4 класс задачи с уравнением: Решение задач с помощью уравнений

Урок математики «Решение задач способом составления уравнения». 4 класс

Цель урока: создать условия для формирования умения решения задач с помощью уравнения. Задачи урока: -выявить   основные правила решения задач способом составления уравнений, -познакомить с алгоритмом решения задач способом составления уравнений; -содействовать развитию навыков сотрудничества, самоконтроля; -совершенствовать навыки решения уравнений; -развивать умение анализировать и рассуждать; -закреплять вычислительные навыки. Планируемые результаты: Знать алгоритм решения задач с помощью уравнений. Формирование УУД: Личностные: использовать усвоенные приёмы работы для решения учебной задачи, осуществлять самоконтроль при выполнении заданий, Осознать необходимость самосовершенствования, положительного отношения к процессу познания, применять правила сотрудничества Регулятивные: планировать и принимать   учебную задачу, составлять план действий, оценивать и корректировать свои действия Коммуникативные: участвовать в учебном диалоге, воспринимать различные точки зрения, сотрудничать с учащимися и учителем, выражать свою точку зрения, работать в паре и группе Познавательные: воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебной задачи, находить дополнительную информацию, обсуждать проблемные вопросы, сформировать умения при решении задач и уравнений работать со схемой Оборудование: ПК, проектор, интерактивная доска, презентация, карточки, экран настроения, экран успеха, жетоны-цветы, памятка с алгоритмом. Дата проведения: 7 апреля 2015 г Этап урока Методическая характеристика этапа: задачи, методы создания развивающей среды. Деятельность педагога. Деятельность обучающихся, направленная на реализацию каждого компонента образовательной компетенции. 1.Психологический настрой на урок. Цель: создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс. УУД: личностные (вызвать интерес и готовность к учебной деятельности) Коммуникативные   (планирование учебного сотрудничества с учителем и обучающимися) Прозвенел и смолк звонок. Начинается урок. — Откройте тетради и запишите дату, классная работа. Сегодня 7 апреля Всемирный день здоровья. Я надеюсь вы все сделали утреннюю зарядку? А сейчас мы проведём математическую зарядку. Не случайно на доске вы видите запись высказывания М.Калинина «Математика – это гимнастика ума». Как  вы думаете, какой вид математических заданий позволяет в большей степени развивать логическое мышление, способствует развитию сообразительности, смекалки и так же позволяет ответить на многие жизненные вопросы? Предлагаю вам решить несколько задач, применяя свою смекалку, логику, сообразительность.   Тройка лошадей пробежала 90 км. Сколько км пробежала каждая лошадь? На камине горело 7 свечей, 5 из них погасли. Сколько свечей осталось? На перемене в класс забежало 7 человек. Это четвертая часть класса. Сколько всего в классе человек? Молодцы! У многих из вас хорошо развита смекалка, сообразительность. — Постарайтесь на уроке работать быстро, все расчёты производить точно и, самое главное, дружно! Проверка готовности к уроку                                       Задачи           90 км   5 свечей       28 человек 2. Актуализация познавательной деятельности. 3. Создание проблемной ситуации. Постановка учебной задачи. 4. Решение учебной задачи (выдвижение и проверка гипотез). Цель: организоватьактуализацию изученных способов действий, достаточных для проблемного изложения нового материала УУД: регулятивные (целеполагание, планирование) Познавательные (поиск и выделение необходимой информации, логическое построение цепи рассуждений, доказательств). Цель: 1)Зафиксировать причину затруднения 2)Организовать диалог по проблемному вопросу 3)создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс УУД: личностные: действие смыслообразования, установление связи между целью и ее мотивом. Регулятивные: целеполагание, планирование Познавательные: постановка и формулирование проблемы Цель: добиться открытия детьми нового способа действия, научить выделять из конкретно практической задачи общую учебную задачу (УДД – регулятивные: формировать