Как решать примеры со скобками: Примеры со скобками: какой порядок действий – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

Примеры со скобками: какой порядок действий

Помню, в школе на зимние каникулы учительница всегда давала нам большой листок с примерами, которые нужно было решить. Чтобы мы за пару недель не забыли всё, что выучили. Почти все одноклассники вспоминали об этих примерах в воскресенье вечером перед школой. Страдальчески садились за стол и пытались включить мозг. Получалось не всегда. Спустя годы после школы тем более сложно что-то вспомнить. Поэтому у многих даже простые задания вызывают недоумение. Что ж, проверим, хорошо ли тебя натаскала математичка. А также расскажем, что стоит помнить, решая математические примеры со скобками.

Математические примеры со скобками

8 / 4(3 – 1) = ?

Посчитай и скажи, сколько у тебя вышло. Проверить себя можешь в конце статьи. А если возникают затруднения, мы всегда поможем!

Алгоритмы решения примеров

Начнем с простых примеров без скобок. Чтобы решить такие примеры, нужно помнить одно

главное правило: все действия выполняются слева направо. Сначала сделай умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Посчитаем: 5 х 4 – 8 / 2 = ?

Иди слева направо, но помни, что сначала выполняются умножение и деление. Так:

1) 5 х 4 = 20. Это умножение, и оно будет первым, если идти слева направо.

2) 8 / 2 = 4. Это деление, и, хотя оно идет после вычитания, деление выполняется первым.

3) 20 – 4 = 16. Теперь обычный порядок: после умножения и деления переходим к вычитанию.

Ответ: 5 х 4 – 8 / 2 = 16.

Как решать примеры со скобками

Пример может содержать круглые скобки, которые используются для изменения обычного порядка математических действий. Чтобы сделать всё правильно, запомни такие правила.

Сначала проделай все действия, указанные в скобках.

Затем — всё остальное слева направо. Первыми всегда, как мы уже говорили, идут умножение и деление, а затем вычитание и сложение. Те же правила применяются к круглым скобкам.

Ответ на наш пример

Решая этот пример, легко перепутать порядок действий. Правильный порядок таков: сначала вычисли результат в скобках, затем подели 8 на 4, а результат умножь на то, что получил в скобках. Итак, ты получишь: 8 / 4(3 – 1) = 8 / 4 х 2 = 2 х 2 = 4.

А ты получил правильный ответ? Делись с нами в комментариях.

Екатерина Кукиб

Редактор, который не пишет статьи, а просто общается с читателем как с хорошим другом. Главные ориентиры в жизни — свобода и безбарьерность. Катя любит людей и их истории, которые собирает для своей собственной, чтобы потом рассказать ее миру. Любимая книга — «Искусство любить» Эриха Фромма.

Как решать примеры со скобками / Бери и делай

С порядком выполнения действий в математических примерах часто возникает путаница. Ситуация осложняется, когда появляются скобки, которые могут не просто разделять длинное выражение на отдельные части, но и менять порядок действий.

«Бери и Делай» собрал в одной статье все, о чем нужно помнить, когда вы решаете примеры со скобками.

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок

Для решения простых примеров без скобок, вычисления корней и дробей достаточно запомнить правила:

Все действия выполняются по порядку слева направо.
Сначала выполняются действия умножения и деления, а затем — сложения и вычитания.

Как это применяется на практике?

Пример № 1. Вычислите: 15 − 3 + 7.

Сначала выполняем все действия по порядку слева направо:

1) 15 − 3 = 12

2) 12 + 7 = 19

Получаем ответ: 15 − 3 + 7 = 19.

Пример № 2. Вычислите: 10 ÷ 2 × 8.

Здесь тоже выполняем все действия по порядку слева направо:

1) 10 ÷ 2 = 5

2) 5 × 8 = 40

Получаем ответ: 10 ÷ 2 × 8 = 40.

Пример № 3. Вычислите: 5 × 4 − 8 ÷ 2.

Здесь тоже двигаемся слева направо, но держим в уме правило о том, что умножение и деление необходимо выполнить в первую очередь. Поэтому действуем так:

1) 5 × 4 = 20. Это умножение, и оно стоит на первом месте, если двигаться слева направо.

2) 8 ÷ 2 = 4. Это деление, и у него есть приоритет перед действием вычитания, поэтому, несмотря на то, что оно находится правее, из-за приоритета мы выполняем его сразу после умножения.

