Онлайн деление и умножение: Онлайн калькулятор. Деление столбиком.

Умножение и деление целых чисел

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Необходимо также изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволит избежать некоторых досадных ошибок в будущем.

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например, в выражении 3 × 2 = 6, число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:

Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.

---

Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

3 × 5 = 15

Теперь поменяем местами сомножители:

5 × 3 = 15

В обоих случаях мы получаем ответ 15, поэтому между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

А с помощью  переменных переместительный закон умножения можно записать так:

a × b = b × a

где a и b — сомножители

---

Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

24 = 24

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

---

Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

---

Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

0 × 2 = 0

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.

Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

0 × 2 = 2 × 0

0 = 0

Примеры применения закона умножения на ноль:

5 × 0 = 0

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5  × 0 × 9  × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Теперь рассмотрим самó умножение целых чисел.

---

Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают короче:  −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

2 × 3 = 6

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

---

Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно решение записывают покороче:

12 × (−5) = −60

---

Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Запишем решение покороче:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

---

Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

4 × (−2)

Заключим его в скобки:

( 4 × (−2) )

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) )

Всё это приравняем к нулю:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

−8 + … = 0

Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

−8 + 8 = 0

---

Пример 5. Найти значение выражения  −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число  −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

−12 + (−8) = −20

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Запишем решение покороче:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

---

Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Запишем решение покороче:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

---

Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4,  8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое

показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Далее рассмотрим законы деления.

---

На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль.

Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10 : 5 = 2

Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6

12 : 6 = 2

Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

5 × 0 = 0

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

0 : 0 = 5

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

0 : 0 = 2

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

… × 2 = 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

8 : 2 = 4

Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:

4 × 2 = 8

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

… × 0 = 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

,  при b ≠ 0

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.

---

Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

12 : 4 = 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12 : 4) : (4 : 4)

(12 : 4) : (4 : 4) = 3 : 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.

---

Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.

12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

Обычно записывают покороче:

12 : (−2) = −6

---

Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.

−24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

Запишем решение покороче:

−24 : 6 = −4

---

Пример 3. Найти значение выражения −45 : (−5)

Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

−45 : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

Запишем решение покороче:

−45 : (−5) = 9

---

Пример 4. Найти значение выражения −36 : (−4) : (−3)

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3

Первое действие:

−36 : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

Второе действие:

9 : (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

Запишем решение покороче:

−36 : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок 8: Внетабличные умножение и деление

План урока:

Умножение и деление круглых чисел

Умножение суммы на число

Умножение двузначного числа на однозначное

Деление суммы на число

Деление двузначного числа на однозначное

 

Ребята, ответьте на вопрос. Что находится в начале числовой линейки?

Источник

Правильно, нуль. Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы отправимся по математическому маршруту, где познакомимся с внетабличным делением и умножением.

 

Прокачайте уменья

В умноженье и деленье!

Примеры внимательно читайте –

Быстро, правильно считайте!

За старанье, прилежание

Цветную ленту получайте!

 

В конце урока вас ждет яркий сюрприз, но сейчас откройте тетради, возьмите ручки, начинайте выполнять задания.

 

Умножение и деление круглых чисел

Источник

Обратите внимание: круглым называется число, которое оканчивается нулем — 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Круглые числа похожи на десятки. Разряд единиц круглых десятков равняется нулю.

Прочитайте таблицу круглых чисел:

Умножение и деление круглого двухзначного числа на однозначное выполняется по определенным правилам. Познакомьтесь с этими правилами.

Процесс обучения идёт намного быстрее, когда материал изложен просто, наглядно и интересно. Занятия с репетитором помогут ученику усвоить любой материал в короткие сроки, а также проявить свои способности и таланты

выбрать учителя

Деление круглых чисел

Рассмотрим пример внетабличного деления:

В примерах деления круглого числа делим количество десятков и дописываем в ответе нуль.

Делим на 10 — убираем в ответе нуль.

В частном не пишем нули, если делимое, делитель — круглые числа.

 

Умножение круглых чисел

А знаете ли вы, что за тысячелетия развития математики было придумано много вариантов умножения. Считалось, что для овладения искусством вычисление нужен талант. Итальянский математик 15 века Лука Пачоли  приводит 8 способов. Познакомимся с некоторыми из них.

