Разное

Числовая закономерность: Найди закономерность, продолжи ряд – задания для детей

Содержание

Закономерности

В одном из предыдущих уроков ты узнал о свойствах предметов и как они связаны с математикой. На этом уроке ты познакомишься с понятием – математическая закономерность.

Закономерность – постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений, действий или свойств предметов.

Закономерности, как и свойства предметов связаны с математикой и с логикой. Зная закономерность, ты точно можешь знать, что будет дальше. После четверга точно будет пятница, после 10 часов утра будет 11 часов утра. Последовательность действий, явлений, свойств или событий в закономерности всегда определена, то есть мы точно знаем что будет дальше.

Типы закономерностей

Существует несколько типов закономерностей: убывающие, возрастающие, циклические и сложные закономерности. Давайте познакомимся с каждой подробнее.

Возрастающая закономерность

Закономерность, у которой числовое свойство увеличивается согласно некоторому закону или формуле, называется возрастающей.

Например, дерево растет и на его стволе каждый год добавляется одно новое кольцо. Этот процесс называется простой возрастающей закономерностью. В этой закономерности легко вычислить, сколько колец будет через 2 года или через 10 лет. Количество колец в стволе соответствует возрасту дерева.

Приведем пример возрастающей закономерности, которая сложнее чем в примере с деревом. Представьте одноклеточный организм, который каждую минуту делится на две клетки. На картинке хорошо видно, что в первую минуту мы видим 1 клетку, во вторую – уже 2 клетки, а затем 4 клетки, 8, 16. Каждую минуту количество увеличивается в 2 раза. Зная предыдущее количество, можно узнать, сколько будет клеток в следующую минуту. Этот процесс называется тоже возрастающей закономерностью. Для настоящих математиков будет несложно установить формулу увеличения закономерности для этого примера. Эта задача для тебя еще сложная, так как ты только начали изучать математику. Главное сейчас чтобы ты понять, что такое закономерность.

Убывающая закономерность

Закономерность, у которой числовое свойство уменьшается согласно некоторому закону или формуле, называется убывающей.

Представьте соревнования по поеданию сосисок на скорость, в которых участвуют два участника. У каждого по 10 сосисок на тарелке (это столько, сколько у тебя пальцев на руках). Первый съедает одну сосиску за минуту, а второй съедает 2 сосиски за минуту. Ясно, что второй участник соревнований победит, так как он съедает больше сосисок за минуту, чем первый участник. Но нам важно увидеть закономерность. На рисунке мы можем увидеть, как в каждой тарелке уменьшается количество сосисок. Этот процесс называется убывающей закономерностью. Второй участник съел всю тарелку сосисок за пять минут и победил!

Циклическая закономерность

Закономерность, которая повторяется каждый раз, называется циклической. Полный круг в циклической закономерности называется циклом закономерности.

Ты точно знаешь закономерность такого типа – это смена времен года. Весна-Лето-Осень-Зима и потом происходит повторение.

Рассмотрим пример с предметами разной формы. На рисунке ты видишь цепочку из разного количества предметов. Попробуй найти закономерность на рисунке ниже. Продолжи цепочку.

Предметы повторяются через каждые три ячейки. Зная закономерность, мы можем предположить, какие предметы будут дальше. За последним звеном будет треугольник, затем круг, далее квадрат.

Сложные закономерности

Закономерности, которые состоят из нескольких видов закономерностей или имеют несколько свойств, называются сложными.

Рассмотрим пример закономерностей на одной и той же цепочке, но будем искать закономерности в зависимости от свойства звеньев. Попробуй найти следующее звено в примере ниже.

Закономерность по форме

Видим, как чередуются звенья цепочки. Точно знаем, что по форме следующим будет круг, обозначим его как большой круг

Закономерность по размеру

Видим, как чередуются звенья цепочки: большая и затем две маленькие фигуры, то есть следующей будет маленькая фигура.

Закономерность по цвету

Получилась самая длинная закономерность в цепочке, выделим ее и определим, какой будет следующий цвет.

Как видишь, закономерность зависит от свойств элементов цепочки. Для одной и той же цепочки мы нашли различные закономерности в зависимости от свойства. Объединим полученные результаты и узнаем, какое звено будут следующим.

Алгоритм поиска закономерностей

Давайте еще раз повторим все шаги для выявления закономерностей.

  1. Определяем количество свойств цепочки;
  2. Определяем закономерность для каждого свойства;
  3. Сопоставляем закономерности для определения всех свойств следующего звена в цепочке.

Поиск закономерностей – это очень хороший навык для юного математика. В будущем, когда ты будешь изучать цифры, тебе обязательно этот навык пригодится. Мы создали набор тестов, где ты сможешь потренироваться в поиске закономерностей. Попробуй пройти все тесты с хорошим результатом и двигайся дальше в изучении математики.

итоги конкурса про мемы / Хабр

На прошлой неделе прошла конференция по мобильной разработке Mobius 2021, на которой мы выступили с докладом про анализ данных в приложениях, а также предложили участникам поиграть в мем-квиз и Memology Game. Cуть последней — найти связь между мемами и выстроить их в единую логическую цепочку.

Под катом поделимся результатами, а также расскажем, как появилась идея, какие шишки набили при её создании, и что интересного для себя открыли.

Спойлер: в игре может быть бесконечно много решений, помимо тех, что задумали мы, и надеемся, что читатели Хабра помогут отыскать наиболее оригинальные варианты. Авторов самых на наш взгляд необычных решений наградим мерчем. Свои варианты оставляйте в комментариях к статье.

А еще предлагаем поучаствовать в разработке Memology 2.0 и дать обратную связь — что подкрутить, чтобы игра стала лучше/понятнее/интереснее/смешнее.

Предыстория

Как пришла идея игры? У нас в FUNCORP есть slack-канал #random, куда сотрудники могут кидать, что им вздумается. В основном, он состоит из СМЕШНЫХ КАРТИНОК. Однажды туда запостили вариацию loss мема:

Вышло, что такой паттерн знаком не всем. Для тех, кто с ним не сталкивался — фанаты комикса «Ctrl+Alt+Del» стали пародировать одну из грустных сцен, основывая свои версии на последовательности фреймов: | || || |_

Вариации мема:

Возвращаясь к картинке из #random, с которой все началось, — это вариация мема Loss, реализованная в Cisco Packet Tracer (до боли закомой всем, кто проходил курс сетей в универе). И вся шутка заключается в том, что на картинке изображена конфигурация сети, в которой по-любому будет потеря пакетов (Packet Loss), при этом сама конфигурация оформлена в формате loss мема, который мы объяснили выше.

Произошла эта история как раз накануне конференции Mobius, где нам предстояло организовать какое-то развлечение для участников. Хотелось сделать нескучную, увлекательную игру, которая позволит исследовать продукт компании — приложение iFunny. Что-то простое, но затягивающее, с возможностью размять мозг, но без особых требований к профессиональным навыкам. Так родилась идея своеобразной “игры в бисер” на мемах, где участникам придется собирать цепочки забавных и смешных картинок в поисках логических взаимосвязей между ними, наподобие того как это описывал Гессе.

Правила Memology Game

Игрокам нужно было найти связь между мемами из этой подборки. Но дать картинки только из последовательности показалось слишком просто, поэтому решили добавить контент, не относящийся к загаданной цепочке. Мы понимали, что это может вызвать побочные, не предусмотренные нами решения, но предположили, что, если уберем все схожие тематики и добавим дополнительные правила игры, сможем минимизировать такие ситуации. Как же мы ошибались!

Правила такие:

  • Под цифрой 1 находится первый мем. Нужно найти тот, который является его логическим продолжением. Затем другой и так далее. Чтобы усложнить процесс, мы добавили больше картинок, чем нужно.

  • Когда логическая цепочка будет найдена, в качестве ответа необходимо ввести  числовую последовательность, разделённую знаками (тире, точками или запятыми). Пример ответа: 1-10-34-2-5-90-66-3.

  • Числа в цепочке не должны повторяться.

  • Минимальная длина цепочки — 8 мемов.

Сразу после анонса игры, в Telegram-чате участники отметили, что вариантов взаимосвязей великое множество и найти именно те, которые мы загадали, почти невозможно.

У Telegram-бота, которому нужно было отправить числовую последовательность, нет автопроверки ответа. Участники никак не могли аргументировать свою последовательность, поэтому второй раунд с апелляцией решили вынести на Хабр. Сказано — сделано. Если вы участвовали, но не получили приз, то пишите в комментариях свои варианты, обсудим! А если вообще не участвовали, но очень хотите, то читайте правила и оставляйте свои ответы (до 3-х цепочек).

Приславшим новую (которая не описана в самой статье ниже), логически обоснованную последовательность мы вручим дополнительные призы.

Решение с объяснением цепочки 

Осторожно, спойлеры! 

Ниже мы объясняем последовательность, которую мы заложили, и некоторые решения, которые отправили участники.

Последовательность состоит из 9 картинок. Выглядит она так:

На первый взгляд может быть непонятно, как связаны все эти картинки. 

  • Каждый мем в цепочке (кроме первого) содержит две темы: например, актер A / актер B  или фильм A / сериал B. 

  • По теме A его можно связать с предыдущим мемом, по B — с последующим.

Согласно первоначальной идее, предполагалась взаимосвязь только между текущим и предыдущим мемом. Как нам казалось, термин «цепочка» это отражал, но и здесь мы ошиблись. В некоторых ответах участники будто возвращались к старым звеньям, выстраивая замысловатые узоры, вместо строгой линии повествования, которую мы ожидали.

Решения участников

Единомышленники

Итак, два участника составили цепочку практически совпадающую с той, которую закладывали мы. С разницей в один последний мем (про Дюну) — ребята его не включили, и нам понятно, почему.

В условии мы указали, что минимальная длина цепочки 8 мемов, однако закладывали цепочку из 9. Почему мы так сделали? С одной стороны, мы не хотели получать цепочки длиной 2 или 3, потому что задача в таком случае была бы очень легкой, с другой стороны — не хотели сразу в условии подсказывать точную длину (перемудрили?). 