3) 20 − 4 = 16. Здесь по порядку: выполнив умножение и деление, переходим к вычитанию.

Получаем ответ: 5 × 4 − 8 ÷ 2 = 16.

Если выражение состоит из нескольких действий или вы только учите их порядок, можно над знаками арифметических действий проставлять числа, подсказывающие порядок выполнения вычислений, как на картинке выше.

Важно: Скобки не нужно ставить, если действия сложения и вычитания выполняются в последовательности слева направо. К примеру, вместо (4 − 2) + 3 достаточно написать просто 4 − 2 + 3. Также нет необходимости добавлять скобки, чтобы выделить действия, которые и так имеют приоритет. К примеру, вместо 5 + (4 × 3) достаточно написать лишь 5 + 4 × 3, так как в этом случае действие умножения и без скобок имеет приоритет перед действием сложения.

Порядок выполнения действий в выражениях со скобками

Выражение может содержать скобки, задача которых — изменить привычный порядок выполнения математических действий. Чтобы не запутаться, запомните следующие правила:

Сначала нужно выполнить действия в скобках.
Затем все остальные по порядку, двигаясь слева направо.
При этом сначала выполняются действия умножения и деления, а после — сложения и вычитания.
Внутри скобок действует аналогичный порядок.
Если в выражении есть дроби или степени, по возможности их следует вычислить до того, как вы перейдете к умножению и делению, а затем сложению и вычитанию.

Как это применяется на практике?

Пример № 1. Вычислите: 5 × (8 − 4) ÷ 2.

Следуя вышеуказанным правилам, сначала выполним действие в скобках, а затем по порядку все остальные. Тогда получается:

1) 8 − 4 = 4

Зная результат действия в скобках, в черновике для удобства мы можем записать выражение как 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 5 × 4 ÷ 2. Теперь по порядку выполним действия умножения и деления:

2) 5 × 4 = 20

3) 20 ÷ 2 = 10

Получаем, что 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.

Ответ: 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.

Пример № 2. Вычислите и сравните результаты: 7 − 3 + 2 и 7 − (3 + 2).

Вычислим результат первого выражения: 7 − 3 + 2 = 6. Теперь посчитаем результат второго выражения: 7 − (3 + 2) = 7 − 5 = 2. Наличие скобок во втором примере изменило порядок действий, поэтому результаты двух выражений различаются.

Пример № 3. Вычислите 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2).

На первый взгляд, это выражение кажется сложным. Чтобы упростить процесс вычисления, разложите его на отдельные действия по порядку:

1) Сначала выполните действия в скобках. Чтобы получить результат выражения в первых скобках, нужно вспомнить о том, какие действия имеют приоритет. Таким образом, сначала вычисляем 4 × 3, затем результат вычитаем из числа 15. Получаем в ответе 3. Проделайте то же самое со вторыми скобками: вычислите 3 × 2 и к результату прибавьте 7. В ответе получаете 13.

2) Зная результаты вычислений в скобках, в черновике вы можете упростить выражение до вида: 8 − 2 × 3 + 13. Теперь нужно выполнить умножение, а затем по порядку вычитание и сложение: 8 − 6 + 13 = 2 +13 = 15. Получаем ответ: 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2) = 15.

Важно: Можно встретить выражения, где в одних скобках содержатся другие скобки. В этом случае действия аналогичные: сначала надо вычислить результат выражения во внутренних скобках, затем работать с внешними и в конце перейти к тому, что находится вне скобок. Кроме того, вид скобок может различаться: чаще всего это ( ), но допускается также использование { } и [ ].

Распространенные ошибки, из-за которых большинство неверно решают примеры со скобками

Знак умножения опускается перед скобкой, из-за чего можно перепутать порядок действий

К примеру, нужно вычислить, чему равно выражение 8 + 4(3 − 1). Решая этот пример, можно по ошибке сначала посчитать результат вычитания в скобках, затем результат сложения, после чего перемножить полученные числа. Правильный порядок иной: сначала получаем результат вычитания в скобках, затем умножаем его на 4, после чего прибавляем полученное число к 8. Получается следующее: 8 + 4(3 − 1) = 8 + 4 × (3 − 1) = 8 + 4 × 2 = 8 + 8 = 16.