умение высказывать своё предложение , умение оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей. Познавательные: формировать умение на основе анализа делать выводы. Коммуникативные: формировать умение строить речевое высказывание в соответствии с поставленной задачей. – Ребята! Над какой проблемой мы работали на предыдущих уроках математики? Все справились с домашним заданием? У кого были трудности? (Ответы детей). — Трудностей нет. Значит, мы можем продолжать работать дальше? -Сегодня на уроке вы выступите в роли учёных. А учёные, как известно, проводят эксперименты, делают научные открытия, проверяют на практике свои открытия. Сегодня мы все вместе попробуем пройти   эти этапы и открыть новые знания. Но,  чтобы открыть что-то новое, давайте вспомним те знания, которые помогут нам сегодня на уроке. — Посмотрите на экран. — Чем похожи все записи? -Что такое уравнение? -Что значит решить уравнения? — Найдите корни уравнений. (устно) Х*70=630         5400:х=90     х:80=80   200+х=310 Х=9                   х=60               х=6400      х=110 Х- 40=140     х*30=300 Х=180           х=10 Ответы на карточках. — Расположите корни уравнений в порядке возрастания. -Прочитайте слово, которое у вас получилось. — Как могут быть связаны уравнения и задачи? — Назовите тему урока. — Какую учебную задачу будем решать на уроке? — Какие задачи поставим перед собой? Посмотрим совпали ли ваши задачи с моими? На доске записаны задачи урока для учащихся: Освоить новый приём решения задач. Совершенствовать умения в решении задач, уравнений. -Давайте проведём эксперимент и попробуем, используя наши знания, решить задачу №278 способом составления уравнения. — Почему не справились с задачей? — Каких знаний не хватает, чтобы справиться с возникшей проблемой? — Как будем решать задачу? Нарисуем схему к задаче. Обозначим детей занимающихся немецким языком – х. Составим уравнение. Найдём корень уравнения. Запишем ответ. — Давайте составим памятку – алгоритм для решения задач способом составления уравнений. (прочитать, обозначить неизвестное х, записать ответ, составить уравнение, решить уравнение, записать краткую запись) — Какое открытие мы сделали? 1. Выполнение   задания   № 283.(работа в парах) Учащиеся анализируют тексты задач и делают вывод, что для данной схемы соответствуют задачи ( 4, 5). Уравнения: 342 – x = 285 и 285 + x = 342. – Решите составленные уравнения по вариантам. Первый вариант 1 уравнение, второй -2 уравнение. (двое у доски) – Запишите ответ на вопрос каждой задачи.     Учились решать уравнения                                       -Это уравнения. -Уравнения это запись с неизвестным.                                 -Решать задачи способом составления уравнений.   Научиться решать задачи способом составления уравнения                                             Х+12=34           Прочитать задачу Записать краткую запись Составить уравнение (?-х) Решить уравнение Записать ответ   — Нашли способ решения задач с помощью уравнений. 5. Физминутка. Цель: Создание условий для психоэмоциональной разгрузки учащихся (сбережение здоровья) — Для здоровья, для порядка Дружно делаем зарядку! 6. Работа по теме урока. Отработка способа действия. Цель: Формирование умений соблюдать последовательность действий при выполнении учебной задачи. УУД личностные: вызвать интерес и готовность к учебной деятельности. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и обучающимися. — Как вы считаете, нужно ли упражняться в решении сложных уравнений? — Давайте потренируемся. -Как будем работать? а). Работа с учебником № 281   — Сравни свой способ решения со способом соседа. — А теперь на волшебной линеечке оцените друг друга. (Приложение № 3). — Какой вывод можно сделать? — Да. — Сделаем в паре. (У доски работают три пары, решают по алгоритму). Дети дают оценку работы каждой пары. (выслушиваются мнения детей) — Надо ещё потренироваться. 7. Конкретизация сконструированного способа в новых условиях.     Групповая работа.                                                     8. Тестовая работа.                                                 