Рассмотрите прием внетабличного умножения.

Двадцать умножить на три равно шестидесяти.

Воспользуемся правилом перестановки множителей, получим пример, который умеем решать.

 

Прочитайте правило внимательно.

 

При умножении круглого числа на однозначное, надо умножить десятки на второй множитель, в ответ справа добавить нуль.

Увеличить в десять раз — это значит написать в значение произведения первый множитель и добавить к нему 0 справа.

Произведение семи и десяти равно семидесяти.

 

Воспользуйтесь правилами математики внетабличного умножения и деления для решения примеров:

Проверьте:

Ошибок нет, молодцы. Ваша первая награда — красная ленточка.

Источник

Впереди ждут новые открытия, не отставайте, думайте, решайте.

 

Умножение суммы на число

Задание. Посчитайте и запишите решение на вопрос: сколько квадратов в прямоугольнике?

Вариант 1. Рассуждайте так: в ряду шесть синих квадратов плюс три красных квадрата. Рядов 4. Значит, запишите решение:

Сумма в скобках равна девяти. 9 ∙ 4 = 36. Это табличное умножение.

 

Вариант 2. Количество квадратов подсчитайте другим способом. Узнайте, сколько синих, потом, сколько красных, полученные результаты сложите.

Таким способом удобно умножать большие величины.

 

Любое двузначное число легко записать как сумму разрядных слагаемых: круглых десятков и единиц.

Умножайте сначала десятки, потом единицы, произведения складывайте.

Как это сделать, рассмотрите на примере.

Сумму десяти и пяти умножим на шесть.

Это распределительное свойство умножения суммы на число.

 

Правило умножения суммы на число запишите буквенным выражением.

За внимание награждаю вас оранжевой лентой.

Источник

Идите по маршруту дальше.

Наши репетиторы знают, что интерес к предмету возрастает по мере его понимания, поэтому совмещают разные методики обучения для повышения вовлеченности в образовательный процесс

Перейти

Умножение двузначного числа на однозначное

Сейчас будем решать вот такие примеры: 

Они такие легкие, что мы разделаемся с ними на раз, два, три.

Устное умножение чисел двузначного на однозначное

Считать устно — это просто замечательно, я сам стараюсь обходиться без калькулятора. Но для того, чтобы это делать, нужно знать приемы устного счета. Это чудесная разминка для мозга.

Источник

Мы разберемся с примерами, когда двузначное число умножается на однозначное. Вы научились записывать сумму разрядных слагаемых, поэтому воспользуемся этим умением.

Давайте тренироваться:

 

Пример сложнее.

89 умножить на семь.

Ну как, простые примеры? По способу решения — да. А вот, если не знаете таблицу умножения, то не такие уж простые.

 

Ребята, за верное решение получайте желтую ленту.

Источник

 

Умножение столбиком двузначного числа на однозначное

Это письменный прием вычислений. Такие примеры мы привыкли называть примеры в столбик или примеры столбиком. Давайте научимся правильно записывать такое решение.

Пусть надо 58 умножить на семь.

А теперь начните решать. Последовательно умножьте слева направо все цифры первого множителя на 7, пока они не закончатся. Умножаем 8 на 7, это 56. Что нам с ним делать? Смотрите, то, что единицы, мы так и записываем.

Процесс умножения закончен. Читаем ответ — четыреста шесть.

 

Давайте посмотрим другой пример.

Запишите столбиком.

Проверьте, как записали.

Выполните вычисления. 5 ∙ 9 = 45. Пять записываем под девяткой. Четыре в уме.

4 ∙ 9 = 36. Да 4 в уме. 36 + 4 = 40. Записываем значение произведения. Читаем ответ — 405.

Проверьте свою запись.

 

Хорошо. Вот вам зеленая ленточка

Деление и умножение в столбик

Маленькое приложение в формате stolbik.htm для выполнения классического деления и умножения чисел в столбик. Работает практически в любом современном браузере. Может пригодится ученикам 3-4 классов. Позволяет проверить вычисления, выполненные в тетради, найти и исправить ошибки. Выдаёт решение при делении с остатком и показывает остаток десятичного числа после запятой.