Любитель рептилий

Один участник собрал последовательность очень похожую на нашу, однако немного ее модифицировал. Например, после одного мема с Киану Ривзом он добавил второй с этим же актером (что логично):

Этот участник, как предыдущие два, не включил мем про Дюну в конце, но зато придумал свое интересное продолжение цепочки: 

Мы предположили, каким образом участник мог связать мемы:

Аквамен + съеденная рыба > съеденный крокс, каннибализм + аллигатор > аллигатор + он же рептилия > черепаха (тоже рептилия). 

Идея очень интересная, однако кажется, что между акваменом и каннибализмом нет никакой связи, ведь в Дюне обитают гигантские черви, а каннибализм предполагает поедание себе подобного. На крокодила Джейсон Момоа едва ли похож, даже в костюме аквамена. Если у вас есть другие версии — пишите в комментариях.

Обнаружил тайную родственную связь Зака Эфрона и Человека-паука 

У другого участника первые три мема совпали с нашей цепочкой, а дальше было любопытное продолжение. 

Возможная связь:

Киану Ривз > Киану Ривз + Танос > Человек-паук (Тоби Магуайр) > Человек паук (Том Холланд) > Зак Эфрон (тут гипотеза, что участник посчитал, что Зак Эфрон очень похож на Эндрю Гарфилда, который сыграл Человека-паука в фильмах «Новый Человек-паук» и «Новый Человек-паук. Высокое напряжение», и перепутал их) + еда (паста) > Еда (ланч).

Среди нас нет гуру вселенной MARVEL, однако, насколько нам известно, во вселенной первого Человека-паука (Тоби Магуайра) не было Таноса и Мстителей. Да и Зак Эфрон и Эндрю Гарфилд похожи, только если прищуриться. Но вместе с тем, мы не исключаем, что наша интерпретация закономерности не верна, и автор увидел другие, более логичные связи, не описанные нами выше. Если у вас есть идеи, как эти картинки можно связать воедино — смело пишите в комментариях!

Увлекается поэзией или NLP

И, наконец, одно из самых интересных решений — как раз случай, который мы изначально не закладывали, но он тоже имеет место быть. 

Мемы связаны по тексту. 

Мем с Леонардо Ди Каприо (слово «мем») > Мем из Футурамы (слово «мем» + слово “work”) > Мем с котом (слово ”wife” + слово “work”) >  Мем с оливками (слово “work” + слово “eating”) > Мем с Кристен Стюарт (слово “eating” + слово “mom”) > Мем с сообщением (слово “mom” + слово “fuck”) > Мем с Ботаническим Садом (слово “fucking” + слово “sad”) > Мем с Мадагаскаром (слово “sad”). 

Тут есть бесспорная связь, и хоть она проще той, что мы закладывали, найти её было заметно сложнее. Для её создания участнику было необходимо вчитаться в текст каждого мема и найти общие слова в разбросанных надписях на более 150 картинках!

Выбор победителей

Выше мы описали всего несколько, самых интересных, на наш взгляд, примеров, также были явно рандомные ответы, где числа выходили за предел количества картинок, а также последовательности с закономерностью в числах, но не в мемах (степени двойки), помимо этого мы получили ответы, в которых не поняли ход мыслей участника.

По условию конкурса победитель выбирался случайным образом среди тех, кто прислал задуманную нами последовательность. Но в процесе нам стало ясно, что правила были недостаточно строгими, что привело к множеству спорных случаев. Поэтому мы увеличили призовой фонд и решили наградить основным призом трёх участников, которым всё-таки удалось максимально точно воспроизвести нашу цепочку. Также мы выделили 2 дополнительных приза тем, чьи ответы показались нам наиболее логически обоснованными, несмотря на расхождение с первоначальной задумкой.

В качестве обратной связи мы брали только адрес электронной почты, поэтому не можем привести здесь список победителей, но все участники получат на оставленный адрес от нас письмо с информацией о выигрыше и о том, как его получить. Если вам почему-то не пришло письмо или пришло, но в нем мы сказали, что выбрали не вас, и вы уверены, что ваша цепочка логически превосходна — смело пишите в комментариях под данным постом, и мы пересмотрим ваш ответ отдельно! 

Если вы не участвовали в конференции, но вам понравилась задумка и вы хотите попробовать свои силы, оставляйте в комментариях свои ответы, мы приготовили отдельные призы и на такой случай. Дерзай, возможно в тебе таится сила настоящего джедая мемов!

Методика «закономерности числового ряда»

Методика оценивает логический аспект мышления. Обследуемые должны найти закономерности построения 8 числовых рядов и написать недостающие числа. Время выполнения – 5 мин.

Инструкция: «Вам предъявлены 7 числовых рядов. Вы должны найти закономерность построения каждого ряда и вписать недостающие числа. Время выполнения работы – 5 мин».

Числовые ряды

1) 24 21 19 18 15 13 – – 7

2) 1 4 9 16 – – 49 64 81 100

3) 16 17 15 18 14 19 – –

4) 1 3 6 8 16 18 – – 76 78

5) 7 16 19; 5 21 16; 9 – 4

6) 2 4 8 10 20 22 – – 92 94

7) 24 22 19 15 – –

КЛЮЧ

1) 12 9 4) 36 38 7) 10 4

2) 25 36 5) 13

3) 13 20 6) 44 46

Оценка производится по количеству правильно написанных чисел.

Норма взрослого человека – 3 и выше.

Методика «сложные аналогии»

Методика используется для оценки логического мышления, может применяться как индивидуально, так и в группе.

Содержание методики: обследуемому предлагается на бланке 20 пар слов, отношения между которыми построены на абстрактных связях, на это же бланке в квадрате «Шифр» расположены 6 пар слов соответствующими цифрами от 1 до 6. после того, как испытуемый определит отношения между словами в паре, ему надо найти аналогичную пару слов в квадрате «Шифр» и обвести кружком соответствующую цифру. Время выполнения работы 3 мин. Оценка производится по количеству правильных ответов.

Стимульный материал

Шифр

1. Овца – стадо

2. Малина – ягода

3. Море – океан

4. Свет – темнота

5. Отравление – смерть

6.Враг – неприятель

1. Испуг – бегство …………………………………………………1 2 3 4 5 6

2. Физика – наука ………………………………………………….1 2 3 4 5 6

3. Правильно – верно ………………………………………………1 2 3 4 5 6

4. Грядка – огород …………………………………………………1 2 3 4 5 6

5. Пара – два ……………………………………………………….1 2 3 4 5 6

6. Слово – фраза……………………………………………………1 2 3 4 5 6

7. Бодрый – вялый …………………………………………………1 2 3 4 5 6

8. Свобода – воля ………………………………………………….1 2 3 4 5 6

9. Страна – город …………………………………………………..1 2 3 4 5 6

10. Похвала – брань ……………………………………………….1 2 3 4 5 6

11. Месть – поджог ………………………………………………..1 2 3 4 5 6

12. Десять – число………………………………………………….1 2 3 4 5 6

13. Плакать – реветь ………………………………………………1 2 3 4 5 6

14. Глава – роман ………………………………………………….1 2 3 4 5 6

15. Покой – дыхание ………………………………………………1 2 3 4 5 6

16. Смелость – геройство …………………………………………1 2 3 4 5 6

17. Прохлада – мороз ………………………………………………1 2 3 4 5 6

18. Обман – недоверие……………………………………………..1 2 3 4 5 6

19. Пение – искусство ……………………………………………..1 2 3 4 5 6

20. Тумбочка – шкаф………………………………………………1 2 3 4 5 6

КЛЮЧ

1 – 5; 2 – 2; 3 – 6; 4 – 1; 5 – 6; 6 – 1; 7 – 4; 8 – 6; 9 – 3; 10 – 4; 11 – 5; 12 – 2; 13 – 6; 14 – 1; 15 – 4; 16 – 6; 17 – 3; 18 – 5; 19 – 2; 20 – 3.

Норма правильных ответов – 5 и выше.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЧИСЕЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА КЛАВИАТУРЕ

МИКРОКАЛЬКУЛЯТОР: ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЧИСЕЛ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА КЛАВИАТУРЕ

Иниваткин Е.А. 1

1

Синельникова Е.М. 1

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

То, что мы знаем – ограничено»,

а то, что мы не знаем – бесконечно»

П. Лаплас

Введение

Математики во все времена мечтали о таком помощнике, который освободил бы их из плена долгих и утомительных вычислений. Сегодня такой помощник существует – это микрокалькулятор. Микрокалькулятор позволяет проводить вычисления чрезвычайно быстро: то, что раньше требовало многочасовой кропотливой работы, теперь может быть проделано за несколько минут. Для записи любого числа в десятичной системе счисления мы используем только десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые расположены на клавиатуре микрокалькулятора и составляют числовой массив, в котором очевидны закономерности: в строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего; в столбце каждое следующее число больше предыдущего на 3 (клавишу с цифрой 0 условимся не рассматривать) [3, с. 6].

Возникают вопросы: Существуют ли другие закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора? Может ли микрокалькулятор служить инструментом изучения свойств чисел?

Поскольку у нас нет полного понимания и ответов на поставленные вопросы, имеет место противоречие: с одной стороны мы видим, что микрокалькулятор кажется таким простым, с другой стороны – сколько разных значений имеет!? И скорее всего, имеются закономерности, связанные с расположением чисел на клавиатуре.

С учётом выявленного противоречия была сформулирована проблема: каковы закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора?

Выявленный недостаток в наших знаниях и понимании по данному вопросу сделал для нас актуальной эту проблему и вызвал необходимость разрешить возникшее противоречие.

Актуальность проблемы и недостаточное понимание вопроса определили темунашего исследования: «Микрокалькулятор: закономерности чисел, расположенных на клавиатуре».

Цель исследования: выявление закономерностей чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора.