9. Итог урока. Рефлексия. Цель: закреплять полученные новые знания, формировать рефлексию УУД: познавательные: моделирование, воспроизведение изученного материала, рефлексия, контроль и оценка; личностные: осуществить самоконтроль, достигнуть положительных результатов; регулятивные: проводить работу по плану, оценить правильность выбора. Цель: организовать выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действий УУД: познавательные: рефлексия, контроль и оценка), коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Регулятивные: проводить работу по плану, оценить правильность выбора) Цель: способствовать формированию рефлексии. УУД: коммуникативные; личностные (осуществить самоконтроль, достигнуть положительных результатов) — А сейчас хотите проверить себя, как вы научились решать задачи с помощью уравнения? — Поработайте в группах и решите задачи. Постарайтесь заработать как можно больше баллов. Готовы? Работа в группах (карточки). – По данному условию и схеме задачи, составьте уравнение и решите его. 1-я группа. В нашей школе 777 учащихся. В средних классах учатся 339 учащихся, а в начальных классах 368 учащихся. Сколько учащихся учится в старших классах? 2-я группа. В июне в школьном лагере отдыхало 70 ребят. Из них 25 девочек, остальные – мальчики. Сколько отдыхало мальчиков? 3-я группа.                В нашем классе 24 учащихся занимаются в спортивных секциях из них 15 мальчиков, а остальные девочки. Сколько девочек занимаются спортом? -Что объединяет все задачи? Проверка: — Сравните с ответами.                         На доске ответы к задачам. — — Что можете сказать про эти числа? -Ребята! 9 мая весь наш народ будет отмечать 70 лет великой победы разгрома советскими войсками   немецко-фашистских захватчиков   в ВОВ в 1945 году. В честь   ветеранов – победителей, праздничный салют!   Тест «Решение уравнений» 1 вариант 1.Решите уравнение: m+27=43 1) 94     2) 26   3) 70      4)   60 2. Решите уравнение: 45- а=29 1) 16   2) 26    3) 74    4) 64 3.  Решите уравнение:  х-29=94 1) 65    2) 123       3) 75     4) 11 4. Делимое находится так: а) Частное прибавить делитель; б) Частное разделить на делитель; в) Частное умножить на делитель. 5. Решением какого уравнения является число 25? а)65-х=50; б)х:3 = 75; в)75:л:=3. Тест «Решение уравнений» 2 вариант 1.Решите уравнение: m — 27=43 1) 94     2) 26   3) 70      4)   60 2. Решите уравнение:  а + 45=129 1) 16   2) 26    3) 84    4) 64 3. Решите уравнение:  х — 39=104 1) 65    2) 123       3) 75     4) 11 4. Делитель находится так: а) Частное прибавить делимое; б) Частное разделить на делимое; в) Делимое разделить на частное. 5. Решением какого уравнения является число 5? а)65+х=70; б)х:3 = 75; в)75:х=3.   — Какую учебную задачу ставили? — Что для вас сегодня было открытием? -Сегодня мы с вами раскрыли ещё один секрет математики. — Всем ли было легко? — Значит надо ещё потренироваться? — Над какой же проблемой будем работать на следующем уроке? — Давайте подведём итог урока, закончив предложения: — Оцените свои знания на волшебной линеечке цветом. У вас на столах цветы.   Если на уроке всё понятно – жёлтый цветок, если были трудности, сомнения – красный цветок, а если не совсем разобрались или вам было неинтересно – синий цветок. На доске получился праздничный букет из жёлтых и красных цветов. — Это подарок нашим дорогим ветеранам. С наступающим праздником! Дети решают задачи способом составления уравнения. (Выступление каждой группы).                                     Проверка с тетрадью у доски 3 учащихся. 9 45 70   Ответы детей на поставленные вопросы.                                                                       — Продолжить работу по решению сложных уравнений. Карточка у каждого ученика: Я сегодня научился…..                                                                                                              Я узнал…….                                                                                                                       Больше всего мне понравилось….   10. Домашнее задание Цель: закрепление нового знания УУД: познавательные (моделирование, рефлексия, контроль и оценка). № 277. Придумать задачу, чтобы решалась уравнением. -Спасибо всем за урок! Записывают задание.

