Разное

Домики математика состав числа: Состав числа (домики) | Картотека по математике (1 класс) на тему:

Содержание

Изучаем цифры с помощью развивающей игры «Числовые домики»!

Игра «Числовые домики» отличный вариант для начала изучения цифр, количественного и порядкового значения чисел и основных математических знаков. Также с помощью данной игры ребенок научится составлять и решать простые примеры на сложение и вычитание.

Как играть в «Числовые домики»:

Для начала распечатайте, а затем разрежьте карточки по пунктирным линиям. Покажите ребенку карточки с цифрами и попросите его назвать их и выложить по порядку до 10.

Вариант №1.

Ведущий показывает ребенку карточку с какой-либо цифрой и ребенок должен выложить столько же предметов, изображенных на картинках, сколько указано цифрой. И наоборот. Ведущий выкладывает определенное количество предметов, а ребенок подбирает цифру. Вместо карточек с цифрой можно использовать карточки с точками.

Вариант №2.

Если ваш малыш знаком с математическими знаками, предложите ему составить примеры на сравнение, сложение и вычитание. Для этого вы можете использовать как карточки с цифрами, точками, так и карточки с различными предметами.

Вариант № 3.

Положите перед ребенком большую карточку с домиком. В каждом из домиков живет определенная цифра. Предложите ребенку подумать и сказать, из каких чисел она состоит. Пусть ребенок назовет все варианта. После этого он может показать все варианты состава числа, выкладывая карточки с цифрами или точками в окошечки.

Все просто и очень интересно!

Фото

Новое видео:

Новое видео:

Включим немного музыки для настроения?

Сейчас играет:

Читайте также:

Это интересно!

Просмотрено

“Вчера был самый тяжелый день в моей жизни! Да! Так больно мне не было никогда – ни в детстве, ни когда-либо потом.

Все о воспитании, Советы родителям, Это интересно!

Просмотрено

Самое сильное волшебное слово, чтобы добиться сотрудничества с ребенком

Это интересно!

Просмотрено

Что делать, чтобы дети стали успешными?

Советы родителям

Просмотрено

Воспитание детей-погодок

Это интересно!

Просмотрено

4 основных Этапа ВОСПИТАНИЯ Детей

От года до трех, Советы родителям

Просмотрено

О мелкой моторике ножек малыша

Все о воспитании, Детская психология, Советы родителям, Это интересно!

Просмотрено

Будим ребенка в школу!

От рождения до года

Просмотрено

Отсрочка «первой ванны» вашего новорожденного малыша увеличивает грудное вскармливание!

Все о воспитании, Советы родителям, Это интересно!

Просмотрено

«Неудачница». Отрывок из книги Е. Мурашовой, который стоит прочесть каждой женщине!

Детская психология

Просмотрено

Этап, который незаметно подкрадывается к мамам, воспитывающих маленьких мальчиков!

Это интересно!

Просмотрено

Фанты, как развлечение для детей на празднике или во дворе

Это интересно!

Просмотрено

Какие плюсы ждут нас с рождением ребенка

Все о воспитании

Просмотрено

Как не скучать в декрете

Это интересно!

Просмотрено

Как дети видят родителей и как их взгляды меняются с возрастом

Истории

Просмотрено

Он все еще немного мальчик!

Беременность и роды

Просмотрено

Какие осложнения возникают во время беременности!

Все о воспитании

Просмотрено

Воспитание по-немецки

Детская психология

Просмотрено

Что делать, если ребенок эгоист?

Все о воспитании, Детская психология, Советы родителям, Это интересно!

Просмотрено

В три ручья: о чем плачет малыш?

Советы родителям

Просмотрено

Попытка зачать испортила нашу sексуальную жизнь!

Советы родителям

Просмотрено

Все плюсы и минусы использования ЧЕРНОВИКА при выполнении домашнего задания

Советы родителям

Просмотрено

Хорошие новости о детской привязанности – вы, вероятно, уже делаете это!

Детская психология

Просмотрено

«Пожалуйста, не целуйте меня!» Уважайте личные границы ребенка!

Советы родителям

Просмотрено

9 естественных способов увеличить выработку молока!

Дидактическая игра «Числовые домики» – «Дошколёнок.ру»

Игра «Числовые домики» подходит для детей старшего возраста для изучения цифр, количественного и порядкового значения чисел и для начала знакомства с составом числа в пределах 10. Это способствует пониманию детьми того, как число может быть образовано из других чисел. Дети учатся анализировать и осознавать, как множество может быть образовано из частей. Также с помощью данной игры ребенок научится составлять и решать простые примеры на сложение и вычитание.

Цель игр: Закрепить представления о составе чисел из двух меньших чисел (в пределах 10).

Задачи:

ОО «Познавательное развитие»

Развивать представления детей о составе чисел первого десятка; закреплять умение соотносить число с цифрой; упражнять детей в умении раскладывать число на два меньших и составлять из двух меньших большее; развивать память, зрительное восприятие, внимание.

ОО «Социально-коммуникативное развитие»

Воспитывать интерес к играм математического содержания; стимулировать желание детей играть самостоятельно, находить партнёров по интересам.

Материал: Домики с окошками. На каждом этаже только одна цифра. Набор карточек с цифрами и набор карточек с изображением разных предметов.


Правила игры

Вариант 1

Ведущий показывает ребенку карточку с какой-либо цифрой, и ребенок должен выложить столько же предметов, изображенных на картинках, сколько указано цифрой. И наоборот. Ведущий выкладывает определенное количество предметов, а ребенок подбирает цифру.

Вариант 2

Ведущий кладет перед ребенком карточки-домики с числами в пределах 5.

Цифра на крыше обозначает количество жильцов на каждом этаже. Ребенок должен подобрать и поставить цифру на второе окошко.

Вариант 3 (усложнение)

Ведущий кладет перед ребенком большую карточку с домиком. В каждом из домиков живет определенная цифра. Ребенку предлагается подумать и сказать, из каких чисел она состоит. Пусть ребенок назовет все варианта. После этого он может показать все варианты состава числа.