Чуть сложнее может выглядеть вот такое выражение: 8 ÷ 4(3 − 1). Здесь алгоритм действий аналогичный. Сначала выполняем действия в скобках, затем по порядку слева направо нужно выполнить деление и умножение: 8 ÷ 4 × (3 − 1) = 8 ÷ 4 × 2 = 2 × 2 = 4.

Неправильно раскрыты скобки, перед которыми стоял минус

Бывают ситуации, когда скобки надо раскрыть, чтобы упростить выражение. В таком случае, если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобки вместе с минусом опускаются, а знаки всех слагаемых, которые были внутри скобок, заменяются на противоположные, как если бы вы каждое число умножили на −1. К примеру, выражение 6 + 5 − (4 + 3 − 2) при раскрытии скобок превращается в 6 + 5 − 4 − 3 + 2. Чаще всего ошибки допускаются в выражениях, где есть переменные и много действий, к примеру: 3 + 2(x + 1) − 2(x − 1). Не зная значение переменной, мы не можем посчитать результат выражения в скобках, поэтому необходимо избавиться от скобок и упростить выражение до вида 3 + 2х + 2 − 2х + 2 = 7. Если скобки раскрыть неправильно, то можно получить 3 + 2х + 2 − 2х — 2 = 3.

Вычисления производятся на калькуляторе

Далеко не все калькуляторы способны выполнить действия в правильном порядке, хотя есть модели, которые запрограммированы отделять простые операции от сложных вычислений в рамках одного выражения. Как проверить свой калькулятор? Попробуйте найти результат выражения 1 + 5 × 7. Если в ответе получилось 36, значит, калькулятор может решать сложные примеры, выполняя действия в правильном порядке.

Типы, использование, правило BODMAS, решенные проблемы и часто задаваемые вопросы

Первый вопрос, который студент получает по этой теме: «Как мы можем определить скобки». При вычислении выражения, содержащего заключенное в квадратные скобки подвыражение, скобки обозначают тип группировки, операторы в подвыражении имеют приоритет над окружающими его. Кроме того, для различных скобок существует множество применений и определений.

Типы кронштейнов

Часто используемые типы кронштейнов:

Parentheses ( )
Square brackets [ ]
Curly brackets { }
Angle brackets ⟨ ⟩

Parentheses

Among the four different types of brackets used, parentheses являются наиболее часто используемым типом скобок. В математических задачах скобки в основном используются для группировки чисел. Используйте порядок операций для решения проблемы, когда мы видим несколько чисел и операций в скобках.

Круглые скобки используются в математике по трем основным причинам:

Чтобы разделить числа для пояснения, можно использовать скобки. Например, если у нас есть дополнительная проблема с отрицательным числом, чтобы различить два знака, будут использоваться круглые скобки. Чтобы отличить число от его показателей, также можно использовать круглые скобки. Как правило, это происходит, если мы поднимаем отрицательное число до контроля.

Квадратные скобки

В математике квадратные скобки [ ] используются в различных ситуациях:

Квадратные скобки иногда используются вместо скобок (или в дополнение к ним) в очень сложных выражениях, особенно в качестве знака группы вне внутреннего набора скобок.
Они могут означать то же, что и скобки, но предназначены для облегчения чтения. Все зависит от ситуации.
Квадратные скобки используются для включения номера, который он охватывает при работе с включением.
Их также можно использовать для обозначения наименьшего общего кратного

Фигурные скобки (также известные как фигурные скобки)

Левые фигурные скобки и правые фигурные скобки используются вместе в математических выражениях. Их можно заменить квадратными скобками или круглыми скобками. Во вложенной фразе с тремя уровнями группировки круглые скобки обычно используются в самых внутренних группировках. В группе следующего более высокого уровня используются квадратные скобки, в то время как фигурные скобки используются в самых внешних группах (см. « Вложенные выражения » для примера).

Угловые кронштейны

Внутреннее произведение двух функций представлено угловой скобкой, состоящей из бра и кет (бра+кет = скобка). Поскольку угловые скобки напоминают знаки «меньше» и «больше», некоторым учащимся они могут показаться запутанными. Но вы освоитесь, как только начнете время от времени использовать их в своей математической практике.

Для чего нужны скобки?

Пример: 5 * (2 + 4) равно 30, (5 * 3) + 2 равно 30.