Урок 54-55 Тема: Решение задачи на движение с помощью уравнения | Поурочные планы по математике 4 класс (Атамура)

Цель: Познакомить учащихся с решением задач на движение с помощью      уравнений.

          Совершенствовать навыки составления уравнений.

            Умение решать уравнения усложненной структуры.

          Развивать умение анализировать и обобщать.

 

Ход урока

 

1.      Орг. момент

       – Математику, друзья,

   Не любить никак нельзя.

   Очень строгая наука,

   Очень точная наука.

   Интересная наука –

   Это математика!

2.      Актуализация опорных знаний

1)      Игра «Шифровальщик»

Цель игры : Совершенствовать навыки устных вычислений в пределах 100:

 а 164-8                220+135   е                  44*2  н

 у 160+40             58+9         р      

 н 90-2                  200-120    и

 е 102+18             60*2          е

 

200	67	156	355	88	120	88	80	120
у	р	а	в	н	е	н	и	е

 

            Расшифруй тему урока

2)      Составьте и решите уравнение

а) Андрей придумал задание : « Я загадал число, увеличил  его в 20 раз и получил 800, какое число я задумал?»

                б) Алина придумала задание : « Я загадала число, увеличила его в       20 раз, прибавила 100 и получила 900, какое число я задумала?»

                 в) Число 11 увеличить в 30 раз

                 г) Произведение чисел 10 и 20 увеличить на 100.

             Вопросы: Какую из записей можно назвать уравнением?

                               Что такое уравнение?

                              Что значит решить уравнение?

 

3.            Сообщение темы: Сегодня мы будем составлять и решать задачи с помощью уравнения.

4.            Работа по книге

       Зад. №1 – устно

       Зад. №2 Прочитайте условия задачи

1)      – О чем говорится в задаче?

– Что надо узнать в задаче? 1. За сколько часов пролетит майский жук? Можно ответить на вопрос задачи? Почему нам надо знать скорость жука?

За 3 часа – 39 км

За х ч   – 65 км

Учитель объясняет: при решении задачи уравнением, надо определить вопрос задачи  и обозначить неизвестное число.

Решение:  Скорость жука равна 39:3 км/ч

Длина пути майского жука 65 км, этот путь надо проехать за     х ч. Тогда скорость равна 65:х км/ч. Получим уравнение :

39 : 3 = 65 : х

13=65 : х

х=65:13

х=5

           Ответ: Майский жук пролетит путь длиной 65 км за 5 часов.

     Дети приходят к выводу, что задачи можно решать разными способами.

5.                  Закрепление

1)      Самостоятельная работа №2(б). Учитель предлагает решить задачу      разными способами

2)      Работа в парах №4

6.                  Работа над изученным материалом

3)      Решение задачи №6

4)      Выполнение порядка действий №8

7.                  Рефлексия. Подведение итогов урока.

          Д/з №7,8

Работа и время — Алгебра среднего уровня

Глава 9. Радикалы

Если Фелиции нужно 4 часа, чтобы покрасить комнату, а ее дочери Кэти — 12 часов, чтобы покрасить ту же комнату, то, работая вместе, они могли бы покрасить комнату за 3 часа. Уравнение, используемое для решения задач этого типа, является одним из обратных уравнений. Выводится следующим образом:

[латекс]\текст{скорость}\раз\текст{время}=\текст{выполненная работа}[/латекс]

Для этой задачи:

[латекс]\begin{array}{rrrl} \text{Скорость Фелиции: }&F_{\text{скорость}}\times 4 \text{h}&=&1\text{room} \\ \\ \text{ Скорость Кэти: }&K_{\text{rate}}\times 12 \text{h}&=&1\text{room} \\ \\ \text{Изолирование их ставок: }&F&=&\dfrac{1}{ 4}\text{h и }K = \dfrac{1}{12}\text{h} \end{массив}[/latex]

Чтобы превратить это уравнение в решаемое уравнение, найдите общее время [латекс](Т)[/латекс], необходимое Фелиции и Кэти, чтобы покрасить комнату. На этот раз это сумма ставок Фелиции и Кати, или:

[латекс]\begin{array}{rcrl} \text{Общее время: } &T \left(\dfrac{1}{4}\text{h}+\dfrac{1}{12}\text{h} \right)&=&1\text{ room} \\ \\ \text{Это также можно записать как: }&\dfrac{1}{4}\text{ h}+\dfrac{1}{12}\ text{ h}&=&\dfrac{1 \text{ room}}{T} \\ \\ \text{Решение этого дает:}&0.25+0.083&=&\dfrac{1 \text{room}} {T} \\ \\ &0,333&=&\dfrac{1 \text{room}}{T} \\ \\ &t&=&\dfrac{1}{0,333}\text{ или }\dfrac{3\ текст{ч}}{\текст{комната}} \end{массив}[/латекс]

Карл может убрать комнату за 3 часа. Если его младшая сестра Кира поможет, они смогут убрать его за 2,4 часа. Сколько времени Кире понадобится, чтобы сделать эту работу в одиночку?