Задание «Числовые домики» (состав числа). — Студопедия.Нет

Задание посыльным: «В этих домах живут цифры (карточки с домами и цифры). Разложить цифры в пустом окне дома так, чтобы в сумме они соответствовали номеру дома».

Дети после выполнения задания меняются местами и проверяют правильность выполнения друг друга, рассказывают, из каких двух чисел составлены заданные числа.

За правильное выполненное задания вам буква (Д).

Задание «Решите задачи».

За заданием от каждой компании ко мне подойдет тот, у кого самая длинная кисть руки. Раздаю посыльным конверты (в одном карточка со словом «прилетели» и цифры 9 и 1; в другом – «убежали» и цифры 7 и 2), задание: «Со словами и цифрами из конверта придумать арифметические задачи, выбрать оратора, который расскажет вашу задачу другой компании» (компания компании). Затем решить задачу другой компании, «записать» ее и назвать полный ответ задачи».

Вы заработали еще одну букву (Ц).

Задание«Минутка для шутки».

А теперь встаньтев круг, для вас хитрые задачки.«Кто знает, руку поднимает, когда спросят, отвечает!» (спрашиваю всех детей, кто поднял руку, называю правильный ответ).

1. Два мальчика играли в шашки 4 часа. Сколько времени играл каждый?

2. Катится по столу колесо разноцветное: один угол у него – красный, другой – зеленый, третий – желтый. Когда колесо докатится до края стола, какой цвет мы увидим?

3. Сколько лап у 2 медвежат? (8)

4. У мамы есть кот Пушок, дочка Даша и собачка Шарик. Сколько детей у мамы?

5. От папы пришла телеграмма: «Встречайте, еду автобусом в 5». В каком вагоне летел папа?

6. Четыре яйца варятся 4 минуты. Сколько минут варится одно яйцо?

7. По двору гуляли петух и курица. У петуха две ноги, а у курицы – четыре. Сколько ног вместе?

8. Сколько цыплят вывел петух, если он снес пять яиц?

9. На дереве сидят 4 птицы: 2 воробья, остальные вороны. Сколько ворон? (2)

10. Сколько ушей у 3 мышей? (6)

11. Росли две вербы, на каждой вербе по две ветки, на каждой ветке по две груши. Сколько всего груш?

12. Что легче: 1 кг ваты или 1 кг мёда?

Ребята, вы заработали последнюю букву (Ы!).

Итог:Ребята, вы выполнили все задания, и сейчас я предлагаю вам оценить себя. У меня есть цифры 5 и цифры 4. Подумайте, как вы сегодня позанимались, со всеми ли заданиями справились и поставьте себе оценку, возьмите соответствующую цифру.Лиза, почему ты поставила себе 5? Марк, а почему ты поставил себе 4?

И наши гости тоже возьмут цифры, чтобы оценить вас, как вы сегодня занимались (спросить несколько гостей).

Ребята, вы были настойчивыми, внимательными, сообразительными и поэтому справились со всеми заданиями. А теперь пора узнать, что мы о вас думаем (дети выкладывают из заработанных букв слово «Молодцы!»).

Да, вы молодцы и мы знаем, что вы дружите с математикой, надеемся, что в школе вы будете дружить и с другими предметами и  учиться только на «четыре» и «пять»!

 

Identity (математика) – Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Чтобы узнать о других значениях этого слова, см. Identity.

В математике термин идентичность имеет несколько важных применений:

  • Идентификатор – это равенство, которое остается верным, даже если вы измените все переменные, которые используются в этом равенстве. [1] [2]

Равенство в математическом смысле верно только при более конкретных условиях.{2} \ theta = 1 \,}

, что верно для всех действительных значений θ {\ displaystyle \ theta} (поскольку действительные числа R {\ displaystyle {\ mathbb {R}}} являются областью обоих синус и косинус), в отличие от

cos⁡θ = 1, {\ displaystyle \ cos \ theta = 1, \,}

, что верно только для определенных значений θ {\ displaystyle \ theta} в подмножестве домена.

Идентификационный элемент [изменение | изменить источник]

Понятия «аддитивная идентичность» и «мультипликативная идентичность» являются центральными в аксиомах Пеано.Число 0 – это «аддитивная идентичность» для целых, действительных и комплексных чисел. Для действительных чисел для всех a∈R, {\ displaystyle a \ in {\ mathbb {R}},}

0 + a = a, {\ displaystyle 0 + a = a, \,}
a + 0 = a, {\ displaystyle a + 0 = a, \,} и
0 + 0 = 0. {\ Displaystyle 0 + 0 = 0. \,}

Аналогичным образом, число 1 является «мультипликативным тождеством» для целых, действительных и комплексных чисел. Для действительных чисел для всех a∈R, {\ displaystyle a \ in {\ mathbb {R}},}

1 × a = a, {\ displaystyle 1 \ times a = a, \,}
a × 1 = a, {\ displaystyle a \ times 1 = a, \,} и
1 × 1 = 1.{\ displaystyle 1 \ times 1 = 1. \,}

Функция идентификации [изменение | изменить источник]

Типичным примером функции идентичности является перестановка идентичности, которая отправляет каждый элемент набора {1,2,…, n} {\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}} самому себе.

Эти значения не исключают друг друга; например, тождественная перестановка – это единичный элемент в наборе перестановок {1,2,…, n} {\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}} при композиции.

  1. «Окончательный словарь высшего математического жаргона». Математическое хранилище . 2019-08-01. Проверено 13 августа 2020.
  2. «Идентичность – Открытый справочник по математике». www.mathopenref.com . Проверено 13 августа 2020.
  3. 3,0 3,1 «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 13 августа 2020.
  4. Weisstein, Eric W. Identity Map. mathworld.wolfram.com . Проверено 13 августа 2020.
  • EquationSolver – веб-страница, на которой можно проверить предлагаемую личность и вернуть вердикт “истина / ложь”.

