Как пишется больше и меньше в математике: В какую сторону пишется знак больше меньше или равно? – Всё о детях – беременность, воспитание, уроки для детей

Содержание

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

(−∞; +∞)

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше». Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

−4 < −1

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше». И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

0 > −3

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше». И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

0 < 4

Ноль меньше, чем четыре

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Сравните числа −2 и 1

−2 < 1

Показать решение

Задание 2. Сравните числа −5 и −2

−5 < −2

Показать решение

Задание 3. Сравните числа −5 и −16

−5 > −16

Показать решение

Задание 4. Сравните числа 15 и 20

15 < 20

Показать решение

Задание 5. Сравните числа −7 и 0

−7 < 0

Показать решение

Задание 6. Сравните числа 5 и 0

Показать решение

Задание 7. Сравните числа 5 и 7

Показать решение

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Обучение больше или меньше чем для сравнения величин

На этом уроке дети знакомятся со сравнением величин, используя слова больше, меньше и равно.

При обучении сравнению величин в первую очередь важно, чтобы ребенок хорошо понимал порядок чисел, и этому можно научить, используя числовую линию.

Как только порядок чисел можно визуализировать в последовательности, мы можем перейти к практике подсчета объектов.

Ниже приведен наш первый пример.

Мы посчитаем количество моих шариков и посчитаем количество шариков моего друга.

У меня есть 1 мрамор.

У моего друга 4 шарика.

Мы знаем, что 4 больше, чем 1, потому что мы знаем последовательность чисел и знаем, что 4 идет после 1.

Однако это может помочь усилить сравнительный размер каждого числа с помощью числовой строки.

Больше значит больше.

Поскольку количество шариков, которое есть у моего друга, на

больше, чем мое количество шариков, то мы говорим, что:
У моего друга больше, чем у меня .
Противоположность больше равна меньше
У меня меньше чем мой друг.
Вот еще один пример:
Мы будем сравнивать количество шариков путем подсчета.
У меня 3 шарика и у моего друга 2 шарика.
3 после 2 и поэтому это большее число.
Мы видим, что 3 находится дальше по числовой прямой, чем 2.
У меня больше шариков, чем у моего друга.
У меня на больше шариков, чем у моего друга.
У моего друга на меньше шариков, чем у моего друга.
Вот еще один пример обучения больше или меньше.
Один из способов научить больше или меньше — выстроить предметы рядом друг с другом.
Считая количество моих медведей, у меня их 5.
У моего друга 3 медведя.
Мы можем научить концепции большего, чем просто сопоставляя по одному из каждого объекта за раз.
Мы видим, что после того, как я разделил на пары всех трех медведей моего друга, у меня еще остались некоторые.
У меня больше, чем у моего друга.
Мы видим, что у меня на 2 больше, чем у моего друга.
В этом новом примере ниже моему другу дали еще несколько плюшевых мишек.
У кого сейчас больше?
У меня до сих пор такое же количество мишек.
У меня есть 5 плюшевых мишек.
У моего друга теперь тоже 5 медведей.
У нас одинаковое количество медведей.
Равно — это слово, которое мы используем для обозначения того, что числа одинаковы.
Мы можем видеть, что количество медведей равно
, если соединить их в пары.
Мы можем научить этому, сгруппировав каждую пару в коробку, как указано выше, или физически удерживая два предмета в каждой руке, когда вы их берете. Вы можете попросить ребенка брать по одной из каждой группы в каждую руку, пока вы их считаете.
В следующих примерах мы будем сравнивать более двух групп элементов, используя следующие определения:
Если что-то больше, чем , это означает, что это больше, чем все остальное. Ничего больше этого нет.
меньше означает, что это меньше, чем все остальное. Нет ничего меньшего, чем это.
В этом примере у трех человек есть шарики.
У Тома 3 шарика.
У Сары 2 шарика.
У Чарли 5 шариков.
У Сары наименьшее количество шариков, меньше, чем у Тома и Чарли. У Сары минимум .
У Чарли самое большое количество шариков, больше, чем у Тома и Сары.
У Чарли больше всего .
Вот еще один пример сравнения количества яблок.
У Джона 1 яблоко.
У Клэр есть 1 яблоко.
У Криса 3 яблока.
У Криса самое большое количество яблок, и у него самый .
У Джона и Клэр одинаковое количество яблок.
Слово для этого равно .
У Джона и Клэр есть равное количество яблок.
В этом примере у Джона и Клэр меньше .
В приведенном ниже примере нас просят заполнить пробелы, относящиеся к количеству шариков.
У Джеймса 6 шариков.
У Оскара и Изабеллы по 2 шарика.
У Джеймса больше всех шариков, потому что у него их больше, чем у всех остальных.
Поскольку у Оскара и Изабеллы одинаковое количество шариков, мы говорим, что у них одинаковое количество шариков.

