Простые четные числа: Простые числа – CoderLessons.com
Примеры
Например, рассмотрим число 720 (разложение на простые множители: 720 = 2 4 3 2 5):
- он 5-гладкий, 6-гладкий …
- но не 3-гладкий или 4-гладкий (из-за 5 как основного множителя, так как 5 больше 3 и 4)
- он также плавный на 16 ступеней, плавный на 17 ступеней …,
- но не 15-степенной гладкой (так как в разложении на простые множители 2 происходит в 4-й степени (= 16), что означает, что предел 15 превышен)
Далее мы рассматриваем число 8 как предел .
8-гладкий
- являются z. Б. 3, 4, 5, 12, 14 или 120
- но не 11 или 26
8-ступенчатая гладкая
- являются z. B. 3, 4, 5, 12, 56 или 840 (= 2 3 3 5 7)
- но не 9 (= 3 2 ) или 16 (= 2 4 )
Подсказки:
характеристики
Для каждого натурального числа существует уникальное разложение на простые множители. {a_ {i}}; i = 1, \ dots, n \}}
Для каждого и число является -гладким и -потенциально гладким, для всех и число не является ни -гладким, ни -потенциально гладким. г≥г(а){\ displaystyle g \ geq g (а)}z≥z(а){\ Displaystyle Z \ GEQ Z (а)}а{\ displaystyle a} г{\ displaystyle g}z{\ displaystyle z}г<г(а){\ Displaystyle г <г (а)}z<z(а){\ Displaystyle г <г (а)}а{\ displaystyle a}г{\ displaystyle g}z{\ displaystyle z}
7 четных чисел
Четные 7 (или 7 четных ) чисел – это числа, состоящие исключительно из степеней простых множителей 2, 3, 5 и 7, например 1372 = 2 2 · 7 3 .
Термин, который часто используется как синоним, представляет собой сильно сложенные числа с 7-четными числами, которые отличаются от фактического математического представления о высокосоставном числе , которое допускает все простые множители и накладывает на них дополнительные условия.
Поскольку простые числа 2, 3, 5 и 7 присутствуют в преметрических старых показателях и весах , ориентированных на легкую делимость (например, 1 Nuremberg Apothekergran = 19600 Nürnberger Grän = 980 Nuremberg scruples = 3 карла фунта), эта последовательность также проигрывает роль в исследованиях по исторической метрологии . (см. также Nippur-Elle , Karlspfund , вес фармацевта )
Последовательность из 7 четных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42 … можно найти в последовательности A002473 в OEIS с обозначением «сильно составные числа (2)» ( сильно составные числа (2): числа, у которых все простые делители <= 7. )
Процедура
Квадратичное решето , метод факторинга , базируются на простые множители из квадратичных вычетов . Это разложение легко выполняется для четных чисел. Также интересно определить наибольший коэффициент сглаживания сразу для нескольких чисел (и, возможно, проанализировать их остаточные коэффициенты в дальнейшем). Для этой цели
Последовательности четных чисел
Для каждой границы соответствующие -четные числа образуют последовательность . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS) предоставляет эти последовательности для небольших препятствий: С.{\ displaystyle S}С.{\ displaystyle S}
литература
веб ссылки
Индивидуальные доказательства
- ↑ Д. Бернштейн: Как найти гладкие части целых чисел. Черновик для математических вычислений, файл PDF
Натуральные числа /qualihelpy
Числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами.
Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.
Над натуральными числами можно производить арифметические действия:
Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Если число кратно числу , то записывают: .5. Число делится на , если его запись оканчивается цифрой . Например, число делится на .Деление с остатком
Если же остаток равен нулю, то говорят, что число делится нацело на число .Простые и составные числа
Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число 1), называют простыми.
Например, простыми являются числа , , , , , , , , , …. .Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
Например, число составное, так как . Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа . Например, числа и взаимно простые;Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Общим делителем нескольких чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).
Общим кратным нескольких чисел называют число, которое является кратным каждого из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НOК).
Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях всех чисел.
Чтобы найти НOК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел.
Чётные и нечётные числа
Пользователи также искали:
четные числа до 1000 через запятую, четные и нечетные числа 1 класс, четные и нечетные числа для детей, четные и нечетные числа до 20, четные и нечетные числа таблица, чётные однозначные числа, нечетные дни, все нечетные числа от 1 до 99, числа, нечетные, четные, Чётные, чётные, четные и нечетные числа до, все нечетные числа от до, нечетные дни, чётные однозначные числа, нечётные, класс, детей, таблица, через, запятую, однозначные, Чётные и нечётные числа, четные и нечетные числа таблица, четные и нечетные числа до 20, все нечетные числа от 1 до 99, четные числа до 1000 через запятую, четные и нечетные числа для детей, четные и нечетные числа 1 класс, четные числа до через запятую, четные и нечетные числа класс, чётные и нечётные числа, теория чисел. чётные и нечётные числа,
…
5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 143
Делимость натуральных чисел
Простые и составные числа
Ответы к стр. 143
Доказываем
640. Докажите, что, кроме числа 2, не существует других чётных простых чисел.
Чётное число – это число, которое делится на 2. Число 2 делится на 1 и на само себя, а любое другое чётное число будет делится на 1, на само себя, а также на 2. Поэтому любое чётное число, кроме 2 – составное.
Исследуем
641. Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух чётных чисел;
б) двух нечётных чисел;
в) чётного и нечётного чисел?
а) Простое число нельзя записать в виде суммы двух чётных чисел, так как эта сумма чётная и больше 2 и поэтому не равная простому числу.
б) Только одно простое число можно записать в виде суммы двух нечётных чисел: 2 = 1 + 1. Сумма любых других нечётных чисел чётная и больше 2 и поэтому не равна простому числу.
в) Любое простое число, большее 2, – это нечётное число, его можно представить в виде суммы чётного и нечётного чисел. Например, 5 = 4 + 1; 37 = 34 + 3, а простое число 2 нельзя записать в виде суммы чётного и нечётного чисел.
642. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом?
а) Да, может. Например: 2 + 3 = 5 – все числа простые.
б) Нет, не верно. Например: 3 + 5 = 8 – число 8 составное.
643. Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечетное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?
Количество людей – чётное число, а сумма чётного числа нечётных слагаемых – чётное число. Поэтому разделить конфеты заданным способом невозможно, и приз до сих пор никому не удалось получить.
644. В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:
а) 35α25; б) 4αb40;
в) 5α2b5; г) 72αb8.
Какие из полученных чисел делятся на 5; делятся на 2; делятся на 10; делятся на 4?
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3 (в этом задании в каждом пункте нужно выбрать только одно число).
а) 3 + 5 + 2 + 5 = 15 – делится на 3. Значит нужно добавить цифру, которая делится на 3, это 3 или 6 или 9: 35325 или 35625 или 35925.
б) 4 + 4 + 0 = 8, нужно добавить две цифры. Самое большое число – 9, если добавить две 9, то получим сумму 8 + 9 + 9 = 26, которая не делится на 3. В промежутке от 8 до 26 следующие числа делятся на 3: 9, 12, 15, 18, 21, 24.