3.4: Состав функций – математика LibreTexts

Предположим, мы хотим подсчитать, сколько стоит отапливать дом в определенный день года. Стоимость отопления дома будет зависеть от средней дневной температуры, а средняя дневная температура, в свою очередь, зависит от конкретного дня в году. Обратите внимание, как мы только что определили два отношения: стоимость зависит от температуры, а температура зависит от дня.

Используя описательные переменные, мы можем записать эти две функции.Функция \ (C (T) \) дает стоимость \ (C \) отопления дома для данной средней дневной температуры в \ (T \) градусах Цельсия. Функция \ (T (d) \) дает среднюю дневную температуру в день d года. Для любого дня \ (Cost = C (T (d)) \) означает, что стоимость зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от дня в году. Таким образом, мы можем оценить функцию стоимости при температуре \ (T (d) \). Например, мы могли бы вычислить \ (T (5) \), чтобы определить среднесуточную температуру на 5-й день года.Затем мы могли бы оценить функцию стоимости при этой температуре. Мы бы написали \ (C (T (5)) \).

Объединив эти два отношения в одну функцию, мы выполнили композицию функций, которой и посвящен этот раздел.

Объединение функций с помощью алгебраических операций

Композиция функций – это только один из способов объединения существующих функций. Другой способ – выполнять обычные алгебраические операции над функциями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.Мы делаем это, выполняя операции с выходами функции, определяя результат как выход нашей новой функции.

Предположим, нам нужно сложить два столбца чисел, которые представляют отдельные годовые доходы мужа и жены за период лет, в результате чего получится их общий семейный доход. Мы хотим делать это для каждого года, добавляя только доходы за этот год, а затем собирая все данные в новом столбце. Если \ (w (y) \) – доход жены, а \ (h (y) \) – доход мужа в году \ (y \), и мы хотим, чтобы \ (T \) представлял общий доход, тогда мы может определить новую функцию.

\ [T (y) = h (y) + w (y) \ nonumber \]

Если это верно для каждого года, то мы можем сосредоточиться на связи между функциями без привязки к году и написать

\ [T = h + w \ nonumber \]

Так же, как для этой суммы двух функций, мы можем определить функции разности, произведения и отношения для любой пары функций, которые имеют одинаковые типы входов (не обязательно числа), а также одинаковые виды выходов (которые должны быть числа, так что обычные операции алгебры могут применяться к ним, и которые также должны иметь те же единицы или не иметь единиц, когда мы складываем и вычитаем). 2 \)

Нет, функции разные.

Создание функции с помощью композиции функций

Выполнение алгебраических операций над функциями объединяет их в новую функцию, но мы также можем создавать функции, составляя функции. Когда мы хотели вычислить затраты на отопление по дням в году, мы создали новую функцию, которая принимает день в качестве входных данных и дает стоимость в качестве выходных данных. Процесс комбинирования функций таким образом, что вывод одной функции становится вводом другой, известен как композиция функций .Результирующая функция известна как составная функция . Представим эту комбинацию следующими обозначениями:

\ [f {\ circ} g (x) = f (g (x)) \]

Мы читаем левую часть как «\ (f \), составленную из \ (g \) в \ (x \)», а правую часть как «\ (f \) из \ (g \) из \ (x \) ». Две части уравнения имеют одинаковый математический смысл и равны. Символ открытого круга \ (\ circ \) называется оператором композиции. Мы используем этот оператор в основном, когда хотим подчеркнуть взаимосвязь между самими функциями, не обращаясь к какому-либо конкретному входному значению.Композиция – это двоичная операция, которая принимает две функции и формирует новую функцию, подобно тому, как сложение или умножение принимает два числа и дает новое число. Однако важно не путать композицию функций с умножением, потому что, как мы узнали выше, в большинстве случаев \ (f (g (x)) {\ neq} f (x) g (x) \).

Также важно понимать порядок операций при оценке составной функции. Мы следуем обычному соглашению с круглыми скобками, начиная сначала с самых внутренних скобок, а затем перейдя к внешним.В приведенном выше уравнении функция \ (g \) сначала принимает вход \ (x \) и выдает выход \ (g (x) \). Тогда функция \ (f \) принимает \ (g (x) \) в качестве входных данных и дает выход \ (f (g (x)) \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Пояснение к составной функции.

В общем, \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) – разные функции. 2 + 2 \ end {align *} \]

Эти выражения не равны для всех значений x, поэтому две функции не равны.Неважно, что выражения совпадают для единственного входного значения \ (x = – \ frac {1} {2} \).

Обратите внимание, что диапазон внутренней функции (первая функция, которая должна быть оценена) должен находиться в пределах области внешней функции. Менее формально композиция должна иметь смысл с точки зрения входов и выходов.

Состав функций

Когда вывод одной функции используется как ввод другой, мы называем всю операцию композицией функций.Для любого ввода \ (x \) и функций \ (f \) и \ (g \) это действие определяет составную функцию , которую мы записываем как \ (f {\ circ} g \), такую, что

\ [(f {\ circ} g) (x) = f (g (x)) \]

Область определения составной функции \ (f {\ circ} g \) – это все \ (x \) такие, что \ (x \) находится в области значений \ (g \) и \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

Важно понимать, что произведение функций \ (fg \) не то же самое, что композиция функций \ (f (g (x)) \), потому что, как правило, \ (f (x) g (x ) {\ neq} f (g (x)) \).

Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, является ли композиция функций коммутативной

Используя предоставленные функции, найдите \ (f (g (x)) \) и \ (g (f (x)) \). Определите, является ли состав функций коммутативным .

\ [f (x) = 2x + 1 \; \; \; \; g (x) = 3 − x \ nonumber \]

Решение

Начнем с замены \ (g (x) \) на \ (f (x) \).

