Что такое нечетные числа в математике: Чётные и нечётные числа — урок. Математика, 2 класс.
Нечетное число | это… Что такое Нечетное число?
ТолкованиеПеревод
- Нечетное число
Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. [1]
Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2: …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…
Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2: …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…
Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.
Содержание
- 1 Признак чётности
- 2 Арифметика
- 3 История и культура
- 4 Примечания
Признак чётности
Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.Арифметика
- Сложение и вычитание:
- Чётное ± Чётное = Чётное
- Чётное ± Нечётное = Нечётное
- Нечётное ± Чётное = Нечётное
- Нечётное ± Нечётное = Чётное
- Умножение:
- Чётное × Чётное = Чётное
- Чётное × Нечётное = Чётное
- Нечётное × Нечётное = Нечётное
- Деление:
- Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
- Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
- Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
- Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное
История и культура
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение.
Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.
Примечания
- ↑ «Чётные числа» в БСЭ.
Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.Wikimedia Foundation. 2010.
Игры ⚽ Поможем написать реферат
Синонимы:
нечет
- Нечетная функция
- Нечеткое множество
Полезное
Прирожденные математики. Ученые выяснили, что пчелы могут различать четные и нечетные числа
Наиболее важным аспектом подобных экспериментов является то, что они могут пролить света на волнующий вопрос: открыли ли люди математику или же изобрели.
Related video
В ходе своего нового исследования ученые впервые обнаружили, что пчелы способны различать четные и нечетные числа, даже если они никогда раньше их не видели, пишет IFLS.
Мы экономим время при подсчете количества чего-либо, используя в основном четные числа, но не является ли это уникальной чертой именно людей?
Изучение математических способностей других видов получило широкое распространение в последние десятилетия, но когда доктор Скарлетт Ховард из Университета Дикина поискала литературу, она не смогла найти исследований, изучающих, понимают ли животные концепцию четных и нечетных чисел.
Исследователи разместили карточки с разным количеством фигур рядом с кормушками для пчел
Однако Ховард и ее коллеги решили исправить ситуацию в ходе своего недавнего исследования. Специалисты разместили карточки с разным количеством фигур рядом с кормушками для пчел.
Одну группу пчел обучили ассоциировать числа 2, 4, 6 и 8 со сладкой водой, а 1, 3, 5 и 7 — с хинином, который пчелы ненавидят из-за горького вкуса. Вторую группу насекомых обучили противоположным ассоциациями.
После того, как пчелы продемонстрировали свою способность выбирать соответствующее число, они столкнулись с выбором между кормушками с 11 и 12 числами. Пчелам никогда не показывали карточки ни с тем, ни с другим номером.
Тем не менее, те пчелы, которых учили ассоциировать четные числа с вознаграждением, преимущественно летели к кормушке из 12 фигур, в то время как те, кого учили отдавать предпочтение нечетным числам, выбирали ту, которая отмечена 11 фигурами. Ни одна из групп не справилась с заданиями на все 100%, но показатели успеха около 70% явно статистически значимы.
Ученые отметили, что они не знают, как пчелы это делают. Также неясно, есть ли какая-либо эволюционная польза от этого навыка.
Ни одна из групп не справилась с заданиями на все 100%, но показатели успеха около 70% были явно статистически значимыми
“Мы подумали, что это может быть связано с количеством лепестков.
Четное и нечетное количество лепестков может быть еще одним способом различения пчелами цветов (наряду с цветом и запахом), который помогает им узнать или сообщить товарищам по улью о наиболее богатых источниках пищи. Или же это могут быть первые пчелы, когда-либо использовавшие эту способность, что отражает их способность к быстрому обучению”, — отметила Говард.
Говард также добавила, что она надеется, что эта работа вдохновит других исследователей на тестирование аналогичных способностей еще у позвоночных. Как и предыдущие исследования, показавшие, что пчелы могут понимать ноль как число, наиболее важным аспектом подобных экспериментов является то, что они могут пролить свет на волнующий вопрос: открыли ли люди математику или же изобрели.
