Числовые задачи – Задачки с числами
Задачки с числами
Загаданные учителем числа были 2 и 9. Ниже приведена вся логическая цепочка рассуждений. (Примечание: Если приведённое ниже решение кажется Вам не совсем понятным, то чуть ниже Вы найдёте более детальный анализ логоритма решения задачи на примере двух числовых комбинаций.)Итак, необходимо определить два натуральных числа больше 1(единицы). Первый студент знает их произведение, а второму известна их сумма. Нам известно, что сумма задуманных чисел меньше 14 , поэтому рассмотрим следующие варианты:
2 2 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 3 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 4 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 5 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 6
2 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
2 8
2 10
2 11 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 3 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 4
3 5 – – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 6
3 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 8 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14 (например, 2+12).
3 9 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
3 10 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 4
4 5
4 6 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 7 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 8 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
4 9 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
5 5 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
5 6 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
5 7 – НЕТ – иначе первый студент тоже знал бы их сумму…
6 6 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
6 7 – НЕТ – произведение этих чисел не дает таких вариантов, чтобы все другие возможные множетели, дающее то же произведение, в сумме были меньше 14.
Итак, остаются следующие вероятные комбинации, которые рассмотрим более подробно:
2 6 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат (8), чтобы перемножив эти слагаемые (например, 4х4), Вы получили бы произведение (16), другие возможные множители которого в сумме дают больше 14 (например, 2+8= 10).
2 8
2 9
2 10
3 4 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
3 6 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
4 4 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
4 5 – НЕТ – для суммы этих двух чисел невозможно подобрать другие слагаемые, дающие тот же результат, чтобы перемножив эти слагаемые, Вы получили бы произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14.
Остаются только три вероятные комбинации:
2 8 – произведение =16, сумма =10
2 9 – произведение=18, сумма=11
2 10 – произведение=20, сумма=12
Отбросим суммы, которые образуются путем сложения уникальных комбинаций чисел – если известно такое произведение чисел, при котором сумма очевидна (мы могли бы и гораздо раньше оговорить этот момент, но тогда потерялась бы вся прелесть головоломки) – потому что второй студент знал, что известная ему сумма точно не из этой комбинации чисел. Таким образом, сумма не может быть равна 10 (из-за 7 и 3, при которых произведение 21 явно выдаст эти числа). Второй студент знает, что первому студенту сумма неизвестна, но если бы сумма была бы равна 10, то первый студент знал бы сумму, если бы комбинация чисел была 7 и 3. Аналогичным способом отбрасываем сумму 12 (из-за 5 и 7, при умножении выдающие себя в уникальном произведении 35).
И остается только один вариант – числа 2 и 9. Задача решена.
Если приведённое выше решение кажется Вам не совсем понятным, то сейчас мы разберм более детально основной логоритм решения задачи на примере двух числовых комбинаций.
Возьмём числа 6 и 2 и посмотрим, сработает ли такая комбинация.
Первому студент известно произведение, а второму известна сумма этих чисел.
Значит, первому известно произведение 12, а второму – сумма 8.
Первый: «Я не знаю сумму.»
Известное мне произведение равно 12, а получить такое произведение можно так: либо 6х2, либо 3х4. Значит, второму известна сумма, равная либо 8, либо 7.
Второй: «Я знал, что ты не знаешь. Сумма меньше 14.»
Известная мне сумма равна 8, а получить такую сумму можно, сложив 6+2, 5+3 или 4+4. Первый вариант слагаемых даст произведение 12, второй – 15, третий – 16.
Произведение, равное 15 можно сразу вычеркнуть (то есть вариант с числами 5 и 3 отбросить), потому что 15-число уникальное – его можно получить исключительно через натуральные числа 5 и 3, так что будь это именно такая комбинация чисел, студенту были бы известны и произведение, и сумма с самого начала.
Рассмотрим произведение 16. Его можно получить, если множители – либо 4х4, либо 8х2. В этом случае фраза, что сумма этих множителей представляла бы собой число <14, другому студенту никак не поможет (4+4 и 8+2 <14).
Рассмотрим произведение 12. В этом случае студент будет рассчитывать на то, что возможные комбинации чисел – это 4х3 или 6х2. Но и в этом случае фраза, что сумма этих множителей представляла бы собой число <14, другому студенту никак не поможет (4+3 и 6+2 <14).