Объект исследования: Натуральные числа от одного до девяти, расположенные на клавиатуре микрокалькулятора.

Предмет исследования: Закономерности чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора.

Гипотеза исследования: так как на клавиатуре микрокалькулятора расположены только цифры, которые мы используем для записи любого числа в десятичной системе счисления и расставлены они строго по порядку, то в образованном числовом массиве существуют определенные числовые закономерности.

Задачи исследования:

  • ознакомиться с источниками, содержащими сведения по теме исследования;

  • исследовать закономерности, зависящие от расположения натуральных чисел на клавиатуре микрокалькулятора; проанализировать выявленные закономерности, выяснить, обнаруживаются ли в исследуемом массиве чисел закономерности стоклеточного квадрата;

  • исследовать закономерности, не зависящие от расположения натуральных чисел на клавиатуре микрокалькулятора; проанализировать выявленные закономерности;

  • сделать вывод по проделанной работе;

  • создать проект учебного пособия «Микрокалькулятор: закономерности чисел расположенных на клавиатуре. Исследовательские задачи по математике».

Этапы исследования:

1-й этап – подготовительный – включал обоснование актуальности исследования, выявление проблемы, определение объектной области, объекта и предмета исследования, выбор темы, изучение литературы и уточнение формулировки темы, формулирование гипотезы, формулирование цели и задач исследования;

2-й этап – собственно исследование – состоял в исследовании числовых закономерностей, как зависящих от расположения цифр на клавиатуре, так и не зависящих от этого;

3-й этап – аналитический – включал анализ проделанной работы и создание

проекта учебного пособия «Микрокалькулятор: закономерности чисел расположенных на клавиатуре. Исследовательские задачи по математике»в виде тетради с печатной основой, использование которой возможно при изучении натуральных чисел на уроках математики, а также на занятиях по внеурочной деятельности.

1. Закономерности, зависящие от расположения чисел

на клавиатуре микрокалькулятора

Числа на клавиатуре микрокалькулятора расположены в определенном порядке (в строке каждое следующее число на 1 больше предыдущего, в столбце каждое следующее число больше предыдущего на 3.) и образуют числовой массив (рис.1).

Рис. 1.

1.1. Равенство сумм четвёрок чисел.

Легко заметить, что суммы отмеченных на рис. 2-4 чисел одинаковы и равны двадцати. При исследовании различных комбинаций четверок чисел, дающих сумму двадцать, найдено двенадцать вариантов (Приложение I).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

1.2. Равенство сумм троек чисел. Суммы отмеченных рис. 5-7 чисел одинаковы и равны пятнадцати. Исследование различных комбинаций троек чисел, дающих сумму пятнадцать, показало: существует, по крайней мере, восемь таких вариантов (Приложение II).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Перебирая различные комбинации чисел, дающих одинаковую сумму в исследуемом массиве, замечено, что если найден один из вариантов, то легко найти второй – он симметричен первому, как показано на рис. 8-9.

Рис. 8

Рис. 9

Это можно объяснить тем, что в десятичной системе счисления сумма не изменяется тогда, когда к одному из слагаемых прибавляется некоторое число, а из второго слагаемого вычитается это же число: а+в = (а+2)+(в-2) (Например, 3+4 = (3+2)+(4-2) = 5+2).

В нашем случае: 1+4+6+9 = (1+2)+4+6+(9-2) = 3+4+6+7

Возможно, существуют ещё варианты, нам не удалось найти формулу для точного подсчета количества имеющихся вариантов. Была попытка связать нашу задачу с комбинаторными задачами [1, с. 347]. На первый взгляд исследование различных четверок (троек) чисел, дающих одинаковую сумму в квадрате три на три – есть задача комбинаторики («особая примета» комбинаторных задач – перебор вариантов), но мы не нашли с ними связи, так как комбинаторные задачи предполагают перестановки одних и тех же элементов, а в нашем случае числа разные, а сумма одинаковая.

Очевидны следующие закономерности…

1.3. Равенство разностей трёхзначных чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним вертикальным линиям. Разность чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним вертикальным линиям равна 111 (рис.10), т.к. каждое следующее число в строке на 1 больше предыдущего:

а ) 963 – 852 = 111;

б

963

852

) 852 – 741 = 111;

 

в) 258 – 147 = 111;

г) 369 – 258 = 111.

Рис. 10

1.4. Равенство разностей трёхзначных чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним горизонтальным линиям. Разность чисел, составленных из цифр, расположенных по соседним горизонтальным линиям равна 333 (рис.11), т.к. каждое следующее число в столбце на 3 больше предыдущего:

 

789

 

а) 789 – 456 = 333;

б) 456 – 123 = 333;

в) 654- – 321 = 333;

г

456

) 987– 654 = 333.

 

Рис. 11

…Другие закономерности более удивительны.

1.5. Равенство разностей двузначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 74. Поменяем цифры местами – 47 (Обращенное число – число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке) [3,с. 7] и вычтем полученное число из 74 (рис. 12). Получим 27. Составим аналогичные разности, исследуем, всегда ли разность составляет 27?

а) 74 – 47 = 27;

б) 85 – 58 = 27

в ) 96 – 69 = 27;

г) 41 – 14 =27;

д) 52 – 25 = 27;

е) 63 – 36 = 27.

Рис. 12

Результат всегда – 27: в разности двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальной линии количество десятков и количество единиц отличается на 3, значит, разность равна 30 – 3 = 27.

Составив разности следующим образом: 71-17; 82-28; 93-39 и вычислив их, замечаем, что разность всегда равна 54 (количество десятков и количество единиц в числах отличается на 6, значит, разность равна 60 – 6 = 54).

1.6. Равенство разностей двузначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по горизонтальной линии, например 98. Вычтем из него обращенное число – 89 (рис.13). Получим 9. В аналогичных разностях результат всегда равен 9, т.к. количество десятков и количество единиц отличается на 1, значит, разность равна 10–1=9.

а) 98 – 89 = 9;

б) 87 – 78 = 9;

в) 65 – 56 = 9;

г) 54 – 45 =9;

……………… Рис. 13

Составив разности: 97-79; 64-46; 31-13 и вычислив их замечаем, что разность всегда равна 18 (количество десятков и количество единиц в числах отличается на 2, значит разность равна 20 – 2 = 18).

1.7. Равенство разностей трёхзначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям. Возьмем трехзначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 741. Вычтем из него обращенное число – 147. Получим 594 (рис.14).

а) 741 – 147 = 594;

б) 852 – 258 = 594;

в) 963 – 369 = 594.

Рис. 14

Составим и исследуем аналогичные разности. Результат всегда равен 594 (в полученных разностях количество сотен и количество единиц отличается на 6, количество десятков одинаково, значит, разность равна 600 – 6 = 594).

1.8. Равенство разностей трёхзначных обращённых чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям. Возьмем трехзначное число, составленное из цифр, расположенных по горизонтальной линии, например 987. Вычтем из 987 число, обращенное ему – 789 (рис.15). Получим 198. В аналогичных разностях результат всегда равен 198, т.к. количество сотен и количество единиц отличается 2, количество десятков одинаково, значит, разность равна 200 – 2 = 198.

а) 987 – 789 = 198;

б) 654 – 456 = 198;

в) 321 – 123 = 198.

Рис. 15

1.9. Делимость суммы обращённых двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по вертикальным линиям на 11. Возьмем двузначное число, составленное из цифр, расположенных по вертикальной линии, например 74. Сложим его с обращенным числом – 47(рис.16). Получим 121. Составив аналогичные суммы и исследуя их, мы заметили: результат каждой суммы делится на 11 (складываются два числа десятков и те же два числа единиц, 10 + 1 = 11: в сумме число десятков равно числу единиц).

а ) 74 + 47 = 121;

б) 85 + 58 =143;

в) 41 + 14 =55;

г) 52 + 25 = 77;

д) 63 + 36 = 99. Рис. 16

1.10. Делимость суммы обращённых двузначных чисел, составленных из цифр, расположенных по горизонтальным линиям на 11. Рассмотрим аналогичные суммы чисел по горизонтальным линиям (рис.17):

а) 98 + 89 = 187;

б) 87 + 78 = 165;

в) 65 + 56 = 121;

г) 54 + 45 =99;

д) 32 + 23 =55… Рис.17

Результат каждой суммы, также как и на вертикальных линиях делится на 11 (Вывод аналогичен).

1.11. Равенство суммы цифр разности обращённых двузначных чисел девяти. Можно заметить закономерность, связанную с вычислениями в п.1.5, 1.6, однако, это не сразу бросается в глаза. Вычислялась разность обращенных двузначных чисел. В результате вычислений получены числа: 9, 18, 27, 54 – у всех сумма цифр равна 9. Анализ результата исследования разности любых обращенных двузначных чисел (например: 84-48=36, 94-49=45, 92-29=63 и т.д.) показывает, что сумма цифр разности обращенных двузначных чисел всегда равна 9.

2. Закономерности, не зависящие от расположения чисел

на клавиатуре микрокалькулятора

2.1. Умножение на 9

2.1.1. Так, как число 9 на единицу меньше 10 (10 – основание нашей (десятичной) системы счисления) обнаруживается еще одна удивительная закономерность, связанная с этим числом – можно сказать прием быстрого умножения: чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его в 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Умножим, например, 87 на 9. Нужно выполнить следующие действия: 87х10=870. Остается вычесть из 870 87, получим 783. Значит, 87х9=783.

2.1.2. Исследуя произведения различных чисел на 9, замечена интересная закономерность:

9х9=81

99х99=9801

999х999=998001

9999х9999=99980001

……………………….

Получение этой закономерности объясняется следующим образом:

9х(10-1)=90-9=81

99х(100-1)=9900-99=9801

999х(1000-1)=999000-999=998001

………………………………………

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

=

х1

.2. Нахождение наибольшего произведения чисел, составленных из набора цифр от 1 до 9 по одному разу.
Возникает вопрос: какое наибольшее произведение может получиться, если нажать по одному разу каждую из клавиш , , , , , , , , , ,

 

, ?

