Число 27 четное или нечетное: Таблица нечётных чисел от 0 до 100

Сборник задач для учащихся 5-6 классов

жүктеу/скачать 3,64 Mb. Pdf көрінісі бет 1/183 Дата 06.02.2022 өлшемі 3,64 Mb. #81764 түрі Сборник задач

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   …   183

Байланысты:
ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ

Готовимся к  олимпиадам    Сборник задач для учащихся 5-6 классов        Введение  “Крупное научное открытие дает решение  крупной проблемы, но и в решении любой задачи  присутствует  крупица  открытия.   Задача,  которую вы решаете, может быть скромной, но  если она бросает вызов вашей любознательности и  заставляет вас быть изобретательным и если вы  решаете ее собственными силами, то вы сможете  испытать ведущее к открытию напряжение ума и  насладиться радостью победы”. (Д.Пойа) Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать  задачи является одним из основных показателей уровня математического развития,  глубины усвоения учебного материала по любой математической дисциплине. Понятно,  что научиться решать все без исключения задачи невозможно. В математике известны  задачи, которые ученые уже много лет решают и не могут получить результатов. Но если  говорить о стандартных, типовых, “эталонных” задачах алгебры, математической логики,  геометрии, математического анализа и областей математики, то каждый изучающий эти  дисциплины в принципе может научиться их решать.  Конечно, и здесь может встретиться  задача, которую с ходу не решить. Необходимо будет посидеть над ней, поработать, но в  принципе любая такая задача может быть решена.  Современный этап развития общества резко обострил проблему выявления одаренных  школьников, создания условий для их развития и наиболее целесообразного  использования их способностей. Поиск одарѐнных личностей должен идти непрерывно,  начиная со школы. Наиболее распространѐнной формой отбора одаренных детей являются  математические олимпиады.  жүктеу/скачать 3,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   …   183

---

©engime.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

Корень n-й степени и его свойства

урок 3. Математика ОГЭ и ЕГЭ

Что такое корень n-й степени из действительного числа

Чтобы научиться работать с корнями степени \(n\), необходимо знать, что такое арифметический квадратный корень и его свойства. {n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

Число \(n \in N\) при этом называют показателем корня, а число \(a\) покоренным выражением.

Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный арифметический квадратный корень, который все проходили в 8-м классе.

Если \(n=3\), то это корень 3-й степени, \(\sqrt[3]{a}\). Его обычно называют кубическим корнем. Чтобы его вычислить, нужно найти такое число, которое умноженное на само себя три раза, даст подкоренное выражение.

Если \(n=4\), то корень 4-й степени, \(\sqrt[4]{a}\)и т.д.

Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень. Для того, чтобы вычислить корень n-й степени от \(a\), нужно сообразить какое число в степени \(n\) будет давать \(a\).

Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.

Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.

Пример 3 $$ \sqrt[n]{0}=0 $$

Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.

Пример 4 $$ \sqrt[n]{1}=1 $$

Если извлечь корень n-й степени из 1, всегда будет 1.

Пример 5 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.

Пример 6
Оценить значение \(\sqrt[4]{15}= ?\)

$$ \sqrt[4]{1} \le \sqrt[4]{15} \le \sqrt[4]{16}; $$ $$ 1 \le \sqrt[4]{15} \le 2; $$

Корень четной и нечетной степеней

Надо четко различать правила работы c четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из неотрицательного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:

Пример 7 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного. Напоминаю, что извлечь корень 3-й степени, значит найти такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст покоренное выражение. Если \((-3)\) умножить на само себя три раза, то мы получим покоренное выражение \(-27=(-3)*(-3)*(-3)\).