Следовательно, невозможно подобрать такую комбинацию чисел, составляющих в сумме число 8, где другие слагаемые, дающие ту же сумму, если их перемножить, дадут произведение, другие возможные множители которого в сумме дают больше 14. Например, если это 4 и 4, то нет такой суммы из возможных других множетелей произведения 4х4, которые в сумме дали бы число больше 14 (2+8=10).
Первый: «Теперь я знаю эти числа.»
Я не знал, то ли это 6х2, то ли это 3х4, а второй студент говорит мне, что сумма меньше 14. Но это абсолютно очевидно, что он подумал, что из суммы, равной 8 или 7, можно найти такой вариант слагаемых, произведение которых послужит суммой, которая должна быть больше 14.
Но мне его слова абсолютно не помогли, потому что 6+2 и 3+4 в любом случае меньше 14. Таким образом, комбинация чисел 6 и 2 неверна.
Теперь возьмём числа 9 и 2 и посмотрим, подходит ли такая комбинация.
Первому студент известно произведение, а второму известна сумма этих чисел.
Значит, первому известно произведение 18, а второму – сумма 11.
Первый: «Я не знаю сумму.»
Известное мне произведение равно 18, а получить такое произведение можно так: 9х2 или 6х3. Значит, второму известна сумма, равная либо 11, либо 9.
Второй: «Я знал, что ты не знаешь. Сумма меньше 14.»
Известная мне сумма равна 11, а получить такую сумму можно, сложив 9+2, 8+3, 7+4 или 6+5. Первый вариант слагаемых даст произведение 18, второй – 24, третий – 28, четвёртый – 30.
Если первому студенту известно произведение, равное 18, то он будет рассматривать варианты комбинаций: 9х2 и 6х3, поэтому если я скажу ему, что сумма должна быть меньше 14, это подскажет ему, что у меня есть и другая вероятность, при которой сумма будет больше либо равна 14. Так оно и есть (см три следующих абзаца): 12+2, 14+2 и 15+2.
Если первому студенту известно произведение, равное 24, то он будет рассматривать варианты комбинаций 6х4, 8х3 и 12х2, но 12+2 – это уже 14, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 24, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Если первому студенту известно произведение, равное 28, то он будет рассматривать варианты комбинаций 7х4 или 14х2, но 14+2=16, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 28, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Если первому студенту известно произведение, равное 30, то он будет рассмтривать варианты комбинаций 5х6, 10х3 и 15х2, но 15+2=17, так что если произведение, известное первому студенту, было бы 30, то он не мог бы быть абсолютно уверен, что сумма будет меньше 14.
Первый: «Теперь я знаю эти числа.»
Я не знал, то ли это 9х2, то ли это 6х3, а второй студент говорит мне, что сумма меньше 14. Должно быть, у него были варианты с суммой ≥14, но это невозможно для суммы 9, полученной с помощью комбинации из 6 и 3. Следовательно, известная ему сумма равна 11, и получена она путем сложения 9 и 2.
brainden.com
Головоломки с числами | Умные дети
Кому-то может показаться, что возиться с числами — скучно. Для кого-то это, может быть, и так, но не для людей с техническим складом ума, которых — даже среди женщин — не так уже и мало. Тем более, что головоломки из этого раздела нашего сайта — это не (действительно скучные) рутинные задачи на знание таблицы умножения или умение пользоваться калькулятором. В каждой из этих головоломок есть своя изюминка: секрет, подвох, нестандартный подход.
Почти все числовые головоломки из этого раздела можно отнести к одной из следующих категорий:
- Выразить цифрами
- Целый пласт головоломок, объединённых общей идеей: имея на руках заданный набор цифр, выразить с их помощью определённое число. Эти задачи развивают навыки устного счёта и некую «арифметическую интуицию». Для их решения надо чётко понимать арифметические операции, в том числе — в некоторых головоломках — операцию возведения в степень.
- Числовые ребусы
- Очень интересная категория головоломок, каждая из которых представляет собой зашифрованный арифметический пример (то есть пример умножения или деления двух чисел, в котором некоторые цифры заменены буквами или звёздочками). Числовые ребусы хорошо тренируют логическое мышление, поскольку они решаются не интуитивно «на глаз», а путём построения (иногда достаточно сложной и разветвлённой) цепочки рассуждений.
- Расстановки чисел
- Смысл этих головоломок заключается в том, чтобы расставить заданный набор чисел в узлах определённой геометрической фигуры (квадрата, треугольника и т.п.) так, чтобы при этом выполнялись некие регулярные арифметические свойства (скажем, сумма чисел на каждой стороне треугольника была одинакова). Многие из них по праву заслуживают название «головоломка», поскольку решаются они трудно, долго, с перебором большого числа вариантов и хорошим терпением.