Один из способов ответить на этот вопрос – перебрать все возможные варианты.

Исследования с наименьшим набором клавиш с цифрами 1, 2, 3 (Приложение 3) показали, что произведение 3х21 является наибольшим.

Аналогичные исследования с набором клавиш с цифрами 1, 2, 3, 4 (Приложение 4) позволяют сделать вывод, что наибольшим произведением является произведение 41 на 32.

Чтобы произведение было наибольшим, нужно, конечно, перемножить наибольшие числа, составленные из предложенного набора цифр. Число будет наибольшим, если в высшем разряде стоит цифра, порядок которой выше остальных. Потом – порядок, которой также выше остальных и т.д. Из перебора вариантов нами исключены произведения чисел однозначных на трехзначные, т.к. получаемые произведения всегда меньше произведений двухзначных чисел. Исходя из вышесказанного, исследования сводятся до минимума.

Исследования с набором клавиш с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 (Приложение 5) показали, что произведение 431х52 является наибольшим, а для набора клавиш с цифрами от 1 д о 6 наибольшее произведение дают числа 631 и 542.

Наблюдения показывают (Приложения 6,7), что, если записать полученные числа в столбик, начиная с высшего разряда, можно нарисовать схему, по которой они составлены:

3

   

41

   

52

 

631

21

   

32

   

431

 

542

Анализ полученных произведений и схем позволяет выработать общий метод для нахождения наибольшего произведения для набора из всех ненулевых клавиш:

3 4 1 5 2 1 6 3 1 7 4 2 8 5 3 1 9 6 4 2

2 1 3 2 4 3 1 5 4 2 6 5 3 1 7 6 4 2 8 7 5 3 1

Таким образом, по предложенной схеме, можно для любого набора клавиш составить числа, произведение которых будет наибольшим.

В полученных числах мы увидели и другой способ их составления: зная числа наибольшего произведения из меньшего набора клавиш, например для клавиш от одного до 4 (41х32), можно легко составить числа для набора клавиш от 1 до 5: высший разряд меньшего числа (3), ставится на второе место в большее число (431), а добавляемая цифра (5) на место высшего разряда в меньшее число (52). Имеем произведение 431 на 52. Для большего набора клавиш действия аналогичные.

2.3.Закономерности наибольшего и наименьшего девятизначных чисел, состоящих из неповторяющихся цифр.

2.3.1. Разность наибольшего и наименьшего девятизначных чисел, состоящих из неповторяющихся цифр. Интересное свойство можно наблюдать с числами, составленными из набора цифр, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора (кроме клавиши с цифрой 0). Изберем два числа: а=123 456 789 и в=987 654 321 – наименьшее и наибольшее из девятизначных чисел, состоящих из неповторяющихся цифр. Разность в-а состоит из тех же цифр: 987 654 321-123 456 789=864 197 532.

2.3.2. Обращение наименьшего девятизначного числа в наибольшее девятизначное число (состоящее из неповторяющихся цифр) при помощи математических действий. Возникает вопрос: возможно ли число а обратить в число в при помощи математических действий? Чтобы ответить на этот вопрос сначала следует выяснить какие действия следует выполнить чтобы из наименьшего числа с неповторяющимися цифрами (определенного разряда) получить наибольшее число с неповторяющимися цифрами (того же разряда)?

Проведенные исследования показывают:

  • однозначные числа: наименьшее – 1, наибольшее – 9. Нужно выполнить следующие действия: 1х8+1=9;

  • двузначные числа: наименьшее – 12, наибольшее – 98. Действия следующие: 12х8+2= 98;

  • трехзначные числа: наименьшее – 123, наибольшее – 987. Действия таковы: 123 х 8 + 3 = 987;

  • принимая во внимание обнаруженную закономерность, можно сделать вывод: число а обращается в число в при помощи двух действий: умножения а на 8 и увеличения получившегося произведения на 9: 123456789х8+9=987 654 321 (Приложение VIII).

2.3.3. Произведения всех однозначных чисел, кроме 0 и единицы, на наибольшее и наименьшее девятизначное число, состоящее из неповторяющихся цифр. Умножая поочередно все однозначные числа, кроме 0 и единицы, на число а, потом на число в (Приложение IX) мы заметили в произведениях общие свойства, по которым все однозначные множители можно разбить на две группы: в первую группу чисел относятся – 2,4,5,7,8; во вторую – 3,6,9.

Каждое произведение числа а на число 1-й группы состоит из девяти неповторяющихся цифр; каждое произведение числа в на число из 1-й группы состоит из десяти неповторяющихся цифр. Произведения чисел а и в на числа 2-й группы содержат повторяющиеся цифры.

2.3.4. Обращение наименьшего числа с неповторяющимися цифрами (определённого разряда) в наименьшее число следующего разряда, записанное только цифрой 1. Исследования, проводимые в п.1.14.2 натолкнули еще на один вопрос: существует ли закономерность получения из наименьшего числа с неповторяющимися цифрами (определенного разряда) наименьшее число с неповторяющимися цифрами (следующего разряда), например: 1-12, 12-123? Проводя вычислительные исследования, мы не заметили закономерности получения таких чисел, но заметили, что имеется закономерность получения из наименьшего числа с неповторяющимися цифрами (определенного разряда) наименьшее число следующего разряда, записанной только цифрой 1:

  • 12 х 9 + 3 = 111;

  • 123 х 9 + 4 = 1111;

  • 1234 х 9 + 5 = 11111;

  • 12345 х 9 + 6 = 111111;

  • 123456 х 9 + 7 = 1111111;

  • 1234567 х 9 + 8 = 11111111;

  • 12345678 х 9 + 9 = 111111111;

  • 123456789 х 9 + 10 = 1111111111

Заключение

В ходе работы по данной теме мы выявили одиннадцать закономерностей (пп.1.1 – 1.11), которые зависят от расположения чисел на клавиатуре микрокалькулятора и семь закономерностей (пп.2.1 – 2.3), не зависящих от расположения чисел на клавиатуре микрокалькулятора.

В числовом массиве клавиатуры микрокалькулятора обнаруживаются закономерности стоклеточного квадрата, а именно:

  • существует 12 вариантов комбинаций четверок чисел, дающих сумму – 20;

  • различных комбинаций троек чисел, дающих сумму 15, существует, по крайней мере, восемь;

  • существование различных вариантов одинаковых сумм чисел, расположенных на клавиатуре микрокалькулятора, можно объяснить тем, что числа расположены строго по порядку: в строке каждое следующее число на единицу больше предыдущего, в столбце каждое следующее число больше предыдущего на три, и сумма чисел не изменяется тогда, когда к одному из слагаемых прибавляется некоторое число, а из другого слагаемого вычитается это же число: а+в+с+d = (а-1)+(в+1)+(c+2)+(d-2).

Выявленные числовые закономерности подтверждают выдвинутую гипотезу:так как на клавиатуре микрокалькулятора расположены только цифры, которые мы используем для записи любого числа в десятичной системе счисления и расставлены они строго по порядку, то в образованном числовом массиве существуют определенные числовые закономерности.

Казалось бы – всего-то десять цифр, а понять закономерности, тайны числовых преобразований, способ, которым одни сочетания цифр, вдруг, превращаются в иные сочетания, не всегда возможно. В любом случае изучение этих явлений завораживающе. Каждый раз возникает чувство удивления в связи с обнаруживаемыми закономерностями.

В любой науке есть немало интересных нерешенных задач, которые ждут своих будущих исследователей. И может быть и кому-то из нас удастся когда-нибудь постигнуть еще не раскрытые тайны числовых закономерностей.

По результатам исследования разработан проект учебного пособия «Микрокалькулятор: закономерности чисел расположенных на клавиатуре. Исследовательские задачи по математике». Учебное пособие оформлено в виде тетради с печатной основой, использование которой возможно при изучении натуральных чисел на уроках математики, а также во внеклассной работе.

Библиографический словарь

1. Аксенова, М. Д. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика – М.: Аванта+,2001. – 688с: ил.

2. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка. – М: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. – 575с

3. Лэнгдон, Н. С математикой в путь/Н. Лэнгдон, Ч. Снейп, Пер. с анг. Е.Б. Арутюнян.- М.: 3.Педагогика, 1987. – 48с.

Приложение I

Комбинации четверок чисел на клавиатуре микрокалькулятора,

дающих одинаковую сумму (20)

  1. 1+3+7+9

  2. 2+3+7+8

  3. 1+2+8+9

  4. 2+4+6+8

  5. 1+5+6+8

  6. 3+4+5+8

  7. 3+4+6+7

  8. 1+4+6+9

  9. 2+5+6+7

  10. 2+4+5+9

Узоры, составленные из расположения четверок чисел,

дающих сумму 20

1)

2)

3)

4)

5)

9)

6)

10)

7)

     
     
     

8)

     
     
     

Приложение II

Комбинации троек чисел, на клавиатуре микрокалькулятора

дающих одинаковую сумму (15)

1)8+5+2=15

2)4+5+6=15

3) 4+2+9=15

4)7+6+2=15

5)8+4+3=15

6)8+6+1=15

7)7+5+3=15

8)9+5+1=15

Узоры, составленные из расположения троек чисел,

дающих сумму 15

1)

2)

3)

4)

5)

9)

6)

7)

8)

