10 класс деление с остатком: Деление с остатком – Алгебра 10 класс – Osvita.name
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости
Содержание
Делимость натуральных чисел. Деление с остатком
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b , если существует такое натуральное число c, что выполняется равенство
a = bc .
В противном случае говорят, что число a не делится на число b.
Число b называют делителем числа a.
Если число a больше, чем число b, и не делится на число b, то число a можно разделить на число b с остатком.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа
a = bc + r, r < b .
Число b называют делителем, число c – частным, а число r – остатком от деления a на b .
Еще раз особо подчеркнем, что остаток r всегда меньше, чем делитель b .
Например, число 204 не делится на число 5 , но, разделив число 204 на 5 с остатком, получаем:
Таким образом, частное от деления равно 40 , а остаток равен 4 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на 2 , называют четными, а числа, которые не делятся на 2 , называют нечетными.
Признаки делимости
Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.
| Признак делимости на 2 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой: Пример: 1258 |
| Признак делимости на 3 |
Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на 3 Пример: 745 , |
| Признак делимости на 4 |
Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4 Пример: 7924 |
| Признак делимости на 5 |
Формулировка признака: Число Пример: 835 |
| Признак делимости на 6 |
Формулировка признака: Число должно делиться на 2 и на 3 Пример: 234 , |
| Признак делимости на 7 |
Формулировка признака: На 7 должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой Пример: 3626 , |
| Признак делимости на 8 |
Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на 8 Пример: 63024 |
| Признак делимости на 9 |
Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на 9 Пример: 2574 ,(2 + 5 + 7 + 4 = 18) |
| Признак делимости на 10 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться 0 Пример: 1690 |
| Признак делимости на 11 |
Формулировка признака: Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11 Пример: 1408 , |
| Признак делимости на 13 |
Формулировка признака: На 13 должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой Пример: 299 , |
| Признак делимости на 25 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 , 25 , 50 или 75 Пример: 7975 |
| Признак делимости на 50 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 или 50 Пример: 2957450 |
| Признак делимости на 100 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 00 Пример: 102300 |
| Признак делимости на 1000 |
Формулировка признака: Число должно оканчиваться на 000 Пример: 3217000 |
Урок 7. делимость. свойства и признаки делимости – Алгебра и начала математического анализа – 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №7. Делимость. Свойства и признаки делимости.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- наибольший общий делитель пары чисел;
- признаки делимости и метод математической индукции для доказательства делимости.
Глоссарий по теме
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Алгоритм Евклида – алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя пары чисел.
Знакочередующаяся сумма
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Метод математической индукции – метод доказательства в математике, необходимый для доказательства истинности утверждения при всех натуральных числах, начиная с некоторого минимального.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительная литература:
Баданин А. С., Сизова М. Ю. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел // Юный ученый. — 2015. — №2. — С. 84-86.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Целое число
Целое число является основополагающим понятием арифметики и математики в целом. Однако их множество, пожалуй, выходит за грань обыденного понимания чисел. Долгое время человечество не использовало для описания явлений, например, отрицательные числа.
Обычно множество целых чисел определяется достраиванием множества натуральных чисел дополнительными элементами. Поэтому, перед тем, как дать определение целых чисел, необходимо ввести понятие натуральных чисел.
Натуральные числа – это числа, возникающие естественным образом при счете предметов.
Для иллюстрации множества натуральных чисел отметим их на числовой оси. Для этого построим луч с началом в произвольной точке. Отметим на нем отрезки единичной длины, левый конец которых совпадает с окончанием предыдущего отрезка, а началом первого из них является начало луча.
Поставим в соответствие каждой из точек, отмеченной на прямой, свой порядковый номер. Эти номера являются натуральными числами, возникающими при счете числа точек на луче (рис. 1).
Рисунок 1 – числовой луч
Число точек на луче бесконечно и каждой ставится в соответствие свое натуральное число.
Целые числа – это расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нему нуля и отрицательных чисел.
Дополним нашу числовую ось ненатуральными целыми числами. Отложим второй луч в противоположном первому направлении от точки начала первого луча. И также отложим на нем единичные отрезки (рис. 2)
Рисунок 2 – числовой луч
Добавим на ноль и отрицательные числа, чтобы получить иллюстрацию множества целых чисел (рис. 3).
Рисунок 3 – числовой луч
Делимость. Делитель и частное.
Определив натуральные и целые числа, мы можем через них дать понятие делимости чисел.
Целое число m делится на натуральное число n (или n делит m), если для числа m и числа n существует такое целое число q, что m = n · q.
Число n – делитель числа m, делимое m – кратное числа n, а число q – частное от деления m на n.
Например, целое число – 10 делится на натуральное число 5, так как для этих двух чисел существует целое число –2, такое, что –10 = 5 · –2. При этом –10 – кратное числа 5, 5 – делитель 10, а –2 является частным от деления 10 на 5.
Заметим, что делимость можно определить по-разному. Вместо натурального числа n в определении выше, можно было бы задать n как целое число. Однако мы будем придерживаться определения, введенного в данном уроке.
Часто рассматривают лишь делимость натуральных чисел, хотя по определению кратное в общем случае является целым числом.
Свойства делимости.
Перечислим некоторые свойства делимости:
1. Все целые числа делятся на единицу.
2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого.
3. Все натуральные числа являются делителями нуля.
4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.
5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.
6. Единственный делитель единицы – сама единица.
7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.
8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления).
9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.
Свойства делимости удобно использовать при доказательстве теорем и решении задач.
Взаимно простые числа.
Простое число – это натуральное число, у которого есть лишь два различающихся натуральных делителя – самого число и единица.
Перечислим некоторые первые простые числа в порядке их возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел. Это называется факторизацией натурального числа.
Взаимно простые числа – два натуральных числа, у которых есть лишь один общий делитель, единица.
Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) чисел n и m – самое большое из натуральных чисел, которые являются одновременно делителями натуральных чисел n и m.
Например, для чисел 77 и 14 наибольший общий делитель равен 7: НОД (77, 14) = 7.
НОД чисел n и m равен 1 тогда и только тогда, когда числа n и m взаимно просты.
Делимость суммы и произведения.
Рассмотрим свойства делимости суммы разности и произведения чисел. Пусть a и b – целые числа, а m, n и k – натуральные числа.
1) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда числа a + b и a – b также делятся на m.
2) Пусть оба числа a и b делятся на m, тогда при любых k и n число k · a + n · b делится на m.
3) Пусть число a делится на m, а число b не делится на m, тогда числа a + b и a – b не делятся на m.
4) Пусть число a делится на m, а число b делится на n, тогда ab делится на mn.
5) Пусть число a делится на m и n, и при этом m и n – взаимно простые числа, тогда a делится на mn.
6) Пусть число a делится на m, тогда ak делится на mk.
Деление с остатком.
Натуральное число n можно представить в виде:
n = q · m + r ИЛИ n / m = q (остаток r)
где q – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …), m – натуральное число, r – целое неотрицательное число, меньшее m (0, 1, 2, …, m – 1).