2}=\sqrt[3]{4};$$

Рассмотрим применение формул корня от произведения и частного, без которых невозможно решить ни один приличный пример.
Корень степени \(n\) от произведения равен произведению корней степени \(n\) от этих множителей. $$ \sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b} $$ И аналогично корень степени \(n\) от частного равен частному корней n-й степени. $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0 $$

Пример 13 $$\sqrt[3]{125*8}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}=5*2=10;$$ $$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=\frac{-\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{-3}{2};$$

Формулы справедливы не только для двух множителей:

Пример 14 $$\sqrt[3]{125*8*27}=\sqrt[3]{125}*\sqrt[3]{8}*\sqrt{27}=5*2*3=30;$$

Пример 15 $$\sqrt[4]{\frac{16*81}{625}}=\frac{\sqrt[4]{16*81}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{\sqrt[4]{16}*\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{2*3}{5}=\frac{6}{5};$$

Обратите внимание! Формулы произведения и частного корней справедливы только для корней с одинаковыми показателями. 3}=\sqrt[6]{1728};$$ $$\sqrt[6]{2916}>\sqrt[6]{1728};$$ $$3\sqrt[3]{2}>2\sqrt{3}.$$

Извлечение корня из корня

Что делать если корень вложен в корень? Подобных примеров много и выглядят они страшнее, чем есть на самом деле. Если корень с показателем \(n\) находится под корнем с показателем \(m\), то получается корень с показателем \(m*n\):

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m*n]{a};$$

Пример 21
$$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}}=\sqrt[3*2]{64}=\sqrt[6]{64}=2;$$

Пример 22
$$\sqrt[3]{27\sqrt[4]{7}}=\sqrt[3]{27}*\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}}=3*\sqrt[3*4]{7}=3*\sqrt[12]{7};$$

Пример 23
$$\sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[5]{2}}}=\sqrt[3*4*5]{2}=\sqrt[60]{2}.$$

---

Метод рационализации в неравенствах

Метод рационализации (равносильности) помогает значительно сократить решение показательных и логарифмических неравенств. Рационализация часто встречается в задании 14 ЕГЭ по математике.

---

Как решать показательные неравенства. Методы и способы решения

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

---

Как решать неравенства с логарифмами. Методы и способы решения

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

---

Логарифмические уравнения. Методы и способы решения

Как решать уравнения с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в уравнениях. Разбираем основные методы.

---

Как решать показательные уравнения. Методы и способы решения

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

---

Логарифм и его свойства. Как решать логарифмы

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

---

Степень с рациональным показателем. Как считать и ограничения

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

---

Квадратный корень и его свойства

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

---

Степени с целым показателем и их свойства

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

---

Курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ Видное

Курсы эффективной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике. Занятия индивидуально и в группах по 2-4 человека. Преподаватели высшей категории. Прирост от обучения на 42 балла.

---

Как взять половину любого числа.

Как найти четверть или 25%. Как найти 15%. — Полный курс арифметики

Навыки в н А Р И Т Х М Е Т И К Содержание | Главная | Введение Урок 16 Раздел 2 Назад к Разделу 1

7.    Какие натуральные числа называются числами и четными ?     Числа, которые можно разделить на две равные части.

8 — четное число, потому что мы можем разделить его «равномерно» на две четвёрки. 4 половина 8. 9 не четное число. Есть “нечетное” 1: Поэтому мы называем 9 нечетным числом. Мы не можем взять половину натурального числа, которое является нечетным. Мы не можем взять половину из 9 человек. Таким образом, четные числа — это числа, которые делятся на 2:  2, 4, 6, 8 и т. д. Нечетные числа 1, 3, 5, 7 и так далее. Если вы не знаете половину какого-то четного числа, вы можете найти его, мысленно разложив его на два четных числа, половину которых вы знаете. Мы видели, как это сделать, в Разделе 1, Примере 8. Пример 1.   Сколько будет половина от 54?    Ответ . Половина из 54 = Половина из 50 + Половина из 4     = 25 + 2     = 27. Что касается нечетных чисел, обратите внимание, что каждое нечетное число равно четному числу плюс 1. 3 = 2 + 1. 5 = 4 + 1. 7 = 6 + 1. 9 = 8 + 1. И так далее. Опять же, если натуральное число нечетное, мы не можем взять его половину. Поэтому теперь мы предположим, что мы не обязательно имеем дело с натуральными числами, и что 1 теперь является непрерывной единицей — единицей, которую мы используем для измерения, — и у которой есть половина: 1 минута, 1 сантиметр, 1 фунт и скоро. (Урок 20.)