Приложение III

Варианты произведений чисел,

составленных из набора цифр: 1, 2, 3

1) 1×23=23

2) 1×32=32

3) 2×31=62

4) 2×13=26

5) 3×21=63*

6) 3×12=36

* – наибольшее произведение

Приложение IV

Варианты произведений чисел,

составленных из набора цифр: 1, 2, 3, 4

1)12×34=408

2)12х43=516

3)13×24=312

4)13×42=546

5)14×23=322

6)14×32=448

7)21×34=713

8)21×43=903

9)31×24=744

10)31х42=1302

11) 41х23=943

12)41х32=1312*

* – наибольшее произведение

Приложение V

Варианты произведений чисел,

составленных из набора цифр: 1, 2, 3, 4, 5

  1. 421х53=22 313

  2. 431х52=22 412*

  3. 432х51=22 032

  4. 531х42=22 302

  5. 532х41=21 812

  6. 521х43=22 403

Приложение VI

Варианты произведений чисел,

составленных из набора цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6

  1. 541х632=341 912

  2. 542х631=342 002*

  3. 543х621=337 203

  4. 531х642=340 902

  5. 532х641=341 012

  6. 521х643=335 003

Приложение VII

Варианты произведений чисел,

составленных из набора цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

  1. 641х7 532=4 828 012

  2. 642х7 531=4 834 902

  3. 643х7 521=4 836 003

  4. 651х7 432=4 838 232

  5. 652х7 431=4 845 012

  6. 653х7 421=4 845 913

  7. 741х6 532=4 840 212

  8. 742х6 531=4 846 002*

  9. 743х6 521=4 845 103

  10. 751х6 432=4 830 432

  11. 752х6 431=4 836 112

  12. 753х6 421=4 835 013

  13. 754х6 321=4 766 034

* – наибольшее произведение

Приложение VIII

Обращение наименьшего девятизначного числа в наибольшее девятизначное число (состоящее из неповторяющихся цифр) при помощи математических действий

Исследования:

  • однозначные числа: наименьшее – 1, наибольшее – 9. Нужно выполнить следующие действия: 1х8+1=9;

  • двузначные числа: наименьшее – 12, наибольшее – 98. Действия следующие: 12х8+2= 98;

  • трехзначные числа: наименьшее – 123, наибольшее – 987. Действия таковы: 123 х 8 + 3 = 987;

  • принимая во внимание обнаруженную закономерность, можно записать последовательность:

1234 х 8 + 4 = 987612345 х 8 + 5 = 98765123456 х 8 + 6 = 9876541234567 х 8 + 7 = 987654312345678 х 8 + 8 = 98765432123456789 х 8 + 9 = 987654321

Вывод: число а обращается в число в при помощи двух действий: умножения а на 8 и увеличения получившегося произведения на 9: 123456789х8+9=987 654 321.

Приложение IX

Произведения всех однозначных чисел, кроме 0 и единицы, на наибольшее и наименьшее девятизначное число, состоящее из неповторяющихся цифр

Исследования:

Умножим поочередно все однозначные числа, кроме 0 и единицы, на число а:

2х123456789=246913578

3х123456789=370370367

4х123456789=493827156

5х123456789=617283945

6х123456789=740740734

7х123456789=864187523

8х123456789=987654312

9х123456789=1111111101

Умножим поочередно все однозначные числа, кроме 0 и единицы, на число в:

2х987654321=1975308642

3х987654321=2962962963

4х987654321=3950617284

5х987654321=4938271605

6х987654321=5925925926

7х987654321=6913580247

8х987654321=7901234568

9х987654321=8888888889

Общие свойства, по которым все однозначные множители можно разбить на две группы: в первую группу чисел относятся – 2,4,5,7,8; во вторую – 3,6,9.

Каждое произведение числа а на число 1-й группы состоит из девяти неповторяющихся цифр; каждое произведение числа в на число из 1-й группы состоит из десяти неповторяющихся цифр. Произведения чисел а и в на числа 2-й группы содержат повторяющиеся цифры.

18

Просмотров работы: 474

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n2 можно записать:

y1 = 12 = 1;

y2 = 22 = 4;

y3 = 32 = 9;…yn = n2;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

yn = f(n).

Пример. yn= 2n – 1 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.

Пример 2. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn–2 + yn–1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 = 2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y1y2y3ynyn+1

Определение. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y1 = 1; yn = n2– возрастающая последовательность.

Пример 2. y1 = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность {an}, заданная рекуррентно соотношениями

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

(a и d – заданные числа).

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение anчерез n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

an = a1 + d(n – 1).

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение anчерез n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то ai + aj= ak + al. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:

a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = … = 2a1 + (n – 1)d.

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Sn = a1 + a2 + … + an–1 + an.

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

Sn = an + an–1 + … + a2 + a1.

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an–1) + … + (an + a1) = n(2a1 + (n – 1)d),

откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

an = an–1 + d;

an = an+1d.

Сложение двух последних равенств дает .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {bn}, заданная рекуррентно соотношениями

b1 = b, bn = bn–1q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b12, b22, b32, …, bn2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b12, а знаменатель – q2.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

bn = b1qn–1.

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b1, b2, b3, …, bn

пусть Snсумма ее членов, т.е.

Sn= b1 + b2+ b3 + … + bn.

Принимается, что q № 1. Для определения Snприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения Snq.

Тогда

Snq = (b1 + b2 + b3+ … + bn–1 + bn)q = b2 + b3 + b4 + …+ bn + bnq = Sn+ bnq b1.

Таким образом, Snq = Sn + bnq – b1 и, следовательно,

.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае Sn = a1n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

bn= bn-1q;

bn= bn+1/q,

следовательно, bn2= bn–1 bn+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {cn} = {1/n}. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

.

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

Если существует такое число A, что для любого (сколь угодно малого) положительного числа ε найдется такое натуральное N (вообще говоря, зависящее от ε), что для всех n ≥ N будет выполнено неравенство |an – A| {an} сходится и A – ее предел.

Обозначается это так: .

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {cn} = {1/n}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

.

Существует ли такое N, что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1, то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {an} имеет предел A, то последовательности {can}, {an + с} и {| an|} имеют пределы cA, A + c, |A| соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {an} и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {pan + qbn} имеет предел pA + qB.

Теорема 5. Если последовательности {an} и {bn}имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {anbn} имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {an} и {bn} имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, bn0 и B ≠ 0, то последовательность {an / bn} имеет предел A/B.

Анна Чугайнова

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 40\) (по другим источникам до \( \displaystyle 100\)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из \( \displaystyle 6\)-ти членов: \( \displaystyle 6;\text{ }8;\text{ }10;\text{ }12;\text{ }14;\text{ }16…\)

Нам необходимо найти сумму данных \( \displaystyle 6\) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму \( \displaystyle 100\) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть \( \frac{6}{2}=3\).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна \( 22\), а подобных равных пар \( 3\), мы получаем, что общая сумма равна:

\( \displaystyle S\text{ }=\text{ }22\cdot 3\text{ }=\text{ }66\).

Таким образом, формула для суммы первых \( \displaystyle n\) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен \( \displaystyle n\)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу \( \displaystyle n\)-го члена. \( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\)

Что у тебя получилось?

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма \( \displaystyle 40\) чисел, начиная от \( \displaystyle 1\)-го, и сумма \( \displaystyle 100\) чисел начиная от \( \displaystyle 1\)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма \( \displaystyle 100 \) членов равна \( \displaystyle 5050\), а сумма \( \displaystyle 40 \) членов \( \displaystyle 820\).

Так ли ты решал?

  • \( {{S}_{40}}=\frac{\left( 1+40 \right)\cdot 40}{2}=\frac{41\cdot 40}{2}=\frac{1640}{2}=820\)
  • \( {{S}_{100}}=\frac{\left( 1+100 \right)\cdot 100}{2}=\frac{101\cdot 100}{2}=5050\)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text{ }5;\text{ }4;\text{ }3;\text{ }2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\~~{{S}_{6}}=\frac{\left( 6+1 \right)\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21\\~\end{array}\)

Способ 2.

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\)

\( {{S}_{n}}=\frac{2\cdot 6+1\left( 6-1 \right)}{2}\cdot 6=\frac{12+5\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21\)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\{{S}_{60}}=\frac{\left( 60+1 \right)\cdot 60}{2}=\frac{61\cdot 60}{2}=61\cdot 30=1830.\end{array}\)

Урок математики в 1-м классе по теме “Числа 1–7”, образовательная система “Школа–2100”

Основные цели:

  • Сформировать представление о числе 7 с опорой на числовой отрезок, способность к его записи с помощью графической модели и цифрой.
  • Закрепить взаимосвязь между частью и целым.
  • Сформировать способность к сложению и вычитанию в пределах 7, к фиксированию движения по отрезку несколькими одновременно выполняемыми шагами.
  • Повторить схематическую и знаковую форму записи чисел в пределах 7, сравнение групп предметов по количеству, запись результатов сравнения с помощью знаков «больше», «меньше», «равно».

Оборудование:

  • Рисунок «Гроздья винограда»
  • Геометрические фигуры: квадрат, прямоугольник, семиугольник, незамкнутая ломаная, состоящая из 4 звеньев, отрезок, треугольник, трапеция, пятиугольник, шестиугольник, угол.
  • Карточки с графическим изображением чисел и знаков.
  • Модель числового отрезка.
  • Эталон состава числа 7.
  • Карточки для работы в группах.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

1.Работа над закономерностью.

На доске дан ряд чисел: 16    25

– Какова закономерность? Продолжите данный ряд чисел, соблюдая закономерность.

Полученный ряд: 16    25    34    43    52    61

– Найдите общий признак каждой пары чисел (сумма каждой пары равняется 7)

2. Логическое задание «Гроздья винограда».

– Определите, какие числа пропущены:

– Докажите, что лишний квадрат (у него все стороны равны, а у остальных фигур все стороны неравны)
– Докажите, что лишняя ломаная (она незамкнутая ломаная, а остальные фигуры – это замкнутые ломаные)
– Докажите, что лишний семиугольник (у него 7 звеньев, а у остальных фигур – 4 звена)

Итог: установите связь между этими заданиями (все задания связаны с числом 7)

4. Характеристика числа 7.

Число 7 занимает седьмое место в числовом ряду; предыдущее число 6; последующее число 8.

5. Составление числовых выражений.

– Составьте числовые выражения на сложение, значение которых равно 7

1 + 6 2 + 5 3 + 4 4 + 3 5 + 2 6 + 1

– Составьте числовые выражения на вычитание, значение которых равно 7

8 – 1 9 – 2 10 – 3 и т.д.