Головоломки с числами нужно предлагать ребёнку только после того, как он хорошо освоит арифметические операции. Как обычно, головоломки этого раздела упорядочены по возрастанию сложности. Возможно, самые последние из них окажутся не под силу не только вашему ребёнку, но и вам самим. Не расстраивайтесь — они действительно сложные.
smart-kids.su
Немного целых чисел: задачи
Предлагаю вашему вниманию несложные задачи на целые числа. Справиться с такими задачами смог бы сообразительный семиклассник, которым я иногда подкидываю “на подумать” подобные задачи. Здесь нужно иметь немного сообразительности, немного знаний из комбинаторики, немного внимательности.
Задача 1. Чему равно количество натуральных делителей числа ?
Заметим, что все числа произведения – простые. То есть у самих чисел, входящих в произведение, нет других делителей, кроме 1 и самого этого числа. Это уменьшает количество возможных вариантов существенно. Возможные делители будут либо числами, входящими в произведение, либо их степенями, либо произведениями комбинаций таких чисел. Составим таблицу вариантов:
Задача 1
Итак, получили 23 возможных делителя. И не забудем про 1!
Ответ: 24.
Задача 2. Чему равно количество натуральных чисел, имеющих сумму цифр 115, а произведение цифр – 6?
Сразу понятно, что нули в состав такого числа войти не могут. Произведение 6 дают либо , либо .
Тогда во втором случае имеем одну 6 и единиц – а всего 110 цифр. Поскольку 6 может занять любое из 110 мест, то получаем 110 вариантов.
Если рассмотреть первый вариант, то в состав числа войдут 3, 2и единиц. Тогда пусть 3 займет любое из 112 мест, и двойке останется 111 вариантов: варианта.
Всего имеем числа, удовлетворяющих условию.
Ответ: 12542.
Задача 3. Чему равно количество таких натуральных чисел , что остаток от деления 355 на равен 12?
Вычтем из 355 и посмотрим, какое же число таки разделилось на :
. Число 343 делится на 7, на 49, на 343 и на 1. Так как остаток всегда меньше делителя, то 1 и 7 отпадают. Ответ: 49 и 343, всего 2 числа.
Ответ: 2.
Задача 4. Вычислите все возможные значения выражения , если величина является решением уравнения ?
Так как , то имеем следующее:
Определить сумму арифметической прогрессии, стоящей в числителе, ничего не стоит:
Подождем перемножать – может быть, впоследствии удастся сократить дробь?
В знаменателе имеем ряд из квадратов натуральных чисел. Сумма такого ряда может быть выведена, если вспомнить, что любой квадрат натурального числа может быть представлен суммой всех нечетных чисел, количество которых равно :
Не вникая в тонкости, приведу готовую формулу такого ряда:
Расчет в нашем случае дает для суммы такого ряда:
Окончательно для искомого числа имеем:
Ответ: .
Задача 5. Чему равны числа, оканчивающиеся цифрами 38, такие, что после вычеркивания этих цифр исходное число уменьшается в целое число раз?
Сразу напрашивается 138 и 238 – при вычеркивании цифр 3 и 8 исходное число уменьшится в 138 и в 119 раз соответственно. Также просится число 3838 – при вычеркивании уменьшится в 101 раз. Также 38 делится на 19 – поэтому попробуем 1938 – это число уменьшится в 102 раза. На этом варианты исчерпаны)).
Ответ: 138, 238, 1938, 3838.
easy-physic.ru
§ 2. Понятие арифметической задачи. Её структура
Под арифметической задачей будем понимать один из видов заданий, в котором есть словие, требование, но нет указания на то арифметическое действие, которое нужно осуществить над данными в условии числами, чтобы выполнить требование.
Условие арифметической задачи включает: множества и их численности, либо величины и их значения, либо «отвлеченные числа»; связи между данными и искомым, либо между данными, на основе которых выбираются арифметические действия.
В требовании указывается на искомое. Требование может быть сформулировано в вопросительной или повествовательной форме.
Структура арифметической задачи может быть различной.
1. Стандартная структура задачи: сначала условие, потом требование.
Например: «С аэродрома сначала улетело 6 самолетов, а затем 4 самолета. Сколько всего самолетов улетело?»