\ [\ begin {align *} f (g (x)) & = 2 (3 − x) +1 \\ [4pt] & = 6−2x + 1 \\ [4pt] & = 7−2x \ end {align *} \]

Теперь мы можем заменить \ (f (x) \) на \ (g (x) \).

\ [\ begin {align *} g (f (x)) & = 3− (2x + 1) \\ [4pt] & = 3−2x − 1 \\ [4pt] & = 2-2x \ end { выровнять *} \]

Мы находим, что \ (g (f (x)) {\ neq} f (g (x)) \), поэтому операция композиции функций не коммутативна.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): интерпретация составных функций

Функция \ (c (s) \) дает количество сожженных калорий при выполнении \ (s \) приседаний, а \ (s (t) \) дает количество приседаний, которые человек может выполнить за \ ( t \) минут. Интерпретируйте \ (c (s (3)) \).

Решение

Внутреннее выражение в композиции – \ (s (3) \). Поскольку входными данными для функции \ (s \) является время, \ (t = 3 \) представляет 3 минуты, а \ (s (3) \) – количество приседаний, выполненных за 3 минуты.

Использование \ (s (3) \) в качестве входных данных для функции \ (c (s) \) дает нам количество калорий, сожженных во время количества приседаний, которые можно выполнить за 3 минуты, или просто количество калорий, сожженных за 3 минуты (делая приседания).

Пример \ (\ PageIndex {4} \): Исследование порядка функциональной композиции

Предположим, что \ (f (x) \) дает мили, которые можно проехать за \ (x \) часов, а \ (g (y) \) дает галлоны бензина, использованные для движения \ (y \) миль.Какое из этих выражений имеет смысл: \ (f (g (y)) \) или \ (g (f (x)) \)?

Решение

Функция \ (y = f (x) \) – это функция, выходом которой является количество пройденных миль, соответствующее количеству пройденных часов.

\ [\ text {количество миль} = f (\ text {количество часов}) \ nonumber \]

Функция \ (g (y) \) – это функция, выходом которой является количество использованных галлонов, соответствующее количеству пройденных миль. Это означает:

\ [\ text {количество галлонов} = g (\ text {количество миль}) \ nonumber \]

Выражение \ (g (y) \) принимает мили в качестве входных данных и количество галлонов в качестве выходных данных.Функция \ (f (x) \) требует ввода количества часов. Пытаться ввести количество галлонов не имеет смысла. Выражение \ (f (g (y)) \) не имеет смысла.

Выражение \ (f (x) \) принимает часы в качестве входных данных и количество пройденных миль в качестве выходных данных. Функция \ (g (y) \) требует ввода количества миль. Использование \ (f (x) \) (пройденные мили) в качестве входного значения для \ (g (y) \), где галлоны бензина зависят от пройденных миль, имеет смысл. Выражение \ (g (f (x)) \) имеет смысл и даст количество использованных галлонов газа, \ (g \), проехав определенное количество миль, \ (f (x) \), в \ (x \) часов.

Вопрос / Ответ

Существуют ли ситуации, когда \ (f (g (y)) \) и \ (g (f (x)) \) оба будут значимыми или полезными выражениями?

Да. Для многих чисто математических функций обе композиции имеют смысл, хотя обычно они создают разные новые функции. В реальных задачах функции, входы и выходы которых имеют одинаковые единицы измерения, также могут давать композиции, которые имеют смысл в любом порядке

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Гравитационная сила на планете на расстоянии \ (r \) от Солнца задается функцией \ (G (r) \).Ускорение планеты, подверженной действию любой силы \ (F \), задается функцией \ (a (F) \). Сформируйте осмысленную композицию этих двух функций и объясните, что это означает.

Ответ

Гравитационная сила по-прежнему является силой, поэтому \ (a (G (r)) \) имеет смысл как ускорение планеты на расстоянии \ (r \) от Солнца (из-за гравитации), но \ (G (a (F)) \) не имеет смысла.

Оценка составных функций

После того, как мы составим новую функцию из двух существующих функций, нам нужно иметь возможность оценивать ее для любого ввода в ее домене.Мы сделаем это с помощью конкретных числовых входных данных для функций, представленных в виде таблиц, графиков и формул, и с переменными в качестве входных данных для функций, выраженных в виде формул. В каждом случае мы оцениваем внутреннюю функцию, используя начальный ввод, а затем используем вывод внутренней функции как ввод для внешней функции.

Оценка составных функций с помощью таблиц

При работе с функциями, заданными в виде таблиц, мы считываем входные и выходные значения из записей таблицы и всегда работаем изнутри наружу.Сначала мы оцениваем внутреннюю функцию, а затем используем вывод внутренней функции в качестве ввода для внешней функции.

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Использование таблицы для вычисления составной функции

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (3)) \) и \ (g (f (3)) \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \)
\ (х \) \ (е (х) \) \ (г (х) \)
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

Решение

Чтобы оценить \ (f (g (3)) \), мы начинаем изнутри с входного значения 3.Затем мы вычисляем внутреннее выражение \ (g (3) \), используя таблицу, которая определяет функцию \ (g: g (3) = 2 \). Затем мы можем использовать этот результат в качестве входных данных для функции \ (f \), поэтому \ (g (3) \) заменяется на 2, и мы получаем \ (f (2) \). Затем, используя таблицу, определяющую функцию \ (f \), находим, что \ (f (2) = 8 \).

\ [г (3) = 2 \ nonumber \]

\ [f (g (3)) = f (2) = 8 \ nonumber \]

Чтобы вычислить \ (g (f (3)) \), мы сначала вычисляем внутреннее выражение \ (f (3) \), используя первую таблицу: \ (f (3) = 3 \).Затем, используя таблицу для \ (g \), мы можем оценить

\ [g (f (3)) = g (3) = 2 \ nonumber \]

Таблица \ (\ PageIndex {2} \) показывает составные функции \ (f {\ circ} g \) и \ (g {\ circ} f \) в виде таблиц.

