показатель» были применены следующие параметры:

Цвет: шестнадцатеричный цвет, заданный как f8981d для дохода и 4477aa для суммы расхода.

Для получения дополнительной информации см. Назначение цветов основным элементам .

Настройки панели свойств

Для гистограммы следующие свойства были установлены на панели свойств в разделе Внешний вид > Цвета и условные обозначения:

Цвета: выберите Пользовательский и Один цвет.
Использовать цвета из библиотеки: включено.

Для линейной диаграммы на панели свойств в разделе Внешний вид > Цвета и условные обозначения были установлены следующие свойства:

Цвета: установите значение «Пользовательский» и «Многоцветный».
Использовать цвета из библиотеки: включено.

Для получения дополнительной информации см. Свойства гистограммы и Свойства линейного графика .

Раскрашивание по мере

Когда визуализация окрашивается по мере, к значениям на диаграмме применяются последовательные или расходящиеся градиенты или классы на основе значений выбранной меры. Визуализации могут быть окрашены мерами в визуализации или они могут быть окрашены мерами, связанными со значениями в визуализации.

В этом примере эта линейчатая диаграмма окрашена мерой, используемой в визуализации, Доход. К значениям на диаграмме был применен расходящийся градиент на основе значения дохода для каждого значения измерения.

Настройки панели свойств

Цвета: установите значение «Пользовательский» и «По мере». Выбранный показатель — Доход.
Цветовая схема: установите Расходящийся градиент.
Инвертировать цвета: включено.
Диапазон: Установите на Авто.

Для получения дополнительной информации см. Свойства гистограммы .

Цвет по измерению

Когда визуализация окрашивается по измерению, каждому значению в визуализации назначается цвет на основе связанного значения из измерения окраски. При окрашивании по измерению цвета автоматически применяются из набора палитр по умолчанию, состоящего из 12 или 100 цветов.

Пример 1. Раскрашивание по измерению в визуализации

В этом примере линейная диаграмма раскрашивается по измерению различных торговых представителей с использованием схемы из 100 цветов. Каждый торговый представитель имеет свой собственный цвет в визуализации.

Линейная диаграмма, окрашенная по размеру

Настройки панели свойств

Цвета: установите значение «Пользовательский» и «По размеру». Выбрано измерение Имя торгового представителя.
Постоянные цвета: включено.
Цветовая схема: 100 цветов.

Для получения дополнительной информации см. Свойства линейного графика .

Пример 2. Раскрашивание по измерению, не включенному в визуализацию

В этом примере линейчатая диаграмма окрашивается по измерению «Регион» с использованием 12-цветной схемы. Полоса для каждого торгового представителя окрашена в цвет региона, в котором они работают.

Настройки панели свойств

Цвета: установите «Пользовательский» и «По размеру». Выбрано измерение «Регион».
Постоянные цвета: включено.
Цветовая схема: 12 цветов.

Цвет по выражению

Вы можете использовать выражения, чтобы установить определенные цвета, которые будут отображаться с определенными значениями, что позволяет использовать условное окрашивание значений в ваших визуализациях. Когда визуализация окрашивается выражением, вы определяете цвета и то, как цвета применяются к значениям в выражении.

Пример 1: Цвет по выражению в таблице

В этом примере визуализация таблицы использует два выражения, одно для цвета фона и одно для текста. Эти выражения применяют условные цвета к фону и тексту в зависимости от того, какие строки содержат первые 10 и нижние 10 значений дохода.

Настройки панели свойств

Для этой визуализации следующие свойства были установлены на панели свойств в разделе Данные > Столбцы:

Выражение цвета фона: if(Rank(Sum([Объем продаж]*[Цена продажи])) < = 10, 'медвяная роса', if(Rank(-Sum([Объем продаж]*[Цена продажи])) <= 10, 'туманная роза', ))
Выражение цвета текста: if(Rank(Sum([Объем продаж]*[Цена продажи])) <= 10, 'зеленый', if(Rank(-Sum([Объем продаж]*[Цена продажи])) <= 10, «красный», ))

Дополнительные сведения о свойствах таблицы см. в разделе Свойства таблицы .