Скобки часто используются в математических выражениях, чтобы обозначить группировку, где это уместно, чтобы предотвратить двусмысленность и повысить ясность.
В декартовой системе координат скобки используются для обозначения координат точки.

Пример: (4,8) обозначает точки в системе координат x-y, где координата x равна 4, а координата y равна 8.

Пример: f(x), g(x).

Пример: [0,8) обозначает полузамкнутый интервал, включающий все действительные числа, кроме 8 от 0 до 8.

Широкие круглые скобки вокруг двух чисел обозначают биномиальный коэффициент, один над другим.
Как и в (a,b,c), круглые скобки вокруг набора из двух или более чисел обозначают набор из n чисел, которые связаны определенным образом.
Матрица обозначается широкими скобками вокруг массива чисел.
Для обозначения наибольшего общего делителя используются круглые скобки.

Правило BODMAS

Скобки находят свое основное применение в правиле BODMAS или PEMDAS, где последовательность операций должна выполняться при разрешении выражения. BODMAS или PEMDAS означает:

B — скобки, P — круглые скобки

O — порядок, E — показатели степени

D — деление

M — умножение

A — сложение

S — вычитание

выполнять до тех пор, пока выражение не будет разрешено. Согласно закону БОДМАСА, если в выражении есть скобки ((), {},), мы сначала должны преодолеть или упростить скобку, а затем порядок, затем делить, умножать, складывать и вычитать слева направо. В неправильном порядке решение проблемы приведет к неправильному ответу.

Проще говоря, четыре операции имеют решающее значение для обучения арифметике, и подростки, которые не знают, в какой последовательности их выполнять, не смогут двигаться вперед с годами.

Еще одна причина, по которой BODMAS преподается на уроках математики, заключается в том, что учащимся намного легче запомнить, какую операцию выполнять при столкновении со сложными уравнениями.

Основные задачи на скобки и их применение:

1) Решить (2 + 4) – (6 – 3)

Ответ: В данном выражении задействованы две круглые скобки. Мы можем решить обе из них по отдельности по правилу БОДМАСа, а затем объединить их результаты.

(2 + 4) = 6……….(1)

(6 – 3) = 3………..(2)

Теперь вычитая (1) с (2), получаем

( 2 + 4) – (6 – 3) = 6 – 3 = 3

2) Решите (3 + (5 * 4)) – ((4 * 6) – 10)

Ответ: задействовано четыре скобки в заданном выражении. Мы решим это, используя правило BODMAS, чтобы найти ответ.

Первые круглые скобки: (5 * 4) = 20………………………………..(1)

Вторые круглые скобки: (3 + (5*4))=(3 + 20) =23 ………(2)

Третья скобка (4 * 6) = 24……………………………(3)

Четвертая скобка ((4 * 6) – 10) = (24 – 10) = 14……(4)

Теперь вычитаем (2) и (4) получаем

(3+(5*4))-((4*6)-10)=23-14=9.

Что такое брекеты? Определение, типы, использование, правило BODMAS, примеры

Значение скобок в математике

Фигурные скобки в математике — это символы, которые используются дважды: один раз для открытия «{» и один раз для закрытия «}» аргумента, выражения или уравнения. Их обычно называют фигурными скобками и записывают как {}.

Скобки, с другой стороны, это термин, используемый для определения различных типов соединений, используемых в математике. Например,

( ), круглые скобки, которые мы называем скобками в математике.
{ }, фигурные скобки, которые являются фигурными скобками в математике.
[ ], квадратные скобки, которые мы также называем квадратными скобками в математике .

В общем, мы используем фигурные скобки в математике для двух целей:

Для группировки больших уравнений, в которых предпоследняя скобка является фигурными или фигурными скобками. Например, 7[2+{3(1+1) + 1}]
Для обозначения множества, такого как {x, y, z,…}

Как мы используем фигурные скобки в математике?

Фигурные скобки в математике часто используются в математических выражениях, когда у нас есть две или более вложенных групп для вычислений.

Итак, в первой вложенной группе мы используем круглые скобки. Во второй вложенной группе мы используем фигурные скобки, а в третьей вложенной группе мы используем прямоугольные скобки, которые содержат как скобки, так и фигурные скобки.

Например: 3[2 – {4(2 + 2) + 2}]

Здесь у нас есть три вложенные группы с соответствующими скобками.