Особенно загадочным наблюдением является то, что пчелы, которых учили отдавать предпочтение нечетным числам, учились быстрее, чем те, кого обучили четным числам. Эта склонность к обучению в пользу нечетных чисел противоположна человеческой — люди быстрее классифицируют четные числа.
Способы сложения нечетных чисел
Вы, возможно, видели решение класса 2YP из Мадрасского колледжа задачи, которую они решили рассмотреть после работы над задачей под названием «Очки с шестого июня». Они исследовали количество способов представления целого числа в виде суммы нечетных чисел.
Я хотел бы ввести следующее обозначение: пусть $P_x(n)$ будет числом способов, которыми $n$ может быть выражено как сумма $x$ нечетных чисел, где мы учитываем только каждый набор $x$ числа один раз, то есть мы игнорируем порядок, в котором числа встречаются.
Начнем с того, что класс 2YP обнаружил, что $P_2(n) = n/4$, когда $n$ делится на 4, и $P_2(n) = (n+2)/4$, когда $n$ — четное число. число, не кратное 4. Если четное число $n$ равно $2k$, то количество нечетных чисел меньше $n$ равно $k$. Для каждого из $k$ нечетных чисел найдется другое такое, что сумма этих двух чисел равна $n$, и два случая происходят в зависимости от того, является ли $k$ четным или нечетным. Это
вероятно, будет гораздо труднее убедительно показать, что их результат относительно 3 нечетных чисел верен.
Если вы хотите решить проблему по-другому, вам может быть интересно запрограммировать компьютер, чтобы найти количество решений для вас. Для этого вам нужно подумать о том, как ограничить поиск. Прежде всего, вам следует начать с приема, который часто бывает полезен, если вы пытаетесь найти определенное количество решений и порядок не имеет значения, то есть пометить их $a,b,c$ и определить их так, что $a\leq b\leq c$. В этой задаче $a+b+c=n$. Таким образом, ни одно из решений не повторяется, имея одинаковые числа в другом порядке.
Теперь, когда мы это сделали, мы также можем сказать, что $c$ — это по крайней мере наименьшее нечетное целое число, большее или равное $n/3$ (где n — требуемая сумма). Это становится очевидным, если учесть, что $c$ определяется как наибольшее из $a,b,c$ и что в сумме они должны равняться $n$. Ясно, что $c$ также не больше, чем $n-2$. Это ограничивает диапазон значений $c$ интервалом $n/3 \leq c \leq n-2$.
Как только мы определились с диапазоном возможностей для $c$, возможности для $a$ также можно ограничить.
Наименьшее возможное значение $a$ равно $a= n-2c$ (что происходит, когда $n-2c> 0$ и $b=c$), а наибольшее — $a=(n-c)/2$ (что происходит когда $a=b$).
Теперь осталось только подсчитать количество возможных значений $a$ для каждого возможного значения $c$. Это и будет число решений задачи, поскольку для каждой пары $\{a,c\}$ существует ровно одно множество $\{a,b,c\}$ такое, что $a+b+c=n. $ Этот алгоритм может быть интересен любителям компьютеров среди вас, которые могут быть заинтересованы в расширении задачи путем написания программы.
Если вы попытаетесь просто подсчитать решения таким образом, когда $n$ — это большое число, например 1999, вы продержитесь там долгое время. Для тех из вас, кто, возможно, пожелает изучить его с чисто математической точки зрения, вы можете попытаться доказать некоторые результаты, полученные классом 2YP.
Если вы хотите исследовать это под другим углом, посмотрите на следующую таблицу:
| t | сум | №. |
|---|---|---|
| 3 | 1+1+1 | 1 |
| 4 | 2+1+1 | 1 |
| 5 | 3+1+1, 2+2+1 | 2 |
| 6 | 4+1+1,3+2+1, 2+2+2 | 3 |
| 7 | 5+1+1, 4+2+1, 3+2+2, 3+3+1 | 4 |
\begin{eqnarray} t & \mbox{sums} & \mbox{no. путей} \\ 3 & 1+1+1 &1 \\ 4 & 2+1+1 &1 \\ 5 & 3+1+1, 2+2+1 &2 \\ 6 & 4+1+1, 3 +2+1, 2+2+2 &3 \\ 7 & \quad\quad5+1+1, 4+2+1, 3+2+2, 3+3+1\четверка\четверка &4 \\ \end {eqnarray}
В приведенной выше таблице показано количество способов сложения любых 3 чисел для получения необходимой суммы $t$. Если вы думаете, что фигура, сформировавшаяся выше, выглядит подозрительно похожей на ту, которую мы видели ранее только для нечетных чисел, вы будете правы, что я и собираюсь продемонстрировать.