Пример 2. Цвет по выражению на диаграмме

В этом примере гистограмма использует выражение для назначения определенных цветов различным значениям в поле “Клиент”.

Настройки панели свойств

Для этой визуализации на панели свойств в разделе «Внешний вид» > «Цвета и легенды» были установлены следующие свойства:

Цвета: установите «Пользовательский» и «По выражению».
Выражение: Установите значение if([Клиент]= ‘Заполнить’, rgb(100, 149, 227), if([Клиент]= ‘Hetrick Systems’, rgb(100, 149, 200), if([Клиент] = ‘Значок’, rgb(100, 149, 175), if([Клиент]= ‘JS Lee Associates’, rgb(100, 149, 150), ‘серый’)))).
Это выражение представляет собой цветовой код: установлено значение «включено».

Раскраска

\(\def\d{\displaystyle} \def\курс{Математика 228} \ новая команда {\ f} [1] {\ mathfrak # 1} \ новая команда {\ s} [1] {\ mathscr # 1} \def\N{\mathbb N} \def\B{\mathbf{B}} \def\circleA{(-.5,0) круг (1)} \ деф \ Z {\ mathbb Z} \def\circleAlabel{(-1.5,.6) узел[выше]{$A$}} \def\Q{\mathbb Q} \def\circleB{(. {-1}} \def\nrml{\triangleleft} \ деф \ ст {:} \ деф \ ~ {\ широкая тильда} \def\rem{\mathcal R} \def\sigalg{$\sigma$-алгебра } \def\Гал{\mbox{Гал}} \def\iff{\leftrightarrow} \def\If{\Leftrightarrow} \ деф \ земля {\ клин} \def\И{\bigwedge} \защита\вход{\вход} \def\AAnd{\d\bigwedge\mkern-18mu\bigwedge} \def\Ви{\bigvee} \def\VVee{\d\Vee\mkern-18mu\Vee} \ деф \ имп {\ стрелка вправо} \def\Imp{\Rightarrow} \def\Fi{\Leftarrow} \def\var{\mbox{var}} \def\Th{\mbox{Th}} \защита\вход{\вход} \def\sat{\mbox{Sat}} \def\con{\mbox{Con}} \def\iffmodels{\bmodels\models} \def\dbland{\bigwedge \!\!\bigwedge} \def\дом{\mbox{дом}} \def\rng{\mbox{диапазон}} \def\isom{\cong} \DeclareMathOperator{\wgt}{wgt} \newcommand{\vtx}[2]{узел[заливка,круг,внутренний интервал=0pt, минимальный размер=4pt,метка=#1:#2]{}} \ новая команда {\ va} [1] {\ vtx {выше} {# 1}} \ новая команда {\ vb} [1] {\ vtx {ниже} {# 1}} \ новая команда {\ vr} [1] {\ vtx {право} {# 1}} \ новая команда {\ vl} [1] {\ vtx {слева} {# 1}} \renewcommand{\v}{\vtx{выше}{}} \def\circleA{(-. 5,0) круг (1)} \def\circleAlabel{(-1.5,.6) узел[выше]{$A$}} \def\circleB{(.5,0) круг (1)} \def\circleBlabel{(1.5,.6) узел[выше]{$B$}} \def\circleC{(0,-1) круг (1)} \def\circleClabel{(.5,-2) узел[справа]{$C$}} \def\twosetbox{(-2,-1.4) прямоугольник (2,1.4)} \def\threesetbox{(-2.5,-2.4) прямоугольник (2.5,1.4)} \def\ansfilename{практика-ответы} \def\shadowprops{{fill=black!50,shadow xshift=0.5ex,shadow yshift=0.5ex,path fading={круг с размытым краем 10 процентов}}} \ новая команда {\ hexbox} [3] { \def\x{-cos{30}*\r*#1+cos{30}*#2*\r*2} \def\y{-\r*#1-sin{30}*\r*#1} \рисовать (\х,\у) +(90:\r) — +(30:\r) — +(-30:\r) — +(-90:\r) — +(-150:\r) — +(150: \r) — цикл; \draw (\x,\y) узел{#3}; } \renewcommand{\bar}{\overline} \newcommand{\card}[1]{\left| #1 \справа|} \newcommand{\twoline}[2]{\begin{pmatrix}#1 \\ #2 \end{pmatrix}} \новая команда{\lt}{<} \новая команда{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