Таблица \ (\ PageIndex {2} \)
\ (х \) \ (г (х) \) \ (е (г (х)) \) \ (е (х) \) \ (г (ж (х)) \)
3 2 8 3 2

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используя таблицу \ (\ PageIndex {1} \), вычислите \ (f (g (1)) \) и \ (g (f (4)) \).

Ответ

\ (f (g (1)) = f (3) = 3 \) и \ (g (f (4)) = g (1) = 3 \)

Оценка составных функций с помощью графиков

Когда нам задаются отдельные функции в виде графиков, процедура оценки составных функций аналогична процессу, который мы используем для оценки таблиц. Мы считываем входные и выходные значения, но на этот раз по осям x и y графиков.

Как …

Для составной функции и графиков отдельных функций оцените ее, используя информацию, представленную на графиках.

  1. Найдите входные данные внутренней функции на оси x ее графика.
  2. Считайте выходные данные внутренней функции по оси ординат ее графика.
  3. Найдите выходные данные внутренней функции на оси X графика внешней функции.
  4. Считайте выходные данные внешней функции по оси ординат ее графика. Это результат составной функции.

    Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование графика для вычисления составной функции

    Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), оцените \ (f (g (1)) \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): два графика положительной и отрицательной параболы.

    Решение

    Чтобы оценить \ (f (g (1)) \), мы начнем с внутренней оценки. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): два графика положительной параболы \ (g (x) \) и отрицательной параболы \ (f (x) \). Построены следующие точки: \ (g (1) = 3 \) и \ (f (3) = 6 \).

    Мы оцениваем \ (g (1) \), используя график \ (g (x) \), находя вход 1 на оси x и находя выходное значение графика на этом входе.Здесь \ (g (1) = 3 \). Мы используем это значение как вход в функцию \ (f \).

    \ [f (g (1)) = f (3) \ nonumber \]

    Затем мы можем оценить составную функцию, посмотрев на график \ (f (x) \), найдя вход 3 на оси x и прочитав выходное значение графика на этом входе. Здесь \ (f (3) = 6 \), поэтому \ (f (g (1)) = 6 \).

    Анализ

    На рисунке \ (\ PageIndex {5} \) показано, как мы можем пометить графики стрелками, чтобы проследить путь от входного значения к выходному значению.

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): два графика положительной и отрицательной параболы.

    Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

    Используя рисунок \ (\ PageIndex {3} \), вычислите \ (g (f (2)) \).

    Ответ

    \ (g (f (2)) = g (5) = 3 \)

    Оценка составных функций с помощью формул

    При оценке составной функции, в которой мы либо создали, либо получили формулы, правило работы изнутри остается неизменным.2 − t \), мы подставляем значение внутри круглых скобок в формулу везде, где видим входную переменную.

    Как …

    Имея формулу для составной функции, вычислите функцию.

    1. Оцените внутреннюю функцию, используя предоставленное входное значение или переменную.
    2. Использовать полученный результат как вход для внешней функции.

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): оценка композиции функций, выраженных в виде формул, с числовым вводом

      Учитывая \ (f (t) = t ^ 2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), вычислите \ (f (h (1)) \).2 − t \) и \ (h (x) = 3x + 2 \), оценить

      а. \ (h (f (2)) \)
      б. \ (h (f (−2)) \)

      Ответьте на

      8

      Ответ б

      20

      Нахождение области определения составной функции

      Как мы обсуждали ранее, область составной функции , такой как \ (f {\ circ} g \), зависит от области определения \ (g \) и области определения \ (f \). Важно знать, когда мы можем применить составную функцию, а когда нет, то есть знать область определения функции, такой как \ (f {\ circ} g \).Предположим, мы знаем области определения функций \ (f \) и \ (g \) по отдельности. Если мы запишем составную функцию для входа \ (x \) как \ (f (g (x)) \), мы сразу увидим, что \ (x \) должен быть членом области g, чтобы выражение должно иметь смысл, потому что в противном случае мы не сможем завершить оценку внутренней функции. Однако мы также видим, что \ (g (x) \) должен быть членом области \ (f \), в противном случае второе вычисление функции в \ (f (g (x)) \) не может быть завершено, и выражение все еще не определено.Таким образом, область \ (f {\ circ} g \) состоит только из тех входов в области \ (g \), которые производят выходы из \ (g \), принадлежащие области \ (f \). Обратите внимание, что область \ (f \), составленная из \ (g \), – это множество всех \ (x \) таких, что \ (x \) находится в области \ (g \) и g (x) \ ) находится в области \ (f \).

      Определение: область составной функции

      Область сложной функции \ (f (g (x)) \) – это набор тех входов \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \).

      Как …

      Дана композиция функции \ (f (g (x)) \), определите ее область определения.

      1. Найдите домен \ (g \).
      2. Найдите домен \ (f \).
      3. Найдите те входы \ (x \) в области \ (g \), для которых \ (g (x) \) находится в области \ (f \). То есть исключить те входы \ (x \) из области \ (g \), для которых \ (g (x) \) не находится в области \ (f \). Получившееся множество является областью определения \ (f {\ circ} g \).

        Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск домена составной функции

        Найдите домен

        \ [(f∘g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {5} {x − 1} \ text {and} g (x) = \ dfrac {4} {3x − 2 } \ nonumber \]

        Решение

        Область \ (g (x) \) состоит из всех действительных чисел, кроме \ (x = \ frac {2} {3} \), так как это входное значение приведет к делению на 0.Аналогично, область значений \ (f \) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Поэтому нам нужно исключить из области определения \ (g (x) \) то значение \ (x \), для которого \ (g (x ) = 1 \).