Число n называют делимым, m – делителем, q – (неполным) частным, r – остатком (от деления).
Например, число 23 представимо в виде: 23 = 2 · 10 + 3, где 23 – делимое, 10 – делитель, 3 – остаток.
Алгоритм Евклида.
Нахождение наибольшего общего делителя пары чисел может стать весьма сложной задачей. Для упрощения решения подобных примеров существует алгоритм Евклида.
Пусть a и b– натуральные числа, не равные одновременно нулю, и верна последовательность чисел
где каждое – это остаток от деления числа, предшествовавшего предыдущему числу, на предыдущее число:
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
ИЛИ (остаток )
…
ИЛИ (остаток rk)
…
ИЛИ(остаток rn)
ИЛИ (остаток 0)
То есть после первых двух шагов мы получаем последовательность остатков, делящихся друг на друга. При этом предпоследнее число делится на последнее нацело.
НОД(a, b), равен , то есть последнему ненулевому члену этой последовательности.
Признаки делимости.
Зачастую в задаче требуется ответить, делится ли число на определенное целое число.
Для начала введем вспомогательные понятия, необходимые для формулирования признаков делимости.
Знакочередующаяся сумма – это сумма чисел, в которой каждый второй член помножен на –1.
Например, знакочередующаяся сумма всех цифр, записанных от нуля до девяти равна:
0 – 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = – 5.
Трехзначные грани числа – это числа, которые получены разбиением исходного числа на трехзначные числа, начиная с его конца.
Например, трехзначные грани числа 6579813 это 6, 579, 813.
Таблица 1 – Признаки делимости
Число n | Число a делится на число n тогда и только тогда, когда |
2 | последняя цифра числа a делится на 2 |
3 | сумма всех цифр числа a делится на 3 |
4 | число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 4 |
5 | число a оканчивается цифрой 0 или 5 |
7 | знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 7 |
8 | число, составленное из трех последних цифр числа a, делится на 8 |
9 | сумма всех цифр числа a делится на 9 |
10 | число a оканчивается цифрой 0 |
11 | знакочередующаяся сумма цифр числа a делится на 11 |
13 | знакочередующаяся сумма трехзначных граней числа a делится на 13 |
25 | число, составленное из двух последних цифр числа a, делится на 25 |
Заметим, что в формулировке признаков фигурирует выражение «тогда и только тогда». Это означает, что эти признаки являются также и свойствами чисел, которые однозначно делятся на одно из перечисленных чисел.
Метод математической индукции для доказательства делимости.
Схема метода:
1. Базис индукции.
Доказываем справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение верно.
2. Индукционное предположение.
Предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального значения k.
3. Шаг индукции (индукционный переход).
Доказываем, что утверждение справедливо для значения k+1.
4. Вывод.
Если утверждение оказалось справедливым при каждом доказательстве в предыдущих шагах, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача №1
Условие:
Найдите среди чисел пары взаимно простых.
65, 30, 110, 1001, 273, 35, 14, 26
Решение:
Для начала найдем среди представленных чисел группы, которые имеющие общий делитель не равный единице и которые точно не могут быть взаимно простыми друг для друга.
По признаку делимости на 2, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной. Значит, можно выделить первую группу чисел: 30, 110, 14, 26. Каждое из них делится на 2.
По признаку делимости на 5, число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 5 или 0. Значит, можно выделить вторую группу чисел: 65, 30, 110, 35. Каждое из них делится на 5.
По признаку делимости на 7, число делится на 7 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 7. Значит, можно выделить третью группу чисел: 1001, 273, 35, 14. Каждое из них делится на 7.
По признаку делимости на 13, число делится на 13 тогда и только тогда, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней этого числа делится на 13. Значит, можно выделить четвертую группу чисел: 65, 1001, 273, 26. Каждое из них делится на 13.
Очевидно, что внутри одной группы не могут находиться пары взаимно простых чисел. Поэтому искать такие пары нужно среди чисел, не принадлежащих одной группе. Начнем с 65. Единственным числом, которое остается после исключения из данных чисел всех, кто находится с ним в одной из групп, является 14.
Проведем аналогичные действия со всеми остальными данными числами, исключая найденные взаимно простые пары.
Получим возможные пары:
(65; 14)
(30; 273) или (30; 1001)
(110; 1001) или (110; 273)
(35; 26)
Чтобы быть уверенными в найденной паре, необходимо удостоверится, что НОД пары равен 1.
Проверим, действительно ли 65 и 14 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 65 = 5 · 13, 14 = 7 · 2. НОД(65, 14) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим, действительно ли 35 и 26 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 35 = 5 · 7, 26 = 13 · 2. НОД(35, 26) = 1, они действительно взаимно простые.
Проверим пару (30; 273). По признаку делимости на 3 они оба делятся на это число. Значит, они не взаимно простые.
Проверим, действительно ли 30 и 1001 являются взаимно простыми. Разложим каждое из них на простые множители. 30 = 3 · 2 · 5, 1001 = 13 · 11· 7. НОД(30, 1001) = 1, они действительно взаимно простые.
Осталось проверить пару (110; 273). Разложим каждое из них на простые множители. 110 = 2 · 5 · 11, 273 = 3 · 91 = 3 · 7 · 13. НОД(110, 273) = 1, они действительно взаимно простые.
Ответ: (65; 14), (30; 1001), (110; 273), (35; 26).
Задача №2.
Условие:
Найдите НОД(2457, 1473).
Решение:
Решим задачу с помощью алгоритма Евклида.
Составим последовательность, включающую оба эти числа и остатки от деления предыдущих членов последовательности друг на друга:
2457 = 1 · 1473 + 984
1473 = 1 · 984 + 489
984 = 2 · 489 + 6
489 = 81 · 6 + 3
6 = 3 · 2
Последний ненулевой член этой последовательности оказался равен 3. Следовательно, НОД(2457, 1473) = 3.
Ответ: НОД(2457, 1473) = 3.
Задача №3.
Условие:
Определите, делится ли число 17943646 на 7.
Решение:
Для начала разобьем это число на грани: 17|943|646. Получили числа 17, 943, 646. Найдем их знакочередующуюся сумму: 17 – 943 + 646 = –280. Число –280 делится на 7 нацело. Следовательно, по признаку делимости числа на 7 число 17943646 также делится на 7 нацело.
Ответ: число 17943646 делится на 7 без остатка.
Задача №4.
Условие:
Докажите делимость + 6n – 10 на 18 при любом натуральном n.
Решение:
Воспользуемся методом математической индукции для решения задачи.
1. Проверим справедливость утверждения при n = 1:
+ 6 – 10 = 10 – 10 = 0
Ноль делится на любое натуральное число, значит на 18 тоже. Утверждение справедливо при n = 1.
2. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального значения k. Тогда + 6k – 10 делится на 18. То есть, по определению: + 6k – 10 = 18 · m, где m – целое число.
3. Рассмотрим выражение при n = k +1.