Уравнение $a + b + c = n$ (при нечетных $a,b,c,n$) имеет столько же решений, сколько и это уравнение: $$(a+1) + (b+1) + (c +1) = (n+3).
$$ Каждая из величин в квадратных скобках четна, поэтому деление на коэффициент 2 дает $$x + y + z = t $$, где $x,y,z$ — любые целые числа, а $t$ — любое целое число больше 2. Возможно, вам будет проще работать с этой версией задачи при попытке доказать класс
Формула 2YP. Я не думаю, что было легко найти надежное доказательство с любым из них, поэтому мне было бы интересно услышать от вас, если кто-то добьется какого-либо прогресса.
Еще один очевидный способ расширить задачу — попытаться рассмотреть количество способов выражения числа как сумму четырех нечетных чисел, пяти или более… Но предупреждаю, это становится сложнее!
Знать определение, список, свойства, нечетные простые числа
Нечетные числа противоположны четным числам. Определение четных и нечетных чисел является важным навыком для молодежи, чтобы лучше понять нашу систему счисления и подготовиться к операциям с целыми числами. Это также поможет детям в изучении деления, простых чисел и квадратных корней.
В этой статье мы изучим, что такое нечетное число, определение нечетного числа, список нечетных чисел, нечетные числа от 1 до 100, нечетные и четные числа, сумму нечетных чисел, сумму первых n нечетных чисел, все ли простые числа нечетные, что нечетное простое число, Свойства нечетного числа, Решенные примеры с нечетными числами и часто задаваемые вопросы
Нечетные числа
Числа, которые нельзя разделить на пары поровну, называются нечетными. Когда вы делите нечетные целые числа на два, вы получаете остаток от единицы. Вместо единиц в нечетных числах стоят цифры 1, 3, 5, 7 или 9. Нечетные числа — это целые числа, которые при делении на два всегда оставляют остаток. Это целые числа типа n = 2k + 1, где k — натуральное число. К нечетным числам относятся такие числа, как 51, 733, 55, 97 и так далее.
Определение нечетных чисел
Нечетные числа являются частью системы счисления. Понимание нечетных чисел является базовой математикой и важной темой алгебры. Нечетные числа определяются как числа, которые не делятся точно на два.
Или, другими словами, нечетное число — это число, которое не является четным и не делится на два.
Например, 13 не делится точно на два, так как при делении на два остается единица. В результате 13 — необычное число.
Нечетные числа не являются двузначными кратными.
Например, умножение 2 на любое другое число не даст 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,……, 51, 53,…… и так далее. Это нечетное число. Таким образом, нечетные числа оканчиваются на 1, 3, 5, 7 и 9.
Список нечетных чисел
Мы можем легко идентифицировать нечетные числа от 1 до 10, от 1 до 20, от 1 до 50 и от 1 до 100. Знание нечетных чисел между этими диапазонами поможет вам решить многие математические задачи. Вы можете легко решать такие задачи, как GCD, LCM, факторизация и т. д.
Список нечетных чисел от 1 до 10
Пять нечетных чисел от 1 до 10. Список четных чисел от 1 до 10: 1, 3, 5, 7 и 9.
Список нечетных номеров от 1 до 20
Список нечетных.
числа от 1 до 20: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, and 19.| Odd Numbers from 1-20 | |
| 1 | 11 |
| 3 | 13 |
| 5 | 15 |
| 7 | 17 |
| 19 | |
Список нечетных чисел между 1-50102 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47 и 49.
| Нечетные числа from 1-50 | ||||
| 1 | 11 | 21 | 31 | 41 |
| 3 | 13 | 23 | 33 | 43 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| 7 | 17 | 27 | 37 | 47 |
| 19 | 29 | 39 | 49 | |
Список нечетных от 1 до 100
.