2. Нестандартная структура задачи:
а) Сначала требование, потом условие (Сколько всего самолетов улетело с аэродрома, если сначала улетело 6 самолетов, а потом 4 самолета?).
б) Условие разъединено требованием (С аэродрома улетело сначала 6 самолетов. Сколько всего самолетов улетело, если потом улетело 4 самолета?).
В традиционных школьных учебниках большинство арифметических задач (примерно 90%) имеют стандартную структуру текста. Такими же, как правило, являются задачи, составляемые учителями и представленные в различных дидактических материалах. Результатом такого подбора задач в практике работы массовой школы является следующий факт: в конце учебного года при работе с простой арифметической задачей со стандартной структурой текста правильно выделили условие и требование 96,6% первоклассников, участвующих в эксперименте, с нестандартной структурой текста – 61% (а), 58% (б).
Значительная часть детей, не выделивших правильно составные части задачи, не смогли решить арифметическую задачу.
§ 3. О классификации арифметических задач, решаемых в начальных классах
В зависимости от числа арифметических действий, выполняемых при решении задачи, все арифметические задачи делятся на две группы: простые арифметические задачи и составные арифметические задачи.
К простым арифметическим задачам относятся задачи, для решения которых арифметическое действие нужно выполнить только один раз. Все остальные задачи относятся к составным арифметическим задачам.
Существуют классификации простых арифметических задач по различным основаниям. Например, по виду арифметического действия, которым решается задача. Выделяются в соответствии с этим простые арифметические задачи на сложение, вычитание, умножение, деление. Однако в методическом отношении наиболее удобной является классификация, имеющая своим основанием математические положения, лежащие в основе выбора арифметического действия (их называют теоретической основой выбора арифметического действия). Классификация предложена М.А. Бантовой [1].
Она выделяет три группы задач.
I группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является его конкретный смысл. К этой группе относятся следующие виды задач:
1) на нахождение суммы,
2) на нахождение остатка,
3) на нахождение произведения,
4) на деление по содержанию,
5) на деление на равные части.
До того времени, пока задачи не решаются с помощью составления уравнения, в эту группу входят также задачи на нахождение неизвестных слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, делимого, делителя, множителя, т.е. обратные задачам 1-5.
II группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых являются связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это задачи, являющиеся обратными по отношению к задачам 1-5 первой группы, когда они решаются с помощью составления уравнения.
III группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является связь отношений «больше», «меньше» с соответствующими арифметическими действиями: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая и косвенная формы), на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз (прямая и косвенная формы), на разностное и кратное сравнение (по два вида).
Все составные задачи, решаемые в начальных классах, делятся на две группы:
I группа – составные нетиповые задачи,
II группа – составные типовые задачи.
Ко второй группе относятся задачи, связанные с пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на движение.
Все остальные составные арифметические задачи, решаемые в начальных классах, относятся к составным нетиповым задачам.
studfiles.net
§ 2. Понятие арифметической задачи. Её структура
Под арифметической задачей будем понимать один из видов заданий, в котором есть словие, требование, но нет указания на то арифметическое действие, которое нужно осуществить над данными в условии числами, чтобы выполнить требование.
Условие арифметической задачи включает: множества и их численности, либо величины и их значения, либо «отвлеченные числа»; связи между данными и искомым, либо между данными, на основе которых выбираются арифметические действия.
В требовании указывается на искомое. Требование может быть сформулировано в вопросительной или повествовательной форме.
Структура арифметической задачи может быть различной.
1. Стандартная структура задачи: сначала условие, потом требование.
Например: «С аэродрома сначала улетело 6 самолетов, а затем 4 самолета. Сколько всего самолетов улетело?»
2. Нестандартная структура задачи:
а) Сначала требование, потом условие (Сколько всего самолетов улетело с аэродрома, если сначала улетело 6 самолетов, а потом 4 самолета?).
б) Условие разъединено требованием (С аэродрома улетело сначала 6 самолетов. Сколько всего самолетов улетело, если потом улетело 4 самолета?).
В традиционных школьных учебниках большинство арифметических задач (примерно 90%) имеют стандартную структуру текста. Такими же, как правило, являются задачи, составляемые учителями и представленные в различных дидактических материалах. Результатом такого подбора задач в практике работы массовой школы является следующий факт: в конце учебного года при работе с простой арифметической задачей со стандартной структурой текста правильно выделили условие и требование 96,6% первоклассников, участвующих в эксперименте, с нестандартной структурой текста – 61% (а), 58% (б).