12 – 8 = 4, значит, числа могут быть 0 и 4 или 1 и 3 или 2 и 2: 40 440 или 44 040 или 41 340 или 43 140 или 42 240;
15 – 8 = 7, значит, числа могут быть 0 и 7 или 1 и 6 или 2 и 5 или 3 и 4: 40 740 или 47 040 или 41 640 или 46 140 или 42 540 или 45 240 или 43 440 или 44 340;
18 – 8 = 10, значит, числа могут быть 1 и 9 или 2 и 8 или 3 и 7 или 4 и 6 или 5 и 5: 41 940 или 49 140 или 42 840 или 48 240 или 43 740 или 47 340 или 44 640 или46 440 или 45 540;
21 – 8 = 13, значит, числа могут быть 4 и 9 или 5 и 8 или 6 и 7: 44 940 или 49 440 или 45 840 или 48 540 или 46 740 или 47 640;
24 – 8 = 16, значит, числа могут быть 7 и 9 или 8 и 8: 47 940 или 49 740 или 48 840.
в) 5 + 2 + 5 = 12, нужно добавить две цифры. Самое большое число – 9, если добавить две 9, то получим сумму 12 + 9 + 9 = 30, которая делится на 3. Также в промежутке от 12 до 30 следующие числа делятся на 3: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
15 – 12 = 3, значит, числа могут быть 0 и 3 или 1 и 2: 50 235 или 53 205 или 51 225 или 52 215;
18 – 12 = 6, значит, числа могут быть 0 и 6 или 1 и 5 или 2 и 4 или 3 и 3: 50 265 или 56 205 или 51 255 или 55 215 или 52 245 или 54 225 или 53 235;
21 – 12 = 9, значит, числа могут быть 0 и 9 или 1 и 8 или 2 и 7 или 3 и 6 или 4 и 5: 50 295 или 59 205 или 51 285 или 58 215 или 52 275 или 57 225 или 53 265 или 56 235 или 54 255 или 55 245;
24 – 12 = 12, значит, числа могут быть 3 и 9 или 4 и 8 или 5 и 7 или 6 и 6: 53 295 или 59 235 или 54 285 или 58 245 или 55 275 или 57 255 или 56 265;
27 – 12 = 15, значит, числа могут быть 6 и 9 или 7 и 8: 56 295 или 59 265 или 57 285 или 58 275;
30 – 12 = 18, значит, числа могут быть 9 и 9: 59 295.
г) 7 + 2 + 8 = 17, нужно добавить две цифры. Самое большое число – 9, если добавить две 9, то получим сумму 17 + 9 + 9 = 35, которая не делится на 3. В промежутке от 17 до 35 следующие числа делятся на 3: 18, 21, 24, 27, 30, 33.
18 – 17 = 1, значит, числа могут быть 0 и 1: 72 018 или 72 108;
21 – 17 = 4, значит, числа могут быть 0 и 4 или 1 и 3 или 2 и 2: 72 048 или 72 408 или 72 138 или 72 318 или 72 228;
24 – 17 = 7, значит, числа могут быть 0 и 7 или 1 и 6 или 2 и 5 или 3 и 4: 72 078 или 72 708 или 72 168 или 72 618 или 72 258 или 72 528 или 72 348 или 72 438;
27 – 17 = 10, значит, числа могут быть 1 и 9 или 2 и 8 или 3 и 7 или 4 и 6 или 5 и 5: 72 198 или 72 918 или 72 288 или 72 828 или 72 378 или 72 738 или 72 468 или 72 648 или 72 558;
30 – 17 = 13, значит, числа могут быть 4 и 9 или 5 и 8 или 6 и 7: 72 498 или 72 948 или 72 588 или 72 858 или 72 678 или 72 768;
33 – 17 = 16, значит, числа могут быть 7 и 9 или 8 и 8: 72 798 или 72 978 или 72 888.
На 5 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0 и 5, поэтому все числа в пунктах а), б) и в) будут делиться на 5.
На 2 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0, 2, 4, 6, 8, поэтому все числа в пунктах б) и г) будут делиться на 2.
На 10 делятся числа, оканчивающиеся на цифру 0, поэтому все числа в пункте б) будут делиться на 10.
На 4 делятся числа, последние две цифры которых образуют число, кратное 4. Поэтому все числа в пункте б) и числа 72 108, 72 048, 72 408, 72 228, 72 708, 72 168, 72 528, 72 348, 72 288, 72 828, 72 468, 72 648, 72 948, 72 588, 72 768, 72 888 из пункта г) будут делиться на 4.
645. а) Напишите четырехзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делится на 3?
б) Напишите четырехзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9.
а) 9333 делится на 9, поскольку 9 + 3 + 3 + 3 = 18, а 18 кратно 9. Не может, так как любое число обязательно делится на 3, если оно делится на 9, так как 9 кратно 3.
б) 2112 делится на 3, поскольку 2 + 1 + 1 + 2 = 6, а 6 кратно 3, но не делится на 9, так как 6 не кратно 9.
Ответы по математике. 5 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.
Математика. 5 класс
Понравилось? Оцени!
Простые и составные числа – урок 2 – ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Цели: отрабатывать умения. и навыки разложения чисел на множители; ознакомить с исторической информацией; учить логически мыслить.
Ход урока
I. Организационный момент
«Число — это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными».
«Сущность вещей есть число, которое вносит во все единство и гармонию».
«Все есть число».
— Вот такие положения проповедовали древнегреческий математик Пифагор и его ученики пифагорейцы.
— Кто не согласен с данными высказываниями? Почему?
II. Устный счет
1. Какие из чисел 5447, 9000, 37 035, 99 309, 420 340, 15 345, 78 644 делятся:
а) на 2; (9000, 420 340, 78 644)
б) на 5; (9000, 37 035, 420 340, 15 345)
в) на 10; (9000, 420 340)
г) на 2 и на 10; (9000, 420 340)
д) на 2 и на 5; (9000, 420 340)
е) на 3; (9000, 37 035, 99 309, 15 345)
ж) на 9; (9000, 37 035, 15 345)
— Какие числа не попали ни в одну группу? (5447.)
— Какое число повторяется во всех группах? (9000.)
— В каких группах одинаковые числа? (в, г, д.)
— Почему? (Если число делится на 10, то оно делится и на 2, и на 5.)
2. Верно ли утверждение:
а). Если число делится на 3, то оно делится на 9? Ответ аргументируйте.
б). Если число делится на 9, то оно делится на 3? Ответ обоснуйте.
Ответ:
а). Неверно, например, число 12 кратно 3, но 12 не делится на 9.
б). Верно, число 90 кратно 9 и 90 кратно 3.
3. Может ли простое число оканчиваться: а) цифрой 5; б) на 1?
Ответ:
а) нет, гак как число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5;
б) да, например, 71, 181, 421.
4. 3 яйца варились 3 минуты. Сколько минут варилось 1 яйцо? (3 мин.)
5. Сколько среди первых 100 натуральных чисел таких, которые:
а) делятся на 3; (100 : 3 = 33 (ост. 1), 33 числа.)