до 100: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97 и 99.
| Odd Numbers from 1-100 | ||||
| 1 | 21 | 41 | 61 | 81 |
| 3 | 23 | 43 | 63 | 83 |
| 5 | 25 | 45 | 65 | 85 |
| 7 | 27 | 47 | 67 | 87 |
| 9 | 29 | 49 | 69 | 89 |
| 11 | 31 | 51 | 71 | 91 |
| 13 | 33 | 53 | 73 | 93 |
| 15 | 35 | 55 | 75 | 95 |
| 17 | 37 | 57 | 77 | 97 |
| 19 | 39 | 59 | 79 | 99 |
Properties of Odd Numbers
Некоторые из важных свойств нечетных чисел приведены ниже:
- Свойство сложения двух нечетных чисел гласит, что когда мы складываем два нечетных числа, результатом всегда является четное число. Например: 7 + 3 = 10
- Свойство вычитания двух нечетных чисел гласит, что при вычитании двух нечетных чисел результатом всегда будет четное число. Например: 7 – 3 = 4
- Свойство сложения одного нечетного и одного четного числа гласит, что когда мы складываем четное число и нечетное число, результат всегда будет нечетным. Например: 9 + 4 = 13
- Свойство вычитания одного нечетного и одного четного числа гласит, что w когда мы вычитаем четное число и нечетное число, результат всегда будет нечетным. Например: 9 – 4 = 5
- Свойство сложения двух четных чисел гласит, что при сложении двух четных чисел результатом всегда будет четное число. Например: 10 + 4 = 14
- Свойство вычитания двух четных чисел гласит, что при вычитании двух четных чисел результатом всегда будет четное число. Например: 10 – 4 = 6
- Свойство умножения двух нечетных чисел гласит, что при умножении двух нечетных чисел результатом всегда будет нечетное число. Например: 7 × 5 = 35
- Свойство умножения одного нечетного и одного четного числа гласит, что при умножении четного числа на нечетное число всегда получается четное число. Например: 7 × 6 = 42
- Свойство умножения двух четных чисел гласит, что при умножении двух четных чисел всегда получается четное число. Например: 10 × 4 = 40
Например: 7 + 3 = 10
Например: 7 × 5 = 35Разница между нечетными и четными числами
Разница между нечетным числом и четным числом составляет следующее:
| нечетные числа | Даже числа нечетные номера | . |
| Целое число, которое нельзя разделить на 2, является нечетным числом | Целое число, которое можно разделить на 2, является четным числом. | |
| При делении на нечетное число остается напоминание 1 | При делении на четное число остается напоминание 0 | |
Все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7 и 9, являются нечетными. | Все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, являются четными. | |
| Нечетные числа не могут быть сгруппированы в пары. | Четные числа можно объединять в пары. | |
| Если последняя цифра заданного числа нечетная, число нечетное. | Если последняя цифра заданного числа четная, то и число четное. |
Решенные примеры с нечетными числами
Теперь давайте посмотрим на некоторые решенные примеры с нечетными числами, которые часто задают на многих экзаменах.
Решено Пример: Как проверить, является ли число четным или нечетным?
Решение:
Есть два способа определить, является число четным или нечетным. Они следующие:
1. В месте нахождения единицы проверьте цифру числа:
Чтобы определить, является ли число нечетным или четным, мы должны проверить его на позиции «единицы» или «единицы» или последнюю цифру числа.
число.
Нечетные числа — это те, которые заканчиваются цифрами 1,3,5,7 и 9.
7,11,283,5735,9859 и так далее.
Данное число является нечетным, поскольку число 2835 оканчивается цифрой 5 (нечетное число).
Кроме того, четными считаются числа, оканчивающиеся цифрами 0, 2, 4, 6 и 8.
Данное число является четным, так как число 2838 оканчивается цифрой 8 (четное число)
2. По группировке:
Всего на этом рисунке 11 точек. Все точки не связаны. На картинке не хватает одной точки.
Нечетные числа — это числа, которые нельзя поставить вместе парами.