8.    Какое число составляет половину от 1?     ½ (“Половина”)

½ должно быть половиной чего-то. Это половина 1. Половина 1 доллара, конечно же, составляет долларов. 50.

9.    Как мы можем взять половину нечетного числа?   Половина 7     Возьмите половину его четной части и добавьте половину 1.

Пример 2.   Сколько будет половина от 7? Ответить . 7 = 6 + 1. Половина 6 равна 3; половина 1 равна ½; поэтому половина 7 равна 3½. Половина от 7 долларов . 00 составляет 3 долларов США. 50. Пример 3.   Шарф, который обычно стоит 17 долларов, продается за полцены. Что вы платите? Ответить . 17 = 16 + 1. Половина от 16 – это 8.  Следовательно, половина от 17 долларов – это 8  долларов. 50. Пример 4.   Сколько будет половина от 25%? Ответить . 12½%. 25 = 24 + 1. Половина от 24 равна 12. Половина от 1 равна ½. Итак, если вы знали, что 25% означают четверть, то теперь вы знаете, что 12½% означают восьмую часть. (см. урок 27, пример 7) Пример 5   Сколько будет половина от 27 долларов . 40? Ответить . Мы возьмем половину от 27 долларов и добавим к ней половину от долларов. 40. Так как 27 = 26 + 1, то Половина от 27 долларов составляет 13 долларов . 50. Половина от $. 40 стоит долларов. 20. Таким образом, половина от 27,40 долларов – это 13  долларов. 70. Пример 6.   Сколько будет половина от 90? Ответить . 90 = 80 + 10. Половина 80 равна 40; половина 10 равна 5; поэтому половина 90 равна 45. См. задачу 21. Пример 7.   Сколько будет половина долларов США . 70? Ответить . Половина от $9 . 00 (8 + 1) составляет 4 долларов США. 50. Половина $ . 70 это $. 35. Таким образом, половина 9,70 доллара – это 4  доллара. 85. Пример 8.   Знаменитое число π («пи») приблизительно равно 3·9.0025 . 14. Как   многое составляет половину числа π; то есть № 2 ? Ответ.  Игнорировать десятичную точку в числе 3 . 14. Тогда половина 300 равна 150; половина 14 равна 7; поэтому половина 314 равна 157.  При замене десятичной точки № 2 1 . 57.

10.    Как мы можем взять четвертых или 25% числа?     Возьмите половину половины.

Разделить число пополам означает разделить его на две равные части. Разделить его на Кварты, или четверти, значит разделить его на четыре равные части. И мы можем сделать это, взяв половину каждой половины. Четверть – это половина половины. Сравните урок 15. Пример 9.   Сколько стоит четверть или четверть от 60? Ответить . Половина от 60 – это 30. Половина от 30 – это 15. Пример 10.   Сколько будет 25% от 180? Ответить . 25% означает четверть. (Урок 15.) Половина от 180 равна 90. Половина от 90 равна 45. Пример 11.   Сколько будет 25% от 112? Ответить . Половина от 112 = половина от 100 + половина от 12 = 56. Ответить . Половина от 56 = половина от 50 + половина от 6 = 25 + 3 = 28. Пример 12.   Сколько будет 25% от 9,60 доллара? Ответ . Половина от 9,60 доллара = 4,50 доллара + 0,30 доллара = 4,80 доллара. Половина от 4,80 доллара = 2 долларов. 40

11.    Как мы можем умножить на 5?     5 × 123     Возьмите половину от умножения на 10.