        \ [\ begin {align *} \ dfrac {4} {3x-2} & = 1 \\ [4pt] 4 & = 3x-2 \\ [4pt] 6 & = 3x \\ [4pt] x & = 2 \ конец {выравнивание *} \]

        Таким образом, область значений \ (f {\ circ} g \) – это набор всех действительных чисел, кроме \ (\ frac {2} {3} \) и \ (2 \). Это означает, что

        \ [x {\ neq} \ dfrac {2} {3} \ text {или} x \ neq2 \ nonumber \]

        Мы можем записать это в обозначении интервалов как

        \ [\ left (- \ infty, \ dfrac {2} {3} \ right) \ cup \ left (\ dfrac {2} {3}, 2 \ right) \ cup \ left (2, \ infty \ right ) \ nonumber \]

        Пример \ (\ PageIndex {8B} \): поиск области составной функции, включающей радикалы

        Найдите домен

        \ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ sqrt {x + 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {3 − x} \ nonumber \]

        Решение

        Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, область значений \ (g \) равна \ (\ left (- \ infty, 3 \ right] \).Теперь проверим область определения составной функции

        \ [(f {\ circ} g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2} \ nonumber \]

        Для \ ((f∘g) (x) = \ sqrt {\ sqrt {3 − x} +2}, \ sqrt {3 − x} + 2≥0, \), поскольку подкоренное выражение квадратного корня должно быть положительный. Поскольку квадратные корни положительны, \ (\ sqrt {3 − x} ≥0 \) или \ (3 − x≥0, \), что дает область значений \ ((- ∞, 3] \).

        Анализ

        Этот пример показывает, что знание диапазона функций (в частности, внутренней функции) также может быть полезно при поиске области определения составной функции.Это также показывает, что область значений \ (f {\ circ} g \) может содержать значения, не входящие в область значений \ (f \), хотя они должны находиться в области \ (g \).

        Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

        Найдите домен

        \ [(f {\ circ} g) (x) \ text {где} f (x) = \ dfrac {1} {x − 2} \ text {and} g (x) = \ sqrt {x + 4 } \ nonumber \]

        Ответ

        \ ([- 4,0) ∪ (0, ∞) \)

        Разложение составной функции на ее составные функции

        В некоторых случаях необходимо разложить сложную функцию.2} \)

        \ (h (x) = \ dfrac {4} {3 − x} \)

        \ (f = h {\ circ} g \)

        Воспользуйтесь этими онлайн-ресурсами, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в комбинированных функциях.

        ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИИ АРИФМЕТИКИ

        МОЕ ИЗУЧЕНИЕ

        Сейчас я студент первого курса Черкасского национального университета имени Богдана Хмельницкого. Вы знаете, поскольку я не черкасец, живу в студенческом общежитии. По правде говоря, я рад этому, так как люблю быть независимым.В общежитии я делю комнату с двумя другими девушками.

        Один из них из Городище. Ее зовут Хелен. Другая девушка из Новомиргорода, города Кировоградской области. Она украинка. Ее зовут Ирэн. На самом деле они не только мои соседи по комнате, но и мои хорошие друзья. Итак, в Черкасском университете обучаются студенты из разных областей.

        У нас очень красивый и уютный номер. К тому же он очень светлый, так как обращен на запад.Все мы рано встаем. Обычно мы встаем в 7 часов. После обычной утренней зарядки и душа завтракаем. Так как мы не любим опаздывать на занятия, мы стараемся приходить в университет незадолго до 9 часов. Обычно у нас лекции и семинары утром, а иногда и днем. После занятий мы обедаем в студенческой столовой. Это не займет у нас много времени. Затем я обычно гуляю по зданию университета. Мне нравится делать это самому. Это мое представление о хорошем отдыхе.После этого иду в читальный зал и просматриваю журналы и периодические издания. Во вторник и пятницу я также делаю домашнее задание по английскому в читальном зале. Я возвращаюсь в свою комнату в хостеле поздно вечером.

        В выходной, то есть в воскресенье, я обычно езжу в центр Черкасс. Здесь так много всего, что можно увидеть, и так много мест, куда можно пойти. Среди них старые и современные дома, концертный зал, различные музеи, красивые старинные постройки. Есть также прекрасные зеленые парки и стадионы.

        Сегодня воскресенье. Я хочу пойти в театр со своим парнем. Его зовут Игорь. Он милый мальчик, очень милый и умный. Он тоже студент. Он занимается физикой. На самом деле его родители тоже физики. Его отец занимается исследованиями в области атомной физики.

        Надеюсь, сегодня вечером мы получим билеты в театр. Если не получим билеты, можно пойти в кино. Есть несколько новых фильмов.

        Я должен сдать выпускные экзамены в декабре.Наш первый семестр длится с первого сентября по октябрь и ноябрь. В ноябре у нас есть кредитные тесты, и если мы их успешно сдадим, то сможем сдать экзамены. Экзамены обычно заканчиваются к 24 9 декабря. Потом были свободны.

        ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИИ АРИФМЕТИКИ

        Мы не можем прожить ни дня без цифр. Цифры и цифры везде. На этой странице вы видите названия номеров. Это ноль, один, два, три, четыре и так далее.А вот цифры: 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. В системе счисления числа используются для обозначения чисел, а числа сгруппированы особым образом. Числа, используемые в нашей системе счисления, называются цифрами.

        В нашей индийско-арабской системе мы используем только десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 для обозначения любого числа. Мы снова и снова используем одни и те же десять цифр в системе счисления с основанием десять. Эти цифры могут использоваться в различных комбинациях. Таким образом, 1, 2 и 3 используются для записи, 123, 132, 213 и так далее.Одно и то же число могло быть представлено по-разному. Например, возьмите число 3. Его можно представить как 2 + 1, 4 – 1 и так далее.

        Очень простой способ сказать, что каждая из цифр называет одно и то же число, – это написать уравнение – математическое предложение, между которыми стоит знак равенства (=). Например, 3 + 4 = 5 + 2 или 3 1 = 6 – 4. + – это знак плюс. Знак – минус. Мы говорим, что три плюс шесть равно пяти плюс четыре, или три минус 1 равно шести минус четыре.Другой пример уравнения – 3 + 5 = 8. В этом уравнении тройка является добавлением. Пять – это тоже добавление. Восемь – это сумма. Складываем три и пять и получаем восемь.