б) делятся на 7; (14 чисел.)
в) делятся на 3 и на 7; (4 числа.)
г) делятся или на 3 или на 7. (33 + 14 – 4 = 43 числа.)
III. Сообщение темы урока
— Сегодня на уроке мы продолжим изучать свойства простых и составных чисел.
IV. Изучение нового материала
1. Подготовительная работа.
— Я буду называть числа, если услышите простое число, хлопните в ладоши:
8, 5, 11, 10, 15, 19, 6, 2, 13, 25, 4, 17, 9, 7, 1, 3.
2. № 96 стр. 17 (устно). Докажите.
Ответ:
а) да, если одно из чисел равно 1, а другое является простым числом;
б) да, если ни одно из чисел не равно 1.
3. Верно ли утверждение:
а) все простые числа — нечетные;
б) все нечетные числа — простые;
в) все простые числа, большие 2, — нечетные;
г) все нечетные числа, большие 2, – составные.
Ответ:
а) нет, число 2 – простое и четное;
б) нет, например, 125 или 111 — нечетные и составные;
в) да;
г) нет, например, 23 или 47 — нечетные и простые.
4. Работа над новой темой.
— Назовите любое составное число.
— Перечислите его делители.
— Например, 24 — составное число, поэтому кроме 1 и 24 оно делится еще на 2. Так как 24 : 2 = 12, то 24 = 2 · 12. Говорят, что число 24 разложено на множители 2 и 12.
— На какие еще два множителя можно разложить число 24? (24 = 3 · 8 = 4 · 6.)
— Любое составное число можно разложить на 2 множителя, каждый из которых больше 1.
— Можно ли так разложить простое число? (Нет.)
— Почему? (Простое число имеет только два делителя: 1 и само себя.)
V. Физкультминутка
VI. Работа над задачей
1. Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 7, 8, 9, 6?
— Какая цифра может стоять на первом месте в записи числа? (6, 7, 8, 9.)
— Какие цифры будут стоять на втором и третьем месте в записи числа? (Любая из пяти.)
— А на последнем? (Только четные: 6, 8, 0.)
По правилу умножения получаем: 4 · 5 · 5 · 3 = 300 (чисел).
2. Можно предложить решить задачу, составленную ребятами дома.
VII. Закрепление изученного материала
1. № 99 стр. 18 (на доске и в тетрадях).
Решение:
38 = 2 · 19 77 = 7 · 11
145 = 5 · 29 159 = 3 · 53
— Что можете сказать об этих множителях? (Они являются простыми числами.)
2. Разложите на 2 множителя число 84.
84 = 2 · 42 = 3 · 28 = 4 · 21 = 6 · 14 = 7 · 12.
— Что можете сказать об этих множителях? (Они являются парными делителями числа 84.)
3. Разложите число 48 всеми возможными способами:
а) на 2 множителя; (48 = 2 · 24 = 3 · 16 = 4 · 12 = 6 · 8.)
б) на 3 множителя; (48 = 2 · 6 · 4 = 2 · 3 · 8 = 2 · 2 · 12 = 4 · 4 · 3.)
в) на 4 множителя. (48 = 2 · 3 · 2 · 4 = 2 · 6 · 2 · 2.)
4. № 111 стр. 19 (устно с подробным объяснением).
Ответ:
а) нет, неверно, так как, например, числа 26, 76, 16 оканчиваются цифрой 6, но они не делятся на 6;
б) нет, неверно, так как, например, числа 24, 72, 18 делятся на 6, но их запись не оканчивается цифрой 6;
в) нет, любое нечетное число можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является четным числом, другое нечетным. А мы знаем, что если только одно слагаемое суммы не кратно числу о, то и сумма не кратна числу а;
г) да, например, все числа, запись которых оканчивается нулем, являются четными и они делятся на нечетное число 5.
5. Известно, что число делится на 2, 3 и 5. На какие еще числа делится это число? (2 · 3 = 6, 2 · 5 = 10, 3 · 5 = 15, 2 · 3 · 5 = 30, то есть данное число делится на 6, 10, 15, 30.)
6. № 101 стр. 18 (устно).
— Ответ обоснуйте.
(Ответ: нет, например, число 2 — четное, но простое.)
VIII. Самостоятельная работа
Взаимопроверка.
Вариант I. № 78 (а), № 79 (а) стр. 16, № 110 (в) стр. 19.
Вариант II. № 78 (б), № 79 (б) стр. 16, № 110 (г) стр. 19.
IX. Повторение изученного материала
№ 106 стр. 18 (у доски и в тетрадях). Напомнить ученикам, что 2 = 2,0 = 2,00.
— Как перевести проценты в десятичную дробь? (Надо проценты разделить на 100, а для этого перенести запятую в числе влево на два знака.)
X. Подведение итогов урока
— Почему число 1 не является ни простым, ни составным?
— Для чего нужно знать историю развития математических знаний?
Домашнее задание
Стр. 33—34, прочитать историческую справку, № 116, 118, 119 стр. 20.
Дополнительное задание: проверить утверждение: число делится на 4, если 2 последние цифры числа делятся на 4: 104; 518; 2324; 164; 1316; 630.
Составные, простые числа, делители, кратное, натуральные, целые. НОК и НОД. Тестирование онлайн, подготовка к ЦТ, курсы по математике в Минске.
Всего вопросов: 25
Вопрос 1. Простым является число:
Вопрос 2. Составным является число:
Вопрос 3. Если a и b целые числа такие, что ab=93, то числа a и b:
Вопрос 4. Если a и b целые числа такие, что ab=39, то числа a и b:
Вопрос 5. Сумма всех натуральных делителей числа 18 равна:
Вопрос 6. Сумма всех натуральных делителей числа 63 равна:
Вопрос 7. Запишите число в виде десятичной дроби. Результат округлите до сотых.
Вопрос 9. Укажите номера чисел, кратных 36:
1) 1296
2) 12582
3) 13986
4) 26676
5) 30636
| A. | 1, 3, 5 |
| B. | 1, 2, 4, 5 |
| C. | 1, 4, 5 |
| D. | 1, 3, 4 |
| E. | 2, 3, 4 |
Вопрос 10. Вычислите НОД (102, 170, 374)
Вопрос 11. Сколько натуральных делителей имеет простое число?
Вопрос 12. Среди следующих пар чисел противоположными являются:
Вопрос 13. Какое из данных чисел является обратным к числу
Вопрос 14. Разложите число 110 на простые множители и укажите в ответе сумму этих множителей.
Вопрос 15. Чему равна целая часть числа -2,7?
Вопрос 16. Натуральные числа a и b таковы, что a – нечетное число, b – четное число. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом?
Вопрос 17. Число n кратно 3. Остаток от деления числа n на 12 не может быть равным:
Вопрос 18. Натуральные числа a и b таковы, что a – четное число, b – нечетное число. Значение какого из данных выражений может быть натуральным числом?
Вопрос 19. Если открыть книгу так, что видны номера левой и правой страниц, то произведение этих номеров всегда является:
Вопрос 20. Натуральное a нечетное. Значение какого из данных выражений является нечетным числом?