Поскольку 5 — это половина от 10, то число, умноженное на 5, будет равно половине числа, умноженного на 10. Пример 13.   5 × 123 = половина 10 × 123   Пример 13   5 × 123 = половина 1230  (Урок 4, вопрос 1.)   Пример 13.   5 × 123 = 615. Пример 14.   5 × 1 долларов США. 50 = половина от 15 долларов   Пример 14.   5 × 1 долл. США . 50 = 7 долларов США. 50. Пример 15.   5 × 46  долл. США. 80 = половина от 468 долларов   Пример 15.   5 × 46 долл. США . 80 = 234 доллара.

12.    Как мы можем взять 5% числа?     Возьмите половину 10%.

Пример 16.    Сколько будет 5 % от 162 долларов? Ответ.    10 % – это 16  долларов США. 20. (Урок 4, вопрос 7.)  Поэтому 5% составляют 8 долларов. 10. Написать 0,05 и умножить – письменный метод для тех, кто не понимает процентов. Пример 17.   Сколько будет 5 % от 475 долларов? Ответить . 10% — это 47 долларов. 50. Следовательно, 5 % – это 23  долларов США. 50 + $. 25 = 23 долларов . 75.

13.    Как мы можем умножить на 15?   15 × 8     Умножьте на 10 и прибавьте половину.

Ибо, 15 = 10 + половина 10. Пример 18.   15 × 8 = 80 + половина 80   Пример 18.   15 × 8 = 80 + 40   Пример 18.   15 × 8 = 120. Пример 19.   15 × 42 = 420 + 210.   Пример 19.   15 × 42 = 630.

14.    Как мы можем взять 15% числа?   Возьмите 10% и прибавьте половину.

Пример 20.   Сколько будет 15% от 70 долларов??    Ответ . 15% = 10% + половина 10%     = $7 . 00 + $3 . 50     = 10 долларов . 50. Пример 21.   Если вы даете чаевые в размере 15%, а счет составляет 40 долларов США, сколько вы оставляете?    Ответ . 15% = 10% + половина 10%     = 4 доллара . 00 + $2 . 00     = $6 . 00. В этот момент, пожалуйста, «переверните» страницу и выполните несколько задач . или Перейти к следующему уроку. Предыдущий раздел 1-й урок о частях натуральных чисел Введение | Главная | Содержание Copyright © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Электронная почта:  teacher@themathpage. com

Кол-во GMAT | 3 ошибки в четно-нечетных вопросах | Свойства номера

8-минутное чтение

Когда дело доходит до «чет-нечет», это проблема не только на дорогах Дели, но и в разделе GMAT Quant. Считается, что четно-нечетные числа являются одними из самых простых концепций GMAT Quant, и все же, исходя из 700+ вопросов уровня этой концепции, многие студенты неправильно их понимают. Наши профильные эксперты внимательно изучили ошибки, которые учащиеся допускают в вопросах на четные и нечетные, — начиная с сомнений, которые они задают в вопросах на четные и нечетные на наших внутренних форумах, и из ошибок, допущенных более чем 2000 учащимися в нашем постоянном интерактивном классе свойств чисел.

Для лучшего понимания в этой статье мы выделили:

• 3 основных ловушки вопросов GMAT Quant Even-Odd
• Как избежать этих ловушек
• Иллюстративные вопросы о свойствах чисел GMAT (четно-нечетные)
• Еда на вынос
• Свойства чисел GMAT (четные-нечетные) практические вопросы

3 Основные ловушки GMAT Quant четно-нечетных вопросов

Мы заметили, что есть три основные ловушки, в которые попадают учащиеся при ответах на четно-нечетные вопросы:

1. Страх от сложных выражений
2. Трата времени на пустяки
3. Попасть в тупик на дивизионе

1.