+ 6(k + 1) – 10 = 4 ⋅ + 6k + 6 – 10 = 4 ·+ 6k – 4
Воспользуемся нашим предположением о верности рассматриваемого утверждения для значения k:
+ 6k – 10 = 18m, следовательно = –6k + 10 + 18m.
Подставим полученное значение для в выражение при n = k + 1:
+ 6(k + 1) – 10 = 4(–6k + 10 + 18m) + 6k – 4 = –24k + 40 + 4 · 18m + 6k – 4 = –18k + 4 · 18m + 36 = 18(–k + 4m + 2) = 18 · q, где q – некоторое целое число. Из этой записи следует, что + 6(k + 1) – 10 делится на 18 по определению. Следовательно, данное утверждение верно при значении n = k + 1.
4. Утверждение оказалось справедливым при наименьшем натуральном числе n = 1 и при n = k + 1 с условием его верности при n = k. По методу математической индукции следует, утверждение справедливо при любом натуральном n. Что и требовалось доказать.
Деление чисел с остатком: формулы, примеры и правила
Деление с остатком целых положительных чисел
Деление — это разбиение целого на равные части.
Остаток от деления — это число, которое образуется при делении с остатком. То есть то, что «влезло» и осталось, как хвостик.
Чтобы научиться делить числа с остатком, нужно усвоить некоторые правила. Начнем!
Все целые положительные числа являются натуральными. Поэтому деление целых чисел выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел.
Самый удобный способ деления — это столбик.Попрактикуемся в решении.
Пример
Разделить 14671 на 54.
Как решаем:
Выполним деление столбиком:
Неполное частное равно 271, остаток — 37.
Ответ: 14671 : 54 = 271(остаток 37).
Деление с остатком положительного числа на целое отрицательное
Чтобы легко выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, обратимся к правилу:
В результате деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно результату от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении |a| на |b|. |
Неполное частное — это результат деления с остатком. Обычно в ответе записывают целое число и рядом остаток в скобках.
Это правило можно описать проще: делим два числа со знаком «плюс», а после подставляем «минус».
Все это значит, что «хвостик», который у нас остается, когда делим положительное число на отрицательное — всегда положительное число.
Алгоритм деления положительного числа на целое отрицательное (с остатком):
- найти модули делимого и делителя;
- разделить модуль делимого на модуль делителя
- получить неполное частное и остаток;
- записать число противоположное полученному.
Пример
Разделить 17 на −5 с остатком.
Как решаем:
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделим 17 на − 5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2. Получим, что искомое число от деления 17 на − 5 = − 3 с остатком 2.
Ответ: 17 : (− 5) = −3 (остаток 2).
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное
Чтобы быстро разделить с остатком целое отрицательное число на целое положительное, тоже придумали правило:
Чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1. Тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d = a − b * c |
Из правила делаем вывод, что при делении получается целое неотрицательное число.
Для точности решения применим алгоритм деления а на b с остатком:
- найти модули делимого и делителя;
- разделить по модулю;
- записать противоположное данному число и вычесть 1;
- использовать формулу для остатка d = a − b * c.
Рассмотрим пример, где можно применить алгоритм.
Пример
Найти неполное частное и остаток от деления −17 на 5.
Как решаем:
Разделим заданные числа по модулю.
Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2.
Так как получили 3, противоположное ему −3.
Необходимо отнять единицу: −3 − 1 = −4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a = −17, b = 5, c = −4, тогда:
d = a − b * c = −17 − 5 * (−4) = −17 − (− 20) = −17 + 20 = 3.
Значит, неполным частным от деления является число −4 с остатком 3.
Ответ: (−17) : 5 = −4 (остаток 3).
Деление с остатком целых отрицательных чисел
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел:
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, нужно произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1. Тогда можно произвести вычисления по формуле: d = a − b * c |
Из правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел — положительное число.
Алгоритм деления с остатком целых отрицательных чисел:
- найти модули делимого и делителя;
- разделить модуль делимого на модуль делителя;
- получить неполное частное и остаток;
- прибавить 1 к неполному частному;
- вычислить остаток, исходя из формулы d = a − b * c.
Пример
Найти неполное частное и остаток при делении −17 на −5.
Как решаем:
Применим алгоритм для деления с остатком.
Разделим числа по модулю. Получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Сложим неполное частное и 1: 3 + 1 = 4. Из этого следует, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка применим формулу. По условию a = −17, b = −5, c = 4, тогда получим d = a − b * c = −17 − (−5) * 4 = −17 − (−20) = −17 + 20 = 3.
Получилось, что остаток равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17) : (−5) = 4 (остаток 3).
Деление с остатком с помощью числового луча
Деление с остатком можно выполнить и на числовом луче.
Пример 1
Рассмотрим выражение: 10 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления помещаются полностью три раза и одно деление осталось.
Решение: 10 : 3 = 3 (остаток 1).
Пример 2
Рассмотрим выражение: 11 : 3.
Отметим на числовом луче отрезки по 3 деления. Видим, что три деления поместились три раза и два деления осталось.
Решение: 11 : 3 = 3 (остаток 2).
Проверка деления с остатком
Пока решаешь пример, бывает всякое: то в окно отвлекся, то друг позвонил. Чтобы убедиться в том, что все правильно, важно себя проверять. Особенно ученикам 5 класса, которые только начали проходить эту тему.
Формула деления с остатком a = b * c + d, где a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, d — остаток. |
Эту формулу можно использовать для проверки деления с остатком.
Пример
Рассмотрим выражение: 15 : 2 = 7 (остаток 1).
В этом выражении: 15 — это делимое, 2 — делитель, 7 — неполное частное, а 1 — остаток.
Чтобы убедиться в правильности ответа, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, которое равно делимому, то деление с остатком выполнено верно. Вот так:
- 7 * 2 + 1 = 15;
- 2 * 7 + 1 = 15.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Если нам известно, что а — это делимое, тогда b — это делитель, с — неполное частное, d — остаток. И они между собой связаны. Эту связь можно описать через теорему о делимости с остатком и показать при помощи равенства.
Теорема Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a = b * q + r, где q и r — это некоторые целые числа. При этом 0 ≤ r ≤ b. |
Докажем возможность существования a = b * q + r .
Доказательство:
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что есть число q, и будет верно равенство a = b * q. Тогда равенство можно считать верным: a = b * q + r при r = 0.
Если посчитать, что b — целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b * q не было больше значения числа а , а произведение b * (q + 1) было больше, чем a.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b * q < a < b * (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b * q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b * q < b.
Имеем, что значение выражения a − b * q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r = a − b * q. Получим, что число а можем представить в виде a = b * q + r.
Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a = b * q + r для отрицательных значений b.
Модуль числа получается положительным, тогда получим a = b * q1 + r, где значение q1 — некоторое целое число, r — целое число, которое подходит условию 0 ≤ r < b. Принимаем q = −q1, получим, что a = b * q + r для отрицательных b.