Уравнение для решения:

[латекс]\begin{array}{rrrrl} \dfrac{1}{3}\text{ h}&+&\dfrac{1}{K}&=&\dfrac {1}{2.4}\text{h} \\ \\ &&\dfrac{1}{K}&=&\dfrac{1}{2.4}\text{h}-\dfrac{1}{3}\ text{h}\\ \\ &&\dfrac{1}{K}&=&0.0833\text{ или }K=12\text{h} \end{массив}[/latex]

Дугу требуется в два раза больше времени, чем Бекки, чтобы закончить проект. Вместе они могут завершить проект за 10 часов. Сколько времени потребуется каждому из них, чтобы завершить проект в одиночку?

Уравнение, которое необходимо решить:

[латекс]\begin{array}{rrl} \dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}&=&\dfrac{1}{10}\ text{ h,} \\ \text{где ставка Дага (} \dfrac{1}{D}\text{)}& =& \dfrac{1}{2}\times \text{ Бекки (}\dfrac{ 1}{R}\text{) скорость.} \\ \\ \text{Суммируйте скорости: }\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}&=&\dfrac{2}{ 2R} + \dfrac{1}{2R} = \dfrac{3}{2R} \\ \\ \text{Найти R: }\dfrac{3}{2R}&=&\dfrac{1}{10 }\text{ h} \\ \text{что означает }\dfrac{1}{R}&=&\dfrac{1}{10}\times\dfrac{2}{3}\text{h} \\ \text{so }\dfrac{1}{R}& =& \dfrac{2}{30} \\ \text{ или }R &= &\dfrac{30}{2} \end{array}[/ латекс]

Это означает, что время, необходимое Бекки для завершения проекта в одиночку, равно [latex]15\text{ ч}[/latex].

Поскольку Дугу требуется в два раза больше времени, чем Бекки, время Дуга составляет [latex]30\text{ ч}[/latex].

Джоуи может построить большой сарай на 10 дней меньше, чем Космо.

2-34C+120=0 \\ \\ \text{Который будет учитывать}& (C-30)(C-4) = 0 \end{массив}[/latex]

Космо может построить большой сарай за 30 или 4 дня. Таким образом, Джоуи может построить сарай за 20 или −6 дней (отказано).

Решение: Cosmo строится 30 дней, а Joey — 20 дней.

Кларк может выполнить работу на один час меньше, чем его ученик. Вместе они выполняют работу за 1 час 12 минут. Сколько времени потребуется каждому из них, работающему в одиночку?

[латекс]\begin{array}{rl} \text{Конвертировать все в часы:} & 1\text{ h }12\text{ min}=\dfrac{72}{60} \text{ h}= \dfrac{6}{5}\text{ h}\\ \\ \text{Уравнение, которое необходимо решить} & \dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{A-1}=\dfrac{ 1}{\dfrac{6}{5}}=\dfrac{5}{6}\\ \\ \text{Поэтому уравнение} & \dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{A -1}=\dfrac{5}{6} \\ \\ \begin{array}{r} \text{Чтобы удалить дроби, } \\ \text{умножьте каждое слагаемое на ЖК-дисплей} \end{array} & (A)(A-1)(6)\\ \\ \text{Это оставляет} & 6(A)+6(A-1)=5(A)(A-1) \\ \\ \text {Умножение этого дает} & 6A-6+6A=5A^2-5A \\ \\ \text{Что упрощает до} & 5A^2-17A +6=0 \\ \\ \text{Это приведет к } & (5A-2)(A-3)=0 \end{массив}[/latex]

Ученик может выполнить работу либо за [latex]\dfrac{2}{5}[/latex] ч (отказ), либо за 3 ч. Кларк занимает 2 часа.

Раковину можно наполнить через трубу за 5 минут, но чтобы осушить полную раковину, нужно 7 минут. Если и труба, и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы наполнить раковину?

7 минут на слив будут вычтены.