6. Сравните числа и поставьте знаки > < = и докажите двумя способами.

Образец рассуждения:

– число 5 меньше 7, потому что число 5 при счете называется раньше, чем число 7;
– число 5 меньше 7, потому что на числовом отрезке число 5 находится левее, чем число 7
– Не называя чисел, скажите, какие числа меньше 7 (все числа, которые при счете называются раньше, чем число 7; все числа, которые на числовом отрезке находятся левее, чем число 7)
– Не называя чисел, скажите, какие числа больше 7 (все числа, которые при счете называются позже, чем число 7; все числа, которые на числовом отрезке находятся правее, чем число 7)

7. Работа по учебнику. Упражнение на установление закономерности и на установление количественного и порядкового. С. 78, №1

Работа сопровождается демонстрацией на доске:

– Сколько изображено фигур? (6)
– Назовите каждую фигуру (отрезок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник)
– Сколько звеньев у каждой фигуры?
– Обозначьте количество звеньев порядковым номером, поместите под каждую фигуру числовую карточку.
– Определите закономерность.
– Под каким номером фигура пропущена?
– Назовите эту фигуру.

Вариант рассуждения: у отрезка одно звено, значит эта фигура №1, у треугольника три звена, значит эта фигура №3, у четырехугольника 4 звена, значит эта фигура №4 и т.д. Пропущена фигура под №2, значит, она должна состоять из двух звеньев – это угол.

II. Постановка проблемы, «открытие» нового знания, формулирование темы урока

Работа по учебнику на с.78, №2. Работа по чертежу:

– Что изображено? (числовые отрезки)

Фиксирование проблемы.

– Что общего между этими числовыми отрезками? (начальная точка, конечная точка, действие сложение)

– Какое противоречие заметили? (Начальная точка – одинаковая, действие – одинаковое – «сложение», а числа, которые прибавляют разные. Почему получается одинаковая конечная точка?)

Работа над решением проблемы.

– Какое число будем увеличивать? (3)
– Как узнали? (от этой точки стрелка идет вправо)
– На сколько будем увеличивать это число? (на 4)
– Как узнали? (на первом числовом отрезке над стрелкой указано +4)
– Значение, какого числового выражения искала лягушка? (3 + 4)
– Значение, какого числового выражения искал суслик? (3 + 2 + 2)
– Значение, какого числового выражения искала бабочка? (3 + 1 + 3)
– Значение, какого числового выражения искала стрекоза? (3 + 3 + 1)
– Какое же число к 3 прибавляли все животные? (4) Почему, докажите. (4 это 2 и 2; 4 это 3 и 1; 4 это 1 и 3; 4 это 1, 1, 1, и 1)
– А как они прибавляли число 4 ? (по-разному)

Физкультминутка:

У медведя дом большой,
А у зайки маленький.
Наш медведь идёт домой,
А за ним и заинька.
Мы зверушек провожаем
И урок наш продолжаем.

III. Проектирование и фиксация нового знания

Составление числовых равенств по данным числовым отрезкам.

– Определите учебную задачу: чему будем учиться сегодня на уроке?

– Давайте объясним, как к 3 + 4 по-разному:

– Какой ещё существует способ прибавления 4 к 3? Изобразите его графически.

– Запишите этот способ в виде «цепочки» числовых равенств

V способ:

– Какой способ решения самый эффективный?

IV. Проецирование нового знания

В группах составьте обратные операции на вычитание 4 из числа 7 и зафиксируйте их в виде числовых равенств.

I группа – составление числовых равенств по числовым отрезкам.

II группа – составление схем в виде числовых отрезков по числовым выражениям

Вывод: Как по-разному можно прибавлять 4 к числу 3? Как по-разному можно вычитать 4 из числа 7?

V. Включение в систему знаний и повторение

1. Заполните пропуски по образцу.

2. Составьте по схеме по 2 числовых равенства на сложение и вычитание.

VI. Итог урока

– Как можно прибавлять и вычитать числа? (по частям)
– Что для этого нужно хорошо знать? (состав чисел)

Типы шаблонов чисел в математике

Изучая шаблоны в математике, люди узнают шаблоны в нашем мире. Наблюдение за образцами позволяет людям развивать свою способность предсказывать будущее поведение природных организмов и явлений. Инженеры-строители могут использовать свои наблюдения за схемами движения для строительства более безопасных городов. Метеорологи используют шаблоны для предсказания гроз, торнадо и ураганов. Сейсмологи используют шаблоны для прогнозирования землетрясений и оползней. Математические модели полезны во всех областях науки.

Арифметическая последовательность

Последовательность – это группа чисел, которые следуют шаблону на основе определенного правила. Арифметическая последовательность включает в себя последовательность чисел, к которой добавлено или вычтено одинаковое количество. Сумма, которая добавляется или вычитается, называется общей разницей. Например, в последовательности «1, 4, 7, 10, 13…» каждое число было добавлено к 3, чтобы получить последующее число. Общее различие для этой последовательности – 3.

Геометрическая последовательность

Геометрическая последовательность – это список чисел, которые умножаются (или делятся) на одинаковую величину.Величина, на которую умножаются числа, называется обычным соотношением. Например, в последовательности «2, 4, 8, 16, 32 …» каждое число умножается на 2. Число 2 является обычным соотношением для этой геометрической последовательности.

Треугольные числа

Числа в последовательности называются терминами. Члены треугольной последовательности связаны с количеством точек, необходимых для создания треугольника. Вы начнете формировать треугольник из трех точек; один сверху и два снизу.В следующем ряду будет три точки, всего шесть точек. В следующем ряду треугольника будет четыре точки, всего 10 точек. В следующем ряду будет пять точек, всего 15 точек. Следовательно, начинается треугольная последовательность: «1, 3, 6, 10, 15…»)

Квадратные числа

В последовательности квадратных чисел члены представляют собой квадраты их положения в последовательности. Последовательность квадратов должна начинаться с «1, 4, 9, 16, 25…»

Числа в кубе

В последовательности чисел куба элементы – это кубы, соответствующие их положению в последовательности.Следовательно, последовательность куба начинается с «1, 8, 27, 64, 125…»

Числа Фибоначчи

В числовой последовательности Фибоначчи члены находятся путем сложения двух предыдущих членов. Последовательность Фибоначчи начинается таким образом: «0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…» Последовательность Фибоначчи названа в честь Леонардо Фибоначчи, родившегося в 1170 году в Пизе, Италия. Фибоначчи представил европейцам индуистско-арабские цифры с публикацией своей книги Liber Abaci в 1202 году. Он также представил последовательность Фибоначчи, которая уже была известна индийским математикам.Последовательность важна, потому что она появляется во многих местах в природе, в том числе: узоры листьев растений, узоры спиральных галактик и измерения наутилуса в камерах.

Создание двух числовых моделей: Урок математики для 5-го класса

Учащиеся сгенерируют два числовых шаблона, используя два заданных правила, и определят очевидные отношения между соответствующими терминами. Учащиеся сформируют упорядоченные пары, состоящие из соответствующих терминов из каждого из двух шаблонов, и построят упорядоченные пары на координатной плоскости.

Цель урока: Урок приведен в соответствие с Общими государственными стандартами по математике – 5.OA.3 – Сгенерировать два числовых шаблона, используя два заданных правила. Определите очевидные отношения между соответствующими терминами. Сформируйте упорядоченные пары, состоящие из соответствующих терминов из двух шаблонов, и нанесите упорядоченные пары на координатную плоскость.

Необходимые материалы: Калькулятор, миллиметровая бумага

Порядок проведения урока:

Создает два числовых шаблона, определяет отношения между соответствующими терминами, формирует упорядоченные пары из соответствующих терминов, строит график на координатной плоскости.

В приведенной ниже таблице сгенерируйте числовой шаблон для каждого правила, показанного ниже.

1. Правило 1: Начните с 0. Добавьте 3.

2. Правило 2: Начните с 0. Добавьте 6.

Член 1 шаблона, сгенерированного из Правила 1, и Термин 1 шаблона, сгенерированного из Правила 2, является примером соответствующих терминов. Член 2 шаблона, сгенерированного из Правила 1 и Термина 2 шаблона, сгенерированного из Правила 2, является еще одним примером соответствующих терминов.

3. Какая связь существует между каждым из соответствующих членов паттернов?

Упорядоченные пары записываются как ( x , y ), где точка на координатной сетке определяется значениями x и y .Значение x обозначает расстояние, на которое точка находится от начала координат в горизонтальном направлении, а значение y обозначает расстояние в вертикальном направлении.

4. Сформируйте упорядоченные пары, используя соответствующие термины, где x – это значение терминов в шаблоне, созданном из Правила 1, а y – это значение членов в шаблоне, созданном из Правила 2.

5. Изобразите упорядоченные пары на координатной сетке.

ответов

3.Каждый член в шаблоне, созданном Правилом 2, в 2 раза больше соответствующего члена в шаблоне, созданном Правилом 1.

4. (0, 0) (3, 6) (6, 12) (9, 18) (12, 24) (15, 30)

5. Точки, использующие упорядоченные пары под номером 4, должны быть нанесены на координатную сетку.

Индивидуальная или групповая работа

В приведенной ниже таблице сгенерируйте числовой шаблон для каждого показанного правила.

1. Правило 3: Начните с 0. Добавьте 2.

2. Правило 4: Начните с 0.Добавляем 8.

3. Какая связь существует между каждым из соответствующих членов паттернов?

4. Сформируйте упорядоченные пары, используя соответствующие термины, где x – это значение терминов в шаблоне, сгенерированном из Правила 3, а y – это значение членов в шаблоне, созданном из Правила 4.

5. Изобразите упорядоченные пары на координатной сетке.

В приведенной ниже таблице сгенерируйте числовой шаблон для каждого правила, показанного ниже.

6. Правило 5: Начните с 0. Добавьте 5.