Деление с остатком | Математика
Если одно натуральное число не делится на другое нацело, можно выполнить деление с остатком.
Как и при делении нацело, числа, которые делим, называются делимое и делитель.
Результат деления называется неполным частным.
Число, которое остаётся от делимого в результате деления (это число меньше делителя), называется остаток.
Чтобы выполнить проверку, надо:
- Неполное частное умножить на делитель.
- К полученному произведению прибавить остаток.
- В результате должно получиться делимое.
Рассмотрим конкретные примеры деления с остатком.
Примеры.
Выполнить деление чисел с остатком и сделать проверку:
1) 29 : 8;
2) 613 : 6;
3) 279 : 10;
4) 784 : 23;
5) 4057 : 35;
6) 8591 : 62;
7) 52779 : 2524;
8) 15 : 79.
Решение: 1)
29 : 8 = 3 (остаток 5).
Проверка:
3 · 8 + 5 = 24 + 5 = 29.
2)
513 : 6 = 85 (остаток 3).
513 — делимое, 6 — делитель, 85 — неполное частное, 3 — остаток.
Проверка:
85 · 6 + 3 = 510 + 3 = 513.
3)
279 : 10 = 27 (остаток 9).
279 — делимое, 10 — делитель, 27 — неполное частное, 9 — остаток.
Проверка:
27 · 10 + 9 = 270 + 9 = 279.
4)
784 : 23 = 34 (остаток 2).
784 — делимое, 23 — делитель, 34 — неполное частное, 2 — остаток.
Проверка:
34 · 23 + 2 = 782 + 2 = 784.
5)
4057 : 35 = 115 (остаток 32).
4057 — делимое, 35 — делитель, 115 — неполное частное, 32 — остаток.
Проверка:
115 · 35 + 32 = 4025 + 32 = 4057.
6)
8591 : 62 = 138 (остаток 35).
8591 — делимое, 62 — делитель, 138 — неполное частное, 35 — остаток.
Проверка:
138 · 62 + 35 = 8556 + 35 = 8591.
7)
52779 : 2524 = 20 (остаток 2299).
52779 — делимое, 2524 — делитель, 20 — неполное частное, 35 — 2299.
Проверка:
20 · 2524 + 2299 = 50480 + 2299= 52779.
8) 15 : 79 = 0 (остаток 15).
15 — делимое, 79 — делитель, 0 — неполное частное, 15 — остаток.
( Если делимое меньше делителя, неполное частное всегда равно нулю, а остаток — делимому).
Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.
Деление с остатком.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.
16=5⋅3+1
a=b⋅c+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
Деление с остатком. Теорема Безу
Деление с остатком
Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .
Полином называется остатком от деления на , — частным.
Пример. .
.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .
Доказательство. Существование.
Пусть . Положим .
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит, ,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.
Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .
Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.
Это равенство верно при любых значениях . Положим :
Задачи.
1. Проверьте, выполняются ли условия:
1) делится на ;
2) делится на .
2. Докажите, что
делится на .
3. Найдите значения параметров и , при которых
делится на .
4. Найдите все значения параметров и , такие, что остаток от деления
на равен .
5. Найдите все натуральные , такие, что
делится на .
6. Известно, что остаток от деления полинома на равен , от деления на равен . Найдите остаток от деления на .
7. Найдите остаток от деления многочлена на .
8. Полином с целыми коэффициентами принимает значение в пяти различных целых точках. Может ли он иметь целый корень?
Деление с остатком на 10, 100,1000
Урок математики в 4 классе.
Тема: Деление с остатком на 10, 100,1000».
Цели: Познакомить со способом деления многозначных чисел с остатком на 10, 100,1000. Закрепить знания по теме «Виды треугольников» и «Величины».Упражняться в решении задач на движение. Развивать логическое мышление и память.
Ход урока.
1.Организационный момент. Слайд 2.
-Ребята, посмотрите на наших гостей и улыбнитесь им.
Мы рады приветствовать вас в классе нашем!
Возможно, есть классы и лучше и краше.
Но пусть в нашем классе вам будет светло,
Пусть будет уютно и очень легко!
Поручено нам вас сегодня встречать, Начнём же урок, не будем время терять.
2. Задание на развитие внимания. Слайд 3.
-Посмотрите внимательно на чертёж. Выпишите названия всех многоугольников.
-Что такое многоугольник? Какие вы знаете треугольники? Слайд 4.
-На что похож этот чертёж? (на горку)
-Вы любите кататься с горки? В какие ещё игры играют дети зимой? Слайды 5, 6..
3.Устный счёт. Слайд 7.
-Сейчас мы с вами поиграем в снежки.
600 : 100 3.500 : 10 540 : 10
700 : 10 72.000 : 1000 9.300 : 100
83.200 : 10 4.200 : 100 580.000 : 1000
4. Новая тема.
-Ребята, вы решали примеры устно, а теперь порешаем письменно. Сегодня познакомимся с новой темой. Она называется «Деление с остатком на 10, 100, 1000».
Числа, оканчивающиеся на 0 легко разделить на 10, 100, 1000.
Например: 60 : 10 = 6
Что же делать, если даны числа, на конце которых нет нулей?
Например: 92 : 10.
Делится этот пример без остатка?
Какое ближайшее число делится на 10? (90 )
90 : 10 = 9, а 92 : 10 = 9 (ост. 2)
Проверим: 9 х 10 + 2 = 92
Решим подобные примеры:
65 : 10 = 6 (ост. 5)
348 : 100
348 : 10
2.562 : 100
2.562 :1000
5. Закрепление. Работа по учебнику.
-Решим примеры из учебника на странице 25 № 131.
Чему сейчас учились?
Какой столбик примеров отличается от других? ( 1-ый, т.к. в нём примеры с разными делителями)
Физминутка Слайд 8.
Мчусь на лыжах я вперёд,
Под ногами снег и лёд,
С неба падают снежинки-
Разноцветные пушинки.
6. Решение задачи.
Зимой дети и взрослые катаются на лыжах , коньках. А ещё устраивают соревнования на мотоциклах и машинах по льду. Слайд 9.
Решим об этом задачу. ( стр.25 № 132) Слайд 10.
Двигаясь с одинаковой скоростью, легковая машина прошла 6 км за 5 минут. Какое расстояние она пройдёт с той же скоростью за 40 минут? (Вырази 6 км в метрах)
7. Сравнение величин. Слайд 11.
-Соревнования устраиваются на разные дистанции. Это может быть несколько метров или несколько километров.
Сравните единицы измерения.
3.000м и 3 км 2300г и 23кг
8 т и 72 ц 70дм и 7м
На какие две группы можно разделить эти записи? (равенства и неравенства; единицы длины и единицы массы)
8. Решение уравнений.
-Чтобы устраивать соревнования не обязательно становиться на лыжи. Соревнования мы можем устроить и сейчас.
Составьте уравнения и решите их. (стр.25 № 135)
9. Итог.
– Чему новому научились на уроке?
Какие задания вызвали затруднения?
Что повторили на уроке?