[латекс]\begin{array}{rl} \text{Уравнение для решения} & \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{X} \ \ \\ \begin{array}{r} \text{Чтобы удалить дроби} \\ \text{умножьте каждый член на ЖК-дисплей}\end{array} & (5)(7)(X)\\ \ \ \text{Выходит} & (7)(X)-(5)(X)=(5)(7)\\ \\ \text{Умножение дает} & 7X-5X=35\\ \\ \text{Что упрощает до} & 2X=35\text{ или }X=\dfrac{35}{2}\text{ или }17,5 \end{array}[/latex]

17,5 мин или 17 мин 30 сек — решение

Для вопросов с 1 по 8 напишите формулу, определяющую отношение. Не решить!!

1. Отец Билла может покрасить комнату на 2 часа меньше, чем потребовалось бы Биллу, чтобы покрасить ее. Работая вместе, они могут выполнить работу за 2 часа 24 минуты. Сколько времени потребовалось бы каждому для работы в одиночку?
2. Из двух подводящих труб меньшей трубе требуется на четыре часа больше времени, чем большей, чтобы наполнить бассейн. Когда обе трубы открыты, бассейн наполняется за три часа сорок пять минут. Если открыта только большая труба, сколько часов потребуется, чтобы наполнить бассейн?
3. Джек может помыть и отполировать семейную машину на час меньше, чем Боб. Двое работающих вместе могут выполнить работу за 1,2 часа. Сколько времени потребовалось бы каждому, если бы они работали в одиночку?
4. Если Юсеф может выполнить часть работы в одиночку за 6 дней, а Бриджит может сделать это в одиночку за 4 дня, сколько времени потребуется им двоим, чтобы выполнить работу, работая вместе?
5. Работая в одиночку, Джон работает на 8 часов дольше, чем Карлос. Работая вместе, они могут выполнить работу за 3 часа. Сколько времени потребуется каждому, чтобы выполнить работу в одиночку?
6. Работая в одиночку, Марьям может выполнить часть работы за 3 дня, которую Нур может сделать за 4 дня, а Элана – за 5 дней. Сколько времени им потребуется, чтобы сделать это, работая вместе?
7. Радж может выполнить работу за 4 дня, а Руби — за половину времени. Сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу вместе?
8. Цистерну можно наполнить по одной трубе за 20 минут, по другой за 30 минут. За какое время обе трубы вместе наполнят бак?

Для вопросов 9до 20, найдите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

9. Если ученик может выполнить часть работы за 24 дня, а ученик и инструктор вместе могут сделать это за 6 дней, сколько времени потребуется инструктору, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
10. Плотник и его помощник могут выполнить часть работы за 3,75 дня. Если бы плотник сам мог выполнить работу один за 5 дней, то сколько времени потребовалось бы помощнику, чтобы выполнить эту работу в одиночку?
11. Если Сэм может выполнить определенную работу за 3 дня, а Фреду потребуется 6 дней, чтобы выполнить ту же работу, сколько времени потребуется им, работая вместе, чтобы выполнить эту работу?
12. Тим может закончить определенную работу за 10 часов. Его жене Джоанне требуется всего 8 часов, чтобы выполнить ту же работу. Если они будут работать вместе, сколько времени им потребуется, чтобы выполнить работу?
13. Два человека, работающие вместе, могут выполнить работу за 6 часов. Если один из них работает в два раза быстрее другого, сколько времени потребуется более медленному человеку, работающему в одиночку, чтобы выполнить эту работу?
14. Если два человека, работая вместе, могут выполнить работу за 3 часа, сколько времени потребуется более быстрому человеку, чтобы выполнить ту же работу, если один из них в 3 раза быстрее другого?
15. Резервуар для воды можно наполнить через впускную трубу за 8 часов. Выходная труба опорожняет резервуар в два раза дольше. За какое время наполнится бак, если обе трубы будут открыты?
16. Раковину можно наполнить из крана за 5 минут. Опорожнение раковины при открытом сливе занимает всего 3 минуты. Если раковина полная, а кран и слив открыты, сколько времени потребуется, чтобы опорожнить раковину?
17. Наполнение бассейна с помощью впускной трубы занимает 10 часов. Через выпускную трубу его можно опорожнить за 15 часов. Если бассейн с самого начала заполнен наполовину, сколько времени потребуется, чтобы наполнить его оттуда, если обе трубы открыты?
18. Раковина заполнена на ¼, когда кран и слив открыты. Один только кран может наполнить раковину за 6 минут, а чтобы опустошить ее со сливом, требуется 8 минут. Сколько времени понадобится, чтобы заполнить оставшиеся ¾ раковины?
19. В раковине два крана: один для горячей воды, другой для холодной. Раковину можно наполнить из крана с холодной водой за 3,5 минуты. Если оба крана открыты, раковина наполняется за 2,1 минуты. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить раковину при открытом кране с горячей водой?
20. Резервуар для воды наполняется двумя входными трубами. Труба А может наполнить бак за 4,5 часа, а обе трубы вместе могут наполнить бак за 2 часа. Сколько времени потребуется, чтобы наполнить бак, используя только трубу B?