Значительная часть детей, не выделивших правильно составные части задачи, не смогли решить арифметическую задачу.
§ 3. О классификации арифметических задач, решаемых в начальных классах
В зависимости от числа арифметических действий, выполняемых при решении задачи, все арифметические задачи делятся на две группы: простые арифметические задачи и составные арифметические задачи.
К простым арифметическим задачам относятся задачи, для решения которых арифметическое действие нужно выполнить только один раз. Все остальные задачи относятся к составным арифметическим задачам.
Существуют классификации простых арифметических задач по различным основаниям. Например, по виду арифметического действия, которым решается задача. Выделяются в соответствии с этим простые арифметические задачи на сложение, вычитание, умножение, деление. Однако в методическом отношении наиболее удобной является классификация, имеющая своим основанием математические положения, лежащие в основе выбора арифметического действия (их называют теоретической основой выбора арифметического действия). Классификация предложена М.А. Бантовой [1].
Она выделяет три группы задач.
I группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является его конкретный смысл. К этой группе относятся следующие виды задач:
1) на нахождение суммы,
2) на нахождение остатка,
3) на нахождение произведения,
4) на деление по содержанию,
5) на деление на равные части.
До того времени, пока задачи не решаются с помощью составления уравнения, в эту группу входят также задачи на нахождение неизвестных слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, делимого, делителя, множителя, т.е. обратные задачам 1-5.
II группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых являются связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это задачи, являющиеся обратными по отношению к задачам 1-5 первой группы, когда они решаются с помощью составления уравнения.
III группа – задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является связь отношений «больше», «меньше» с соответствующими арифметическими действиями: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая и косвенная формы), на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз (прямая и косвенная формы), на разностное и кратное сравнение (по два вида).
Все составные задачи, решаемые в начальных классах, делятся на две группы:
I группа – составные нетиповые задачи,
II группа – составные типовые задачи.
Ко второй группе относятся задачи, связанные с пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на движение.
Все остальные составные арифметические задачи, решаемые в начальных классах, относятся к составным нетиповым задачам.
studfiles.net
Типы арифметических задач ⋆ Планета Детства
С первых лет жизни ребенок сталкивается с необходимостью решать разнообразные задачи: выбирать друзей, игрушки, распределять конфеты между гостями, соотносить количество членов семьи с количеством столовых приборов и т.д. Решение задач помогает ребенку глубже понять взаимосвязи в окружающей среде, предоставляет возможность использовать на практике полученные теоретические знания. С помощью решения простых арифметических задач формируется одно из ключевых понятий формирования элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста – понятие про арифметические действия и ряд других понятий. Умение решать простые задачи является подготовительным этапом овладения детьми умением решать сложные задачи, поскольку решение сложной задачи сводится к решению ряда простых задач.
Для того чтобы научить ребенка решать задачи, воспитателю, прежде всего, необходимо самому определить содержание понятия «задача», ее основные черты. Понятие «задача» имеет ряд определений:
— упражнение, которое выполняется с помощью умозаключений, высчитывания;
— что-то сложное для исполнения;
— сложный вопрос, проблема, требует изучения и решения;
— то, что требует исполнения и решения.
В самом широком педагогическом значении понятие «задача» – это проблемная ситуация, которая предусматривает необходимость сознательного поиска соответствующих способов для ее решения, реализации поставленной цели.
В математике чаще всего используется понятие арифметическая задача – небольшой рассказ, который содержит числовые величины, которые зависят друг от друга, относительно чего поставлено задание: найти значение определенной величины, если известно значение других величин. Это отображается в вопросе, который начинается словами «сколько» или «насколько». Таким образом, в структуре арифметической задачи дети с помощью воспитателя выделяют только две части: условие (известные числовые данные задачи и связь между ними) и вопрос (неизвестная величина).
В современной дошкольной педагогике взгляды исследователей на классификацию типов задач совпадают. Так, простые задачи (задачи которые решаются в одно действие) принято распределять на такие группы:
Задачи на нахождение суммы и остатка – простые задачи, при решении которых дети осознают конкретное содержание каждого из арифметических действий, то есть того, какое арифметическое действие соответствует одной из операций с множествами – объединение или разделение.
Например: «На дереве сидело 5 воробьев. К ним прилетел еще 1 воробушек. Сколько всего стало воробьев на дереве?» А + В = С – это условная запись решения задачи, где А называется первым слагаемым, В – вторым слагаемым, С – суммой.