Вот еще один пример сравнения величин.
У Лили есть 1 плюшевый мишка.
У Макса 4 плюшевых мишки.
У Гарриет 2 плюшевых мишки.
Сравнивая плюшевых мишек Макса с плюшевыми мишками Харриет, у Макса больше , чем Гарриет.
У Лили меньше, чем у Макса, и меньше, чем у Харриет.
У Лили минимум .
2/3 больше 1/2?
2/3 больше, чем 1/2?
Хорошо, начнем с «простого» ответа. Ответ на вопрос «на 2/3 больше, чем на 1/2» — да. Действительное число \(\frac{2}{3}\) больше, чем \(\frac{1}{2}\). Вот несколько способов увидеть это:
Расширение математики
Но подождите! Зачем нам публиковать целую запись в блоге о математической задаче, на которую можно ответить одним словом? Помните, что математика — это не «получение правильного ответа», а грамотность — это не «спряжение глаголов».
Давайте распакуем показанные выше модели. Это правда, что на стандартной числовой прямой \(\frac{2}{3}\) находится справа от \(\frac{1}{2}\). Но что делает это оправданным доказательством? В конце концов, это всего лишь условность. Нет закона, согласно которому числовые линии должны идти горизонтально слева направо. Также непонятно, что означают дроби . Подумайте вот о чем: две трети населения Коннектикута намного меньше, чем половина населения Техаса.
В этом блоге я рассмотрю два разных аспекта этого вопроса:
Я покажу, что дроби являются контекстуальными математическими объектами, поэтому могут быть случаи, когда \(\frac{1}{2}\) больше, чем \(\frac{2}{3}\).
Я рассмотрю различные способы сравнения дробей, чтобы вы могли преподать урок ученикам 4-го и 5-го классов.
Дроби и контекст
Если мы начнем с начала числа, очевидно, что 2 меньше 3, верно? Даже такое очевидное утверждение сталкивается с проблемами, если вы в конечном итоге сравниваете предметы, которые нельзя сравнивать (две кошки «меньше, чем» три собаки?) или пропускаете важные квалификаторы (2 метра — это 9).0215, а не менее 3 дюймов).
Если бы вы попросили учащихся показать , почему 2 меньше 3, как бы учащиеся обосновали свое решение? Вы можете спросить учащихся, как показать, что 2 меньше 3, и сравнить их представления. Кто-нибудь использовал числовой ряд? Если они нарисовали несколько объектов, как они дали понять, что объекты можно сравнивать?
После обсуждения концепции сравнения чисел вы можете проверить, как ваши ученики понимают дроби. Предложите своим ученикам проиллюстрировать дробь \(\frac{2}{3}\) и провести время, сравнивая представления. Чем модели учащихся похожи или отличаются? Кто-нибудь изменил числовое представление, например, написав «0,666…?» Кто-нибудь использовал числовой ряд?
Занятие в классе: Спросите учащихся, что 2/3 всегда , иногда , или никогда больше 1/2? Исследуйте мышление учащихся, особенно тех, кто говорит «иногда». О чем уже думают ваши ученики?
Урок реальных дробей
Каждый учитель математики должен время от времени задавать себе вопрос: «Почему это так важно?» Есть много мест, где глубокое понимание сравнения дробей может помочь вам в реальном мире.
Дроби используются, когда необходимы точные измерения, например, при измерении лекарств или выпечки выпечки.
Сочетание правильных фракций ингредиентов имеет решающее значение для изготовления всех видов материалов, таких как шлам, цемент и краска.
Химики должны быть чрезвычайно точными с их фракциями, чтобы создавать химические реакции, такие как тестирование на вирус.
В реальном мире важна не только арифметика дробей, но и значение дроби. Дробь \(\frac{2}{3}\) больше, чем \(\frac{1}{2}\), когда они являются дробями то же самое, что и , но важно также понимать, что измеряет дробь или как она представляется. Если в новостях утверждается, что \(\frac{2}{3}\) американцев что-то поддерживают, то какие американцы? Как создавался опрос? Или рассмотрим утверждение, что один театр имеет вместимость \(\frac{2}{3}\), а другой – вместимость \(\frac{1}{2}\). Театры одного размера?
Давайте перейдем к уроку для 4–5 классов , который вы можете использовать в своем классе для обучения этой концепции. Начните с того, что учащиеся будут искать дроби в реальном мире. Вы можете направить их к определенным фракциям, если хотите связать это с чем-то актуальным, например, Сенат США нуждается в квалифицированном большинстве для голосования.
Шаг 1: Назначьте учащимся место для поиска дроби. Это можно сделать всего за несколько минут онлайн с указанием типа «все, найдите новостную статью, содержащую слово «квалифицированное большинство». в книге или на веб-странице, не посвященной математике».