Расследуй!33

Картографы в вымышленной стране Эйлерия нарисовали границы различных герцогств этой земли. Чтобы сделать карту красивой, они хотят раскрасить каждый регион. Соседние регионы должны быть окрашены по-разному, но совершенно нормально окрашивать два удаленных региона одним цветом. Какое наименьшее количество цветов могут использовать картографы и при этом выполнить эту задачу?

Пожалуй, самая известная задача теории графов — раскрасить карты.

Учитывая любую карту стран, штатов, округов и т. д., сколько цветов нужно, чтобы раскрасить каждый регион на карте так, чтобы соседние регионы были окрашены по-разному?

Настоящие создатели карт обычно используют около семи цветов. Во-первых, они требуют, чтобы водные области были определенного цвета, а при большом количестве цветов легче найти допустимую окраску. Мы хотим знать, существует ли меньшая палитра, которая подойдет для любой карты.

Как это связано с теорией графов? Итак, если мы поместим вершину в центр каждого региона (скажем, в столицу каждого штата), а затем соединим две вершины, если их штаты имеют общую границу, мы получим граф. Окраска областей на карте соответствует окраске вершин графа. Поскольку соседние регионы не могут быть окрашены одинаково, наш граф не может иметь вершины, окрашенные одинаково, когда эти вершины являются смежными.

Вообще говоря, для любого графа $G\text{,}$ раскраска вершин называется (что неудивительно) раскраска вершин . Если раскраска вершин обладает тем свойством, что соседние вершины окрашены по-разному, то раскраска называется собственно . Каждый граф имеет правильную раскраску вершин. Например, вы можете покрасить каждую вершину в свой цвет. Но часто можно сделать лучше. Наименьшее количество цветов, необходимое для получения правильной раскраски вершин, называется хроматическим числом графа, обозначаемым $\chi(G)$.

Пример 4.3.1

Найдите хроматическое число приведенных ниже графиков.

Решение

Граф слева — это $K_6\text{.}$ Единственный способ правильно раскрасить граф — это дать каждой вершине свой цвет (поскольку каждая вершина смежна с любой другой вершиной). Таким образом, хроматическое число равно 6.

Средний график можно правильно раскрасить всего тремя цветами (красным, синим и зеленым). Например:

Невозможно раскрасить его всего двумя цветами, так как есть три взаимно смежных вершины (т. е. треугольник). Таким образом, хроматическое число равно 3,9.0003

Граф справа просто $K_{2,3}\text{.}$ Как и все двудольные графы, этот граф имеет хроматическое число 2: раскрасьте вершины в верхней строке красным цветом, а вершины в нижний ряд синий.

Кажется, нет предела тому, насколько большими могут быть хроматические числа. Неудивительно, что $K_n$ имеет хроматическое число $n\text{.}$. Так как же может быть ответ на исходный вопрос о раскраске карты? Если хроматическое число графа может быть сколь угодно большим, то кажется, что не будет верхней границы количества цветов, необходимых для любой карты. Но есть.

Ключевое наблюдение заключается в том, что, хотя верно, что для любого числа $n\text{,}$ существует граф с хроматическим числом $n\text{,}$, только некоторые графы являются представлениями карт. Если вы конвертируете карту в график, ребра между вершинами соответствуют границам между странами. Таким образом, вы должны иметь возможность соединять вершины таким образом, чтобы ребра не пересекались. Другими словами, графы, представляющие карты, все плоские !