Задачи этого типа также можно решать с помощью вычитания: X – Y = Z – условная запись решения задачи, где Х – это уменьшаемое, Y – вычитаемое, Z – разность.
Задачи на нахождение неизвестного компонента – простые задачи, при решении которых необходимо проанализировать связь между компонентами и результатом арифметических действий:
а) на нахождение первого слагаемого по известной сумме и второму слагаемому. Например: «Девочка нарисовала несколько яблок и 1 грушу. Всего на рисунке 4 фрукта. Сколько яблок нарисовала девочка?».
С – В = А, поскольку А + В = С;
б) на нахождение второго слагаемого по известной сумме и первому слагаемому. Например: «Девочка нарисовала 3 яблока и несколько груш. Всего 6 фруктов. Сколько груш нарисовала девочка?
С – А = В, поскольку А + В = С;
в) на нахождение уменьшаемого по известному вычитаемому и разности. Например: «Дети сделали несколько елочных игрушек. Одну они уже повесили, осталось еще 3. Сколько всего украшений сделали дети?».
Y + Z = X, поскольку X – Y = Z;
г) на нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности. Например: «Дети сделали 6 елочных украшений. Когда они повесили на елку несколько украшений, у них осталась 1. Сколько всего украшений сделали дети?»
X – Z = Y, поскольку X – Y = Z.
Простые задачи, которые раскрывают отношения между числами:
а) на увеличение числа на несколько единиц. Например: «Женя сделал 2 самолета, а Костя на 1 больше. Сколько самолетов сделал Костя?
А + N = C;
б) на уменьшение числа на несколько единиц. Например: «Мама вымыла 5 чашек, а Лена на 2 чашки меньше. Сколько чашек вымыла Лена?»
X – N = Z;
в) на разностное сравнение чисел. Например: «Кате подарили 2 тетради, а Лене 3. На сколько больше тетрадей подарили Лене чем Кате?».
B – C = N.
Автор: Шматченко Анна,
преподаватель кафедры
дошкольного и начального образования,
ЛНУ имени Тараса Шевченко,
г. Луганск, Украина.
planetadetstva.net
Задачи на состав числа — Мегаобучалка
Задачи, представленные в этом разделе, требуют знаний о записи десятичной формы числа. Известно, что в десятичной форме последняя цифра числа указывает число единиц, вторая цифра справа – число десятков, третья цифра справа – число сотен, четвертая цифра справа – число тысяч и т. д. Так, число 2584 содержит 4 единицы, 8 десятков, 5 сотен, 2 тысячи. Этот состав можно отразить в виде суммы 2584 = 2·1000 + 5·100 + 8·10 + 4·1. Поскольку при решении задач число единиц, десятков, сотен и т. д. приходится обозначать различными буквами, то для отличия десятичной записи числа от произведения произвольных чисел принято рисовать сверху черту. Например, запись означает, что рассматривается трехзначное число, которое можно записать в виде суммы
Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к нему прибавить 54, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти первоначальное число.
Решение. Обозначим искомое число
тогда
Кроме того, известно, что
Запишем эти соотношения в виде системы уравнений:
Ответ: искомое число 39.
Замечание. В задачах на состав числа обычно предполагается, что речь идет о натуральных числах, поэтому специально это обстоятельство не оговаривается. Тем не менее авторы вынуждены заметить, что иногда составители задач специально не указывают множество натуральных чисел для того, чтобы абитуриенты рассмотрели также вариант решения для целых отрицательных чисел. Так, если в представленной задаче учитывать отрицательные числа, еще одним искомым числом могло быть число –93, поскольку составляющие его цифры 9 и 3 в сумме дают 12, а сумма чисел (–93) и 54 равна (–39), т. е. числу, записанному теми же цифрами, что и первоначальное, но в обратном порядке. Поэтому, встретив подобную задачу в варианте ЕГЭ, учащийся должен выбирать ответ среди натуральных чисел, а на экзамене в вуз или предметной олимпиаде необходимо задать уточняющий вопрос экзаменатору по условию задачи.
Задача 2. Сумма цифр трехзначного числа равна 12, а сумма цифр его сотен и десятков кратна 9. Если же из искомого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
Решение. Пусть искомое число тогда по условию задачи где n – натуральное число 1 или 2, в силу того что а и b однозначные числа, и
Первое и последнее соотношения приводят к уравнению
откуда , или
Кроме того, известно, что ,поэтому перейдем к системе уравнений:
Из последнего уравнения системы следует, что цифра с кратна трем, а поскольку с > 0, то число (4 – 3 n) > 0, поэтому n = 1. Теперь последнюю систему можно переписать в виде:
Ответ: искомое число 453.