Вопрос 21. Найдите, при каких натуральных n выполняется условие НОК (n; 20) = 20, и укажите сумму всех найденных n.
Вопрос 23. Какой цифрой должно заканчиваться число 5389*, чтобы оно было наибольшим, без остатка делящимся на 3?
Вопрос 24. Сколько различных простых множителей в разложении числа 1400?
Вопрос 25. Найти наибольшее натуральное число, которое при делении с остатком на 15 дает частное, равное 19.
Как найти все простые числа
Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.
Какие числа называют английским словом “симпл”?
Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других – с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа – это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей – это данное число, а второй – единица. Например, три – это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.
Составные числа
Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите – это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” – четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.
Последовательность
Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть – делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных – только “два”. Сами десятки (10, 20. 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.
Теории о свойствах простых чисел
Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.
Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел
В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса – факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, “блоками” для построения натуральных чисел.
Поиск простых чисел. Тесты простоты
Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.
Имеет ли множество простых чисел предел?
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
Какое наибольшее простое число?
Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2 31 – 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел – 2 57885161 – 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а , то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.
Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 b 1 b было выполнено.
Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 b 1 b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .
Простых чисел бесконечно много.
Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.
Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .
Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n ,получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.
Решето Эратосфена
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:
Далее вычеркиваем все числа, кратные 3 . Получаем таблицу вида:
Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:
Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид
Перейдем к формулировке теоремы.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.
Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а . Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .
Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .
Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.
Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.
Определить составное или простое число 11723 .
Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .
Отсюда видим, что 11723 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 11 723 109 2 . Отсюда следует, что 11723 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:
Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .
Ответ: 11723 является составным числом.
Простые числа – это натуральные числа, большие единицы, которые имеют только два делителя: единицу и само это число.
Примеры простых чисел: 2 , 3, 5, 7, 11, 13…
(Единица не является простым числом!)
Существует множество задач, связанных с простыми числами, и хотя формулируются они достаточно просто, решить их бывает очень трудно. Некоторые свойства простых чисел еще не открыты. Это побудило немецкого математика Германа Вейля (Wayl, 1885-1955) так охарактеризовать простые числа: «Простые числа – это такие существа, которые всегда склонны прятаться от исследователя».
Во все времена люди хотели найти как можно большее простое число. Пока люди считали только при помощи карандаша и бумаги, им нечасто удавалось обнаружить новые простые числа. До 1952 г. самое большое известное простое число состояло из 39 цифр. Теперь поиском все больших простых чисел занимаются компьютеры. Это может представлять интерес для любителей рекордов.
Не будем гнаться за рекордами, а рассмотрим несколько алгоритмов нахождения простых чисел.
Задача 1. Определение простого числа.Составить программу, которая будет проверять, является ли введенное число простым.
Самый простой путь решения этой задачи – проверить, имеет ли данное число n (n >= 2) делители в интервале [2; n-1]. Если делители есть, число n – составное, если – нет, то – простое. При реализации алгоритма разумно делать проверку на четность введенного числа, поскольку все четные числа делятся на 2 и являются составными числами, то, очевидно, что нет необходимости искать делители для этих чисел. Логическая переменная flag в программе выступает в роли “флаговой” переменной и повышает наглядность программы, так, если flag = true, то n –простое число; если у числа n есть делители, то “флаг выключаем” с помощью оператора присваивания flag:= false, таким образом, если flag = false, то n – составное число.
Задача 2. Нахождение простых чисел в заданном интервале.Составить программу, которая напечатает все простые числа в заданном интервале [2, m], для m>3 и подсчитает их количество.
Для реализации данного алгоритма необходимо проверить каждое число, находящееся в данном интервале, – простое оно или нет. Однако для этого машине пришлось бы потратить много времени. Поэтому подумаем, каким образом можно оптимизировать алгоритм, описанный в задаче 1, применительно к задаче 2?
Будем использовать следующие приемы оптимизации алгоритма:
- рассматривать только нечетные числа;
- использовать свойство: наименьшее число, на которое делится натуральное число n, не превышает целой части квадратного корня из числа n;
- прерывать работу цикла, реализующего поиск делителей числа, при нахождении первого же делителя с помощью процедуры Break, которая реализует немедленный выход из цикла и передает управление оператору, стоящему сразу за оператором цикла.
Как правило, учащиеся сами догадываются о приемах №1 и №3, но не всегда знают, как реализовать в программе досрочное завершение цикла, прием же №2 для них не очевиден, поэтому, возможно, учителю следует остановиться на нем более подробно или же привести полное доказательство этого утверждения.
Счетчик чисел будет находиться в переменной k. Когда очередное простое число найдено, он увеличивается на 1. Простые числа выводятся по 10 в строке, как только значение счетчика становится кратным 10, курсор переводится на новую строку.
Близнецы
Два нечетных простых числа, разнящихся на два, называются близнецами. Близнецами являются, например, числа 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. В начале натурального ряда такие пары чисел встречаются достаточно часто, но, по мере того как мы продвигаемся в область больших чисел, их становится все меньше и меньше. Известно, что в первой сотне имеется целых 8 близнецов, дальше они расположены очень неравномерно, их можно обнаружить все реже и реже, гораздо реже, нежели сами простые числа. До сих пор неясно, конечно ли число близнецов. Более того, еще не найден способ, посредством которого можно было бы разрешить эту проблему.
Задача 3. Поиск пар чисел близнецов.Написать программу, которая будет находить все числа близнецы в интервале [2; 1000] и подсчитывать количество пар чисел близнецов.
Фактически будем использовать алгоритм и программу Задачи 2. В этом алгоритме нужно использовать дополнительные переменные для хранения двух “последних” простых чисел и проверять условие наличия близнецов – их разность должна быть равна двум.
Задача 4. Нахождение простых чисел в заданном интервале с выводом в выходной файл.Реализовать алгоритм задачи 2 с выводом простых чисел в выходной файл по 10 в строке. Последняя строка файла должна содержать информацию о количестве простых чисел в заданном интервале.
Задача 5. Приемы оптимизации алгоритма задачи 4.Оптимизировать алгоритм задачи 4 следующим образом: найденные простые числа записывать в файл, делимость очередного кандидата проверять только на числа из этого файла.
Словесное описание алгоритма:
- Вводим правую границу диапазона – m;
- Записываем двойку и тройку в файл;
- Пока очередное нечетное число i m ), вывести в файл количество простых чисел.
Эратосфеново решето
Греческий математик Эратосфен (275-194 гг. до н.э.) предложил интересный метод нахождения простых чисел в интервале [2; n]. Он написал на папирусе, натянутом на рамку, все числа от 2 до 10000 и прокалывал составные числа. Папирус стал, как решето, которое “просеивает” составные числа, а простые оставляет. Поэтому такой метод называется Эратосфеновым решетом. Рассмотрим подробнее этот метод.