Нечетные числа — это любые числа, которые не делятся точно на два.
Теперь 12 точек. Поскольку все точки парные и не осталось ни одной непарной точки, мы можем сделать вывод, что 12 — четное число.
Мы можем сделать вывод, что четные числа — это все те, которые можно разделить на пары.
Решено Пример: Найдите четыре последовательных нечетных числа, сумма которых равна 152.
Решение:
Если мы начнем с нечетного числа и каждое число в последовательности на 2 больше предыдущего, то мы получат последовательные нечетные целые числа. Пусть первое нечетное число равно n. Следующие три последовательных нечетных числа: (n + 2), (n + 4) и (n + 6) 9.0004
Следовательно,
n + (n + 2) + (n + 4) + (n + 6) = 152
n + n + 2 + n + 4 + n + 6 = 152
4n + 12 = 152
4n = 140
n = 35.
Остальные числа
(n + 2) = 35 + 2 = 37
(n + 4) = 35 + 4 = 39
4 и (9 n + 6) = 35 + 6 = 41
Следовательно, последовательные нечетные числа равны 35, 37, 39 и 41.
Решено Пример: Длины сторон треугольника являются последовательными нечетными числами. Какова длина наибольшей стороны, если периметр равен 45?
Решение: Будучи последовательным нечетным числом, нам нужно добавить 2 к предыдущему числу. Пусть первое нечетное число будет х.
Следующие два последовательных нечетных числа равны (x + 2) и (x + 4).
Периметр треугольника = сумма трех сторон
45 = x + x + 2 + x + 4
45 = 3x + 6
3x = 45 – 6
3x = 39
x = 13
Длина самого длинного = 13 + 4 = 17
Надеюсь, что эта статья о нечетных числах была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Часто задаваемые вопросы о нечетных числах
В.1 Как вы решаете нечетные числа?
Ответ 1 Чтобы определить, является ли число нечетным или четным, мы должны проверить его на позиции «единицы» или «единицы» или последнюю цифру числа. Нечетные числа — это числа, оканчивающиеся на цифры 1,3,5,7 и 9.. 7,11,283,5735,9859 и так далее. Предоставленное число является нечетным, так как число 2835 заканчивается цифрой 5 (нечетное число). Кроме того, четные числа — это те, которые заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6 и 8.
Предоставленное число является четным числом, поскольку число 2838 заканчивается цифрой 8 (четное число).
Q.2 Что такое нечетные числа с примерами?
Ответ 2 Нечетные числа определяются как числа, которые не делятся точно на два. Или, другими словами, нечетное число — это число, которое не является четным и не делится на два. Например, 13 точно не делится на два, так как при делении на два остается один. В результате 13 — необычное число. Нечетные числа не являются двузначными кратными. Например, умножение 2 на любое другое число не даст 1, 3, 5, 7, 9., 11, 13,
Q.3 Что такое нечетное число, приведите 10 примеров?
Ответ 3 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и 19. Числа, которые нельзя разделить на пары поровну, называются нечетными. Когда вы делите нечетные целые числа на два, вы получаете остаток от единицы. Вместо единиц в нечетных числах стоят цифры 1, 3, 5, 7 или 9. Нечетные числа — это целые числа, которые при делении на два всегда оставляют остаток.
Это целые числа типа n = 2k + 1, где k — натуральное число. Нечетное число включает такие числа, как 51, 733, 55, 9.7 и так далее.
В.4 Все ли простые числа нечетные?
Ответ 4 Простые числа — это положительное целое число, которое не делится без остатка ни на одно целое число, кроме самого себя и 1. Простое число нельзя разделить ни на какое другое число без остатка. За исключением числа 2, все простые числа нечетные, так как четное число делится на 2, что делает его составным. Следовательно, расстояние между любыми двумя простыми числами в строке не меньше 2,9.0004
Q.5 Четное или нечетное число?
Ответ 5 Все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8, являются четными числами. Например, такие числа, как 14, 26, 32, 40 и 88, являются четными числами. Если мы разделим число на две группы с равным количеством элементов в каждой, то число будет четным числом. В начальной школе детей учат понятию четного числа, чтобы различать четное и нечетное число.