7. Правило 6: Начните с 0. Добавьте 7.

8. Какая связь существует между каждым из соответствующих членов паттернов?

9. Сформируйте упорядоченные пары, используя соответствующие термины, где x – значение терминов в шаблоне, сгенерированном из правила 5, а y – значение терминов в шаблоне, созданном из правила 64

10. Изобразите упорядоченные пары на координатной сетке.

ответов

3.Каждый член в шаблоне, созданном Правилом 4, в 4 раза больше соответствующего члена в шаблоне, созданном Правилом 3.

4. (0, 0) (2, 8) (4, 16) (6, 24) (8, 32) (10, 40)

5. Точки, использующие упорядоченные пары под номером 4, должны быть нанесены на координатную сетку.

8. Каждый член в шаблоне, созданном Правилом 6, на 2, 4, 6, 8 и 10 больше, чем соответствующий член в шаблоне, созданном Правилом 5.

9. (0, 0) (5, 7) (10, 14) (15, 21) (20, 28) (25, 35)

10.Точки, использующие упорядоченные пары под номером 9, должны быть нанесены на координатную сетку.

Этот пост является частью серии: Уроки математики для 5-х классов по теореме Пифагора

Дайте вашим ученикам конкретное представление о порядке операций. Уроки приведены в соответствие с Общими государственными стандартами математики 5.OA.1, 2 и 3.

  1. Вычисление выражений в круглых и квадратных скобках
  2. Написание простых выражений с числами и круглыми скобками
  3. Создание двух числовых моделей: Урок для 5-го класса
  4. Оценка теоремы Пифагора

Как заполнить линейный шаблон чисел – Видео и стенограмма урока

Формула

Чтобы решить эту проблему, вам понадобится формула для шаблонов линейных чисел:

и обозначают n -й член шаблона.Итак, a 1 – это первый член, а a 2 – второй член шаблона. d – это разница между каждым из терминов. n обозначает термин, который вы вычисляете. Если вы вычисляете третий член, то n равно 3. А c – константа, которую вам нужно будет вычислить.

Например, шаблон линейных чисел для 1, 3, 5, 7, 9,… имеет уравнение:

an = 2 n – 1.

Использование формулы

Теперь давайте посмотрим как можно использовать эту формулу для решения проблемы:

  • Завершите шаблон линейного числа, написав уравнение для шаблона, который начинается с 2 и имеет разность 2

Задача говорит вам, что первый член равен двум, а разница между терминами равна двум.Итак, d = 2 и a 1 = 2.

Используя эту информацию, вы можете продолжить и найти c . Тогда у вас будет уравнение для шаблона линейных чисел. Для этого вставьте 2 для , 1, 2 для d и 1 для n . Это показывает, что вы производите расчет для первого члена.

  • a 1 = d (1) – c
  • 2 = 2 (1) – с

Теперь вы можете решить для c :

  • 2 = 2 – c
  • 2 – 2 = 2 – 2 – с
  • 0 = с

Вы вычли 2 с обеих сторон, чтобы выделить c , и вы обнаружили, что c равно 0.

Теперь завершите уравнение для этого шаблона линейных чисел:

Помните, когда вы пишете окончательную форму уравнения, вы оставляете и как есть и заполняете значения для d и c .

Пример

Давайте попробуем другой пример:

  • Напишите уравнение для шаблона линейного числа, которое начинается с 7 и каждый раз прибавляет 5, чтобы найти следующий член

Читая эту задачу, вы видите, что проблема говорит вам, что первый член равен 7, а разница между терминами равна 5.Итак, вы сделаете то, что делали ранее, и вставьте первый член 7 вместо a 1, n = 1 и d = 5, чтобы вы могли найти значение c .

  • a 1 = d (1) – c
  • 7 = 5 (1) – с

Теперь вы можете решить для c . Вы умножаете 5 * 1, чтобы получить 5, а затем вы можете вычесть 5 из обеих частей, чтобы получить c .

  • 7 = 5 – с
  • 7-5 = 5-5-90 151 с
  • -2 = – с
  • 2 = с

Вы обнаружите, что c равно 2.Помните, что вы вычитаете c , поэтому, когда вы вычитаете 5 с обеих сторон, у вас остается отрицательное значение c справа от знака равенства. Вам нужно будет умножить обе стороны на -1, чтобы найти положительное значение c . Когда вы это сделаете, вы обнаружите, что c равно 2.

Теперь вы можете подставить c и d в формулу, чтобы найти уравнение для этого шаблона линейных чисел.

Сводка урока

Образец линейных чисел – это последовательность чисел, разность между всеми членами которой одинакова.Вот несколько примеров шаблонов линейных чисел.

  • 3, 5, 7, 9,…
  • 5, 8, 11, 14,…

У всех линейных числовых шаблонов есть уравнение этой формы.

и обозначают n -й член шаблона. d – это разница между каждым из терминов. n обозначает термин, который вы вычисляете. c – постоянная величина.

Чтобы найти уравнение любого линейного числового шаблона, вы начинаете с вычисления первого члена.Вы вставляете первый член и разницу между членами в уравнение, а затем вычисляете значение c . Затем вы запишите уравнение в виде и , заполнив значения для d и c .

Рабочий лист с числовыми моделями

Расширенный поиск

Содержание:

Язык: AfarAbkhazAvestanAfrikaansAkanAmharicAragoneseArabicAssameseAsturianuAthabascanAvaricAymaraAzerbaijaniBashkirBelarusianBulgarianBihariBislamaBambaraBengali, BanglaTibetan стандарт, тибетский, CentralBretonBosnianCatalanChechenChamorroCorsicanCreeCzechOld церковнославянский, церковнославянский, Старый BulgarianChuvashWelshDanishGermanDivehi, Мальдивский, MaldivianDzongkhaEweGreek (современный) EnglishEsperantoSpanishEstonianBasquePersian (фарси) Фуле, фулах, пулар, PularFinnishFijianFaroeseFrenchWestern FrisianIrishScottish гэльский, GaelicGalicianGuaraníGujaratiManxHausaHebrew (современный) HindiHiri MotuCroatianHaitian, гаитянский CreoleHungarianArmenianHereroInterlinguaIndonesianInterlingueIgboNuosuInupiaqIdoIcelandicItalianInuktitutJapaneseJavaneseGeorgianKarakalpakKongoKikuyu, GikuyuKwanyama, KuanyamaKazakhKalaallisut , Гренландский, кхмерский, каннада, корейский, канури, кашмирский, курдский, коми, корнийский, киргизский, латинский, люксембургский, летцебургский, ганда, лимбургский, лимбургский, лимбургский, лингала, литовский, люба-катанга, латышский, малагасийский, маршалльский, мао riMacedonianMalayalamMongolianMarathi (маратхи) MalayMalteseBurmeseNauruanNorwegian BokmålNorthern NdebeleNepaliNdongaDutchNorwegian NynorskNorwegianSouthern NdebeleNavajo, NavahoChichewa, Chewa, NyanjaOccitanOjibwe, OjibwaOromoOriyaOssetian, OsseticEastern пенджаби, Восточная PanjabiPāliPolishPashto, PushtoPortugueseQuechuaRomanshKirundiRomanianRussianKinyarwandaSanskrit (санскрит) SardinianSindhiNorthern SamiSangoSinhalese, SinhalaSlovakSloveneSamoanShonaSomaliAlbanianSerbianSwatiSouthern SothoSundaneseSwedishSwahiliTamilTeluguTajikThaiTigrinyaTurkmenTagalogTswanaTonga (Остров Тонга) TurkishTsongaTatarTwiTahitianUyghurUkrainianUrduUzbekValencianVendaVietnameseVolapükWalloonWolofXhosaYiddishYorubaZhuang, ChuangChineseZulu Тема:

Оценка / уровень: Возраст: 3456789101112131415161718+

Поиск: Все рабочие листы Только мои подписанные пользователи Только мои любимые рабочие листы Только мои собственные рабочие листы

Совет по экономии времени: как создать инкрементный числовой…

Вот метод экономии времени, который полезен в любое время, когда пользователям Creo нужно увеличить (или уменьшить) числовые значения на детали, будь то твердый материал или даже просто иметь эскизы для маркировки элементов.


Чтобы создать инкрементный числовой массив внутри детали, сначала перейдите в Инструменты> Параметры.

Затем создайте новый параметр и установите значение, которое вы хотите, чтобы ваше начальное значение для вашего шаблона было. В этом примере мы начинаем с нуля и вызываем параметр «Число».

Затем создайте эскиз, нарисуйте точку.

Откройте ваши отношения и установите число, равное измерению от этой точки.В этом примере точка совпадает с нашей вертикальной привязкой, и используется размер от нашей горизонтальной привязки.

Нажмите ОК. Затем щелкните значок текста в своей группе эскизов.

Щелкните сначала внизу, а затем вверху там, где вы хотите разместить текст.Затем в текстовом окне установите текст для использования параметра и выберите параметр, который вы создали ранее. Установите горизонтальное и вертикальное выравнивание текста так, как вы хотите. В этом примере вертикальное значение по умолчанию равно низу, а горизонтальное изменено на центральное.

Нажмите ОК. Завершите набросок.Затем выберите эскиз и щелкните узор. Используйте размер, таблицу или образец оси. В этом примере мы используем шаблон оси. Количество экземпляров узора установлено равным 10. Во всплывающем меню размеров выбирается размер для точки, созданной в нашем эскизе и используемой для управления параметром Number, и устанавливается значение приращения, равное единице.

Значок угла выбран для равномерного распределения экземпляров на 360 градусов.Затем узор завершается и отображается, как показано в этом примере:

Изменяя начальное значение параметра Number на 12, приращение шаблона до -1 и направление движения в другую сторону, шаблон можно изменить на циферблат, как показано:

Тот же метод с небольшими изменениями можно также использовать для создания возрастающей числовой сетки.Для этого вы размещаете точку в своем первом эскизе, чтобы иметь как вертикальный, так и горизонтальный размер. Оба параметра установлены в ноль в примере, показанном ниже.