Ключ ответа 9.10

Возраст и числа — Алгебра среднего уровня

Глава 10: Квадратика

Квадратичные текстовые задачи — это третий тип текстовых задач, охватываемых MATQ 1099, причем первый представляет собой линейные уравнения с одной переменной, а второй — линейные уравнения с двумя или более переменными. 2 = 68[/латекс]. Упрощение дает: 92&=&68 \\ &&&&4x&+&4&=&68 \\ &&&&&-&4&&-4 \\ \hline &&&&&&\dfrac{4x}{4}&=&\dfrac{64}{4} \\ \\ &&&&&&&x&=&16 \end {array}[/latex]

Это означает, что два целых числа равны 16 и 18.

Произведение возрастов Салли и Джоуи теперь на 175 больше, чем произведение их возрастов пятью годами ранее. Если Салли на 20 лет старше Джоуи, каков их нынешний возраст? 92&-&10J&& \\ \hline &&\dfrac{10J}{10}&=&\dfrac{100}{10} &&&&&& \\ \\ &&J&=&10 &&&&&& \end{array}[/latex]

Это означает, что Джоуи 10 лет, а Салли 30 лет.

Для вопросов с 1 по 12 напишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

1. Сумма двух чисел равна 22, а произведение этих двух чисел равно 120. Что это за числа?
2. Разница двух чисел равна 4, а произведение этих двух чисел равно 140. Что это за числа?
3. Разница двух чисел равна 8, а сумма квадратов этих двух чисел равна 320. Что это за числа?
4. Сумма квадратов двух последовательных четных целых чисел равна 244. Что это за числа?
5. Разница квадратов двух последовательных четных целых чисел равна 60. Что это за числа?
6. Сумма квадратов двух последовательных четных целых чисел равна 452. Что это за числа?
7. Найдите три последовательных четных числа, произведение первых двух на 38 больше, чем произведение третьего числа.
8. Найдите три последовательных нечетных числа, произведение первых двух на 52 больше, чем произведение третьего числа.
9. Произведение возрастов Алана и Терри на 80 больше, чем произведение их возрастов 4 года назад. Если Алан на 4 года старше Терри, каков их текущий возраст?
10. Произведение возрастов Кэлли и Кэти на 130 меньше, чем произведение их возрастов через 5 лет. Если Кэлли на 3 года старше Кэти, каков их текущий возраст?
11. Произведение возраста Джеймса и Сьюзен через 5 лет на 230 больше, чем произведение их возраста сегодня. Каков их возраст, если Джеймс на год старше Сьюзен?
12. Произведение возрастов (в днях) двух новорожденных младенцев Симрана и Джесси через два дня будет на 48 больше, чем произведение их сегодняшних возрастов. Сколько лет малышам, если Джесси на 2 дня старше Симрана?

Даг отправился на конференцию в город в 120 км. На обратном пути из-за ремонта дороги ему пришлось ехать на 10 км/ч медленнее, в результате чего обратный путь занял на 2 часа больше. С какой скоростью он ехал на конференцию?

Первое уравнение имеет вид [латекс]r(t) = 120[/латекс], что означает, что [латекс]r = \dfrac{120}{t}[/latex] или [латекс]t = \dfrac{120 }{r}[/латекс].