Задача 3. Шестизначное число начинается с цифры 1. Если эту цифру записать крайней справа, сохраняя порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Решение. Пусть искомое число:
тогда по условию задачи,
и
Учитывая, что запишем уравнение ,
Немного преобразуем полученное равенство:
.
Число во внутренних скобках обозначим
тогда или Теперь можно записать результат
Ответ: искомое число 142857.
Задача 4. Сумму всех четных двузначных чисел разделили на одно из них, кратное 9. Получившееся частное отличается от делителя только порядком цифр. Найти делитель.
Решение. В данной задаче нам понадобится понятие арифметической прогрессии. Здесь мы используем только основные формулы. Более подробно о прогрессиях можно узнать из разд. 9, посвященного именно этой тематике.
Четные двузначные числа 10,12, 14, 16, …, 98 образуют арифметическую прогрессию, в которой первый член, а = 10, разность прогрессии d = 2, а количество членов прогрессии n = 45.
Сумма n членов арифметической прогрессии
поэтому, согласно условию задачи,
Полученную величину разделим на двузначное число о котором известно, что откуда где k принимает значения либо 1, либо 2, поскольку слагаемыми являются однозначные натуральные числа. Частным от деления является число Запишем исходные данные в систему:
Если
то откуда,
либо либо
Если же предположить, что k = 2, то получим систему
тогда и что противоречит условиям задачи. Следовательно, делителем может быть либо число 45, либо число 54.
Ответ: делителем является число 54 или число 45.
Задача 5. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число.
Решение. Напомним правило деления с остатком. Если в результате деления числа а на число b > 0 в частном получим число q, а в остатке число r, то справедливо соотношение
где
Пусть искомое двузначное число
Запишем исходные данные задачи в систему
и решим ее:
Из последнего уравнения получим или
Первое равенство приводит к системе:
Поскольку b > 0, то b = 3, тогда a = 6. Рассмотрим теперь случай который приводит к аналогичной системе уравнений: из которой следует, что a = 3 и b = 6.
Ответ: искомым может быть число 63 или число 36.
Разные задачи
Довольно большое количество задач не удается систематизировать и отнести к какому-либо определенному разделу. Это задачи самой разнообразной тематики, включающие как использование неравенств, так и подбор решения исходя из условий и многое другое. Подбор приведенных ниже задач не претендует на полноту, но, как надеются авторы, будет полезен учащимся при подготовке к самым разнообразным контрольным испытаниям по математике.
Задача 1. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго , а третий кусок, в котором было всей ткани, продали весь. Сколько процентов ткани продано, если всего осталось ее вдвое меньше, чем было во втором куске?
Решение. Пусть в первом куске первоначально было х метров ткани, во втором – y метров ткани, а в третьем – z метров ткани. Для удобства рассуждений составим таблицу
Таблица 3
Количество ткани в м.
| Описание объекта | Первоначальное количество, м | Продано, м | Остаток, м |
| 1-й кусок ткани | х | 0,5 х | |
| 2-й кусок ткани | у | ||
| 3-й кусок ткани | z | z |
Остаток составил половину второго куска, поэтому , а количество проданной ткани в процентном отношении к первоначальному объему составляет:
Выражение, которое должно привести к конечному результату, содержит три неизвестные величины, а для его решения имеется только одно уравнение, содержащее два неизвестных. Но на самом деле ситуация не так плоха, поскольку мы можем уменьшить число неизвестных, используя данные задачи. Поскольку в третьем куске было всей ткани, то первый и второй кусок в совокупности составляют всей ткани. Следовательно,
Выразим х через y из первого уравнения тогда
Теперь подставим полученные значения для х и z в искомое выражение:
.
Ответ: было продано 75 % ткани.
Задача 2. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее количество домов станет более 24, а если увеличить вдвое количество пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?
Решение. Предположим, что пятиэтажных домов было построено х штук, а девятиэтажных домов y штук.