Итак, вопрос в том, каково наибольшее хроматическое число любого планарного графа? Ответ — самая известная теорема теории графов:

Теорема 4.3.2 Теорема о четырех цветах

Если $G$ — планарный граф, то хроматическое число $G$ меньше или равно 4. Таким образом, любую карту можно правильно раскрасить в 4 или менее цветов.

Мы не будем доказывать эту теорему. Действительно. Хотя теорему легко сформулировать и понять, доказательство — нет. На самом деле в настоящее время не существует «простого» известного доказательства теоремы. Текущее лучшее доказательство по-прежнему требует мощных компьютеров для проверки неизбежного множества 9.0244 из 633 редуцируемых конфигураций . Идея состоит в том, что каждый граф должен содержать одну из этих приводимых конфигураций (этот факт также должен быть проверен компьютером) и что приводимые конфигурации могут быть раскрашены в 4 или менее цветов.

ПодразделОкрашивание в целом

¶
Расследуй!34
Факультет математики планирует предложить 10 занятий в следующем семестре. Некоторые занятия не могут проводиться одновременно (возможно, их ведет один и тот же профессор или они обязательны для старшеклассников).
Класс: Конфликты с:
А Д И
Б Д И Ж
С Э Ф И
Д А Б Ф
Е Н И
Ф я
Г Дж
Н Э И Я
я А Б В Е Ж Ч
Ж Б Г Н
Сколько разных временных интервалов необходимо для проведения этих занятий (и какие из них следует проводить одновременно)? Что еще более важно, как мы можем использовать раскраску графа, чтобы ответить на этот вопрос?
Картография — не единственное применение раскраски графов. Существует множество ситуаций, в которых вы можете захотеть разделить рассматриваемые объекты так, чтобы связанные объекты не находились в одном и том же наборе. Например, вы можете захотеть безопасно хранить химикаты. Во избежание взрывов определенные пары химикатов не следует хранить в одном помещении. Раскрашивая график (с вершинами, представляющими химические вещества, и ребрами, представляющими потенциальные негативные взаимодействия), вы можете определить наименьшее количество комнат, необходимых для хранения химических веществ.
Вот еще пример:
Пример 4.3.3
Радиостанции транслируют свой сигнал на определенных частотах. Однако количество частот на выбор ограничено, поэтому многие станции по всей стране используют одну и ту же частоту. Это работает, потому что станции достаточно далеко друг от друга, чтобы их сигналы не мешали; ни одно радио не могло принять их одновременно.
Предположим, необходимо установить 10 новых радиостанций в незаселенном в настоящее время (радиостанциями) районе. Радиостанции, которые находятся достаточно близко друг к другу, чтобы вызвать помехи, занесены в таблицу ниже. Какое наименьшее количество частот могут использовать станции?
Решение
Представьте задачу в виде графа с вершинами в виде станций и ребер, когда две станции находятся достаточно близко, чтобы вызвать помехи. Ищем хроматическое число графа. Вершины одинакового цвета представляют станции, которые могут иметь одинаковую частоту.
Этот граф имеет хроматическое число 5. Правильная 5-раскраска показана справа. Обратите внимание, что граф содержит копию полного графа $K_5$, поэтому можно использовать не менее 5 цветов.
В приведенном выше примере хроматическое число равно 5, но это не контрпример к теореме о четырех цветах, поскольку граф, представляющий радиостанции, не является плоским. Было бы неплохо иметь какой-то быстрый способ найти хроматическое число (возможно, непланарного) графа. Оказывается, никто не знает, существует ли эффективный алгоритм вычисления хроматических чисел.
Хотя мы не можем легко найти точное хроматическое число графа, мы часто можем указать разумный диапазон для хроматического числа. Другими словами, мы можем дать верхнюю и нижнюю границы хроматического числа.