Приложение не просто даёт ответ, а приводит пошаговое и подробное решение. В итоге, вам достаточно вбить 2 своих числа, выбрать действие (умножение или деление) нажать кнопку и переписать решение в тетрадь.

Размер: 150 КБ
Интерфейс: Русский
Платформа: Windows XP/Vista/7/8/10

Скачать stolbik.htm

Умножение в столбик

При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».

Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.

Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».

Деление в столбик

При делении в столбик, слева записывается делимое, а справа от него через вертикальную черту – делитель.

Под делимым в столбец записываются поэтапные произведения каждого разряда частного на делитель. После каждого поэтапного произведения проводим горизонтальную черту, под которой записываем разность делимого и произведения, которая должна быть всегда меньше делителя, если разряд частного вычислен верно. Дополнив разность следующим разрядом делимого, принимаем это число за следующее поэтапное делимое.

Деление по этапам производим до первого разряда заданного условием делимого. Если последняя разность 0 или число, меньшее делителя, то деление натуральных чисел окончено.

3 (х).

Из приведенной ниже таблицы вы можете заметить, что sech не поддерживается, но вы все равно можете ввести его, используя идентификатор `sech (x) = 1 / cosh (x)`.

Если вы получаете сообщение об ошибке, дважды проверьте свое выражение, добавьте скобки и знаки умножения, где это необходимо, и обратитесь к таблице ниже. -1 (x) acoth (x) acosh (1 / x) asech (x) asinh (1 / x) acsch (x)

Умножение и деление

Умножение как повторное добавление

Мы думаем об операторе умножения как 2 × 3 означает Добавить два тройки вместе, или

3 + 3

и 4 × 9 как сложить 4 девятки вместе, или

9 + 9 + 9 + 9.

Как правило, a × b означает сложение b s вместе, так что число b s равно a :

a × b = b + b + b +. . . + b ( a раз)

Умножение с подписанными номерами

Мы можем применить то же правило, чтобы понять, что мы подразумеваем под положительным умножить на отрицательное число.Например,

3 × (4)

означает просто взять 3 из числа отрицательных четырех и сложить их вместе:

3 × (4) = (4) + (4) + (4) = 12

К сожалению, эта схема выходит из строя, когда мы пытаемся умножить отрицательный число умноженное на число. Нет смысла пытаться записать число отрицательное количество раз. Есть два способа взглянуть на эту проблему.

Один из способов – использовать тот факт, что умножение подчиняется коммутативному закону , что означает, что порядок умножения не имеет значения:

a × b = b × a .

Это позволяет нам записать отрицательное, умноженное на положительное, как положительное, умноженное на отрицательный и действуйте как прежде:

(3) × 4 = 4 × (3) = (3) + (3) + (3) + (3) = 12

Однако у нас все еще проблемы, когда дело доходит до умножения отрицательного раз отрицательный. Лучший способ взглянуть на эту проблему – потребовать, чтобы умножение подчиняется последовательной схеме. Если мы посмотрим на таблицу умножения для положительных чисел, а затем расширить его, чтобы включить отрицательные числа, результаты в таблице должны продолжать изменяться по той же схеме.

Например, рассмотрим следующую таблицу умножения:

a	б	a × b
3	2	6
2	2	4
1	2	2
0	2	0

Числа в последнем столбце каждый раз уменьшаются на 2, поэтому, если мы позволим значения и продолжаются до отрицательных чисел, которые мы должны оставить уменьшая произведение на 2:

a	б	a × b
3	2	6
2	2	4
1	2	2
0	2	0
1	2	2
2	2	4
3	2	6

Мы можем составить таблицу умножения побольше, которая показывает много разных возможности.Сохраняя одинаковые размеры шагов в каждой строке и столбце, даже расширяя отрицательные числа, мы видим, что следующие правила знаков удерживайте для умножения:

Знак Правила умножения

(+) (+) = (+)

() () = (+)

() (+) = ()

(+) () = ()

Таблица умножения Обратите внимание, что размер шага в каждой строке или столбце остается неизменным, независимо от того, умножаем мы положительные или отрицательные числа. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -4 20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20 -3 15 12 9 6 3 0 -3 -6 -9 -12 -15 -2 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 4 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 5 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Для любителей математики настоящая причина:

Настоящая причина Должно быть очевидно, что представление приведенные здесь правила арифметики – это просто набор мотивационных аргументы, а не формальное развитие.Формальное развитие реального Система счисления начинается с аксиомы поля . Аксиомы поля: постулируется, а затем из них вытекают все остальные свойства. Поле аксиомы Ассоциативный и коммутативные законы сложения и умножения Существование аддитивное и мультипликативное тождества (0 и 1) Существование аддитивный обратный (противоположности или отрицания) и мультипликативный обратный (обратный) Распределительный закон Все это очень важно, но распределительный закон особенно важен, потому что это то, что отличает поведение умножения от сложения.А именно, умножение распределяется на дополнение, но не наоборот. Правила арифметики как отрицательное умножение на отрицательный дает положительный – это то, что они есть, потому что это единственный способ аксиомы поля останутся в силе. Например, закон о распределении требует что 2 (3 2) = (2) (3) + (2) (2) Мы можем оценить левую часть этого уравнения следующим образом: следуя порядку операций, который говорит делать то, что указано в скобках первый, так что 2 (3 2) = 2 (1) = 2. Теперь, чтобы закон распределения стал верным, правая сторона также должна быть равна -2, так (2) (3) + (2) (2) = 2 Если мы используем наши правила знаков для умножения, то работает так, как должно: (2) (3) + (2) (2) = 6 + 4 = 2

Обозначение для умножения

Мы привыкли использовать символ × для обозначения умножения в арифметике, но в алгебры, мы предпочитаем избегать этого символа, потому что нам нравится использовать букву x для представления переменной, и эти два символа можно легко спутать.Так вместо этого мы принимаем следующие обозначения для умножения:

1. Умножение подразумевается, если две величины написаны рядом, между ними нет другого символа.

Пример: ab означает a × b .

2. Если во избежание путаницы необходим символ, мы используем точку.

Пример: Если нам нужно покажите 3 раза по 5, мы не можем просто написать их рядом, иначе это будет выглядеть как число тридцать пять, поэтому мы пишем 3 5.

• ср также можно использовать скобки для разделения факторов. 3 раза по 5 можно было бы написать как 3 (5) или (3) 5 или (3) (5).

Отдел

Есть два способа думать о разделении: как о связанном умножение, или как умножение на обратную.

Деление как родственное умножение

Утверждение 12 ÷ 3 = 4 верно только потому, что 3 × 4 = 12. Проблема деления действительно задает вопрос: какое число я могу умножить делитель на, чтобы получить дивиденды ?; и поэтому каждое уравнение деления подразумевает эквивалентное уравнение умножения.Всего:

a ÷ b = c тогда и только тогда, когда a = b × c

Это также показывает, почему нельзя делить на ноль. Если бы мы спросили, что такое шесть делить на ноль? мы бы имели в виду какое число, умноженное на ноль, равно шести ?, но любое число, умноженное на ноль, дает ноль, поэтому на этот вопрос нет ответа.

Мультипликативный Обратный (Обратный)

Для каждого действительного числа a (кроме нуля) существует действительное число, обозначенное 1/ a , такое, что

a (1/ a ) = 1

• Номер 1/ а называется обратным или мультипликативным обратным от до .
• Обратите внимание, что обратная величина от 1/ до – это a . Обратное от обратного возвращает вам то, с чего вы начали.

Это позволяет нам определить деление как умножение на обратную:

a ÷ b = a × (1/ b )

Это обычно самый удобный способ думать о делении, когда вы занимаюсь алгеброй.

Обозначение для Дивизиона

Вместо использования символа для обозначения деления мы предпочитаем записывать его с помощью обозначение дробей:

Знак Правила для дивизиона

Поскольку деление всегда можно записать как умножение на обратное, подчиняется тем же правилам знаков, что и умножение.

Если положительное делится на отрицательное, или отрицательный разделенный на положительный, результат отрицательный:

, но если оба числа имеют один и тот же знак, результат положительный:

Калькулятор деления больших чисел

– онлайн деление больших чисел

Поиск инструмента

Дивизия

Инструмент для деления больших чисел. Обычные калькуляторы ограничиваются небольшими числами.

Результаты

Дивизия – dCode

Тег (-ы): Арифметика

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Инструмент для деления с большими числами. Обычные калькуляторы ограничиваются небольшими числами.