        Есть четыре основных арифметических действия, о которых вы все знаете. Это сложение , вычитание , умножение и деление . В арифметике операция – это способ думать о двух числах и получать одно число. Как вы помните, в операции сложения два числа, с которыми вы работаете, называются слагаемыми или слагаемыми , а число, которое вы получаете в результате этой операции, составляет , сумма .При вычитании вы снова используете два числа. В уравнении 7-2 = 5 семь – это , уменьшенное значение , а два – это , субстрагендик . В результате этой операции вы получите разницы . Можно сказать, что вычитание – это операция, обратная сложению, поскольку 5 + 2 = 7 и 7-2 = 5.

        То же можно сказать и об умножении , и делении , , которые также являются обратными операциями. В умножении есть число, которое нужно умножить.Это множимое . Также есть множитель . Если умножить множимое на множитель, мы получим , в результате получим произведение . Когда два или более числа умножаются, каждое из них называется , а коэффициент . Например, в выражении 5 x 2 (пять, умноженные на два) 5 и 2 будут множителями. Множаемое и множитель – это названия факторов.

        В операции деления есть число, которое делится и называется делимое ; число, на которое мы делим, называется делителем .В результате операции деления получим частное . В некоторых случаях делитель не входит в делимое целое число раз. Например, если вы разделите 10 на 3, вы получите оставшуюся часть дивиденда. Эта часть называется , остаток – . В нашем случае это 1.

        Так как умножение – это операция, обратная делению, вы можете проверить деление, используя умножение.

        При разделении необходимо помнить два очень важных факта.

        a) Частное равно 0, если дивиденд равен 0, а делитель не равен 0. То есть 0: n для всех значений n , кроме n = 0.

        б) Деление на 0 бессмысленно. Если вы говорите, что не можете делить на 0, это на самом деле означает, что деление на 0 бессмысленно. То есть n : 0 бессмысленно для всех значений n .

        ОСНОВНЫЕ ДВУХ ЧИСЛА

        Во второй половине семнадцатого века великий немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646–1716) проводил исследования простейшей системы счисления.Он разработал систему счисления, в которой используются только символы 1 и 0. Эта система называется двоичной или двоичной системой счисления.

        Лейбниц фактически построил механическую счетную машину, которая до недавнего времени стояла бесполезной в музее в Германии. На самом деле он создал свои счетные машины примерно за три столетия до того, как их сделали современные производители машин.

        Двоичная система счисления, введенная Лейбницем, используется только в некоторых из самых сложных электронных вычислительных машин.Цифра 0 соответствует выключенному состоянию, а цифра 1 соответствует включению электрической цепи компьютера.

        Две цифры в основании обозначают группы единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. Д. Разрядное значение каждой цифры в 1101 в основании ДВА, как показано вышеупомянутыми словами (вкл. Или выкл.), А также степенями 2 в обозначении ДЕСЯТЬ по основанию, как показано ниже.

        Число 1101 в основании ДВА означает, что один, умноженный на два в кубе, плюс один, умноженный на два в квадрате, плюс ноль, умноженный на два, плюс один, умноженный на единицу, равняется (1×8) + (1×4) + (0X2) + (1×1) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.Следовательно, 1101 в базе ДВА = 13.

        два в кубе два в квадрате два в первой степени
        Восьмерки Четверки двое Единицы

        Число с основанием десять можно заменить на число с основанием два путем деления на степени двойки.Из вышесказанного вы знаете, что двоичная система счисления широко используется в высокоскоростных электронных компьютерах. Соответствие между двумя цифрами, используемыми в двоичной системе, и двумя положениями (включено и выключено) механического переключателя, используемого в электронной схеме, объясняет это широкое использование.

        Двоичная система исчисления представляет собой простейшую разрядную, степенно-позиционную систему счисления. В каждой такой системе счисления должны быть символы для чисел 0 и 1. Мы использовали 0 и 1, потому что были хорошо знакомы с ними.

        СОБСТВЕННОСТЬ ЗАКРЫТИЯ

        Если мы сложим два натуральных числа, сумма также будет натуральным числом. Например, 5 – натуральное число, а 3 – натуральное число. 5 + 3 = 8 и только 8.

        Сумма 8 также является натуральным числом. Ниже приведены другие примеры, в которых складываются два натуральных числа, и сумма является другим натуральным числом. 19 + 4 = 23 и только 23; 6 + 6 = 12 и только 12; 1429 + 357 = 1786 и только 1786.На самом деле, если складываются любые два натуральных числа, сумма снова является натуральным числом. Поскольку это верно, мы говорим, что множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения. Это заявление о замыкании, одно из особых свойств сложения.

        Обратите внимание, что мы можем назвать сумму в каждом из приведенных выше уравнений. То есть существует сумма 5 и 3, или, например, существует число, которое является суммой 19 и 4. Фактически существует сумма любых двух чисел. Это называется собственность .Также обратите внимание, что когда добавляются 5 и 3, получается 8, а только 8, а не какое-то другое число. Поскольку существует одна и только одна сумма для 19 + 4, мы говорим, что сумма уникальна. Это называется , свойство уникальности . В определении закрытия подразумеваются как существование, так и уникальность.

        Если a и b являются числами данного набора, то a + b также является числом того же набора. Например, если a и b – любые два натуральных числа, то существует a + b , оно уникально и снова является натуральным числом.

        Если мы используем операцию вычитания вместо операции сложения, мы не сможем сделать то утверждение, которое мы сделали выше. Если одно натуральное число вычитается из другого натурального числа, результат иногда оказывается натуральным числом, а иногда – нет. 11-6 = 5, а 5 – натуральное число. 99 = 0 и 0 не является натуральным числом. Рассмотрим уравнение 4-7 = n. Это невозможно решить, если в качестве ответа нужно использовать натуральное число. Следовательно, множество натуральных чисел не замыкается при вычитании.