Шаг 2: Предложите учащимся самостоятельно записать свои ответы на следующие вопросы. Обратите внимание, что на эти вопросы может быть несколько правильных ответов.
Как дробь используется в книге или на веб-странице? (например, «опишите квалифицированное большинство»)
Сравнивается ли она с другой дробью? Если да, то какая дробь? (например, «да, типичное большинство»)
Что такое числитель? Что такое знаменатель?
Что за часть? (например, «сенаторы голосуют за»)
Что такое целое? (например, «все сенаторы США»)
Шаг 3: Сравните ответы учащихся. Начните с выявления сходств и различий между ответами и попросите учащихся объяснить свои ответы. Организуйте дискуссию конкретно о том, какие предположения делает источник о дроби. Некоторые примеры вопросов приведены ниже.
Дробь представляет большое или малое число? Величина дроби относительна. Две трети всех сенаторов — это много, когда ожидается, что только половина сенаторов проголосует «за», но две трети — это немного, когда ожидается, что каждый сенатор проголосует «за».
Представляет ли дробь увеличение, уменьшение или ни то, ни другое? Направление дроби также относительно — идея, которую вы можете связать с отрицательными числами, если учащиеся готовы. Сравнение дробного выигрыша с дробным проигрышем может отличаться от сравнения выигрыша целого числа с проигрышем целого числа. Например, если сумма денег увеличилась в две трети раз, а затем уменьшилась в две трети, она не вернется к исходному состоянию. (Это будет пять девятых от того места, где оно началось. )
Инструкция по дифференцированию
Приведенный выше урок является гибким. Первоначальную задачу можно упростить, направив учащихся к источнику, где они, скорее всего, увидят определенные фрагменты, которые вы курируете (например, новость, включающая «квалифицированное большинство»). Исходное задание также можно усложнить, например, попросив учащихся просмотреть научные журналы, в которых, вероятно, есть много фрагментов, которые трудно понять в контексте.
Для учащихся, пытающихся понять, почему дроби вообще имеют значение, начните с того, что сосредоточьтесь на «что». Каждая фракция может быть смоделирована как единое целое, разделенное на части. Например, вы можете использовать распространенную модель деления круга на части одинакового размера. Этот подход также может показать важность контекста при сравнении дробей. Хотя \(\frac{2}{3}\) больше, чем \(\frac{1}{2}\), когда круги имеют одинаковый размер, это может быть не так, если круги имеют разные радиусы.
Если учащиеся нарисуют модели кругов на миллиметровой бумаге, вы можете попросить их подсчитать количество единиц в каждом круге, чтобы выяснить, какая из них больше. Вы можете организовать обсуждение визуальных моделей:
Какие есть примеры рисования кругов на миллиметровой бумаге в реальном мире? (Возможный ответ: при работе в саду на круглом участке земли)
Когда одна модель дробей может быть более полезной, чем другая? (Возможный ответ: столбчатые модели лучше подходят для сравнения расстояния вдоль дороги; круговые модели лучше подходят для отображения результатов опроса)
Дополнительные инструкции
Учащимся, знакомым с процентами, можно предложить соединить дроби с процентами. Это еще один способ думать о частях и целом, а также полезный способ понять, почему число на числовой прямой \(\frac{2}{3}\) больше, чем \(\frac{ 1}{2}\), так как 66,666…% больше 50%.

Помимо 0,5 и 50%, число \(\frac{1}{2}\) можно рассматривать как отношение 1:2. С этой точки зрения дело не в том, что 2:3 «больше», чем 1:2; скорее, наклон отношения \(y=\frac{2}{3}x\) больше, чем наклон отношения \(y=\frac{1}{2}x\). Наклон — это способ проиллюстрировать связь между наклоном линии и числом, расположенным вдоль линии вещественных чисел.
Таким образом, вы можете познакомить вас с алгеброй и связать дроби с переменными. Предложите учащимся умножить \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{1}{2}\) на одно и то же число. Что они наблюдают? Все ли ученики приходят к одному выводу?
***
Не ограничивайтесь тем, что две трети больше половины на уроке математики. HMH Into Math — это основная учебная программа для классов K–8, которая вдохновит учащихся увидеть значение дробей в их повседневной жизни посредством реальных занятий и уроков.

Будьте первым, кто прочитает последние новости от Shaped .
ПОДПИСАТЬСЯ
Математика Мероприятия и уроки 3-5 классы
Дополнительная литература
Энн Пирсон
Shaped Участник
20 декабря 2022 г.