10.Оценка знаний детей. Слайд 12.
11. Домашнее задание: стр.25 № 133, № 137
Это полный урок с инструкциями и упражнениями для четвертого класса, касающийся деления в столбик с остатком. Учащиеся работают над задачами деления и проверяют свои ответы. Они также решают многие задачи со словами, связанные с остатками.
1. Разделить. Отметьте каждый результат в пустом месте, нажав умножение и сложение.
2. Найдите подразделения, которые неверно.Повторите ошибочные ниже.
3. Составьте разделительное предложение для каждую проблему и решите ее. Наконец, объясните, что означает ответ.
Решите проблемы.Иногда вы можете использовать умножение вместо деления.
12. Разделите эти числа на 10. и укажите остаток. Есть ярлык!
Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Division 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рабочие листы для деления с остатками
Вы здесь: Главная → Рабочие листы → Деление с остаткамиСоздайте неограниченный запас листов для деления с остатками (классы 3-5)! Некоторые рабочие листы практикуют нахождение остатка с помощью математики в уме, некоторые – для деления в столбик. Рабочие листы могут быть выполнены в формате html или PDF – и то, и другое легко распечатать.Вы также можете настроить их, используя генератор ниже.
Обычно учащиеся изучают деление с остатками сразу после изучения однозначного деления в 3-м или 4-м классе. Рабочие листы на этой странице разделены на два основных раздела:
Основные инструкции для рабочих листов
Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален. Ключ ответа генерируется автоматически и помещается на вторую страницу файла.
Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF – и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать html-лист ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.
Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:
- Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
- Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.
Деление с остатками – длинное деление
Важно: Не все проблемы на этих листах имеют остаток. Рабочие листы содержат смесь проблем с разделением – некоторые имеют остаток, а некоторые являются точными разделами.
Вот еще несколько типов листов для деления с остатками.
Деление с остатками – ментальная математика
Важно: Не все проблемы на этих листах имеют остаток. Рабочие листы содержат смесь проблем с разделением – некоторые имеют остаток, а некоторые являются точными разделами.
Рабочая тетрадь Brain Quest: 4 класс
Рабочая тетрадь Brain Quest для 4-го класса, наполненная сотнями учебных занятий, упражнений и игр по каждому предмету, закрепляет то, что дети изучают в классе.Живой макет учебного пособия и простые объяснения делают обучение увлекательным, интерактивным и конкретным. Кроме того, он написан, чтобы помочь родителям понять и объяснить ключевые концепции. Включает языковые навыки, поиск слов и кроссворды, кластеры идей, умножение и деление, сюжетные задачи, геометрию, графики, временные рамки, мозговые ящики и многое другое.
=> Узнайте больше и СМОТРИТЕ ВНУТРИ!
См. Другие учебные пособия по Brain Quest на Amazon
Генератор листов деления
Используйте генератор для создания настраиваемых рабочих листов, включая горизонтально написанные задачи, деление столбиком и деление с остатками.
Генератор листов деления
Длинное полиномиальное деление | Purplemath
Purplemath
Если вы делите многочлен на что-то более сложное, чем просто одночлен (то есть на что-то более сложное, чем одночленный многочлен), тогда вам нужно будет использовать другой метод для упрощения.Этот метод называется «долгим полиномиальным делением», и он работает так же, как долгое (числовое) деление, которое вы делали в начальной школе, за исключением того, что теперь вы делите с помощью переменных.
Разделить
x 2 – 9 x – 10 на x + 1
Вспомните, когда вы делали в столбик старые простые числа.Вам будет дано одно число (называемое делителем), которое вы должны разделить на другое число (называемое делимым). Вы установили символ длинного деления, вставили два числа, которым они принадлежали, а затем начали гадать, что должно быть поверх символа.
MathHelp.com
И вы не сразу угадали весь ответ; вместо этого вы начали работать с «лицевой» частью (то есть с большей размеченной частью) числа, которое вы делили.Например, если вы делили 1137 на 82, вы бы посмотрели на «8» и «10» и угадали бы, что, вероятно, «1» должна стоять сверху, над «11», потому что 8 входит один раз в 11.
Деление в столбик многочленов работает примерно так же:
Сначала я настрою деление, поместив делимое (вещь, на которую делится) внутри, а делитель (вещь, делающую) снаружи и влево:
На данный момент я проигнорирую все, кроме ведущих терминов.Как и в случае с числовым делением в столбик, я буду рассматривать только ведущие x делителя и ведущие x 2 делимого.
Если я разделю ведущие x 2 внутри на ведущие x спереди, что я получу? Я бы получил x . Поэтому я помещаю x поверх символа деления, прямо над x 2 внутри:
Теперь возьму x сверху и умножу на делитель x + 1.Сначала я умножу x (сверху) на x (на «стороне») и перенесу получившееся x 2 под ним, поместив его непосредственно под x 2 с дивиденда:
Затем я умножу x (вверху) на 1 (на «стороне») и перенесу 1 x внизу, поместив его прямо под –9 x в делимом:
Затем я нарисую горизонтальную полосу «равно» под тем, что я только что поместил под делимым, чтобы я мог произвести вычитание.
Чтобы вычесть многочлены, я сначала меняю все знаки во второй строке …
… а потом складываю. Первый член ( x 2 ) будет сокращен (по дизайну), а –9 x – 1 x станет –10 x :
Мне нужно не забыть перенести последний член (то есть член «вычесть десять») из дивиденда:
На этом этапе я начинаю игнорировать дивиденды и вместо этого работаю над нижней строкой моего длинного деления.
Я смотрю на x от делителя и новый ведущий член, –10 x , в нижней строке деления. Если я разделю –10 x на x , я получу –10, поэтому я поставлю это сверху, прямо над –9 x :
.Теперь я умножу –10 (сверху) на ведущие x (на «стороне») и перенесу –10 x вниз, прямо под –10 x предыдущей строки:
…и я умножу –10 (сверху) на 1 (на «стороне») и перенесу –10 вниз, прямо под –10:
в предыдущей строке.Я нарисую еще одну горизонтальную полосу «равно» и поменяю знаки на всех терминах в нижнем ряду:
Затем складываю:
По дизайну 10 x отменены.Случайно и десятки тоже отменили. Тогда мой ответ сверху символа деления:
.Поскольку остаток от деления выше был равен нулю (то есть, поскольку ничего не осталось), деление “вышло четным”. Когда вы делаете обычное деление с числами, и деление «получается четным», это означает, что число, на которое вы делите, является множителем числа, которое вы делите.
Например, если вы разделите 50 на 10, ответом будет аккуратная цифра «5» с нулевым остатком, потому что 10 – это коэффициент 50.
В случае вышеупомянутого полиномиального деления нулевой остаток говорит нам, что x + 1 является множителем x 2 -9 x -10, что вы можете подтвердить факторизацией исходного квадратичного делимого, x 2 – 9 x – 10. Каждый раз, когда вы получаете нулевой остаток, делитель является множителем делимого.