Пусть написаны числа от 2 до n:
Первое неперечеркнутое число в строке является простым. Таким образом, 2 – простое число. Начинаем “просеивание” с него, перечеркивая все числа, которые делятся на 2:
Далее берем следующее по порядку неперечеркнутое число и перечеркиваем все числа, кратные ему и т. д. Таким образом, мы перечеркнем все составные числа, а простые останутся неперечеркнутыми:
Все числа указанного интервала можно рассматривать как множество и в дальнейшем из этого множества будем исключать (отсеивать) все составные числа.
Задача 6. Нахождение простых чисел с помощью решета Эратосфена.Реализовать алгоритм решета Эратосфена с помощью организации работы с множествами.
Словесное описание алгоритма:
- Выделим из первых n натуральных чисел все простые числа (решето Эратосфена).
- Вначале формируем множество BeginSet, состоящее из всех целых чисел в диапазоне от 2 до n. Множество PrimerSet будет содержать искомые простые числа.
- Затем циклически повторим действия:
- взять из BeginSet первое входящее в него число next и поместить его в PrimerSet;
- удалить из BeginSet число next и все другие числа, кратные ему, т. е. 2* next, 3* next и т. д.
Цикл повторяется до тех пор, пока множество BeginSet не станет пустым. Программу нельзя использовать для произвольного n, т. к. в любом множестве не может быть больше 256 элементов. (Для расширения интервала простых чисел можно разбить одно большое множество на несколько маленьких, т. е. представить большое множество в виде массива малых множеств. Этот случай рассматривать не будем. Можно предложить наиболее заинтересованным учащимся самостоятельно рассмотреть этот вариант.)
Литература:
- Е.В. Андреева Методика обучения основам программирования на уроках информатики. Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
- В.А. Дагене, Г.К. Григас, А.Ф. Аугутис 100 задач по программированию. – М.: Просвещение, 1993. – 255 с.
- В.В. Фаронов Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: «Нолидж», 1999. – 616 с.
Простые числа – факты, примеры и таблица всего до 1000
Простое число без остатка можно разделить только само на себя и на 1. Например, 17 можно разделить только на 17 и на 1.
Некоторые факты:
- Единственное четное простое число – 2. Все остальные четные числа можно разделить на 2.
- Если сумма цифр числа кратна 3, это число можно разделить на 3.
- Никакое простое число больше 5 не оканчивается на 5. Любое число больше 5, заканчивающееся на 5, можно разделить на 5.
- Ноль и 1 не считаются простыми числами.
- Число, за исключением 0 и 1, может быть простым или составным числом. Составное число определяется как любое число больше 1, которое не является простым.
Чтобы проверить, является ли число простым, сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотрите, получится ли у вас целое число. Если да, то это не может быть простое число. Если у вас нет целого числа, попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делите на простое число (см. Таблицу ниже).
Вот таблица всех простых чисел до 1000:
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | |
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 |
| 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 |
| 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 |
| 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 900 44
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 3 | 269 | 271 | 277 |
| 281 | 283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 |
| 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 |
| 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | |
| 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 503 | 509 | 521 | 523 | |
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 |
| 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 643 | 647 | 653 | |
| 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 |
| 733 | 739 900 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | |
| 809 | 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 857 | 859 | |
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 |
| 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Расмус – Математика, простые числа и делимость, Урок 1.
Расмус – Математика, Простые числа и делимость, Урок 1. – с 7. по 9. класс.| 2004 Rasmus ehf | Простые числа | Печать |
Prime числа и делимость
Урок 1.
Прайм число – это целое число больше 1, которое можно разделить только само по себе и 1.Наименьшие простые числа – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23. Число 2 – единственное четное простое число. номер.
Пример:
| 7 = 1 7 | Число 7 имеет всего два фактора: 1 и сам. |
| 11 = 1 11 | Число 11 имеет только два фактора: 1 и сам. |
композитный числа: составное число имеет более двух факторов.Составные числа можно разбить на простые множители.
Пример:
| 6 = 2 3 | 2 и 3 – простые числа. |
| 20 = 2 25 | 2 и 5 – простые числа. |
| 35 = 5 7 | 5 и 7 – простые числа. |
Prime факторы: Найдите простые множители 30.
| 30
= 2 35 простые множители 30 – это числа 2, 3 и 5. |
- Начните с наименьшего простого числа, которое является коэффициент 30. Разделите на 2, чтобы получить коэффициент 15.
- Теперь используйте наименьшее простое число, которое фактор 15.Разделите на 3, чтобы получить множитель 5, который также является простым числом.
| Вы также можно найти простые множители целого числа, нарисовав множитель дерево. | |
| 30 = 2 35 | |
Делимость
номеров:
Вы можете использовать
Сито Эратосфена в
найти простые числа.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Все четные числа делятся на 2. | Если сумму цифр номера можно разделить на 3 , число делится на 3 . |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Если
последние 2 цифры числа можно разделить на 4, число делится на
4. Пример: 1 12 4 = 28 и 12 4 = 3 | Если число заканчивается на 0 или 5, оно делится на 5. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Если число можно разделить на 2 и 3, оно делится на 6. | Эти числа делятся на 7. |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Эти числа делятся на 8. | Если
сумму цифр номера можно разделить на 9
, число делится на 9
. Пример: 54 9 = 6 5 + 4 = 9 |
Первые 27 простых чисел показаны желтым цветом в таблице ниже.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вы можете найдите эти простые числа, вычеркнув кратные 2, 3, 5 и 7 (кроме себя) на графике. |
Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 1 на Prime
числа.
Пс. Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать
твоя работа.
простых чисел – элементарная математика
Значение
Неформальный смысл
Номера зданий из небольших строительных блоков: Любое счетное число, кроме 1, может быть построено путем сложения двух или более меньших счетных чисел.Но только некоторые счетных чисел могут быть составлены путем умножения двух или более меньших счетных чисел.
Простые и составные числа: Мы можем построить 36 из 9 и 4 путем умножения; или мы можем построить его из 6 и 6; или с 18 и 2 лет; или даже путем умножения 2 × 2 × 3 × 3. Числа типа 10 и 36 и 49, из которых может быть составлено как произведение меньших счетных чисел, называются составными числами .
Некоторые числа не могут быть построены таким образом из более мелких деталей.Например, он может построить 7 , только умножив и используя только , считая числа – это 7 × 1. Чтобы «построить» 7, мы должны использовать 7! Так что на самом деле мы не составляем его из более мелких строительных блоков; нам это нужно для начала. Такие числа называются простыми числами .
Неформально простые числа – это числа, которые нельзя получить путем умножения других чисел. Это хорошо отражает идею, но не является достаточно хорошим определением, потому что в нем слишком много лазеек.Число 7 может быть составлено как произведение других чисел: например, это 2 × 3. Чтобы уловить идею о том, что «7 не делится на 2», мы должны прояснить, что мы ограничиваем числа, чтобы включать только счетные числа: 1, 2, 3….
Формальное определение
Простое число – это положительное целое число, которое имеет ровно двух различных целочисленных множителя (или делителей), а именно 1 и самого числа.
Разъяснение двух распространенных заблуждений
Две распространенные ошибки:
- Число 1 – это , а не простое.
- Число 2 является простым . (Это единственное четное простое число.)