    Страх перед сложными выражениями

Что мы имеем в виду

Некоторые вопросы на чет-нечет могут иметь пугающие выражения. Например, рассмотрите этот вопрос

P1.1     Если j — положительное целое число, это (j ³ -27) ² (j ³ +1) ³ нечетное?

Вы немного нервничали, читая этот вопрос? Ну, это первая ловушка, от которой вы должны остерегаться. Потому что, если вы позволите себе понервничать, вы:

1. Либо оставите вопрос без ответа
2. Или вы будете паниковать; паника затуманивает нашу способность мыслить рационально и, таким образом, увеличивает наши шансы совершить ошибку.

• • Например, в панике вы можете вспомнить и применить формулу для ³ + b ³ в терминах этого выражения, а потом, к своему ужасу, осознать, что вы еще больше усложнили вопрос L

Итак, как видите, «пугаться сложных выражений» — действительно опасная ловушка.

Что вы можете сделать, чтобы избежать этой ловушки?

В следующий раз, когда вы столкнетесь с таким вопросом в разделе GMAT Quant и заметите, что ваше сердцебиение учащается, сделайте глубокий вдох и скажите себе:

«Поскольку это вопрос GMAT Quant, его можно элегантно упростить».

Это правда! Прелесть официальных вопросов GMAT в том, что какими бы сложными они ни выглядели, их всегда можно упростить до пары случаев.

Иллюстративный пример

Итак, давайте обдумаем поставленный выше вопрос и посмотрим, как его можно упростить.

1 ^St Упрощение

Данное выражение равно (j ³ -27) ² (j ³ +1) ³

Вы, вероятно, знакомы со свойством, что является степенью числа. не влияет на четно-нечетный характер числа.

• (четные) ⁿ , где n — целое положительное число = четное
• Аналогично, (Нечетное) ⁿ = Нечетное

Итак, (j ³ – 27) ² будет иметь тот же четно-нечетный характер, что и (j ³ – 27). Точно так же (j ³ + 1) ³ будет иметь тот же четно-нечетный характер, что и (j ³ +1)

1. j ³ будет иметь тот же четно-нечетный характер, что и j .

Итак, используя это свойство, мы сделали первый уровень упрощения: теперь нам нужно только определить четно-нечетный характер этого более простого выражения: (j-27)(j + 1)  

2 ^nd Упрощение

Более простое выражение представляет собой произведение двух слагаемых: (j – 27) и (j+1)

9085 ? Только если каждый из двух терминов сам по себе нечетный. Если хотя бы одно из этих слагаемых четно, произведение будет четным.

Итак, чтобы ответить на вопрос, нам нужно знать: являются ли каждое из двух слагаемых нечетным ?

Итак, из более ранней ситуации, когда мы имели дело с продуктом в целом, теперь мы имеем дело только с отдельными терминами: (j – 27) и (j + 1)

Приступаем к ответу

Теперь j может быть либо четным, либо нечетным.

Случай 1: J IS ODD

В этом случае J + 1 = ODD + ODD = даже

и j – 27 = ODD = даже

, и j – 27 = ODD = даже

и j – 27 = ODD = даже

и j – 27 члены четные, ответ в этом случае будет НЕТ, данное выражение не нечетное.

Случай 2: j четное

В этом случае j + 1 = четное + нечетное = нечетное

И, j – 27 = Четный – Нечетный = Нечетный

Так как оба слагаемых нечетные, ответ в данном случае будет ДА, данное выражение нечетное

Итак, как видите , используя этот пошаговый подход, мы смогли упростить вопрос до следующего:

                               Является ли j четным?

Вывод

Используйте свойства комбинаций чет-нечет, чтобы упростить пугающие выражения. Будьте уверены, что все четно-нечетные вопросы GMAT можно легко упростить. Не пугайтесь сложных выражений в четно-нечетных вопросах и избегайте стремления искать алгебраические формулы для применения к таким выражениям.