Между прочим, обратите внимание на то, как я выяснил, что поставить поверх символа длинного деления в приведенном выше упражнении: я разделил главный член того, на что я делил, на главный член того, на что я делил.Независимо от того, будет ли у конкретного деления ненулевой остаток, этот метод всегда будет давать правильное значение для того, что вам нужно наверху. Таким образом, полиномиальное деление в столбик проще, чем числовое деление в столбик, когда вам приходилось угадывать-н-проверять, чтобы выяснить, что было наверху.
Давайте сделаем еще один пример с делением, которое выходит «четным», чтобы мы могли проверить наш результат, выполнив факторизацию и отмену.
Упростить
Это дробное сокращение может быть выполнено любым из двух способов: я могу разложить квадратичный множитель на множители, а затем отменить общий множитель, например:
Но что, если я не знаю, как разложить на множители (или если мне нужно «показать свою работу» для длинного полиномиального деления на тесте)? Как и раньше, я начну длинное деление с работы с ведущими членами делителя и дивиденда.
Главный член дивиденда – x 2 , а старший член делителя – x . Разделив x 2 на x , я получу x , так что это то, что я поставил поверх x 2 в дивиденде:
Затем я умножаю x сверху на делитель x + 7 и помещаю полученное x 2 + 7 под делимое:
Затем я рисую горизонтальную полосу «равно», меняю знаки, складываю вниз и перемещаю +14 вниз, получая 2 x + 14 под полосой «равно»:
Деление первых 2 x на ведущие x делителя дает мне 2, так что это то, что я помещаю поверх символа деления, прямо над 9 x в делимом:
Затем я умножаю это 2 сверху на x + 7 и помещаю результат 2 x + 14 под:
Затем я меняю знаки и складываю, получая нулевой остаток:
Ответом на деление является частное, являющееся полиномом в верхней части символа деления в столбик:
URL: https: // www.purplemath.com/modules/polydiv2.htm
Алгоритм деления полиномов – A Plus Topper
Алгоритм деления полиномов Если p (x) и g (x) – любые два полинома с
g (x) ≠ 0, то мы можем найти многочлены q (x) и r (x) такие, что
p (x) = q (x) × g (x) + r (x)
, где r (x) = 0 или степень r (x) <степень g (x).
Результат называется алгоритмом деления многочленов.
Дивиденд = частное × делитель + остаток
Рабочее правило деления многочлена на другой многочлен:
Шаг 1: Сначала расположите член делимого и делитель в порядке убывания их степеней.
Шаг 2: Чтобы получить первый член частного, разделите член наивысшей степени дивиденда на член наивысшей степени делителя.
Шаг 3: Чтобы получить второй член частного, разделите член наивысшей степени нового дивиденда, полученного как остаток, на член наивысшей степени делителя.
Шаг 4: Продолжайте этот процесс до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени делителя.
Люди тоже спрашивают
Алгоритм деления многочленов с примерами
Пример 1: Разделить 3x 3 + 16x 2 + 21x + 20 на x + 4.
Sol.
Частное = 3x 2 + 4x + 5
Остаток = 0
Пример 2: Примените алгоритм деления, чтобы найти частное и остаток при делении p (x) на g (x), как показано ниже:
p (x) = x 3 – 3x 2 + 5x – 3 и g (x) = x 2 -2
Sol. У нас есть
p (x) = x 3 – 3x 2 + 5x – 3 и g (x) = x 2 – 2
Мы останавливаемся здесь, так как
градусов (7x – 9) < степень (x 2 – 2)
Итак, частное = x – 3, остаток = 7x – 9
Следовательно,
Частное × делитель + остаток
= (x – 3) (x 2 – 2) + 7x – 9
= x3 – 2x – 3x 2 + 6 + 7x – 9
= x 3 – 3x 2 + 5x – 3 = Дивиденд
Следовательно, алгоритм деления проверяется.
Пример 3: Примените алгоритм деления, чтобы найти частное и остаток при делении p (x) на g (x), как указано ниже
p (x) = x 4 – 3x 2 + 4x + 5, g (x) = x 2 + 1 – x
Sol. У нас есть,
p (x) = x 4 – 3x 2 + 4x + 5, g (x) = x 2 + 1 – x
Мы останавливаемся здесь, так как
градусов (8) < степень (x 2 – x + 1).
Итак, частное = x 2 + x – 3, остаток = 8
Следовательно,
Частное × делитель + остаток
= (x 2 + x – 3) (x 2 – x + 1) + 8
= x 4 – x 3 + x 2 + x 3 – x 2 + x – 3x 2 + 3x – 3 + 8
= x 4 – 3x 2 + 4x + 5 = Дивиденд
Следовательно, алгоритм деления проверен.
Пример 4: Проверьте, является ли первый многочлен множителем второго многочлена, применив алгоритм деления. т 2 – 3; 2т 4 + 3т 3 – 2т 2 – 9т – 12.
Сол. Мы делим 2t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 9t – 12 на t 2 -3
Здесь остаток равен 0, поэтому t 2 -3 – множитель 2t 4 + 3т 3 – 2т 2 – 9т – 12.
2т 4 + 3т 3 – 2т 2 – 9т – 12 = (2т 2 + 3т + 4) (т 2 – 3)
Пример 5: Получить все нули 3x 4 + 6x 3 – 2x 2 – 10x – 5, если два его нуля равны \ (\ sqrt {\ frac {5} {3}} \) И \ (- \ sqrt {\ frac {5} {3}} \).
Сол. Поскольку два нуля – это \ (\ sqrt {\ frac {5} {3}} \) и \ (- \ sqrt {\ frac {5} {3}} \)
x = \ (\ sqrt {\ frac { 5} {3}} \), x = \ (- \ sqrt {\ frac {5} {3}} \)
\ (\ Rightarrow \ left (\ text {x} – \ sqrt {\ frac {5}) {3}} \ right) \ left (\ text {x +} \ sqrt {\ frac {5} {3}} \ right) = {{\ text {x}} ^ {2}} – \ frac {5 } {3} \) Или 3x 2 – 5 – множитель данного многочлена.
Теперь применим алгоритм деления к данному многочлену и 3x 2 – 5.
Итак, 3x 4 + 6x 3 – 2x 2 – 10x – 5
= (3x 2 – 5) (x 2 + 2x + 1) + 0
Частное = x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
Нули из (x + 1) 2 равны –1, – 1.
Следовательно, все его нули равны \ (\ sqrt {\ frac {5} {3}} \), \ (- \ sqrt {\ frac {5} {3}} \), –1, –1.
Пример 6: При делении x 3 – 3x 2 + x + 2 на полином g (x), частное и остаток составили x – 2 и –2x + 4, соответственно.{2}} + 3 \ text {x} -2} {\ text {x} -2} \)
При делении x 3 – 3x 2 + x + 2 на x – 2,
получаем g (x)
Следовательно, g (x) = x 2 – x + 1.