Что ж, определение это исключает. В нем говорится: «два различных целочисленных множителя », и единственный способ записать 1 как произведение целых чисел – это 1 × 1, в котором множители совпадают, друг с другом, т.е. Это исключает даже неформальная идея: его нельзя построить, умножив других (целых) чисел.
Но зачем это исключать ?! Студенты иногда утверждают, что 1 «ведет себя», как и все другие простые числа: его нельзя «разбить на части». И часть неформального понятия простого числа – мы не можем составить из числа 1, кроме как с его помощью, поэтому оно должно быть строительным блоком – похоже, делает его простым. Почему не включает его в ?
Математика не произвольна. Чтобы понять, почему полезно исключить 1, рассмотрите вопрос «Сколько разных способов 12 можно записать как произведение, используя только простые числа?» Вот несколько способов записать 12 как произведение, но они не ограничиваются простыми числами.
- 3 × 4
- 4 × 3
- 1 × 12
- 1 × 1 х 12
- 2 × 6
- 1 × 1 × 1 × 2 × 6
Использование 4, 6 и 12 явно нарушает ограничение «использовать только простые числа». Но что насчет этого?
- 3 × 2 × 2
- 2 × 3 × 2
- 1 × 2 × 3 × 2
- 2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 × 1
Что ж, если мы включим 1, есть бесконечно много способов записать 12 как произведение простых чисел.Фактически, если мы назовем 1 простым числом, то существует бесконечно много способов записать любое число как произведение простых чисел. Включение 1 упрощает вопрос. Без его учета остаются только эти случаи:
- 3 × 2 × 2
- 2 × 3 × 2
- 2 × 2 × 3
Это гораздо более полезный результат , чем возможность выражения каждого числа бесконечным числом способов как произведение простых чисел, поэтому мы определяем простое число таким образом, что оно исключает 1.
Число 2 – это простое число . Почему?
Студенты иногда считают, что все простые числа нечетные. Если кто-то работает только с «шаблонами», это легко сделать, поскольку 2 – это исключение , только , единственное четное число. Одно доказательство: поскольку 2 является делителем каждого четного числа, каждое четное число, большее 2, имеет по крайней мере трех различных положительных делителя.
Другой распространенный вопрос: «Все четные числа делятся на 2, поэтому они не простые; 2 – четное, так как же оно может быть простым? » Каждое целое число делится само на себя и на 1; все они делятся на или .Но если число делится только на само на себя и на 1, то оно простое. Итак, поскольку все других четных числа делятся сами по себе на 1, и 2 , все они составные (точно так же, как все положительные числа, кратные 3, кроме самого 3, составны).
Математический фон
Уникальная факторизация простых чисел и факторные деревья
Вопрос «Сколько разных способов можно записать число как произведение, используя только простые числа?» (увидеть, почему 1 не является простым) становится даже более интересным, если мы спросим себя, достаточно ли различаются ли 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 3, чтобы рассматривать их « различных способов.«Если мы рассмотрим только набор используемых чисел – другими словами, если мы проигнорируем то, как эти числа расположены, – мы придем к замечательному и очень полезному факту (доказуемому).
- Каждое целое число больше 1 может быть разложено на уникальный набор простых чисел. Для любого целого числа существует только , один набор простых множителей.
Штрихи и прямоугольники
Можно расположить 12 квадратных плиток в трех различных прямоугольниках.
Семь квадратных плиток можно расположить разными способами, но только одно расположение образует прямоугольник.
Сколько всего простых чисел?
С 1 по 10 четыре простых числа: 2, 3, 5 и 7.
С 11 по 20 снова четыре простых числа: 11, 13, 17 и 19.
С 21 по 30 только 2 простых числа: 23 и 29.
С 31 по 40 снова есть только 2 простых числа: 31 и 37.
От 91 до 100 есть только одно простое число: 97.
Похоже, они редеют. В этом даже есть смысл; по мере того, как числа становятся больше, появляется все больше маленьких строительных блоков, из которых они могут быть сделаны.
Прекращаются ли когда-нибудь простые числа? Предположим на мгновение, что они в конце концов остановятся. Другими словами, предположим, что было «наибольшим простым числом» – назовем его p . Что ж, если бы мы умножили все известные нам простые числа (все они от 2 до p ), а затем прибавили 1 к этому произведению, мы получили бы новое число – назовем его q – которое не делится ни на одно из уже известных нам простых чисел.(Деление на любое из этих простых чисел приведет к остатку 1.) Таким образом, либо q само простое число (и определенно больше p ), либо оно делится на некоторое простое число, которое мы еще не перечислили (которое, следовательно, , также должно быть больше p ). В любом случае предположение, что существует наибольшее простое число – p предположительно было нашим наибольшим простым числом – приводит к противоречию! Таким образом, это предположение должно быть неверным, если – это , нет «наибольшего простого числа»; простые числа никогда не прекращаются.
Предположим, мы представляем, что 11 – наибольшее простое число.
- 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311 —- Prime!
- Нет. Число (кроме 1) делит 2311 с нулевым остатком, поэтому 11 не является наибольшим простым числом.
Предположим, мы представляем, что 13 – наибольшее простое число.
- 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 —- Не простое!
- Но 59 × 509 = 30031, и 59 и 509 простые числа, и оба больше 13, поэтому 13 не является наибольшим простым числом.
Простые и составные числа – объяснение с примерами
Что такое простое число?Простое число – это целое положительное число больше 1, которое делится только на 1 или само себя, без остатка. Другими словами, простое число – это положительное целое число, которое имеет два положительных множителя, включая 1 и само себя. Например, 5 можно разделить только на 1 и 5.
Факты- 2 – единственное четное простое число. Все остальные четные числа делятся на 2.
- Все простые числа, кроме 2, нечетные и называются нечетными простыми числами.
- Ни одно простое число после 5 не имеет последней цифры, заканчивающейся на 5. Все числа больше 5, заканчивающиеся на 5, делятся на 5.
- 0 и 1 не являются простыми числами.