На самом деле это не очень сложно: для каждого графа $G\text{,}$ хроматическое число $G$ не меньше 1 и не больше числа вершин $G\text{.} $
Что? Вы хотите, чтобы лучше границ по хроматическому числу? Ну тебе повезло.
клика в графе — это набор вершин, все из которых попарно смежны. Другими словами, клика размера $n$ является просто копией полного графа $K_n\text{.}$ Мы определяем клику номер графа должен быть наибольшим $n$, для которого граф содержит клику размера $n\text{.}$ Любая клика размера $n$ не может быть раскрашена меньше чем $n $ цветов, поэтому у нас есть хорошая нижняя граница:
Теорема 4.3.4
Хроматическое число графа $G$ не меньше кликового числа $G\text{. }$
Бывают случаи, когда хроматическое число $G$ равно , что равно число клик. Эти графики имеют специальное название; они называются perfect . Если вы знаете, что граф совершенен, то поиск хроматического числа — это просто поиск наибольшей клики. ⁴ Существуют специальные классы графов, совершенство которых можно доказать. Одним из таких классов является множество хордовых графов, обладающих тем свойством, что каждый цикл в графе содержит хорду — ребро между двумя вершинами в цикле, которые не являются смежными в цикле. Однако не все графики идеальны.
Для верхней границы мы можем улучшить «количество вершин», взглянув на степени вершин. Пусть $\Delta(G)$ будет наибольшей степенью любой вершины в графе $G\text{.}$. Разумным предположением для верхней границы хроматического числа является $\chi(G) \ le \Delta(G) + 1\text{.}$ Почему это разумно? Начиная с любой вершины, ее вместе со всеми соседями всегда можно раскрасить в $\Delta(G) + 1$ цветов, так как речь идет не более чем о $\Delta(G) + 1$ вершинах в этот набор. Теперь раздувайся! В любой момент, если вы рассматриваете уже окрашенную вершину, некоторые из ее соседей могут быть окрашены, а некоторые нет. Но несмотря ни на что, эта вершина и ее соседи могут быть окрашены отчетливо, поскольку существует не более $\Delta(G)$ соседей плюс одна рассматриваемая вершина.
В самом деле, есть примеры графов, для которых $\chi(G) = \Delta(G) + 1\text{.}$ Для любого $n\text{,}$ полный граф $ K_n$ имеет хроматическое число $n\text{,}$, но $\Delta(K_n) = n-1$ (поскольку каждая вершина смежна с каждыми другими вершинами). Кроме того, любой 90 243 нечетный 90 244 цикл будет иметь хроматическое число 3, но степень каждой вершины в цикле равна 2. Оказывается, это единственные два типа примеров, в которых мы получаем равенство, результат, известный как теорема Брукса.
Теорема 4.3.5 Теорема Брукса
Любой граф $G$ удовлетворяет условию $\chi(G) \le \Delta(G)\text{,}$, если только $G$ не является полным графом или нечетным циклом, и в этом случае $ \chi(G) = \Delta(G) + 1\text{. }$
Доказательство этой теоремы просто настолько сложно, что мы не будем приводить его здесь (хотя вас просят доказать частный случай в упражнениях). Предприимчивому читателю рекомендуется найти книгу по теории графов, где можно найти советы по доказательству теоремы.
ПодразделРаскрашивание краев
¶
Хроматическое число графа говорит нам о раскраске вершин, но мы также можем спросить о раскраске ребер. Как и в случае с раскраской вершин, мы можем настаивать на том, чтобы смежные ребра окрашивались по-разному. Здесь мы считаем два ребра смежными, если они инцидентны одной и той же вершине. Наименьшее количество цветов, необходимое для правильного окрашивания ребер графа $G$, называется хроматическим индексом графа $G\text{,}$, записанным $\chi'(G)$.
Пример 4.3.6