Пример 7: Приведите примеры многочленов p (x), q (x) и r (x), которые удовлетворяют алгоритму деления и
(i) deg p (x) = deg q (x)
(ii) deg q (x) = deg r (x)
(iii) deg q (x) = 0
Sol.
(i) Пусть q (x) = 3x 2 + 2x + 6, степень q (x) = 2
p (x) = 12x 2 + 8x + 24, степень p (x ) = 2
Здесь deg p (x) = deg q (x)
(ii) p (x) = x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 2
q (x) = x 2 + x + 1, степень q (x) = 2
g (x) = x 3 + x 2 + x + 1
r (x) = 2x 2 – 2x + 1, степень r (x) = 2
Здесь deg q (x) = deg r (x)
(iii) Пусть p (x) = 2x 4 + x 3 + 6x 2 + 4x + 12
q (x) = 2, степень q (x) = 0
g (x) = x 4 + 4x 3 + 3x 2 + 2x + 6
r (x) = 0
Здесь deg q (x) = 0
Пример 8: Если нули многочлена x 3 – 3x 2 + x + 1 равны a – b, a, a + b.Найдите a и b.
Сол. ∵ a – b, a, a + b – нули
∴ произведение (a – b) a (a + b) = –1
⇒ (a 2 – b 2 ) a = –1… (1 )
и сумма нулей равна (a – b) + a + (a + b) = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = 1… (2)
согласно (1) и (2)
(1 – b 2 ) 1 = –1
⇒ 2 = b 2 ⇒ b = ± √2
∴ a = –1 & b = ± √2
Пример 9: Если два нуля многочлена x 4 – 6x 3 –26x 2 + 138x – 35 равны 2 ± √3, найдите другие нули.{2}} – 4 \ text {x} +1} \)
∴ прочие множители = x 2 – 2x – 35
= x 2 – 7x + 5x – 35 = x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5)
∴ другие нули равны (x – 7) = 0 ⇒ x = 7
x + 5 = 0 ⇒ x = – 5
Пример 10: Если многочлен x 4 – 6x 3 + 16x 2 –25x + 10 разделить на другой многочлен x 2 –2x + k, остаток будет равен x + a , найдите k & a.
Сол.
Согласно вопросам, остаток равен x +
∴ коэффициент при x = 1
⇒ 2k – 9 = 1
⇒ k = (10/2) = 5
Также постоянный член = a
⇒ k 2 – 8k + 10 = a ⇒ (5) 2 – 8 (5) + 10 = a
⇒ a = 25-40 + 10
⇒ a = – 5
∴ k = 5, a = –5
Урок четвертого класса Разделение с оставшимися
Я призываю учеников к ковру, пока мы готовимся к обсуждению в классе.На смарт-плате уже есть розетка. Мне нравится, когда мои ученики находятся рядом, чтобы я мог полностью сосредоточить их внимание, пока я нахожусь на доске Smart.
Я начну с перебора важной лексики для этого урока. Студентам необходимо знать эти термины, чтобы понять урок.
Словарь:
частное – ответ на задачу деления
делитель – число, на которое делится другое число
дивиденды – сумма, которую вы хотите разделить
остаток – часть, которая остается после деления
Задача 1:
У Томаса 15 шариков.Он хочет положить одинаковое количество шариков в 4 разных контейнера. Сколько шариков будет в каждой емкости? Сколько шариков останется в остатке?
Во-первых, я прошу студентов определить, какая операция будет использоваться для решения этой проблемы. «Дивизия», – слышу я большинство из них. Основываясь на прошлых знаниях, ключевые слова «одинаковое число» позволяют нам понять, что нужно разделить. Следовательно, это проблема разделения. Задача состоит из 15 разделенных на 4. Кроме того, ключевое слово «left» сообщает нам, что мы будем вычитать, чтобы найти остаток.
Мы можем использовать наши единичные блоки, чтобы создать модель проблемы. Мы знаем, что будет 4 группы. Мы можем взять наши 15 единичных блоков и начать разделять их на 4 группы, 1 на 1. Помните, что когда вы закончите разделять единичные блоки, в каждой группе должно быть одинаковое количество блоков. Оставшиеся блоки будут вашим остатком.
Частное к этой задаче равно 3, потому что в каждой группе по 3 шарика (4 x 3 = 12). Остается 3 шарика (15 – 12 = 3).Следовательно, остаток равен 3.
Попробуем еще.
Задача 2: 37 разделить на 8.
Мы можем использовать наши единичные блоки, чтобы создать модель проблемы. Мы знаем, что будет 8 групп. Мы можем взять наши 37 единичных блоков и начать разделять их на 8 групп, 1 на 1. Помните, что когда вы закончите разделять единичные блоки, в каждой группе должно быть одинаковое количество блоков. Оставшиеся блоки будут вашим остатком.
| хххх | хххх | хххх | хххх |
хххх | хххх | хххх | хххх |
Частное к этой задаче равно 4, потому что в каждой группе по 4 элемента (4 x 8 = 32). Остается 5 шариков (37 – 32 = 5). Таким образом, остаток равен 5.
Что такое остаток | Остаток с длинным делением
Остаток относится к оставшейся части после завершения процесса разделения.Если разделить 5 ручек между 4 детьми поровну, у нас останется 1 ручка. Этот пример переведен на математику, оставшаяся 1 ручка – остаток. Кроме того, если вы разделите число 20 на число 3, частное будет 6, а остаток – 2. Остаток всегда меньше делителя.
В математике остаток – это то, что остается после вычислений. Во многих случаях остатки игнорируются или округляются, чтобы дать только целое число. В десятичном числе 5.02, число 2 после десятичной дроби является остатком и иногда игнорируется, чтобы дать только полный ответ 5. Давайте узнаем больше об остатке и его использовании в математике
Остаток, как следует из названия, «остается» после выполнения задачи. В математике число 17 нельзя точно разделить на число 3. После деления число 2 оставляют в качестве напоминания. В качестве примера предположим, что у вас есть 15 файлов cookie, которыми вы хотите поделиться с 3 своими друзьями, Мэри, Дэвидом и Джейком.Вы хотите, чтобы файлы cookie были одинаковыми для ваших друзей и для себя. Вы начнете их раздавать следующим образом.
Здесь вы можете увидеть, что после распределения «осталось» 3 файла cookie. Эти 3 файла cookie не могут быть разделены поровну между вами 4. Следовательно, 3 называется «остатком». Кроме того, по наблюдениям, оставшихся 3 файлов cookie меньше, чем 4 человек, которым были предоставлены файлы cookie. Мы можем понять, что остаток всегда меньше делителя.
Определение остатка : остаток – это часть чего-то, что остается “оставшимся” после разделения. Остальное остается, когда несколько вещей делятся на группы с равным количеством вещей. Вспомним сценарий, который мы обсуждали ранее: 15 файлов cookie поровну распределяются между 4 детьми. Другими словами, 15 файлов cookie нужно было разделить на 4 равные группы. У нас осталось 3 файла cookie, и, следовательно, 3 были оставшимися. Рассмотрим другой пример. Предположим, что 8 кусочков пиццы нужно разделить поровну между двумя детьми.Сколько кусочков пиццы осталось неразделенными? Вы можете посмотреть на картинку ниже, чтобы понять, как мы поровну разделили кусочки пиццы между двумя детьми. Таким образом, остаток равен 0, так как ни один кусок пиццы не остался нераспределенным.