В следующей таблице показаны все простые числа от 0 до 1000:
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | |||||||||||
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | ||||||||||
| 71 | 73 | 904083 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | |||||||||||
| 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 900 | 167 | |||||||||||
| 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 9 0027 | 223 | 227 | ||||||||||
| 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 277 | 6 9040307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | ||
| 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 383 | 373 | 389 | 900401 | |||||||||||
| 409 | 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | ||||||||||
| 463 | 461 | ||||||||||||||||||
| 463 | 463 | 900 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | ||||||||||||
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | ||||||||||
| 601 | 607 | 613 643 | 617 | 619 | 6 617 | 619 900 | 647 | 653 | |||||||||||
| 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 744 79027719 | 727 | 7447 9040751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | |
| 809 | 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 827 | 829 | 859 | |||||||||||
| 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 9040 6911919 | 929 | 937 | |||||||||||
| 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 | 991 | 997 | 03 Что такое составное число? В то время как простые числа – это числа с двумя делителями, составные числа – это положительные целые числа или целые числа с более чем двумя делителями.Например, 23 имеет только два множителя, 1 и 23 (1 × 23), и поэтому является простым числом. Однако у числа 4 три делителя: 1,2 и 4 (1 × 4 и 2 × 2). Список составных чиселНиже приведен список всех составных чисел до 300. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, 159, 160, 161, 162, 164, 165, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 180, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 192, 194, 195, 196, 198, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 224, 225, 226, 228, 230, 231, 232, 234, 235, 236, 237, 238, 240, 242, 243, 2 44, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 252, 253, 254, 255, 256, 258, 259, 260, 261, 262, 264, 265, 266, 267, 268, 270, 272, 273, 274, 275, 276, 278, 279, 280, 282, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300 Как к Определить простые и составные числа?Чтобы проверить, является ли число простым или составным, выполняется тест делимости порядков 2, 5, 3, 11, 7 и 13.Составное число делится на любой из указанных выше факторов. Число меньше 121 не делится на 2, 3, 5 или 7 является простым числом. В противном случае число составное. Число меньше 289, которое не делится на 2, 3, 5, 7, 11 или 13, также является простым. В противном случае число составное. Пример 1 Определите простые и составные числа из следующего списка. 185, 253, 253 и 263. Решение Выполните тест на делимость, чтобы определить составные и простые числа. 263 – простое число. 263 оканчивается нечетным числом 3 и, следовательно, не делится на 2. Поскольку его последняя цифра не равна 0 или 5, число также не делится на 5. Наконец, цифровой корень 263 равен 2, то есть (2 + 6 + 3) = 11 и (1 + 1) = 2, поэтому оно не делится на 3. Последняя цифра числа 185 равна 5, поэтому число 185 делится на 5. В этом случае число составной. Последняя цифра числа 253 – 3, что является нечетным числом. Точно так же оно не заканчивается на 0 или 5, 253 не делится на 5.Цифровой корень 253 рассчитывается как (2 + 5 + 3) = 10. (1 + 0) = 1, что не делится на 3. Следовательно, 253 – составное число. Число 243 имеет последнюю цифру как 3, поэтому оно не делится на 2. Число не имеет 0 или 5 в качестве последней цифры, и, следовательно, не делится на 5. Его цифровой корень получается как ( 2 + 4 + 3) = 9, что делится на 3. Следовательно, 243 составно. Пример 2 Какие из следующих составных или простых чисел? 3, 9, 11 и 14 Решение Число 3 является простым числом, потому что его множители равны только 1 и 3.Число 9 – составное число, потому что его делители – 1, 3 и 9. Число 14 – составное число, потому что оно делится на 1, 2, 7 и 14. Число 11 также является простым числом, потому что оно только имеет два множителя: 1 и 11 Пример 3 Определите простые и составные числа из следующего списка: 73, 65, 172 и 111 Решение Число 73 – простое число. Последняя цифра не равна 0 или 5, и она не кратна 7.Число 65 – составное число, потому что последняя цифра заканчивается на 5 и делится на 5. Цифровой корень числа 111 равен 3, и поэтому делится на 3. Число 111 составное. Число 172 также является составным, потому что оно четное и поэтому делится на 2. Пример 4 Какое из следующих чисел является простым или составным? 23, 91, 51 и 113 Решение Число 23 является простым в следующих случаях: 23 не является четным числом, его цифровой корень равен 5, а само число не делится на 7.Цифровой корень 51 равен 6, что кратно 3. Таким образом, число 51 составное. Число 91 составное, потому что цифровой корень кратен 7. Число 113 нечетное и не заканчивается на 0 или 5. Цифровой корень 113 не делится ни на 3, ни на 2. Таким образом, число 113 является простым. . Пример 5 В приведенном ниже списке можно различить простые и составные числа. 169, 143, 283 и 187 Решение Число 143 делится на 11, поэтому оно составное.Число 169 также составное, потому что оно делится на 13. Число 187 делится на 11. В этом случае число составное. Число 283 простое, потому что последняя цифра не 5 или 0, а цифровой корень – 4, который не делится на 2, 3 или 5. Оно также не делится на одиннадцать, то есть (+2 – 8 + 3 ) = 3. Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урокСистема вещественных чисел – Другие типы вещественных чисел
Вот некоторые из них: Положительные и отрицательные числаПоложительные числа – это числа больше нуля. Примеры положительных чисел:`1 / 2,98455, 1, 0,1673 …, sqrt5` Отрицательные числа – это числа меньше нуля. `-3, -sqrt7, -0.45612, -1 / 5, -19` Четные и нечетные числаЧетные числа – целые числа, которые делятся на 2. Они заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6 или 8. Примеры четных чисел:`2, 4, 6, 100, -8, -20` Нечетные числа – целые числа, которые не делятся на 2. Они заканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9. Примеры нечетных чисел:`1,5,3,99, -7, -41` В числовой строке поочередно располагаются нечетные и четные числа. Вот результаты сложения (или вычитания) нечетных или четных чисел: Тот же результат, если используется операция вычитания (-). Результат – четное число, если добавленные числа являются как четными, так и нечетными числами. В противном случае результат – нечетное число. Вот результаты умножения на нечетных или четных чисел: Результат – четное число, если одно умножаемое число является четным. В противном случае результат – нечетное число. Простые и составные числаПростые числа – это натуральные числа, делители которых равны только самому себе и единице. 2 – единственное четное простое число. Это также наименьшее простое число. Примеры простых чисел:`2,3,5,7,11,13,17,19` Составные числа – это натуральные числа, имеющие по крайней мере один множитель, кроме самого себя и 1. 4 – наименьшее составное число. Примеры составных чисел:`4,6,8,9,10,38,250,1700` В таблице ниже показаны простые и составные числа от 1 до 100. * Простые числа – синие квадраты * Составные числа – белые квадраты * 1 не является ни простым, ни составным числом. Ответ:`(а) 23` Больше 0 и не имеет знака.Так что это положительное число. Он заканчивается цифрой «3», так что это нечетное число. Его множитель равен «1», а само число – простое. `(b) sqrt7` Он меньше «0» и имеет отрицательный знак (-).Значит, это отрицательное число. Это не целое число, поэтому оно не является ни нечетным, ни четным числом. Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом. `(c) 0` Это ни положительное, ни отрицательное число. Он заканчивается цифрой «0», так что это четное число. Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом. `(d) -59` Оно меньше «0» и имеет отрицательный знак (-), поэтому это отрицательное число. Он заканчивается цифрой «9», так что это нечетное число. Это не натуральное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом. `(e) 1` Оно больше «0» и не имеет знака, поэтому является положительным числом. Он заканчивается цифрой 1, так что это нечетное число. «2» – наименьшее простое число, а «4» – наименьшее составное число, поэтому оно не является ни простым, ни составным числом. Почему 1 не является простым числом?