Затем установите отношение чисел равным сумме обоих измерений из добавленной вами точки. В приведенном ниже примере sd13 и sd15 – это эти размеры, а «num» – это имя параметра.

Щелкните ОК, затем завершите эскиз. Добавьте дополнительный параметр для количества столбцов, которые вы хотите иметь в своей сетке. Затем создайте размерный образец эскиза. Для этого шаблона вам необходимо иметь как горизонтальное расстояние для вашей точки, так и горизонтальное расстояние для вашего текста в одном и том же поле направления (для этого удерживайте «ctrl» при выборе).Затем поместите и ваше вертикальное расстояние от вашей точки, и ваше вертикальное расстояние от вашего текста во втором поле направления. В качестве приращений для горизонтального и вертикального расстояний для вашей точки установите их равными единице. Установите приращение для вашего текста, насколько далеко вы хотите, чтобы текст был разнесен.

Задайте количество строк, которое вы хотите в шаблоне (пока не беспокойтесь о настройке столбцов).Завершите выкройку. Затем откройте ваши отношения и установите количество столбцов для вашего шаблона, равное параметру столбца, который вы создали ранее. Также установите приращение для вертикального расстояния вашей точки, равное параметру столбца.

Завершите свою выкройку. В этом примере отобразится следующая сетка:

Теперь можно легко изменить количество столбцов и строк, а также начальное значение и приращение шаблона.

Зарегистрируйтесь для LiveWorx 18, чтобы ознакомиться с последними советами и рекомендациями по проектированию продуктов, которые помогут расширить свои знания. Зарегистрируйтесь, чтобы стать участником программы LiveWorx Insider, чтобы получать все последние новости и события!

Карточки заданий с образцами

– Уголок учебной программы 4-5-6

Используйте эти бесплатные карточки с заданиями с числовыми шаблонами для занятий в математическом центре или в качестве SCOOT-игры в математическом классе.


Вы можете загрузить этот бесплатный набор карточек задач с числовыми шаблонами, нажав на жирные синие слова внизу этого сообщения.Доступны как цветная, так и черно-белая версии.

Эти карточки предназначены для использования со студентами, которые уже научились находить числовые шаблоны, но все еще нуждаются в некоторой практике или повторении.

Если вы еще не научили этому навыку, обязательно сначала преподайте студентам урок о том, что необходимо.

Учащимся предлагается назвать следующие два числа в шаблоне, а затем определить правило.

Наряду с карточками задач и страницами записи предоставляется ключ ответа.Вы можете использовать его для выставления оценок или для самостоятельной проверки ответов учащимися.

Этот набор карточек задач с числовыми шаблонами состоит из 24 карточек.

Также включен набор листов для записей, чтобы вы могли изменять задания по мере необходимости для разных учеников. Вверху каждой страницы есть место, где студенты могут записывать карточки с номерами заданий. Например, некоторые ученики могут заполнить все шансы, в то время как вы можете попросить других учеников завершить эвены.

При использовании в качестве SCOOT-игры используйте страницу с предоставленными полями.Эта игра предназначена для того, чтобы студенты начали двигаться. Поместите карточку на место каждого ученика или в различные места в комнате. Учащиеся выбирают место, и им дается определенное количество времени, чтобы решить задачу. Затем учитель объявляет «SCOOT», и дети вращаются по заранее определенному маршруту или направлению (или случайным образом) и заполняют еще одну карточку с заданием в другом месте.

Вы можете скачать этот набор здесь:

Шаблоны карточек задач

На всякий случай нам также предоставлен набор без узорчатого фона для печати с меньшим количеством чернил:

Шаблоны карточек задач

Возможно, вас заинтересует наш Буклет «Академический математический словарь»

Создание шаблонов чисел | Helping with Math

Примечание. На этой странице содержатся устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются.Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего предложения членства.

В этом уроке вы научитесь описывать, расширять и обобщать числовые шаблоны. Работа с числовыми шаблонами – очень полезный навык для решения многих типов задач.

Выявление закономерностей при рассмотрении отдельных примеров помогает обобщить и найти более широкое решение проблемы.

Проработайте вместе с детьми примеры и объяснения в этом уроке, а затем попробуйте рабочий лист, который вы найдете внизу этой страницы.

Выкройки, которые вы уже знаете

Вероятно, даже не подозревая об этом, вы наблюдали и создавали закономерности с самого раннего детства. Вы, вероятно, сделали повторяющиеся узоры с фигурами, например, приведенный ниже с треугольниками, кругами и квадратами.

Попросите детей объяснить узор, который они видят в приведенной выше последовательности фигур.

Когда вы немного постарели, вы, вероятно, научились подсчету пропусков, который представляет собой не что иное, как применение шаблона для подсчета.

Подсчет пропусков

Пропуск по 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16…

Пропуск по 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…

Пропуск по 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70…

Все это закономерности или математические правила.

Создание и анализ шаблонов чисел

Интересная часть математики – это создание шаблонов и игра с ними. Математика построена по правилам, которым нужно следовать. Если вы знаете, что такое правило, вы можете создать узор.Правило часто организовано в виде таблицы функций, как показано в примерах ниже.

Пример таблицы функций: x + 5 = y
x + 5 = y
x y
В этой таблице показано правило «прибавлять 5 к числу». Столбец «x» – это сторона ввода. Столбец «y» – это сторона вывода. Числа, стоящие рядом, идут вместе. В первой строке начните с 0 и прибавьте 5. Результат – 5. Начните с 1 во второй строке, прибавьте 5. Результат – 6 и так далее.

Пример таблицы функций: 2x = y
2x = y
x y
В этой таблице показано правило «умножать число на два». В первой строке начните с 0 и умножьте на 2. Результат – 0. Начните с 1 во второй строке и умножьте на два. Результат – 2. В третьей строке начните с 2 и умножьте на 2. Результат – 4. И так далее.

Пример таблицы функций: x – 3 = y
x – 3 = y
x y
В этой таблице показано правило «вычесть 3 из числа».Хотя таблица функций обычно начинается с 0 на стороне X, это не обязательно. Числа X обычно начинаются с наименьшего и становятся больше, но первое число может быть любым. Цифры также могут увеличиваться более чем на единицу. Эта таблица начинается с 6, и каждое число X увеличивается на два. В первой строке 6 – 3 = выход в столбце Y 3 и так далее.

Вместе с детьми поработайте над следующим набором примеров числовых шаблонов. Вы можете проверить свои ответы, щелкнув пустые поля, чтобы показать или скрыть числа Y.

Пример таблицы функций: x + 9 = y
x + 9 = y
x y
Иногда вам дают таблицу с правилом и просят применить правило к числам в столбце X, чтобы дополнить числа в столбце Y.

Какими будут числа Y для этой таблицы функций?

Установите флажки, чтобы показать или скрыть ответы.

Как вы заполняли недостающую информацию на стороне Y? Установите флажки, чтобы проверить свои ответы.Поскольку правило X +9 = Y, вы добавляете 9 к каждому из чисел X, чтобы получить соответствующее число Y.

Пример таблицы функций: x – 7 = y
x – 7 = y
x y
Давай попробуем еще. Какими будут числа Y для этой таблицы функций? Установите флажки, чтобы показать или скрыть ответы.

Как вы заполняли недостающую информацию на стороне Y? Проверьте свои ответы, установив флажки.Поскольку правило X -7 = Y, вы должны вычесть 7 из каждого числа X, чтобы получить соответствующее число Y.

Пример таблицы функций: 5x = y
5x = y
x y
Иногда вам могут дать части с обеих сторон стола, и вам нужно восполнить то, чего не хватает, используя то, что вы знаете. Посмотрите, сможете ли вы заполнить то, чего не хватает в этой таблице функций. Установите флажки, чтобы показать или скрыть ответы.

Как вы заполняли недостающую информацию? Поскольку правило для этой таблицы функций – «умножить на 5», первое недостающее число равно 15, так как 3 x 5 = 15. Для следующего пропущенного числа вы должны подумать: «какое число, умноженное на 5, даст мне 25?» Вы также можете думать об этом как о делении: «25 разделить на 5 = какое число?» поскольку деление – это , обратное , или противоположное умножению. Последнее отсутствующее число – 5 x 7 или 35.

Пример таблицы функций: что такое правило?
x y
Иногда вам может быть предоставлена ​​таблица функций без правила.Вы должны проанализировать, что вы видите, что происходит с числами, и решить, каково правило для этой конкретной таблицы функций. Вам часто будет предложено использовать обнаруженное вами правило, чтобы заполнить недостающие числа в таблице функций и / или продолжить шаблон, расширив таблицу функций. Как вы думаете, какое правило для этого стола? Какие недостающие числа? Установите флажки, чтобы показать или скрыть ответы.

Как поживаете? Удалось ли вам выяснить закономерность? В этой таблице показано «умножить число на 3.«Вы можете использовать заполненные числа, чтобы выяснить правило, задав вопрос:« Какая связь между числами X и соответствующими им числами Y? » Ищите шаблоны. После того, как вы определили шаблон, просто заполните недостающие числа. Здесь отсутствовали 21 (3 x 7) и 33 (3 x 11). Если бы вас попросили расширить стол, вы бы получили пару: 13, 39.

Создание и анализ числовых шаблонов с помощью функциональных таблиц: резюме

Итак, когда дело доходит до числовых шаблонов, помните следующее:

  • Ищите взаимосвязь между стороной входа «X» и стороной выхода «Y».
  • Проверьте узор по каждому ряду. Это должно быть верно для всей таблицы, иначе это не правило.
  • Используйте правило и числа, которые вы знаете, чтобы завершить или расширить узор.

Шаблоны номеров и функциональные таблицы Рабочие листы

Щелкните ссылку ниже и попросите своих детей попробовать рабочий лист «Шаблоны чисел и таблицы функций». Этот рабочий лист состоит из 3 страниц и включает краткое изложение вышеизложенного, практические рекомендации и независимые вопросы.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.