Поиск остатков с помощью длинного деления
Мы не всегда можем наглядно показать, как мы делим количество вещей поровну между группами, чтобы найти остаток. Вместо этого мы можем найти остаток, используя метод деления в столбик.Например, остаток в приведенном выше примере для файлов cookie можно найти, используя следующее длинное деление:
Таким образом, остаток равен 3. Остаток также может быть 0. Остаток от деления 10 на 2, 18 на 3 или 35 на 7 равен 0. Вот еще несколько примеров остатков.
| Отдел | остаток |
|---|---|
| 35/6 | 5 |
| 42/8 | 2 |
| 121/11 | 0 |
| 118/12 | 10 |
| 120/17 | 1 |
Эти остатки можно проверить с помощью длинного деления.
Давайте разделим 7 на 2 с помощью длинного деления и посмотрим, что такое частное и остаток. Частное, делитель и остаток можно вместе записать как смешанную дробь для представления дивиденда. Остаток образует числитель смешанной дроби, делитель – знаменатель, а частное – целочисленную часть смешанной дроби.
Мы можем представить остаток от деления двумя способами.
- Первый – записать частное и остаток с буквой «R» между ними.Число 7, разделенное на 2, можно записать как 7/2 = 3 R 1
- Другой способ представить остаток – показать его как часть смешанной дроби. Число 7, разделенное на два, можно записать как 7/2 = 3½ .
Остаток имеет следующие свойства:
- остаток всегда меньше делителя. Остаток, который больше или равен делителю, указывает на неправильное деление.
- Если одно число (делитель) полностью делит другое число (делимое), то остаток равен 0.
- Остаток может быть большим, меньшим или равным частному.
Часто задаваемые вопросы об остатке
Что вы имеете в виду под остатком?
Remainder, как следует из названия, «остается». В процессе деления последнее оставшееся число – это остаток.Разделив число 17 на 5, мы получим остаток от 2. 17 = 5 × 3 + 2. Здесь последнее оставшееся число 2 является остатком.
Какой пример остатка?
Когда 35 ирисков распределяются поровну между 8 детьми, каждый ребенок получает 4 ириска, а 3 ириска остаются нераспределенными. Здесь 3 – остаток. Вы можете найти больше примеров остатков по математике. Остаток – это число меньшее по значению, чем делитель или делимое.
Как работает остаток?
Определение остатка – это часть количества, которая остается после разделения на равные группы.Для этого давайте рассмотрим простой пример. Число 30 при делении на 7 частей, остается 2. 30 = 7 × 4 + 2. Здесь число 2, оставшееся после деления 30, является остатком.
Ноль – это остаток?
Да, 0 может быть остатком, когда делитель полностью делит дивиденд. Например, остаток от деления 15 на 3 равен 0. Это означает, что число 15 можно разделить поровну на 3 части без остатка.
Что такое частное и остаток в математике?
Частное равно тому, сколько раз делитель делит дивиденд.Это легко понять на простом примере. Число 7 делит 45 на 6 частей и оставляет остаток 3. Здесь число 6 является частным. Далее 45 = 7 × 6 + 3. Также здесь оставшееся число 3 – это остаток. Остаток – это число, оставшееся после процесса деления.
Как получить остаток по математике?
Остаток получается после завершения процесса деления. Это последнее число, оставшееся после завершения процесса разделения.Если разделить число 50 на 9, остаток будет числом 5.
Что такое теорема об остатке?
Теорема об остатке помогает нам найти остаток без фактического выполнения процесса деления в столбик. {\ mathrm {th}} $$ в повторяющемся узор формы.
Учащиеся развили фундаментальное понимание деления в 3 классе, когда они пришли к пониманию деления в отношении равных групп, массивов и площадей. Они разработали различные стратегии, чтобы развить беглость с делением в пределах 100, и они применили эти знания в контексте одно- и двухэтапных задач, используя четыре операции. Студенты также пришли к пониманию свойства распределения, которое лежит в основе стандартного алгоритма деления.
Как и в начале предыдущего раздела, когда учащиеся расширили свое понимание умножения за пределы понимания 3-го класса, включив в него задачи мультипликативного сравнения, этот модуль начинается с дополнительной сложности задач деления с остатками (4.OA.3). Это, вероятно, знакомо студентам из их собственного реального опыта попыток разделить количества поровну, и поэтому основное внимание уделяется интерпретации этих остатков в контексте различных задач. Затем студенты сосредотачиваются на расширении своих процедурных навыков с делением, чтобы включить до четырехзначных дивидендов с однозначными делителями (4.NBT.6), представляя эти случаи с базовыми десятью блоками, моделью площади, частными частными и, наконец, стандартный алгоритм, устанавливающий связи между всеми представлениями по мере их появления.Использование модели площади помогает студентам концептуально понять разделение, а также в качестве связи с их работой с площадью и периметром (4.MD.3), вспомогательным стандартом кластера. Наконец, вооруженные глубоким пониманием всех четырех операций, охватываемых последними тремя разделами, студенты решают многоэтапные задачи, включающие сложение, вычитание, умножение и деление, включая свои новые проблемные ситуации, такие как мультипликативное сравнение и интерпретация остатков (4.OA .3). Они также исследуют паттерны чисел и форм, используя четыре операции, чтобы сделать выводы о них (4.OA.5).
На протяжении всего раздела студенты по-разному занимаются математической практикой. Например, учащиеся видят и используют структуру (MP.7), когда они «разлагают [e] дивиденд на аналогичные десятичные единицы и находят частную единицу за единицей» (NBT Progressions, стр. 16). Кроме того, «неоднократно рассуждая (МР.8) о связи между математическими рисунками и письменной числовой работой, учащиеся могут увидеть алгоритмы умножения и деления как сокращения или резюме своих рассуждений о количествах» (NBT Progression, стр.14). Наконец, по мере того как учащиеся решают многоступенчатые задачи со словами, включающие сложение, вычитание и умножение, они моделируют с помощью математики (MP.4).
В то время как учащиеся на протяжении всего модуля поощряются к использованию моделей, когда это необходимо для решения задач, их глубокий опыт работы с системой разностных значений и множественными концептуальными моделями, а также знакомство с алгоритмами деления готовит их к расширению этих моделей до двузначных делителей в Оценках. 5 (5.NBT.6) и свободное владение алгоритмом деления в 6 классе (6.NS.2). Каждый последующий класс зависит от понимания многозначного деления и его алгоритмов, что делает этот модуль важным для учеников 4 класса.
Темп: 19 учебных дней (16 уроков, 2 гибких дня, 1 контрольный день)
Инструкции по корректировке темпа на 2020-2021 учебный год из-за закрытия школ см.