Шестеро друзей решают провести день за игрой в шахматы. Каждый сыграет со всеми один раз. У них много шахмат, но никто не хочет играть более одной партии за раз. Партии будут длиться час (благодаря их удобным шахматным часам). Сколько часов будет длиться турнир?
Решение
Представьте каждого игрока вершиной и проложите ребро между двумя игроками, если они будут играть друг с другом. В этом случае мы получим граф $K_6\text{:}$
Нам нужно раскрасить края; каждый цвет представляет другой час. Поскольку разные ребра, инцидентные одной и той же вершине, будут окрашены по-разному, ни один игрок не будет играть в две разные игры (ребра) одновременно. Таким образом, нам нужно знать хроматический индекс $K_6\text{.}$
Обратите внимание, что наверняка $\chi'(K_6) \ge 5\text{,}$, так как существует вершина степени 5. Получается достаточно 5 цветов (иди найди такую раскраску). Поэтому друзья будут играть 5 часов.
Интересно, что если бы один из друзей в приведенном выше примере ушел, то оставшимся 5 шахматкам все равно потребовалось бы 5 часов: хроматический индекс $K_5$ также равен 5.
Что вообще можно сказать о хроматическом показателе? Конечно $\chi'(G) \ge \Delta(G)\text{.}$ Но насколько она может быть выше? Только немного выше.
Теорема 4.3.7 Теорема Визинга
Для любого графа $G\text{,}$ хроматический индекс $\chi'(G)$ равен либо $\Delta(G)$, либо $\Delta(G) + 1\text {.}$
На первый взгляд из этой теоремы может показаться, что хроматический индекс не очень интересен. Однако решить, в каком случае находится граф, не всегда легко. Графы, для которых $\chi'(G) = \Delta(G)$, называются класс 1 , а остальные называются класс 2 . Двудольные графы всегда удовлетворяют $\chi'(G) = \Delta(G)\text{,}$, поэтому относятся к классу 1 (это было доказано Кенигом в 1916 году, за несколько десятилетий до того, как Визинг доказал свою теорему в 1964 году). В 1965 г. Визинг доказал, что все плоские графы с $\Delta(G) \ge 8$ относятся к классу 1, но это не верно для всех плоских графов с $2 \le \Delta(G) \le 5\ text{. }$ Визинг предположил, что все плоские графы с $\Delta(G) = 6$ или $\Delta(G) = 7$ относятся к классу 1; случай $\Delta(G) = 7$ был доказан в 2001 г. Сандерсом и Чжао; случай $\Delta(G) = 6$ все еще открыт.
Существует еще один интересный способ раскрашивания ребер, который сильно отличается от того, что мы обсуждали до сих пор. Что, если мы покрасим каждое ребро графа в красный или синий цвет? Можем ли мы сделать это, не создавая, скажем, монохроматический треугольник (т. е. полностью красный или полностью синий треугольник)? Конечно, для некоторых графиков ответ положительный. Попробуйте сделать это для $K_4\text{.}$ А как насчет $K_5\text{?}$ $K_6\text{?}$ Как далеко мы можем зайти?
Ответ на приведенную выше задачу известен, и это забавная задача, которую можно выполнить в качестве упражнения. Мы могли бы расширить вопрос различными способами. Что, если бы у нас было три цвета? Что, если бы мы пытались избежать других графиков. Удивительно, но об этих вопросах известно очень мало. Например, мы знаем, что вам нужно подняться до $K_{17}$, чтобы заставить монохроматический треугольник использовать три цвета, но никто не знает, насколько большим вам нужно пойти с большим количеством цветов. Точно так же мы знаем, что использование двух цветов $K_{18}$ — это наименьший граф, который создает монохромную копию $K_4\text{,}$, но лучшее, что у нас есть, — это монохроматический $K_{5 }$ — это диапазон где-то от $K_{43}$ до $K_{49}\text{.}$ Если вас интересуют такого рода вопросы, эта область теории графов называется теорией Рамсея. Проверьте это.
ПодразделУпражнения
¶
1
Какое наименьшее количество цветов нужно, чтобы правильно раскрасить вершины $K_{4,5}\text{?}$ То есть найти хроматическое число графа.