Итак, порядок решения будет следующим: :

Забавный факт: некоторые соглашения различают порядок решения скобок, а именно:

Мы будем использовать первое соглашение с фигурными скобками во второй позиции на протяжении статья.

Для решения проблемы необходимо знать БОДМАС или порядок действий.

Каков порядок операций?

Когда у нас есть длинное уравнение для умножения, деления, сложения и вычитания, мы решаем каждую функцию, чтобы найти правильный ответ. Если задача решается без этого порядка, то шансы получить неверный ответ высоки!

PEMDAS (BODMAS) — одно из правил, определяющих наиболее распространенный способ следования порядку операций. Он означает:

Скобки или квадратные скобки
Порядки или степени
Деление
Умножение
Сложить
Вычесть

Пока мы записываем порядок в приведенной выше форме, деление или умножение и сложение или вычитание имеют одинаковое значение. Это означает, что вы можете либо сначала заняться умножением, либо сначала делением.

Точно так же вы можете сначала выполнить либо сложение, либо сначала вычитание. Ответ будет таким же. Итак, мы обычно пытаемся решить эти две задачи слева направо.

Давайте решим приведенный выше пример:

4[2 + {3(1 + 1) + 2}]

Сначала мы начнем с самой внутренней скобки (скобки).

= 4[2 + {3(2) + 2}]

Теперь решим фигурные скобки.

= 4[2 + {6 + 2}]

= 4[2 + 8]

Затем мы раскрываем квадратные скобки.

= 4[10]

= 40

Решенные примеры

Пример 1: Если вам нужно решить следующее уравнение, как вы будете действовать?

2[1 – {2(2 + 2) + 2}]

Решение: Сначала раскроем скобки:

= 2[1 – {2(4) + 2}]

= 2[1 – {8 + 2}]

Теперь раскроем скобки:

= 2[ 1 – {10}]

Наконец, решим квадратные скобки:

= 2[–9]

= –18

Пример 2: Как бы вы решили следующее уравнение?

4{5(4 + 2) + 1}

Решение: Сначала разгадаем скобки:

= 4{5(6) + 1}

Теперь нам нужно решить фигурные скобки . Но в этих скобках мы должны решить умножение и сложение.

Итак, мы сначала умножаем, а затем складываем:

= 4{30 + 1}

= 4{31}

Наконец, мы умножаем 4 на значение в фигурных скобках:

= 124

Пример 3 : Как вы будете решать уравнение с более чем одной скобкой?

20/{1(2 + 2) + (3 + 3)}

Решение: Начнем с решения уравнений в скобках:

= 20/{1(4) + (3 + 3)}

= 20/{1(4) + (6)}

Теперь нам нужно решить уравнение в фигурных скобках, но у нас есть умножение в фигурных скобках, поэтому сначала решим его:

= 20/{4 + (6)}

= 20/{10}

= 2/1

= 2

Практические задачи

Решите уравнение с фигурными скобками в математике.

57/{5 + (4 x 2) + (3 + 3)}

Правильный ответ: 3
После решения ( ) выполняем сложение внутри { }, а затем разделить.

В каком из следующих примеров фигурные и квадратные скобки используются правильно?

60/[(2 x 2) + (3 + 3)}

60/{(2 x 2) + (3 + 3)}

60/{[2 x 2] + (3 + 3) }

(60/{[2 x 2] + (3 + 3})

Правильный ответ: 60/{(2 x 2) + (3 + 3)}
Используются фигурные скобки, скобки и круглые скобки

Если у нас есть следующие выражения в фигурных скобках, какое из выражений вы решили бы в первую очередь?0355 10/{(4/2) + (6 x 2) – (3 + 3) + (7 – 2)}

(4/2)

(4/2) или (6×2)

Любые скобки внутри { }, (4/2), (6 x 2), (3 + 3), (7 – 2)}

Ничего из вышеперечисленного

Правильный ответ: любые скобки внутри { }, (4 /2), (6 x 2), (3 + 3), (7 – 2)}
Сначала мы можем решить любую скобку внутри фигурных скобок. Как только эти скобки раскрыты, нам нужно просто складывать и вычитать, что можно делать в любом порядке.

Часто задаваемые вопросы

Как называются { }?

Это фигурные скобки, также известные как фигурные скобки в математике.