Проверьте себя

Вы будете знать, что хорошо усвоили этот урок, если ваше сердце не екнуло при первом взгляде на следующий вопрос:

P1.2     If X = P* N ^K + P, где N и K — натуральные числа, делится ли X на 2?

(1) N + KN = 915

(2) P ³⁵ + 35 ^P -даже

. .   Тратить время на неважные термины

Что мы имеем в виду

Под «неважными терминами» мы подразумеваем «термины, которые не влияют на четно-нечетный характер выражения. Например, рассмотрим следующий вопрос:

P2.1      Если a и b целые числа, является ли a + 8b четным?

В этом выражении член 8b будет четным, независимо от того, является ли b четным или нечетным (поскольку четный*нечетный = четный и четный*четный = четный). Итак, вы должны сосредоточить все свое внимание на анализе того, является ли a четным или нечетным, потому что именно это приведет вас к ответу.

Если вы попали в ловушку анализа предоставленной информации для определения четно-нечетного характера b , то вы растратите свой самый ценный ресурс на GMAT — время. Таким образом, потраченные впустую минуты могут создать цейтнот ближе к концу теста, а затем, находясь под давлением тикающих секунд, вы можете лихорадочно отвечать даже на вопросы, которые, как вы знаете, неверны. Поэтому очень важно быть начеку, чтобы даже минута не была потрачена на ненужный анализ. И в четно-нечетных вопросах слишком легко попасть в эту ловушку.

Что вы можете сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Чтобы не тратить ни секунды на неважные термины, вот несколько советов, которые вы должны использовать, чтобы отсеять неважные термины в выражении:

1. Термин вида (Четное число)*(X) всегда будет четным
2. В термине формы (четное число) + X (четное число) не играет никакой роли в четно-нечетном характере термина
3. В термине формы (Нечетное число)*(X) (Нечетное число) не играет никакой роли в четно-нечетной природе термина

Пример

Вы уже видели пример первого указателя в вопросе P2. 1

Вот пример, который покажет все три указателя в действии b, c и n — целые числа, является ли a + 8b + (2n+1)c четным?

1 ^st Указатель

Член 8b всегда будет четным, независимо от значения b

2 ^nd Указатель

В данном выражении четный член 8b не влияет на четно-нечетный характер этого выражения. Таким образом, выражение будет иметь тот же четно-нечетный характер, что и сумма a + (2n+1)c

3 ^rd Pointer

В члене (2n+1)c, (2n +1) является нечетным числом и поэтому не играет никакой роли в четно-нечетной природе этого термина. Таким образом, член (2n+1)c будет иметь ту же четно-нечетную природу, что и c.

Таким образом, выражение a + (2n+1)c будет иметь тот же четно-нечетный характер, что и выражение a + c

Некоторым учащимся Ловушка 2 может показаться похожей на Ловушку 1, потому что предложенная стратегия позволяет избежать Ловушка 2 (Три указателя) также приводит к упрощению данного выражения. Однако даже если эффект стратегий, предложенных в Ловушках 1 и 2, может быть одним и тем же, проблемы , которые решают эти стратегии, различны. В Ловушке 1 проблема заключается в том, что учащегося может напугать сложное выражение лица. С другой стороны, в Ловушке 2 проблема заключается в том, что учащийся может тратить время на анализ терминов, которые не влияют на четно-нечетную природу выражения. Это две разные проблемы, поэтому подводные камни 1 и 2 также различны.

Вывод

Когда вы видите выражение, сначала используйте три указателя, чтобы определить несущественные термины. Не тратьте драгоценное время на обработку неважных терминов.

Проверьте себя

Посмотрите, сколько времени вы тратите на этот вопрос и не тратите ли вы время на какой-либо термин, который этого не заслуживает:

P2.3      Если a, b и n положительны целые числа такие, что n = 3a – b ³ , равно n ² + 3 делится на 2?