Решение
2, так как граф двудольный. Один цвет для верхнего набора вершин, другой цвет для нижнего набора вершин.
2
Нарисуйте граф с хроматическим номером 6 (т. е. требующий 6 цветов для правильного окрашивания вершин). Может ли ваш график быть планарным? Объяснять.
Решение
Например, $K_6\text{.}$ Если хроматическое число равно 6, то граф не является плоским; Теорема о четырех цветах утверждает, что все планарные графы можно раскрасить в четыре или меньше цветов.
3
Найдите хроматическое число каждого из следующих графиков.
Решение
Хроматические числа 2, 3, 4, 5 и 3 соответственно слева направо.
4
Группа из 10 друзей решает отправиться в хижину в лесу (где ничего не может пойти не так). К сожалению, некоторые из этих друзей встречались друг с другом в прошлом, и все еще немного неловко. Чтобы получить кабину, им нужно разбиться на какое-то количество машин, причем никакие два человека, которые встречались, не должны находиться в одной машине.
Какое наименьшее количество автомобилей вам нужно, если все отношения были строго гетеросексуальными? Представьте пример такой ситуации с помощью графика. Какой график у вас получился?
Поскольку некоторые из этих друзей встречались, между друзьями одного пола также возникают конфликты, перечисленные ниже. Какое наименьшее количество бесконфликтных машин они могли взять в салон?
Друг А Б С Д Э Ф Г Х я Дж
Конфликты с БЕЖ АДГ ХДЖ БФ АИ ДЖ Б ДИ ЭХДЖ ACFI
Какое отношение эти вопросы имеют к раскрашиванию?
5
Каким наименьшим числом цветов можно раскрасить вершины куба так, чтобы никакие две соседние вершины не были окрашены одинаково?
Решение
Куб можно представить в виде плоского графа и раскрасить двумя цветами следующим образом:
Поскольку покрасить вершины в один цвет было бы невозможно, мы видим, что куб имеет хроматическое число 2 (он двудольный).
6
Докажите, что хроматическое число любого дерева равно двум. Напомним, дерево — это связный граф без циклов.
Опишите процедуру раскрашивания приведенного ниже дерева.
Хроматическое число $C_n$ равно двум, когда $n$ четно. Что пойдет не так, если $n$ нечетно?
Докажите, что ваша процедура из пункта (а) всегда работает для любого дерева.
Теперь докажите по индукции, что каждое дерево имеет хроматическое число 2.
7
Докажите теорему о шести цветах: каждый планарный граф имеет хроматическое число 6 или меньше. Не принимайте теорему о четырех красках (доказательство которой НАМНОГО сложнее), но вы можете предположить, что каждый планарный граф содержит вершину степени не выше 5.
8
Не все графики идеальны. Приведите пример графа с хроматическим числом 4, который не содержит копии $K_4\text{.}$ То есть не должно быть 4 вершин, все попарно смежные.
Решение
Представленный ниже круговой график обладает этим свойством. Внешняя часть колеса образует нечетный цикл, поэтому требуется 3 цвета, центр колеса должен отличаться от всех внешних вершин.
9
Докажите индукцией по вершинам, что любой граф $G$, содержащий хотя бы одну вершину степени меньше $\Delta(G)$ (максимальная степень всех вершин в $G$) имеет хроматическое число самое большее $\Delta(G)\text{.}$
10
У вас есть набор магнитных букв алфавита (по одной каждой из 26 букв алфавита), которые нужно положить в коробки. По очевидным причинам вы не хотите помещать две последовательные буквы в одну и ту же ячейку. Какое наименьшее количество коробок вам нужно (при условии, что коробки могут вместить столько писем, сколько им нужно)?
Решение
Если мы нарисуем граф, в котором каждая буква представляет собой вершину, а каждое ребро соединяет две последовательные буквы в алфавите, мы получим граф, содержащий две вершины степени 1 (A и Z) и остальные 24 вершины.