Во втором уравнении [латекс]r[/латекс] на 10 км/ч медленнее, а [латекс]t[/латекс] на 2 часа дольше. Это означает, что второе уравнение имеет вид [латекс](r – 10)(t + 2) = 120[/латекс].

Мы исключим переменную [латекс]t[/латекс] во втором уравнении путем замены:

[латекс](r-10)(\dfrac{120}{r}+2)=120[/латекс]

92-10r-600&=&0 \\ (r-30)(r+20)&=&0 \\ r&=&30\text{ км/ч или }-20\text{ км/ч (брак)} \end{ массив}[/латекс]

Марк плывет вниз по течению 30 км, затем разворачивается и возвращается на прежнее место. 2&-&60r&-&32&=&0&& \end{массив}[/латекс] 92-15r-8&=&0 \\ (2r+1)(r-8)&=&0 \\ r&=&-\dfrac{1}{2}\text{ км/ч (брак) или }r=8 \text{км/ч} \end{массив}[/latex]

Вопросы

Для вопросов с 13 по 20 напишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

13. Поезд проехал 240 км с определенной скоростью. При замене двигателя на усовершенствованную модель скорость увеличилась на 20 км/ч, а время в пути на рейс сократилось на 1 час. Какова была скорость каждого двигателя?
14. Мистер Джонс регулярно навещает свою бабушку, которая живет в 100 км от него. Недавно открылась новая автострада, и, хотя длина автострады составляет 120 км, он может ехать в среднем на 20 км/ч быстрее и тратит на поездку на 30 минут меньше времени. Какова скорость мистера Джонса как на старом маршруте, так и на автостраде?
15. Если бы велосипедист ехал на 5 км/ч быстрее, ему потребовалось бы на 1,5 часа меньше времени, чтобы проехать 150 км. Найдите скорость велосипедиста.
16. Если бы транзитный автобус двигался на 15 км в час быстрее, ему потребовалось бы на 1 час меньше, чтобы проехать 180 км. Какова была средняя скорость этого автобуса?
17. Велосипедист едет в хижину в 72 км вверх по долине и возвращается через 9 часов. Его скорость возвращения на 12 км/ч больше, чем его скорость движения. Найдите его скорость как на пути, так и на обратном пути.
18. Велосипедист проехал 120 км и вернулся через 7 часов. На обратном пути скорость увеличилась на 10 км/ч. Найдите скорость этого велосипедиста, движущегося в обе стороны.
19. Расстояние между двумя автовокзалами 240 км. Если скорость автобуса увеличить на 36 км/ч, то поездка займет на 1,5 часа меньше. Какова обычная скорость автобуса?
20. Пилот пролетел с постоянной скоростью 600 км. Вернувшись на следующий день, летчик летел против встречного ветра со скоростью 50 км/ч, чтобы вернуться в исходную точку. Если самолет находился в воздухе всего 7 часов, какова была средняя скорость этого самолета?

Найдите длину и ширину прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 50 см ² . 2 [/латекс]. 92-4ac}}{2a},\hspace{0,25in}\text{, где }a=-15, b=24\text{ и }c=144[/latex]

Подстановка этих значений в yields [latex] x = 4[/latex] или [latex]x=-2,4[/latex] (отклонить).

Ник и Хлоя хотят окружить свою свадебную фотографию 60 на 80 см рогожей одинаковой ширины. Полученное фото и паспарту накрыть 1 м ² листом дорогого архивного стекла. Найдите ширину коврика.

Во-первых, площадь этого прямоугольника равна [латекс]L\times W[/латекс], что означает, что для этого прямоугольника: 92-4(1)(-1300)}}{2(1)}\hspace{0,5 дюйма}x=\dfrac{-70\pm 10\sqrt{101}}{2}[/latex]

[ латекс]x=-35+5\sqrt{101}\hspace{0,75 дюйма} x=-35-5\sqrt{101}\text{(отклонено)}[/latex]

Вопросы

Для вопросов с 21 по 28 напишите и решите уравнение, описывающее взаимосвязь.

21. Найдите длину и ширину прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см ² .
22. Найдите длину и ширину прямоугольника, ширина которого на 10 см меньше его длины, а площадь равна 200 см ² .