(1) A ² – 4B ³ – 5 = 0

^{(2) 3B 3 – A 2 +} + + . обсуждение этого вопроса доступно здесь)

3.    Затруднение деления

Что мы имеем в виду

Если заданы целые числа A и B, где A > B и A/B целое число, можете ли вы гладко установить связь между четно-нечетным характером A, B и целым числом A/B?

Например, рассмотрим следующий вопрос:

P3.1      Если A, B и X — целые числа, X/B — четное целое число, а XB/(4A+1) — целое число, равно XB/ (4А+1) нечетное?

Если у вас нет твердого подхода к решению этого и подобных вопросов, вы обязательно почувствуете себя сбитым с толку, и тогда вы:

1. Либо бросьте этот вопрос как слишком сложный
2. Или будет осторожно пытаться подставить число, чтобы увидеть, какие значения X и B дают четное значение X/B, а затем с этими значениями X попытаться увидеть, является ли XB/(4A+1) нечетным. Этот подход требует много времени и подвержен ошибкам, поскольку вы можете упустить некоторые возможные случаи.

Оба возможных действия являются дорогостоящими – с точки зрения потерянных очков и потерянного времени. Таким образом, важно не стать жертвой таких вопросов.

Что вы можете сделать, чтобы избежать этой ловушки?

Этой ловушки легко избежать, следуя представленному здесь стандартному подходу –

Преобразуйте уравнение деления в уравнение умножения.

Наглядный пример

Проиллюстрируем этот подход на вопросе P3.1

Уравнение деления, которое мы можем написать для терминов X/B:

Мы можем преобразовать это уравнение в уравнение умножения, умножив обе части на B. Мы получим:

X = (Четное число )*B

->   X четно (см. указатель (i) в ловушке 2)

Теперь давайте напишем уравнение деления для члена (XB/4A+1):

XB/ (4A + 1) = целое число Z (скажем)

Преобразуя это уравнение в уравнение умножения, мы получаем:

–>   XB = (4A+1)*(Z)

–>   XB имеет тот же четно-нечетный характер, что и Z  (поскольку 4A + 1 нечетно – см. указатели (ii) и (iii) в ловушке 2)

Поскольку X четно, XB четно

->   Z четно

Итак, мы видим, что данное выражение будет четным.

Takeaway

В вопросах на чет-нечет, которые включают деление, преобразуйте уравнение деления в уравнение умножения.

Проверьте себя

P3.2 , если X, Y и Z являются положительными целыми числами, что X ⁴ Y ³ = Z ² , x – Z ² , x – Z ² .

(1)  ( x ⁴  y ³ )/( x ²  + y ² )can be written in the form 4k + 3, where k — целое положительное число.

(2) z = x + y

(Подробное обсуждение этого вопроса доступно здесь)

Даже если вы знаете концепцию, вы не сможете ответить на вопросы, которые проверяют расширенное применение этой концепции. В этой статье мы увидели три ловушки, в которые попадают многие учащиеся, отвечая на четно-нечетные вопросы. Если вы приложите сознательные усилия, чтобы избежать этих ловушек, вы обнаружите, что ваша способность отвечать на четные-нечетные вопросы более чем на 700 уровней значительно улучшится. В качестве приятной дополнительной выгоды время, которое вы тратите на решение вопросов, также сократится.

Если вы хотите продолжить работу над 3 ловушками, потренируйтесь отвечать на 3 приведенных ниже вопроса.

Желаю вам приятного путешествия по подготовке к GMAT и получения отличных результатов на GMAT!

Свойства чисел GMAT (четные-нечетные) Практические вопросы

Вопрос 1

Является ли произведение двух целых чисел A и B нечетным?

(1)  A – количество множителей числа N, где N – полный квадрат, а B = A ³ -1

(2) A является произведением двух последовательных простых чисел, и когда прибавляется к A, получается нечетное число.