Мой друг инженер недавно удивил меня, сказав, что он не уверен, было ли число 1 простым или нет.Я был удивлен, потому что среди математиков 1 считается непростым. Путаница начинается с определения «простого», которое человек может дать: простое число – это положительное целое число, которое делится только на 1 и само . Число 1 делится на 1 и делится само по себе. Но сам по себе и 1 не два разных фактора. 1 простой или нет? Когда я пишу определение простого числа в статье, я пытаюсь устранить эту двусмысленность, говоря, что простое число имеет ровно два различных фактора, 1 и само себя, или что простое число – это целое число больше 1, которое делится только на 1 и сам.Но зачем так стараться исключить 1? Моя математическая подготовка научила меня, что веской причиной того, что 1 не считается простым, является фундаментальная теорема арифметики, которая гласит, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел точно одним способом. Если бы 1 был простым числом, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1 × 2, или 1 × 1 × 2, или 1 594827 × 2. Исключение 1 из простых чисел сглаживает это. Изначально я планировал, как будет выглядеть эта статья, так, что я объясню основную теорему арифметики и покончу с ней.Но на самом деле не так уж и сложно изменить формулировку основной теоремы арифметики для решения первой проблемы, и, в конце концов, мое любопытство вызвал вопрос моего друга: как математики пришли к такому определению простого числа? Беглый взгляд на некоторые страницы Википедии, связанные с теорией чисел, наталкивает на утверждение, что 1 раньше считалось простым, но теперь им нет. Но статья Криса Колдуэлла и Йенг Сюн показывает, что история концепции немного сложнее. Я оценил это мнение с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единство) простым числом – это вопрос определения, поэтому вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства.И все же определения не случаются; этот выбор связан с использованием математики и, особенно в этом случае, с нашими обозначениями ». Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и т. Д. – числами. 1 считался единицей, а число состояло из нескольких единиц. По этой причине 1 не могло быть простым – это даже не было числом. Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не четное или нечетное.Мнение о том, что 1 является строительным блоком для всех чисел, но не само число, сохранялось веками. В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что при выполнении арифметических операций с основанием 10 нет разницы между цифрой 1 и любыми другими цифрами. Во всех смыслах и целях 1 ведет себя так же, как и любая другая величина. Хотя это было не сразу, это наблюдение в конечном итоге привело к тому, что математики стали рассматривать 1 как число, как и любое другое число. В конце 19 века некоторые выдающиеся математики считали 1 простое число, а некоторые нет.Насколько я могу судить, это не было причиной раздора; для наиболее популярных математических вопросов различие было не очень важным. Колдуэлл и Ксюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, который считал 1 простым. (Он явным образом включил это число как простое число в первые шесть изданий Курс чистой математики , которые были опубликованы между 1908 и 1933 годами. Он обновил определение в 1938 году, сделав 2 наименьшим простым числом.) В статье упоминаются, но не рассматриваются некоторые изменения в математике, которые помогли укрепить определение простого числа и исключить 1.В частности, одним из важных изменений стала разработка наборов чисел помимо целых, которые ведут себя как целые числа. В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Этот вопрос может показаться бессмысленным, но он может побудить нас выразить словами уникальную роль 1 в целых числах. Самым необычным аспектом числа 1 в целых числах является то, что у него есть мультипликативная обратная величина, которая также является целым числом. (Мультипликативное обратное число x – это число, которое при умножении на x дает 1.Число 2 имеет мультипликативную инверсию в наборе рациональных или действительных чисел, 1/2: 1/2 × 2 = 1, но 1/2 не является целым числом.) Число 1 оказывается своим собственным мультипликативным обратным. Никакое другое положительное целое число не имеет мультипликативного обратного в наборе целых чисел. * Свойство наличия мультипликативного обратного называется единицей . Число -1 также является единицей в наборе целых чисел: опять же, это его собственная мультипликативная инверсия. Мы не считаем единицы простыми или составными, потому что вы можете умножить их на некоторые другие единицы без особых изменений.Тогда мы можем думать, что число -2 не сильно отличается от 2; с точки зрения умножения, -2 – это всего лишь 2 единицы. Если 2 – простое число, то должно быть и -2. Я старательно избегал определения простого в предыдущем абзаце из-за досадного факта об определении простого числа, когда дело доходит до этих больших наборов чисел: это неверно! Что ж, это не неправильный , но это немного противоречит здравому смыслу, и если бы я был королевой теории чисел, я бы не выбрал для этого термина то определение, которое он имеет.В положительных целых числах каждое простое число p имеет два свойства: Число p не может быть записано как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является единицей. Если произведение m × n делится на p , тогда m или n должно делиться на p . (Чтобы проверить, что означает это свойство на примере, представьте, что m = 10, n = 6 и p = 3.) Первое из этих свойств – это то, что мы можем рассматривать как способ охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, термин для этого свойства неприводимый . Вторая собственность называется prime . В случае положительных целых чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это верно не для всех интересных наборов чисел. В качестве примера рассмотрим набор чисел вида a + b √-5 или a + i b √5, где a и b являются целыми числами и i – квадратный корень из -1.Если вы умножите числа 1 + √-5 и 1-√-5, вы получите 6. Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые также находятся в этом наборе чисел, на b = 0. Каждое из чисел 2, 3, 1 + √-5 и 1-√-5 не может быть далее разбито и записано как произведение чисел, которые не являются единицами измерения. (Если вы не поверите мне на слово, в этом нетрудно убедиться.) Но произведение (1 + √-5) (1-√-5) делится на 2, а 2 не делит ни 1 + √-5 или 1-√-5. (Еще раз, вы можете доказать это себе, если не верите мне.) Итак, 2 неприводимо, но не простое. В этом наборе чисел 6 можно разложить на несократимые числа двумя способами. Указанное выше число, которое математики могли бы назвать Z [√-5] (произносится как «zee присоединяется к квадратному корню из отрицательной пяти» или «zed присоединяется к квадратному корню из отрицательной пятерки», pip pip, cheerio »в зависимости от того, что вам нравится назовите последнюю букву алфавита), имеет две единицы, 1 и -1. Но есть похожие числовые наборы, которые имеют бесконечное количество единиц.Поскольку такие множества стали объектами изучения, имеет смысл тщательно разграничить определения единиц, неприводимых и простых. В частности, если существуют числовые наборы с бесконечным числом единиц, становится все труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если мы не уточним, что единицы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики или теоретик чисел и хотел бы узнать больше о том, как именно происходил этот процесс, прежде чем размышлять над дальнейшими рассуждениями, я думаю, что это одна из разработок, на которую ссылаются Колдуэлл и Ксион, которая мотивировала исключение 1 из простых чисел. Как это часто бывает, мой первый аккуратный и аккуратный ответ о том, почему дела обстоят именно так, в конечном итоге стал лишь частью истории. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о запутанной истории первобытности. * Это предложение было отредактировано после публикации, чтобы уточнить, что никакое другое положительное целое число не имеет мультипликативного обратного, которое также является целым числом. 2 простое? | Brilliant Math & Science Wiki
Верно или нет?
Почему некоторые говорят, что это правда: Он такой маленький, он простой. Почему некоторые говорят, что это неправда: Четные числа не являются простыми. Найдите правильный ответ
См. Общие опровержения Опровержение : Поскольку четные числа являются составными, 2 не является простым числом. 0 1 2 3 Наименьшего простого числа не существует. Какое наименьшее простое число? Сколько различных простых множителей имеет N = 6 × 10N = 6 \ умноженное на 10N = 6 × 10? |