Тогда справедлива система неравенств кроме того, из условий задачи следует, что
Задача сводится к решению системы неравенств в натуральных числах. Можно решить эту задачу графически. Подробное изложение этого метода можно найти в разд. 8. Область на плоскости ХОУ, удовлетворяющая системе неравенств, изображена на рис. 2.1. Координаты точек А(8,8), В(9,9), С(10,7) позволяют определить, что единственной точкой с целыми координатами внутри области оказывается точка (9,8). Таким образом, х = 9, у = 8.
Рис. 2.1. Графическое решение задачи.
Тот же самый результат можно получить, если решать систему неравенств аналитически, не применяя графический метод.
Как известно, неравенства одного знака можно складывать, сохраняя знак неравенства. А неравенства разных знаков можно вычитать, сохраняя знак уменьшаемого. Выполнив эти действия с неравенствами системы, получим следующие соотношения:
и .
Первое из неравенств позволяет предполагать два возможных варианта: или Если выполняется первый вариант то согласно второму условию т. е.
А так как х > 8, то единственный возможный вариант х = 9. Тогда Подстановка значений в каждое из неравенств исходной системы приводит к верному числовому неравенству. Это означает, что пара х = 9 и у = 9 является решением системы неравенств. Аналогичные рассуждения для варианта приводят к паре х = 9 и у = 7, но при этом не выполняется неравенство Следовательно, единственным решением будет х = 9 и у = 8.
Ответ: в квартале построено 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных домов.
Задача 3. Число учащихся в классе, повысивших свою успеваемость, заключено в пределах от 2,7 до 3,2 % от общего числа учащихся. Каково наименьшее число учащихся в классе?
Решение. Пусть х – число учащихся в классе, тогда количество учеников, которые стали учиться лучше, находится в пределах от 0,027х до 0,032х. Поскольку величина у, удовлетворяющая неравенству представляет собой натуральное число, которое надо выбрать так, чтобы значение х было минимальным из возможных, то следует предположить, что у = 1. Тогда для х получаем систему неравенств: или
Наименьшее целое значение, удовлетворяющее неравенству, равно 32.
Ответ: в классе 32 учащихся.
Задача 4. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский и 23 знают оба языка. Сколько человек в группе не знают ни английского, ни французского?
Решение. В данной задаче рассматриваются операции с множествами. Удобно при решении таких задач использовать диаграммы, представляя каждое множество в виде круга.
Обозначим множество всех туристов буквой Т, множество туристов, знающих английский язык – буквой А, множество туристов, знающих французский язык – буквой Ф.
Рис. 2.2.Графическое решение задач.
Тогда множество туристов, знающих оба языка представляет собой пересечение множеств А∩Ф, что на рис. 2.2 представлено в виде общей части кругов А и Ф, которая содержит 23 элемента. Теперь нетрудно посчитать, что множество туристов, знающих только английский язык – это разность множеств А и А∩Ф, а их количество равно Аналогично количество туристов, знающих только французский язык, равно Таким образом, 47 туристов знают только английский язык, 22 туриста – только французский язык, 23 туриста знают оба языка, а оставшиеся человек не знают ни одного из этих языков.
Ответ: 8 человек не знают ни английского, ни французского языков.
Задача 5. Нанята бригада плотников. Если бы они явились на работу все вместе, то выполнили бы ее за 5 ч. Но они приходили друг за другом через равные промежутки времени. Первый работал в m раз больше последнего. Сколько времени работал последний плотник?
Решение. В данной задаче предполагается, что производительность всех плотников одинаковая. Поскольку объем работы неизвестен, считаем его равным единице. Пусть производительность каждого плотника составляет х единиц продукции в час, а общее число работников в бригаде равно n. Тогда справедливо равенство Промежуток времени между приходами плотников на работу обозначим за y часов, а количество времени, которое затратил на работу последний из пришедших плотников – за z. Теперь проследим за временем работы первого плотника. К моменту прихода второго работника бригады первый трудился y часов, когда появился третий – время работы первого составило 2y часов, четвертый плотник пришел на работу, когда первый проработал 3y часов, а к моменту прихода последнего время работы первого составило часов. Совместный труд всех плотников еще в течение zчасов завершил работу.
Таким образом, первый плотник работал в течение
часов и
Из последнего равенства следует, что
Суммируя части работы, выполненные каждым из плотников, получим:
Преобразуем полученное выражение:
Используем формулу суммы арифметической прогрессии
Объединим полученные равенства в систему:
из которой следует или
Ответ: последний плотник работал в течение
часов.
Замечание. Теперь, когда задача уже решена, очевидно, что некоторые неизвестные можно было не вводить.
megaobuchalka.ru