        Когда умножаются два натуральных числа, всегда получается натуральное число, которое является произведением двух чисел. Каждая пара натуральных чисел имеет уникальный продукт, который снова является натуральным числом. Таким образом, множество натуральных чисел замкнуто относительно умножения.

        В общем, свойство закрытия может быть определено следующим образом: если x и являются любыми элементами, не обязательно одинаковыми, набора A и * (звездочка) обозначает операцию *, то набор A закрывается при выполнении операции * если (x * y) является элементом множества A.

        Следует отметить, что невозможно найти сумму или произведение всех возможных пар натуральных чисел. Следовательно, мы принимаем свойство замыкания без доказательства, то есть как аксиому.

        ВСЕ НОМЕРА

        Многие математические утверждения связаны не с одним числом, а с набором чисел, которые имеют какое-то общее свойство. Например, такой набор чисел – это набор нечетных чисел 0, 2, 4, 6 или набор четных чисел 1, 3, 5, 7. Какое свойство является общим для всех четных чисел? Какое свойство является общим для всех нечетных чисел?

        Вы должны знать, что результат умножения называется произведением, а числа, которые нужно умножить, – множителями.Когда вы пишете 6X3 = 18, это означает, что вы записываете число 18 как произведение двух целочисленных множителей.

        Другая пара целочисленных множителей будет 9 и 2, так как 9X2 = 18. Сможете ли вы назвать другие множители 18? Поскольку 6X3 = 3X6, позвольте нам назвать 6 и 3 только одной парой множителей 18.

        Когда вы используете 0 в качестве одного из факторов, каким должен быть продукт? То есть какое число равно 0, умноженному на 5? Или 7 умножить на 0 равно какому числу? Ответы на эти вопросы резюмируются в следующем утверждении: Для любого утверждения a , ax0 = 0 = xa .В некоторых случаях, когда нам нужно указать целое число в имени факториала, можно использовать более двух факторов. Мы можем, например, назвать 60 как произведение 3 факторов.

        Поскольку умножение ассоциативно, мы знаем, что (3X4) X5 = 3X4X5 = 3X (4X5). Мы также можем написать 60 = 3X4X5; 60 = 3X5X4 и так далее.

        Поскольку aX1 = a для любого числа a , мы знаем, что 1 является множителем каждого целого числа. Согласимся опустить 1 как фактор при именовании числа в факторизованной форме.

        В каждом из приведенных выше уравнений используется один и тот же набор факторов, а именно 3, 4 и 5. Независимо от порядка, в котором они написаны, 3, 4 и 5 следует рассматривать как один набор из трех факторов из 60. Также 60 можно записать как произведение четырех факторов, как показано в уравнении 60 = 3X2X2X5. В предыдущих упражнениях вы, вероятно, заметили, что некоторые факторы, которые вы использовали, могут быть учтены дальше, а другие – нет.

        В уравнении 18 = 6X3 коэффициент 6, в свою очередь, можно записать как 3X2.Если вы сделаете это, вы получите 18 = 2X3X3. Ни один из этих трех факторов не может быть записан в фактической форме, если вы не используете 1 в качестве фактора. Следовательно, 2X2X3 – это форма, содержащая наименьшие множители 18.

        Вы сможете сделать то же самое с нечетным числом, скажем 105, где 105 = 3X35 = 3X5X7. Вы уже знаете, что каждое целое число имеет 1 и само себя как фактор. То есть 9X1 = 9 и 11X1 = 11. Некоторые такие числа имеют только 1 и сами по себе как фактор. Поскольку его единственные множители – 1 и 5, таким числом является 5.

        Целое число называется простым числом или просто простым, если:

        а) Больше 1.

        б) Его единственные множители – 1 и он сам.

        Любое целое число, кроме 0 и 1, которое не является простым числом, называется составным числом или просто составным числом.

        :

        100 вакансий по прикладной математике – Академические должности

        Спонсируемый Кандидатские должности в области растениеводства

        Международная исследовательская школа Макса Планка «Первичный метаболизм и рост растений» (IMPRS-PMPG) – это докторская программа в области современной науки о растениях в Институте молекулярной физиологии растений им. Макса Планка и Потсдамском университете, недалеко от Берлина, мультикультурной столицы…

        Спонсируемый Прием заявок – 2021-2022 учебный год

        Подайте заявку на получение стипендии для докторантуры, докторантуры или магистратуры! Открыт прием заявок на 2021-2022 учебный год. CIMI LabEx предлагает следующие возможности на следующий учебный год: Стипендии от 4 до 7 докторов наук От 4 до 7 постдокторских должностей Мастер…

        Спонсируемый Магистерские и докторские стипендии 2021 г.

        Стипендии магистров На 2021-2022 год МИНТ также предлагает: 6 грантов на первый магистерский год M1ESR 9 грантов на второй год магистратуры M2RI (см. также предложение Mint PhD и тематически близкие предложения CIMI или ANITI – несколько приложений…

        Спонсируемый Лектор / старший преподаватель / читатель

        Университет Глазго Колледж науки и техники Школа математики и статистики Школа математики и статистики ищет активных кандидатов для присоединения к быстро и существенно растущей группе статистики и анализа данных, а также для дальнейшего развития…

        2 дня спустя | Закрытие 20 января. Постдоки в MathDataLab Brummer & Partners

        Королевский технологический институт KTH в Стокгольме превратился в один из ведущих технических и инженерных университетов Европы, а также в ключевой центр интеллектуальных талантов и инноваций.Мы – крупнейшее в Швеции научно-исследовательское и учебное заведение в области технических наук, в котором …

        3 дня назад | Закрытие 01 марта Аспирант – Департамент информационных технологий

        Дата последней подачи заявки 01.03.2021 00:00 Департамент TW05 – Департамент информационных технологий Контракт Ограниченный срок Степень М.Sc. степень в области электротехники, фотоники или информатики, с большим интересом к математическим и численным методам. Вместимость …

        Техническая математика

        • Тематический каталог
        • Продукты и услуги для обучения .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.