Ответы на вопросы

Как рассчитать деление?

Операция деление должна рассматриваться как разделение числа на меньшие количества на равные части.

Деление может быть точным (разделение 10 элементов на стопки по 2) или иметь остаток (разделение 10 элементов на стопки по 3, остается 1 элемент), последнее также называется евклидовым делением.

dCode имеет инструмент для реализации евклидова деления.

Пример: 10 делить на 5 обозначается 10/5 или 10 ÷ 5 равно 2, так как можно разделить 10 на 2 равные части размера 5.

Пример: 10 делить на 4 отмечается 10/4 или 10 ÷ 4 равно 2,5, потому что можно сделать 2 стопки из 4 и стопку из 2 (половинная стопка из 4)

В случае неточного деления , можно округлить значение, указав определенное количество цифр после десятичной точки.

Как рассчитать деление с большими числами?

DCode использует алгоритмы вычисления произвольной точности для получения точных значений при делении больших чисел без экспоненциального представления до 1 миллиона цифр.

Как рассчитать целочисленное деление?

Целое деление похоже на евклидово деление, принцип заключается не в вычислении после десятичной точки и определении остатка.

Пример: 14/3 = 4 остаток 2

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Division».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate) написано на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.), доступ к данным, скриптам или API не будет бесплатным, то же самое для загрузки Division для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android!

Нужна помощь?

Пожалуйста, заходите в наше сообщество Discord, чтобы получить помощь!

Вопросы / комментарии

Сводка

Инструменты аналогичные

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

деление, деление, алгоритм, большое, число, целое

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/big-numbers-division

© 2021 dCode – Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение – сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно. А как насчет 8 i ² ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i – это что-то с квадратом –1.Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu – yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Вы можете думать об умножении на 2 как о преобразовании, которое растягивает комплексную плоскость C с коэффициентом 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом u чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества – это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда, согласно формуле умножения, zw равно ( xu – yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | ² = x ² + y ²

Аналогично имеем

| w | ² = и ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu – yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu – yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu – yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + y ² ) ( u 21557 u 21557 v ² )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия i.

В нашем следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = –1. А как насчет i ³ ? Это всего лишь i ² умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i ³ = – i. Это интересно: куб i – это собственное отрицание.Затем рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат –1. Итак, i ⁴ = 1. Другими словами, i – это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что – i – это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и – i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умножить на i ⁴ , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменять результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = – i.

Как насчет отрицательной степени и ? Что является обратным для i, то есть i ^–1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = – i. Таким образом, i обратное – i. Представьте себе – число, обратное значение которого – собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз – i равно 1, поэтому, конечно, i и – i являются обратными.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по Фундаментальной теореме алгебры количество корней n -й степени из единицы равно n, , так как имеется n корней уравнения n -й степени z ^u – 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Четвертые корни равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе было упомянуто, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и – i, и теперь с формулой умножения, что легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно расположены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на i.

В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = – y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что умножение на i повернулось в точку z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что умножение на – i делает таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на – i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на – i дает поворот на –90 ° вокруг 0, или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на действительные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай – это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк – абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | w |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона – положительная действительная ось, а вторая сторона – прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

Веселых онлайн-игр, бесплатных видео и заданий для детей

Подписывайтесь на нас

• ДОМ
• МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
• МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВИДЕО
• РАБОЧИЕ ЛИСТЫ ПО МАТЕМАТИКУ
• МОБИЛЬНЫЕ ИГРЫ
• БЛОГ

Поиск по оценке

• Pre-K
• Детский сад
• 1 класс
• 2 класс
• 3 класс
• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс

Субъектов

• Дополнение
• Алгебра
• Подсчет
• Дивизия
• Уравнения
• Дроби, проценты и десятичные знаки
• Развлечения
• География
• Логика
• Измерение
• Самые популярные
• Умножение
• Номера
• Физика
• Вероятность
• Решение проблем
• Пазлы
• Гонки
• Наука
• Формы и геометрия
• Вычитание
• Время и деньги

Подробнее

• Блог
• Обратная связь
• Ссылка на нас
• Математические игры
• Математические видеоролики
• Задания по математике
• Партнеры
• Пресс
• Шпаргалка по математике

.